Κατασκευή χωρόχρονων οι οποίοι επιδέχονται έναν μη τετριμμένο, δεύτερης τάξης, τανυστή Killing

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κατασκευή χωρόχρονων οι οποίοι επιδέχονται έναν μη τετριμμένο, δεύτερης τάξης, τανυστή Killing Φοιτητής: Θεόδωρος Παΐλας Α.Μ:201428 Κύριος Επιβλέπων: Αναπ.Καθ. Θεοδόσιος Χριστοδουλάκης Μάρτιος 2016

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κατασκευή χωρόχρονων οι οποίοι επιδέχονται έναν μη τετριμμένο, δεύτερης τάξης, τανυστή Killing Φοιτητής: Θεόδωρος Παΐλας Α.Μ:201428 Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Αναπ.Καθ. Θεοδόσιος Χριστοδουλάκης Επίκ.Καθ. Θεοχάρης Αποστολάτος Επίκ.Καθ. Νεκτάριος Βλαχάκης Μάρτιος 2016

Στους γονείς μου, Νικόλαο και Αφροδίτη, που τόσο μοχθούν για να μου παρέχουν, όσα δεν γεύτηκαν εκείνοι.

Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 2 Βασική θεωρία 3 2.1 Γραμμικός ανυσματικός χώρος................. 3 2.2 Ανυσματική άλγεβρα...................... 4 2.3 Πολλαπλότητα.......................... 4 2.4 Εφαπτόμενος χώρος....................... 5 2.5 Συνεφαπτόμενος χώρος..................... 6 2.6 Λαγκρανζιανός φορμαλισμός.................. 8 2.6.1 Γενικός μετασχηματισμός συντεταγμένων...... 9 2.6.2 Μετασχηματισμοί συμμετρίας............. 10 2.6.3 Θεώρημα Noether.................... 12 2.6.4 Ειδική περίπτωση.................... 13 2.7 Χαμιλτονιανός Φορμαλισμός.................. 14 2.7.1 Εξισώσεις Hamilton................... 14 2.7.2 Αγκύλες Poisson..................... 14 2.7.3 Συνθήκη συμμετρίας-φορτία Noether......... 15 2.7.4 Αλγεβρα των φορτίων Noether............ 16 2.8 Schouten-Nijenhuis άλγεβρα.................. 17 2.9 Κλειστή S-N άλγεβρα...................... 18 2.9.1 Παράδειγμα....................... 19 2.10 Ελεύθερο σχετικιστικό σωμάτιο σε καμπύλο χωρόχρονο... 21 2.10.1 Εξίσωση Killing..................... 22 3 Κατασκευή χωρόχρονων 24 3.1 Εύρεση γεννητόρων....................... 24 3.1.1 Ειδική περίπτωση.................... 25 3.2 3D άλγεβρες Killing τανυστών πρώτης τάξης......... 26 3.3 2D αναπαράσταση Killing τανυστών πρώτης τάξης..... 28 3.3.1 Μετρικές μέγιστα συμμετρικών δισδιάστατων επιφανειών........................... 33 3.4 Τανυστής Killing δεύτερης τάξης................ 36 3.5 Εφαρμογή στον τετραδιάστατο χωρόχρονο.......... 39 4 Λύσεις εξισώσεων Einstein 44 4.1 Λύσεις στο κενό......................... 46 4.2 1+3 ανάλυση........................... 49 4.3 Λύσεις υπό την παρουσία ύλης................. 51

5 Συμπεράσματα 59 Βιβλιογραφία 60

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο πλαίσιο της γενικής σχετικότητας, ένα βασικό πρόβλημα είναι η δυσκολία εύρεσης λύσεων των εξισώσεων Einstein, λόγω της πολυπλοκότητάς των. Το βαρυτικό δυναμικό περιγράφεται από ένα συμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης, τον οποίο καλούμε μετρική και έχει αντικαταστήσει την επίπεδη μετρική Minkowski της ειδικής σχετικότητας. Στις τέσσερις διαστάσεις το πλήθος των ανεξάρτητων συνιστωσών του μετρικού τανυστή είναι δέκα. Η δυναμική του εξέλιξη περιγράφεται από ένα σύνολο δέκα μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, δεύτερης τάξης, τις οποίες ονομάζουμε εξισώσεις Einstein. Η εύρεση γενικής λύσης είναι, αν όχι απίθανη, εξαιρετικά δύσκολη. Η δυσκολία αυτή παρακάμπτεται με την απλοποίηση του μετρικού τανυστή μέσω της χρήσης συμμετριών. Το είδος συμμετριών που χρησιμοποιούνται συνήθως, είναι συμμετρίες οι οποίες συνδέονται με την ομογένεια και την ισοτροπία του χωρόχρονου. Για σωματίδια τα οποία ακολουθούν γεωδαισιακές τροχίες στον χωρόχρονο, η ύπαρξη ομογένειας ή και ισοτροπίας, έχει ως αποτέλεσμα την ύπαρξη ολοκληρωμάτων κίνησης, γραμμικών στις τετραορμές. Συνεπώς μπορούμε να κινηθούμε και στην αντίθετη πορεία, δηλαδή, επιβάλλοντας τα σωματίδια να έχουν συγκεκριμένα ολοκληρώματα κίνησης, ελέγχουμε την επίδραση που έχει αυτό, στον μετρικό τανυστή. Στην εργασία αυτή λοιπόν θα απαιτήσουμε την ύπαρξη γραμμικών ολοκληρωμάτων κίνησης αλλά επιπλέον και ενός, μη-τετριμμένου, τετραγωνικού ολοκληρώματος ως προς τις τετραορμές. Ένα ολοκλήρωμα της κίνησης καλείται μη-τετριμμένο όταν δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ολοκληρωμάτων κίνησης μικρότερης τάξης. Τα ολοκληρώματα κίνησης αυτής της μορφής, συνδέονται με την έννοια των τανυστών Killing πρώτης και δεύτερης τάξης. Οι τανυστές Killing πρώτης τάξης, συνδέονται με μετασχηματισμούς συμμετρίας στον χωρόχρονο και οδηγούν σε γραμμικά ολοκληρώματα κίνησης στις ορμές, ενώ οι δεύτερης τάξης, με μετασχηματισμούς συμμετρίας στον χώρο των φάσεων, οδηγώντας σε ολοκληρώματα κίνησης τετραγωνικά στις ορμές. Ο τρόπος επιλογής των τανυστών Killing θα γίνει με βάση αλγεβρικές τους ιδιότητες τις οποίες θα μελετήσουμε. Η δομή που θα ακολουθήσουμε είναι η εξής: Αρχικά στο κέφαλαιο 2 θα αναπτύξουμε την βασική θεωρία, σχετικά με τους μετασχηματισμούς συμμετρίας, τα ολοκληρώματα κίνησης, τους τανυστές Killing, καθώς και την άλγεβρα που εκείνοι ικανοποιούν. Μέσω του 1

χαμιλτονιανού φορμαλισμού και των αγκύλων Poisson θα εισαγάγουμε την έννοια των αγκύλων Schouten-Nijenhouis (S-N), υπό την οποία οι τανυστές Killing σχηματίζουν άλγεβρα. Η αγκύλη S-N παρέχει τον τρόπο με τον οποίο θα προσδιορίσουμε τους τανυστές Killing καθώς επίσης και τον τρόπο με τον οποίο αυτοί επιδρούν στον μετρικό τανυστή. Στο κεφάλαιο 3 θα απαιτήσουμε αρχικά ένα συγκεκριμένο αριθμό τανυστών Killing, ο οποίος θα μας εφοδιάσει με τις αντίστοιχες άλγεβρες, ενώ στην συνέχεια θα επικεντρωθούμε στην αναπαράσταση τους, ως τανυστικά πεδία σε μια μετρική πολλαπλότητα. Στο τέλος του κεφαλαίου θα εφαρμόσουμε τους τανυστές Killing στον μετρικό τανυστή και θα καταλήξουμε στην μορφή του εκείνη, η οποία είναι εφοδιασμένη με τις αντίστοιχες συμμετρίες. Σε αυτό το σημείο θα έχουμε κατασκευάσει τις μετρικές. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε τους μετρικούς τανυστές που βρήκαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και θα αναζητήσουμε λύσεις των εξισώσεων Einstein. Αρχικά θα αναζητήσουμε λύσεις του κενού. Στην συνέχεια θα ερευνήσουμε λύσεις υπό την παρουσία ύλης. Για διευκόλυνση και καλύτερη κατανόηση αυτών των λύσεων θα χρησιμοποιήσουμε την 1+3 ανάλυση. Με αυτόν τον τρόπο θα σκιαγραφήσουμε την ύλη που υπάρχει, μέσω μακροσκοπικών ιδιοτήτων της, δηλαδή πυκνότητας ενέργειας, του τανυστής πίεσης, και της ροή ενέργειας, χωρίς να ασχοληθούμε με τα επιμέρους συστατικά της ύλης. Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κύριο επιβλέποντα της εργασίας, Αναπ.Καθ. Θεοδόσιο Χριστοδουλάκη, υπό την καθοδήγηση και την διδασκαλία του οποίου κατάφερα να φέρω εις πέρας αυτήν την εργασία. Επίσης, ένα μεγάλο ευχαριστώ στον διδάκτορα Πέτρο Τερζή, ο οποίος μέσω συμβουλών, συζητήσεων και διορθώσεων, βοήθησε σε μεγάλο βαθμό στην πραγμάτωση αυτής της εργασίας 2

