ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ"

Transcript

1 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ

2 Απλός Τόκος Εφαρμόζεται στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, συνήθως μέχρι τριών μηνών ή το πολύ μέχρι ενός έτους. Στον απλό τόκο τα ποσά του Κεφαλαίου και του Τόκου σε όλη την παραγωγική διαδικασία παραμένουν σταθερά. Συμβολισμοί Κ Κεφάλαιο Ι Τόκος Επιτόκιο και είναι ο τόκος του Κεφαλαίου μιας νομισματικής μονάδας σε μια χρονική περίοδο ή ο τόκος Κεφαλαίου 00 νομισματικών μονάδων σε μια χρονική περίοδο n χρόνος, αν ως μονάδα μέτρησης του χρόνου λαμβάνεται το έτος μ χρόνος, αν ως μονάδα μέτρησης του χρόνου λαμβάνεται ο μήνας ν χρόνος, αν ως μονάδα μέτρησης του χρόνου λαμβάνεται η μέρα

3 Για τον υπολογισμό του απλού τόκου διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Υπολογισμός του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, εξάμηνα και τρίμηνα I = Kn Παρατήρηση Στην εφαρμογή του τύπου θα πρέπει ο χρόνος και το επιτόκιο να αναφέρονται στην ίδια μονάδα χρόνου. Δηλαδή, αν το επιτόκιο είναι ετήσιο, ο χρόνος θα είναι σε έτη. Αν το επιτόκιο είναι σε εξάμηνα το n θα είναι σε εξάμηνα κ.ο.κ. Εφαρμογές Α. Όταν περίοδος παραγωγής τόκου είναι το έτος Β. Όταν περίοδος παραγωγής τόκου είναι το εξάμηνο Γ. Όταν περίοδος παραγωγής τόκου είναι το τρίμηνο

4 Υπολογισμός του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες I = K 2 αριθμός μηνών που έχει τοκιστεί το Κεφάλαιο Υπολογισμός του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε μέρες I = 360 Μικτό ή Εμπορικό Έτος I = 365 Πολιτικό Έτος

5 Πολιτικό Έτος Εδώ θεωρούμε ότι κάθε μήνας περιλαμβάνει τον πραγματικό αριθμό των ημερών του και ότι το έτος αποτελείται από 365 μέρες ή 366 αν είναι δίσεκτο Μικτό Έτος Εδώ θεωρούμε ότι το έτος έχει 360 μέρες και κάθε μήνας λαμβάνεται με τις πραγματικές του μέρες Εμπορικό Έτος Εδώ θεωρούμε ότι όλοι οι μήνες έχουν 30 μέρες και το έτος αποτελείται από 360 μέρες Παρατήρηση Για τον υπολογισμό των τοκοφόρων ημερών πρέπει να έχουμε υπόψη μας τα εξής:. Μέρα Κατάθεσης χρημάτων σε μια τράπεζα ή σε ένα ταχυδρομικό ταμιευτήριο δεν είναι τοκοφόρος ενώ ημέρα ανάληψης είναι τοκοφόρος 2. Κάθε ποσό που χορηγείται από τράπεζα δίνει τόκο από την ημέρα που έχει χορηγηθεί το δάνειο, ο δε αριθμός των τοκοφόρων ημερών που υπολογίζεται με μια μόνο αφαίρεση

6 Τελική Αξία K = K + I τ o K = K + K n = K ( + n) n o o o Ko K = Ko + = Ko( + ) 2 2 Koν ν = Ko + = Ko( + ) Koν ν = Ko + = Ko( + ) Παρατήρηση Από τις παραπάνω σχέσεις είναι δυνατόν να υπολογισθεί ένα από τα ποσά K, ν,, n, όταν δίνονται τα δυο αλλά και ο τόκος, αρκεί οι παραπάνω τύποι να λυθούν ως προς καθένα από τα ποσά K, ν,, n,

7 Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο του Σταθερού Διαιρέτη και του Τοκάριθμου I = = Ν Όπου N = Τοκάριθμος 360 = Σταθερός Διαιρέτης για Μικτό ή Εμπορικό Έτος 365 = Σταθερός Διαιρέτης για Πολιτικό Έτος Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο των σταθερών πολλαπλασιαστών I = Π = ΝΠ όπου Π= ή Π=

8 Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο ανάλυσης του Κεφαλαίου, του Χρόνου και του Επιτοκίου σε μέρη ανάλογα Με ανάλυση του Κεφαλαίου Από τον τύπο I = προκύπτει ότι Αν K = I = ν. Δηλαδή, αν K ίσο με το σταθερό διαιρέτη τότε ο τόκος ισούται με τον αριθμό των ημερών Αν K τότε προσπαθούμε να αναλύσουμε το Κεφάλαιο σε μέρη ανάλογα προς το σταθερό διαιρέτη Με ανάλυση του χρόνου Αν Αν K v= I = v τότε μερίζουμε το ν σε μέρη ανάλογα του Με ανάλυση του επιτοκίου Αν το επιτόκιο είναι τέτοιο ώστε να μη μας διευκολύνει στις πράξεις, διαλέγουμε ένα βοηθητικό επιτόκιο που μας διευκολύνει στις πράξεις και έπειτα με τη μέθοδο των ανάλογων μερών βρίσκουμε και τον τόκο με το ζητούμενο επιτόκιο

9 Υπολογισμός του Κεφαλαίου στον Απλό Τόκο K = I n K 2I = 360I 365I I K = ή K = ή K = ν ν ν Υπολογισμός του Χρόνου στον Απλό Τόκο n = I K 2I = K 360I 365I I ν = ή ν = ή ν = K K K

10 Υπολογισμός του Επιτοκίου στον Απλό Τόκο = I Kn 2I = K 360I 365I = ή = Εύρεση του Αρχικού Κεφαλαίου σε συνάρτηση της Τελικής αξίας K K o o Kn = + n 2K = Ko = ή Ko = ή Ko = ν ν + ν Παρατήρηση Τα προβλήματα υπολογισμού αρχικής αξίας σε συνάρτηση με την τελική αξία λύνονται και με τη χρήση βοηθητικού κεφαλαίου

