ΓΡΜΜΙΚΗ ΕΚΤΟΝΩΣΗ Ι Ορισµένη ποσότητα ιδανικού µονατοµικού αερίου (Cv=3R/) εκτελεί την αντιστρεπτή γραµµική εκτόνωση Β η οποία φαίνεται στο διάγραµµα - του σχήµατος. a) Να υπολογίσετε σε συνάρτηση µε τα o, o τη θερµότητα που απορροφά το αέριο από το περιβάλλον κατά τη διάρκεια της µεταβολής. β) Το αέριο απορροφά θερµότητα σε όλη τη διάρκεια της µεταβολής ή µήπως υπάρχει τµήµα της διαδροµής όπου το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον; ν ναι, ποιο ποσό θερµότητας αποβάλλει το αέριο στο περιβάλλον; γ) Ποια η µέγιστη αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη διάρκεια της µεταβολής; ΠΝΤΗΣΗ Β α) Επειδή ισχύει: AA = BB = συµπεραίνουµε ότι οι καταστάσεις, Β ανήκουν στην ίδια ισόθερµη: TA = TB = T. Άρα: U = nc ( T T ) = AB B A πό το περικλειόµενο εµβαδό του τραπεζίου έχουµε: Β + 3 WAB = ( ) = 4 Εφαρµόζοντας τον 1ο Θερµοδυναµικό Νόµο έχουµε: 3 QAB = WAB+ U AB QAB = (1) 4
Το ποσό αυτό εκφράζει τη συνολική θερµότητα που απορρόφησε το αέριο από το περιβάλλον κατά τη διάρκεια της Β ανεξάρτητα από το αν υπάρχει τµήµα της διαδροµής όπου το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον. β) Η γραµµική µεταβολή του αερίου ικανοποιεί τη σχέση: =a+b Για την κατάσταση ισχύει: o=ao+b Για την κατάσταση B ισχύει: o/=a.o+b Λύνοντας το σύστηµα έχουµε: a=-(o/o) και b=3o/ Οπότε η γραµµική µεταβολή του αερίου ικανοποιεί τη σχέση: Β =-(o/o)+3o/ () Έστω ότι υπάρχει κατάσταση Ζ πάνω στην Β όπου στη διάρκεια της Ζ το αέριο απορροφά θερµότητα από το περιβάλλον, ενώ στη διάρκεια της ΖΒ το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον. Εφαρµόζοντας τον 1ο Θερµοδυναµικό Νόµο έχουµε: 3 + Q = U + W Q = n R ( T T ) + ( ) Q = 3( ) + + Q = 4 4 + 3 Q = + 6 4 + + + + Q = 7, (, ) Η δευτεροβάθµια ως προς εξίσωση για να έχει πραγµατικές λύσεις πρέπει: 6, 44 16 Q 1, 16 Q 1, 49 1, 16 Q Q Q 16 64
49 64 Άρα: Q = 49 3 48 64 4 64 Όµως: Q = > QAB = = Συνεπώς το αέριο µέχρι την κατάσταση Ζ απορροφά ποσό θερµότητας µεγαλύτερο από το ποσό που απορροφά στην ολική διαδροµή Β. Άρα στη συνέχεια, στη διαδροµή ΖΒ, το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον. 49 ν αντικαταστήσουµε στη δευτεροβάθµια εξίσωση Q = προκύπτει 48 7, 1 όγκος: = = και αντικαθιστώντας στην () προκύπτει 4 8 1 3 9 πίεση: = + = 8 16 Η θερµοκρασία στην κατάσταση Ζ υπολογίζεται από το συνδυαστικό νόµο: 13 = T = T T = T T T 18 Η θερµότητα που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον κατά τη διάρκεια της ΖΒ υπολογίζεται από τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο: 9 3 13 + + 3 7 1 Q 16 B = n R( T T ) + ( ) QB = nr( T ) + ( ) 18 18 8 1 17 4 1 QB = + QB = QB = 6 6 6 64 Βλέπουµε λοιπόν ότι: 49 1 48 3 Q + Q = + ( ) = = = Q 64 64 64 4 B AB γ) Κατά τη διάρκεια της Β η θερµοκρασία δεν παραµένει σταθερή. Για να υπολογίσουµε τη µέγιστη αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη διάρκεια της µεταβολής αρκεί να βρούµε τη µέγιστη θερµοκρασία κατά τη διάρκεια της µεταβολής. ντικαθιστούµε στη () την πίεση από την καταστατική εξίσωση: =nrt/
