3-Δ. Εμβαδό. όγκος ελέγχου

Θεωρία αξονικής ορμής Α Υπολογισμός ισχύος και δύναμης Στο παρακάτω σχήμα (απεικόνιση 3-Δ) μια ανεμογεννήτρια απεικονίζεται ως ένα σύνολο τριών πτερυγίων (γνωστά ως " στροφείο" ή "ρότορας") που περιστρέφονται σε ένα κύκλο εμβαδού Α το οποίο καθορίζεται από το μήκος των πτερυγίων. Ο κύκλος αυτός είναι κάθετος στην ροή του ανέμου την οποία την λαμβάνουμε κατά μήκος του άξονα x. Από εδώ και στο εξής, αυτή τη διεύθυνση θα την ονομάζουμε "αξονική". Η ροή του αέρα (γραμμές ροής) πολύ πριν από την γεννήτρια ξεκινάει αρχικά ως μια κυλινδρική μάζα αέρα διατομής Α 1 < Α και η οποία αργότερα εκτονώνεται επειδή τα πτερύγια της ανεμογεννήτριας προσδίδουν στον αέρα μια μικρή συνιστώσα κάθετη προς την ταχύτητα του ανέμου (λόγω του αεροδυναμικού σχεδιασμού τους, δείτε παρακάτω). Ο αέρας στο πίσω μέρος της γεννήτριας καταλήγει πάλι σε ένα κυλινδρικό σχήμα με εμβαδό βάσης Α > Α. Στο υπόλοιπο της διαδρομής, η ροή αυτή του αέρα σχηματίζει γενικά ένα καμπυλοειδή κώνο όπως αυτόν που εξετάσαμε στην προηγούμενη ενότητα, ο οποίος παίζει το ρόλο του όγκου ελέγχου. Ο υπόλοιπος αέρας που βρίσκεται εκτός του κώνου αυτού, δεν διαταράσσεται καθόλου μιας που δεν έρχεται σε επαφή με τα πτερύγια της ανεμογεννήτριας και άρα προσεγγιστικά η πίεση του αέρα εκτός του κώνου αλλά και στα όριά του είναι ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0. Στο παρόν εδάφιο θα υπολογίσουμε την δύναμη αλλά και την ισχύ που αποδίδει ο αέρας στο στροφείο, χρησιμοποιώντας τις απλές εξισώσεις της ρευστομηχανικής που είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο. Όπως φαίνεται και στην πλαϊνή όψη του παρακάτω σχήματος, εκτός από τις δυο διατομές "1" και "" εισόδου εξόδου του κώνου, θα εστιάσουμε και σε δυο ακόμη κατά μήκος του άξονά του, τις "+" και "-" που βρίσκονται απειροστά πριν και απειροστά μετά το στροφείο. επίπεδο στροφείου 3-Δ v x v 1 Εμβαδό A Εμβαδό A 1 πτερύγιο όγκος ελέγχου

επίπεδο στροφείου Πλαϊνή όψη v 1 v x 1 + Έστω λοιπόν ότι ο αέρας έχει ταχύτητα εισαγωγής στον όγκο ελέγχου ίση με v 1 επάνω στην διατομή A 1 και αντίστοιχα ταχύτητα εξόδου v στο πίσω μέρος του κώνου στην διατομή Α. Έστω επίσης ότι η ταχύτητα πρόσκρουσης του ανέμου επάνω στα πτερύγια του στροφείου είναι v. Ιδανικά θα θέλαμε όλη η κινητική ενέργεια του ανέμου να μετατραπεί σε περιστροφική ενέργεια του στροφείου που θα σήμαινε ότι v = 0 αλλά δυστυχώς αυτό δεν είναι εφικτό στην πράξη επειδή τότε θα συσσωρεύονταν όλος ο αέρας μπροστά από το στροφείο και θα εμπόδιζε παραπέρα την μεταφορά επιπλέον μάζας και άρα και μεταφοράς ενέργειας στο στροφείο. Επομένως αυτό που γίνεται στην πραγματικότητα είναι μια απλή μείωση της ταχύτητας του ανέμου δηλαδή v < v 1. Επίσης η μείωση αυτή είναι συνεχής, περιμένουμε δηλαδή ότι v < v < v 1. Από την διατήρηση της μάζας που είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο ισχύει ότι ρ 1 Α 1 v 1 = ραv = ρ Α v όπου ρ 1 Α 1 v 1 είναι ο ρυθμός μεταβολής της μάζας m 1 στην επιφάνεια Α 1 και ομοίως και οι άλλοι δυο όροι. Όπως προαναφέρθηκε, στο όριο του κώνου, η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0 (μόνο στο εσωτερικό του κώνου και κοντά στο στροφείο οι διακυμάνσεις είναι μεγάλες, δείτε παρακάτω) και επίσης λόγω απουσίας θέρμανσης ή ψύξης μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο αέρας διερχόμενος από το στροφείο δεν αλλάζει θερμοκρασία. Επομένως από την καταστατική εξίσωση P = ρr A T που είδαμε σε προηγούμενο εδάφιο, περιμένουμε η πυκνότητα στις δυο βάσεις του κώνου να έχει την ίδια τιμή, δηλαδή ρ 1 = ρ και έτσι η διατήρηση της μάζας μεταξύ αυτών των σημείων λαμβάνει την εξής απλούστερη μορφή: Α 1 v 1 = Α v Τι μπορούμε να πούμε όμως για την πυκνότητα ρ στο επίπεδο του στροφείου; Κοντά σε αυτό, οι διακυμάνσεις της πίεσης είναι σχετικά μεγάλες αλλά έχουν την συμμετρική μορφή του παρακάτω σχήματος, δηλαδή το περιστρεφόμενο στροφείο παίζει τον ρόλο του εμποδίου στη φυσική ροή του ανέμου, παγιδεύοντας πριν από αυτό επάνω στη διατομή "+" ένα μέρος του αέρα και έτσι η τοπική πυκνότητα και άρα και η πίεση (από την καταστατική εξίσωση είναι ανάλογες ποσότητες) αυξάνει σε μια μέγιστη τιμή έστω Ρ + = Ρ 0 + ΔΡ. Αντιθέτως, αμέσως μετά το στροφείο επάνω στη διατομή "-", δημιουργείται ένα τοπικό κενό αέρος και έτσι η πίεση πέφτει σε μια ελάχιστη τιμή Ρ = Ρ 0 ΔΡ. Αφού αυτή η κατανομή είναι συμμετρική, τότε επάνω στο επίπεδο του στροφείου η πίεση είναι ίση με τον μέσο όρο (Ρ + Ρ_)/ = Ρ 0 δηλαδή ίση με την ατμοσφαιρική, και κατά συνέπεια και η πυκνότητα ρ είναι κατά μέσο όρο η ίδια με αυτή που βρίσκεται μακριά από τη γεννήτρια δηλαδή ρ = ρ 1 = ρ. Επομένως μπορούμε να προσθέσουμε και ένα τρίτο όρο στη διατήρηση της μάζας

