E [ -x ^2 z] = E[x z]

Transcript

1 1 1.ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτήν την διάλεξη θα πάμε στο φίλτρο με περισσότερες λεπτομέρειες, και θα παράσχουμε μια νέα παραγωγή για το φίλτρο Kalman, αυτή τη φορά βασισμένο στην ιδέα της γραμμικής ελάχιστης εκτίμησης διαφοράς (LMV) διακριτού χρόνου συστήματα. 1.1 YΠΟΒΑΘΡΟ Το πρόβλημα που επιδιώκουμε να λύσουμε είναι η συνεχής εκτίμηση ενός συνόλου παραμέτρων των οποίων τιμές αλλάζουν με τον καιρό. Η ενημέρωση επιτυγχάνεται με το συνδυασμό ενός συνόλου παρατηρήσεων ή μετρήσεων z(t) όποιοι περιέχουν τις πληροφορίες για το σήμα ενδιαφέροντος x(t). Ο ρόλος του εκτιμητή είναι να παράσχει μια εκτίμηση (t+ τ) κάποια στιγμή t+ τ. Αν τ >0 έχουμε μια πρόβλεψη φίλτρου, αν τ<0 έχουμε μια λείανση φίλτρου και αν τ=0, η λειτουργία καλείται απλά φιλτράρισμα. Ένας εκτιμητής που κάνει ανάκλαση λέγεται ότι είναι αμερόληπτος εάν η προσδοκία της παραγωγής της είναι η προσδοκία ή ποσότητα που υπολογίζεται, Ε[ ]=Ε[x]. Επίσης υπενθυμίζουμε ότι ένας ελάχιστος αμερόληπτος εκτιμητής διαφοράς (MVUE) είναι ένας εκτιμητής που είναι αμερόληπτος και ελαχιστοποιεί το μέσο όρο του τετραγωνικού λάθους : = arg E [ -x ^2 z] = E[x z] Ο όρος E[ x- ^2], η αποκαλούμενη διαφορά του λάθους, είναι στενά συνδεδεμένη στη συνδιακύμανση λάθους μήτρας, Ε[(x- )(x- )^T]. Συγκεκριμένα, η διαφορά του λάθους ενός εκτιμητή είναι ίση με το ίχνος από τη μήτρα συνδιακύμανσης λάθους, E[ x- ^2]= trace[(x- )(x- )^T] Το φίλτρο Kalman είναι μια γραμμική ελάχιστη διαφορά του φίλτρου λάθους (δηλ. είναι το καλύτερο γραμμικό φίλτρο πέρα από κατηγορία όλων των γραμμικών φίλτρων) πέρα από τα χρονικά μεταβαλλόμενα και χρόνο-αμετάβλητα φίλτρα. Στην περίπτωση του κρατικού διανύσματος x και οι παρατηρήσεις z είναι από κοινού κατανομή Gauss, ο εκτιμητής MVUE είναι μια γραμμική λειτουργία από το σύνολο μέτρησης z και έτσι το MVUE είναι επίσης ένας εκτιμητής LMV, όπως είδαμε στο πρώτο μέρος της σειράς μαθημάτων.

2 2 Σημείωση Θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη σημειογραφία διάνυσμα παρατήρησης στο χρόνο k το σύνολο όλων των παρατηρήσεων έως χρόνο k κατάσταση του συστήματος φορέα κατά το χρόνο k εκτίμηση x κατά το χρόνο k με βάση το χρόνο i, k i σφάλμα εκτίμησης, -, (περισπωμένη σημειογραφία) πίνακας συνδιασποράς μεταβατική κατάσταση μήτρας (έλεγχος) μήτρας μετάβασης έξοδος πίνακας μετάβασης διαδικασία (ή σύστημα), φορέας του θορύβου διάνυσμα θορύβου μέτρησης μήτρα συνδιακύμανσης θορύβου διαδικασίας (ή σύστημα) μήτρα συνδιακύμανσης θορύβου μέτρησης μήτρα κέρδους Kalman καινοτομία στο χρόνο k μήτρα συνδιακύμανσης καινοτομίας στο χρόνο k