nrt 3 3 () = + nrt = + Όµως nr=oo/to, οπότε: oo 3 3 oo T = + + T = T T o o Η δευτεροβάθµια ως προς εξίσωση για να έχει πραγµατικές λύσεις πρέπει: 9 o o 9 o o 9 9 4 T T T T T = T 4 T 4 T 8 8 max Έστω Η η κατάσταση ισορροπίας όπου Τ=Τmax=9To/8. Στο τµήµα Η της µεταβολής Β η θερµοκρασία, άρα και η εσωτερική ενέργεια αυξάνει συνεχώς. Οπότε: 3 9 3 To 3 3 U max = U = nc ( T T ) = n R( T T ) = nr = nrt U = 8 8 16 16 AH H A o o o AH o o Στη συνέχεια ακολουθεί ένα δεύτερο παράδειγµα γραµµικής εκτόνωσης όπου µπορούµε να επαληθεύσουµε όλα τα παραπάνω. ΓΡΜΜΙΚΗ ΕΚΤΟΝΩΣΗ Ι Ι Ορισµένη ποσότητα ιδανικού µονατοµικού αερίου (Cv=3R/) εκτελεί την αντιστρεπτή γραµµική εκτόνωση Β η οποία φαίνεται στο διάγραµµα - του σχήµατος. ν η θερµοκρασία στην κατάσταση είναι T = 3K : A a) Να υπολογίσετε τη θερµότητα που απορροφά το αέριο από το περιβάλλον κατά τη διάρκεια της µεταβολής. β) Το αέριο απορροφά θερµότητα, 1 1 N/m Β T,, m 3
σε όλη τη διάρκεια της µεταβολής ή µήπως υπάρχει τµήµα της διαδροµής όπου το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον; ν ναι, ποιο ποσό θερµότητας αποβάλλει το αέριο στο περιβάλλον; γ) Ποια η µέγιστη αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη διάρκεια της µεταβολής; ΠΝΤΗΣΗ α) Επειδή ισχύει: AA = BB =, 1 J συµπεραίνουµε ότι οι καταστάσεις, Β ανήκουν στην ίδια ισόθερµη: T = T = 3K. Άρα: A B, 1 N/m U = nc ( T T ) = AB B A πό το περικλειόµενο εµβαδό του τραπεζίου έχουµε: 1 Β T,, m 3 (,+ 1) 1 (,,), 1 4 AB WAB = J W = J Εφαρµόζοντας τον 1ο Θερµοδυναµικό Νόµο έχουµε: 4 QAB WAB U AB QAB, 1 J = + = (1) Το ποσό αυτό εκφράζει τη συνολική θερµότητα που απορρόφησε το αέριο από το περιβάλλον κατά τη διάρκεια της Β ανεξάρτητα από το αν υπάρχει τµήµα της διαδροµής όπου το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον. β) Η γραµµική µεταβολή του αερίου ικανοποιεί τη σχέση: a b S I = +... = 1 + 3, 1 (. ) () Έστω ότι υπάρχει κατάσταση Ζ πάνω στην Β όπου στη διάρκεια της Ζ το αέριο απορροφά θερµότητα από το περιβάλλον, ενώ στη διάρκεια της ΖΒ το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον.
, 1 N/m 1 Β T,, m 3 Εφαρµόζοντας τον 1ο Θερµοδυναµικό Νόµο έχουµε: 3 ( ) A+ Q = U + W Q = n R T TA + ( A ) Q = 3( ) + +... A A A A A A + + = 6 1 17, 1 (,7 1 Q ) Η δευτεροβάθµια ως προς εξίσωση για να έχει πραγµατικές λύσεις πρέπει: 1 1 9, 1 36, 1 16 1 16 1 Q Q J Q 646, J 16 Άρα: Q = 646, J Όµως: Q = 646, J > Q = J AB Συνεπώς το αέριο µέχρι την κατάσταση Ζ απορροφά ποσό θερµότητας µεγαλύτερο από το ποσό που απορροφά στην ολική διαδροµή Β. Άρα στη συνέχεια, στη διαδροµή ΖΒ, το αέριο αποβάλλει θερµότητα στο περιβάλλον.
ν αντικαταστήσουµε στη δευτεροβάθµια εξίσωση Q = 646, J προκύπτει όγκος: προκύπτει πίεση: 17, 1 = =, 437m 4 1 N = 1,31 1 m 3 και αντικαθιστώντας στην () Η θερµοκρασία στην κατάσταση Ζ υπολογίζεται από το συνδυαστικό νόµο: AA = T = TA T = 367,K T T A A A Η θερµότητα που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον κατά τη διάρκεια της ΖΒ υπολογίζεται από τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο: 3 ( ) + B QB = n R TB T + ( B )... QB = 3.96, J Βλέπουµε λοιπόν ότι: Q + Q = 6.46, J 3.96, J =.J = Q B AB γ) Κατά τη διάρκεια της Β η θερµοκρασία δεν παραµένει σταθερή. Για να υπολογίσουµε τη µέγιστη αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη διάρκεια της µεταβολής αρκεί να βρούµε τη µέγιστη θερµοκρασία κατά τη διάρκεια της µεταβολής. ντικαθιστούµε στη () την πίεση από την καταστατική εξίσωση: =nrt/ nrt 1 1 3, 1... 1 3, 1 T = + + 64 = Η δευτεροβάθµια ως προς εξίσωση για να έχει πραγµατικές λύσεις πρέπει: 1 Τ Τ Κ Τ = 3 1 1 1, 1 1 39 max 39 K Έστω Η η κατάσταση ισορροπίας όπου Τ=Τmax=39K. Στο τµήµα Η της µεταβολής Β η θερµοκρασία, άρα και η εσωτερική ενέργεια αυξάνει συνεχώς. Οπότε:
3 3 U = U = nc ( T T ) = n R( T T ) = ( T T ) U = U = 16.87J max A A AH H A H A H A max AH TA Θοδωρής Παπασγουρίδης aasgou@gmail.com