Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες

Transcript

1 Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος για Τηλεπικοινωνίες ρ. Βασίλης ιακολουκάς «I hear, I forget, I see, I remember, I do, I undestand. Κινέζικη Φιλοσοφία

2 Η ανταλλαγή πληροφορίας σε κοντινές ή µακρινές αποστάσεις λέγεται επικοινωνία Η οντότητα που φέρει αυτή την πληροφορία λέγεται σήµα. Μπορεί να έχει διάφορες µορφές και να φέρει πολλά ήδη πληροφορίας. Η επεξεργασία της πληροφορίας που αναπαριστάται σε ψηφιακή µορφή λέγεται ψηφιακή επεξεργασία σήµατος Τυχαίο σήµα (διαδικασία) είναι συλλογή σηµάτων και ορίζονται µε όρους των στατιστικών ιδιοτήτων της συλλογής. Θόρυβος (κβαντισµού, Καναλιού κ.α.) Η συλλογή όλων των πιθανών ηµιτονοειδών µε συγκεκριµένη συχνότητα και πλάτος. Η επεξεργασία τυχαίων σηµάτων λέγεται στατιστική επεξεργασία σήµατος Τοµείς Στατιστικής Επεξεργασίας Σήµατος: Detection Theory Estimation Theory

3 Detection (1) Τηλεπικοινωνιακό σύστηµα Στόχος: Μετάδοση σειράς δυαδικών σηµείων (source) σε κάποιο άλλο σηµείο Το σήµα στον δέκτη λαµβάνεται µε παραµόρφωση: r ( = s1( + n( or r( = s0( + n( Πρόβληµα: Σχεδίαση και αποτίµηση της συσκευής που θα ανιχνεύει το σήµα που λαµβάνεται στον δέκτη και θα αποφασίζει ποιο σήµα στάλθηκε από τον ποµπό.

4 Detection (2) Επίπεδο 1 (Γνωστά σήµατα µε θόρυβο): Η µόνη πιθανή πηγή σφάλµατος στην απόφαση είναι ο προσθετικός θόρυβος Σύγχρονές Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Προβλήµατα αναγνώρισης προτύπων Επίπεδο 2 (Σήµατα µε άγνωστες παραµέτρους σε θόρυβο): Ακόµα και µε απουσία θορύβου δεν καθορίζονται πλήρως τα σήµατα εισόδου r ( = sin( ω1t + θ1) + n( or r( = sin( ω0t + θ0) + n( Συµβατικά παλµικά ραντάρ και σόναρ (Ανίχνευση στόχου) Ταξινόµηση στόχου (Άγνωστος προσανατολισµός στόχου) Ψηφιακές τηλεπικοινωνίες σε κανάλια που εκφυλίζονται µε αργούς ρυθµούς Ψηφιακές τηλεπικοινωνίες χωρίς φασική αναφορά

5 Detection (3) Επίπεδο 3 (Τυχαία σήµατα σε θόρυβο): εν υπάρχει καµία συνιστώσα αιτιοκρατικού σήµατος. Συστήµατα ανίχνευσης σεισµικής διέγερσης Παθητικά sonar r ( = s Ω ( + n( or r( = n( Ραδιοαστρονοµία (ανίχνευση πηγών θορύβου) Ψηφιακές επικοινωνίες σε: r t ) s ( t ) + n ( t ) or r ( t ) = s ( t ) + n ( ιαχέουσες συνδέσεις στην τροπόσφαιρα (scatter links) Συνδέσεις µε παρεµβολές (chaff links) Κανάλια δίπολου σε τροχιά ( = Ω t 1 Ω 0 ) DETECTION: Συστήµατα που αποφασίζουν από ένα σύνολο εναλλακτικών λύσεων αυτή που είναι αληθής. Αν οι εναλλακτικές λύσεις είναι 2 τότε λέγεται δυαδικό σύστηµα ανίχνευσης. ιαφορετικά αναφέρεται σαν M-ary