2 Βασική θεωρία Στις πρώτες παραγράφους θα αναφέρουμε περιληπτικά μερικές βασικές μαθηματικές έννοιες τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε σε επόμενα κεφάλαια. 2.1 Γραμμικός ανυσματικός χώρος Ένας χώρος ο οποίος αποτελείται από Ένα πεδίο F, με στοιχεία f 1, f 2,... F (π.χ οι πραγματικοί αριθμοί) Ένα σύνολο V από στοιχεία v 1, v 2,... V, τα οποία καλούνται ανύσματα και παράλληλα είναι εφοδιασμένος με δύο πράξεις Πρόσθεση (+): V V V Βαθμωτός πολλαπλασιασμός ( ): F V V καλείται γραμμικός ανυσματικός χώρος, εαν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Το σύνολο V είναι μεταθετική ομάδα υπό την πράξη της πρόσθεσης. u i V, u j V υπάρχει u k V τέτοιο ώστε u k = u i + u j (κλειστότητα) u k + (u i + u j ) = (u k + u i ) + u j (προσεταιριστικότητα) u k + u 0 = u k όπου u 0 το ταυτοτικό στοιχείο (ύπαρξη ταυτοτικού στοιχείου) u k + ( u k ) = u 0 όπου u k ο αντίστροφος του u k (ύπαρξη αντιστρόφου) u k + u i = u i + u k (μεταθετική ιδιότητα) 2. Υπό την πράξη του βαθμωτού πολλαπλασιασμού f i F, u j V υπάρχει u k V τέτοιο ώστε u k = f i u j f i (f j u k ) = (f i f j ) u k f 0 u k = u k όπου f 0 το ταυτοτικό στοιχείο του συνόλου F f i (u j + u k ) = f i u j + f i u k 3

(f i + f j ) u k = f i u k + f j u k Παρατήρηση : οι δείκτες (i, j, k) που θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω, αναφέρονται σε κάποιο συγκεκριμένο άνυσμα του χώρου και όχι στις συνιστώσες του σε κάποια βάση. 2.2 Ανυσματική άλγεβρα Μια ανυσματική άλγεβρα είναι ένας γραμμικός ανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με μια επιπλέον πράξη, η οποία καλείται Ανυσματικός πολλαπλασιαμός ( ): V V V Υπό την νέα αυτή πράξη, πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: 1. u i V, u j V υπάρχει u k V τέτοιο ώστε u k = u i u j 2. (u i + u j ) u k = u i u k + u j u k Υπάρχουν άλγεβρες οι οποίες ενδέχεται να ικανοποιούν και κάποιες επιπλέον ιδιότητες. Μερικές από αυτές είναι (u i u j ) u k = u i (u j u k ) (Προσεταιριστική) u i u j = ±u j u i (Μετα/Αντιμεταθετική) u i (u j u k ) + u j (u k u i ) + u k (u i u j ) = 0 (Jacobian)... 2.3 Πολλαπλότητα Έστω Μ τοπολογικός χώρος του Hausdorf και U ν σύνολο από ανοιχτές περιοχές οι οποίες καλύπτουν τον Μ, δηλαδή ν U ν = M. Θεωρούμε την ύπαρξη απεικόνισης Ψ ν τέτοια ώστε Ψ ν : U ν V ν όπου V ν R n. Αποτελεί την εικόνα κάθε ανοιχτής περιοχής της πολλαπλότητας, στον R n. Το ζεύγος (U ν, Ψ ν ) καλείται χάρτης και αποτελεί τοπικό σύστημα συντεταγμένων στη γειτονική περιοχή ενός σημείου p M. Αντίστοιχα οι συναρτήσεις συντεταγμένων της εικόνας του σημείου p σε αυτό το τοπικό σύστημα, συμβολίζονται ως (x a ) με (a = 1,..., n). Όταν έχουμε δύο χάρτες (U ν, U µ ), η τομή των οποίων είναι διάφορη του κενού συνόλου (U ν U µ ) και θεωρούμε σημείο p U ν U µ, τότε υπάρχουν δύο διαφορετικές απεικονίσεις του σημείου p, με συντεταγμένες (x a ) 4

και ( x a ) αντίστοιχα. Δύο χάρτες ονομάζονται C k συμβιβαστοί όταν για τις συναρτήσεις x a = f a ( x b) υπάρχουν k το πλήθος, συνεχείς μερικές παράγωγοι ( ) k f a (x b ) x bk Αντίστοιχα η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι διάφορη του μηδενός και συνεπώς υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός x a = (f a 1 ) ( x b) Ένα σύνολο από C k συμβιβαστούς χάρτες αποτελεί έναν άτλαντα της Μ. Δύο άτλαντες είναι ισοδύναμοι όταν για {(U ν, Ψ ν ) /ν I, I R} και {(U µ, Ψ µ ) /µ I, I R} υπάρχει άτλαντας με {(U σ, Ψ σ ) /σ I I }. Ορισμός πολλαπλότητας Μια C k διαφορίσιμη πολλαπλότητα, είναι ένας τοπολογικός χώρος του Hausdorf εφοδιασμένος με μια κλάση ισοδυναμίας από C k άτλαντες.. 2.4 Εφαπτόμενος χώρος Έστω σημείο p M και (U µ, Ψ µ ) ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων, με συναρτήσεις συντεταγμένων q µ, (µ = 1,..., n), όπου n, η διάσταση της πολλαπλότητας. Θεωρούμε τώρα παραμετρική καμπύλη γ(t): I M με I R, όπου για κάποια τιμή της παραμέτρου t = t, ισχύει γ(t ) = p. Το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο p ορίζεται ως u p = d(f γ) dt γ(t, ενώ αποτελεί απεικόνιση από τον χώρο των λείων συναρτήσεων στον χώρο των πραγματικών )=p αριθμών. u p : C (M) R (1) Αποδεικνύεται πως σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο p, μπορεί να εκφραστεί ως u p = u µ (q ν ) (2) q µ γ(t )=p όπου u µ (q ν ) είναι οι συνιστώσες του διανύσματος σε αυτό το σύστημα. Ορισμός εφαπτόμενου χώρου Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε ένα σημείο p της πολλαπλότητας, εφοδιασμένο με την πράξη της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, αποκτά δομή γραμμικού ανυσματικού χώρου, ο οποίος ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος και συμβολίζεται ως T p M. Τα διανύσματα q µ γ(t )=p αποτελούν βάση στον T p M, η οποία ονομάζεται συντεταγμένη βάση. Επίσης η διάσταση του εφαπτόμενου χώρου είναι ίση 5

με την διάσταση της πολλαπλότητας. Διανυσματικό πεδίο Στην περίπτωση όπου το διάνυσμα u μεταβάλλεται με ομαλό τρόπο από ένα σημείο της πολλαπλότητας σε ένα άλλο, τότε το σύνολο των εφαπτόμενων διανυσμάτων για p M αποτελεί ένα διανυσματικό πεδίο. Ισοδύναμος τρόπος ονομασίας είναι, ανταλλοίωτο τανυστικό πεδίο πρώτης τάξης. Συνεπώς σε ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων, ένα τέτοιο πεδίο μπορεί να αναπαρασταθεί ως 2.5 Συνεφαπτόμενος χώρος u = u µ (3) q µ Ένα συνεφαπτόμενο διάνυσμα ω p στο σημείο p, ορίζεται ως η απεικόνιση από τον εφαπτόμενο χώρο, στον χώρο των πραγματικών αριθμών. ω p : T p (M) R (4) Ορισμός συνεφαπτόμενου χώρου Το σύνολο των συνεφαπτόμενων διανυσμάτων στο σημείο p της πολλαπλότητας, εφοδιασμένο με την πράξη της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού αποκτά δομή γραμμικού ανυσματικού χώρου, ο οποίος ονομάζεται συνεφαπτόμενος χώρος και συμβολίζεται ως T pm. Τα συνεφαπτόμενα διανύσματα dq µ γ(t )=p αποτελούν την δϋική βάση της βάσης του εφαπτόμενου χώρου, έτσι ώστε dx µ ( q ν ) γ(t )=p = δµ ν (5) Συνεπώς κάθε συνεφαπτόμενο διάνυσμα στο p μπορεί να εκφραστεί ως ω p = ω µ dq µ γ(t )=p. Συναλλοίωτο τανυστικό πεδίο Όταν το ω μεταβάλλεται με ομαλό τρόπο από ένα σημείο της πολλαπλότητας σε ένα άλλο, τότε το σύνολο των συνεφαπτόμενων διανυσμάτων για p M αποτελεί ένα συναλλοίωτο τανυστικό πεδίο πρώτης τάξης (ή 6

1-μορφή). Η αναπαράσταση σε τοπικό σύστημα εκφράζεται ως ω = ω µ dq µ (6) Εν κατακλείδι ένα τανυστικό πεδίο τάξης ( r s), εκφράζεται σε ένα τοπικό σύστημα ως T = T i 1i 2...i r j 1 j 2...j s q i 1 q... i 2 q dqj 1 dq j 2... dq j s (7) ir 7

2.6 Λαγκρανζιανός φορμαλισμός Σε αυτό το σημείο θα κάνουμε μια μικρή εισαγωγή στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό για να μελετήσουμε τις συμμετρίες της δράσης, και αντίστοιχα το θεώρημα Noether, το οποία μας παρέχει τα ολοκληρώματα κίνησης, κεντρικό σημείο αυτής της εργασίας. Έστω σύστημα με πεπερασμένο πλήθος βαθμών ελευθερίας q µ (µ = 1,..., N), η δυναμική του οποίου περιγράφεται από συναρτησοειδές της μορφής, S[q µ (λ), λ] = λ2 λ 1 L[q m (λ), q m (λ), q m (λ),..., (n) q m (λ) λ (n), λ]dλ (8) αποκαλούμενο ως δράση του συστήματος. Η συνάρτηση L[q m (λ), q m (λ), q m (λ),..., (n) q m (λ), λ] καλείται λαγκρανζιανή και η φυσική λ (n) τροχιά που θα ακολουθήσει το σύστημα ορίζεται πως πρέπει να είναι λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange. Αυτές οι εξισώσεις προκύπτουν από την εύρεση του ακροτάτου της δράσης. Δύο περιπτώσεις μας ενδιαφέρουν στην παρούσα εργασία: Περίπτωση 1 2 L S[q µ (λ), λ] = λ2 λ 1 L[q m (λ), q m (λ), λ]dλ με εξισώσεις E-L L q d ( ) L = 0 µ dλ q µ q µ q ν qν 2 L q µ q ν qν 2 L λ q + L µ q = 0 (9) µ Για regular (άνευ συνδέσμων) συστήματα, δηλαδή det(w ) 0, όπου W µν = 2 L, πρόκειται για μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης q µ q ν q ν = E ν (q σ, q σ, λ) όπου E ν (q σ, q σ, λ) = W νµ ( 2 L q µ q ν q ν + L q µ ) με W µν W νκ = δ κ µ. 8

