Ι. Τσαλαµέγκας Ι. Ρουµελιώτης. Μάρτιος 2017

Συνοπτική παρουσίαση επιλεγµένων τµηµάτων των ενοτήτων 5-9 του κεφαλαίου 1 (σελ. 89-19) του βιβλίου: Ι. Τσαλαµέγκα Ι. Ρουµελιώτη, Ηλεκτροµαγνητικά Πεδία Τόµος Α Ι. Τσαλαµέγκας Ι. Ρουµελιώτης Μάρτιος 17 1

ΝΟΜΟΣ COULOMB (1785) ε ˆ Σ 1 1 Σ 1 F 1 F1 = F1 1 1 = 1, ˆ 1 = 1 F = ˆ (βλ. Σχ.1) 1 1 1 ε Ó. 1 (1) όπου τα 1 και είναι ακίνητα και ε = 8.854 pf/m είναι η επιτρεπτότητα ή διηλεκτρική σταθερά 14 του κενού (αέρα). Ισχύει από µικροσκοπικές της τάξης 1 m έως αστρονοµικές αποστάσεις. Έ åé ßäéá áêñéâþò ìïñöþ ìå τον íüìï ôçò παγκόσµιας έλξης. Επαλληλία (αποδεικνύεται πειραµατικά). ε ^ 3 ^ 3 3 1 1 ^ x 1 z O y 1 N ^ N N N F =, =, Ó. ˆ = ˆ Ηλεκτρική δύναµη που ασκείται στο (Σχ.):

F N = ˆ. ε = 1 () Η () ισχύει για ακίνητο, έως και êéíïýìåíï ακόµη και µε ó åôéêéóôéêýò ôá ýôçôåò (µε ακίνητα). ΚáôáíïìÞ öïñôßων Η () γενικεύεται αν αντί των όγκο (Σχ.3): υπάρχει µακροσκοπική κατανοµή στατικών φορτίων ρ ( ') στον F ρ( ') d = ˆ ε (3) z ^ ñd ρ ( ') ñ(x,y,z) ε x O y d ' = dx ' dy ' dz ' (σε καρτεσιανές συντεταγµένες), =, ˆ = /. Ó. 3 Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Έστω δ äïêéìáóôéêü öïñôßï στη θέση του, áñêïýíôùò ìéêñü (ä ), þóôå ç ðáñïõóßá του (Þ ç áðïõóßá ôïõ) íá ìç äéáôáñüóóåé ôçí êáôáíïìþ ñ. Στο δ ασκείται δύναµη δ F. δ ρ( ') d ' (3) δ F = ˆ ε. (4) Ôï ðçëßêï F 1 ( ') d ' E ( ) δ ρ ˆ δ = ε (5) åßíáé áíåîüñôçôï ôïõ ä, åîáñôώµενο áðü ôο ρ ( ') êáé ôç èýóç ôïõ óçìåßïõ παρατήρησης, áðïêëåéóôéêü, êáé ïíïìüæåôáé Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ôçò êáôáíïìþò ñ óôç èýóç, µε µονάδα µέτρησης στο I το 1/m. 3

Ãíùñßæïíôáò ôçí Ýíôáóç Å( ) µπορούµε íá õðïëïãßóïõìå ôç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå ïðïéïäþðïôå óçìåéáêü öïñôßï, ôïðïèåôçìýíï óôç èýóç, áðü ôç ó Ýóç F = E( ). (6) Υðïôßèåôáé üôé ìå ôçí åéóáãùãþ ôïõ öïñôßïõ äåí áëëüæåé ç ìïñöþ του ñ, δηλ. äåí ðñïêáëåßôáé áíáêáôáíïìþ ôùí öïñôßùí óôï þñï. EéäéêÝò ðåñéðôþóåéò (προκύπτουν από την (5)) A. Εðéöáíåéáêά φορτία (σ ) Β. Γραµµικά φορτία ( λ ) E ( ) 1 σ ( ') d' ˆ = ε (7) E ( ) ε 1 λ( ) d = ˆ C (8) P x z O P y ^ ód d = σd ' ó x z - OO y - ^ λ ëd d = λd ' ( C ) Ã. Σçìåéáêü öïñôßï óôçí áñ Þ Ï.. Συστοιχία σηµειακών φορτίων, όπως στο Σχ.. x E ( ) z O ˆ y = 1 ˆ (1) N = ˆ. (9) E ( ) ε ε = 1 ÁíáëõôéêÝò éäéüôçôåò ôïõ ðåäßïõ E αυθαίρετης χωρικής κατανοµής [εξ. (5)] ÕðïèÝôïõìå üôé ç ρ ( ') åßíáé óõíå Þò êáé áñêïýíôùò ïìáëþ óõíüñôçóç ôçò θέσης. Ôüôå ìå áíáöïñü óôçí åî. (5) éó ýïõí ôá åîþò: 4