Α 1 v 1 = Α v = Αv Πίεση Ρ P + P 0 Οριακή τιμή (ατμόσφαιρα) Επίπεδο στροφείου P 0 x Η κίνηση του αέρα επιβραδύνεται λόγω πρόσκρουσής του επάνω στα πτερύγια. Χρησιμοποιώντας το τελευταίο αποτέλεσμα και την έκφραση της δύναμης που βρήκαμε στην προηγούμενη ενότητα, μπορούμε να γράψουμε για την δύναμη F x που ασκεί το στροφείο επάνω στον αέρα (η οποία λόγω δράσης-αντίδρασης είναι ίση κατά μέτρο με τη η δύναμη που ασκεί ο αέρας στο στροφείο) το εξής F x = ρ 1 Α 1 v 1 ρ Α v = ραv(v v 1 ) όπου οι τρεις παράγοντες μπροστά από την παρένθεση αναφέρονται στο επίπεδο του στροφείου. Από την άλλη μεριά, θα μπορούσαμε να δούμε την δύναμη που δρα στα πτερύγια ως το γινόμενο της επιφάνειας Α του κύκλου περιστροφής των πτερυγίων επί την διαφορά πίεσης λίγο πριν λίγο μετά τον κύκλο αυτό, δηλαδή F x = A(P + P ) Από την διατομή "1" έως την διατομή "+" δεν υπάρχουν εμπόδια στην ροή του ανέμου και έτσι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Bernouli, η οποία παίζει το ρόλο της διατήρησης της ενέργειας, για να συνδέσουμε την πίεση P + με την πίεση P 1 στην επιφάνεια Α 1 η οποία δεχθήκαμε ότι είναι ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0. P 0 + ρ 1v 1 = P + + ρv Κατά τη διέλευση του αέρα μέσα από το στροφείο, υπάρχει μεγάλη απώλεια ενέργειας και έτσι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Bernouli μεταξύ των διατομών "+" και "-" όμως

μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε μεταξύ των διατομών "-" και "" ώστε να συσχετίσουμε την πίεση P με την P στην επιφάνεια Α η οποία δεχθήκαμε ότι είναι και αυτή ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0. Έτσι P 0 + ρ v = P + ρv Αφού ρ = ρ 1 = ρ, μπορούμε να πάρουμε τη διαφορά μεταξύ των τελευταίων δυο εξισώσεων και να τη χρησιμοποιήσουμε στην εξίσωση της δύναμης F παραπάνω, καταλήγοντας εύκολα στο αποτέλεσμα: F x = A(P + P ) = 1 ρα(v 1 v ) Εξισώνοντας αυτή την δύναμη με την αντίστοιχη δύναμη που βρήκαμε προηγουμένως μέσω της διατήρησης της ορμής, οδηγεί στο αποτέλεσμα ή 1 Αρ 1(v 1 v ) = ραv(v v 1 ) v = 1 (v + v 1 ) Δηλαδή η ταχύτητα πρόσκρουσης του αέρα στα πτερύγια είναι η μέση τιμή των δυο ταχυτήτων εισόδου και εξόδου. Μας ενδιαφέρει να δούμε κάτω από ποιες συνθήκες επιτυγχάνεται η μέγιστη μεταφορά ισχύος από τον άνεμο στην ανεμογεννήτρια. Για το λόγο αυτό θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε όλες τις ταχύτητες συναρτήσει της ταχύτητας εισόδου v 1, ορίζοντας μια νέα αδιάστατη παράμετρο (καθαρός αριθμός) το a ως εξής a = v 1 v v 1 η οποία εκφράζει την σχετική μείωση της ταχύτητας επάνω στο στροφείο σε σχέση με την ταχύτητα εισόδου στον κώνο v 1. Λύνοντας ως προς v 1 μας οδηγεί στο v = (1 a)v 1 και από την παραπάνω μέση τιμή παίρνουμε επίσης v = (1 a)v 1 Όσον αφορά την ενέργεια, όταν μια μάζα αέρα m 1 κινείται με ταχύτητα v 1 τότε διαθέτει κινητική ενέργεια Ε 1 = 1 m 1v 1 Αφού το m 1είναι ο εισερχόμενος ρυθμός μεταφοράς της μάζας του αέρα στον όγκο ελέγχου, τότε και η έκφραση P ΕΙΣ = 1 m 1v 1 = 1 (ραv)v 1

είναι ο ρυθμός εισόδου της κινητικής ενέργειας, δηλαδή η ισχύς (ενέργεια / χρόνος) εισόδου του αέρα. Παρομοίως, η παρακάτω εξίσωση μας δίνει την ισχύ εξόδου του αέρα P ΕΞΟ = 1 m v = 1 (ραv)v Επομένως η ωφέλιμη ισχύς P ΩΦ είναι η παραμένουσα ισχύς στη γεννήτρια (αγνοώντας τις τριβές) που είναι η διαφορά των δυο παραπάνω αποτελεσμάτων δηλαδή P ΩΦ = P ΕΙΣ P ΕΞΟ = 1 ραv(v 1 v ) όπου στο τελευταίο βήμα έγινε χρήση και πάλι της διατήρησης της μάζας ρα v = ρα 1 v 1 = ραv. Συναρτήσει του a, η ωφέλιμη ισχύς γράφεται ως P ΩΦ = 1 ραv 1 3 4a(1 a) Ο παράγοντας 4a(1 a) μεγιστοποιείται στο a = 1/3 με τιμή 16/7 επομένως η βέλτιστη τιμή της ωφέλιμης ισχύος είναι η P ΩΦ = 16 ραv 3 1 7 Ο όρος P ΕΙΣ = ραv 1 3 / είναι γνωστή ως η "διαθέσιμη ισχύς" του ανέμου και είναι κάτι σαν την πραγματική εισερχόμενη ισχύ υπολογίζοντας όμως και τον αέρα γύρω από την αρχική κυλινδρική μάζα διατομής Α Α 1 που πάει χαμένος (δείτε το παρακάτω σχήμα), αφού αυτός φεύγει εκτός του όγκου ελέγχου (κάτι σαν καύσιμο που δεν χρησιμοποιείται). Επίπεδο στροφείου κύκλος εμβαδού A A v v 1 A 1 v "Αχρησιμοποίητο καύσιμο" (αέρας) Ορίζουμε ως συντελεστή ισχύος της γεννήτριας τον λόγο C P = P ΩΦ P ΕΙΣ που είναι κάτι σαν συντελεστής απόδοσης. Έτσι από την παραπάνω ανάλυση βλέπουμε ότι η μέγιστη θεωρητική τιμή του συντελεστή ισχύος της γεννήτριας είναι ο αριθμός