Περίπτωση 2 S[q µ (λ), λ] = λ2 λ 1 L[q m (λ), q m (λ), q m (λ), λ]dλ με εξισώσεις E-L L q d ( ) ( ) L + d2 L = 0 µ dλ q µ dλ 2 q µ L q µ... + 2 L Για regular συστήματα, δηλαδή det(w ) 0 όπου W µν = για μερικές διαφορικές εξισώσεις τέταρτης τάξης (4) q ν = E ν (q µ, q µ, q µ, q (3) µ, λ) 2.6.1 Γενικός μετασχηματισμός συντεταγμένων Θεωρούμε ένα regular σύστημα με δράση S[Q µ (λ), λ] = λ2 Υποθέτουμε γενικούς μετασχηματισμούς της μορφής (4) q ν = 0 (10) q µ q ν 2 L, πρόκειται q µ q ν L[Q µ (λ), Q µ (λ), λ]dλ (11) λ 1 και εξισώσεις E-L L Q d ( ) L µ dλ Q µ = 0 (12) λ = h(q ν, q ν, τ) Q µ (λ) = f µ (q ν, q ν, τ) (13) Q µ = dqµ dλ = f µ (q ν, q ν, τ) dτ dλ υπό τους οποίους η παραπάνω δράση μετασχηματίζεται σε S[Q µ (λ), λ] = λ 2 L[Q µ (λ), Q µ (λ), λ]dλ = τ 2 τ 1 = τ 2 τ 1 L λ 1 [ f µ (q ν, q ν, τ), f µ (q ν, q ν, τ) dτ dλ, h(qν, q ν, τ) L [q µ (τ), q µ (τ), q µ (τ), τ] dτ = S[q µ (τ), τ] λ2 λ 1 L[Q µ (λ), Q µ (λ), λ]dλ = τ2 ] dh(q ν, q ν,τ) dτ dτ τ 1 L [q µ (τ), q µ (τ), q µ (τ), τ] dτ (14) 9

Για την νέα λαγκρανζιανή L στις νέες συντεταγμένες q µ προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις E-L L ( q d L ) ( + d2 L ) = 0 (15) µ dτ q µ dτ 2 q µ Οι εξισώσεις (12) και (15) περιγράφουν το ίδιο φυσικό σύστημα σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. Μορφολογικά οι εξισώσεις εν γένει διαφέρουν. 2.6.2 Μετασχηματισμοί συμμετρίας Έστω πως οι μετασχηματισμοί (13) είναι παραμετρικοί μετασχηματισμοί, με συνεχείς παραμέτρους ϵ I, όπου το μετρά το πλήθος αυτών, I = 1,..., Y. λ = h(q ν, q ν, τ, ϵ I ) Q µ (λ) = f µ (q ν, q ν, τ, ϵ I ) (16) Q µ = dqµ dλ = f µ (q ν, q ν, τ, ϵ I ) dτ dλ Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε μια πολυ-παραμετρική ομάδα Lie, όταν ικανοποιούνται τα παρακάτω 1. Υπάρχουν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί 2. Για ϵ I = 0 έχουμε τους ταυτοτικούς μετασχηματισμούς 3. Το αποτέλεσμα επαναλαμβανόμενων μετασχηματισμών, είναι μετασχηματισμός της ίδιας ομάδας Οι μετασχηματισμοί (16) καλούνται μετασχηματισμοί συμμετρίας της δράσης, αν σε πρώτη τάξη ως προς τις παραμέτρους, ισχύει η συνθήκη συμμετρίας τ2 [ L f µ (q ν, q ν, τ, ϵ I ), f µ (q ν, q ν, τ, ϵ I ) dτ ] dh(q ν τ 1 dλ, τ, q ν, τ, ϵ I ) τ2 dτ = L [q µ (τ), q µ (τ), τ] dτ dτ τ 1 τ2 df [q µ (τ), q µ (τ), τ] + dτ + O(ϵ 2 ) τ 1 dτ (17) 10

Όπου F [q µ (τ), q µ (τ), τ] είναι μια τυχαία συνάρτηση εν γένει διάφορη του μηδενός. Η σχέση (17) έχει προκύψει κάνοντας την εξής βασική υπόθεση τ2 τ 1 L [q µ (τ), q µ (τ), q µ (τ), τ] dτ = τ2 τ 1 L [q µ (τ), q µ (τ), τ] dτ + τ2 dω[q µ (τ), q µ (τ), τ] dτ τ 1 dτ (18) η οποία εξασφαλίζει πως οι εξισώσεις E-L (12),(15) είναι μορφολογικά ίδιες. Παρατήρηση: Η συνθήκη (17) απαιτείται να ισχύει modulo τις εξισώσεις E-L L q d µ dτ ( ) L = 0 (19) q µ ή ισοδύναμα q µ = A µ (q ν, q ν, τ) (20) Στην γενικότητα της, η εξίσωση (17) είναι δύσκολο να μας δώσει πληροφορίες για τους γενικούς αυτούς μετασχηματισμούς. Το πρόβλημα παρακάμπτεται αν υποθέσουμε απειροστούς μετασχηματισμούς ως προς τις παραμέτρους ϵ I, η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των οποίων γεννά τους πεπερασμένους μετασχηματισμούς. Συγκεκριμένα αναπτύσουμε κατά Taylor στην περιοχή των ταυτοτικών μετασχηματισμών και κρατάμε όρους πρώτης τάξης. λ = τ + ϵ I dλ dϵ I + O(ϵ 2 ) ϵ I =0 Q µ (λ) = q µ (τ) + ϵ I dqµ (λ) dϵ I + O(ϵ 2 ) (21) ϵ I =0 Q µ = dqµ dλ = qµ (τ) + ϵ I dq µ (λ) dϵ I + O(ϵ 2 ) ϵ I =0 Ισοδύναμα λ = τ + ϵ I η I (q µ, q µ, τ) + O(ϵ 2 ) Q µ (λ) = q µ (τ) + ϵ I Z µ I (qµ, q µ, τ) + O(ϵ 2 ) (22) Q µ = dqµ dλ = qµ (τ) + ϵ I Λ µ I (qµ, q µ, τ) + O(ϵ 2 ) όπου λόγω της συνθήκης αυτοσυνέπειας, Q µ = dqµ dλ, προκύπτει Λ µ I = Żµ I qµ η I (23) 11

Οι συναρτήσεις η I (q µ, q µ, τ) και Z µ I (qµ, q µ, τ) καλούνται απειροστοί γεννήτορες των μετασχηματισμών. Η εύρεση των γεννητόρων θα μας επιτρέψει να βρούμε και τους πεπερασμένους μετασχηματισμούς μέσω των σχέσεων dλ dϵ I = η I(Q µ, Q µ, λ) dq µ dϵ I = Z µ I (Qµ, Q µ, λ) με αρχικές συνθήκες ϵ I = 0 λ = τ, Q µ = q µ Υπό το πρίσμα των απειροστών μετασχηματισμών η συνθήκη συμμετρίας (17), σε πρώτη τάξη ως προς τις παραμέτρους, γίνεται L η I τ + L ) L Zµ I (Żµ q + µ I qµ η I q + η IL = df I µ dτ (24) Μέσω των εξισώσεων (24), modulo τις εξισώσεις E-L (20), για δεδομένη λαγκρανζιανή L, προσδιορίζονται οι γεννήτορες των μετασχηματισμών. 2.6.3 Θεώρημα Noether Σε κάθε απειροστό μετασχηματισμό της δράσης, του οποίου οι γεννήτορες ικανοποιούν τις εξισώσεις (24), αντιστοιχούν (I) το πλήθος, διατηρήσιμα φορτία, η εκπεφρασμένη μορφή των οποίων είναι W I = Z µ I (qµ, q µ, τ) L ( q + η I(q µ, q µ, τ) L q µ L ) F (q µ, q µ, τ) (25) µ q µ και καλούνται φορτία Noether. Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι dw I = 0 dτ modulo τις E-L και τη σχέση (24). Με άλλα λόγια η παραπάνω σχέση καταλήγει στη συνθήκη συμμετρίας (24). 12

2.6.4 Ειδική περίπτωση Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας θα απλοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς συμμετρίας υποθέτωντας για τους γεννήτορες τα παρακάτω η I = 0, I λ = τ + O(ϵ 2 ) (26) Z µ I = U µ(i 1i 2...i n ) I (q ν ) L q (i 1 Q µ = q µ + ϵ I U µ(i 1i 2...i n ) I (q ν ) L q (i 1 Q µ = q µ (τ) + ϵ I d dτ ( U µ(i 1i 2...i n ) I (q ν ) L q (i 1 L q i 2 L q i 2 L q i 2... L q i n)... L q i n) + O(ϵ2 ) (27) ) L... + O(ϵ 2 ) (28) q in) F I (q ν, q ν, τ) = 0, I (29) όπου το n μετρά την τάξη του πολυωνύμου με τιμές n = (0,..., l) με l 0. Για n = 0 έχουμε πολυώνυμο μηδενικής τάξης ως προς L Οι Y το πλήθος συναρτήσεις U µi 1i 2...i n I (q ν ) αποτελούν τις συνιστώσες των Y πλήρως συμμετρικών ανταλλοίωτων τανυστών τάξης (n + 1), οι οποίοι σε κάποια συντεταγμένη βάση εκφράζονται ως q κ. U I = U (µi 1i 2...i n ) I (q ν ) q (µ q i 1 q... (30) i 2 q i n) Αντίστοιχα τα φορτία Noether σε αυτήν την περίπτωση απλοποιούνται και γίνονται W I = U (µi 1i 2...i n ) I (q ν ) L L q (µ q i 1 L q i 2... L q i n) (31) 13