1ç éäéüôçôá: Ãéá óçìåßá παρατήρησης óôï åîùôåñéêü ôçò ðåñéï Þò ôùí ðçãþí,, ç E ( ) Ý åé ðáñáãþãïõò ïðïéáóäþðïôå ôüîηò. ç éäéüôçôá: Ãéá óçìåßá παρατήρησης óôï åóùôåñéêü ôçò ðåñéï Þò ôùí ðçãþí,, ôï ïëïêëþñùìá óôçí (5) åßíáé ãåíéêåõìýíï áëëü óõãêëßíåé. [Ç éäéïìïñößá ðïõ õðüñ åé ãéá = ( ' ) áßñåôáé áí èåùñþóïõìå óöáéñéêýò óõíôåôáãìýíåò (, θ, ϕ ) ìå áñ Þ ôï óçìåßï, ïðüôå d ' = si θddθdϕ d / =ðåðåñáóìýíï]. ÅðïìÝíùò η E ( ) ðáñáìýíåé ðåðåñáóìýíç. 3ç éäéüôçôá: Αν p είναι τυχούσα êáôåýèõíóç óôï þñï τότε 1 ρ( ') d ' ˆ 1 ρ( ) E ( ) d ˆ =, p ε p ε p (11) δηλ. äåí επιτρέπεται ç åíáëëáãþ ôùí ôåëåóôþí / p êáé üôáí, äéüôé ôï ο ïëïêëþñùìá ôçò (11) áðïêëßíåé. Áíôßèåôá, αν ç åíáëëáãþ ôùí ôåëåóôþí επιτρέπεται êáé ïäçãåß óå óõãêëßíïíôá ïëïêëçñþìáôá. Íüìïé ôïõ çëåêôñïóôáôéêïý ðåäßïõ Á. Íüìïò ôïõ áóôñïâßëïõ Μå ñþóç ôçò σχέσης 1 ˆ = (1) στην (5), ðáßñíïõìå 1 1 ρ( ') E ( ) = ρ( ') d' = d' = Φ( ) ε ε όπου ε. (13) 1 ρ( ) Φ ( ) = d '. (14) Η βαθµωτή συνάρτηση Φ ( ) ονοµάζεται âáèìùôü çëåêôñéêü (ηλεκτροστατικό) äõíáìéêü και έχει µονάδα µέτρησης το olt ( ). Μπορεί να αποδειχθεί üôé ôï ïëïêëþñùìá στην (14) óõãêëßíåé ãéá åßôå óôï åσùôåñéêü åßôå óôï εξùôåñéêü ôïõ. ÅéäéêÝò ðåñéðôþóåéò Φ ( ) =, ε 1 σ ( ') Φ ( ) = d', ε 1 λ( ') Φ ( ) = d ' (15) ε C για óçìåéáêü öïñôßï óôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, για åðéöáíåéáêό φορτίο ó óå ðåðåñáóìýíç åðéöüíåéá και για γñáììéêό φορτίο ë óå πεπερασµένη ãñáììþ C, αντίστοιχα. Áðü ôçí (13) προκύπτει ότι 5

B E ( ) = Φ( ) E= E d =Φ( A) Φ( B), (16) δηλαδή 1. Ôï çëåêôñïóôáôéêü ðåäßï åßíáé áóôñüâéëï ( E = ) και. Ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá A AB B A E d åßíáé áíåîüñôçôï ôçò ìïñöþò ôïõ äñüìïõ ολοκλήρωσης, åîáñôþìåíï ìüíï áðü ôçí áñ Þ Á êáé ôï ôýëïò  (Σχ.4). Ç ôéìþ AB =Φ( A) Φ ( B) ïíïìüæåôáé äéáöïñü äõíáìéêïý Þ çëåêôñéêþ ôüóç ìåôáîý ôùí óçìåßùí Á êáé  (σε olt). A. d. B d Σχ.4 Αðü ôçí (16) όταν A B ðñïêýðôåé ότι E d = (17) C δηλ. ôï çëåêôñïóôáôéêü ðåäßï åßíáé óõíôçñçôéêü. Â. Ï íüìïò ôïõ Gauss ÅéóÜãïõìå ôï äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò D = å Å (18) ôï ïðïßï ïíïìüæåôáé ðõêíüôçôá çëåêôñéêþò ñïþò Þ äéçëåêôñéêþ ìåôáôüðéóç (µε µονάδα µέτρησης C/m ) óôï êåíü. Ôï ïëïêëçñùôéêü ìýãåèïò Ψe D d, (19) üðïõ åßíáé ïðïéáäþðïôå áíïéêôþ Þ êëåéóôþ ðñïóáíáôïëéóìýíç åðéöüíåéá, ïíïìüæåôáé çëåêôñéêþ ñïþ äéá ìýóïõ ôçò και έχει µονάδα µέτρησης το C. óôù Σ áõèáßñåôç êëåéóôþ åðéöüíåéá (Ó.5). ÕðïèÝôïõìå üôé ïé ðçãýò ôïõ ðåäßïõ åßíáé åíôïðéóìýíåò óôïí üãêï, ìå óýíïñï ôçí êëåéóôþ åðéöüíåéá. Ç åðéöüíåéá Σ ìðïñåß íá åìðëýêåé êáé óçìåßá ôçò ðåñéï Þò, όπως στο Σχ.5, Þ íá âñßóêåôáé åî ïëïêëþñïõ óôï åîùôåñéêü ôïõ üãêïõ. Ìå ñþóç ôçò (5) ðáßñíïõìå 1 ˆ 1 ˆ d D d = ρ( ') d ' d = ρ( ') d ' () Σ Σ Σ 6