3 3 1.2 Πρότυπο συστημάτων και παρατήρησης Τώρα θα ξεκινήσουμε την ανάλυση του φίλτρου Kalman. Ανατρέξτε στο σχήμα 1. Υποθέτουμε ότι το σύστημα μπορεί να είναι από την εξίσωση μεταβατικής κατάστασης = + + (1) όπου είναι η κατάσταση κατά το χρόνο k, είναι ένας φορέας ελέγχου εισόδου, είναι πρόσθετο σύστημα ή διαδικασία θορύβου, είναι η μετάβαση εισόδου μήτρας και είναι η μήτρα μετάβασης κατάστασης. Περαιτέρω υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις του κράτους γίνονται μέσω ενός συστήματος μέτρησης που μπορεί να αντιπροσωπευθεί από μια γραμμική εξίσωση της μορφής, = + (2) όπου είναι η παρατήρηση ή μέτρηση γίνεται κατά τη στιγμή k, είναι η κατάσταση κατά το χρόνο k, είναι η μήτρα παρατήρησης και προσθετικός θόρυβος μέτρησης.

4 4 1.3 Yποθέσεις Κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις H διαδικασία και η μέτρηση του θορύβου,τυχαίες διαδικασίες και είναι ασυσχέτιστες, μηδενική μέση διαδικασίες λευκού θορύβου με γνωστούς πίνακες συνδιασποράς. Τότε, E [ ] = { (3) E [ ] = { (4) E [ ] = 0 για k, l (5) Όπου και είναι συμμετρικές θετικές ημιορισμένες μήτρες. Η αρχική κατάσταση του συστήματος, είναι ένα τυχαίο διάνυσμα που είναι συσχετισμένο τόσο το σύστημα όσο και με τις διαδικασίες του θορύβου μέτρησης.

5 5 Η αρχική κατάσταση του συστήματος έχει μία γνωστή μέση τιμή και πίνακα συνδιασποράς = Ε [ ] και = E [ ( - ) ] (6) Λαμβάνοντας υπόψη τις ανωτέρω υποθέσεις ο στόχος είναι να καθορίσει, λαμβάνοντας υπόψη ένα σύνολο παρατηρήσεων,.., το φίλτρο εκτίμησης που k+1 η παρουσία στο χρόνο παράγει μία βέλτιστη εκτίμηση της κατάστασης, το οποίο συμβολίζουμε με, που ελαχιστοποιεί την προσδοκία της συνάρτησης απώλειας τετράγωνο-λάθους, E [ ^2 ] = E [ ( - )^T ( )] (7) 1.4 Παραγωγή Εξετάστε την εκτίμηση του με βάση τις παρατηρήσεις μέχρι το χρόνο k,,,, δηλαδή. Αυτό ονομάζεται πρόβλεψη ενός σταδίου-μπροστά ή απλά μια πρόβλεψη. Τώρα η λύση για η ελαχιστοποίηση της εξίσωσης 7 είναι η προσδοκία του κράτους στο χρόνο k+1 ρυθμισμένος με παρατηρήσεις μέχρι το χρόνο k. Έτσι, = E [,., ] = E [ ] (8) Τότε η προβλεπόμενη κατάσταση δίνεται από = E [ ] = E [ + + ] = E[ ] + + E[ ] = + (9) όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι ο θόρυβος διεργασία έχει μηδενική μέση τιμή και είναι γνωστή με ακρίβεια. Η διαφορά εκτίμησης είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα στην εκτίμηση. Έτσι, χρησιμοποιώντας τα πραγματικά περιστατικά που είναι ασυσχέτιστες = E [ - )( )^T ]

