ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ενότητα 1: Αξιολόγηση Επενδύσεων (1/5) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Η εξοικείωση των σπουδαστών με βασικές έννοιες που αφορούν τη σκοπιμότητα των έργων και των επενδύσεων, τον πολυδιάστατου χαρακτήρα τους και να αντιληφθούν τη γενικότερη σημασία τους στη βιωσιμότητα τους και στην οικονομική ανάπτυξη. 4

Περιεχόμενα ενότητας (1 από 2) Kεφάλαιο. Τόκος (απλός-σύνθετος). Επιτόκιο. Τελική Αξία. Προβλήματα. Ράντες. 5

Περιεχόμενα ενότητας (2 από 2) Ληξιπρόθεσμη Ράντα. Μέλλουσα Ράντα. Διηνεκής Ράντα. Διηνεκής Ράντα με γεωμετρική αύξηση των όρων. Προβλήματα. 6

Kεφάλαιο Κεφάλαιο καλείται κάθε χρηματικό ποσό, το οποίο όταν δανειστεί ή αποταμιευτεί αποκτά παραγωγική ικανότητα. 7

Τόκος Τόκος είναι η πρόσθετη αμοιβή, την οποία δίνει ο οφειλέτης στο δανειστή, για το δικαίωμα της χρησιμοποιήσεως ή εκμεταλλεύσεως του κεφαλαίου του. 8

Επιτόκιο Επιτόκιο είναι ο τόκος κεφαλαίου μιας νομισματικής μονάδας για μια χρονική περίοδο. 9

Απλός Τόκος Κατά τη λήξη της πρώτης χρονικής περιόδου ο δανειστής εισπράττει τον τόκο και αφήνει για την επόμενη, δεύτερη χρονική περίοδο, να τοκίζεται μόνο το κεφάλαιο που δάνεισε, οπότε στο τέλος της δεύτερης περιόδου εισπράττει ξανά τον τόκο. 10

Σύνθετος τόκος ή ανατοκισμός Κατά τη λήξη της πρώτης περιόδου ο δανειστής δεν εισπράττει τον τόκο, άλλα τον αφήνει στα χέρια του οφειλέτη, για να προστεθεί στο αρχικό κεφάλαιο που δανείστηκε και να σχηματιστεί έτσι ένα νέο κεφάλαιο (αρχικό + τόκος). Το νέο κεφάλαιο παράγει για δεύτερη περίοδο νέο τόκο, που θα προστεθεί πάλι στο κεφάλαιο κ.ο.κ. 11

Υπολογισμός Απλού Τόκου I: Τόκος. Κ: Κεφάλαιο. n: Χρόνος σε έτη. i: Επιτόκιο. I=K n i 12

Τοκοφόρες Ημέρες Το πολιτικό έτος: Οι μήνες έχουν τον πραγματικό αριθμό ημερών, και το έτος 365 ημέρες. Εμπορικό έτος: Οι μήνες έχουν 30 μέρες και το έτος 360 ημέρες. Μικτό έτος: Οι μήνες έχουν τον πραγματικό αριθμό ημερών, ενώ το έτος 360 ημέρες. 13

Προβλήματα (1 από 13) Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 50.000 δρχ. που τοκίστηκε με απλό τόκο και με ετήσιο επιτόκιο 0,12 για 5 έτη. Λύση I = K n i I = 50.000 * 5 * 0,12 I = 30.000 δρχ. 14

Προβλήματα (2 από 13) Να βρεθεί ο τόκος ποσού 100.000 προς επιτόκιο 18 % για χρονικό διάστημα 4 μηνών. Λύση I = K *μ/12* i I = 100.000 * 4/12 * 0,18 I = 6.000 δρχ. 15

Προβλήματα (3 από 13) Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 20.000 το οποίο τοκίστηκε με 8 % το εξάμηνο για δυο έτη και έξι μήνες. Λύση Εξάμηνα = 2* 2 + 1 = 5. I = K n I I = 20.000 *5 * 0,08 I = 8.000 δρχ. 16

Προβλήματα (4 από 13) Πόσο τόκο φέρνει κεφάλαιο 100.000 σε 8 μήνες με 12 %; Λύση I = K *μ/12* i I = 100.000 * 8/12 * 0,12. I = 8.000 δρχ. 17