11 Υπολογισμός του Συνολικού Απλού Τόκου πολλών Κεφαλαίων με το ίδιο Επιτόκιο K ν Ν Ν I = I I = = Προβλήματα που δίνεται το ελαττωμένο κατά τον τόκο Κεφάλαιο Πολλές φορές στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές συναλλαγές, ο δανειστής μπορεί να κρατήσει προκαταβολικά τον τόκο του Κεφαλαίου που δάνεισε, οπότε ο δανειζόμενος θα λάβει το δάνειο ελαττωμένο κατά τον τόκο του. Επομένως ελαττωμένο κατά τον τόκο κεφάλαιο είναι το ποσό που μένει αν από κάποιο κεφάλαιο αφαιρεθεί ο τόκος του για ορισμένο χρονικό διάστημα. Ko Αρχικό Κεφάλαιο που θέλουμε να υπολογίσουμε σε συνάρτηση του ελαττωμένου Κεφαλαίου K = = ν o K Ko Ko K ν Παρατήρηση Στην περίπτωση του ελαττωμένου Κεφαλαίου μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του βοηθητικού Κεφαλαίου, όπως και στην περίπτωση του αυξημένου

12 Εύρεση του Μέσου Επιτοκίου διαφόρων Κεφαλαίων Μέσο Επιτόκιο καλείται το επιτόκιο με το οποίο πρέπει να τοκίσουμε διάφορα Κεφάλαια, για διάφορους χρόνους, ώστε να πάρουμε τον ίδιο συνολικό τόκο που θα παίρναμε, αν τοκίζαμε τα ίδια Κεφάλαια στους ίδιους χρόνους αλλά με διαφορετικά επιτόκια Συμβολισμός x x K ν Ν Ν = = K ν Ν Ν Ειδικές Περιπτώσεις. Αν ίσα Κεφάλαια τοκίζονται σε ίσα χρονικά διαστήματα, το μέσο επιτόκιο ισούται με τον αριθμητικό μέσο των δοθέντων επιτοκίων x = 2. Αν διαφορετικά Κεφάλαια τοκίζονται σε ίσα χρονικά διαστήματα τότε x = K K K K 3. Αν ίσα Κεφάλαια τοκίζονται σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα τότε ν ν x = ν ν

13 Προεξόφληση σε Απλό Τόκο Γραμμάτιο, Συναλλαγματική πιστωτικοί τίτλοι που αντικαθιστούν χαρτονομίσματα. Είναι έντυπα που συμπληρώνονται με τα στοιχεία του οφειλέτη και του δανειστή και κάποια άλλα στοιχεία. Βασική Διαφορά μεταξύ των δυο παραπάνω πιστωτικών τίτλων είναι ότι το γραμμάτιο σε διαταγή αποτελεί υπόσχεση του οφειλέτη προς τον πιστωτή και αναγράφει «Με το παρόν γραμμάτιο σε διαταγή υπόσχομαι και υποχρεούμαι να πληρώσω σε διαταγή του τάδε στο κατάστημα. Το ποσό Χ». Ενώ η συναλλαγματική αποτελεί εντολή του εκδότη προς τον οφειλέτη να πληρώσει ορισμένο χρηματικό ποσό σε ορισμένο τόπο και χρόνο και αναγράφει «Με την παρούσα και μόνη συναλλαγματική πληρώστε σε διαταγή του τάδε ή σε διαταγή εμένα του ιδίου» Από μαθηματικής άποψης δεν υπάρχει διαφορά ανάμεσα σε συναλλαγματική και γραμμάτιο. Βασικοί Ορισμοί Δικαιούχος ή Κομιστής εκείνος που έχει στη κατοχή του το γραμμάτιο ή την συναλλαγματική και δικαιούται να εισπράξει το αναγραφόμενο ποσό. Ονομαστική Αξία (Κ) του γραμματίου ή της συναλλαγματικής καλείται το ποσό που αναγράφεται στο γραμμάτιο ή στην συναλλαγματική. Παρατήρηση Στην ονομαστική αξία εκτός από το ποσό αναγράφεται και ο τόκος που έχει συμφωνηθεί. Η πληρωμή της συναλλαγματικής γίνεται την

14 ημερομηνία λήξης ή μέχρι την 2 η εργάσιμη μέρα μετά την ημερομηνία λήξης. Λήξη που πρέπει να πληρωθεί το ποσό. Η πράξη με την οποία μεταβιβάζεται η συναλλαγματική σε μια τράπεζα και εισπράττεται από τον κομιστή η παρούσα αξία καλείται προεξόφληση ( η οποία είναι κυρίως έργο των τραπεζών) Το μειωμένο-εισπραττόμενο ποσό που θα εισπράξει ο κομιστής του τίτλου με την εξόφληση μιας συναλλαγματικής πριν από τη λήξη της καλείται παρούσα αξία ή πραγματική αξία Α και είναι πάντοτε μικρότερη από την ονομαστική αξία. Προεξόφλημα ή Υφαίρεση καλείται η διαφορά μεταξύ ονομαστικής και παρούσας αξίας και είναι το ποσό που παρακρατεί η τράπεζα ως τόκο κατά την πράξη της προεξόφλησης. Χρόνος Προεξόφλησης καλείται το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την ημέρα της προεξόφλησης ενός τίτλου μέχρι την ημέρα που λήγει η συναλλαγματική ή το γραμμάτιο.