2.7 Χαμιλτονιανός Φορμαλισμός Σε αυτή την παράγραφο θα επαναδιατυπώσουμε τις εκφράσεις των φορτίων Noether και της συνθήκης συμμετρίας στα πλαίσια του χαμιλτονιανού φορμαλισμού. Ο λόγος για κάτι τέτοιο είναι ότι εμφανίζεται η έννοια των αγκύλων Schouten-Nijenhuis(S-N) και η σχέση τους με τις αγκύλες Poisson. Οι αγκύλες S-N είναι από τα βασικά μαθηματικά αντικείμενα που θα χρειαστούμε στο δεύτερο κεφάλαιο. 2.7.1 Εξισώσεις Hamilton Η κατάσταση ενός συστήματος στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό αναπαρίσταται ως ένα σημείο στον χώρο των φάσεων ( ) q k, p k, όπου pk είναι οι γενικευμένες ορμές. Για να μεταβούμε λοιπόν από τον λαγκρανζιανό στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις ορμές p k = L = f q k k (q m, q m, τ) αντί των γενικευμένων ταχυτήτων q k. Στην περίπτωση regular συστημάτων, δηλαδή με W mn = det(w ) 0 2 L q m q n = p m q n (32) υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f k έτσι ώστε όλες οι γενικευμένες ταχύτητες μπορούν να γραφούν ως συναρτήσεις των κανονικών ορμών και θέσεων, q k = (f k ) 1 (q m, p m, τ). Η χαμιλτονιανή συνάρτηση ορίζεται μέσω του μετασχηματισμού Legendre: H[q k (τ), p k (τ), τ] = q k (τ) p k (τ) L[q m (τ), q m (τ), τ] H(q k, p k, τ) = f k (q m, p m, τ) p k L(q m, f k (q m, p m, τ), τ) (33) και οι εξισώσεις Hamilton είναι 2.7.2 Αγκύλες Poisson q k = H p k ṗ k = H (34) q k H τ = L τ Ο χώρος των φάσεων είναι εφοδιασμένος με μια διγραμική μορφή {, }: X H X H X H η οποία καλείται αγκύλη Poisson. Για δύο συναρτή- 14

σεις A,B του χώρου των φάσεων ορίζεται ως {A, B} = A q k B p k A p k B q k (35) Από τον ορισμό της προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες 1. {A,B}=-{B,A} 2. {a A+b B,K}=a {A,K}+b {B,K} 3. {A B,K}={A,K} B+A {B,K} 4. {A,{B,K}}+{B,{K,A}}+{K,{A,B}}=0 Οι θεμελειώδης αγκύλες είναι : {q m, q n } = 0, {p m, p n } = 0, {q m, p n } = δ m n (36) Η δυναμική εξέλιξη μιας οποιαδήποτε συνάρτησης του χώρου των φάσεων, έστω A(q k, p k, τ), μπορεί να εκφραστεί μέσω των αγκύλων Poisson, da dτ = A τ + A dq k q k dτ + A dp k p k dτ (37) χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Hamilton da dτ = A τ + A H A H (38) q k p k p k q k και με βάση τις αγκύλες Poisson, καταλήγουμε da dτ = A + {A, H} (39) τ 2.7.3 Συνθήκη συμμετρίας-φορτία Noether Σε αυτό το σημείο ας επαναδιατυπώσουμε την συνθήκη συμμετρίας και τα φορτία Noether στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό, για την ειδική περίπτωση που αναφέραμε παραπάνω. Φορτία Noether: Με βάση τον ορισμό, p κ = L q κ, προκύπτει W I = U (µi 1i 2...i n ) I (q ν )p (µ p i1 p i2...p in ) (40) 15

Συνθήκη συμμετρίας: Με βάση την σχέση (39) και λαμβάνοντας υπόψη την μορφή των W I, καθώς και τις εξισώσεις Hamilton, προκύπτει dw I dτ = {W I, H} = 0 U (µi 1i 2...i n) I (q ν ) H p q κ (µ p i1 p i2...p in) U (µi 1i 2...i n) I (q ν ) p (µp i1 p i2...p in ) H p κ p κ q = 0 κ (41) 2.7.4 Αλγεβρα των φορτίων Noether Ας υποθέσουμε πως με κάποιον τρόπο έχουμε βρει όλα τα φορτία Noether σε ένα πρόβλημα. Εν γένει μπορεί να είναι πολυώνυμα διαφορετικής τάξης. Έστω τώρα πως παίρνουμε δύο τυχαία φορτία, B I, A J για τα οποία ισχύει {B I, H} = 0 {A J, H} = 0 Τότε η αγκύλη Poisson αυτών, είναι και πάλι φορτίο Noether. Αυτό προκύπτει από την ταυτότητα Jacobi. {H, {B I, A J }} + {B I, {A J, H}} + {A J, {H, B I }} = 0 {{B I, A J }, H} = {B I, {A J, H}} {A J, {B I, H}} {{B I, A J }, H} = {B I, 0} {A J, 0} {{B I, A J }, H} = 0 (42) Εφόσον όμως έχουμε βρει όλα τα φορτία, αυτό συνεπάγεται πως η αγκύλη Poisson των δύο, δεν μπορεί παρά να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των φορτίων. {B I, A J } = C Y IJQ Y (43) όπου CIJ Y είναι σταθερές, οι οποίες καλούνται σταθερές δομής. Το (-) αποτελεί απλά σύμβαση. Παρατηρούμε από την παραπάνω σχέση πως τα φορτία Noether, σχηματίζουν άλγεβρα υπό τις αγκύλες Poisson. 16

Το επόμενο ερώτημα που τίθεται αφορά την τάξη του πολυωνύμου της αγκύλης Poisson, δύο φορτίων Noether. Υποθέτουμε B I = B (i 1i 2...i u) I (q ν )p i1 p i2...p iu και A J = A (i 1i 2...i w ) J (q ν )p i1 p i2...p iw όπου εν γένει u w με B (i 1i 2...i u ) I (q ν ), A (i 1i 2...i w ) J (q ν ) να αποτελούν τις συνιστώσες δύο ανταλλοίωτων, πλήρως συμμετρικών τανυστών. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να δειχθεί ότι {B I, A J } = {B (i 1i 2...i u) I (q ν )p i1 p i2...p iu, A (i 1i 2...i w) (q ν )p i1 p i2...p iw } όπου [B I, A J ] i 1...i u+w 1 sn J {B I, A J } = [B I, A J ] i 1...i u+w 1 sn p i1...p iu+w 1 (44) = ub µ(i 1...i u 1 A i u...i w+u 1) q µ wa µ(i 1...i w 1 Biw...iw+u 1) q µ (45) να αποτελούν τις συνιστώσες ανταλλοίωτου, πλήρως συμμετρικού τανυστή τάξης (u + w 1) Με βάση την σχέση (45) ορίζονται οι αγκύλες και αντίστοιχα η άλγεβρα Schouten-Nijenhuis. 2.8 Schouten-Nijenhuis άλγεβρα Η Schouten-Nijenhuis άλγεβρα είναι η άλγεβρα η οποία είναι εφοδιασμένη με μια διγραμμική μορφή [, ] sn, (ως πράξη ανυσματικού πολλαπλασιασμού), η οποία δρα επί συμμετρικών τανυστών, εν γένει διαφορετικής τάξης. Σε κάποιο τοπικό σύστημα συντεταγμένων μπορεί να εκφραστεί μέσω των συνιστωσών της όπου [B I, A J ] sn = [B I, A J ] i 1...i u+w 1 sn [B I, A J ] i 1...i u+w 1 sn = ub µ(i 1...i u 1 A i u...i w+u 1) q µ q (i 1 q... (46) i 2 q i u+w 1) 17 wa µ(i 1...i w 1 Biw...iw+u 1) q µ

Η διγραμμική αυτή μορφή ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες [, ] sn : V n V m V n+m 1, u i V n, w j V m υπάρχει y k V n+m 1 τέτοιο ώστε y k = [u i, w j ] sn. Όπου n,m οι τάξεις των τανυστών που ανήκουν στους αντίστοιχους χώρους V n, V m. [y i + w j, u k ] sn = [y i, u k ] sn + [w j, u k ] sn [u i, w k ] sn = [w k, u i ] sn [u i w j, y k ] sn = u i [w j, y k ] + [u i, y k ] w j [ u i, [w j, y k ] sn ] sn + [w j, [y k, u i ] sn ] sn + [ y k, [u i, w j ] sn ]sn = 0 Η άλγεβρα S-N αποτελεί μια γενίκευση της ανυσματικής άλγεβρας που αναφέραμε σε προηγούμενη παράγραφο, συνήθως αποκαλούμενη και ως graded άλγεβρα. 2.9 Κλειστή S-N άλγεβρα Έστω πως για κάθε ανυσματικό χώρο V n έχουμε βρεί μια βάση από ανύσματα, έτσι ώστε κάθε άνυσμα του αντίστοιχου χώρου να μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των ανυσμάτων βάσης (u i = U a i A a ) όπου A a τα ανύσματα βάσης. Μια άλγεβρα καλείται κλειστή υπό την αγκύλη S-N, όταν ισχύει [A a, B b ] sn = C s abq s (47) A a V n, B b V m, Q s V n+m 1 Με {A a } τα ανύσματα βάσης του V n,(a = 1,..., N n ), {B b } τα ανύσματα βάσης του V m,(b = 1, 2,...N m ) και {Q s } τα ανύσματα βάσης του V n+m 1,(s = 1, 2,...N n+m 1 ) όπου N n, N m, N n+m 1 είναι τα πλήθη των ανυσμάτων βάσης των αντίστοιχων χώρων. Παρατήρηση 1: Ο τρόπος με τον οποίο ορίσαμε την S-N αγκύλη ήταν μέσω του χαμιλτονιανού φορμαλισμού.θα μπορούσε να οριστεί χωρίς να κάνουμε καμία αναφορά στον συγκεκριμένο φορμαλισμό. Αυτό συνεπάγεται πως αναπαράσταση των τανυστικών πεδίων σε κάποια συγκεκριμένη βάση, δεν είναι απαραίτητη για τον ορισμό της αγκύλης S-N και αντίστοιχα της άλγεβρας, αλλά ούτε και των ιδιοτήτων αυτής. 18