Προβλήματα (5 από 13) Κεφάλαιο 100.000 δρχ. τοκίζεται προς επιτόκιο 18 % από 15 Μαρτίου μέχρι 5 Ιουνίου. Να βρεθεί ο τόκος. Έτος μικτό και πολιτικό. Λύση Μέρες = 15 Μαρ 5 Ιουν = 82. I = K *ν/360* i I = 100.000 * 82/360 * 0,18. I = 4.100 δρχ. (Έτος μικτό). 18

Προβλήματα (6 από 13) Κεφάλαιο 100.000 τοκίζεται προς επιτόκιο 18 % από 15 Μαρτίου μέχρι 5 Ιουνίου. Να βρεθεί ο τόκος. Έτος μικτό και πολιτικό. Λύση Μέρες = 15 Μαρ 5 Ιουν = 82. I = K *ν/360* i I = 100.000 * 82/365 * 0,18. I = 4.040 (Έτος Πολιτικό Εφαρμογή από Τράπεζες). 19

Τελική Αξία Ένα κεφάλαιο Κ σε χρονικό διάστημα n τοκιζόμενο με απλό τόκο προς επιτόκιο i θα φέρει στο τέλος του χρονικού διαστήματος τόκο I. Η αξία του ποσού Κ επομένως μετά n χρόνο θα είναι το άθροισμα Ι+Κ. Το άθροισμα αυτό καλείται τελική αξία. Κ n = K 0 + I 20

Προβλήματα (7 από 13) Να βρεθεί η τελική αξία ποσού 1.000.000 που τοκίζεται με απλό τόκο προς 15 % για χρονικό διάστημα 3 μηνών. Λύση Κ n = K 0 + I =Κ 0 + Κ 0 *i*μ/12 = Κ 0 (1+ i*μ/12)= 1.000.000 (1+ 0,15 *3/12)= 1.037.500 21

Προβλήματα (8 από 13) Ένα κεφάλαιο τοκίστηκε επί 4 μήνες προς 15 % και έγινε μαζί με τους τόκους του 105.000. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο. Λύση 22

Προβλήματα (9 από 13) Κεφάλαιο τοκίστηκε επί 60 ημέρες και έγινε μαζί με τους τόκους 101.000. Τo τοκοκεφάλαιο 101.000 τοκίστηκε πάλι επί 90 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε μαζί με τους τόκους του 102.515. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο. Έτος μεικτό. 23

Προβλήματα (10 από 13) Λύση 102.515-101.000 =1515 = Ι Τόκος i = 0,06 Επίσης Κ n =K 0 (1+in) 24

Προβλήματα (11 από 13) Ποιο κεφάλαιο τοκιζόμενο προς 18 % έδωσε σε 4 μήνες τόκο 6000. Λύση 25

Προβλήματα (12 από 13) Μετά πόσο χρόνο κεφάλαιο 100.000 τοκιζόμενο προς 18 % θα φέρει τόκο 9000. Λύση 26

Προβλήματα (13 από 13) Κεφάλαιο 1.000.000 δρχ. σε 3 μήνες έφερε τόκο 4000. Ποιο το επιτόκιο; Λύση 27

Σύνθετος Τόκος (1 από 3) Κατά τη λήξη της πρώτης περιόδου ο δανειστής δεν εισπράττει τον τόκο, άλλα τον αφήνει στα χέρια του οφειλέτη, για να προστεθεί στο αρχικό κεφάλαιο που δανείστηκε και να σχηματιστεί έτσι ένα νέο κεφάλαιο (αρχικό + τόκος). Το νέο κεφάλαιο παράγει για δεύτερη περίοδο νέο τόκο, που θα προστεθεί πάλι στο κεφάλαιο κ.ο.κ. 28

Σύνθετος Τόκος (2 από 3) Κάθε χρονική διάρκεια που γίνεται κεφαλαιοποίηση των τόκων λέγεται περίοδος και μπορεί να είναι το έτος το εξάμηνο, το τρίμηνο κτλ. 29

Σύνθετος Τόκος (3 από 3) Το κεφάλαιο που κατατίθεται αρχικά λέγεται αρχικό ή αρχική αξία, ενώ το ποσό που εισπράττεται στο τέλος του ανατοκισμού λέγεται τελική αξία. 30