15 Το επιτόκιο με το οποίο υπολογίζεται το προεξόφλημα καλείται επιτόκιο προεξόφλησης είναι δηλ. το επιτόκιο με το οποίο υπολογίζει η τράπεζα τον τόκο των χρημάτων της κατά την προεξόφληση Εξωτερικό Προεξόφλημα καλείται το προεξόφλημα που υπολογίζεται ως ο τόκος επί της ονομαστικής αξίας από την ημέρα της προεξόφλησης μέχρι την ημέρα της λήξης της συναλλαγματικής. Ενώ Εσωτερικό Προεξόφλημα όταν υπολογίζεται επί της παρούσας αξίας. Αν λάβουμε ως Κεφάλαιο για τον υπολογισμό του τόκου την ονομαστική αξία, τότε η προεξόφληση καλείται εξωτερική, ενώ αν λάβουμε ως Κεφάλαιο την παρούσα αξία, τότε η προεξόφληση καλείται εσωτερική. Παρατήρηση Το εξωτερικό προεξόφλημα είναι πάντοτε μεγαλύτερο από το εσωτερικό. Συμβολισμοί Κ Ονομαστική Αξία Α Παρούσα Αξία Εξωτερικής Προεξόφλησης Ε Εξωτερικό Προεξόφλημα Ε Εσωτερικό Προεξόφλημα Α Παρούσα Αξία Εσωτερικής Προεξόφλησης

16 Τότε, ισχύουν Α = Κ-Ε Α = Κ-Ε Ονομαστική Αξία = Παρούσα Αξία + Προεξόφλημα Παρατήρηση Σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού των τοκοφόρων ημερών στην προεξόφληση, οι τράπεζες υπολογίζουν συνήθως ως τοκοφόρες μέρες την ημέρα που γίνεται η προεξόφληση, την ημέρα που λήγει η συναλλαγματική ή το γραμμάτιο, τις μέρες που παρεμβάλλονται μεταξύ της ημέρας της προεξόφλησης και της ημέρας λήξης και επιπλέον δυο εργάσιμες μέρες μετά τη λήξη. Παρατήρηση Κατά την προεξόφληση οι τράπεζες εκτός από το προεξόφλημα κρατούν τις περισσότερες φορές και διάφορα άλλα ποσά, όπως προμήθεια, ταχυδρομικά, τηλεφωνική έξοδα, εισπρακτικά, ειδικό φόρο τραπεζικών εργασιών και το νόμο χαρτόσημο. Επομένως έχουμε Προεξόφληση χωρίς έξοδα και Προεξόφληση με έξοδα. Προεξόφληση χωρίς Έξοδα Προσδιορισμός του Προεξοφλήματος όταν είναι γνωστή η ονομαστική αξία

17 Εξωτερική Προεξόφληση E = Kn E = K 2 E = ή E = 360(365) Εσωτερική Προεξόφληση E = ή E = + ν 360(365) + ν E K = 2 + E Kn = + n Διαφορά των δυο Προεξοφλημάτων E ( ) 2 E = +ν Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως εξωτερικό προεξόφλημα του εσωτερικού προεξοφλήματος, ως ακολούθως:

18 E E = E ν Και Ως εσωτερικό προεξόφλημα του εξωτερικού προεξοφλήματος, ως ακολούθως: E E = E ν ν + Πραγματικό Επιτόκιο Προεξόφλησης Εάν ο κομιστής της συναλλαγματικής που έκανε την προεξόφληση και έλαβε ποσό Α ή Α θελήσει να έχει στη λήξη της συναλλαγματικής ποσό Κ, όσο η ονομαστική της αξίας, θα πρέπει να τοκίσει τα χρήματα Α ή Α με ένα επιτόκιο τέτοιο ώστε για χρονικό διάστημα ν να λάβει τόκο τόσο ποσό όσο κράτησε η τράπεζα ως προεξόφλημα. Το επιτόκιο αυτό καλείται πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης, συμβολίζεται με t και είναι πάντοτε μεγαλύτερο του επιτοκίου προεξόφλησης. Μόνο στην περίπτωση της εσωτερικής προεξόφλησης χωρίς έξοδα = t 360( K A ) 365( ) t ή t K = = A Aν Aν Προσδιορισμός του Προεξοφλήματος όταν είναι γνωστή η παρούσα αξία Εξωτερική Προεξόφληση

19 Aν A ν E = ή E = ν 360(365) ν A E = 2 Εσωτερική Προεξόφληση E Aν Aν = ή E = 360(365) E = A 2 E = A n Προσδιορισμός της παρούσας αξίας όταν είναι γνωστή η ονομαστική αξία Εξωτερική Προεξόφληση A = K( ν) Εσωτερική Προεξόφληση K A = + ν Προσδιορισμός της ονομαστικής αξίας όταν είναι γνωστή η παρούσα αξία Εξωτερική Προεξόφληση

20 K A = ν Εσωτερική Προεξόφληση K = A ( ) +ν Προσδιορισμός του χρόνου και του επιτοκίου στην προεξόφληση Εξωτερική Προεξόφληση 360(365)E = Εσωτερική Προεξόφληση 360(365)E = Aν Συνολικό Προεξόφλημα και Συνολική Παρούσα Αξία χωρίς Έξοδα E = K ν Παρατήρηση Για να βρούμε τη συνολική παρούσα αξία εξωτερικά, πρέπει να αφαιρέσουμε το συνολικό προεξόφλημα από το άθροισμα των ονομαστικών αξιών των συναλλαγματικών