[áðïäåéêíýåôáé üôé ç åíáëëáãþ ôùí ôåëåóôþí êáé Σ åðéöüíåéá Ó åìðëýêåé óçìåßá ôçò ðåñéï Þò ôùí ðçãþí)]. åßíáé ðüíôïôå åðéôñåðôþ (áêüìá êáé üôáí ç ñ(x,y,z) ρ ( ') Ó d = d ˆ ˆ Ó O Ó Ó Ó. 5 Áðü ôçí () ìå ôç âïþèåéá ôçò σχέσης (ÐáñÜñôçìá, σελ. 188-19 του βιβλίου) ˆ d d ( ') ˆ, = = d = ' 4π, Σ 3, (1) 3 Σ Σ Σ Σ üðïõ Ó åßíáé ç ðåñéï Þ ôïõ þñïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí êëåéóôþ åðéöüíåéá Ó, ðñïêýðôåé ç ó Ýóç D d = ρ( ') d ' = QΣ () Σ Σ üðïõ Q Ó åßíáé ôï óõíïëéêü öïñôßï ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí åðéöüíåéá Ó. Ç åîßóùóç () áðïôåëåß ôçí ïëïêëçñùôéêþ ìïñöþ ôïõ íüìïõ ôïõ Gauss. Από την () µå åöáñìïãþ ôïõ ãíùóôïý áðü ôç äéáíõóìáôéêþ áíüëõóç èåùñþìáôïò ôçò áðïêëßóåùò (Gauss) D d = ( D) d ', ðáßñíïõìå ôçí åîßóùóç Σ Σ ( Dd ) ' = ρ( ') d' ( D ρ) d' = (3) Σ Σ Σ ç ïðïßá, åðåéäþ ðñýðåé íá éó ýåé ãéá ïðïéáäþðïôå åðéëïãþ ôçò Ó, ïäçãåß óôç ó Ýóç D = ñ (4) ãíùóôþ ùò äéáöïñéêþ ìïñöþ ôïõ íüìïõ ôïõ Gauss ãéá ôï çëåêôñéêü ðåäßï. Εíáëëáêôéêüò ôñüðïò åîáãùãþò του N. Gauss Ισχύει ότι ˆ = δ( ) = 4π δ( ') = 4π δ( x x') δ( y y') δ( z z'). (5) 7

Από τις (5) και (5) προκύπτει: 1 ρ( x, yz, ) E = ρ( x ', y ', z ')δ( x x ') δ( y y ') δ( z z ') dx ' dy ' dz ' ε =. (6) ε Από την (6), ολοκληρώνοντας στον όγκο των πηγών, παίρνουµε τη σχέση 1 Q Θ. ( Ed ) = ρd= Gauss Dd = Q ε ε. (7) ιαφορική εξίσωση για το δυναµικό (åîßóùóç Poisso) Ìå áíôéêáôüóôáóç áðü ôéò (18) êáé (13) óôçí (4) ðñïêýðôåé üôé ( ) = ( Φ ) = Φ =, εe ε ε ρ δηλ. η συνάρτηση δυναµικού Φ συνδέεται µε τις πηγές µε τη σχέση ( ) ρ( ) ε Φ = (8) που åßíáé ãíùóôþ σαν åîßóùóç ôïõ Poisso. ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Tï ìáãíçôïóôáôéêό ðåäßï Ý åé ùò ðçãýò ñïíïóôáèåñü ( / t = ) çëåêôñéêü ñåýìáôá ðõêíüôçôáò J. Για / t = η εξίσωση óõíέχειας, J + ñ/ t =, ïäçãåß óôç ó Ýóç J = (1) Áõôü óçìáßíåé üôé ïé ðçãýò åíüò ìáãíçôïóôáôéêïý ðåäßïõ, åêôüò áðü ñïíïóôáèåñýò, åßíáé και óùëçíïåéäåßò, äçëáäþ ç ñïþ ôïõ ñåýìáôïò ãßíåôáé óå êëåéóôïýò óùëþíåò ñïþò. Èåùñïýìå (Ó.1) äύï κλειστούς βρόχους C 1 êáé C óôïí αέρα, διαρρεόµενους áðü ñïíïóôáèåñü ñåýìáôá É 1 êáé É, áíôßóôïé á. Äéáðéóôþíåôáé ðåéñáìáôéêü üôé ìåôáîý ôùí äύï áõôþí βρόχων áóêïύíôáé ìáãíçôéêýò äõíüìåéò. Ç äýíáìç δ F1 ðïõ áóêåß ο βρόχος óôï óôïé åéþäåò ñåýìá Id 1 1 ôïõ βρόχου 1 åßíáé ðüíôïôå êüèåôç óôï óôïé åéþäåò áõôü ñåýìá, óýìöùíá ìå ôá ðïñßóìáôá ôùí ðåéñáìüôùí ôùí Biot-avat. Áõôü ìðïñåß íá äéáôõðùèåß ìáèçìáôéêü µε τη σχέση δ F = I d B ( ). () 1 1 1 1 8