Υπολογισμός Ανατοκισμού (1 από 2) Κ Τελική Αξία Κ ο Παρούσα Αξία i Επιτόκιο n - Χρόνος Κ= Κ ο (1+ i ) n 31

Υπολογισμός Ανατοκισμού (2 από 2) Το Επιτόκιο (i) παραμένει σταθερό στη διάρκεια των n περιόδων. Το Επιτόκιο (i) πρέπει να αναφέρεται στην αυτή χρονική περίοδο που αναφέρεται η περίοδος ανατοκισμού. 32

Πρόβλημα (1 από 2) Να βρεθεί το ύψος κεφαλαίου επιτόκιο 6% μετά 20 έτη. Λύση 1.000.000 με Κ n = Κ ο (1+ i) n = 1.000.000(1.06) 20 = =3.207.135,472 33

Πρόβλημα (2 από 2) Οφείλει κάποιος να πληρώσει μετά 10 έτη 1.500.000. Προκατέβαλε μετά 3 έτη 100.000. και μετά 2 έτη αργότερα 150.000. Αν θέλει να εξοφλήσει το χρέος του 3 έτη ενωρίτερα τι ποσό πρέπει να πληρώσει. Η κεφαλαιοποίηση είναι ετήσια με 10 %. 34

Λύση (1 από 9) 35

Λύση (2 από 9) 0 1 2 3 4 5 5 3 2 Κ ο = 5.000.000 + 3.000.000/(1.07) 2 + 2.000.000/(1.07) 5 = 9.046.288 36

Πρόβλημα (3 από 9) Αγόρασε κάποιος ένα σπίτι. Κατά τη στιγμή της αγοράς έδωσε 5.000.000 δραχμές μετά 2 έτη έδωσε άλλα 3.000.000 και μετά 3 έτη έδωσε 2.000.000. Ποια η αξία του σπιτιού αν η κεφαλαιοποίηση είναι ετήσια με 7 %. 37

Πρόβλημα (4 από 9) Καταθέσαμε στο Ταχυδρομικό Ταμιευτήριο με ετήσιο ανατοκισμό 20.000 δρχ. και με ετήσιο επιτόκιο 6 %. Να βρεθεί το ύψος του κεφαλαίου μετά 5 έτη και 8 μήνες. Λύση: = 20.000 (1,06) 5+8/12 =20.000 (1.06) 5 (1,06) 8/12 = 20.000 * 1,33822 * 1,03961 = 27824,54 38

Πρόβλημα (5 από 9) Κεφάλαιο 20.000 δρχ. ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3 % επί 5 έτη και 8 μήνες. Να βρεθεί το τελικό κεφάλαιο. Λύση: 5 έτη και 8 μήνες 2* 5 + 1 = 11εξάμηνα Και 2 μήνες Κ n+μ/12 = Κ ο (1 + i) n+m/12 = 20.000 (1,03) 11+2/6 =20.000 (1.03) 11 (1,06) 2/6 = 20.000 * 1,3842 * 1,0099 = 27958,7 39

Πρόβλημα (6 από 9) Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 3.000.000 τα οποίο έχει επενδυθεί με επιτόκιο 2 % το εξάμηνο για 9,5 χρόνια. Λύση 9,5 χρόνια = 19 εξάμηνα Κ n = Κ ο (1+ i) n = 3.000.000(1.02) 19 =4.370.434 40

Πρόβλημα (7 από 9) Κατετέθη ποσό 1.000.000 δρχ. σε μια τράπεζα. Το ποσό παρέμεινε στην τράπεζα 10 έτη. Κατά τα πρώτα 4 έτη η κεφαλαιοποίηση ήταν ετήσια προς επιτόκιο 4 %. Για το υπόλοιπο χρονικό διάστημα η κεφαλαιοποίηση γινόταν στο τέλος κάθε εξαμήνου προς ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο 6 %. Να βρεθεί το ύψος του κεφαλαίου. Λύση: K n = 1.000.000 (1,04) 4 * (1,03) 12 = 1.000.000 * 1,169858 * 1,42576 = =1.667.937 41