21 Προεξόφληση με έξοδα π προμήθεια και υπολογίζεται συνήθως σε % το έτος επί της ονομαστικής αξίας για κάθε μήνα και ολόκληρο το μήνα ή όπως καλείται «κατά μήνα αδιαίρετο». Δηλ. το κλάσμα του μήνα λαμβάνεται ως ολόκληρος μήνας. π = K 2 00 ε εισπρακτικά έξοδα και το ποσοστό τους είναι συνήθως 3 %ο κατά χιλιάδα και ολόκληρη χιλιάδα τ ταχυδρομικά έξοδα και υπολογίζονται με έναν ακέραιο ποσό, ανάλογα με τον τόπο πληρωμής της συν/κής φ Ε.Φ.Τ.Ε ειδικός φόρος τραπεζικών εργασιών και ανέρχεται σε ένα ποσοστό της τάξεως 3% του αθροίσματος του προεξοφλήματος, της προμήθειας, των εισπρακτικών και των ταχυδρομικών εξόδων Το συνολικό ποσό που παρακρατεί η τράπεζα όταν η προεξόφληση περιέχει και έξοδα λέγεται σύνθετο προεξόφλημα και διακρίνεται σε εξωτερικό και εσωτερικό ( E+ π + τ + ε + ϕ, E + π + τ + ε + ϕ ) Πραγματικό Επιτόκιο Προεξόφλησης Είναι ο ίδιος τύπος που όπου A= K ( E+ π + τ + ε + ϕ)

22 Ισοδύναμα Γραμμάτια Πολλές φορές εμφανίζεται το φαινόμενο πολλοί πιστωτικοί τίτλοι που έχουν το ίδιο επιτόκιο και λήγουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές να αντικαθίστανται από μια ενιαία συναλλαγματική που θα λήγει έστω μετά από ν μέρες και με το ίδιο επιτόκιο και αντίστροφα η αντικατάσταση μιας συν/κής από πολλές άλλες συν/κές του ιδίου όμως επιτοκίου. Η αντικατάσταση αυτή οφείλεται στην οικονομική ισοδυναμία δηλ. θα αντικατασταθούν οι πολλές συν/κές από μια και αντίστροφα χωρίς κέρδη ή ζημιά. Για να υπάρχει οικονομική ισοδυναμία θα πρέπει την ίδια χρονική στιγμή και με το ίδιο επιτόκιο η παρούσα αξία της συν/κής που θα αντικαταστήσει τις άλλες να είναι ίση με το άθροισμα των παρουσών αξιών των συν/κών που αντικαθίστανται. Η χρονική στιγμή κατά την οποία εξισώνονται οι παρούσες αξίες ονομάζεται εποχή ισοδυναμίας. Ως Εποχή ή Μέρα Ισοδυναμίας μπορεί να θεωρηθεί:. Ημέρα Υπολογισμού δηλ. η μέρα που οι ενδιαφερόμενοι συμφώνησαν να αντικαταστήσουν τις συν/κές 2. Μέρα κατά την οποία λήγει η συν/κή που αντικαθιστά τις άλλες και καλείται κοινή λήξη. 3. Οποιαδήποτε μέρα ισοδυναμίας μπορεί να καθοριστεί από τους ενδιαφερόμενους.(τυχούσα Μέρα)

23 Συμβολισμοί K, K,..., K ονομαστικές αξίες των συν/κών 2 νν2 ν,,..., μέρες λήξης των συν/κών ίδιο επιτόκιο K η συν/κή που πρόκειται να αντικατάστησει αυτές με το ίδιο επιτόκιο Σχέση που ισχύει Παρούσα Α ξία K =Παρούσα Α ξία K Παρούσα Α ξία K Παρατήρηση Κάποια από τα συνηθισμένα προβλήματα που εμφανίζονται κατά τη μελέτη των ισοδύναμων γραμματίων είναι:. Ποια είναι η ονομαστική αξία της συν/κής που αντικαθιστά τις άλλες 2. Πότε λήγει η συν/κή που αντικαθιστά άλλες δηλ. ποια είναι η κοινή λήξη 3. Ποιο είναι το επιτόκιο με το οποίο γίνεται η αντικατάσταση 4. Ποια είναι η ονομαστική αξία ή η λήξη καθεμίας από τις αντικαθιστάμενες συν/κές 5. Ποια η μέση λήξη 6. Ειδικές περιπτώσεις Παρακάτω θα δοθούν οι τύποι που ισχύουν ανάλογα με την περίπτωση που έχουμε και ανάλογα με το τι ζητείται σχηματίζεται η κατάλληλη εξίσωση.

24 Α. Εποχή Ισοδυναμίας η μέρα υπολογισμού α. Εξωτερική Προεξόφληση K E = K E K E K ν = + + K K... K β.εσωτερική Προεξόφληση. K ν = ν + ν + ν K K... K Παρατήρηση Στα ισοδύναμα γραμμάτια η μέρα ισοδυναμίας δεν λογίζεται ως τοκοφόρα ενώ η μέρα λήξης της συν/κής λογίζεται ως τοκοφόρα Β. Εποχή Ισοδυναμίας η Κοινή Λήξη α. Εξωτερική Προεξόφληση K ( ν ν) K ( ν ν) = + + K K... K β.εσωτερική Προεξόφληση.

25 K ( ν ν) K ( ν ν) = ( ν ν) + ( ν ν) K K K Γ. Εποχή Ισοδυναμίας η τυχούσα μέρα ρ α. Εξωτερική Προεξόφληση K( ν ρ) K ( ν ρ) K ( ν ρ) = + + K K... K β.εσωτερική Προεξόφληση. K( ν ρ) K ( ν ρ) K ( ν ρ) = ( ν ρ) + ( ν ρ) + ( ν ρ) K K... K Μέση Λήξη Μέση Λήξη καλείται η κοινή λήξη της ενιαίας συν/κής που αντικαθιστά άλλες και της οποίας η ονομαστική αξία ισούται με το άθροισμα των ονομαστικών αξιών των αντικαθιστάμενων συν/κών Δηλ. ισχύει K = K K

