Operational Programme Education and Lifelong Learning. Continuing Education Programme for updating Knowledge of University Graduates:

Operational Programme Education and Lifelong Learning Continuing Education Programme for updating Knowledge of University Graduates: Modern Development in Offshore Structures 1 - SECTION 8.2 - GDM George D. Manolis, Professor Department of Civil Engineering Aristotle University, Thessaloniki GR-54124, Greece Tel: (+30 2310) 99 5663, Fax: (+30 2310) 99 5769 E-mail: gdm@civil.auth.gr Το παρόν υλικό δημιουργήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Δια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ "Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές" (Επιχειρησιακό Πρόγραμμα "Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση") για αποκλειστική χρήση από τους εκπαιδευόμενους του Προγράμματος. Τυχόν άλλη χρήση του υλικού ή/και αναπαραγωγή αυτού δεν επιτρέπεται, καθόσον αποτελεί πνευματικό δικαίωμα του εκάστοτε διδάσκοντος.

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗ» Πρόγραμμα Δια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ Χρονική Περίοδος: 2014-2016 ΠΕΓΑ: ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ SECTION 8: ANALYSIS AND DESIGN OF MARINE STRUCTURES SUB-SECTION 8.2: DYNAMIC ANALYSIS OF MARINE STRUCTURES Γεώργιος Δ. Μανώλης, καθηγητής Α.Π.Θ. Εργαστήριο Στατικής και Δυναμικής των Κατασκευών Τηλ: +30-2310-995663, Fax: +30-2310-995769 E-mail: gdm@civil.auth.gr 2 - SECTION 8.2 - GDM

k M c y y y 1 : stiffness : mass : damping : displacement : velocity : acceleration ( ) : external load, with f( t ) F f t y 0 : initial displacement y 0 : initial velocity ω : natural frequency DLF : dynamic load factor y st : equivalent static displacement ζ : damping ratio ζ= c ccr = c 2Mω LIST OF SYMBOLS FOR THE SDOF FORMULAS the dimensionless time variation ω d Ω : damped natural frequency : external load frequency ω d =ω 1 ζ 2 3 - SECTION 8.2 - GDM

TABLE 1: SDOF SYSTEM RESPONSE SYNOPSIS ( ) M y+ k y+ c y = F1 f t Dynamic equilibrium equation k y+ y= 0 M y ω ( ) ( ) 0 y = sin ω t + y0 cos ω t Dynamic equilibrium for free vibration Free vibration solution k y+ y= M F 1 M Dynamic equilibrium for zero damping and constant force F 1 ( ( )) y = 1 cos ω t k y y k y DLF = = = y F k F st 1 1 Zero damping solution Dynamic load factor definition 4 - SECTION 8.2 - GDM

DLF = 1 cos( ω t) Dynamic load factor for constant force y y = y0 cos ω t + sin ω t ω st 0 ( ) ( ) t 0 ( ( )) + y ω f (t) sin ω t τ dτ t DLF = 1 cos( ω t) = 1 cos 2 π t t T ( ( d) ) ( ) DLF = cos ω t t cos ω t t t t td t = cos 2 π cos 2 π T T T 1 DLF = sin( ω t) sin ω ( t t ) cos ω t ω t d ( ) d ( ) d d Duhamel's integral for the SDOF system, zero damping DLF for a rectangular pulse load in time DLF for a triangular pulse load in time 5 - SECTION 8.2 - GDM

( ω t) 2 sin DLF = 1 td ω 0 t 1 t 2 d 2 1 td DLF = td t + 2 sin t sin( t) t ω d 2 ω ω 1 t d t t 2 d 2 t = ω ω ω ω t d 2 t t ( d ) ( ) ( ) d DLF 2 sin t sin t sin t t d r ( ω t) 1 sin DLF = t t t r t r ω 1 DLF = 1+ sin( ω ( t tr) ) sin( ω t) t t ω t r DLF for a triangular load in time with rise and fall DLF for a ramp load in time 6 - SECTION 8.2 - GDM

y ( ) ( ) ζ t 0 0 y = e sin ωd t + y0 cos ωd t ωd d +ζ y 2 ω t ζ ω ( t τ) + yst f (t) e sin( ωd ( t τ) ) dτ ω 0 Duhamel's integral for the SDOF system F 1 ζ t y = 1 e cos ω t + sin ω t k ζ ( ) ( ) ω ( ) SDOF system solution for a time-harmonic load M y + k y = F1 sin Ω t SDOF system equation for a time-harmonic load, zero damping 1 Ω DLF = sin Ω t sin ω t 2 2 1 Ω ω ω ( ) ( ) ( ) DLF for a SDOF system solution under timeharmonic loads M y + k y + c y = F1 sin Ω t SDOF system equation for a time-harmonic load 7 - SECTION 8.2 - GDM

( 1 ( d ) 2 ( d )) = ω + ω ζ t y e C sin t C cos t + ( DLF) 2 2 2 ( F1 k) ( 1 Ω ω ) sin( Ω t) 2( ζω ω ) cos( Ω t) 2 2 2 2 2 ( 1 Ω ω ) + 4( ζω ω ) = 2 2 2 ( 1 Ω ω ) + 4( ζω ω ) max 2 2 1 SDOF system complete solution for a timeharmonic load DLF MAX for a SDOF system solution under timeharmonic loads 8 - SECTION 8.2 - GDM

Figure 1: Dynamic Load Factor (DLF) for a SDOF system to (a) rectangular and (b) triangular pulses 9 - SECTION 8.2 - GDM

Figure 2: Dynamic Load Factor (DLF) for a SDOF system to (a) triangular and (b) ramp loads 10 - SECTION 8.2 - GDM

Figure 3: DLF MAX and corresponding time t MAX values for a SDOF system to (a) rectangular and triangular pulses, (b) triangular load and ((c) ramp load 11 - SECTION 8.2 - GDM

12 - SECTION 8.2 - GDM

Figure 4: DLF MAX values versus dimensionless frequency ratio for a SDOF system subjected to a sinuisodal load F(t)=F 0 sin(ωt) 15 - SECTION 8.2 - GDM

Figure 5: Plasticity index μ and corresponding time t MAX values for an elastoplastic SDOF system subjected to (a) rectangular pulse, (b) triangular pulse, (c) ramp load and (d) triangular load 17 - SECTION 8.2 - GDM