Παρατήρηση 2: Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε το εξής. Ο προσδιορισμός των σταθερών δομής μας προσδιορίζει και το πλήθος των αλγεβρών που μπορεί να υπάρχουν. Ωστόσο οι σταθερές δομής δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένες. Υποθέτουμε αλλαγή βάσης στους διάφορους χώρους, δηλαδή A a = J k a Āk B b = I n b B n Q s = T m s Q m όπου J k a, I n b, T m s σταθεροί πίνακες μετασχηματισμού με detj 0,detI 0,detT 0 τότε προκύπτει [Ja k Āk, Ib n B n ] sn = CabT s s m Q m Ja k Ib n [Āk, B n ] sn = CabT s s m Q m Ja k Ib n C kn m Q m = CabT s s m Q m C kn m = CabT s s m (J 1 ) a k(i 1 ) n b (48) Η σχέση (48) είναι ο νόμος μετασχηματισμού των σταθερών δομής, υπό την αλλαγή βάσης. Επιπλέον μας παρέχει και όλες τις κλάσεις ισοδυναμίας μεταξύ των αλγεβρών. Με αυτό τον τρόπο οι άλγεβρες χωρίζονται σε κλάσεις και μειώνεται σημαντικά ο αριθμός των διαφορετικών αλγεβρών. 2.9.1 Παράδειγμα Έστω πως έχουμε δύο μόνο τανυστές ξ 1 και ξ 2, πρώτης τάξης και οι δύο. Εφόσον είναι πρώτης τάξης προκύπτει ότι η αγκύλη S-N των δύο είναι και πάλι πρώτης τάξης (n = 1, m = 1, n + m 1 = 1). Υποθέτουμε σε αυτό το σημείο πως έχουμε κατασκευάσει με κάποιον τρόπο τις άλγεβρες και [ξ 1, ξ 2 ] sn = ξ 1 (49) [ξ 2, ξ 1 ] sn = ξ 2 (50) 19

Εκ πρώτης όψεως μοιάζουν διαφορετικές, όμως συνδέονται με έναν μετασχηματισμό αλλαγής βάσης. Συγκεκριμένα αν για τη σχέση (49) θεωρήσουμε τον πίνακα μετασχηματισμού ( ) 0 1 J ν µ = τότε ( ξ1 ξ 2 ) = ( 0 1 1 0 1 0 ) ( ) ξ1 ξ 2 [ξ 1, ξ 2 ] sn = ξ 1 η οποία είναι ισοδύναμη με την (50) Συνεπώς ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας. [ ξ 2, ξ 1 ] sn = ξ 2 (51) 20

2.10 Ελεύθερο σχετικιστικό σωμάτιο σε καμπύλο χωρόχρονο Στην παρούσα εργασία θα αναζητήσουμε τα φορτία Noether και την συνθήκη συμμετρίας για την περίπτωση ενός σχετικιστικού σωματίου το οποίο κινείται ελεύθερο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο. Για να επιτύχουμε κάτι τέτοιο χρειαζόμαστε τόσο την λαγκρανζιανή όσο και την χαμιλτονιανή συνάρτηση που περιγράφει ένα τέτοιο σωματίδιο. Λαγκρανζιανή: Θεωρούμε την κοσμική γραμμή ενός σωματιδίου την οποία έχουμε παραμετροποιήσει με τον ιδιόχρονο του σωματιδίου. Η λαγκρανζιανή που περιγράφει την κίνηση ενός τέτοιου σωματιδίου, δίνεται από τη σχέση L = 1 2 g µν(q κ ) q µ q ν (52) όπου q ν = dqν dτ με το τ, ο ιδιόχρονος κατά μήκος της κοσμικής γραμμής του σωματιδίου και g µν (q κ ) η μετρική του χωρόχρονου. Οι εξισώσεις E-L είναι q κ = Γ κ µν(q σ ) q µ q ν (53) όπου τα Γ κ µν = 1 2 gκσ (g σµ,ν + g σν,µ g µν,σ ) είναι τα σύμβολα Christoffel. Χαμιλτονιανή: Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Legendre η αντίστοιχη χαμιλτονιανή δίνεται από την συνάρτηση και αντίστοιχα οι εξισώσεις Hamilton είναι H = 1 2 gµν (q κ )p µ p ν (54) q κ = H p κ = g κµ p µ (55) ṗ κ = H q κ = 1 2 gµν,κ p µ p ν (56) 21

2.10.1 Εξίσωση Killing Από την σχέση (40) έχουμε τα φορτία Noether W I = U (i 1i 2...i n ) I (q ν )p i1 p i2...p in (57) Πλέον γνωρίζουμε την εκπεφρασμένη μορφή της χαμιλτονιανής, συνεπώς για το συγκεκριμένο σύστημα η συνθήκη συμμετρίας θα μας δώσει την εξίσωση που πρέπει να ικανοποιούν οι γεννήτορες ( uu µ(i 1...i u 1 I dw I dτ g i ui u+1 ) q µ = {W I, H} = 0 [W I, H] i 1...i u+1 sn p i1...p iu+1 = 0 ) i2...iu+1) + 2g µ(i U 1 I p q µ i1...p iu+1 = 0 Χρησιμοποιώντας την συναλλοίωτη παράγωγο η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως U (i 1...i u ;i u+1 ) I p i1...p iu+1 = 0 (58) όπου με (;) συμβολίζουμε την συναλλοίωτη παράγωγο. Ο συμβολισμός U (i 1...i u;i u+1 ) είναι μια συντομογραφία της έκφρασης U I (i 1...i u;a g i u+1)a. Επειδή οι γεννήτορες U I είναι ανεξάρτητοι από τις ορμές, η σχέση (58) είναι ισοδύναμη με U (i 1...i u ;i u+1 ) I = 0 (59) Επίσης χρησιμοποιώντας το γεγονός πως η συναλλοίωτη παράγωγος της μετρικής είναι μηδέν, καταλήγουμε στην σχέση U I (i1...i u ;i u+1 ) = 0 (60) Όλες οι παραπάνω εκφράσεις είναι ισοδύναμες. Η σχέση (60) είναι ευρέως γνωστή ως εξίσωση Killing, ενώ οι γεννήτορες U I που ικανοποιούν αυτή, ως τανυστές Killing. Οι τανυστές Killing χωρίζονται στις παρακάτω δύο κατηγορίες: Αναγώγιμοι (reducible) Όταν ένας τανυστής Killing μπορεί να εκφραστεί ως τανυστικό γινόμενο 22

δύο ή και περισσότερων, τανυστών Killing μικρότερης τάξης, τότε καλείται αναγώγιμος. Επίσης η μετρική είναι και αυτή ένας τανυστής Killing δεύτερης τάξης ο οποίος θεωρείται τετριμμένος. Καλούνται και τετριμμένοι, διότι δεν προσφέρουν κάποια επιπλέον πληροφορία από τα ανάγωγα μέρη τους. Μη-Αναγώγιμοι (irreducible) Στην περίπτωση που δεν ισχύει το παραπάνω τότε καλούνται μη-αναγώγιμοι. Αντίστοιχα καλούνται και μη-τετριμμένοι. 23

3 Κατασκευή χωρόχρονων Η εξίσωση Killing (60) μπορεί να χρησιμοποιηθεί με δύο τρόπους. Στην πρώτη περίπτωση γνωρίζουμε τη μετρική του χωρόχρονου και χρησιμοποιούμε την εξίσωση ώστε να βρούμε τους γεννήτορες των μετασχηματισμών και αντίστοιχα τις συμμετρίες της μετρικής. Στην δεύτερη περίπτωση δεν γνωρίζουμε τη μετρική, αλλά με κάποιον τρόπο, έχουμε βρει τους γεννήτορες των συμμετριών που θέλουμε αυτή να έχει και χρησιμοποιώντας την εξίσωση Κilling, βλέπουμε την επίδραση αυτών πάνω στην μετρική. Εμείς θα εστιάσουμε στην δεύτερη περίπτωση. Αρχικά θα αναφέρουμε τον τρόπο με τον οποίο θα βρούμε τους γεννήτορες και στην συνέχεια θα εφαρμόσουμε την εξίσωση Killing. 3.1 Εύρεση γεννητόρων Αρχικά πρέπει να αναρωτηθούμε τι συμμετρίες θέλουμε να έχει ο χωρόχρονος. Ο τρόπος που θα ακολουθήσουμε στηρίζεται πλήρως στην S-N άλγεβρα που σχηματίζουν οι γεννήτορες και η αναπαράσταση αυτών ως τανυστικά πεδία σε μια πολλαπλότητα. Το πρώτο βήμα λοιπόν είναι να επιλέξουμε, πόσους γεννήτορες και ποιό το είδος τους. Απαιτούμε λοιπόν να έχουμε τρείς ανταλλοίωτους τανυστές πρώτης τάξης, τις συνιστώσες των οποίων θα συμβολίζουμε ως ξ µ I με I = (1, 2, 3) και έναν μη τετριμμένο ανταλλοίωτο τανυστή δεύτερης τάξης με K µν 1 αντίστοιχα τον συμβολισμό. Η σχέση μεταξύ των τεσσάρων αυτών αντικειμένων, περιορίζεται από την αγκύλη S-N. Ας δούμε αναλυτικά τι σημαίνει αυτό. Γνωρίζουμε ότι [A a, B b ] sn = C s abq s (61) A a V n, B b V m, Q s V n+m 1 Με {A a } τα ανύσματα βάσης του V n,(a = 1,..., N n ), {B b } τα ανύσματα βάσης του V m,(b = 1, 2,...N m ) και {Q s } τα ανύσματα βάσης του V n+m 1,(s = 1, 2,...N n+m 1 ) όπου N n, N m, N n+m 1 είναι τα πλήθη των ανυσμάτων βάσης των αντίστοιχων χώρων. Οι τρείς τανυστές πρώτης τάξης αποτελούν τη βάση του χώρου V 1. Η βάση του χώρου V 2 αποτελείται από τον μη τετριμμένο τανυστή K µν 1, τη 24