6 6 = E[( - )( - )^T ] + E [ ] = + (10) Έχοντας λάβει μια προγνωστική εκτίμηση ας υποθέσουμε ότι έχουμε πλέον λάβει μια άλλη παρατήρηση. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να ενημερώσουμε την πρόβλεψη, βρίσκω. Υποθέτουμε ότι η εκτίμηση είναι ένα γραμμικό σταθμισμένο άθροισμα της πρόβλεψης και της νέας παρατήρησης και μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση, = + (11) Όπου και μήτρες στάθμισης ή κέρδους (διαφορετικών μεγεθών). Το πρόβλημά μας τώρα είναι να μειώνεται στην εύρεση της και που ελαχιστοποιούν το μέσο τετραγωνικό όρους σφάλμα εκτίμησης όπου βέβαια το σφάλμα εκτίμησης δίνεται από : = - (12) 1.5 Ο αμερόληπτος όρος Για το φίλτρο μας που είναι αμεροληπτές, απαιτούμε E[ ] = E[ ]. Ας υποθέσουμε ότι είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση. Στη συνέχεια συνδυάζοντας τις εξισώσεις (11) και (2) και λαμβάνοντας προσδοκίες των αποδόσεων E [ ] = E [ + + ] = E ] + E[ ] + E [ ] (13) Σημειώστε ότι η τελευταία περίοδος στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι μηδέν, και περαιτέρω σημειώστε ότι η πρόβλεψη είναι αμερόληπτη: E [ ] = E[ + ] = E ] + = E [ ] (14) Ως εκ τούτου, δια συνδυασμού των εξισώσεων (13) και (14))

7 7 E [ ] = ( + )E[ και η προϋπόθεση της είναι αμερόληπτη και μειώνει την απαίτηση + = I ή = I - (15) Έχουμε τώρα ότι για να είναι αμερόληπτες για τον εκτιμητή μας πρέπει να πληρούν = (I - ) + = + [ - ] (16) Όπου K είναι γνωστό ως το κέρδος Kalman. Σημειώστε ότι εφόσον μπορεί να ερμηνευθεί ως μία προβλεπόμενη παρατήρηση, η εξίσωση 16 μπορεί ερμηνεύεται ως ποσό μιας πρόβλεψης και ενός μέρους της διαφοράς μεταξύ της προβλεπόμενης και της πραγματικής παρατήρησης. 1.6 Eύρεση της συνδιακύμανσης λάθους Καθορίσαμε τη συνδιακύμανση λάθους πρόβλεψης στην εξίσωση (10). Γυρίζουμε τώρα στο ενημερωμένο λάθος συνδιακύμανση = E[ ( )^T =E[( - )( - )^T] = (I - ) E [( ] (I - )^T + E [ ] + 2(I - ) E [ ] και με E [ ] = E [ ] =

8 8 E [ ] = 0 παίρνουμε = ( I - ) ( I - )^T + (17) Κατά συνέπεια η συνδιακύμανση της ενημερωμένης εκτίμησης εκφράζεται από την άποψη της συνδιακύμανσης πρόβλεψης, ο θόρυβος παρατήρησης και η μήτρα κέρδους Kalman. 1.7 Επιλογή του κέρδους Kalman Στόχος μας τώρα είναι να ελαχιστοποιηθεί η υπό όρους μέσο τετραγωνικό σφάλμα εκτίμησης σε σχέση με το κέρδος Kalman, K. L = E [ ] = trace ( E [ ] = trace ( ) (18) Για οποιαδήποτε μήτρα A και μια συμμετρική μήτρα B (trace( )) = 2AB (για να δει αυτό, θεωρήστε το ίχνος όπως B όπου είναι οι στήλες, και έπειτα διαφοροποιώντας το ). Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (17) και (18) και τη διαφοροποίηση σε σχέση με τη μήτρα απολαβής (χρησιμοποιώντας τη σχέση ανωτέρω) και τον καθορισμό ισούται με μηδέν αποδόσεις = -2(( I - ) + 2 = 0 Η εκ νέου ρύθμιση δίνει μια εξίσωση για τη μήτρα κέρδους [ + ]^-1 (19)