26 Για την εύρεση της μέσης λήξης θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους που μας δίνουν την κοινή λήξη, επειδή η εποχή ισοδυναμίας είναι αδιάφορη λαμβάνουμε ως εποχή ισοδυναμίας την ημέρα υπολογισμού. Οπότε από τους αντίστοιχους τύπους που ισχύουν προκύπτουν: Α. Εξωτερική Προεξόφληση K ν N N ν = = K K K Από τον παραπάνω τύπο προκύπτουν:. Η μέση λήξη είναι ανεξάρτητη του επιτοκίου 2. Αν K ν ν =... = K ν = 3. Η μέση λήξη είναι ανεξάρτητη της μέρας υπολογισμού γιατί ισοδυναμία υπάρχει κάθε στιγμή β. Εσωτερική Προεξόφληση N N ν + ν ν = K K ν + ν

27 Ανατοκισμός ή Σύνθετος Τόκος Στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις εφαρμόζεται ο απλός τόκος ενώ στις μακροπρόθεσμες οικονομικές πράξεις εφαρμόζεται ο σύνθετος τόκος ή ανατοκισμός. Όταν ένα αρχικό Κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο για ένα χρονικό διάστημα το Κεφάλαιο και ο Τόκος παραμένουν σταθερά σε όλη τη διάρκεια του δανείου. Ενώ όταν το Κεφάλαιο τοποθετείται σε ανατοκισμό οι τόκοι κεφαλοποιούνται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου και επομένως τόσο ο τόκος όσο και το τοκιζόμενο Κεφάλαιο αυξάνονται κάθε χρονική στιγμή με επιταχυνόμενο ρυθμό. Το σύστημα αυτό της κεφαλοποίησης στο οποίο ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου αποτελεί παραγωγικό Κεφάλαιο για όλες τις επόμενες χρονικές περιόδους λέγεται ανατοκισμός Ο συνολικός χρόνος που ένα Κεφάλαιο τοκίζεται με ανατοκισμό λέγεται διάρκεια ανατοκισμού. Παρατήρηση Στον ανατοκισμό το Κεφάλαιο αυξάνεται από έτος σε έτος και ό τόκος κάθε περιόδου είναι μεγαλύτερος από τον τόκο της προηγούμενης περιόδου. Ο χρόνος και το επιτόκιο να αντιστοιχούν προς την περίοδο του ανατοκισμού

28 Συμβολισμοί K o n Αρχικό Κεϕάλαιο επιτόκιο n έτη K Τελική Αξία Εύρεση Τελικής Αξίας ενός Κεφαλαίου στον ανατοκισμό όταν ο χρόνος δίνεται σε ακέραιες χρονικές περιόδους K = K ( + ) n n o Εύρεση Τελικής Αξίας ενός Κεφαλαίου στον ανατοκισμό όταν ο χρόνος δίνεται σε μικτό αριθμό χρονικών περιόδων Αν ο χρόνος είναι μικτός δηλ. αποτελείται από ακέραιες περιόδους και λ από το τμήμα όπου λ το πλήθος των περιόδων ανατοκισμού σε ένα 2 έτος και το πλήθος των μηνών της ακέραιας περιόδου, τότε προς εύρεση του τύπου που δίνει την τελική αξία σε ένα Κεφάλαιο στο τέλος; λ Των n + χρονικών περιόδων χρησιμοποιούμε μια από τις παρακάτω 2 δυο συνθήκες: Εκθετική K = K ( + ) n ( + ) λ λ n+ 2 o /2

29 Γραμμική n λ K = Ko( + ) ( + ) 2 λ n+ 2 Παρατήρηση Εάν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, μήνες και μέρες τότε μετατρέπουμε τους μήνες σε μέρες και εφαρμόζουμε τους τύπους: n K = K ( + ) ( + ) ν n+ 360 o v 360 n v K = Ko( + ) ( + ) 360 ν n+ 360 Εύρεση της Αρχικής Αξίας στον Ανατοκισμό K o Kn = = KU n n ( + ) n Εύρεση του χρόνου στον ανατοκισμό K ( ) n n + = K o Εν συνεχεία από πίνακες για ορισμένο επιτόκιο κοιτάμε σε ποιο χρόνο αντιστοιχεί ο λόγος. Εάν το πηλίκο αυτό δεν αντιστοιχεί με ακρίβεια σε

30 ορισμένο αριθμό ετών τότε ο χρόνος υπολογίζεται με γραμμική παρεμβολή ή λογαριθμίζοντας. Εύρεση του επιτοκίου στον ανατοκισμό K ( ) n n + = K o Εν συνεχεία από πίνακες για ορισμένο χρόνο κοιτάμε σε ποιο επιτόκιο αντιστοιχεί ο λόγος. Εάν το πηλίκο αυτό δεν αντιστοιχεί με ακρίβεια τότε το επιτόκιο υπολογίζεται με γραμμική παρεμβολή. Ισοδύναμα Επιτόκια = ( + ) Προεξόφληση στον Ανατοκισμό n E = K ( U ) n K o = KU n n Ισοδυναμία στον Ανατοκισμό Εποχή Ισοδυναμίας ημέρα υπολογισμού n n n KU = K U K U

31 Εποχή Ισοδυναμίας κοινή λήξη K = KU + + K U n n... n n

32 Ράντες Η σειρά των κεφαλαίων, που καταβάλλονται σε ίσα χρονικά διαστήματα για την εξόφληση ενός χρέους ή που κατατίθενται σε ίσα χρονικά διαστήματα για το σχηματισμό μεγάλου κεφαλαίου, καλείται ράντα. Συνεπώς, ράντα καλείται η σειρά των κεφαλαίων που καταβάλλονται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Περίοδος ράντας καλείται ο χρόνος που περιέχεται μεταξύ των δυο διαδοχικών καταθέσεων. Από την περίοδο ονομάζεται ετήσια, εξαμηνιαία, τριμηνιαία, κ.ο.κ. Όρος ή Δόση της ράντας καλείται κάθε χρηματικό ποσό, που καταβάλλεται ή κατατίθεται σε ίσα χρονικά διαστήματα Σταθερή ράντα όταν οι όροι της ράντας είναι ίσοι, εάν όχι καλείται μεταβλητή Εάν ο όρος της ράντας καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου, η ράντα καλείται ληξιπρόθεσμη και εάν στην αρχή προκαταβλητέα.