μετρική g µν και τους τετριμμένους T s = ξ (I ξ J) s, όπου o δείκτης s μετρά το πλήθος των τανυστικών γινομένων, των πρώτης τάξης τανυστών Killing. Στην περίπτωση που εξετάζουμε την άλγεβρα των τανυστών πρώτης τάξης, αυτοί ανήκουν όλοι στον χώρο V 1, επομένως n = 1, m = 1 συνεπώς και n + m 1 = 1, άρα έχουμε την παρακάτω σχέση [ξ I, ξ J ] = C N IJξ N (62) όπου I, J, N = (1, 2, 3) αναφέρονται στο πλήθος των ξ I Ο προσδιορισμός των σταθερών CIJ N θα μας δώσει όλες τις κλάσεις ισοδυναμίας των αλγεβρών, για τους πρώτης τάξης τανυστές. Η επόμενη περίπτωση σχετίζεται με την άλγεβρα μεταξύ των τανυστών πρώτης και δεύτερης τάξης. Οι πρώτης τάξης ανήκουν στον χώρο V 1, n = 1, ενώ οι δεύτερης στον V 2, m = 2 συνεπώς n+m 1 = 2. Συνεπώς η αγκύλη μεταξύ ενός τανυστή πρώτης και δεύτερης τάξης, επιστρέφει έναν τανυστή δεύτερης τάξης. Συγκεκριμένα ισχύει [ξ I, K 1 ] = C 1 I1K 1 + C 2 I1g 2 + C s I1T s (63) όπου g 2 η μετρική Η τρίτη περίπτωση είναι η άλγεβρα μεταξύ των τανυστών δεύτερης τάξης. Αυτοί ανήκουν σε χώρο W 2 άρα n = 2 και m = 2 ενώ n + m 1 = 3. Όμως έχουμε μόνο έναν και λόγω της αντισυμμετρικής ιδιότητας των αγκύλων S-N προκύπτει [K 1, K 1 ] = 0 (64) 3.1.1 Ειδική περίπτωση Στην παρούσα εργασία, θα περιοριστούμε στην περίπτωση όπου ισχύει [ξ I, K 1 ] = 0 (65) Οι σχέσεις (62) και (65) είναι αυτές που θα χρησιμοποιήσουμε από εδώ και στο εξής. 25

3.2 3D άλγεβρες Killing τανυστών πρώτης τάξης Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, η εύρεση των σταθερών δομής της σχέσης (65) θα καθορίσει όλες τις κλάσεις ισοδυναμίας των αλγεβρών. Γενικά έχουμε [ ξ 1, ξ 2 ] = C 1 12 ξ 1 + C 2 12 ξ 2 + C 3 12 ξ 3 [ ξ 1, ξ 3 ] = C 1 13 ξ 1 + C 2 13 ξ 2 + C 3 13 ξ 3 (66) [ ξ 2, ξ 3 ] = C 1 23 ξ 1 + C 2 23 ξ 2 + C 3 23 ξ 3 όπου χρησιμοποιήσαμε την αντισυμμετρικότητα των σταθερών ως προς τους δύο κάτω δείκτες. Σε αυτό το σημείο θα χρησιμοποιήσουμε την κατηγοριοποίηση κατά Bianchi για τις κλάσης ισοδυναμίας. Εν τέλει υπάρχουν μόνο εννιά, τις οποίες παραθέτουμε. Κλάση I(Type I) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = 0, [ ξ 2, ξ 3 ] = 0 C N IJ = 0 Κλάση II(Type II) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = 0, [ ξ 2, ξ 3 ] = ξ 1 C 1 23 = 1 Κλάση III(Type III) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 1, [ ξ 2, ξ 3 ] = 0 C 1 13 = 1 26

Κλάση IV(Type IV) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 1, [ ξ 2, ξ 3 ] = ξ 1 + ξ 2 C 1 13 = 1, C 1 23 = 1, C 2 23 = 1 Κλάση V(Type V) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 1, [ ξ 2, ξ 3 ] = ξ 2 C 1 13 = 1, C 2 23 = 1 Κλάση VI(Type VI) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 1, [ ξ 2, ξ 3 ] = h ξ 2, h 0, 1 C 1 13 = 1, C 2 23 = h Κλάση VII(Type VII) [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 2, [ ξ 2, ξ 3 ] = ξ 1 + h ξ 2, h 2 < 4 C 2 13 = 1, C 1 23 = 1, C 2 23 = h Κλάση VIII(Type VIII) [ ξ 1, ξ 2 ] = ξ 3, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 2, [ ξ 2, ξ 3 ] = ξ 1 C 3 12 = 1, C 2 13 = 1, C 1 23 = 1 Κλάση IX(Type IX) [ ξ 1, ξ 2 ] = ξ 3, [ ξ 1, ξ 3 ] = ξ 2, [ ξ 2, ξ 3 ] = ξ 1 C 3 12 = 1, C 2 13 = 1, C 1 23 = 1 27

3.3 2D αναπαράσταση Killing τανυστών πρώτης τάξης Το επόμενο βήμα είναι να αναπαραστήσουμε τα στοιχεία των παραπάνω αλγεβρών, ως διανυσματικά πεδία πάνω σε κάποια πολλαπλότητα. Λέγοντας 2D αναπαράσταση, εννοούμε πως θέλουμε οι γεννήτορες να έχουν συνιστώσες μόνο σε δύο διαστάσεις και συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία συνδέονται με τους μετασχηματισμούς συμμετρίας, αποτελεί μια δισδιάστατη επιφάνεια. Επιπλέον, από την διαφορική γεωμετρία γνωρίζουμε ότι ένας χώρος καλείται μέγιστα συμμετρικός(maximally symmetric), όταν το πλήθος των τανυστών Killing πρώτης τάξης ισούται με εκείνο του επίπεδου χώρου, δηλαδή (N = n(n+1) ), όπου n η διάσταση του χώρου. 2 Παράδειγμα για επιφάνειες 2 διαστάσεων, (n = 2) N = 3. Όταν ο χώρος είναι μέγιστα συμμετρικός τότε συνεπάγεται πως η βαθμωτή καμπυλότητα Ricci (R) είναι σταθερή, με βάση το οποίο οι αντίστοιχοι χώροι, χωρίζονται σε τρείς κατηγορίες R = 0(επίπεδη ευκλείδια και Minkowski επιφάνεια) (67) R > 0(σφαιρική επιφάνεια) (68) R < 0(υπερβολική επιφάνεια) (69) Συμπερασματικά, στην περίπτωση μας αναζητούμε 2D αναπαραστάσεις και ταυτόχρονα απαιτούμε N = 3, συνεπώς αναζητούμε τις αναπαραστάσεις των τανυστών Killing πρώτης τάξης, οι οποίοι αντιστοιχούν σε μέγιστα συμμετρικούς χώρους, 2 διαστάσεων. Κάθε άλγεβρα θα αντιστοιχεί σε κάποιον από αυτούς τους χώρους. Όμως έχουμε 9 άλγεβρες και μόνο 4 μέγιστα συμμετρικούς χώρους που μπορούν να υπάρξουν. Αυτό όμως δεν αποτελεί πρόβλημα διότι ανάλογα με την αναπαράσταση που θα διαλέξουμε, κάποιες από τις άλγεβρες θα οδηγούν στις ίδιες επιφάνειες. Το συμπέρασμα είναι πως μόνο τεσσάρων ειδών επιφάνειες μπορούν να υπάρξουν, συνεπώς θα διαλέξουμε όσο το δυνατόν πιο απλή αναπαράσταση. Παρακάτω θα δούμε αναλυτικά πως θα γίνει αυτό. Ας θεωρήσουμε λοιπόν μια δισδιάστατη πολλαπλότητα M με τοπικό σύστημα συντεταγμένων (V, ϕ) και συντεταγμένες q µ = (u, w). { } Ο εφαπτόμενος χώρος T p (M) σε σημείο p έχει την συντεταγμένη βάση = q µ 28

{, u w}, έτσι ώστε κάθε τανυστικό πεδίο πρώτης τάξης στην πολλαπλότητα, να μπορεί να αναπαρασταθεί ως ξ = ξ µ, με ξ µ τις συνιστώσες q µ στην συγκεκριμένη βάση. Σημαντικό σημείο είναι ότι θα πρέπει να επιλέξουμε αναπαραστάσεις στις οποίες τα τρία διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ας δούμε λοιπόν για παράδειγμα την αναπαράσταση της (Κλάσης I). Ο ποιό απλός τρόπος είναι να διαλέξουμε ένα από τα πεδία να είναι normal, δηλαδή ξ = q. Συγκεκριμένα επιλέγουμε τα εξής ξ 1 = w ξ 2 = f 1 (u, w) u + f 2(u, w) w ξ 3 = f 3 (u, w) u + f 4(u, w) w όπου f 1 (u, w), f 2 (u, w), f 3 (u, w), f 4 (u, w) τυχαίες συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις συνιστώσες ξ 1 2 = f 1 (u, w),ξ 2 2 = f 2 (u, w) και ούτω καθεξής. Από την αγκύλη S-N έχουμε ξ ν 2 ξ ν 1 [ ξ 1, ξ 2 ] ν sn = ξ µ 1 q µ ξµ 2 q µ ξ ν 3 ξ ν 1 [ ξ 1, ξ 3 ] ν sn = ξ µ 1 q µ ξµ 3 q µ [ ξ 2, ξ 3 ] ν sn = ξ µ ξ3 ν 2 q ξ µ ξµ 2 ν 3 q µ και για την Κλάση I [ ξ 1, ξ 2 ] = 0, [ ξ 1, ξ 3 ] = 0, [ ξ 2, ξ 3 ] = 0 29