9 9 Μαζί με την Εξίσωση 16 αυτό καθορίζει το βέλτιστο γραμμικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα εκτιμητή. 1.8 Περίληψη των βασικών εξισώσεων Σε αυτό το σημείο αξίζει να συνοψίζει τις βασικές εξισώσεις που βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο του φίλτρου Kalman. Ο αλγόριθμος αποτελείται από δύο βήματα ένα βήμα πρόβλεψης και ένα βήμα ενημέρωσης. Πρόβλεψη: επίσης γνωστό ως χρόνος ενημέρωσης. Αυτό προβλέπει το κράτος και η διακύμανση στο χρόνο k+1 από τις πληροφορίες κατά το χρόνο k. = + (20) = + (21) Ενημέρωση: επίσης γνωστή ως η ενημερωμένη μέτρησης. Αυτό ενημερώνει το κράτος και τη διακύμανση χρησιμοποιώντας συνδυασμό της προβλεπόμενης κράτους και της παρατήρησης. = + [ - ] (22) = ( I - ) + (23)

10 10 όπου η μήτρα της απολαβής δίνεται από = [ + ]^-1 (24) Μαζί με τις αρχικές συνθήκες για την εκτίμηση και τη μήτρα συνδιασποράς το σφάλμα της (εξίσωση 6). Αυτό καθορίζει του διακριτού χρόνου διαδοχικού, αναδρομικού αλγόριθμου για τον προσδιορισμό της γραμμικής ελάχιστης διακύμανσης γνωστό ως φίλτρο Kalman. 1.9 Ερμηνεία του φίλτρου Kalman Ρίχνουμε τώρα μια ματιά στο γενικό αλγόριθμο φίλτρων Kalman με περισσότερες λεπτομέρειες. Το σχήμα 2 συνοψίζει στάδια στον αλγόριθμο με μορφή διαγραμμάτος μπλοκ. Η καινοτομία,, ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της παρατήρησης (μέτρηση) και της πρόβλεψής του γίνονται με τη χρήση των διαθέσιμων πληροφοριών κατά το χρόνο k. Είναι ένα μέτρο της νέας πληροφορίας που παρέχετε με την προσθήκη μιας άλλης μέτρησης στη διαδικασία εκτίμησης. Δεδομένου ότι = Ε[ ]

11 11 = E [ + ] = (25) η καινοτομία μπορεί να εκφραστεί από = - (26) Η καινοτομία ή το υπόλοιπο είναι ένα σημαντικό μέτρο πόσο καλά ένας εκτιμητής εκτελεί. Για παράδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επικύρωση μιας μέτρησης πριν να περιλαμβάνεται ως ένα μέλος της ακολουθία παρατήρησης (περισσότερα για αυτό αργότερα). Η διαδικασία του μετασχηματισμού σε μερικές φορές λέγεται ότι πρέπει να επιτευχθεί μέσω του φίλτρου λεύκανσης Kalman. Αυτό είναι επειδή οι καινοτομίες διαμορφώνουν μια ασύνδετη ορθογώνια διαδικασία άσπρου-θορύβου ακολουθία η οποία είναι στατιστικά ισοδύναμη με τις παρατηρήσεις. Αυτό είναι σημαντικό επειδή όπου όπως σε γενικές γραμμές να σχετίζεται στατιστικά σημαντικά, η καινοτομία είναι ασυσχέτιστες έτσι αποτελεσματικά παρέχει νέες πληροφορίες ή "καινοτομία". Η καινοτομία έχει μηδενική μέση τιμή, δεδομένου ότι, E [ ] = E [ - ] = E [ ] - = 0 (27) και η διακύμανση της καινοτομίας δίνεται από = E [ ] = E [ ( - )( - )^T = + (28) Χρησιμοποιώντας την εξίσωση 26 και 28 μπορούμε να ξαναγράψουμε τις αναπροσαρμογές Kalman από την άποψη της καινοτομίας και της διαφορά ως εξής.

