Η εξέλιξη της έννοιας του αριθμού: οι συνέπειες των θέσεων του Frege- Σύγκριση των θέσεων του Benacerraf, της Maddy και των στρουκτουραλιστών Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Ιστορία και Φιλοσοφία της Επιστήμης και της Τεχνολογίας» του μεταπτυχιακού φοιτητή Μαρκάτου Κωνσταντίνου Α.Μ.: 011/08 Μάθημα: «Αφηρημένες Οντότητες» Διδάσκων: Στάθης Ψύλλος, Αν. Καθηγητής ΑΘΗΝΑ 2009 1
Αντί προλόγου- Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία θα γίνει μια προσπάθεια καταρχήν ανασκόπηση των θέσεων του Frege για την έννοια του αριθμού με κύριο σκοπό να διερευνηθούν οι συνέπειες αυτών των θέσεων και τα ρεύματα σκέψης στη φιλοσοφία που αυτές οδήγησαν. Επειδή είναι αρκετά δύσκολο σε ένα ολιγοσέλιδο κείμενο να αναλυθεί εκτενώς ο αντίκτυπος και οι συνέπειες των ιδεών του Frege για την έννοια του αριθμού, έμφαση θα δοθεί στην ανάλυση της λογικής του, στην οντολογική βάση των επιχειρημάτων του, στην ανάλυση των ορισμών αλλά και των πορισμάτων που καταλήγει. Στη συνέχεια θα γίνει μια προσπάθεια παρουσίασης του τοπίου που δημιουργείται μετά από τη διατύπωση των θέσεων του Frege. Ουσιαστικά θα παρουσιαστούν τα βασικά ρεύματα σκέψης που ακολούθησαν τόσο τα προσκείμενα στις βασικές του θέσεις όσο και σε αυτά που τις αντικρούουν. Δηλαδή θα γίνει εστίαση στις φυσικαλιστικές ερμηνείες που δόθηκαν στον 20 ο αιώνα για την έννοια του αριθμού και ειδικότερα στην ερμηνεία της Maddy, θα παρουσιαστούν οι θέσεις των στρουκτουραλιστών και θα γίνει σύγκριση όλων αυτών με την ερμηνεία του Benacerraf. Ένα σημαντικό πρόβλημα που προκύπτει σε μια τέτοια συμπύκνωση ενός εκτενούς αντικειμένου σχετίζεται πολλές φορές με την πλημμελή παρουσίαση όσον αφορά την ανάλυση των επιχειρημάτων που στηρίζουν κάποιες φιλοσοφικές θέσεις. Η απλή απαρίθμηση των φιλοσοφικών θέσεων είναι ανεπαρκής τρόπος προσέγγισης ενός τέτοιου αντικειμένου. Ως εκ τούτου κρίνεται προτιμότερο να δοθεί έμφαση σε μια συγκεκριμένη κατηγορία επιχειρημάτων - συμπερασμάτων και να αναζητηθούν οι συνέπειες σε ένα πιο αφηρημένο οντολογικό επίπεδο. Έτσι η προσέγγιση στην έννοια του αριθμού που ταιριάζει αφορά την απάντηση στο ερώτημα της ύπαρξη του ως ανεξάρτητης a priori οντότητας καθώς και να γίνει μια προσπάθεια προσδιορισμού του επιπέδου της πραγματικότητας 2
ύπαρξης του στην περίπτωση που η απάντηση είναι καταφατική. Εδώ αξίζει να σημειωθεί και η συσχέτιση με την Πλατωνική φιλοσοφία και τη Μεταφυσική του Αριστοτέλη ως προς την έννοια του αριθμού. Στον Πλάτωνα ο αριθμός υπάρχει σε μια ενδιάμεση πραγματικότητα ανάμεσα στο επίπεδο των Ιδεών και τον Υλικό κόσμο (4). Συνεπώς υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις μπορεί να βοηθήσει στη θέαση του κόσμου των ιδεών και στη διερεύνηση ενός ανώτερου απροσπέλαστου επιπέδου ύπαρξης (3,4). Έτσι οποιαδήποτε παρουσίαση σύγχρονων απόψεων και φιλοσοφικών τάσεων πρέπει να περιλαμβάνει την αναγωγή στις βασικές θέσεις και την κατηγοριοποίηση απόψεων και επιχειρημάτων σε Πλατωνική βάση. Συνεπώς θα επιχειρηθεί ταυτόχρονα μια αναδρομή στις βασικές θέσεις του Πλατωνικού συστήματος περί αριθμού και ανάλυση των βασικών του θέσεων. 3
Ο αριθμός στον Πλατωνικό κόσμο των Ιδεών Η επίδραση που άσκησε ο Πλάτων και η σκέψη του στην παγκόσμια φιλοσοφία είναι λίγο-πολύ γνωστή. Ο πλατωνισμός κυριάρχησε για πολλούς αιώνες αποτελώντας έναν από τους βασικότερους αστερισμούς στο φιλοσοφικό στερέωμα. Στον αιώνα μας, αιώνα άνθησης των επιστημών, ο ρόλος του υπήρξε αισθητά μικρότερος. Στη φιλοσοφία των μαθηματικών, όμως, η επίδραση του παραμένει ιδιαίτερα σημαντική (1). Είναι ιδιαίτερα διαδεδομένη η ιδέα που διατυπώθηκε από το Godel και αφορά την ανάπτυξη μιας ενόρασης που επιτρέπει στους μαθηματικούς την επαφή με έναν πιο αφηρημένο επίπεδο σκέψης και την επαφή με οντότητες όπως οι αριθμοί. Η μέθοδος αυτή της γνώσης δεν στηρίζεται στην αισθητηριακή γνώση, αλλά είναι ανάλογη της και απόλυτα νόμιμη σύμφωνα με τον ίδιο συγγραφέα (1). Ακόμα ισχυρίζεται ότι η πίστη μας στην ύπαρξη των μαθηματικών οντοτήτων είναι εντελώς ανάλογη της πίστης μας στις θεωρητικές οντότητες της φυσικής, λόγω της λειτουργικής ομοιότητας μεταξύ των δύο (1). Στο Πλατωνικό σύστημα επιπλέον ο αριθμός είναι μια έννοια που στυλοβατεί ανάμεσα στον υλικό κόσμο και τον κόσμο των Ιδεών. Όπως όλες οι μαθηματικές Ιδέες βρίσκονται σε μια πραγματικότητα ανάμεσα στον Ιδεατό κόσμο και τον σκευαστό, άρα πιο πάνω σε επίπεδο αλήθειας και γνώσης από τον υλικό. Μια από τις συνέπειες αυτής της θέσεις είναι ότι ο αριθμός σαν αφηρημένη οντότητα κατέχει ένα επίπεδο ύπαρξης ανεξάρτητο από τον εμπειρικό-υλικό κόσμο. Άρα έχει πρωταρχικότερη θέση στο ιδεαλιστικό σύστημα του Πλάτωνα σε σχέση με τα δεδομένα της εμπειρίας. Είναι το πρότυπο πάνω στο οποίο δομείται ο υλικός κόσμος ως προς την ποσοτικοποίηση του. Αυτού του είδους ο Πλατωνικός ρεαλισμός αναφέρεται σε καθόλου οντότητες που δεν υφίστανται σε συγκεκριμένο χωροχρονικό πλαίσιο και είναι αιτιακά αδρανείς. Υπάρχει ακόμα σύνδεση με τη λογική ανεξαρτησία του κόσμου από το Νου και τελικά οι μαθηματικές οντότητες, και ειδικότερα οι αριθμοί, καθίστανται αναγκαίες οντότητες (1,4). 4
Η έννοια του αριθμού στη φιλοσοφία του Frege Στη φιλοσοφία του Frege οι συναρτήσεις και οι έννοιες είναι λογικά πρότερες των αντικειμένων. Μπορούν δηλαδή να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή νέων αντικειμένων, κάθε ένα από τα οποία προκύπτει, για την περίπτωση των εννοιών, ως συλλογή όλων των αντικειμένων που ήδη υπάρχουν και που ανήκουν στην έννοια. Η πίστη του στη λογική προτεραιότητα των εννοιών και των συναρτήσεων είχε σαν αποτέλεσμα τη χρήση, εκ μέρους του, του όρου λογικά αντικείμενα, για όλες εκείνες τις οντότητες που προκύπτουν με τον παραπάνω τρόπο. Κατά το Frege οι αριθμοί είναι τέτοια λογικά αντικείμενα. Ο ορισμός τους προϋποθέτει κάποια απόδειξη της ύπαρξης τους. Θα πρέπει, δηλαδή, να διασφαλιστεί εκ των προτέρων ότι ο ορισμός που επιχειρείται, δεν στερείται νοήματος. Βασική θέση έχει η απόδειξη ύπαρξης μιας έννοιας που στη συνέχεια ονομάζεται και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ανάλογα με τις ιδιότητές της (1). Επιπλέον βασική είναι η σημασία των αριθμών που χαρακτηρίζονται ως πληθικοί. Σε αυτούς ανήκουν όλοι οι φυσικοί αριθμοί. Σύμφωνα με το Frege, δύο σύνολα αριθμών λέγονται όμοια, αν και μόνο αν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα στα στοιχεία τους έτσι ώστε κάθε στοιχείο και του πρώτου και του δεύτερου συνόλου να έχει το αντίστοιχο του. Κατ επέκταση δύο έννοιες ονομάζονται όμοιες αν τα σύνολα αντικειμένων που ανήκουν σε αυτές είναι όμοια. Ο Frege εξέφρασε την αντίθεση του προς τον εμπειρισμό του Mill. Αυτός υποστήριζε ότι οι αριθμοί δεν συναντώνται ποτέ μόνοι τους αλλά ακολουθούνται πάντα από φυσικά αντικείμενα (1,7). Οι αριθμητικές προτάσεις στον εμπειρισμό εκφράζουν μια συγκεκριμένη σχέση των αριθμητικών εκφράσεων με τη φυσική πραγματικότητα έτσι ώστε μια αριθμητική έκφραση να συμπεριφέρεται συντακτικά ως επιθετικός προσδιορισμός. Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί αντιμετωπίζονται στη σκέψη του Mill ως ιδιότητες φυσικών πραγμάτων ή φυσικών συλλογών. Οι αριθμητικές προτάσεις δεν περιλαμβάνουν πραγματικές αναφορές σε αριθμούς αλλά μόνο σε εμπειρικά αντικείμενα. 5
Ο Frege διαφώνησε με την ερμηνεία του Mill. Κατ αυτόν, οι αριθμοί διαφέρουν από τις ιδιότητες των φυσικών πραγμάτων αφού ο τρόπος που αυτοί συνδέονται με τα φυσικά πράγματα εξαρτάται από το διαφορετικό τρόπο θεώρησης των πραγμάτων αυτών. Επιπλέον ο Frege τόνισε ότι οι αριθμοί δεν είναι οι ίδιοι αισθητά αντικείμενα. Αυτό αποδεικνύεται από το ότι η διαφοροποίηση ως προς τον αριθμό δε συνοδεύεται πάντα από διαφοροποίηση ως προς το φυσικό αντικείμενο (5,8). «Σύμφωνα με το Berkeley πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι ο αριθμός δεν είναι κάτι σταθερό που ενυπάρχει στα φυσικά αντικείμενα. Είναι καθ ολοκληρίαν δημιούργημα του Νου που θεωρεί είτε μια ιδέα καθ αυτήν είτε ένα συνδυασμό ιδεών στον οποίο δίδει ένα όνομα και τον κάνει να φαίνεται ως μια μονάδα. Έτσι όπως ο Νους συνδυάζει τις ιδέες, η μονάδα ποικίλει: και όπως η μονάδα, έτσι και ο αριθμός, που είναι συλλογή μονάδων, επίσης ποικίλει.»(5) Αξιοσημείωτη είναι ακόμα η προσπάθεια να αποβληθεί κάθε στοιχείο υποκειμενικότητας και ψυχολογισμού στη λογική διαδικασία διερεύνησης της έννοιας του αριθμού. Επιπλέον αντιτάσσεται στην Καντιανή παράδοση που ισχυρίζεται ότι προσεγγίζουμε τους αριθμούς με τη συνεργασία της νόησης και της a priori εποπτείας. Ο Frege αντιτάχθηκε και σ αυτή την εξήγηση, θεωρώντας ότι η νόηση είναι επαρκής για τον προσδιορισμό των αριθμών. Η αντικειμενικότητα των αριθμών δεν θεμελιώνεται ούτε στις αισθητηριακές εντυπώσεις και στην εμπειρία αλλά ούτε και στην καντιανή εποπτεία. Βασίζεται μόνο στο λόγο(5,8). Στην παράγραφο 57 του Foundations of Arithmetic, ο Frege χαρακτηρίζει ευθέως τους αριθμούς ως αυθυπόστατα όντα. Είναι ίσως η πρώτη φορά που γίνεται η δήλωση αυτή για τους αριθμούς. Σε αυτό το σημείο εκδηλώνεται ο Πλατωνισμός του συγγραφέα (5). Οι αριθμοί αποκτούν υπόσταση αντικειμένου. Στη συνέχεια αφού διευκρινίζεται η σημασία της σύνταξής και η απόδοση νοήματος μέσα σε μια πρόταση κάθε φορά ίδιου για τον αυτό αριθμό, δίδεται σημασία στην έννοια της 1-1 αντιστοιχίας σε διάφορα σύνολα εννοιών (ευθείες κλπ), και 6
τελικά γίνεται αναφορά στην «αρχή του Hume» μέσω της οποίας προσδιορίζεται η περίφημη ισοδυναμία Ν= : «Ο αριθμός της έννοιας F είναι ο ίδιος με τον αριθμό της έννοιας G αν και μόνο αν οι έννοιες F και G βρίσκονται σε μια 1-1 αντιστοιχία». Η ισοδυναμία Ν= ξεκινά από αντιστοιχίες 1-1 μεταξύ εννοιών για να εισάγει την ειδική έννοια του φυσικού αριθμού, μια έννοια στην οποία εμπίπτουν οι επί μέρους φυσικοί αριθμοί ως αντικείμενα. Επιπλέον το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της Ν= είναι ότι ξεκινά από έννοιες και από 2 ης τάξης λογικές μεταξύ τους για να εισαγάγει μια νέα έννοια, αυτήν του φυσικού αριθμού (5). Το πρόβλημα με τη θέση του Frege για την έννοια του αριθμού προσκρούει στο παράδοξο του Ιουλίου Καίσαρα και εκεί είναι που καταρρέει ο λογικισμός του. Αυτό συνοψίζεται στη θέση ότι στην πρόταση: «Ο αριθμός της έννοιας F = Ιούλιος Καίσαρας» (5) δεν μπορούμε να γνωρίσουμε τον αριθμό αληθείας. Ο Frege ήθελε έναν ορισμό που να διαχωρίζει τις οντότητες σε αριθμούς και μη αριθμούς. Έτσι έχουμε μια αλλαγή πλεύσης στο Foundations με ένα νέο ρητό ορισμό. Σύμφωνα με αυτόν: «Ο αριθμός της έννοιας F είναι κλάση των εννοιών που είναι ισοπληθικές με την F» (5). Με την ισοπληθικότητα αντικαθιστά δηλαδή την 1-1 αντιστοιχία. Και πάλι όμως ο νέος, ρητός ορισμός καταρρέει λόγω του παραδόξου του Russell που πηγάζει από την αδυναμία της αρχής της συμπερίληψης. Έτσι ο λογικισμός του Frege καταρρέει λόγω του παραδόξου του Russell. Στην ουσία ο ορισμός Ν= δεν λειτουργεί ως άμεσος, όπως ήθελε ο Frege, αλλά ως έμμεσος(5,8). 7
Η έννοια του αριθμού σύμφωνα με το Benacerraf Στη συνέχεια, και στο 2 ο μισό του 20 ου αιώνα, εμφανίζεται η διατύπωση των απόψεων του Benacerraf που θέτει ένα σοβαρό πρόβλημα για τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Τον απασχολεί κατά πόσο είναι δυνατόν μια αποδεκτή σημασιολογία για τα μαθηματικά να εναρμονιστεί με μια ικανοποιητική γνωσιολογία. Πιστεύει ότι μια πλήρης φιλοσοφική θεώρηση για τα μαθηματικά απαιτεί τον επιτυχή συνδυασμό και των δύο αυτών συνθηκών, αλλά διαπιστώνει ότι οι έως τώρα θεωρήσεις είτε ικανοποιούν την πρώτη είτε τη δεύτερη συνθήκη χωρίς να καταφέρνουν όμως και τα δύο (5). Στην πρώτη περίπτωση αναφέρεται ο μαθηματικός ρεαλισμός, δηλαδή η θέση ύπαρξης μιας μαθηματικής πραγματικότητας ανεξάρτητης από το Νου, που υιοθετεί μια οντολογία μαθηματικών αντικειμένων και διαθέτει κάποια πλεονεκτήματα από άποψη λογικής δομής και ανάλυσης των μαθηματικών και μη περιοχών της γλώσσας (5,8). Ενώ όμως η ρεαλιστική προσέγγιση παρουσιάζει πλεονεκτήματα στο σημασιολογικό επίπεδο υστερώντας στο γνωσιολογικό, οι διάφορες αντιρρεαλιστικές προσεγγίσεις αντιμετωπίζουν το αντίθετο πρόβλημα αφού ισχυρίζονται ότι αποκτούμε μαθηματική γνώση, αποδεικνύοντας μαθηματικές προτάσεις από άλλες προτάσεις ή αξιώματα (5). Ο συγγραφέας δεν αρνείται τη ρεαλιστική προσέγγιση στους αριθμούς και τις μαθηματικές οντότητες. Απλά προβληματίζεται γιατί η συνήθης θεώρηση των μαθηματικών αντικειμένων ως απομακρυσμένων από το δικό μας επίπεδο πραγματικότητας δεν αφήνει περιθώρια να υποτεθεί ότι είναι δυνατός κάποιος τρόπος σύνδεσης τους με το γνώστη τους. Όμως είναι απαραίτητο οι πεποιθήσεις μας να συνδεθούν με τη μαθηματική πραγματικότητα αν είναι να χαρακτηριστούν αυτές ως γνώση (8). Ο τρόπος σύνδεσης που προτείνει ο Benacerraf για την επίλυση του προβλήματος είναι η αιτιακή σύνδεση ανάμεσα στις πεποιθήσεις μας και στη συνθήκη που επιτρέπει σε μια 8
αφηρημένη οντότητα όπως ο αριθμός να υπάρχει. Αυτό είναι σημαντικού βαθμού πρόβλημα αν σκεφτεί κανείς ότι οι αριθμοί είναι αφηρημένα αντικείμενα αιτιακά αδρανή. Αν δηλαδή οι αριθμοί είναι το είδος των οντοτήτων που υποτίθεται ότι είναι, τότε δεν μπορεί να εξηγηθεί η σύνδεση ανάμεσα στις συνθήκες αληθείας των μαθηματικών προτάσεων και στους ανθρώπους που υποτίθεται ότι έχουν μαθηματική γνώση (8). Τελικά ο Benacerraf θεωρεί ότι κάθε σύνολο αντικειμένων πρέπει να είναι συνεπές και επαρκές, αλλά όχι σε οντολογικό επίπεδο, αλλά όσον αφορά τις σχέσεις των αντικειμένων. Άρα δε δίνει σημασία στα αντικείμενα αλλά στις σχέσεις και στην εσωτερική συνέπεια της δομής. Έτσι καταλήγει ότι οι αριθμοί δεν είναι σύνολα, αλλά και ότι δεν είναι επίσης αντικείμενα. Στη συνέχεια προτείνει τη γλωσσική σημασία των εννοιών (Numbers are just words) και ισχυρίζεται ότι αυτή η σημασία σχετίζεται με τη θέση της σε μια ευρύτερη δομή και από τις ιδιότητες που αποκτά σε κάθε ειδική περίπτωση από το υποκείμενο που χρησιμοποιεί την έννοια. Δηλαδή δίνει έμφαση στην έννοια της δομής και του συστήματος και της βοήθειας που προσφέρουν στην κατανόηση της έννοιας του αριθμού. Από την προσπάθεια ερμηνείας και απάντησης στο δίλημμα του Benacerraf προκύπτει όπως θα δούμε σα φυσική συνέπεια και απάντηση, με τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία της, η στρουκτουραλιστική ερμηνεία στην έννοια του αριθμού (5). 9
Η φυσικοποιημένη φιλοσοφία των μαθηματικών οντοτήτων από τη Maddy Ένα διαφορετικό τρόπο αντιμετώπισης του προβλήματος προτείνει η «φυσικοποιημένη» εκδοχή του μαθηματικού ρεαλισμού. Η P. Maddy, ως βασική εκπρόσωπος αυτής της τάσης του ρεαλισμού, επιχειρεί να εντάξει τους αριθμούς και γενικότερα τις μαθηματικές οντότητες στο επίπεδο πραγματικότητας του υλικού μας κόσμου και να τα παρουσιάσει ως ενεργά αντικείμενα από αιτιακή άποψη. Υποστηρίζει δηλαδή ότι οι αριθμοί είναι τοποθετημένοι στο χώρο και το χρόνο και σε αιτιακή αλληλεπίδραση με το γνώστη τους και έτσι υπερασπίζεται το μαθηματικό ρεαλισμό απέναντι σε αντιρεαλιστές. Η άποψη αυτή προϋποθέτει την ύπαρξη φυσικών αντικειμένων των οποίων η γνώση δεν μπορεί να προέρχεται από πηγές ξένες και μεθόδους ασυμβίβαστες με αυτές των θετικών επιστημών (5,9). Βάση για το ρεαλισμό της Maddy αποτελούν τα επιχειρήματα των Quine και Putnam (9), σχετικά με την αναγκαιότητα αποδοχής μιας οντολογίας για τη συγκρότηση της καλύτερης δυνατής θεωρίας περιγραφής για τον κόσμο. Στον Quine, «ο πραγματισμός δεν θίγει καθόλου το διαχωριστικό όριο αναλυτικού- συνθετικού. Απορρίπτοντας ένα τέτοιο διαχωριστικό όριο υποστηρίζεται ένας πιο πλήρης πραγματισμός. Στον καθένα μας παραδίδεται μια επιστημονική παράδοση μαζί με έναν ασταμάτητο καταιγισμό αισθητηριακών ερεθισμάτων, ενώ οι θεωρήσεις που μας κάνουν να αναθεωρούμε την επιστημονική μας παράδοση υπό το φως των νέων αισθητηριακών ερεθισμάτων είναι, στο βαθμό που είναι λογικές, πραγματολογικής φύσεως.» (2,7) Στη φιλοσοφία του Quine δεχόμαστε τα αφηρημένα αντικείμενα των μαθηματικών για να συνδέσουμε τα δεδομένα της εμπειρίας σε ένα συνολικό σύστημα. Σύμφωνα επιπλέον με την ανάλυση του Putnam υποχρεωνόμαστε εκ των πραγμάτων 10
να κάνουμε αυτήν την παραδοχή. Αυτό συμβαίνει διότι όχι μόνο συμβάλλουν τα μαθηματικά στη συγκρότηση και διατύπωση των επιστημονικών μας θεωριών, αλλά οι επιστημονικές θεωρίες δε θα μπορούσαν να διατυπωθούν χωρίς τα μαθηματικά (9). Η προσέγγιση της Maddy βασίζεται στα παραπάνω επιχειρήματα, αλλά είναι σε συνολοθεωρητική βάση. Επιπλέον, βασιζόμενη στη νευροψυχολογική θεωρία του Hebb προτείνει μια παρόμοια σύνδεση ανάμεσα στα αισθητηριακά αντικείμενα και τις πεποιθήσεις του γνώστη για να δικαιολογήσει την αιτιακή σύνδεση των μαθηματικών οντοτήτων με τον αισθητηριακό κόσμο και να υποστηρίξει την αιτιακή σύνεση των δύο (5). Η P. Maddy ονομάζει τη θεωρία της «φυσικοποιημένο Πλατωνισμό». Η προσέγγιση της όμως είναι περισσότερο Αριστοτελική παρά Πλατωνική, αφού οι μαθηματικές της οντότητες είναι φυσικές και χωροχρονικά εντοπισμένες. Η χρήση του όρου «μαθηματικός Πλατωνισμός» είθισται να συνδέεται παραδοσιακά με κάθε άποψη που δέχεται την αντικειμενική ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων, μια άποψη που και η ίδια προσπαθεί να υποστηρίξει (5,8). 11
Η στρουκτουραλιστική προσέγγιση στην έννοια του αριθμού Ο στρουκτουραλισμός είναι μια άποψη για τα μαθηματικά και την αριθμητική σύμφωνα με την οποία πρωτεύουσας σημασίας είναι οι δομικές σχέσεις συγκριτικά με την εσωτερική αξία των σχετιζόμενων αντικειμένων. Τα μαθηματικά αντιμετωπίζονται σαν διερεύνηση δομικών δυνατοτήτων κυρίως μέσω του δημιουργικού σχεδιασμού. Τα αντικείμενα που απαρτίζουν το σύνολο δεν έχουν ιδιαίτερη εσωτερική σημασία. Εκείνο που μετράει είναι ότι ικανοποιούνται κάποιες γενικές συνθήκες. Μπορεί να πει κανείς ότι ο στρουκτουραλισμός προκύπτει από το δίλημμα του Benacerraf (9), δηλαδή πώς μπορούμε να συνδυάσουμε μια ικανοποιητική σημασιολογία για τα μαθηματικά με μια εξίσου ικανοποιητική γνωσιολογία. Επιπλέον τονίζεται ότι ο στρουκτουραλισμός μπορεί να είναι ante rem (Πλατωνικού τύπου) ή in rem (Αριστοτελικού τύπου). Στη μελέτη της έννοιας του αριθμού από το Dedekind το ζήτημα επικεντρώνεται στον ορισμό ενός απλού άπειρου συστήματος όπου από ένα αρχικό στοιχείο ορίζονται όλα τα υπόλοιπα, βήμα προς βήμα, όπως προκύπτει από τα θεωρήματα του Peano (10). Έτσι τα αντικείμενα που προκύπτουν είναι δομικά πανομοιότυπα και εκείνο που προέχει είναι η μελέτη της δομής, δηλαδή του συνόλου τους. Η προσέγγιση αυτή έρχεται σε κατευθείαν αντίθεση με την Πλατωνική παράδοση που εγκαινιάζεται με το Frege στην οποία ο αριθμός πρέπει να είναι ένα καλά ορισμένο αντικείμενο (5). Οι κύριες τάσεις και ιδέες που αναπτύσσονται στη σχετική βιβλιογραφία είναι οι δομές να περιγράφονται σαν υποδείγματα από το Resnik, σαν αυτοαναπαραγόμενα καθόλου από το Shapiro, με αναφορά στον εξαλειπτικό νομιναλιστικό στρουκτουραλισμό του Hellman και τέλος σαν οικουμενικά πλαίσια για τα μαθηματικά ανεξάρτητα από τη θεωρία συνόλων όπως προτάθηκε από το Mc Lane και άλλους (10). Κατά το Resnik και το Shapiro η έννοια του αριθμού δεν αφορά σε αντικείμενο, αλλά είναι θέση σε μια καλά καθορισμένη δομή. Στο Resnik όμως το οντολογικό ζήτημα 12
παρακάμπτεται για να δοθεί έμφαση στην αναλογία και το υπόδειγμα χρησιμοποιείται για να διαφύγει της Πλατωνικής προσέγγισης (5). Αντίθετα ο Shapiro θεωρεί την οντολογική προσέγγιση σημαντική και αναπτύσσει ένα σύστημα όπου οι αριθμοί και εν γένει οι μαθηματικές οντότητες υπάρχουν ως ante rem δομές, αφηρημένα αρχέτυπα με θέσεις αντί για αντικείμενα (10). Στη συνέχεια υπάρχει το ζήτημα του τροπικού στρουκτουραλισμού στο οποίο δίδεται έμφαση σε δύο συνιστώσες που εισάγονται με δύο διαφορετικούς αλλά εξίσου σημαντικούς τελεστές: αυτόν της τροπικότητας και αυτόν της αναγκαιότητας. Υποστηρίζεται ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν συστήματα που ικανοποιούν μια δομή και αυτό σχετίζεται μια μια δυνάμει ύπαρξη που αποτελεί μια έμμεση απάντηση και ικανοποίηση του οντολογικού προβλήματος της έννοιας του αριθμού. Κατ επέκταση η δυνατότητα αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ποικιλοτρόπως και να είναι φυσική δυνατότητα, μεταφυσική δυνατότητα ή λογική δυνατότητα- συνέπεια. Το ζήτημα της συνέπειας με τη σειρά του αποκτά ιδιαίτερη σημασία στη στρουκτουραλιστική προσέγγιση στα μαθηματικά. Συνεπές είναι ένα σύστημα αν έχει μοντέλο (μοντελοθεωρητική ερμηνεία) (10). Συνεπώς η γνώση απαρτίζεται και καταρτίζεται ακολουθώντας συγκεκριμένα μοτίβα, δηλαδή πεπερασμένες μικρές δομές που μπορεί στη συνέχεια με βάση τη συστημική θεωρία να δημιουργούν μια υπερδομή, γνωσιολογικά και οντολογικά (10). 13
Επίλογος Αντί συμπεράσματος Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι η προβληματική που αναπτύσσεται από τη διερεύνηση της έννοιας του αριθμού σε διάφορα φιλοσοφικά συστήματα συνίσταται στα εξής επίπεδα. Καταρχήν σε ένα οντολογικό επίπεδο όπου διερευνάται και γίνεται προσπάθεια διευκρίνησης της ύπαρξης του αριθμού σαν αυτοτελούς αφηρημένης οντότητας, δηλαδή προκύπτει ένα οντολογικό ζήτημα. Το σημείο εκκίνησης είναι η παραδοσιακή διαμάχη ανάμεσα σε μια Πλατωνική προσέγγιση και μια Αριστοτελική προσέγγιση της έννοιας. Στη συνέχεια, και αν ακολουθήσουμε την Πλατωνική προσέγγιση, πρέπει να γίνει μια διερεύνηση του επιπέδου ύπαρξης της έννοιας και της πραγματικότητας στην οποία αυτή υφίσταται. Η θεώρηση των αριθμών ως λογικών αφηρημένων καθόλου οντοτήτων φαίνεται να δίνει ικανοποιητική απάντηση σε αυτό το ερώτημα σε πρώτη προσέγγιση παρά τα ερωτήματα που αφήνει αναπάντητα (2). Στη συνέχεια δημιουργείται η αντίφαση ανάμεσα στην σημασιολογία και τη γνωσιολογία όπως διατυπώνεται από το δίλημμα του Benacerraf. Εδώ οι απαντήσεις στο ερώτημα, με τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία τους, οδηγούν σε μια σειρά θέσεων στρουκτουραλιστικού περιεχομένου με τις ανεπάρκειες τους η καθεμιά και τα επιμέρους ερωτήματα που προκύπτουν(5,7). Τέλος υπάρχει μια ισχυρή φυσικαλιστική ερμηνεία της έννοιας του αριθμού στα πλαίσια της Αριστοτελικής και κατ επέκταση της εμπειριστικής παράδοσης που τείνει να αποδεσμεύσει την έννοια του αριθμού από το αφηρημένο της περιεχόμενο και ένα άλλο επίπεδο πραγματικότητας και να τη συσχετίσει με την εμπειρία, την αίσθηση και τον πραγματικό κόσμο (5,11). Η προβληματική που δημιουργείται μπορεί να ενταχθεί στα πλαίσια μιας ευρύτερης διαμάχης μεταξύ διαφορετικών φιλοσοφικών παραδόσεων και τρόπων σκέψης που πηγάζουν από διαφορετικά αξιώματα σχετικά με την υφή της πραγματικότητας εν γένει. Κάθε παράδοση, ξεκινώντας από διαφορετικά αξιώματα, δίνει διαφορετικές ερμηνείες στην 14
έννοια του αριθμού και οι δύο μαζί μας προσφέρουν μια συνολικότερα διαφωτιστική εικόνα σχετικά με τις ιδιότητες της έννοιας και τις μορφές που μπορεί αυτή να λάβει. 15
Βιβλιογραφία 1. Αναπολιτάνος, Δ.Α.: Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, 6 η Εκδοση, Εκδόσεις Νεφέλη, Αθήνα 2005 2. Carnap, Quine, Ρουσόπουλος: Μελέτες για τον Εμπειρισμό, Ινστιτούτο του Βιβλίου- Α. Καρδαμίτσα, Αθήνα 1998 3. Aristotle, The Metaphysics, Penguin Books 1998 4. Loux M.J.- Zimmerman D.W.: The Oxford Handbook of Metaphysics 5. Frege G.: The Foundations of Arithmetic, Harper & Brothers, New York 1960 6. Χριστοπούλου Δ.: Συλλογή Κειμένων για το Μάθημα «Ειδικά Θέματα Φιλοσοφίας των Μαθηματικών», Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μ.Ι.Θ.Ε. 7. Hale, B.: Abstract Objects, New York, Blackwell 8. Χριστοπούλου, Δ. και Ψύλλος, Σ.: Νέο-λογικισμός: Προβλήματα και Προοπτικές, Νεύσις,14, 152-73, Εκδόσεις Νεφέλη, ΑΘΗΝΑ 2005 9. Benacerraf, P. and Putnam, H.: Philosophy of Mathematics, 2 nd edition, Cambridge University Press, 1983 10. Beman, W.W.: Essays on the Theory of Numbers, New York, Dover 1963 11. Hellman, G: Three Varieties of Mathematical Structuralism, Philosophia Mathematica (3) 9 (2001): 184-211 12. Hume, D.: A Treatise of Human Nature, Penguin Books 1985 16