Πραγματικό Επιτόκιο Αν έχουμε 100.000 με ονομαστικό επιτόκιο 10 % και η κεφαλαιοποίηση γίνεται κάθε εξάμηνο τότε το εξαμηνιαίο επιτόκιο είναι 0,05 και η τελική αξία είναι: Κ n = 100.000 (1,05) (1,05) =110250. To πραγματικό επιτόκιο είναι (1+J/μ) μ =1+ i i = (1+J/μ) μ 1= (1+0,10/2) 2-1 = 0,10250 άρα 10.25 % Η απόδοση με το πραγματικό επιτόκιο είναι: Κ n = 1.10250 * 100.000 = 110250. 42

Πρόβλημα (8 από 9) Ένας επιχειρηματίας αγόρασε εμπορεύματα αξίας 5.000.000 και συμφώνησε να εξοφλήσει το ποσό αυτό ως εξής: Θα δώσει μετά ένα έτος ένα ποσό Χ, μετά πέντε έτη το διπλάσιο και μετά δέκα έτη από σήμερα το τριπλάσιο. Ποια η αξία το ποσών αυτών αν η κεφαλαιοποίηση γίνεται κάθε έτος με επιτόκιο 3 %. Λύση 0 1 5 10 Χ 2Χ 3Χ 43

Πρόβλημα (9 από 9) 44

ΡΑΝΤΕΣ (1 από 6) Ράντα είναι μια σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ή λήγουν ανά ίσα χρονικά διαστήματα. Όρος της ράντας λέγεται καθένα από τα ποσά που αποτελούν τη σειρά και παριστάνεται με το σύμβολο R. 45

ΡΑΝΤΕΣ (2 από 6) Αν οι όροι είναι ίσοι μεταξύ τους, η ράντα λέγεται σταθερή, ενώ αν είναι άνισοι, λέγεται μεταβλητή. Το διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών όρων της ράντα λέγεται περίοδος ράντας. 46

ΡΑΝΤΕΣ (3 από 6) Ληξιπρόθεσμη λέγεται μια ράντα όταν ο κάθε όρος της καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου. Προκαταβλητέα λέγεται η ράντα, όταν κάθε όρος της καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου. 47

ΡΑΝΤΕΣ (4 από 6) Παρούσα Αξία της ράντας λέγεται το ποσό που είναι ίσο με τη συνολική αξία όλων των όρων της σε μια ορισμένη στιγμή. Αν η χρονική στιγμή συμπίπτει με την αρχή της ράντας, η παρούσα αξία της λέγεται και Αρχική Αξία. Τελική Αξία λέγεται η αξία της ράντας στο τέλος της τελευταίας περιόδου. 48

ΡΑΝΤΕΣ (5 από 6) Εποχή Υπολογισμού λέγεται η χρονική στιγμή που βρισκόμαστε. Άμεσος λέγεται η ράντα, αν η εποχή υπολογισμού συμπίπτει με την αρχή της ράντας. Μέλλουσα λέγεται η ράντα, αν η εποχή υπολογισμού βρίσκεται λ περιόδους, πριν από το σημείο της αρχής της. 49

ΡΑΝΤΕΣ (6 από 6) Αρξάμενη λέγεται η ράντα, αν η εποχή υπολογισμού βρίσκεται λ περιόδους μετά το σημείο της αρχής της. Πρόσκαιρη λέγεται η ράντα όταν το πλήθος των όρων της είναι ορισμένο. Διηνεκής λέγεται η ράντα όταν το πλήθος των όρων της είναι άπειρο. 50

Ληξιπρόθεσμη Ράντα (1 από 2) Παρούσα Αξία Άμεσης, Ληξιπρόθεσμης, Πρόσκαιρης Ράντας. α i nl Αρχική αξία μιας νομισματικής μονάδας με επιτόκιο i και n περιόδους. Α nl = R α i nl - Αν ο κάθε όρος είναι R νομισματικές μονάδες. 51

Ληξιπρόθεσμη Ράντα (2 από 2) Να βρεθεί το ποσό που πρέπει να καταθέσουμε σήμερα σε μια τράπεζα με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 7 %, για να έχουμε δικαίωμα να αποσύρουμε 10.000 στο τέλος κάθε έτους και επί 10 έτη. Λύση Α nl = R α i nl = 10.000 * 7,023581 = 70.231,8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 χ 10χ 10 χ Πίνακας 1: Στοιχεία Άσκησης Πηγή: Διδάσκων (2015). 52

Προβλήματα (1 από 33) Ένα ίδρυμα θέλει να χορηγεί κάθε χρόνο μία υποτροφία 100.000 δρχ. και επί 10 χρόνια. Η πρώτη υποτροφία θα χορηγηθεί μετά ένα χρόνο. Ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήμερα το ίδρυμα σε μια τράπεζα, με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 4 % για να μπορεί να δίνει τις 100.000 δρχ. στο τέλος κάθε χρόνου; 53

Προβλήματα (2 από 33) Λύση Α nl = R α i nl = 100.000 * 8,11089578 = 811.089,578 δρχ θα πρέπει να καταθέσει σήμερα. 54

Προβλήματα (3 από 33) Τι ποσό πρέπει να καταθέσουμε σήμερα σε μια τράπεζα με ετήσιο ανατοκισμό και επιτόκιο 10 %, έτσι ώστε να μπορούμε να εισπράττουμε 90.000 στο τέλος κάθε έτους για 8 έτη. Λύση Α n = R α i n = 90.000 * 5,33 = 479.700 0 1 2 6 7 8 90 χ 90χ 55

Προβλήματα (4 από 33) Μια εταιρία προτείνει στον Κύριο Γεωργίου ένα συνταξιοδοτικό πρόγραμμα από Αμερική με το οποίο θα λαμβάνει 450$ κάθε δυο χρόνια και για 20 χρόνια. Εάν η πρώτη πληρωμή γίνει μετά από δυο χρόνια και το επιτόκιο είναι 3,9323 % ετησίως ποια θα είναι η πραγματική αξία του προγράμματος. Λύση Θα πρέπει να βρεθεί το πραγματικό επιτόκιο για τα δυο χρόνια. Σύμφωνα με το ορισμό του επιτοκίου (ο τόκος μιας νομισματικής μονάδας σε μια χρονική περίοδο) το πραγματικό επιτόκιο στα δύο έτη θα είναι: i =(1,03923) (1,03923) - 1 = 1,08 1 = 0,08. 56

Προβλήματα (5 από 33) Συνολικά έχουμε 10 περιόδους και 8 % επιτόκιο Α10 =R α810 =450*6,71008140= 3020. Αν το επιτόκιο ήταν στο πρώτο χρόνο 4 % και 3 % στο δεύτερο. Το πραγματικό επιτόκιο στα δυο χρόνια θα ήταν: i =(1,04) (1,03) - 1 = 1,0712 1 = 0,0712 Συνολικά θα είχαμε 10 περιόδους και 7,12 % επιτόκιο. 57

Προβλήματα (6 από 33) Ο κύριος Γεωργίου σκέπτεται να αποταμιεύσει χρήματα για τα δυο παιδιά του με σκοπό να τα σπουδάσει στην Αμερική. Το πρώτο θα μπει στο κολέγιο σε 13 έτη και το άλλο σε 17 έτη. Έχει υπολογίσει ότι τα ετήσια έξοδα κάθε παιδιού θα είναι 21.000 $ και καταβάλλονται στην αρχή κάθε έτους. Εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι 5 %, πόσα χρήματα σε δολάρια θα πρέπει να καταθέτει ο Γεωργίου στο τέλος κάθε χρόνου στα επόμενα 12 χρόνια έτσι ώστε να μπορέσει να χρηματοδοτήσει τις σπουδές των παιδιών του (διάρκεια σπουδών 4 έτη). Λύση 58

Προβλήματα (7 από 33) Τα έξοδα των παιδιών στα 8 έτη είναι: Α n =R α 5 8 =21.000*6,4632= 135727 0 12 13 14 15 16 17 Χ PV A 12 135.727 (1,05) 12 R 12 0,05 R 75577 A 12 0,05 12 R 75.577 8,86325 8.527 59

Μέλλουσα Ράντα Παρούσα Αξία Μέλλουσας, Ληξιπρόθεσμης, Πρόσκαιρης Ράντας. Όταν η αρχή της ράντας βρίσκεται σε απόσταση λ έτη από την στιγμή υπολογισμού η ράντα καλείται μέλλουσα και υπολογίζεται προεξοφλώντας την άμεση ράντα. λ/ Α nl = R * α i nl * 1/(1+i) λ 60

Προβλήματα (8 από 33) Ένα επιχειρηματίας δανείζεται σήμερα 1.000.000 δρχ προς 8 % θα εξοφλήσει το δάνειο σε 10 ετήσιες δόσεις αλλά η πρώτη δόση θα δοθεί μετά 3 έτη(στο τέλος του χρόνου 3). Να βρεθεί η αξία κάθε δόσης. 61