Συνεπώς για την πρώτη αγκύλη ξ µ ξ2 ν 1 ξ ν 1 q µ ξµ 2 q = 0 µ ξ1 1 ξ2 ν u + ξ ξ2 2 ν 1 w ξ ξ1 1 ν 2 u ξ ξ2 1 ν 2 w = 0 0 ξν 2 u + 1 ξν 2 w f 1(u, w)0 f 2 (u, w)0 = 0 ξ2 ν w = 0 (70) Η εξίσωση (70) αναπαριστά δύο εξισώσεις f 1 (u, w) = 0 w f 2 (u, w) = 0 w επομένως f 1 (u, w) = f 11 (u), f 2 (u, w) = f 22 (u) (71) Ακριβώς το ίδιο προκύπτει και στην περίπτωση [ ξ 1, ξ 3 ] = 0. f 3 (u, w) = f 33 (u), f 4 (u, w) = f 44 (u) (72) ενώ από την τελευταία αγκύλη προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις f 11 (u) f 33(u) u f 11 (u) f 44(u) u f 33 (u) f 11(u) u f 33 (u) f 22(u) u = 0 (73) = 0 (74) Επιλύουμε αρχικά την (73) ως προς την f 33 (u) και την τοποθετούμε στην (74) (74) ( f 22 (u) f 11 (u) c 1 + f ) 44(u) = 0 u u f 33 (u) = c 1 f 11 (u) (75) f 44 (u) = c 2 + c 3 f 22 (u) (76) ή f 11 (u) = 0 (77) 30

Περίπτωση 1,f 11 (u) = 0 Το τελικό αποτέλεσμα σε αυτήν την περίπτωση είναι ξ 1 = w ξ 2 = f 22 (u) w ξ 3 = f 44 (u) w Αυτή η περίπτωση απορρίπτεται διότι πρόκειται για μονοδιάστατη αναπάρασταση και όχι δισδιάστατη. Περίπτωση 2,f 44 (u) = c 2 + c 3 f 22 (u) ξ 1 = w ξ 2 = f 11 (u) u + f 22(u) w ξ 3 = c 1 f 11 (u) u + (c 2 + c 1 f 22 (u)) w Αυτή η περίπτωση απορρίπτεται διότι το τρίτο διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο. ξ 3 = c 1 ξ2 + c 2 ξ1 Σαν αποτέλεσμα λοιπόν προκύπτει πως η Κλάση I δεν έχει δισδιάστατη αναπαράσταση. Με αντίστοιχο τρόπο δουλεύουμε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Συνολικά προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα. Κλάση I(Type I) Δεν υπάρχει δισδιάστατη αναπαράσταση Κλάση II(Type II) ξ 1 = w, ξ2 = u, ξ3 = u + u w 31

Κλάση III(Type III) ξ 1 = w, ξ2 = u, ξ3 = u + w w Κλάση IV(Type IV) ξ 1 = w, ξ2 = u, ξ3 = u u + (u + w) w Κλάση V(Type V) ξ 1 = w, ξ2 = u, ξ3 = u u + w w Κλάση VI(Type VI) ξ 1 = w, ξ2 = u, ξ3 = hu u + w w, h 0, 1 Κλάση VII(Type VII) ξ 1 = w, ξ2 = u, ξ3 = (hu + w) u u w, h 2 < 4 Κλάση VIII(Type VIII) ξ 1 = w, ξ2 = sin w u + tanh u cos w w, ξ3 = cos w u tanh u sin w w Κλάση IX(Type IX) ξ 1 = w, ξ2 = sin w u + cot u cos w w, ξ3 = cos w u cot u sin w w 32

3.3.1 Μετρικές μέγιστα συμμετρικών δισδιάστατων επιφανειών Ας δούμε τώρα με βάση αυτές τις αναπαραστάσεις, όταν δράσουμε με αυτούς τους τανυστές πρώτης τάξης ως τανυστές Killing, τι δισδιάστατες μετρικές προκύπτουν. Θεωρούμε την γενική μετρική ( ) g1 (u, w) g g µν = 2 (u, w) g 2 (u, w) g 3 (u, w) όπου g i (u, w) είναι συναρτήσεις i = (1, 2, 3). Για κάθε τανυστή Killing πρώτης τάξης, καθεμιάς από τις Κλάσεις, εφαρμόζουμε την εξίσωση Killing. ξ (µ;ν) = 0 (78) και προκύπτουν τα παρακάτω Κλάση II(Type II) g µν = ( 1 0 0 0 ) με det(g µν ) = 0, singular Κλάση III(Type III) g µν = ( 1 0 0 0 ) με det(g µν ) = 0, singular Κλάση IV(Type IV) g µν = ( 0 0 0 0 ) με det(g µν ) = 0, singular 33

Κλάση V(Type V) g µν = ( 0 0 0 0 ) με det(g µν ) = 0, singular Κλάση VI(Type VI) μόνο για h = 1 ( ) 0 1 g µν = 1 0 με det(g µν ) = 1, regular Κλάση VII(Type VII) μόνο για h = 0 ( ) 1 0 g µν = 0 1 με det(g µν ) = 1, regular g µν = Κλάση VIII(Type VIII) ( k 2 0 0 k 2 cosh 2 u ), k=σταθερά με det(g µν ) = k 4 sinh 2 u, regular 34

g µν = Κλάση IX(Type IX) ( k 2 0 0 k 2 sin 2 u ), k=σταθερά με det(g µν ) = k 4 sin 2 u, regular Από τα παραπάνω, είναι εμφανές ότι με βάση τον τρόπο αναπαράστασης που επιλέξαμε, προκύπτουν μόνο 4 μετρικές οι οποίες είναι regular. {T ypev I(h = 1), T ypev II(h = 0), T ypev III, T ypeix}. Αυτές αντιστοιχούν στα τέσσερα είδη μέγιστα συμμετρικών δισδιάστατων επιφανειών. 1. Κλάση VI(h = 1), Minkowski επιφάνεια με μηδενική βαθμωτή καμπυλότητα (R = 0). ū w Υπό τους μετασχηματισμούς (u =, w = ū+ w), οι συνιστώσες της 2 μετρικής στις συντεταγμένες (ū, w), εκφράζονται σε μια πιο οικεία μορφή. ( ) 1 0 ḡ µν = (79) 0 1 Τα αντίστοιχα Killing γίνονται ξ 1 = 1 2 ū + 1 2 w ξ 2 = ū w (80) ξ 3 = w ū ū w Μια απλούστερη βάση διανυσμάτων Killing για την μετρική (79), αποτελείται από τα διανύσματα z 3 = w ū + ū w z 1 = w z 2 = ū (81) Οι βάσεις (80) και (81) συνδέονται με πίνακα μετασχηματισμού της μορφής Bκ ρ = 1 2 1 0 2 1 1 0 0 0 1 ξ κ = B ρ κ z ρ (82) 35

ενώ ταυτόχρονα οι σταθερές δομής για την νέα βάση, οι οποίες ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας, προσδιορίζονται με βάση τον πίνακα C στ ρ = B ρ κ C κ IJB 1 I σ B 1 J τ (83) η άλγεβρα που προκύπτει είναι [ z 1, z 2 ] = 0 [ z 1, z 3 ] = z 2 [ z 2, z 3 ] = z 1 Για λόγους ευκολίας και καλύτερης κατανόησης, από εδώ και στο εξής θα χρησιμοποιήσουμε την νέα αυτή άλγεβρα για την Κλάση VI. 2. Type VII(h = 0), Ευκλείδια επιφάνεια με μηδενική βαθμωτή καμπυλότητα (R = 0). 3. Type VIII, υπερβολική επιφάνεια με σταθερή, αρνητική βαθμωτή καμπυλότητα (R = 2 k 2 ) 4. Type IX, σφαιρική επιφάνεια με θετική, βαθμωτή καμπυλότητα (R = 2 k 2 ) 3.4 Τανυστής Killing δεύτερης τάξης Από εδώ και στο εξής θα επικεντρωθούμε μόνο στις 4 άλγεβρες με τις regural μετρικές. Το επόμενο βήμα είναι ο προσδιορισμός του Killing τανυστή για κάθε μια από τις τέσσερις άλγεβρες. Αυτό θα γίνει μέσω της σχέσης [ξ I, K 1 ] = 0 (84) Θεωρούμε έναν ανταλλοίωτο συμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης ( ) K µν k1 (u, w) k 1 = 2 (u, w) k 2 (u, w) k 3 (u, w) Όταν λοιπόν εφαρμόζουμε την σχέση (84) για την περίπτωση της Κλάσης VI(h = 1) προκύπτει ο παρακάτω τανυστής Killing ( ) c 0 K µν = 0 c 36

όπου c σταθερά Το πρόβλημα σε αυτό το σημείο είναι πως για αυτήν την περίπτωση ο τανυστής αυτός είναι τετριμένος. Δηλαδή μπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο δύο εκ των διανυσμάτων Killing της Κλάσης VI(h=-1). Για την Κλάση VII(h=0) αντίστοιχα K µν = cξ µ (1 ξν 1) cξ µ (2 ξν 2) K µν = cξ µ (1 ξν 1) + cξ µ (2 ξν 2) Για την Κλάση VIII δεν γίνεται κάτι τέτοιο, όπως και για την Κλάση IX. Θέλουμε ωστόσο να χρησιμοποιήσουμε και τις τέσσερις Κλάσεις, συνεπώς για να αποφύγουμε τους τετριμμένους τανυστές Killing, θα επεκτείνουμε την διάσταση της πολλαπλότητας σε n = 3, χωρίς όμως να αλλοιώσουμε την αναπαράσταση των τανυστών Killing πρώτης τάξης, έτσι ώστε να ικανοποιούν τις ίδιες άλγεβρες και συνεπώς να δρουν μόνο σε δισδιάστατες επιφάνειες. Δηλαδή οι νέοι τανυστές Killing πρώτης τάξης, θα έχουν την μορφή ξ I = (0, ξ I ), I Επομένως θεωρούμε τρισδιάστατη πολλαπλότητα M, με τοπικό χάρτη (Φ, ψ) και συντεταγμένες q µ = (v, u, w). Η{ βάση } του εφαπτόμενου χώρου αποτελείται πλέον από τα διανύσματα = {,, q µ v u w}. Για έναν γενικό, δεύτερης τάξης, συμμετρικό τανυστή έχουμε K µν = k 1 (v, u, w) k 2 (v, u, w) k 3 (v, u, w) k 2 (v, u, w) k 4 (v, u, w) k 5 (v, u, w) k 3 (v, u, w) k 5 (v, u, w) k 6 (v, u, w) Μετά την εφαρμογή της σχέσης (84), καταλήγουμε στα παρακάτω αποτελέσματα : Κλάση VI(h=-1) K µν = h(v) 0 0 0 f(v) 0 0 0 f(v) 37