C P = 16 7 59% που είναι και γνωστός ως το "όριο του Betz". Στην πράξη βέβαια το C P είναι μικρότερο από αυτή τη τιμή αλλά τιμές κοντά στο 40% επιτυγχάνονται εύκολα. Εάν αυτός ο συντελεστής είναι γνωστός, τότε γράφουμε P ΩΦ = C P P ΕΙΣ Παρόλο που τα P ΩΦ και P ΕΙΣ εξαρτώνται από τις ιδιότητες του ανέμου που είναι βασικά τα v 1 και ρ (το δεύτερο από τα οποία, όπως είδαμε σε προηγούμενη ενότητα, εξαρτάται άμεσα από την πίεση Ρ και τη θερμοκρασία Τ και έμμεσα και από το υψόμετρο h), το C P εξαρτάται μόνο από τα σχεδιαστικά χαρακτηριστικά της γεννήτριας. Μπορούνε να εκφράσουμε και τη δύναμη F συναρτήσει του a: Στο όριο του Betz a = 1/3 αυτή η δύναμη γίνεται F x = 1 ρα(v 1 v ) = 4a(1 a) Αρv 1 F x = 8 Αρv 1 9 Θεωρία αξονικής ορμής Β Υπολογισμός ροπής Στο προηγούμενο εδάφιο θεωρήσαμε ότι η ταχύτητα του ανέμου v είναι μόνο κατά μήκος του άξονα x, δηλαδή καθαρά αξονική. Αυτό όμως δεν είναι τελείως σωστό αφού όπως προαναφέρθηκε, η αρχική μάζα του αέρα που εισέρχεται στην διατομή Α 1 του κώνου, εκτονώνεται προς τα έξω, που σημαίνει ότι η ταχύτητα αποκτάει και μια ακτινική συνιστώσα v r κατά μήκος της πολικής ακτίνας r (δείτε το παρακάτω σχήμα). Αλλά αυτή δεν είναι και η μόνη συνιστώσα που έχουμε αγνοήσει. Κατά τη διέλευση του αέρα μέσα από το επίπεδο του στροφείου, ο αέρας αναγκάζει το στροφείο να περιστραφεί κατά την πολική διεύθυνση θ οπότε λόγω δράσης-αντίδρασης, το στροφείο θα αναγκάσει τον αέρα να περιστραφεί κατά την αντίθετη διεύθυνση

περιστροφή στροφείου γωνιακή ταχύτητα Ω v γωνιακή ταχύτητα ω x 3-Δ v r θ περιστροφή αέρα πτερύγιο, ακτίνα R Εάν Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στροφείου τότε μετά το στροφείο επάνω στη διατομή "-" (δείτε πλάγια όψη του προηγούμενου σχήματος) περιμένουμε ο αέρας να έχει αποκτήσει κάποια γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω αντίθετης φοράς. Γενικά αυτές οι δυο ποσότητες δεν είναι ίσες και είναι χρήσιμο να ορίσουμε μια νέα αδιάστατη παράμετρο (καθαρός αριθμός) το a ως εξής a = ω Ω (η σημασία του παράγοντα "" θα φανεί στην επόμενη πρόταση). Πριν το στροφείο και επάνω στη διατομή "+" δεν υπάρχει γωνιακή ταχύτητα του ανέμου ενώ μετά το στροφείο στη διατομή "-" η γωνιακή ταχύτητα είναι ίση με ω και επομένως κατά μέσο όρο επάνω στο στροφείο ο αέρας περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω/ (εξ ου και ο παράγοντας ""). Η αντίστοιχη εφαπτομενική γραμμική ταχύτητα του αέρα κατά μήκος του ω είναι η v θ = ωr η οποία και αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη μαζί με την ακτινική ταχύτητα v r. Βέβαια κατά μέτρο οι v θ και v r είναι πολύ μικρότερες από την κυρίως αξονική ταχύτητα v του ανέμου και η παράλειψή τους στην προηγούμενη ενότητα δεν είναι μια τόσο κακή προσέγγιση. Με τη βοήθεια της συνιστώσας v θ όμως, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροπή που ασκείται στα πτερύγια του στροφείου. Έτσι θα λάβουμε υπόψη μας την v θ σε αυτό το εδάφιο αλλά θα θεωρήσουμε και πάλι ότι v r 0 ώστε να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί, αφού έτσι και αλλιώς στην πράξη αυτή η συνιστώσα της ταχύτητας είναι η μικρότερη από τις υπόλοιπες δυο. Στο παρακάτω σχήμα στην πλαϊνή όψη φαίνεται και πάλι ο όγκος ελέγχου του αέρα που αλληλοεπιδρά με την ανεμογεννήτρια και σημειώνονται οι διατομές "1", "+", "-" και "" που είδαμε σε προηγούμενες ενότητες. Στην πρόσοψη του σχήματος, φαίνεται ένας λεπτός δακτύλιος αέρα ο οποίος αρχικά βρίσκεται στην διατομή "1" και όπως κινείται κάθετα στη σελίδα προς τα μέσα, εκτονώνεται αυξάνοντας την ακτίνα του καθώς φτάνει διαδοχικά στις διατομές "+", "-" και "". Θεωρούμε ότι η μάζα αυτού του δακτυλίου διατηρείται δηλαδή ο δακτύλιος απλά εκτονώνεται αλλά περιέχει τα ίδια μόρια αέρα με αυτά που είχε