Προβλήματα (9 από 33) Λύση λ/ Α nl = R * α i nl * 1/(1+i) λ 2 / Α 10l = R * α 0,08 10l * 1/(1+0,08) 2 1.000.000 = R * 6,71008 * 0,8573 R = 173.836 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R R R R R R R R R R 62

Προβλήματα (10 από 33) Όταν θα αναφερόμαστε στο χρόνο 1 θα εννοούμε το τέλος του χρόνου ένα. Η αρχή του χρόνου 3 είναι το τέλος του χρόνου 2. Η δόση που καταβλήθηκε στο τέλος του χρόνου 3 θα πρέπει να προεξοφληθεί για τρία χρόνια. Ενώ η δόση που καταβλήθηκε στην αρχή του χρόνου 3 θα πρέπει να προεξοφληθεί για δυο έτη. 0 1 2 3 4 5 6 a n 1 1 (1 i) i n 63

Προβλήματα (11 από 33) Ποιο ποσό πρέπει να καταθέσουμε σήμερα σε μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 5 %, για έχουμε δικαίωμα να αποσύρουμε (στο τέλος κάθε έτους και επί 10 έτη) 10.000 δρχ. αρχής γενομένης μετά 5 έτη από σήμερα (στο τέλος του 5 ου έτους). 64

Προβλήματα (12 από 33) Εικόνα 1: Διευκρίνηση Άσκησης Πηγή: Διδάσκων (2015). 65

Προβλήματα (13 από 33) Ποια η αξία ασφαλιστηρίου συμβολαίου που θα μας δίνει μετά 4 έτη 100.000 δραχμές κάθε χρόνο για 10 χρόνια. Το ετήσιο επιτόκιο είναι 5 % και η καταβολές θα γίνονται στο τέλος κάθε χρόνου. Λύση 0 1 2 3 4... Α10 100.000 λ/ Α n = R * α i n * 1/(1+i)λ 0,05 1 3/A 100.000 α 100.000 *7,7 *0,864 665. 280 10 10 3 (1,05) 3/ Α 10 = 665.280 66

Προβλήματα (14 από 33) Η προκαταβλητέα ράντα όταν πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή (1+i) μετατρέπεται σε ληξιπρόθεσμη. Ο όρος R μεταφέρεται από την αρχή της κάθε περιόδου στο τέλος. Για να υπολογίσουμε την τελική αξία ράντας: υπολογίζουμε την αρχική αξία της ράντας και την μεταφέρουμε στο τέλος της ράντας με τον τύπο: Κ= Κ ο (1+ i ) n a n 1 1 (1 i) i n 67

Διηνεκής Ράντα Όταν το πλήθος των όρων μιας ράντα είναι άπειρο, τότε η ράντα καλείται Διηνεκής. Η παρούσα αξία της άμεσης ληξιπρόθεσμης διηνεκούς ράντα είναι: Α l = R * α i l = R/i 68

Προβλήματα (15 από 33) Ένας φιλάνθρωπος θέλει να χορηγεί έπ άπειρο μια ετήσια υποτροφία 1.000.000 δρχ στο τέλος κάθε χρόνου. Αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 4 % ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήμερα ο φιλάνθρωπος για να χορηγείται στο διηνεκές η υποτροφία ; Λύση Α l = R * α i l = R/i = 1.000.000/0,04 = 25.000.000 69

Προβλήματα (16 από 33) Μια επιχείρηση θέλει να χορηγεί έπ άπειρο βοήθεια 10.000.000 στην τοπική κοινότητα όπου βρίσκεται το εργοστάσιό της. Αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 9 % και οι καταβολές γίνονται στο τέλος κάθε χρόνου ποια η αξία της βοήθειας σήμερα. Α = R * α i = R/i = 10.000.000/0,09 = 111.111.111 70

Προβλήματα (17 από 33) Μια εταιρία επενδύσεων κάνει την έκπληξη στους επενδυτές δίνοντας μέρισμα 100 κάθε τρεις μήνες. Εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι 12 % ποια θα πρέπει να είναι η τιμή της μετοχής σήμερα; Λύση Το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 0,12/4=0,03 P 1 = 100/0.03 = 3333,33 71