33 Πρόσκαιρη καλείται η ράντα που το πλήθος των όρων είναι ορισμένο Διηνεκής καλείται η ράντα που το πλήθος των όρων είναι άπειρο Ράντα ζωής καλείται η ράντα που το πλήθος των όρων εξαρτάται από τη ζωή ενός ατόμου και συνεπώς καταβάλλεται όρος, εφόσον το άτομο βρίσκεται στη ζωή Εποχή υπολογισμού καλείται η στιγμή που στεκόμαστε και ζητάμε και ζητάμε να βρούμε την αξία των όρων της ράντας. Εάν η αρχή της ράντας συμπίπτει με την εποχή υπολογισμού της ράντας, τότε η μεν ράντα καλείται άμεση, η δε αξία της αρχική ή παρούσα αξία ράντας. Εάν η αρχή της ράντας είναι μεταγενέστερη από την εποχή υπολογισμού καλείται μέλλουσα, εάν δε προγενέστερη από την εποχή υπολογισμού καλείται αρξάμενη.

34 Συμβολισμοί A Παρούσα ή Αρχική Αξία S Μέλλουσα ή Τελική Αξία R Όρος ή όση n Έτος ή αριθμός περιόδων ράντας Επιτόκιο Εύρεση της Αρχικής Αξίας Σταθερής και Ληξιπρόθρεσμης Ράντας U A= R n Εύρεση της Τελικής Αξίας Σταθερής και Ληξιπρόθρεσμης Ράντας S n ( + ) = R Παρατήρηση Οι τύποι λύνονται και ως προς τις άλλες παραμέτρους ανάλογα με το τι μας δίνεται και με τι ζητείται Εύρεση της Αρχικής Αξίας Σταθερής και Προκαταβλητέας Ράντας n U A= R ( + )

35 Εύρεση της Τελικής Αξίας Σταθερής και Προκαταβλητέας Ράντας ( + ) n S = R ( + ) Ράντα, Σταθερή, Ακέραια, Πρόσκαιρη, Ληξιπρόθεσμη και Μέλλουσα n U A= R ( + ) r S n ( + ) = R Ράντα, Σταθερή, Ακέραια, Πρόσκαιρη, Προκαταβλητέα και Μέλλουσα n U A= R ( + ) r n ( + ) S = R ( + ) Ράντα, Σταθερή, Ακέραια, Διηνεκής, Ληξιπρόθεσμη και Άμεση A = R S =

36 Ράντα, Σταθερή, Ακέραια, Διηνεκής, Προκαταβλητέα και Άμεση R A= ( + ) S = Παρατήρηση Ακέραια καλείται η ράντα όπου n ακέραιος, αν δεν είναι ακέραιος καλείται κλασματική Κλασματικές Ράντες Έστω το επιτόκιο ανατοκισμού και έστω ότι έχουμε μια ράντα που χωράει λ φορές στην χρονική περίοδο του επιτοκίου, τότε για την εύρεση της αρχικής και τελικής αξίας βρίσκουμε το ισοδύναμο επιτόκιο και στην συνέχεια εργαζόμαστε κατά τα γνωστά.

37 Δάνεια

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K Κεφάλαιο. Ανατοκισμός. Εισαγωγή Στη διαδικασία με την οποία ένα κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο, στο τέλος κάθε περιόδου παίρνουμε τον τόκο και αφήνουμε το αρχικό κεφάλαιο να τοκιστεί. Έτσι το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 8: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Ανατοκισμού

Εφαρμογές Ανατοκισμού Εφαρμογές Ανατοκισμού Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Μέσο επιτόκιο - Ισοδύναμα επιτόκια - Αντικατάσταση κεφαλαίων - Ρυθμός πληθωρισμού ΣΤΟΧΟΙ - Εύρεση μέσου επιτοκίου, όταν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Διάκριση Μαθηματικών Έννοια Χρηματοοικονομικών Ορισμοί Χρηματοοικονομικά Τράπεζες Χρηματιστήρια Προεξόφληση Αντικατάσταση Γραμματίων Δάνεια Ομόλογα Αμοιβαία Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Οικονομολόγους

Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ενότητα # 19: Επανάληψη Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Όρος Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Απλός τόκος Έτος πολιτικό Έτος εμπορικό Έτος μικτό Τοκάριθμος Είδη καταθέσεων Συναλλαγματική Γραμμάτιο σε διαταγή Ονομαστική αξία Παρούσα αξία

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας

Ράντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Ράντες Χρήση ραντών Έννοια ράντας Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Χρήση περιοδικών κεφαλαίων (ράντες) Σχηματισμός κεφαλαίου με ισόποσες καταθέσεις Εξόφληση χρέους με δόσεις Μηνιαίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Προεξόφληση με απλό τόκο Εισαγωγή Βασικές έννοιες προεξόφλησης

Κεφάλαιο Προεξόφληση με απλό τόκο Εισαγωγή Βασικές έννοιες προεξόφλησης Κεφάλαιο. Προεξόφληση με απλό τόκο.. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι οι συναλλαγές μεταξύ επιχειρήσεων σπανίως γίνονται με μετρητά. Ειδικά στις χώρες του εξωτερικού οι συναλλαγές με μετρητά καλύπτουν μόνο ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Πρόσκαιρες Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα. Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 10: ΡΑΝΤΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commos εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά ΤΕΙ Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ Κρήτης Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά 1 (1 + ) n PV = A Σημειώσεις Διδασκαλίας Ακαδημαϊκό Έτος 2016-17 Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 5: ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #6: Προεξόφληση στον Απλό Τόκο Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΕΛΕΓΚΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2013 1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) 5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος Κεφάλαιο 5ο Απλός τόκος Υπολογισμός του απλού τόκου όταν αυτός εκφράζεται σε έτη, εξάμηνα, τρίμηνα, μήνες, ημέρες. Στα προβλήματα απλού τόκου συμπλέκονται τέσσερα ποσά. 1) Ο τόκος, ο οποίος θα συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος Στην περίπτωση του ανατοκισμού συναντάμε τέσσερα ποσά: Το αρχικό κεφάλαιο (ή αρχική αξία), που καταθέτουμε αρχικά, το οποίο συμβολίζουμε με, Το τελικό κεφάλαιο (ή τελική αξία) που είναι το ποσό που αποσύρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος

Κεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος Κεφάλαιο 5 5. Ράντες 5.. Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί Είναι σύνηθες στις μέρες μας να καταθέτουν οι γονείς κάποιο ποσό για τα παιδιά τους σε μηνιαία, εξαμηνιαία ή ετήσια βάση έτσι ώστε να συσσωρευτεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ χ ε τ ι κ ά μ ε τ ι ς ε κ τ ι μ ή σ ε ι ς - σ υ ν ο π τ ι κ ά Σεμινάριο Εκτιμήσεων Ακίνητης Περιουσίας, ΣΠΜΕ, 2018 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ Χ Ε Τ Ι Κ Α Μ Ε Τ Ι Σ Ε Κ Τ Ι Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ενότητα 1: Αξιολόγηση Επενδύσεων (1/5) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις Έντυπη Έκδοση Κυριακάτικη Ελευθεροτυπία, Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2010 Επιστρέψαμε στην εποχή του γραμματίου! Του ΜΠ. ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗ Την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

I = Kni. (1) (accumulated amount). I = Kni = 1 1 i.

I = Kni. (1) (accumulated amount). I = Kni = 1 1 i. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗ- ΜΑΤΙΚΑ (FINANCIAL MATHEMATICS) Τα οικονομικά μαθηματικά λύνουν προβλήματα οικονομικών συναλλαγών. Ορισμός 1. Οικονομικές συναλλαγές ονομάζονται οι δοσοληψίες που είναι μετακινήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 9: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Β Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creaive Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2 κεφάλαιο 2 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Σχήμα 3.1 Δύο συναλλαγματικές με λήξεις σε 100 και 150 ημέρες.

Κεφάλαιο 3. Σχήμα 3.1 Δύο συναλλαγματικές με λήξεις σε 100 και 150 ημέρες. Κεφάλαιο. Ισοδυναμία γραμματίων.. Εισαγωγ Ας θεωρσουμε το αντίστροφο πρόβλημα της προεξόφλησης, έστω ότι κάποιος αγοράζει σμερα εμπορεύματα αξίας.00 για τα οποία υπογράφει συναλλαγματικ η οποία λγει σε

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 1: Κεφαλαιοποίηση Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια παραδείγματα Ανατοκισμός Αρχικό κεφάλαιο Κο ή PV Τελικό κεφάλαιο Κ ή FV Επιτόκιο i ή r Χρόνος Ακέραιες

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ kosmid@econ.auth.gr ΣΗΜΕΙΩςΕΙς ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗςΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 11: ΔΑΝΕΙΑ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 2: Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Γραμμάτιο -Συναλλαγματική -Μελλοντική πληρωμή -Παρούσα αξία -Προεξόφληση -Εσωτερικό και εξωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΤΟΜΑΡΑ ΠΑΪΠΟΥΤΛΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Σημειώσεις Μαθήματος Πέτρος Γ. Σολδάτος, Στέλιος Π. Ροζάκης Αθήνα 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο (II) Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών.

Κεφάλαιο 5ο (II) Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών. Κεφάλαιο 5ο () Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους του β μέλους των τύπων: K v και K

Διαβάστε περισσότερα

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα.

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος 2015-2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 1 ο ΣΕΤ. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 7: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,

Διαβάστε περισσότερα

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1] Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Δάνεια Γενικά Δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ Αν οι τόκοι καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου

Κεφάλαιο Δάνεια Γενικά Δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ Αν οι τόκοι καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου Κεφάλαιο 6 6. Δάνεια 6.. Γενικά Το σημαντικότερο και σίγουρα το πιο διαδεδομένο κεφάλαιο των οικονομικών μαθηματικών είναι αυτό των δανείων. Κράτη, δημόσιοι οργανισμοί, επιχειρήσεις αλλά και ιδιώτες χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τόκος. Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος. Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός. Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο

Τόκος. Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος. Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός. Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο Τόκος Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο Το αρχικό κεφάλαιο μεταβάλλεται αυξανόμενο με τον τόκο κάθε χρονικής περιόδου Ανατοκισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 1: Βασικοί Χρηματοοικονομικοί Ορισμοί Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Κάθε έργο αποτελεί ένα οικονομικό μηχανισμό, ο οποίος αναλώνει, αλλά και παράγει χρήμα. Οι εμπλεκόμενοι στο έργο

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 1: Εισαγωγή

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 1: Εισαγωγή Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 1: Εισαγωγή Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 4: Ανατοκισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών Δανάη Διακουλάκη, Καθηγήτρια ΕΜΠ diak@chemeng.ntua.gr Άγγελος Τσακανίκας, Επ. καθηγητής ΕΜΠ atsaka@central.ntua.gr ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Ισοδυναμία Πιστωτικών Τίτλων Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό 2. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1 Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό διάστηµα θέλουµε. Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Διεθνώς ονομάζεται internal rate of return, και συμβολίζεται με IRR. Με τη μέθοδο αυτή δεν χρησιμοποιούμε επιτόκιο υπολογισμού της αξίας της επένδυσης, αλλά υπολογίζουμε το επιτόκιο

Διαβάστε περισσότερα

Απλός τόκος. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση του τύπου υπολογισμού τελικού κεφαλαίου με απλό τόκο.