(C 1 ) µ I 1 d 1 (C ) 1 d O Ó. 1 I Tï äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò  ( 1 ), ôï ïðïßï ïñßæåôáé ìýóù ôçò (), áðïôåëåß áõôü ðïõ óþìåñá ïíïìüæåôáé äéüíõóìá ôçò ìáãíçôéêþò åðáãùãþò (Þ ðõêíüôçôá ìáãíçôéêþò ñïþò) ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ, το οποίο äéåãåßñåôáé áðü ôï ñåýìá ôïõ βρόχου, óôç èýóç 1 ôïõ óôïé åßïõ d 1. Η µονάδα µέτρησής του είναι το 1T=1Wb/m. Ôï ìýãåèïò áõôü êáèïñßæåôáé ðëþñùò áðü ôç ãåùìåôñßá êáé ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò ôçò ðçãþò ôïõ. Ç ÝêöñáóÞ ôïõ äüèçêå áðü ôïõò Biot êáé avat êáé ìðïñåß íá ôåèåß õðü ôç ìïñöþ µ Ι d ˆ B( 1) = C (íüìïò ôùí Biot-avat). (3) üðïõ /,, 1. H óôáèåñü ì ïíïìüæåôáé ìáãíçôéêþ äéáðåñáôüôçôá ôïõ 7 κενού (αέρα). Ç áêñéâþò ôéìþ ôçò óôï äéåèíýò óýóôçìá ìïíüäùí (I) åßíáé ì = 4ð 1 Ç/ m. Ìå áíáöïñü óôéò ()-(3), ôï ìýãåèïò df µ I d ( I d ˆ ) = 1 1 1 (4) åßíáé åýëïãï íá èåùñçèåß ùò ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé áðü ôï ñåõìáôéêü óôïé åßï É d óôï ñåõìáôéêü óôïé åßï I 1 d 1. Ç äýíáìç df 1 ðïõ áóêåßôáé áðü ôï óôïé åéþäåò ñåýìá I 1 d 1 óôï óôïé åéþäåò ñåýìá Éd âñßóêåôáé ìå åíáëëáãþ ôùí äåéêôþí 1 êáé óôçí ðáñáðüíù ó Ýóç. Áîßæåé íá ðáñáôçñþóïõìå üôé, åí ãýíåé, ïé df 1 êáé df 1 Ý ïõí äéáöïñåôéêýò äéåõèýíóåéò. ÅðïìÝíùò, df1 + df1, äçëáäþ äåí éó ýåé ï ôñßôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôéò ìáãíçôéêýò äõíüìåéò ìåôáîý äõï óôïé åéùäþí ñåõìüôùí. Áíôßèåôá, ï íüìïò áõôüò éó ýåé ãéá ôéò óõíïëéêýò äõíüìåéò ìåôáîý äύï êëåéóôþí βρόχων, üðùò èá äïýìå λίγο ðáñáêüôù. Ç óõíïëéêþ äýíáìç ðïõ áóêåß ο βρόχος στον βρόχο 1 åßíáé F µ = δ F == I d ( I d ˆ ) (íüìïò ôïõ Ampee). (5) 1 1 1 1 C1 C1 C 9

H äýíáìç F 1 ðïõ áóêåß ï âñü ïò 1 óôïí âñü ï ðñïêýðôåé áðü ôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ìå åíáëëáãþ ôùí äåéêôþí 1 êáé. Ãåíéêåýóåéò 1. Bñßóêåôáé ðåéñáìáôéêü üôé éó ýåé ç áñ Þ ôçò åðáëëçëßáò ãéá ôéò ìáãíçôéêýò äõíüìåéò, óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá ç óõíïëéêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé στον ñåõìáôïöüñï βρόχο 1, üôáí αυτός âñßóêåôáé õðü ôçí åðßäñáóç ôùí ñåõìáôïöüñùí βρόχων,3,...,í, éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá F 1 + F 13 +... + F 1N.. Αν ôá ñåýìáôá I 1 και I äåí åßíáé íçìáôïåéäþ, áëëü êáôáíýìïíôáé óôéò ðåðåñáóìýíåò ðåñéï Ýò 1 êáé (Ó.) ìå ùñéêýò ðõêíüôçôåò J 1 êáé J, ïé ()-(5) ðáßñíïõí ôç ìïñöþ, áíôßóôïé á: J 1 J 1 1 1 J 1 d 1 J J 1 J d O Ó. δ = ( ) ( ) (6) F1 J1d1 B 1 (ìáãíçôéêþ äýíáìç ασκούµενη óôï óôïé åßï J1( 1) d1 ôçò êáôáíïìþò 1 áðü ïëüêëçñç ôçí κατανοµή ) µ J( ˆ ) B( 1) = d (7) (ìáãíçôéêþ åðáãùãþ ç ïðïßá äéåãåßñåôáé óôç èýóç 1 ëüãù ôçò êáôáíïìþò ) df µ Jd ( Jd ˆ ) = (8) 1 1 1 (ìáãíçôéêþ äýíáìç ασκούµενη στο óôïé åßο J1( 1) d1 από το J ( ) d ) 1

µ J ( J ˆ ) F = df = dd (9) 1 1 1 1 1 1 (óõíïëéêþ ìáãíçôéêþ äýíáìç ασκούµενη óôçí êáôáíïìþ 1 áðü ôçí êáôáíïìþ. Ç óõíïëéêþ äýíáìç F 1 ðïõ áóêåßôáé óôçí êáôáíïìþ áðü ôï ðåäßï ôçò êáôáíïìþò 1 ðñïêýðôåé ìå åíáëëáãþ ôùí äåéêôþí 1 êáé óôçí (9)). Αποδεικνύεται üôé ãéá ôéò óõíïëéêýò äõíüìåéò éó ýåé ï ôñßôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá, F1 + F1 =. (1) Πράγµατι, µε κατάλληλους µθηµατικούς χειρισµούς η (9) êáôáëþãει στην µ ˆ F1 = ( J1 J) dd 1. (11) 1 Ëüãù ôçò óõììåôñéêþò ìïñöþò της (11), µε εναλλαγή των δεικτών 1 και σε αυτή óõíüãåôáé üôé F1 = F1, äçëáäþ ðñïêýðôåé ç (1). Óôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç üðïõ J1 J ðñïêýðôåé üôé F 11 = F 11 F 11 =. ÅðïìÝíùò ç óõíïëéêþ ìáãíçôéêþ äýíáìç ðïõ áóêåß ìéá ñåõìáôéêþ êáôáíïìþ óôïí åáõôü ôçò åßíáé ìçäενική. ÐáñáôçñÞóåéò 1. Ìå åðéóêüðçóç ôçò (11) èá ìðïñïýóå κάποιος íá éó õñéóôåß üôé ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ìåôáîý ôùí ñåõìáôéêþí óôïé åßùí J1( 1) d1 êáé J( ) d éóïýôáé ìå µ ˆ df1 = ( J1 J ) d 1d. (1) Ç ó Ýóç üìùò áõôþ, ðáñ' üôé ìýóù ôçò (11) ïäçãåß óôï óùóôü áðïôýëåóìá ãéá ôç óõíïëéêþ äýíáìç ìåôáîý ôùí ñåõìáôéêþí êáôáíïìþí 1 êáé, äåí óõìöùíåß ìå ôçí (8), ðïõ åðßóçò ïäçãåß, ìýóù ôçò (9), óôï ßäéï áðïôýëåóìá. Ç áóõìöùíßá åßíáé ðñïöáíþò, áöïý ç df 1 ôçò (1) á) Ý åé äéåýèõíóç ôçí åõèåßá ðïõ åíþíåé ôá äõï ñåõìáôéêü óôïé åßá êáé â) éêáíïðïéåß ôïí ôñßôï íüìï ôïõ Íåýôùíá ( df1 + df1 = ), óå áíôßèåóç ìå ôçí df 1 ôçò (8). Ôï ðáñáðüíù äßëçììá, áíáöïñéêü ìå ôçí Ýêöñáóç ôçò δύναµης ìåôáîý äõï óôïé åéùäþí ñåõìüôùí, ëýíåôáé óþìåñá ìå ðñïóöõãþ óôçí ðåéñáìáôéêþ ìáñôõñßá. ÓõãêåêñéìÝíá, èåùñïýìå ôçí ðåñßðôùóç üðïõ óçìåéáêü öïñôßï 1 êéíåßôáé ìå ôá ýôçôá v 1 åíôüò ìáãíçôéêïý ðåäßïõ  (Ó.3). Óôï êéíïýìåíï áõôü öïñôßï, ôï ïðïßï óõíéóôü óôïé åéþäåò ñåýìá Jd 1 1 = v 1 1, áóêåßôáé ç ìáãíçôéêþ äýíáìç F1 = 1v1 B, (13) êáô' áíáëïãßá ðñïò ôçν (6) ðïõ åîáêïëïõèåß íá éó ýåé êáé εδώ. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ôï ìáãíçôéêü ðåäßï  ïöåßëåôáé óôçí êßíçóç öïñôßïõ ìå ôá ýôçôá v (äçλ. σε στïé åéþäåò ñåýìá Jd = v ), âñßóêåôáé πειραµατικά üôé  = ì v 4ð (14) 11