6 Estimation (1) Κάθε Τ sec εκπέµπουµε ένα σήµα που περιέχει την παράµετρο Α n. PAM : s( t, A ) = A sin( ω, nt t ( n + 1 T n n c ) PFM : s( t, A ) = sin( ω t + A, nt t ( n + 1 T n c n ) r( = s( t, An ) + n(, nt t ( n + 1) T Πρόβληµα: Εκτίµηση των παραµέτρων Α n στον δέκτη. Οι παράµετροι αυτοί χρησιµοποιούνται από µια συσκευή για την ανακατασκευή του αρχικού σήµατος (για bandlimited σήµα η συσκευή είναι ιδανικό low-pass φίλτρο) Επίπεδο 1 (Γνωστό σήµα σε θόρυβο)

7 Estimation (2) Πρόβληµα µε Ραντάρ Ξέρουµεότι υπάρχει ο στόχος αλλά δεν ξέρουµε την απόσταση ή την ταχύτητα του. r( = V r( Πρόβληµα: = r sin[( ω + ω )( t n(, 0 c d τ ) + θ ] + t < τ, τ + Τ τ < n(, 1) Θέλουµε να εκτιµήσουµε τα τ (χρόνος από τη στιγµή που εκπέµπεται ο παλµός µέχρι να τον ξανά-ανιχνεύσει) και ω d ( Doppler shift λόγω κίνησης του στόχου) nt 2) Το σήµα περιέχει τις άγνωστες παραµέτρους V r και θ r r t ( n + 1) T Επίπεδο 2: Σήµα µε άγνωστες παραµέτρους σε θόρυβο

8 Estimation (3) Επίπεδο 3: Η συνιστώσα του σήµατος είναι τυχαία διαδικασία της οποίας τα στατιστικά χαρακτηριστικά περιέχουν παραµέτρους που πρέπει να εκτιµηθούν r ( s ( t, A) + n( = Ω s Ω (t,a) είναι δειγµατο-συνάρτηση κάποιας τυχαίας διαδικασίας. Παράδειγµα: Φάσµα narrow-band κάποιας στάσιµης διαδικασίας. Γνωστό σχήµα αλλά όχι κεντρική συχνότητα Εφαρµογές: ραδιο-αστρονοµία, παθητικό sonar

9 1. Γνωστά σήµατα σε θόρυβο: Estimation (4) 1. PAM, PFM, PPM συστήµατα επικοινωνίας µε συγχρονισµό φάσης 2. Ανακρίβειες σε συστήµατα αδράνειας (µέτρηση γωνίας κατεύθυνσης) 2. Σήµατα µε άγνωστες παραµέτρους σε θόρυβο: 1. Μετρήσεις απόστασης, ταχύτητας ή γωνίας µε συστήµατα radar ή sonar. 2. ιακριτού χρόνου, συνεχούς πλάτους συστήµατα επικοινωνίας (µε άγνωστο πλάτος ή φάση στο κανάλι) 3. Τυχαία σήµατα σε θόρυβο: Παραµετρική εκτίµηση φάσµατος ισχύος Εκτίµηση παραµέτρων στόχου (Παθητικά sonar) Ραδιοαστρονοµία (εκτίµηση ταχύτητας) Ραντάρ επίγειας χαρτογράφησης Ανίχνευση: Είτε αληθής είτε όχι Εκτίµηση: Σπάνια βρίσκουµε µε απόλυτη ακρίβεια αυτό που θέλουµε να εκτιµήσουµε - προσπαθούµε να είναι κοντινότερο Σηµαντικός παραλληλισµός ανάµεσα στην ανίχνευση και εκτίµηση.

10 Modulation (1) ιαµορφώνουµετην αναλογική πηγή α( (π.χ. ήχος) : AM : s( t, a( ) = [1 + ma( ]sin( ω t FM : s( t, a( ) = sin ωct + a( u) du r ( = s( t, a( ) + n( Πρόβληµα: Ο δέκτης παρατηρεί το r( και δηµιουργεί µια εκτίµηση του α(. Επίπεδο 1 (Γνωστό σήµα σε θόρυβο) c