12 12 = + (29) = E [ - - ) - - )^T = E [ ( - )( - )^T ] - E [ ] = - (30) όπου, από την εξίσωση 19 = (31) και = + (32) Αυτό είναι μια κατάλληλη μορφή του φίλτρου Kalman που χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση. Αν και χρησιμοποιείται πρώτιστα ως κρατικός εκτιμητής ο αλγόριθμος φίλτρων Kalman, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση παράμετρων εκτός από το κρατικό διάνυσμα. Αυτοί είναι διευκρινισμένοι στο σχήμα Εάν εφαρμοστεί για την εκτίμηση αυτό ονομάζεται φίλτρο μέτρησης. 2. Εάν εφαρμοστεί για την εκτίμηση αυτό ονομάζεται φίλτρο πρόβλεψης. 3. Εάν εφαρμοστεί για την εκτίμηση αυτό ονομάζεται φίλτρο λεύκανσης 4. Εάν εφαρμοστεί για την εκτίμηση αυτό ονομάζεται φίλτρο Kalman.

13 Ο αλγόριθμος Kalman διακριτού φίλτρου Θα ξεκινήσουμε αυτό το τμήμα με μια γενική επισκόπηση, που καλύπτει την "υψηλού επιπέδου" λειτουργία μιας μορφής του διακριτού φίλτρου Kalman. Μετά την παρουσίαση αυτή την άποψη υψηλού επιπέδου, που θα περιορίσετε την εστίαση στις συγκεκριμένες εξισώσεις και τη χρήση τους σε αυτήν την έκδοση του φίλτρου. Το φίλτρο Kalman υπολογίζει μια διαδικασία με τη χρησιμοποίηση μιας μορφής ελέγχου ανατροφοδότησης: το φίλτρο υπολογίζει το κρατική διαδικασία σε κάποιο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια λαμβάνει την ανατροφοδότηση υπό μορφή (θορυβώδη) μετρήσεων. Ως τέτοια, οι εξισώσεις για το φίλτρο Kalman χωρίζονται σε δύο ομάδες: 1)ενημέρωση ώρας εξισώσεων και 2) μέτρηση ενημέρωση εξισώσεων. Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών είναι αρμόδιες για να προβάλουν προς τα εμπρός (στο χρόνο) το τρέχουσα κατάσταση και συνδιακύμανσης σφάλματος εκτιμήσεις για την απόκτηση των προτέρων εκτιμήσεις για το επόμενο χρονικό βήμα. Οι επικαιροποιημένες εξισώσεις μέτρησης είναι αρμόδιες για την ανατροφοδότηση, δηλαδή για την ενσωμάτωση μιας νέας μέτρησης, για να αποκτήσει βελτιωμένη εκ των υστέρων εκτίμηση. Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως εξισώσεις προαγγέλων, ενώ οι μετρήσεις των εξισώσεων αναπροσαρμογών μπορούν να θεωρηθούν ως εξισώσεις διορθωτών. Πράγματι, ο τελικός αλγόριθμος εκτίμησης μοιάζει με εκείνη ενός αλγορίθμου πρόβλεψης-διόρθωσης για την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων, όπως φαίνεται παρακάτω: Σχήμα 3: Ο τρέχων ιδιαίτερος κύκλος φίλτρων Kalman. Η ενημέρωση ώρας προβάλλει την τρέχουσα κατάσταση εκτίμηση μπροστά στο χρόνο. Η ενημέρωση μέτρησης ρυθμίζει την προβλεπόμενη εκτίμηση από πραγματική μέτρηση εκείνη τη στιγμή.