Απλός τόκος. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση του τύπου υπολογισμού τελικού κεφαλαίου με απλό τόκο. Απλός τόκος Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κο ή PV) - Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κn ή FV) - Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Διοικητική Λογιστική Λογιστική Εταιρειών Διδάσκοντες: Νικόλαος Ηρειώτης & Δημήτριος Μπάλιος Σημειώσεις με θέμα «Πιστωτικοί Τίτλοι»

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 4: Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΟΜΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΕΣΟΔΩΝ

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΟΜΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΕΣΟΔΩΝ 1 3. ΟΜΟΛΟΓΑ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΟΜΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΕΣΟΔΩΝ Ομολογίες σταθερής προσόδου: το επιτόκιο αυτών των χρεογράφων καθορίζονται κατά την έκδοσή τους και παραμένει σταθερό για όλη τη διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 6: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!!

Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία:12Φεβρουαρίου 2018 Πρωί: Χ Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Οικονομίας & Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Αα Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!! 1/10 Ερώτηση 1. Αν η προεξοφλημένη αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 2: ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Υπολογισμός Απλού Τόκου Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΜΟΣΧΟΒΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: 7520

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΜΟΣΧΟΒΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: 7520 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΜΟΣΧΟΒΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: 7520 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη.2 Γενικά 3 Κεφάλαιο 1 ο ΑΠΛΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 1.1 Απλός τόκος ή Ανατοκισμός.7

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ)

ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ) ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ) ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΗΜΕΡΙΝΟΥ ΠΟΣΟΥ Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 180.000, που ανατοκίζεται κάθε 6 μήνες για 10 έτη με ετήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ομόλογο καλείται η μορφή επένδυσης μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων μελών όπου ο ένας «δανείζεται» χρήματα και καλείται εκδότης (πχ. κράτος ή εταιρίες) και ο άλλος «δανείζει» χρήματα και καλείται κάτοχος (πχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας 47 48 49 50 5 l 348480 299692 d 43306 q 0.0 0.2 0.5 2 3 4 5 Η ένταση θνησιµότητας µ +t, 0 t, αλλάζει σε µ +t - c, όπου το c είναι θετικός σταθερός αριθµός. Να

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4 - Σημειώσεις

Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Απροσδιόριστες μορφές και ο κανόνας l'hôpital Έστω ότι ζητούμε το όριο () της συνάρτησης () = () () η οποία δίνεται ως το πηλίκο δύο συναρτήσεων (), (). Τότε, () () () = () = ()

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Πτυχιακής Εργασίας των Σπουδαστών

Επιμέλεια Πτυχιακής Εργασίας των Σπουδαστών ΤΕΙ Μ Ε ΣΟ Λ Ο ΓΓΙΟ Υ ΣΧΟ ΛΗ Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΕΛΕΧΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΕΩΝ & ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα. «ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΙΣΤΕΩΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΤΙΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜ ΙΑΣ»

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Άσκηση (με 40 εγγραφές) Δίδεται ο ισολογισμός έναρξης της επιχείρησης Ε.Κ. την 31/12/10 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Ε.Κ. ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 31/12/10 ΠΑΘΗΤΙΚΟ+Κ.Θ. ΤΑΜΕΙΟ 40000 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 48000

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση Εφαρμογές με Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Απόσβεση - Σύνθετη παραγωγική διάρκεια παγίων - Κεφαλαιοποιημένο κόστος - Καθαρά παρούσα αξία - Εσωτερικός βαθμός απόδοσης - Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Ονομαστικό και Πραγματικό Επιτόκιο Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Δ ι α φ ά ν ε ι ε ς β ι β λ ί ο υ

Δ ι α φ ά ν ε ι ε ς β ι β λ ί ο υ Δ ι α φ ά ν ε ι ε ς β ι β λ ί ο υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ο ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Τι θα δούμε σε αυτό το κεφάλαιο Τι είναι απαίτηση Ποια είναι τα χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία Πως διακρίνονται οι απαιτήσεις Πιστωτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδ. Έτος: 1-1 Θέμα 1 α) Ο επενδυτής μπορεί να εκμεταλλευτεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Λογιστική ΙΙ

Μάθημα: Λογιστική ΙΙ Μάθημα: Λογιστική ΙΙ Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ Απαιτήσεις Λογιστική ΙΙ - ΤΟΕ-ΕΚΠΑ Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ 1 Απαιτήσεις αποτελούν όλες οι αξιώσεις που έχει η επιχείρηση κατά φυσικών ή νομικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 6 Φεβρουαρίου 2019 Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα: Αρχές Οικονομίας & Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Αα Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!! 1/6 Θέμα 1 ο α) (2 Βαθμοί)Ομόλογο με

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΙΑ ΚΕΦ. & ΥΠΟΧΡ. ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΓΡΑΜ. ΕΙΣΠΡΑΚΤΕΑ ΑΣΦΑΛ. ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΙ 500

ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΙΑ ΚΕΦ. & ΥΠΟΧΡ. ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΓΡΑΜ. ΕΙΣΠΡΑΚΤΕΑ ΑΣΦΑΛ. ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΙ 500 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Άσκηση µε 40 εγγραφές ίδεται ο ισολογισµός έναρξης της επιχείρησης «Ε.Κ.» την 31/12/2017: ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΙΑ ΚΕΦ. & ΥΠΟΧΡ. ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΓΡΑΜ. ΕΙΣΠΡΑΚΤΕΑ ΑΣΦΑΛ.

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Βιομηχανικής και Ενεργειακής Οικονομίας ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 ο Εξάμηνο Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28 Άσκηση 1 Η κατασκευαστική εταιρία Κ εξετάζει την περίπτωση αγοράς μετοχών της εταιρίας «Ε» με πληρωμή σε μετρητά. Κατά τη διάρκεια της χρήσης που μόλις ολοκληρώθηκε, η «Ε» είχε κέρδη ανά μετοχή 4,25 και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 4: ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΜΕ ΑΠΛΟ ΤΟΚΟ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα