Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 ВОВЕД ВО ПРЕДМЕТОТ наставник: Кабинет: 07 Приемни термини: понеделник и вторник - 16 часот ЦЕЛИ НА ПРЕДМЕТОТ 1. изучување на услови за рамнотежа на точка и крути тела, определување на внатрешни сили и сили од триење (СТАТИКА). изучување на напонско-деформациона состојба, димензионирање и проектирање на машински делови и конструкции (ЈАКОСТ) ОСНОВНА ЛИТЕРАТУРА 1. Р.Јосифовска, Механика I Статика, Скопје 199. А.Илиевски, Љ.Тодоровска-Ажиевска, Н.Бабамов, Јакост на материјалите, Скопје 004. З.Петрески, В.Гаврилоски, Х.Мицкоски, Статика задачи, Скопје 005 ОРГАНИЗАЦИЈА НА ПРЕДМЕТОТ теоретска настава: (понеделник 14-17 ч. во 10) аудиторни вежби: група 16 и 17 (понеделник 17-19 ч. во 10) група 18 и 19 (среда 18-0 ч. во 10) корекц. вежби: група 16 и 17 (пон. 19-0:0 ч. во 10) група 18 и 19 (среда 0-1:0 ч. во 10) Секојстуденттребаданосисосебе: прибор за пишување, тетратка и дигитрон. Домашните Програмските задачи се се корегираат предаваатна на корекциските вежби / консултации вежби во предвидени рокови. 1
ПОЛАГАЊЕ НА ПРЕДМЕТОТ ПОЛАГАЊЕ (теоретски дел + задачи) преку ТЕСТОВИ (долги (краткипрашања + задачи) услов за поминување: min 0% оцена: тестови 80 75%, % програмски задачи 15 %, присутност 10 5 % преку ИСПИТ (долги прашања + задачи) услов за испит: потпис услов за поминување: min 50% оцена: испит 100 % освоени,75+,75= 7,5 поени од тестирање услов за ПОТПИС (предадени на домашни задачи програмски задачи) Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 ОПШТО ЗА МЕХАНИКАТА наставник: 1.1. ШТО Е МЕХАНИКА? Механиката е наука која ги опишува и предвидува условите на Механиката мирување е наука или движење која ги опишува на материјалните и предвидува тела условите изложени на на мирување дејство или на различни движење сили, на материјалните како и нивното тела взаемно изложени дејство. на дејство на различни сили, како и нивното взаемно дејство.
1.. ОСНОВНИ ЗАКОНИ НА МЕХАНИКАТА? I Њутнов закон: Секое материјално тело останува во состојба на мирување или рамномерно праволиниско движење сé додека на телото не дејствува некоја сила и не ја промени таа положба. II Њутнов закон: Тело ќе има забрзување пропорционално на силата која дејствува. m a III Њутнов закон: Силите на акција и реакција помеѓу две тела имаат ист интензитет и ист правец на дејствување, но спротивни насоки. Њутнов закон за гравитација: Две тела се привлекуваат со еднакви, но спротивни сили. m G G W mg, g r R 1.. ЕДИНИЦИ МЕРКИ - SI МЕРЕН СИСТЕМ? Основните големини. Должина, време, маса и сила. Интернационален Систем на единици мерки (SI): Основни големини и единици мерки Должина метар [m] Време секунда [s] Маса килограм [kg] Изведени големини и единици мерки (сила, брзина, забрзување итн.) ma 1 N 1 kg 1 m s ПРЕФИКСИ КАЈ ЕДИНИЦИТЕ МЕРКИ SI Симбол Префикс Експоненцијална форма G гига 10 9 мега 10 6 k кило 10 m мили 10 - μ микро 10-6 n нано 10-9 1m 100 cm 1cm 10 mm 1m 1000mm 1kN 1000 N 1N 1000 kn 1N 1000000 N
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1. ВОВЕД ВО СТАТИКАТА наставник:.1. ОСНОВНИ ПОИМИ НА СТАТИКАТА Статиката е дел од механиката која ја изучува рамнотежата на материјалните тела под дејство на силите Рамнотежа на тело е мирување на тоа тело во однос на друго тело. (апсолутна/релативна рамнотежа) Сила е количинска мерка за механичкото заемно дејство меѓу материјалните тела. ( Причина за секоја промена на состојбата на мирување или состојбата на движење на едно материјално тело) тело Силата. е векторска големина насока А Силата е вектор врзан за права Видови сили правец O нападна точка α (сили кои лежат во иста рамнина) (сили кои лежат на иста права) (сили кои се сечат во една точка) 4
.. ОСНОВНИ ЗАДАЧИ НА СТАТИКАТА Сложување на сили и сведување на даден систем на сили на поедноставен облик Определување на условите за рамнотежа на даден систем од сили што дејствуваат на слободно круто тело.. АКСИОМИ НА СТАТИКАТА Прва аксиомa: Слободно круто тело се наоѓа во положба на мирување под дејство на две сили само ако тие две сили се еднакви по интензитет ( 1 = ), лежат на иста нападна линија и се со спротивна насока. Резултантата од двете сили е нула ( R =0). За рамнотежа 1 = и R =0 5
Втора аксиомa: Дејството на даден систем од сили, на круто тело, не се менува ако на дадениот систем на сили се додаде или одземе урамнотежен систем од сили. А = А = А О - О О Силата може да се помести по правецот на нејзиното дејствување (вектор врзан за права) Трета аксиомa: Резултантата од две сили 1 и, кои дејствуваат на круто тело во една точка, е определена со интензитет, правец и насока, преку дијагоналата на паралелограмот конструиран над силите како страни. 1 R O Четврта аксиомa: Силите со кои дејствуваат две материјални тела, едно на друго, се еднакви по интензитет и правец, а спротивни по насока. 1 1 Петта аксиомa: Ако деформабилно тело, под дејство на даден систем од сили, се наоѓа во рамнотежа, рамнотежата ќе се одржи и тогаш ако телото стане апсолутно круто. 6
.4. ВЕКТОРИ И ОПЕРАЦИИ СО ВЕКТОРИ Скаларни големини. Големини определени само со бројна вредност. Векторски големини. Големини кои се определени со нападна точка, правец, насока и интензитет. правец O нападна точка α насока А Еднакви вектори. Вектори кои имаат ист правец, иста насока и ист интензитет. Негативни вектори. Вектори кои имаат ист интензитет, ист правец, но спротивна насока. СОБИРАЊЕ НА ВЕКТОРИ Паралелограм Полигон А R O В R B R B B 7
ОДЗЕМАЊЕ НА ВЕКТОРИ B МНОЖЕЊЕ НА ВЕКТОР СО СКАЛАР -B B O β B γ α R КОСИНУСНА ТЕОРЕМА R B B cos O СИНУСНА ТЕОРЕМА B R sin sin sin 8
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1. СИСТЕМ НА СИЛИ КОИ ДЕЈСТВУВААТ ВО ЕДНА ТОЧКА наставник:.1. СЛОЖУВАЊЕ НА ДВЕ СИЛИ КОИ ДЕЈСТВУВААТ ВО ЕДНА ТОЧКА ВО РАМНИНА СО ПАРАЛЕЛОГРАМ НА СИЛИ R O α φ 1 ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ГОЛЕМИНАТА НА РЕЗУЛТАНТАТА R O φ 1 180-α α cos R cos 180 180 cos 1 1 R 1 1 cos 1
ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ПРАВЕЦОТ НА РЕЗУЛТАНТАТА R O φ R 1 180-α α sin 180 sin sin180 sin R R sin R sin R arcsin sin R R ПРИМЕР: Да се определи резултантата од силите кои дејствуваат на завртката R P Q PQ cos B 40 60 4060cos155 97,7N R sin 0 sin155 Q R Q sin 0 sin155 R 0 15,04 5, 04 0 15,04.. ПОСЕБНИ СЛУЧАИ НА СЛОЖУВАЊЕ НА ДВЕ СИЛИ а) α =0 о O 1 R R 1 б) α = π =180 о O R 1 R 1
в) α = π/ =90 о Интензитет на резултанта R 1 R Правец на резултанта O φ 1 tan arctan 1 1.. СЛОЖУВАЊЕ НА ПОВЕЌЕ СИЛИ СО ПАРАЛЕЛОГРАМ НА СИЛИ O 1 R 1 R R1 1 R R R1 R R 1 4 R 4 4.4. СЛОЖУВАЊЕ НА ПОВЕЌЕ СИЛИ СО ПОЛИГОН НА СИЛИ Графичко сложување на систем од сили 1 4 R O R 1 4
.5. СЛОЖУВАЊЕ НА СИЛИ ШТО ДЕЈСТВУВААТ ВО ЕДНА ТОЧКА СО МЕТОД НА ПРОЕКЦИИ НА СИЛИ Силата може да се проектира на две взаемно нормални компоненти. cos O α sin 1 1 1 O O 1 1 1 R R O 1 O α R R i 1 R i 1 Интензитет на резултанта R R R R Правец на резултанта R tan 4
ПРИМЕР: Да се определи резултантата од силите кои дејствуваат на завртката n R i i1 n R i i1 n R i i1 сила 1 4 големина 150 N 80 N 110 N 100 N n R i i1 R i 199,1N компонента компонента 19,9 N 75,0 N 7,4 N 75, N 0 N 110,0 N 96,6 N 5,9 N R 199,1N R 14, N n i1 n R i 14,N i1 R R =14, N R =199,1 N R R R 199,1 14, R 199,6 N tan R R 14, 199,1 4, 1 5
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 4. СТАТИЧКИ МОМЕНТ И СПРЕГ НА СИЛИ наставник: 4.1. ПОИМ ЗА СТАТИЧКИ МОМЕНТ O d r θ θ Статички момент е дејство што го врши силата врз тело околу неподвижната точка или оска. Истиот ја покажува намерата на силата да предизвика ротација на тело околу точката, односно оската. Статичкиот момент е вектор врзан за точка, бидејќи за различен избор на моментна точка се добиваат различни вредности за статичкиот момент O O r r, r sinθ d Nm Статичкиот момент има вредност нула ако: - силата е нула (=0) - нормалното растојание е нула (d=0) односно нападната линија на силата минува низ моментната точка 1
Доколку силата се стреми да ја заврти структурата обратно од правецот на движење на стрелките на часовникот, статичкиот момент е позитивен. Доколку силата се стреми да ја заврти структурата во правец на движење на стрелките на часовникот, статичкиот момент е негативен. 4.. ВАРИЊОНОВА ТЕОРЕМА Статичкиот момент на резултантата од еден систем на сили кои дејствуваат во една точка, во однос на друга точка е еднаков на алгебарскиот збир од статичките моменти на одделните сили во однос на истата точка. r r r 1 1
1 O d 1 d O d Според Варињоновата теорема: Моментот околу дадена точка O од резултантата од неколку сили е еднаков на сумата од пооделните моменти од силите околу истата точка O. d 1 d1 d d... R 1 n Применувајќи ја Варињоновата теорема директното определување на моментот од силата може да се замени со определување на моменти од двете компоненти на силата. d А α d O 4.. СПРЕГ НА СИЛИ Две паралелни сили и - со ист интензитет и спротивни насоки поставени на меѓусебно нормално растојание d, формираат спрег на сили. d
O 1 O r 1 d r R 0 O1 O r 1 r r1 d d r d d Спрегот е слободен вектор, бидејќи неговата вредност не зависи од изборот на моментната точка ЕКВИВАЛЕНТНИ СПРЕГОВИ Два спрега на сили ќе имаат еднаков момент доколку: Имаат ист интензитет 1 d1 d лежат во иста или во две паралелни рамнини, и имаат иста насока Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 5. РЕДУКЦИЈА НА СИЛИ И СЛОЖУВАЊЕ НА ПРОИЗВОЛНИ СИЛИ ВО РАМНИНА наставник: 4
5.1. РЕДУКЦИЈА НА СИЛИ Линиско поместување на сила Паралелно поместување на сила Секоја сила може да се помести паралелно на својата нападна линија, но притоа треба да се земе предвид и моментот што силата го прави во однос на точката на поместување. Моментот е векторскиот производ од радиус векторот до редукционата точка и силата, односно моментот има големина еднаква на производот од силата и нормалното растојание до редукционата точка. Оваа постапка се вика редукција на сила, а обратно е сложување на сила и момент (спрег на сили). 5
5.. СЛОЖУВАЊЕ ПРОИЗВОЛЕН СИСТЕМ НА СИЛИ ВО РАМНИНА d O d 1 d =. d =. d 1 = 1. d 1 O 1 1 R i 1 R i 1 R 1 tan R R R R =. d =. d 1 = 1. d 1 O R R R O α R R i 1 R i di d1 d 1 d R R O α O R d R d d R R R R R R 6
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 6. РАМНОТЕЖА наставник: 6.1. РАМНОТЕЖА НА СИСТЕМ СИЛИ КОИ ДЕЈСТВУВААТ ВО ЕДНА ТОЧКА ВО РАМНИНА Материјална точка на која дејствуваат повеќе сили се наоѓа во рамнотежа ако: R 0 i R R Аналитичките услови за рамнотежа се пишуваат: X 0 Y 0 0 i 0 i 6.. РАМНОТЕЖА НА ПРОИЗВОЛЕН СИСТЕМ СИЛИ ВО РАМНИНА Круто тело е во статичка рамнотежа кога надворешните сили и моменти не доведуваат до транслација и/или ротација на телото. Потребни и доволни услови за статичка рамнотежа на круто тело се резултантната сила и резултантниот момент да имаа вредност еднаква на нула. 0 O 0 Аналитичките услови за рамнотежа на произволен систем од сили во рамнина, се пишуваат: X 0 Y 0 O 0 1
6.. РАМНОТЕЖА НА НЕСЛОБОДНИ ТЕЛА И СИСТЕМ ОД ТЕЛА Прв чекор во анализа на статичка рамнотежа на круто тело е идентификација на сите сили кои дејствуваат на телото и цртање на дијаграм на сили на слободно тело. 1. Крутото тело се отстранува од врските со надворешноста и врските со останатите тела.. Се нанесуваат надворешните сили со својата нападна точка, правец и големина.. Се нанаесуваат непознатите сили-реакциите со нивната нападна точка, правец и претпоставена насока. 4. Се нанесуваат сите димензии потребни при пресметување. 5. Се применуваат условите за рамнотежа. X 0 B 0 Y 0 9,81,5 0 0 6. Се решава системот со равенки и се определуваат непознатите големини B 107,08 kn 107,08 B 1,5 9,81,5 6 0 kn kn,1
6.4. РЕАКЦИИ ОД ВРСКИ КАЈ РАМНИНСКИ СИСТЕМИ
Пример: Да се нацрта дијаграмот на сили за слободно тело за системот прикажан на сликата 6.5. СТАТИЧКИ ОПРЕДЕЛЕНИ И НЕОПРЕДЕЛЕНИ СИСТЕМИ Статички определени системи се системите каде што непознатите кои произлегуваат од врските одговара на бројот на услови за рамнотежа. Статички определени системи Доколку бројот на непознатите е поголем од условите за рамнотежа, велиме дека системите се статички неопределени. Статички неопределени системи 4
ПРИМЕРИ Пример 1: Да се определат силите во јажињата ако моторот има маса 50 kg Решение 1: Пример : Со јаже се влече 500-N тежок автомобил, како што е прикажано на сликата. Да се определат силите во јажињата. 5
Решение : T B 570 N T C 144 N Пример : Да се определат реакциите во лежиштата. 15 kn 6 kn 6 kn 6 m m m m Решение : 15 kn 6 kn 6 kn 6 m m m m X 0 B 0 15 9 B 611 61 0 B 1,0 kn 0 0 B 9 156 6 64 0 6,0 kn 6
Пример 4: Да се определат реакциите во точката А и силата во јажето АВ, ако гредата има маса од 10 kg. Решение 4: B G sin 5 4 G cos 45 0 B B X 0 76,96 N Y 0 0 81,9 N cos 0 0 B sin 0 G 0 B 16,11 N 147,74 N Пример 5: Да се определат реакциите во врските. 7
Решение 5: 8
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 7. АНАЛИЗА НА СТРУКТУРИ наставник: 7.1. ПОИМ ЗА СТРУКТУРА 7.. ПОИМ ЗА НАДВОРЕШНИ НАТОВАРУВАЊА, РЕАКЦИИ ОД ВРСКИ И ВНАТРЕШНИ СТАТИЧКИ ГОЛЕМИНИ надворешни натоварувања 1
реакции од врски со надворешноста (реакции во потпори) реакции од врски меѓу телата внатрешни статички големини
Пример 1: Лостовите АСЕ и ВСD се зглобно поврзани во точката С, а со лостот DE се поврзани во точките D и Е. За оптоварувањето прикажано на сликата да се определи силата во лостот DE и компонентите на силите во точката С од лостот ВСD. Решение 1: 0 480 0 480 N 1 tan 80 150 8.07 0 480 N100 mm B160 mm 0 B 00 N 0 B 0 00 N
C 0 sin 50 mm 00 N60 mm 480 N100 mm DE DE 561 N DE 561 N C 0 C DE cos 00 N 0 C 561 Ncos 00 N 0 795 N C 0 C DE sin 480 N 0 C 561 Nsin 480 N 0 16 N C 60 mm 0 Проверка: 0 DE cos 00 mm DE sin 100 mm C 0 mm 0 561cos 00 mm 561sin 100 mm 7950 mm 0 0 0 Пример : Да се определи зависноста помеѓу силите P и Q. 0 ap bq 0 a Q P b 4
Пример : Да се определат внатрешните големини во точката Ј од лостот АС и во точката К од лостот BCD. E 0 : 400 N.6 m 4.8m 0 1800 N 0 : 400 N 1800 N E 0 E 600 N 0 : 0 E B 0 : 400 N.6m C.4m 0 600 N C C 0 : 400 N1.m B.4m 0 B 100 N 0 : B C 0 5
0 : B.4m 0 0 B 0 : B 0 0 0 : B C 0 C 0 0 : B 600 N 0 1800 N J 0 : 1800 N1.m 0 160 N m 0 : 1800 Ncos 41.7 0 144 N 0 : V 1800 Nsin 41.7 0 V 1197 N K 0 : 100 N1.5m 0 1800 N m 0 : 0 0 : 100 N V 0 V 100 N 6
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 8. ЛИНИСКИ НОСАЧИ наставник: 8.1. ПОИМ ЗА ЛИНИСКИ НОСАЧ ЛИНИСКИ НОСАЧ екруто тело во облик на права греда, потпрено на било какви потпори (лежишта). Во зависност од потпорите линиските носачи може да се поделат на: ПРОСТА ГРЕДА линиски носач потпрен на подвижно и неподвижно лежиште на неговите два краја ГРЕДА СО ПРЕПУСТ линиски носач потпрен на подвижно и неподвижно лежиште, а должината на гредата е поголема од растојанието меѓу лежиштата КОНЗОЛА линиски носач кај кој едниот крај е вклештен, а другиот слободен Носачите може да бидат оптоварени со: континуиран товар концентрирани сили концентриран момент Изборот на потпорите (лежишта) при формирањето на линиски носач се врши така да се спречат сите степени на слобода на движење на носачот 1
8.. ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ТРАНСВЕР. СИЛА, НАПАДЕН МОМЕНТ И АКС. СИЛА Дефинирање на надворешни оптоварувања и врски Цртање на дијаграмот на сили за слободно тело Определување на реакциите преку условите за рамнотежа М ak tr М ak tr Определување на внатрешните сили преку условите за рамнотежа за левиот или десниот дел М ak М ak tr tr Внатрешните големини кои се јавуваат во замислениот пресек (точка С) и што се во рамнотежа со сите надворешни сили и моменти што дејствуваат на левиот или на десниот дел од носачот се нарекуваат статички големини, асепретставенисотрансверзална сила ( tr ), нападен момент (М) и аксијална сила ( ak ). Графичките прикази за промена на статичките големини по должината на носачот се нарекуваат дијаграми на статичките големини Трансферзалната сила tr во еден произволен пресек n-n е еднаква на алгебарскиот збир на сите надворешни сили и реакции кои имаат правец нормален на носачот, лево или десно од пресекот. Момент на свиткување или нападен момент М во еден произволен пресек n-n претставува алгебарски збир на статичките моменти од сите надворешни оптоварувања и реакции, лево или десно од пресекот. Аксијалната сила ak во еден произволен пресек n-n е еднаква на алгебарскиот збир на сите надворешни сили и реакции кои имаат правец на оската од носачот, лево или десно од пресекот.
При пресметка на трансферзалната сила, нападниот момент и аксијалната сила се користат следните предзнаци: Трансверзална сила Нападен момент Аксијална сила tr tr ak ak tr tr ak ak = / B = / 8..1. Проста греда симетрично оптоварена со концентрирана сила /,, tr,, -/ =. l /4 q = q. l / B = q. l / 8... Проста греда симетрично оптоварена со континуиран товар q. l /,, tr,, -q. l / = q. l /8
Пример 1: Да се определат реакциите и да се нацртаат дијаграмите на статичките големини за носачот прикажан на сликата Решение 1: 4
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје 9. РЕШЕТКАСТИ НОСАЧИ наставник: 9.1. ПОИМ ЗА РЕШЕТКАСТ НОСАЧ РЕШЕТКАСТ НОСАЧ (РЕШЕТКА) се нарекува конструкција која се состои од прави стапови кои на краевите се меѓусебно зглобно поврзани, а која е потпрена потпори (лежишта). ПРЕТПОСТАВКИ / АПРОКСИМАЦИИ: сите стапови од решетката се прави и поврзани со зглобови без триење силите дејствуваат во рамнина на решетката и само во јазлите сопствената тежина на стаповите е мала во споредба со надворешните сили и затоа се занемарува 1
Ако се исполнети претпоставките, тогаш секој стап е изложен на затегнување или притисок. внатрешни сили на истегнување внатрешни сили на збивање затегнат елемент притиснат елемент Стабилана решетка без одвишни стапови (s=n-) s- број на стапови n- број на јазли Нестбилна решетка (s<n-) Стабилана решетка со одвишни стапови (s>n-)
9.. МЕТОД НА ЈАЗЛИ Определување на реакциите Замислен прекин на стаповите од јазол во кој се поврзани најмногу стапа Примена на условите за рамнотежа за тој јазол (ΣX=0; ΣY=0) Определување на силите во тие два стапа по големина и насока Повторување на претходните постапки за секој јазол поединечно Внесување на вредностите за силите во табела Пример 9.1: Со методот на јазли да се определат силите во стаповите. X 0 500 BC BC 500 Y 0 BC B sin 45 0 N cos 45 500 N B 0 9.. МЕТОД НА ПРЕСЕЦИ (метод на Ритер) Определување на реакциите Замислен прекин на решетката на дела низ најмногу стапа и замена на внатрешните сили во исечените стапови
Примена на условите за рамнотежа за било кој дел од решетката (ΣX=0; ΣY=0; Σ=0) Определување на внатрешните сили во пресечените стапови 0 C 0 G Y 0 X 0 контрола GC G BC 0 C 0 G Y 0 GC G BC X 0 контрола Пример 9.: Со методот на пресеци да се определат силите во стаповите E, BE и BC. X 0 5 10 BE BE cos 45 0 15 1, kn 54 0 CB E CB 5,0 kn 4 0 BE CB E затегање 1, kn 5,0 kn притисок 5,0 kn 58 104 5 4 0 E B 5,0 kn промена на насока E E 4 0 5,0 kn 4
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 10. ВОВЕД ВО ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕ наставник: 10.1. ПОИМ ЗА ЈАКОСТ И ЗАДАЧИ НА ЈАКОСТА НА МАТЕРИЈАЛИТЕ? наука која го проучува однесувањето на цврстите (деформабилни) тела во под дејство на надворешните оптоварувања дава одговор за димензиите, обликот и материјалот на елементите за постигнување на соодветна јакост, крутост и стабилност ЗАДАЧИ НА ЈАКОСТА НА МАТЕРИЈАЛИТЕ Димензионирање Определување на најголем дозволен товар Проверка на јакост, крутост и стабилност 10.. ПРЕТПОСТАВКИ ПРИ ПРИМЕНА НА ЈАКОСТА 1. Непрекинатост и хомогеност на материјалот (сите точки имаат исти механичко-физички карактерис.). Изотропност на материјалот (исти механичко-физички карактер. во сите правци). Идеална еластичност (враќање во првобитната форма) 4. Мали деформации 5. Принцип на суперпозиција (собирање на дејството на оптоварувањето) 6. Рамни пресеци Бернулиева хипотеза (рамност и нормалност на напр. прес. пред и после оптов.) 1
10.. ПОИМ ЗА НАПРЕГАЊЕ И ОСНОВНИ ВИДОВИ НА НАПРЕГАЊА i n I II 1 дејство на надвор. оптовар. напрегнато тело замислен пресек внатрешни сили ОСНОВНИ НАПРЕГАЊА 1. Аксијално. Смолкнување. Торзија 4. Свиткување 5. Извивање 10.4. ПОИМ ЗА НАПОН n n n I p sr Среден напон p sr 1 l k z
z n 1 l p n nk n nl k n Напон на точка d pn d n nl; nk p n pn lim0 d нормален напон тангенц. напон n n nl nl nk nk Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 11. АКСИЈАЛНИ НАПРЕГАЊА наставник: 11.1. ПОИМ ЗА АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ на линиски носач (стап) делува само аксијална сила истегнување притисок
ПРИМЕРИ ЗА АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ ЕЛЕМЕНТИ 11.. НАПОНИ КАЈ АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ ВО НОРМАЛНИ ПРЕСЕЦИ - нормален напон кај аксијално напрегање (N/mm ) големина на аксијалната сила во (N) површина на напречниот пресек во (mm ) 11.. ДЕФОРМАЦИИ КАЈ АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ ЕЛЕМЕНТИ а) истегнување б) збивање l l E Δl апсолутна линиска деформација во (mm) големина на аксијалната сила во (N) l должина на елементот во (mm) површина на напречниот пресек во (mm ) Е Јунгов модул на еластичност во (N/mm ) 4
l l E Апсолутна линиска деформација z Релативна деформација = E z Хуков закон p = - z Напречна дилатација (контракција) 11.4. ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА МАТЕРИЈАЛНИ КАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕКУ АКСИЈАЛНИ НАПРЕГАЊА Δl дијаграм 5
σ ε дијаграм 11.5. ЈАКОСНИ ПРЕСМЕТКИ ПРИ АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ Пресметки на напоните d d k s R или d k s ( R ) Димензионирање (определување на големината на напр. ) d Пример 11.1: За системот прикажан на сликата да се определат напоните во карактеристичните пресеци, деформациите во карактеристичните точки и да се нацртаат дијаграмите на напоните и деформациите по должината на носачот ако: 1 = 60 kn, = 10 kn, 1 = 500 mm, = 100 mm, l= 1 m, E=. 10 5 N/mm. 6
Решение 11.1: 60000 10 (N/mm 11 ) 500 60000 50 (N/mm ) 100 180000 1500 (N/mm ) 100 600001000 BK 10 500 5 600001000 KD 10 100 5 1800001000 DC 10 100 5 1, (mm) 0,5 (mm) 0,75 (mm) Пример 11.: За две челични јажиња BC и CD со кружен напречен пресек и дијаметар d 0 (mm), кои се сечат во точката C обесен е товатот. Ако дозволениот напон е 10 (N/mm ), а 5 модулот на еластичност E 10 (N/mm ) да се определи максималната сила која може да ја носи конструкцијата. d Решение 11.: s1 sin s sin 0 s1 0 s 0 s s1 cos s cos 0 s cos s d s d ( cos) 4 s 0 ( 0,6) 4 10 10 s(ma) 4516 (N) 7
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 1. СМОЛКНУВАЊЕ наставник: 1.1. ПОИМ ЗА СМОЛКНУВАЊЕ a γ s a s G напон при смолкнување Δs = a tg a и G апсолутна деформација при смолкнување G агол на лизгање при смолкнување G крутост на смолкнување 1.. СЕЧЕЊЕ посебен случај на чисто смолкнување z се појавува при дејство на две спротивно насочени трансферзални сили кои дејствуваат на мало растојание моментот од свиткување е занемарливо мал z кога ќе ја достигне критичната вредност настанува сечење (кинење) на материјалот 1
1.. ПРЕСМЕТКИ ПРИ СПОЈУВАЊЕ НА ЛОСТОВИ СО ОСОВИНА 1 > рамнини на сечење 1 1 d b Напрегање на смолкнување на осовината d c ds s d d 4 4 Напрегање на притисок c cd c d / c cd d c 1 d пресметковна распределба на притисокот вистинска распределба на притисокот b d Аксијално напрегање на лостовите e ed ( b d) e Пример 1.1: За конструкцијата прикажана на сликата да се проверат напоните на елементите
Од статичка анализа следи: Напоните по должината на стаповите АВ и ВС изнесува : B BC ( B B) BC ( BC) 4010 N 7 500 mm 5010 N 159,14 0 / 4 mm Во средината на стапот ВС со кружен напречен пресек ( = 14 mm ), нормалниот напон изнесува σ ВС = 159 N/mm Во точката С на местото каде е изработен отвор за осовинката, напречниот пресек се намалува и изнесува: 0mm40mm 5mm 00 BC ( C) mm Напонот при истегнување за точката С од стапот ВС изнесува: BC( C ) BC BC( C ) 5010 00 N 167 mm Во средината на стапот АВ со правоаголен напречен пресек ( = 1500 mm ), нормалниот напон изнесува σ АВ = 6,7 N/mm. Намалувањето на напречниот пресек на краевите (заради осовините) не влијае врз носивоста бидејки тие критични напречни пресеци не се изложени на истегнување Напонот на сечење на осовината С изнесува: C BC osovina 5010 N 10,14 5 / 4 mm
Напонот на сечење на осовината А изнесува: B osovina 4010 N 40,7,14 5 / 4 mm P 15kN E P 5kN G ( најголема ) Напонот на сечење на осовината В изнесува: B G osovina 510 N 50,9,14 5 / 4 mm Напонот на притисок на осовината А од стапот АВ изнесува:, 40 kn N B p 5, t d 0 mm5mm mm Напонот на притисок на осовината А од стапот лежиштето со ширина х 5 mm изнесува:, p B t d 40kN,0 N mm 5mm5mm 4
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 1. ТОРЗИЈА наставник: 1.1. ПОИМ ЗА ТОРЗИЈА Ротациони машински елементи кои пренесуваат силина: Разни трансмисиони вратила, вратила на запчести преносници, вратила на електромотори, пумпи, вентилатори и др. t1 t t моментите на торзија дејствуваат во рамнина нормална на надолжната оска t + t t1 - t дијаграмите на моментите на торзија се цртаат по должината на елементот Статички услов за рамнотежа 0 t t1 t t Моментот на торзија има предзнак + ако векторот на вртење има иста насока како и надворешната нормала (правило на десна рака) 0 n + t 5
1. ТОРЗИЈА НА СТАП СО КРУЖЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК ПРЕТПОСТАВКИ напречните пресеци остануваат рамни и нормални на надолжната оска растојанијата помеѓу напречните пресеци не се менуваат радиусите на напречните пресеци не се искривуваат и имаат иста должина Распределбата на тангенцијалните напрегања по површината на кружен напречен пресек при дејство на момент на торзија е линеарна I p t T ρ τ ma Максимален напон се јавува на периферните влакна и изнесува: I p t R или W t p 4 4 R D I p I p D Wp D / 16 каде што I p Wp R поларен отпорен момент t L G I p деформација при торзија (агол на усукување) 6
1.. ДИМЕНЗИОНИРАЊЕ ПРИ ТОРЗИЈА C τ t dt W p t Wp dt D=R кружен напречен пресек I p R 4 D I p D Wp D / 16 4 према дозволен напон D 16 t dt D 16 t dt Пример 1.1: Да се димензионира носачот прикажан на сликата и да се определи аголот на усукување за точките В и С, ако е познато: = t =10 knm, L = 1,4 m, G = 8. 10 4 N/mm, doz = 160 N/mm. Решение 1.1: B BC 4 0 knm; 10kNm W T doz 6 6 T B 0 10 16 0 10 B 160 d 49. 4mm WB d 8 160 16 6 6 10 10 16 10 10 T BC BC 160 d 68. 8mm WBC d 160 16 УСВОЕНО: d B =d=16,56 mm и d BC =d=68,8 mm 7
B B C B 6 B l B 0 10 1.4 10 180 0 0.007 rad 1.76 4 G B I P B 4 16.56 8 10 BC 6 10 10 1.4 10 180 0.007 0.051rad.94 4 4 68.8 8 10 0 0 Пример 1.: Вратилото BC e шупливо вратило со надворешен пречник 10 mm и внатрешен пречник од 90 mm. Вратилата B и CD се полни вратила со дијаметар d. За оптоварувањата прикажани на сликата да се димензионира вратилото B и CD и ако дозволениот напон на торзија е doz = 65 N/mm и да се определи максималниот напон за вратилото BC. Решение 1.: T B 0 6 kn m T B 0 6kN m T CD T ma d Wp 16 16T d d 77,75 T d mm d 16610 65 усвоено d 80 mm 6 8
J p 4 4 4 4 d d1 0.1 0.9 6 4 1.910 m 0 6 kn m 14 kn m T BC 0 kn m T BC 0 TBCc ma J p 6 0kN m10 0.060 m10 6 4 1 1.910 m 10 86. N/mm ma 86. Pa 9
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 14. Аксијални моменти на инерција наставник: 14.1. ТЕЖИШТЕ НА ПОВРШИНА тежиштето на површина се пресметува по аналогија со тежиштето на тенка плоча при што се употребува концептот на момент на површина околу оска. c c i i C ; C i i тежиште на елементарни фигури 1
тежиште на површина со сложен облик C C i i Ci Ci 1 C1 1 C1 C 1 1 C C C Ако површината има оска на симетрија, тогаш тежиштето лежи на оската на симетрија Ако површината има точка на симетрија, тогаш тежиштето лежи во таа точка Ако површината има две оски на симетрија, тогаш тежиштето е во пресекот на тие две оски Пример 14.1: Да се определи тежиштето на сложената фигура дадена на сликата.
Решение 14.1: правоаг. триагол. полукруг круг X 757.710 mm 1.8810 mm X 54.8 mm Y 506.10 mm 1.8810 mm Y 6.6 mm Пример 14.: Да се определи тежиштето на сложената фигура дадена на сликата.
Решение 14.: 14.. АКСИЈАЛЕН МОМЕНТ НА ИНЕРЦИЈА Аксијален момент на инерција на површина околу оска, по дефиниција е сума на производите од елементарните површини и квадратот на растојанието од нивните тежишта до разгледуваната оска. I I i i i i 14.. ШТАЈНЕРОВА ТЕОРЕМА Моментот на инерција на површина во однос на некоја оска паралелна со тежишната е еднаков на моментот на инерција на таа површина во однос на сопствената тежишна оска плус производот од површината и квадратот на растојанието помеѓу двете паралелни оски. мом. на инерција на површина во однос на оските и се: положбен J = J + d и J = J + d положбен J = J + d d положбен сопствен сопствен сопствен 4
14.4. МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА ЗА ЕДНОСТАВНИ ФИГУРИ КРУЖЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК 4 4 r d I I 4 64 С I p r 4 d 4 d=r I =0 ПРАВОАГОЛЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК h h/ h/ С I I b h 1 h b 1 I =0 b/ b/ b ТРИАГОЛЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК 0 I b h 1 I hb 1 h h/ 0 b/ T 0 I b h 4 h I I 0 I b h h b h 0 1 b I 0 b h 6 I 0 hb 6 5
14.5. МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА ЗА СЛОЖЕНИ ФИГУРИ За сложени површини кои се состојат од неколку елементарни површини со познати моменти на инерција, вкупниот момент на инерција на таа сложена површина во однос на произволна оска е алгебарска сума на моментите на инерција на сите поодделни површини во однос на истата оска. I I [mm 4 ] [mm 4 ] 1 I Аксијални моменти на инерција за стандардни профили Пример 14.: Да се определат аксијалните моменти на инерција за напречен пресек даден на сликата. 6
Решение 14.: Пример 14.4: Да се определат аксијалните моменти на инерција за напречен пресек даден на сликата. c a h b C C C 1 a c c 1 1 c 1 c1 c c c a=0 (mm), b=80 (mm), h=100 (mm) Решение 14.4: 00050 1600( 100 10) 76, 67 (mm) 000 1600 I I I a h c c1 c b C C C 1 a c a h Ic1 Ic1s Ic1p 1( c c 1) 1 0100 4 000( 76, 67 50) 08945 ( mm ) 1 a b Ic Ics Icp ( c c ) 1 0 80 4 1600( 110 76, 67) 180755 ( mm ) 1 c1 c c c a=0 (mm), b=80 (mm), h=100 (mm) 7
I I I c c1 c I I I c1 c1s a h 0 100 4 66667 ( mm ) 1 1 a b 0 80 4 Ic s 90000 ( mm ) 1 1 c a b c h C C C 1 c1 c c c a=0 (mm), b=80 (mm), h=100 (mm) a 8
Универзитет Св. Кирил и Методиј Машински факултет - Скопје код: 1 15. СВИТКУВАЊЕ наставник: 15.1. ПОИМ ЗА СВИТКУВАЊЕ L Која е разликата со аксијално напрегање и торзија? θ w доаѓа до искривување на пррвобитно правата оска L ЧИСТО СВИТКУВАЊЕ (само нанападни моменти) =h =h СВИТКУВАЊЕ ОД СИЛИ (нанападни моменти + трансферзални сили) l B - TR K 1
15.. НОРМАЛНИ НАПОНИ ПРИ СВИТКУВАЊЕ ma распределба на 0 напоните по висината h/ ma на напречниот пресек C z h 0 J h/ неутралната линија се поклопува со тежишната оска b ma максимални напони ma J ma W М голем. на мом. на свиткување во посматраниот пресек од носачот I аксијален момент на инерција на напречниот пресек растојание од тежиштето до разгледуваното место по висина на пресекот W отпорен момент на напречниот пресек W J ma σ gore = σ ma - z T неутрална лин. 1 = ma z I gore 1 I dole I напони за растојание напони во горни слоеви (збивање) напони во долни слоеви (истегнување) ma W J J ma + σ dole максималниот напон е: ma W отпорен момент [m]
15.. ДИМЕНЗИОНИРАЊЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ИЗЛОЖЕНИ НА СВИТКУВАЊЕ ma J ma ma ma W doz W ma doz Пример 15.1: Да се нацртаат дијаграмите на нормалните напони за опасниот пресек и тангенцијалните напони за максимална трансферзална сила. а=0 mm Определување реакции и цртање на дијаграмите на статичките големини Определување реакции 0 B 7, 5 KN 0 4, KN B 5 Трансферзални сили TR, 1 TR, B 4,5 [ kn] 7,5 [ kn] B q 0 115[m], Нападни моменти 0 l 4.5 [ knm] 1 0 B ma l q 7,0[ knm]
Определување на геометриски карактеристики на напречен пресек 6a a 5a T i i 5a a 6.5a 6a a a T 4. 59a a 10a a 8a I i a 5a 1 5a a 1.91a a 6a 1 a 6a 1.59a T a 4.59a.41a I 51.8a W W 4 I 51.8a 51.8 0 4 4, 1 1705 1,ma.41a.41 0 I 51.8a 51.80 4 4, 908,ma 4.59a 4.590 mm mm 1 T - Цртање на дијаграми на нормални напрегања + 7.010 6 ma ma, 1 40,8 N / W,1 1705 mm 7.010 6 ma ma, 77,8 N / W, 908 mm 15.4. ДЕФОРМАЦИИ ПРИ СВИТКУВАЊЕ z φ φ z ma =f Отклон () е растојание помеѓу произволна точка од недеформираната оска на носачот и истата таа точка на деформираната оска. Максималниот отклон се бележи со f ( ma =f). Наклон (= ) е аголот што го заклопува тангентата на кривата во одредена точка со првобитната недеформирана оска, односно тоа е аголот за кој се завртува напречниот пресек после деформирањето. 4
ТАБЛИЧНО ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ДЕФОРМАЦИИТЕ ПРИ СВИТКУВАЊЕ Отклонот () е позитивен кога има иста насока како позитивната насока од - оската. Наклонот (= ) е позитивен ако тангентата на еластичната линија, повлечена од лево кон десно, е наклонета во правецот позитивната -оска. >0 =0 <0 z <0 =0 >0 z Пример1 : Проста греда натоварена со континуиран товар (z) q E I = konst. z =ql/ =0 L z B =ql/ Конечните равенки за деформациите на гредата се: q 4EI z z 1 6 4 q 4EI z z z 4 4 q B E I = konst. f L =0 B z уклонот е максимален таму каде што тангентата на еластичната линија е хоризонтална ( ==0), односно за z=l/ ma 5q f 84 E 4 I наклонот е максимален на потпорите q (за z=0) 4 E I q (за z=l) B B 4 E I 5
Пример : Конзола натоварена со континуиран товар z (z) L L-z q B E I = konst. z Конечните равенки за деформациите на конзолата се: q z z z 6EI 4 4 q z z z 6 4 4EI z L q E I = konst. B z ma =f B = ma уклонот и наклонот се максимални на слободниот крај од конзолата, односно за z=l B ma q 6 E I ma 4 q f 8EI 15.5. МЕТОД НА СУПЕРПОЗИЦИЈА Наклонот и отклонот на еластичната линија во било кој пресек на носачот е еднаков на алгебарскиот збир од наклоните и отклоните на поодделните елементарни оптоварувања во истиот пресек.,,,, 1... n ; 1... n 6
q ( q) ( ) ( ) L/ L/ B z / ( q) z / ( ) z / ( ) z / q L L/ L/ B B ( ) q ( )...... ( ) q z / ( ) z /...... L B ( )... ( ) z /... Пример 15.1: Со методот на суперпозиција да се определи отклонот и наклонот на носачот во точката В wl wl B B I B II 6EI 48EI 4 4 wl 7wL B B I B II 8EI 84EI 7wL B 48EI 4 41wL B 84EI 7