14 14 Οι συγκεκριμένες εξισώσεις για τις αναπροσαρμογές χρόνου και μέτρησης παρουσιάζονται κατωτέρω στον Πίνακα 1 και Πίνακα 2. Πίνακας 1.Φίλτρο Kalman διακριτού χρόνου εξισώσεις ενημέρωσης. = A + B (33) = AP + Q (34) Παρατηρήστε πώς οι χρονικές εξισώσεις ενημέρωσης στο έργο Πίνακας 1 το κράτος και η συνδιακύμανση εκτίμησης διαβιβάζονται από το βήμα του χρόνου k-1 στο βήμα k. Πίνακας2. Φίλτρο Kalman διακριτής μέτρησης ενημέρωσης εξισώσεων. = (35) = + ( - H ) (36) = ( I - H) (37) Ο πρώτος στόχος κατά την ενημέρωση της μέτρησης είναι να υπολογιστεί το κέρδος Kalman,. Παρατηρήστε ότι η εξίσωση δίνεται από (35). Το επόμενο βήμα είναι να μετρηθεί πραγματικά η διαδικασία για να ληφθεί το, και στη συνέχεια να δημιουργήσει μια κατάσταση εκ των υστέρων εκτίμηση, ενσωματώνοντας τη μέτρηση όπως στο (36). Πάλι από (36) είναι απλά επαναλαμβανόμενος για την πληρότητα. Το τελικό βήμα είναι να ληφθεί μια εκ των υστέρων εκτίμηση συνδιακύμανση σφάλματος μέσω της εξίσωσης (37). Μετά από κάθε φορά που και επαναλαμβάνεται το ζευγάρι αναπροσαρμογών μέτρησης, η διαδικασία με εκ των υστέρων εκτιμήσεις χρησιμοποιείται στο πρόγραμμα για την προβολή ή την πρόβλεψη νέων εκτιμήσεων. Αυτή η αναδρομική φύση είναι ένα από τα πολύ ελκυστικά χαρακτηριστικά του φίλτρο Kalman και καθιστά πρακτικές εφαρμογές πολύ πιο εφικτές από (για παράδειγμα) εφαρμογές ενός φίλτρου Wiener το οποίο έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί σε όλα τα δεδομένα άμεσα για κάθε εκτίμηση. Το φίλτρο Kalman αντ' αυτού κατ' επανάληψη ρυθμίζει την τρέχουσα εκτίμηση σε όλες τις προηγούμενες μετρήσεις. Η εικόνα παρακάτω προσφέρει μια πλήρες εικόνα της λειτουργίας του φίλτρου, συνδυάζοντας το διάγραμμα υψηλού επιπέδου του σχ. 3 με τις εξισώσεις από τον Πίνακα 1 και Πίνακα 2.

15 15 Μια πλήρης εικόνα της λειτουργίας του φίλτρου Kalman, συνδυάζοντας το διάγραμμα υψηλού επιπέδου του σχ. 3 με τις εξισώσεις από τον Πίνακας 1 και τον Πίνακα 2. Κλείνοντας σημειώνουμε ότι κάτω από συνθήκες όπου Q και R είναι στην πραγματικότητα σταθερές, τόσο στην εκτίμηση συνδιακύμανσης σφάλματος και το κέρδος Kalman θα σταθεροποιηθούν γρήγορα και στη συνέχεια παραμένουν σταθερές (βλέπε το φίλτρο ενημέρωσης εξισώσεων στο παραπάνω σχήμα). Εάν αυτό συμβαίνει, αυτές οι παράμετροι μπορούν να προ-υπολογιστούν είτε με τη λειτουργία του φίλτρου off-line είτε παραδείγματος χάριν με τον καθορισμό της αξίας κατάστασης από. Είναι συχνά η περίπτωση, ωστόσο, ότι το σφάλμα μέτρησης (ειδικότερα) δεν παραμένει σταθερό. Παραδείγματος χάριν, όταν διακρίνοντας αναγνωριστικά σήματα στις οπτικοηλεκτρονικές ανώτατες επιτροπές ιχνηλατών μας, ο θόρυβος στις μετρήσεις των κοντινών αναγνωριστικών σημάτων θα είναι μικρότερος από αυτός στα μακρινά αναγνωριστικά σήματα. Επίσης, ο θόρυβος διαδικασίας Q μερικές φορές αλλάζει δυναμικά κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του φίλτρου σε προκειμένου να προσαρμοστεί στη διαφορετικές δυναμικές. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του εντοπισμού της κεφαλής ενός χρήστη σε 3D εικονικό περιβάλλον, θα μπορούσε να μειώσει το μέγεθος του αν ο χρήστης φαίνεται να κινείται σιγά-σιγά, και να αυξήσει το μέγεθος αν η δυναμική αρχίσει να αλλάζει με ταχείς ρυθμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις το επιλέγεται για να αποτελέσει την αβεβαιότητα για τις προθέσεις του χρήστη και την αβεβαιότητα του μοντέλου.

16 16