στη διατομή "1" (κάτι σαν τους δακτύλιους καπνού που σχηματίζουν οι καπνιστές ορισμένες φορές). Η κόκκινη κουκίδα αναπαριστάνει μια μικρή σημειακή μάζα αέρα μέσα στο δακτύλιο και έχει σχεδιασθεί για να τονισθεί το γεγονός ότι κατά την αρχική κίνηση "1" "+" δεν υπάρχει περιστροφή του αέρα, δηλαδή ω = 0 και v θ = ωr = 0 όπου r είναι η (μεταβαλλόμενη) ακτίνα του δακτυλίου. Αφού όμως ο δακτύλιος φτάσει στο στροφείο, το θέτει σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα Ω και λόγω δράσης αντίδρασης, τα μόρια του αέρα στον δακτύλιο αποκτούν και αυτά γωνιακή ταχύτητα ω αντίθετης φοράς, δηλαδή αποκτούν και συνιστώσα ταχύτητας v θ και έτσι η κόκκινη κουκίδα αποκλίνει προς τα δεξιά κατά την κίνησή της "+" "-" και "-" "". επίπεδο στροφείου Πλαϊνή όψη v 1 v x 1 + v r Ω στροφείου ω αέρα Πρόσοψη v θ ω = 0 1 + Θα θεωρήσουμε τώρα τον λεπτό δακτύλιο ακτίνας r και απειροστού πάχους dr του παρακάτω σχήματος ο οποίος περιέχει μάζα αέρα ίση με dm και βρίσκεται σε τυχαία θέση μέσα στον όγκο ελέγχου αλλά μετά το στροφείο ώστε τα μόριά του να έχουν κυκλική συχνότητα ω. Θεωρούμε ότι τα μόρια του αέρα του δακτυλίου δεν αλληλοεπιδρούν με τους γειτονικούς δακτύλιους με μικρότερες και μεγαλύτερες ακτίνες από την r δηλαδή ο δακτύλιος εκτονώνεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται ως ένα ανεξάρτητο σώμα.

v r ω Πρόσοψη v θ dr r Κατ αρχάς μπορούμε να βρούμε τη δύναμη που ασκείται επάνω σε αυτό το δακτύλιο κατά μήκος της κίνησης του αέρα από το στροφείο. Στο προηγούμενο εδάφιο βρήκαμε ότι η δύναμη που ασκείται από το στροφείο επάνω σε μια διατομή του αέρα με επιφάνεια Α είναι ίση με F x = 4a(1 a) Αρv 1 Όμως το εμβαδό του δακτυλίου είναι απειροστό και ίσο με dα = πrdr (μήκος πλάτος) οπότε και η αντίστοιχη απειροστή δύναμη είναι ίση με df x = 4a(1 a)da ρv 1 = 4a(1 a)πρv 1 rdr Όσον αφορά τον υπολογισμό της ροπής, σύμφωνα με αυτά που μάθαμε στην Φυσική Ι, ο δακτύλιος αυτός διαθέτει ροπή αδράνειας di = r dm και αφού περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, διαθέτει στροφορμή ίση με dl = ωdi = ωr dm Η χρονική μεταβολή της στροφορμής είναι ίση με την ροπή τ που ασκείται στον δακτύλιο, δηλαδή τ = dl dm = ωr dt dt Όμως η ποσότητα dm/dt είναι ο γνωστός μας ρυθμός μάζας m = ραv και έτσι τ = dl dt = ωr ραv Η αντίστοιχη απειροστή ροπή στο δακτύλιο με επιφάνεια da = πrdr είναι ίση με dτ = ωr 3 ρvπdr Από τον ορισμό της παραμέτρου a = ω/ω έχουμε dτ = 4πa Ωr 3 ρvdr

Μας ενδιαφέρει η ροπή που δέχεται ο αέρας επάνω στο επίπεδο του στροφείου επειδή λόγω δράσης αντίδρασης είναι ίση με τη ροπή που ασκεί ο αέρας επάνω στο στροφείο. Για την ταχύτητα του αέρα στο επίπεδο του στροφείου είδαμε ότι v = (1 a)v 1 και έτσι dτ = 4πa (1 a)ωr 3 ρv 1 dr Η συνολική ροπή φυσικά προκύπτει με ολοκλήρωση του παραπάνω ολοκληρώματος, που όπως προαναφέρθηκε είναι ίση κατά μέτρο με την ροπή που ασκείται στο στροφείο και προκαλεί την γρήγορη περιστροφή του: τ = dτ = R r=0 4πa (1 a)ωρv 1 r 3 dr Συνοψίζοντας, επάνω σε δακτύλιο αέρα ακτίνας r και πάχους dr δρα δύναμη df x κατά μήκος του άξονα του στροφείου και ροπή dτ περιστροφής γύρω από αυτόν τον άξονα ίσες με Δύναμη Ροπή df x = 4a(1 a)πρv 1 rdr dτ = 4πa (1 a)ωr 3 ρv 1 dr Επίσης, ένας άλλος χρήσιμος συντελεστής είναι ο παρακάτω λ = ΩR v 1 ο οποίος είναι γνωστός ως ο "λόγος ταχύτητας του άκρου" ("tip speed ratio" στα Αγγλικά) ο οποίος εκφράζει τον σχετικό λόγο δυο ταχυτήτων, της εφαπτομενικής ταχύτητας του άκρου του πτερυγίου σε σχέση με την εισερχόμενη ταχύτητα του ανέμου. Ο λόγος αυτός είναι πολύ σημαντικός γιατί σχετίζεται με την μεταφορά ενέργειας στο στροφείο. Για παράδειγμα, σκεφτείτε μια κατάσταση στην οποία το στροφείο περιστρέφεται με πολύ χαμηλή ταχύτητα και ο άνεμος πλησιάζει το στροφείο με πολύ υψηλή ταχύτητα. Επειδή οι λεπίδες σε αυτή την περίπτωση κινούνται αργά, μια μερίδα από το ρεύμα του αέρα που πλησιάζει στο στροφείο μπορεί να περάσει μέσα από αυτό χωρίς να αλληλοεπιδράσει με τις λεπίδες με αποτέλεσμα μια χαμηλή μεταφορά ενέργειας. Στο άλλο όριο, εάν το στροφείο περιστρέφεται πολύ γρήγορα και η ταχύτητα του ανέμου είναι χαμηλή, το ρεύμα του αέρα μπορεί να εκτραπεί από το στροφείο και η ενέργεια του ανέμου ενδέχεται να χαθεί λόγω αναταράξεων και στροβιλισμών. Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις, η αλληλεπίδραση μεταξύ του στροφείου και του ρεύματος του αέρα δεν είναι αποτελεσματική και έτσι θα οδηγήσει σε ένα χαμηλό συντελεστή ισχύος. (Σημείωση: Καμιά φορά χρησιμοποιείται και ο συντελεστής ροπής C Τ από την τ = C Τ Αρv 1 R/ με τη βοήθεια του οποίου το λ μπορεί να γραφτεί ως C P /C Τ ). Αεροδυναμική Πτερυγίων Αεροσκαφών Τα πτερύγια που χρησιμοποιούνται στις μοντέρνες ανεμογεννήτριες, δανείζονται την μορφή τους από τα αεροδυναμικά πτερύγια των αεροσκαφών τα οποία έχουν τυποποιημένο σχήμα διατομής, γνωστό ως