1 v 1 ˆ 1 v O Ó. 3 ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå åäþ üôé, åðåéäþ ôï ðåäßï åíüò êéíïõìýíïõ öïñôßïõ åßíáé ñïíïìåôáâëçôü, ç (14) -óå áíôßèåóç ìå üëåò ôéò Üëëåò åîéóþóåéò áõôþò ôçò åíüôçôïò- äåí åßíáé áêñéâþò, áëëü éó ýåé ìüíï êáôü ðñïóýããéóç êáé õðü ôçí ðñïõðüèåóç üôé v / c << 1, όπου c åßíáé ç ôá ýôçôá ôïõ öùôüò. Ìå áõôþ ôçí ðáñáôþñçóç õðüøη, óõíäõáóìýíç åöáñìïãþ ôùí (13) êáé (14) ïäçãåß óôç ó Ýóç F 1 ì v v 1 ( ) = 1 4ð ç ïðïßá äåß íåé üôé ç Ýêöñáóç (8) åßíáé ç óùóôþ. (15). Ç óõíïëéêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå öïñôßï, ôï ïðïßï êéíåßôáé ìå ôá ýôçôá v åíôüò ΗΜ ðåäßïõ ( ÅÂ,, ) éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôçò çëåêôñéêþò êáé ôçò ìáãíçôéêþò δύναµης, äçëáäþ F = ( E + v B). (16) H óçìáíôéêþ áõôþ ó Ýóç ïíïìüæåôáé åîßóùóç ôïõ Loetz êáé áðïôåëåß Ýíáν áðü ôïõò âáóéêïýò íüìïõò ðïõ óõíèýôïõí ôï ΗΜ ðñüôõðï. ¼ðùò ï íüìïò Coulomb, Ýôóé êáé ç (16) áðïôåëåß áîßùìá ôçò ÇÌ èåùñßáò, ôïõ ïðïßïõ ç áðïäï Þ óôçñßæåôáé óôçí ðåéñáìáôéêþ ìáñôõñßá áðïêëåéóôéêü. Óçìåßùóç: ÕðïèÝôïõìå üôé δικιµαστικό öïñôßï åéóüãåôáé óôç èýóç Á åíôüò ΗΜ ðåäßïõ ( EB, ) êáé áöþíåôáé íá êéíçèåß ìý ñé ôï óçìåßï Ã, õðü ôçí åðßäñáóç ôùí áóêïύìεíùí çëåêôñéêþí êáé ìáãíçôéêþí äõíüìåùí (Ó.4). Ôï Ýñãï ðïõ ðáñüãåôáé êáôü ôçí ìåôáêßíçóç áõôþ éóïýôáé ìå Γ Γ d Γ W = ( E + v B) d = ( E + B) d = E d A A dt, (17) A d v d = dt à A Ó. 4 ëáìâüíïíôáò õðüøη êáôü ôï ôåëåõôáßï âþìá üôé 1

d v B = B dt, δηλ. v B d. ÓõìðÝñáóìá: ΚáôÜ ôç ìåôáêßíçóç öïñôßùí åíôüò ΗΜ ðåäßùí, οé ìáãíçôéêýò äõíüìåéò äåí ðáñüãïõí Ýñãï. 3. Ôï ïëïêëþñùìá (7) ãéá 1 (óçìåßï παρατήρησης åêôüò ôïõ üãêïõ ôùí ðçãþí) ðáñéóôüíåé óõíüñôçóç του 1 ( x 1, y 1, z 1 ) ç ïðïßá Ý åé ðáñáãþãïõò ïðïéáóäþðïôå ôüîηò ως προς x 1, y1, z1. Ãéá 1 ôï ïëïêëþñùìá áõôü åßíáé ãåíéêåõìýíï áëëü στγκλίνει. ÅðïìÝíùò ôï ìáãíçôéêü ðåäßï ïñßæåôáé ôüóï åêôüò üóï êáé åíôüò ôïõ üãêïõ ôùí ðçãþí ôïõ. Íüìïé ôïõ ìáãíçôïóôáôéêïý ðåäßïõ. Èåùñïýìå ôï ìáãíçôéêü ðåäßï B µ J( ') ˆ = d (18) ( ) ' ( =, =, ˆ = / ), ôï ïðïßï Ý åé ùò ðçãþ ôçí ñïíïóôáèåñþ, óùëçíïåéäþ ñåõìáôéêþ êáôáíïìþ J( '), ' (Ó.5). Èá âñïýìå ôçí áðüêëéóç  και την ðåñéóôñïöþ  ôïõ ðåäßïõ óõíáñôþóåé ôùí ðçãþí ôïõ. J J µ J d Jd ' ( x ', y', z') (x,y,z) O Ó. 5 A. Áðüêëéóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ-íüìïò ôïõ Gauss ãéá ôï µαγνητικό πεδίο-διανυσµατικό δυναµικό Ìå ñþóç ôùí ôáõôïôþôùí 1 ˆ = (19) J( ') 1 1 1 J( ') J( ') J( ') = = 13 ()