11 Modulation (2) Εκτίµηση κρουστικής απόκρισης Ένα κανάλι µετάδοσης είναι LTI σύστηµα µε άγνωστη κρουστική απόκριση h(. Στέλνουµε ένα σήµα x( και προσπαθούµε να εκτιµήσουµε την απόκριση από το σήµα που φτάνει στο δέκτη: r( = h( τ ) x( t τ ) dτ + n( 0 Η θεωρία διαµόρφωση αναφέρεται συνήθως ως εκτίµηση συνεχούς κυµατοµορφής. Κατά αναλογία προκύπτουν τα υπόλοιπα επίπεδα εκτίµησης συνεχούς κυµατοµορφής

12 Φασµατική Εκτίµηση Οχώρος των συχνοτήτων µας δίνει µια διαφορετική οπτική των σηµάτων διακριτού χρόνου ή των τυχαίων διαδικασιών. Σε µια σειρά εφαρµογών είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε το φάσµα ισχύος της διαδικασίας (ο FT της αυτοσυσχέτισης µιας στάσιµης διαδικασίας). Για παράδειγµα το Wiener φίλτρο ορίζεται µε όρους PSD της εισόδου και της επιθυµητής εξόδου. Spectral Estimation is an Art Petre Stoica

13 Φασµατική Εκτίµηση (2) ΟΡΙΣΜΟΣ: Από ένα πεπερασµένο σύνολο µιας σειράς στάσιµων δεδοµένων, εκτίµησε πως η συνολική ισχύς κατανέµεται στις συχνότητες ή πιο πρακτικά σε στενές φασµατικές µπάντες (frequency bins). Κλασικές µέθοδοι (Μη παραµετρικές) Περνάµε τα δεδοµένα από ένα σύνολο band-pass φίλτρων και µετράµε την ισχύ στις εξόδους των φίλτρων Σύγχρονες µέθοδοι (Παραµετρικές) Μοντελοποιούµε τα δεδοµένα ως άθροισµα µερικών ηµίτονων µε συνεχώς µειούµενο πλάτος και εκτιµάµε τις παραµέτρους των µοντέλων. Οι παραµετρικές δίνουν καλύτερη εκτίµηση εφόσον το µοντέλο συµφωνεί µε τα δεδοµένα. ιαφορετικά οι µη παραµετρικές λειτουργούν καλύτερα.

14 Εφαρµογές φασµατικής ανάλυσης Φωνή: Εκτίµηση formant (για αναγνώριση φωνής) Κωδικοποίηση και συµπίεση φωνής Radar και Sonar Εντοπισµός πηγής µε δίκτυο αισθητήρων Συνθετική εικόνα από radar και εξαγωγή χαρακτηριστικών Ηλεκτροµαγνητισµός Συχνότητες συντονισµού µιας κοιλότητας. Τηλεπικοινωνίες Σεισµολογία Βιοϊατρική Ανάλυση εικόνας Αυτόµατος έλεγχος

15 Σύνοψη Μαθήµατος (1) Ανασκόπηση DSP DFT Energy spectral Density Ανασκόπηση γραµµικής άλγεβρας Γραµµική ανεξαρτησία Τάξη Πίνακα Eigenvalue Decomposition SVD Υποχώροι Προβολή Ανασκόπηση τυχαίες διαδικασίες

16 Σύνοψη Μαθήµατος (2) Εισαγωγή στην εκτίµηση παραµέτρων και σηµάτων Μη παραµετρικές Μέθοδοι Periodogram and Correlogram methods Παραµετρικές Μέθοδοι για συνεχές φάσµα Μέθοδος Ελαχίστων τετραγώνων Yule-Walker method Εκτίµηση Μεγίστης Πιθανοφάνειας Φράγµα Cramer-Rao Παραµετρικές Μέθοδοι για διακριτό φάσµα

17 Βιβλιογραφία Σηµειώσεις Μαθήµατος ( Introduction to Spectral Analysis, P.Stoica and R.Moses, Prentice Hall ( Statistical Digital Signal Processing and Modeling, M.Hayes, John Wiley&Sons, ( Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Steven M. Kay, Prentice Hall. Detection Estimation and Modulation theory: Part 1, H. Van Trees, Wiley & Sons, Βαθµολογία: 50% Άσκηση σε Matlab 50% τελικό