"αεροτομή", με τη γενική μορφή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η διατομή τους δηλαδή έχει τα εξής γνωρίσματα: α) Έχει στρογγυλοποιημένη πρόσοψη β) Έχει αιχμηρή ουρά γ) Είναι κυρτή προς τα κάτω πρόσοψη χορδή ε πάνω καμπύλη καμπύλη κύρτωσης ζ δ ουρά κάτω καμπύλη μήκος χορδής c Η αεροτομή δηλαδή έχει την πλαϊνή όψη ενός ψαριού που κυρτώνει προς τα κάτω. Η ευθεία που ενώνει την πρόσοψη με την ουρά ονομάζεται "χορδή" (chord) ενώ ο μέσος όρος μεταξύ της πάνω και της κάτω καμπύλης ονομάζεται "καμπύλη κύρτωσης" (camber). Οι αεροτομές ακολουθούν την λεγόμενη τυποποίηση NACA η οποία ορίζει τις πάνω και κάτω καμπύλες με την βοήθεια κάποιων απλών αλγεβρικών εξισώσεων οι οποίες εμπεριέχουν τρεις βασικές γεωμετρικές παραμέτρους δ, ε και ζ οι οποίες ορίζονται ως εξής : α) Το δ, γνωστό ως "κύρτωση" (camber), που είναι η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση της καμπύλης κύρτωσης από τη χορδή. β) Το ε είναι η οριζόντια απόσταση που εμφανίζεται η μέγιστη κύρτωση δ. γ) Το ζ που είναι το μέγιστο κατακόρυφο πάχος του πτερυγίου, δηλαδή η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση της πάνω καμπύλης από την κάτω καμπύλη. Σύμφωνα με την τυποποίηση NACA, οι τρεις αυτοί παράμετροι δίνονται από 4 ψηφία της μορφής xyzw τα οποία δηλώνουν τα εξής: α) Το x εκφράζει το μήκος δ σε % κλάσμα του μήκους c. β) Το y εκφράζει το μήκος ε σε δεκαδικό κλάσμα του μήκους c. γ) Τα ψηφία zw εκφράζουν το μήκος ζ σε % κλάσμα του μήκους c. Για παράδειγμα για το πτερύγιο NACA 41 ισχύει x =, y = 4 και zw = 1 οπότε η μέγιστη κύρτωση είναι ίση με 0.0c, δηλαδή % του c, το μέγιστο αυτό εμφανίζεται σε απόσταση 0.4c από την πρόσοψη του πτερυγίου και το μέγιστο πάχος του πτερυγίου είναι 0.1c, δηλαδή 1% του c. Ορισμένα παραδείγματα πτερυγίων NACA φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Πρόβλημα: Ποια από τα πτερύγια του παραπάνω σχήματος έχουνε μεγαλύτερη κυρτότητα; Που εμφανίζεται η κυρτότητα αυτή; Ποια έχουν το μεγαλύτερο πάχος; Λύση: Με άμεση παρατήρηση βλέπουμε ότι τα πτερύγια στη δεξιά μεριά του σχήματος έχουν μεγαλύτερη κύρτωση. Αυτό είναι σε συνέπεια με το πρώτο ψηφίο τους x = 6 που είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο ψηφίο x = 4 των πτερυγίων στα αριστερά. Επίσης όλα τα πτερύγια έχουν y = 4 που σημαίνει ότι η μέγιστη κυρτότητα εμφανίζεται στο 0.4 δηλαδή 40% της χορδής (από την πρόσοψη). Επίσης με άμεση παρατήρηση βλέπουμε ότι όσο κατεβαίνουμε προς τα κάτω στο σχήμα, τα πτερύγια έχουν συνεχώς μεγαλύτερο πάχος. Αυτό είναι σε συνέπεια με τα δυο τελευταία ψηφία τους zw αφού εκφράζουν συνεχώς αυξανόμενα πάχη 6, 9, 1, 15 και 18%. Μια άλλη σημαντική παράμετρος των πτερυγίων είναι η λεγόμενη "γωνία προσβολής" α η οποία όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα είναι η γωνία μεταξύ της χορδής του πτερυγίου και της ροής του αέρα. Στα αεροσκάφη, αυτή η ροή είναι λόγω της κίνησης του αεροσκάφους μέσω του στρώματος του αέρα και τα πτερύγια έχουν από την κατασκευή τους ήδη μια τέτοια μικρή κλίση επειδή ενισχύει την άνωση όπως θα δούμε παρακάτω. Στις ανεμογεννήτριες η ροή είναι ένας συνδυασμός λόγω της ταχύτητας του αέρα αλλά και λόγω της περιστροφής του στροφείου της (οπότε ο αέρας φαίνεται σαν να περιστρέφεται αντίθετα). Βέβαια και στα πτερύγια των ανεμογεννητριών εισάγεται μια τεχνική γωνία προσβολής όπως θα δούμε παρακάτω.

Ο Π Α Β χορδή γωνία προσβολής α F L F D ροή αέρα Για να κατανοήσουμε την αεροδυναμική των πτερυγίων των ανεμογεννητριών, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε την λειτουργία των πτερυγίων των αεροσκαφών, αφού η λειτουργία των πρώτων βασίστηκαν στην λειτουργία των δεύτερων. Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, όταν τα μόρια του αέρα που ξεκινούν πολύ μπροστά από το πτερύγιο στο σημείο Ο φτάσουν στην πρόσοψη του πτερυγίου Π, τότε κάποια συνεχίζουν από την πάνω πλευρά του πτερυγίου ακολουθώντας την διαδρομή ΠΑ, ενώ κάποια άλλα ακολουθούν την διαδρομή ΠΒ από την κάτω πλευρά. Λόγω της γωνίας προσβολής αλλά και της κύρτωσης του πτερυγίου, ο αέρας στο Β παγιδεύεται περισσότερο από ότι ο αέρας στο Α. Επομένως για τις ταχύτητες του αέρα σε αυτά τα δυο σημεία μπορούμε να γράψουμε ότι v A > v B. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Bernouli, δυο φορές, μια φορά μεταξύ του σημείου Ο και Α και μια μεταξύ του σημείου Ο και Β: Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε P 0 + ρ 0v 0 P 0 + ρ 0v 0 = P Α + ρ Αv Α = P Β + ρ Βv Β P Α + ρ Αv Α = P Β + ρ Βv Β Εάν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα του αέρα είναι περίπου η ίδια στο Α και στο Β (κατά προσέγγιση) τότε η συνθήκη v A > v B οδηγεί στο αποτέλεσμα Ρ Α < Ρ Β δηλαδή η πίεση του αέρα είναι υψηλότερη κάτω από το πτερύγιο σε σχέση με αυτή από πάνω από το πτερύγιο, με επακόλουθο την εμφάνιση μιας υδροστατικής δύναμης στο πτερύγιο λόγω διαφοράς πίεσης. Λόγω της γωνίας προσβολής αλλά και της κύρτωσης του πτερυγίου, η δύναμη αυτή έχει φορά προς τα πάνω και προς τα πίσω. Εξ ορισμού, η συνιστώσα F L της δύναμης που είναι κάθετη στην ροή του αέρα ονομάζεται "άνωση" ενώ η συνιστώσα F D κατά μήκος της ροής ονομάζεται "οπισθέλκουσα" δηλαδή τριβή. Επειδή θα συναντήσουμε αυτές τις συνιστώσες και στις ανεμογεννήτριες, είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι αυτές οι δυο συνιστώσες ορίζονται πάντα σε σχέση με τη ροή του αέρα. Περιμένουμε η αεροδυναμικές αυτές δυνάμεις να εξαρτούνται από την επιφάνεια Α του πτερυγίου (εφόσον προέρχονται από διαφορές πίεσης), από την πυκνότητα ρ του αέρα (ένα πυκνότερο ρευστό εφαρμόζει μεγαλύτερες πιέσεις στις επιφάνειες που δρα),