[είναι J = ( ), διότι ï ôåëåóôþò ( x, y, z ) εφαρµόζεται óôéò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ (,, ), åíþ ç J( ) = Jx (, y, z ) -óõíüñôçóç ôùí óõíôåôáãìýíùí ( x, y, z ) ôïõ παρατήρησης xyz óçìåßïõ ολοκλήρωσης åíôüò ôçò ðåñéï Þò ôùí ðçãþí- åßíáé áíåîüñôçôç ôùí x,y,z], ï íüìïò ôùí Biot- avat (18) ãñüöåôáé äéáäï éêü ùò åîþò: µ 1 µ J( ') µ J( ') B J d d d A (1) ( ) = ( ') ' = ' = ' = ( ) üðïõ A åßíáé ôï äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò µ J( ') A ( ) = d' () ðïõ ïíïìüæåôáé äéáíõóìáôéêü äõíáìéêü. üôé Aðü ôçí (1), ìå ôç âïþèåéá ôçò äéáíõóìáôéêþò ôáõôüôçôïò ( A) =, ðñïêýðôåé áìýóùò B = (íüìïò ôïõ Gauss ãéá ôï ìáãíçôéκü πεδίο). (3) ÅðïìÝíùò, ôï ìáãíçôéêü ðåäßï åßíáé óùëçíïåéäýò. Ç ó Ýóç (3) -üðïõ ôï δεξιό ìýëïò åßíáé ìçäýí, óå áíôéðáñáâïëþ ìå ôïí íüìï ôïõ Gauss ãéá ôï çëåêôñéêü ðåäßï, E = ρ / ε - õðïäçëþíåé ôçí áíõðáñîßá åëåõèýñùí ìáãíçôéêþí öïñôßùí óôç öýóç. Ìå åöáñìïãþ ôïõ èåùñþìáôïò ôïõ Gauss áðü ôç äéáíõóìáôéêþ áíüëõóç, (. B) d = B d, σε üãêï ìå óýíïñï ôçí êëåéóôþ åðéöüíåéá ðñïêýðôåé ότι B d = (ïëïêëçñùôéêþ ìïñöþ ôïõ Ν. Gauss ãéá ôï ìáãíçôéκό πεδίο). (4) ύï éäéüôçôåò ôïõ äéáíõóìáôéêïý äõíáìéêïý 1ç éäéüôçôá Á = (5) Aðüäåéîç Ìå x x y y z z = ( ') + ( ') + ( ') και ôïõò ôåëåóôýò ( x, y, z) = êáé = (,, ) íá εφαρµόζονται, áíôßóôïé á, óôéò óõíôåôáãìýíåò ( x, yz, ) και ( x ', y', z '), âñßóêïõìå üôé x y z 1 1 =. (6) Ìå ôç âïþèåéá ôçò ταυτότητας 14

J( ') 1 1 J( ') J( ') = + (7α) όπου J( ') =, παίρνουµε (6) J ( ') 1 1 1 1 J( ') J( ') J( ') ' ' J( ') J( ') ' ' = = = =. (7β) 1 Κατά το προτελευταίο βήµα στην (7β) προσθέσαµε τον µηδενικό όρο ' J( ') ( J ( ) =, óùëçíïåéäýò ñåýìá), ενώ κατά το τελευταίο βήµα ξαναχρησιµοποιήσαµε την (7α). Από τις () και (7β) προκύπτει ότι (7 β ) µ. J( ') µ J( ') Θ Gauss J( ') d' A( ) = d ' ' d ' = = =. (8) Ôï áðïôýëåóìá óôçí (8) åßíáé µηδενικό, διότι ôï äåí Ý åé óõíéóôþóá êüèåôç óôçí. J( ') åßíáé åíôïðéóìýíï óôïí üãêï êáé åðïìýíùò ç éäéüôçôá A x A + y A + z A = ì J (9) x y z Áðüäåéîç Σύµφωνα µε την () η óõíéóôþóá Á p ( p xyz,, ) ôïõ A ισούται µε µ J ( ') p Ap ( ) = d '. (3) H ó Ýóç áõôþ Ý åé áêñéâþò ôçí ßäéá ìïñöþ ìå ôç ó Ýóç (14) της σελίδας 5: 1 ρ( ') Φ ( ) = d ' ε (31) ãéá ôï ΗΣ äõíáìéêü Φ. ÅðåéäÞ ó Ýóç Φ= ρ / ε [Åî. (8), σελ. 8], ãéá ôï p A éó ýåé êáô' áíáëïãßá ç Áp = ìj, (3) p µε χρήη της ïðïßáς ðñïêýðôåé áìýóùò ç (9). Â. ÐåñéóôñïöÞ ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ-íüìïò ôïõ Ampee. ñçóéìïðïéþíôáò ôç äéáíõóìáôéêþ ôáõôüôçôá Á = ( Á) Á (33) êáé ôéò ðáñáðüíù äύï éäéüôçôåò ôïõ A, ðáßñíïõìå ôç ó Ýóç 15