Προβλήματα (18 από 33) Μια εταιρία ανέλαβε ένα έργο το οποίο πρόκειται να ολοκληρωθεί σε 9 χρόνια και κοστίζει $24.000.000 στο τέλος κάθε έτους. Τα έσοδα από τις δραστηριότητες του έργου θα έρθουν μετά 12 μήνες από την ολοκλήρωσή του. Επίσης η εταιρία υποθέτει ότι θα αυξάνει 4 % τα έσοδα κάθε χρόνου. Αν το επιτόκιο είναι 8 % ποιο θα πρέπει να είναι το ύψος των εσόδων το πρώτο έτος λειτουργίας για να μπορέσει να καλύψει το κόστος; Α n =Rα 8 9 =24.000.000*6,24688791= 150.000.000 0 8 9 10 11 Χ P( ) R 0,08-0,04 (1,08) 9 150.000.000 R 12.000.000 72

Διηνεκής Ράντα με γεωμετρική αύξηση των όρων Όταν το πλήθος των όρων μιας ράντα είναι άπειρο, και οι όροι αυξάνονται γεωμετρικά κατά το ποσοστό g, τότε η παρούσα αξία της διηνεκούς ράντα δίνεται από τον τύπο : Α l = R/(i-g) 73

Προβλήματα (19 από 33) Ο ιδιοκτήτης ενός διαμερίσματος αναμένει εισόδημα 1.000.000 τον επόμενο χρόνο αφαιρώντας τα τυχόν έξοδα (π.χ φόροι). Επίσης προσδοκά ότι το εισόδημα αυτό θα αυξάνει 5 % επ άπειρο. Ποια θα είναι η παρούσα αξία του διαμερίσματος αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 11 %. 74

Προβλήματα (20 από 33) Λύση Α l = R/(i-g) <=> Α l = 1.000.000/(0,11-0,05) <=> Α l = 16.666.667 75

Προβλήματα (21 από 33) Μια επιχείρηση πρόκειται να πληρώσει 200 δρχ. μέρισμα στο τέλος του έτους. Το μέρισμα αναμένεται να αυξηθεί κατά 8 % στα επόμενα 3 χρόνια, έπειτα προσδοκάται ότι η αύξηση θα είναι 4 % στο άπειρο. Το κατάλληλο προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 10 %. Ποια θα πρέπει να είναι η αποτίμηση της μετοχής σήμερα (i=10 %). 0 1 2 3 4 5... 200 200(1,08) 200(1,08) 2 200(1,08) 3 200(1,08) 3 (1,04) 200 1,10 200(1,08) 2 (1,10) 200(1,08) 3 (1,10) 200(1,08) 4 (1,10) 3 200(1,08) (1,04) 0,10 0,04 (1,10) 2 3 A 4 A 182 179 175 172 2983 3691 76

Προβλήματα (22 από 33) Μια εταιρία, εισηγμένη στο Χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης (Dow) πλήρωσε χθες μέρισμα $1,2 στη μετοχή της. Έχει υπολογιστεί ότι το ετήσιο μέρισμα θα αυξάνεται κατά 3%, 4% και 5 % στα επόμενα 3 χρόνια αντίστοιχα και 6 % στη συνέχεια. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 12 % ποια θα πρέπει να είναι η αξία της μετοχής σήμερα. 0 1 2 3 4 D1 D2 D3 D4 D1 = 1,20 * 1,03 = 1,24 D3 = 1,29 * 1,05 = 1,35 D2 = 1,24 * 1,04 = 1,29 D4 = 1,35 * 1,06 = 1,431 1,431 P 0 1,24 1,12 1,29 2 (1,12) 1,35 3 (1,12) 0,12 0,06 3 (1,12) 20,07238 77

Προβλήματα (23 από 33) Ο εισοδηματίας Γεωργίου καταθέτει στην Τράπεζα, στη αρχή κάθε χρόνου, 100.000 με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 6 %. Αυτό γίνεται επί 10 χρόνια. Να βρεθεί το ποσό που θα έχει συσσωρευτεί στον λογαριασμό του Γεωργίου στο τέλος των ετών. a n 1 1 1 1 n 10 (1 i) (1,06) i 0,06 7,36 Επειδή ο πρώτος όρος προκαταβάλλεται θα πολλαπλασιάσουμε όλοι τη σειρά των όρων με (1+ i) μετατρέποντας την σε ληξιπρόθεσμη Α nl =(1+i)R α i nl = 1,06*100.000*7,36= =780.160 Κ= Κ ο (1+ i ) n =780.160(1,06) 10 = 1.397.147,7 78