από την κινητική ενέργεια του αέρα που είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας v του αέρα και τέλος από την γεωμετρία του πτερυγίου (π.χ. ένα πτερύγιο με κύρτωση παρουσιάζει μεγαλύτερη άνωση από ένα επίπεδο πτερύγιο). Η επίδραση της γεωμετρίας του πτερυγίου συνοψίζεται σε έναν αδιάστατο συντελεστή (καθαρός αριθμός) C ο οποίος είναι διαφορετικός για τις δυο συνιστώσες, δηλαδή γράφουμε και F L = 1 ρav C L F D = 1 ρav C D όπου τα C L και C D είναι γνωστοί αντίστοιχα ως οι αεροδυναμικοί συντελεστές άνωσης και οπισθέλκουσας. Αυτοί οι συντελεστές είναι καταγεγραμμένοι για όλες τις τυποποιημένες αεροτομές και είναι συναρτήσει της γωνίας προσβολής α. Τυπικές καμπύλες φαίνονται στα παρακάτω σχήματα για τρεις αεροτομές NACA. Βλέπουμε ότι το C L αυξάνει ραγδαία και σχεδόν γραμμικά με το α μέχρι μιας οριακής τιμής π.χ. 1 0 πάνω από την οποία τα πράγματα αντιστρέφονται. Αντίθετα το C D αυξάνει πολύ αργά και μάλιστα σε μικρές γωνίες ισχύει C D C L αλλά και η συμπεριφορά αυτού αντιστρέφεται πάνω από την οριακή τιμή. C L C D ωφέλιμη περιοχή ωφέλιμη περιοχή α (μοίρες) α (μοίρες) Θεωρία της τομής των πτερυγίων Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, σε σχέση με τις αεροτομές των πτερυγίων των αεροσκαφών (α) τα οποία είναι παράλληλα τοποθετημένα ώστε οι δυο δυνάμεις άνωσης F L να προστίθενται, τα πτερύγια των ανεμογεννητριών (β) έχουν αντίθετο προσανατολισμό (για ευκολία θεωρήστε στροφείο με δυο μόνο πτερύγια) ώστε οι δυο δυνάμεις άνωσης F L να δημιουργούν ζεύγος ροπής και να έχουμε περιστροφή.

(β) ανεμογεννήτρια F L F L F L F L (α) αεροσκάφος Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, υπάρχουν και δυο επιπλέον διαφορές μεταξύ των πτερυγίων σε αεροσκάφη (α) και ανεμογεννήτριες (β). Η μια είναι ότι τα πτερύγια στο β είναι κατασκευασμένα με πολύ μεγαλύτερη γωνία γ ως προς την αξονική διεύθυνση. Π.χ. για ένα αεροσκάφος αυτή η γωνία είναι τυπικά 4 6 0 ενώ στις ανεμογεννήτριες 70 80 0. Η γωνία γ στις ανεμογεννήτριες δεν είναι η γωνία προσβολής όπως θα δούμε σε λίγο και ονομάζεται "γωνία τοποθέτησης αεροτομής". ροή αέρα (α) άξονας αεροσκάφους ροή ανέμου (β) γ άξονας ανεμογεννήτριας επίπεδο περιστροφής Η δεύτερη διαφορά, η οποία διακρίνεται στο επόμενο σχήμα, είναι ότι κατασκευαστικώς η γωνία γ δεν παραμένει σταθερή αλλά αυξάνει ελαφριά όπως πηγαίνουμε προς τα έξω του πτερυγίου. Μπορούμε δηλαδή να θεωρήσουμε ότι το πτερύγιο είναι "τεμαχισμένο" κατά το άνοιγμά του σε ένα μεγάλο αριθμό αεροτομών που η κάθε μια από αυτές έχει απειροστό πάχος dr, απέχει απόσταση r R από τον άξονα περιστροφής (R είναι η ακτίνα της πτέρυγας) και που η γωνία της γ είναι ελαφριά μεγαλύτερη από την γωνία της προηγούμενης αεροτομής στη σειρά με μικρότερο r. Ο λόγος για αυτές τις δυο διαφορές θα φανεί αμέσως παρακάτω.

Ω dr r Ω εφαπτομενική ταχύτητα αεροτομής Ωr κυλινδρική βάση στροφείου ροή ανέμου τμήμα πτερυγίου Μια σημαντική έννοια που πρέπει να κατανοήσουμε στο παρόν εδάφιο είναι η έννοια της "σχετικής ροής του αέρα". Θεωρήστε για παράδειγμα ένα αεροσκάφος που κινείται προς τα αριστερά κατά τη διάρκεια μιας ώρας στην οποία επικρατεί πλήρη άπνοια. Παρότι που η ταχύτητα του ανέμου είναι μηδέν, εντούτοις ο αέρας σφυροκοπάει το αεροσκάφος λόγω της σχετικής του κίνησης ως προς το αεροσκάφος. Αυτή η ροή του αέρα είναι γνωστή στους πιλότους ως ο "φαινόμενος άνεμος". Είναι δηλαδή σαν να βρίσκεται το αεροσκάφος ακινητοποιημένο και να το προσβάλει άνεμος με ταχύτητα αντίθετη με αυτή του αεροσκάφους.