 = Á = Á = ì J. (34) Με τον ορισµό της Ýíôáóçς H ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ (µονάδα µέτρησης A/m ) óôï êåíü: Ç =  ì, (35) áðü ôçí (34) ðñïêýðôåé ç ó Ýóç H = J (äéáöïñéêþ ìïñöþ ôïõ íüìïõ ôïõ Ampee). (36) Må áíáöïñü σε οποιαδήποτε áíïéêôþ ðñïóáíáôïëéóìýíç åðéöüíåéá, ç ïðïßá Ý åé óýíïñï ôçí êëåéóôþ êáìðýëç C (Ó.6) [ç C åßíáé έτσι ðñïóáíáôïëéóìýíç þóôå, óå óõíäõáóìü ìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôçò, íá ðñïêýðôåé ο èåôéêüò ðñïóáíáôïëéóìüò ôïõ þñïõ (êáíüíáò ôïõ äåîéüóôñïöïõ êï ëßá)], åöáñìïãþ ôïõ èåùñþìáôïò tokes H d = ( H) d C οδηγεί στο αποτέλεσµα: ( C) d + ˆ d Σχ. 6 H d = J d I (ολοκληρωτική µορφή του νόµου Ampee) (37) C όπου I είναι το συνολικό ρεύµα που διαπερνά την επιφάνεια κατά τη θετική της φορά. ΝΟΜΟΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ FAADAY Τα πειράµατα ôïõ Faaday τον οδήγησαν το 1831 στην ανακάλυψη του νόµου ο οποίος φέρει το όνοµά του και διατυπώθηκε µαθηµατικά από τον Maxwell µε την εξίσωση dψ d (Νüìïò Faaday- Maxwell). (1α) m e = E d = B d dt dt C E d σε olt είναι η ηλεκτργερτική δύναµη (ΗΕ ) κατά µήκος της κλειστής C Στην (1α), e = καµπύλης C, ενώ ψ = B d m σε Wb είναι η µαγνητική ροή που διαπερνά οποιαδήποτε ανοκτή επιφάνεια η οποία καταλήγει στην καµπύλη C (Σχ. 1). Αν η καµπύλη C είναι ένα λεπτό αγώγιµο σύρµα, η e αποτελεί την πηγή του επαγόµενου ηλεκτρικού ρεύµατος. 16

( C) d + ˆ d Σχ. 1 Σύµφωνα µε τον νόµο αυτόν, η ηλεκτρεγερτική δύναµη κατά µήκος του κλειστού συνόρου C µιας ανοικτής επιφάνειας ισούται µε την ταχύτητα ελάττωσης της µαγνητικής ροής η οποία διαπερνά την επιφάνεια αυτή. ÐáñáôÞñçóç: Η καµπύλη C µπορεί να είναι οποιαδήποτε τµηµατικά λεία κλειστή καµπύλη, αυθαίρετα εκτεινόµενη στον χώρο, µε φορά διαγραφής αυθαίρετα επιλεγόµενη. Ο προσανατολισµός της åðéöüíåéáò, η οποία µπορεί να είναι οποιαδήποτε τµηµατικά λεία ανοικτή επιφάνεια µε σύνορο την C, γίνεται έτσι þóôå, óå óõíäõáóìü ìå ôçν επιλεγείσα φορά της C, íá οδηγεί σε èåôéêό ðñïóáíáôïëéóìό ôïõ þñïõ (κανόνας του δεξιόστροφου κοχλία), σύµφωνα µε το Σχ.1. H (1α) Ý åé ôçí ßäéá ìïñöþ ìå ôçí åîßóùóç (37) της σελ. 16. ÅðïìÝíùò, ìå óõëëïãéóìïýò áíôßóôñïöïõò áõôþí ðïõ ìáò ïäþãçóáí áðü ôçí (36) óôçí (37) της σελ. 16, áðü ôçí (1α) ðñïêýðôåé ç äéáöïñéêþ ìïñöþ ôïõ íüìïõ Faaday Maxwell: Å =  t (1β) Áðü ôçí (1β) óõíüãåôáé üôé ένα ñïíïìåôáâëçôό ìáãíçôéêό ðåäßï επάγει ðüíôïôå ένα çëåêôñéêό ðåäßï. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΝΟΜΟΥ AMPEE. ΝΟΜΟΣ AMPEE -MAXWELL Ο νόµος του Ampee της µαγνητοστατικής [Εξ. (36) και (37), σελ. 16] H = J (äéáöïñéêþ µïñöþ) (a) H d = J d (ïëïêëçñùôéêþ ìïñöþ) (â) C äåí éó ýåé για ñïíéêü ìåôáâáëëüìåíες ðçãές J(, t), διότι παραβιάζει τον νόµο διατήρησης του d φορτίου (åîßóùóç óõíέχειας) [ J = ñ/ t και J d = ρd dt ]. Πράγµατι, από την (α) έχουµε ( H) = J = (3α) και από την (β), συρρικνώνοντας την C ώστε να καταλήγει σε σηµείο, έχουµε J d =, (3β) 17

διότι στην περίπτωση αυτή η γίνεται κλειστή επιφάνεια. Ο Maxwell, δεχόµενος ότι ο νόµος Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο, D = ρ, εξακολουθεί να ισχύει και για χρονικά µεταβαλλόµενα πεδία, συµπλήρωσε την (α) ως εξής: D H = J + (äéáöïñéêþ µïñöþ νόµου Ampee-Maxwell) (4a) t ρ ρ [Η (4α) δίνει ( H) = = J + J = (εξ. συνέχειας)] t t και d H d = J d + D d dt (ïëïêëçñùôéêþ ìïñöþ νόµουampee-maxwell). (4β) C Με συρρίκνωση της C σε σηµείο, έχουµε από την (4β): d Θ. Gauss d d. J d = D d = ( D) d = ρd dt dt dt Για d / dt = οι (4α) και (4β) ανάγονται στις (α) και (β), αντίστοιχα. 18