Προβλήματα (24 από 33) Επειδή ο πρώτος όρος προκαταβάλλεται θα πολλαπλασιάσουμε όλοι τη σειρά των όρων με (1+ i) μετατρέποντας την σε ληξιπρόθεσμη. V nl = (1+ i) R S i nl V 10l = 100.000 * 13,1808 * 1,06 V 10l = 1397164,8 79

Προβλήματα (25 από 33) Ένα ομόλογο με ονομαστική αξία 1000 Ευρώ έχει διάρκεια 2 έτη και τόκο εξαμήνου 4 % της ονομαστικής αξίας (κουπόνι-τοκομερίδιο). Αν το ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 6 % ποια θα είναι η αξία του ομολόγου σήμερα και ποια η αξία του μετά την πληρωμή του πρώτου τόκου; 80

Προβλήματα (26 από 33) Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα μειωθεί το επιτόκιο 2 % ποια θα είναι η νέα αξία του ομολόγου σήμερα και ποια ένα εξάμηνο πριν την λήξη του; P 0 40 1,02 40 (1,02) 2 40 (1,02) 3 40 (1,02) 4 1000 (1,02) 4 1076 P 1 40 (1,02) 1000 (1,02) 1019 81

Προβλήματα (27 από 33) Ο κύριος βασιλείου αγόρασε το Νοέμβριο του 2000, 10ετές ομόλογο στην ονομαστική αξία των 100.000 με επιτόκιο αγοράς 10 % και τοκομερίδιο 10 % της ονομαστικής αξίας. Το Νοέμβριο του 2001 μετά την είσπραξη του τόκου αποφάσισε να πουλήσει το ομόλογο. Εάν το επιτόκιο της αγοράς είναι 7 %, ποια θα πρέπει να είναι η αποτίμηση του ομολόγου; 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Τοκομερ 10 % σημαίνει 100.000 *0,10=10.000 Α n =R α i n =Rα 7 9 =10.000*6,5152= 65152 Αξία ομολόγου P = 65152 + 100.000/(1,07) 9 = 119.580 82

Προβλήματα (28 από 33) Δυο ομόλογα Α και Β ονομαστική αξίας 100.000 δρχ. έχουν ετήσια τοκομερίδια 10 % της ονομαστικής αξίας. Εάν το πρώτο είναι δεκαετές και το δεύτερο εικοσαετές, να βρείτε την τιμή των ομολόγων αν το επιτόκιο είναι α) 9 % και β) 5 % γ)9 % με τοκομερίδιο 5 %. Ποια είναι τα συμπέρασμα; 83

Προβλήματα (29 από 33) α) Επιτόκιο 9 % 100.000 *0,10=10.000 Α n =R α i n =Rα 9 10 =10.000*6,417657= 64.177 Αξία ομολόγου P1=64.177+100.000/(1,09) 10 = 106.418 Α n =R α i n =Rα 9 20 =10.000*9,128545= 91285 Αξία ομολόγου P2=91285+100.000/(1,09) 20 = 109.128 84

Προβλήματα (31 από 33) β) Επιτόκιο 5 % 100.000 *0,10=10.000 Α n =R α i n =Rα 5 10 =10.000*7,7217= 77217 Αξία ομολόγου P1=77.217 + 100.000/(1,05) 10 = 106.418 Α n =R α i n =Rα 5 20 =10.000*12,4622= 124622 Αξία ομολόγου P2=124622+100.000/(1,09) 20 = 142.465 86

Προβλήματα (33 από 33) γ) Επιτόκιο 9 % 100.000 *0,05=5000 Α n =R α i n =Rα 9 10 =5.000*6,417657= 32088 Αξία ομολόγου P1=32088+100.000/(1,09) 10 = 74.329 Α n =R α i n =Rα 9 20 =5.000*9,128545= 45643 Αξία ομολόγου P2 = 45.643 + 100.000/(1,09) 20 = 63486 88

Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Νικόλαος Σαριαννίδης. «ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 89

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 90

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 91