Κλάση VII(h=0) K µν = h(v) 0 0 0 f(v) 0 0 0 f(v) Κλάση VIII K µν = h(v) 0 0 0 f(v) 0 0 0 f(v)sech 2 u Κλάση IX K µν = h(v) 0 0 0 f(v) 0 0 0 f(v)csc 2 u Οι συναρτήσεις h(v), f(v) είναι ελεύθερες προς επιλογή. 38

3.5 Εφαρμογή στον τετραδιάστατο χωρόχρονο Όπως γνωρίζουμε ο τετραδιάστατος χωρόχρονος είναι διαφορετικός από έναν τετραδιάστατο χώρο, καθώς μία από τις μεταβλητές έχει ιδιαίτερο χαρακτήρα σε σύγκριση με τις υπόλοιπες. Εαν λοιπόν θέλουμε να επεκτείνουμε όλα τα προηγούμενα αποτελέσματα στις τέσσερις διαστάσεις, θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στην επιλογή των μεταβλητών. Για παράδειγμα, όπως είπαμε σε προηγούμενη παράγραφο, οι επιφάνειες που συνδέονται με τις Κλάσεις, VI(h=-1) και VIII είναι υπερβολικές, επομένως μια από τις μεταβλητές που χρησιμοποιήσαμε θα έχει αυτόν τον ιδιαίτερο χαρακτήρα. Από εδώ και στο εξής θα αλλάξουμε τον συμβολισμό των συντεταγμένων σε (t,x,y,z), με την μεταβλητή (t) να είναι εκείνη με τον ιδιαίτερο χαρακτήρα, η οποία σε κατάλληλo όριo ταυτίζεται με τον Νευτώνιο χρόνο, και θα προσαρμόσουμε όλα τα προηγούμενα αποτελέσματα σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων. Επιπλέον οι Killing τανυστές δεν θα υποστούν καμία αλλαγή, καθώς επεκτείνονται στις τέσσερις διαστάσεις, όσον αφορά την αναπαράστασή τους. Εαν κάποιος επιλέξει να τους αλλάξει αλλά ταυτόχρονα να ικανοποιούν την ίδια άλγεβρα, τα αποτελέσματα θα είναι διαφορετικά από εκείνα που θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Δεν θα δουλέψουμε σε αυτήν την κατεύθυνση. Συγκεντρωτικά τα τετραδιάστατα αντικείμενα είναι K µν = Κλάση VI(h=-1) ξ 1 = (0, 1, 0, 0), ξ2 = (1, 0, 0, 0), ξ3 = (x, t, 0, 0) f(y) 0 0 0 0 f(y) 0 0 0 0 1 s (y) 2 0 Κλάση VII(h=0) ξ 1 = (0, 0, 0, 1), ξ2 = (0, 0, 1, 0), ξ3 = (0, 0, z, y) 1 K µν = 0 0 0 s (x) 2 0 0 f(x) 0 0 0 0 f(x) 39

Κλάση VIII ξ 1 = (0, 1, 0, 0), ξ2 = (Sin(x), T anh(t)cos(x), 0, 0), K µν = ξ 3 = (Cos(x), T anh(t)sin(x), 0, 0) f(y) 0 0 0 0 f(y)sech 2 (t) 0 0 0 0 1 s (y) 2 0 Κλάση IX ξ 1 = (0, 0, 0, 1), ξ2 = (0, 0, Sin(z), Cot(y)Cos(z)), K µν = ξ 3 = (0, 0, Cos(z), Cot(y)Sin(z)) 1 0 0 0 s (x) 2 0 0 f(x) 0 0 0 0 f(x)csc 2 (y) Η αντικατάσταση της προηγούμενης συνάρτησης h(v), στην κάθε περίπτωση, από τις συναρτήσεις s (y) και s (x), είναι δυνατή λόγω της αναλλοιώτητας κάτω από αμφιδιαφορισμούς και έχει γίνει μόνο για διευκόλυνση σε παρακάτω πράξεις. Συνεπώς, σε αυτό το σημείο έχουμε βρει μέσα από την άλγεβρα και τις αναπαραστάσεις, τους γεννήτορες των συμμετριών που θέλουμε να επιβάλουμε στην μετρική του χωρόχρονου. Θεωρούμε λοιπόν μια γενική μετρική της μορφής: g µν = g 1 (t, x, y, z) g 2 (t, x, y, z) g 3 (t, x, y, z) g 4 (t, x, y, z) g 2 (t, x, y, z) g 5 (t, x, y, z) g 6 (t, x, y, z) g 7 (t, x, y, z) g 3 (t, x, y, z) g 6 (t, x, y, z) g 8 (t, x, y, z) g 9 (t, x, y, z) g 4 (t, x, y, z) g 7 (t, x, y, z) g 9 (t, x, y, z) g 10 (t, x, y, z) και εφαρμόζουμε την εξίσωση Killing. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν μετά την επίλυση των εξισώσεων, παρουσιάζονται παρακάτω 40

g µν = Κλάση VI(h=-1) η εξίσωση Killing για τα διανύσματα ξ (µ;ν) = 0 οδηγεί στην μετρική g 1 (y, z) 0 0 0 0 g 1 (y, z) 0 0 0 0 g 2 (y, z) g 3 (y, z) 0 0 g 3 (y, z) g 4 (y, z) ενώ η εξίσωση Killing για τον τανυστή K (µν;σ) = 0 οδηγεί στην τελική μορφή 1 0 0 0 f(y) b(z) g µν = a(z) 0 1 0 0 f(y) b(z) 0 0 s (y) 2 0 (85) 0 0 0 1 όπου χρησιμοποιήσαμε και την ελευθερία αμφιδιαφόρισης g µν = g µν = a(t) Κλάση VII(h=0) η εξίσωση Killing για τα διανύσματα ξ (µ;ν) = 0 οδηγεί στην μετρική g 1 (t, x) g 2 (t, x) 0 0 g 2 (t, x) g 3 (t, x) 0 0 0 0 g 4 (t, x) 0 0 0 0 g 4 (t, x) ενώ η εξίσωση Killing για τον τανυστή K (µν;σ) = 0 οδηγεί στην τελική μορφή 1 0 0 0 0 s (x) 2 0 0 0 0 1 f(x) b(t) 0 0 0 0 1 f(x) b(t) όπου χρησιμοποιήσαμε και την ελευθερία αμφιδιαφόρισης 41 (86)

Κλάση VIII g µν = η εξίσωση Killing για τα διανύσματα ξ (µ;ν) = 0 οδηγεί στην μετρική g 1 (y, z) 0 0 0 0 Cosh 2 (t)g 1 (y, z) 0 0 0 0 g 2 (y, z) g 3 (y, z) 0 0 g 3 (y, z) g 4 (t, x) ενώ η εξίσωση Killing για τον τανυστή K (µν;σ) = 0 οδηγεί στην τελική μορφή 1 0 0 0 f(y) b(z) 0 g µν = a(z) Cosh2 (t) 0 0 f(y) b(z) 0 0 s (y) 2 0 0 0 0 1 όπου χρησιμοποιήσαμε και την ελευθερία αμφιδιαφόρισης (87) Κλάση IX g µν = η εξίσωση Killing για τα διανύσματα ξ (µ;ν) = 0 οδηγεί στην μετρική g 1 (t, x) g 2 (t, x) 0 0 g 2 (t, x) g 3 (t, x) 0 0 0 0 g 4 (t, x) 0 0 0 0 g 4 (t, x)sin 2 (y) ενώ η εξίσωση Killing για τον τανυστή K (µν;σ) = 0 οδηγεί στην τελική μορφή 1 0 0 0 0 s (x) 2 0 0 g µν = a(t) 1 0 0 0 f(x) b(t) 0 0 0 sin 2 (y) f(x) b(t) όπου χρησιμοποιήσαμε και την ελευθερία αμφιδιαφόρισης (88) 42

Οι μετρικές (85), (86), (87), (88) αποτελούν τις γενικές μετρικές του χωρόχρονου, με τις συγκεκριμένες συμμετρίες αντίστοιχα, τις οποίες θέλαμε εξ αρχής να κατασκευάσουμε. 43

4 Λύσεις εξισώσεων Einstein Στο προηγούμενο κεφάλαιο βρήκαμε τις γενικές μετρικές και για τις τέσσερις Κλάσεις, οι οποίες έχουν τις αντίστοιχες συμμετρίες. (Θα χρησιμοποιήσουμε την ελευθερία αμφιδιαφόρισης ώστε να θεωρήσουμε s (y) = k, s (x) = k). Συγκεντρωτικά έχουμε g µν = a(z) Κλάση VI(h=-1) 1 0 0 0 f(y) b(z) K µν = 0 1 f(y) b(z) 0 0 0 0 k 2 0 0 0 0 1 με Killing πεδία ξ 1 = (0, 1, 0, 0), ξ2 = (1, 0, 0, 0), ξ3 = (x, t, 0, 0) f(y) 0 0 0 0 f(y) 0 0 0 0 1 k 2 0 (89) g µν = a(t) Κλάση VII(h=0) 1 0 0 0 0 k 2 0 0 0 0 1 f(x) b(t) 0 0 0 0 1 f(x) b(t) με Killing πεδία ξ 1 = (0, 0, 0, 1), ξ2 = (0, 0, 1, 0), ξ3 = (0, 0, z, y) K µν 1 = 0 0 0 k 2 0 0 f(x) 0 0 0 0 f(x) (90) 44