Ας δούμε τι επίδραση έχει η φαινόμενη ταχύτητα στο πτερύγιο μιας ανεμογεννήτριας. Θεωρήστε το παρακάτω σχήμα όπου φαίνεται η αεροτομή ενός τέτοιου πτερυγίου. Στην περίπτωση (α) το πτερύγιο είναι ακίνητο και ο άνεμος είναι οριζόντιος κατά μήκος του άξονα της ανεμογεννήτριας. Σύμφωνα με αυτά που είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο, θα εμφανιστούν στην αεροτομή δυο δυνάμεις, η άνωση F L και η οπισθέλκουσα F D, κάθετη και κατά μήκος της ταχύτητας του αέρα αντίστοιχα. Η πρώτη έχει σαν αποτέλεσμα την ανύψωση της αεροτομής αλλά επειδή το πτερύγιο είναι προσδεμένο σε άξονα περιστροφής, η άνωση το θέτει σε περιστροφή (δείτε και το προηγούμενο σχήμα που δείχνει μια τρισδιάστατη απεικόνιση του πτερυγίου). Μόλις το πτερύγιο αποκτήσει περιστροφή, η αεροτομή αποκτάει αυτόματα μια εφαπτομενική ταχύτητα που στο επίπεδο του σχήματος εμφανίζεται προς τα πάνω, η οποία σύμφωνα με αυτά που είπαμε παραπάνω, εμφανίζεται ως μια φαινόμενη κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας του αέρα προς τα κάτω. Το αποτέλεσμα αυτής της συνιστώσας είναι να αλλάξει η σχετική κατεύθυνση του αέρα και να σχηματίζει τώρα γωνία β ως προς τον άξονα της γεννήτριας. Δηλαδή ο αέρας δεν προσβάλλει τώρα οριζόντια το πτερύγιο αλλά με γωνία προσβολής α = γ β Επειδή οι ανεμογεννήτριες περιστρέφονται με μεγάλες ταχύτητες, η γωνία β είναι μεγάλη και αυτός είναι ο λόγος που και η γ πρέπει να είναι μεγάλη ώστε η γωνία προσβολής α να είναι μικρή και έτσι να επιτευχθεί μεγάλος συντελεστής άνωσης C L (δείτε τη γραφική παράσταση C L α σε προηγούμενο σχήμα). Επίσης, όπως εικονίζεται στο προηγούμενο τρισδιάστατο σχήμα, η γωνία γ αυξάνει κατά το άνοιγμα της πτέρυγας επειδή η κάθε αεροτομή απέχει διαφορετική απόσταση r από τον άξονα περιστροφής, με συνέπεια η εφαπτομενική της ταχύτητα Ωr να αυξάνει και αυτή γραμμικά με το r, όπου Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στροφείου F L ροή ανέμου γ F D άξονας επίπεδο περιστροφής α) ακίνητο πτερύγιο φαινόμ. εφαπτ. ταχύτητα β ταχύτητα αέρα εφαπτομενική ταχύτητα ροή ανέμου γ F L F D άξονας β) περιστρεφόμενο πτερύγιο

Στο παρακάτω σχήμα εξετάζουμε αναλυτικά όλες τις συνιστώσες της ταχύτητας του αέρα αλλά και των δυνάμεων που δρουν στην αεροτομή. Ο άνεμος έχει οριζόντια ταχύτητα v η οποία όπως είδαμε επάνω στο επίπεδο του στροφείου αποκτάει τιμή ίση με v = (1 a)v 1. Αφού η εφαπτομενική ταχύτητα της αεροτομής είναι Ωr, τότε ο αέρας θα έχει μια αντίστοιχη φαινομενική συνιστώσα ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς. Όπως όμως είδαμε σε προηγούμενο εδάφιο, ο αέρας μετά το επίπεδο του στροφείου, αποκτάει και αυτός γωνιακή ταχύτητα ω ενώ επάνω στο επίπεδο του στροφείου αυτή η ποσότητα αποκτάει κατά μέσο όρο την τιμή ω/. Επομένως η συνολική συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στο άξονα περιστροφής είναι ίση με Ωr + ωr/ (φαινόμενη συν πραγματική). Είδαμε ότι τα ω και Ω συνδέονται με τη βοήθεια της παραμέτρου a από την εξίσωση ω/ = a Ω και έτσι η παραπάνω συνιστώσα της ταχύτητας γίνεται Ωr(1 + a ). Ο αέρας λοιπόν, ως προς την αεροτομή, έχει συνιστάμενη ταχύτητα με μέτρο U U = (1 a) v 1 + Ω r (1 + a ) (θα χρησιμοποιήσουμε το κεφαλαίο γράμμα U για την συνιστάμενη ταχύτητα και το μικρό v για την οριζόντια ταχύτητα του ανέμου). Από απλή τριγωνομετρία στο τρίγωνο που σχηματίζουν οι συνιστώσες της ταχύτητας, προκύπτουν εύκολα οι παρακάτω δυο εξισώσεις: tanβ = Ωr(1 + a ) v 1 (1 a) U = v 1(1 a) cosβ β Ωr + ωr/ U Ωr v γ β df L άξονας df D x επίπεδο περιστροφής Σκοπός του παρόντος εδαφίου είναι να υπολογισθούν οι δυνάμεις και οι ροπές που ασκούνται στην αεροτομή. Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, οι αεροδυναμικές δυνάμεις είναι οι df L και df D (είναι απειροστές επειδή το πάχος dr της αεροτομής είναι απειροστό) οι οποίες ορίζονται σε σχέση με την κατεύθυνση της ταχύτητας του αέρα οπότε και αυτές σχηματίζουν γωνία β με το επίπεδο περιστροφής και τον άξονα της ανεμογεννήτριας αντίστοιχα. Εάν πάρουμε αυτόν τον άξονα να συμπίπτει με τον άξονα x, τότε η δύναμη κατά αυτή τη διεύθυνση ισούται με ενώ η συνιστώσα κάθετη στον άξονα είναι ίση με df x = df L sinβ + df D cosβ

df θ = df L cosβ df D sinβ Αυτή η δεύτερη συνιστώσα είναι και υπεύθυνη για την περιστροφή της αεροτομής γύρω από τον άξονα της γεννήτριας οπότε εάν η αεροτομή βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής, η αντίστοιχη ροπή θα είναι ίση με dτ = rdf θ Από το προηγούμενο εδάφιο, γνωρίζουμε ότι οι αεροδυναμικές δυνάμεις είναι ίσες με και F L = 1 ρav C L F D = 1 ρav C D Το πρώτο πράγμα που πρέπει να αλλάξουμε σε αυτές τις εξισώσεις για ένα περιστρεφόμενο πτερύγιο είναι η ταχύτητα του αέρα από u σε U (σύνθετη ταχύτητα). Ποιο όμως είναι ακριβώς το εμβαδό Α που εμφανίζεται σε αυτές τις σχέσεις; Πρέπει να θυμηθούμε ότι αυτές οι εξισώσεις προέρχονται από την αεροδυναμική των αεροσκαφών και το Α εκεί ορίζεται ως το εμβαδό της προβολής των πτερυγίων σε κάτοψη, π.χ. δείτε το ένθετο στο παρακάτω σχήμα. Στο ίδιο σχήμα φαίνεται μια αεροτομή του πτερυγίου της ανεμογεννήτριας όπως την ορίσαμε παραπάνω με πάχος dr και έστω με μήκος χορδής ίσο με c. H αντίστοιχη προβολή της αεροτομής είναι ένα απειροστό ορθογώνιο με εμβαδό da = cdr. dr c προβολή εμβαδό προβολής Α Έτσι σε αυτή την αεροτομή δρούνε δυο απειροστές δυνάμεις ίσες με και df L = 1 ρcu C L dr df D = 1 ρcu C D dr Προσέξτε την αλλαγή από u σε U. Χρησιμοποιώντας μια από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις που βρήκαμε παραπάνω, την U = v 1 (1 a)/cosβ, οδηγεί στις

df L = 1 ρcv (1 a) 1 cos β C Ldr και df D = 1 ρcv (1 a) 1 cos β C Ddr Αντικαθιστώντας αυτές τις δυο εξισώσεις στις παραπάνω στις εκφράσεις που βρήκαμε για τα df x και df θ οδηγούν στα αποτελέσματα και Η αντίστοιχη ροπή είναι ίση με df x = 1 ρcv (1 a) 1 cos β (C Lsinβ + C D cosβ)dr df θ = 1 ρcv (1 a) 1 cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr dτ = 1 rρcv 1 (1 a) cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr Η ολική δύναμη και ροπή που ασκείται σε όλο το πτερύγιο, προκύπτει με ολοκλήρωση των παραπάνω σχέσεων από r 0 (αγνοώντας την κυλινδρική βάση όπου στερεώνονται τα πτερύγια) έως και την ακτίνα του πτερυγίου r = R. Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν για ένα πτερύγιο. Εάν το στροφείο αποτελείται από έναν αριθμό Β πτερυγίων, τότε οι παραπάνω σχέσεις της αξονικής δύναμης και της ροπής γίνονται ίσες με και df x = 1 Bρcv (1 a) 1 cos β (C Lsinβ + C D cosβ)dr dτ = 1 Brρcv 1 (1 a) cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr Ορίζουμε μια επιπλέον παράμετρο σ γνωστή ως η "τοπική στερεότητα" της γεννήτριας ίση με και οι παραπάνω σχέσεις γίνονται Δύναμη Ροπή σ = Bc πr df x = σπρrv 1 dτ = σπr ρv 1 (1 a) cos β (C Lsinβ + C D cosβ)dr (1 a) cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr

Θυμηθείτε από τη Φυσική Ι ότι το γινόμενο ροπή γωνιακή ταχύτητα μας δίνει την ισχύ στην περιστροφή, δηλαδή Ρ ΩΦ = τω και έτσι μπορούμε να δούμε εύκολα ότι η στοιχειώδης ισχύς που δρα επάνω στην αεροτομή είναι ίση με dρ ΩΦ = Ωdτ = Ωσπr ρv 1 (1 a) cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr Η ολική ισχύς προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης από r 0 έως r = R. Ρ ΩΦ = R r=0 R dp = Ωπρv (1 a) 1 σr cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr Όπως είδαμε σε προηγούμενο εδάφιο, ο συντελεστής ισχύος δίνεται από την r=0 C P = Ρ ΩΦ P ΕΙΣ = Ρ ΩΦ ραv 1 3 όπου Α = πr είναι το εμβαδό της κυλινδρικής μάζας που εισέρχεται στην ανεμογεννήτρια. Έτσι: C P = Ω v 1 R R r=0 (1 a) σr cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr Σχεδιασμός Ανεμογεννητριών Στα προηγούμενα εδάφια υπολογίσαμε την στοιχειώδη αξονική δύναμη και τη στοιχειώδη ροπή που δρούνε επάνω στο στροφείο σε ένα στοιχειώδες τμήμα του με πάχος dr κατά μήκος της ακτίνας του μέσω δυο θεωριών, α) της θεωρίας της αξονικής ροπής και β) της θεωρίας της τομής των πτερυγίων. Σε αυτό το εδάφιο θα εξισώσουμε τα αποτελέσματά τους επειδή οδηγούν σε δυο σημαντικές εξισώσεις για τον σχεδιασμό των ανεμογεννητριών. Εξισώνοντας τις στοιχειώδεις αξονικές δυνάμεις οδηγεί στο αποτέλεσμα: 4a(1 a)πρv 1 rdr = 1 σπρrv (1 a) 1 cos β (C Lsinβ + C D cosβ)dr => a 1 a = σ 4cos β (C Lsinβ + C D cosβ) Εξισώνοντας τις στοιχειώδεις ροπές οδηγεί στο αποτέλεσμα: 4πa (1 a)ωr 3 ρv 1 dr = 1 (1 a) σπr ρv 1 cos β (C Lcosβ C D sinβ)dr => 4a 1 a = σv 1 4Ωrcos β (C Lcosβ C D sinβ)

Παρόμοια με το λόγο λ = ΩR/v 1 της άκρης του πτερυγίου, ορίζουμε και τον αντίστοιχο λόγο λ r = Ωr/v 1 της αεροτομής και έχουμε τα τελικά αποτελέσματα βάσει των οποίων σχεδιάζονται οι ανεμογεννήτριες: Εξίσωση 1 a 1 a = σ 4cos β (C Lsinβ + C D cosβ) Εξίσωση 4a 1 a = σ 4λ r cos β (C Lcosβ C D sinβ) Εξίσωση 3 tanβ = λ r (1 + a ) (1 a) όπου Β: αριθμός πτερυγίων και a a σ λ r λ v 1 v v 1 ω Ω Bc πr Ωr v 1 ΩR v 1 3-Δ περιστροφή στροφείου γωνιακή ταχύτητα Ω v γωνιακή ταχύτητα ω x v r θ περιστροφή αέρα v 1 πτερύγιο, ακτίνα R v

dr c Πρόβλημα: Θεωρήστε μια ανεμογεννήτρια με στροφείο διαμέτρου 5 m. Η ταχύτητα του στροφέα για ταχύτητα ανέμου 10 m/s είναι ίση με 130 στροφές ανά λεπτό και ο συντελεστής ισχύος είναι ίσος με 0.35. Υπολογίστε τον λόγο ταχύτητας του άκρου των πτερυγίων και τη ροπή που δρα στον άξονα του στροφείου. Πάρτε την πυκνότητα του αέρα ίση με 1.4 kg/m 3. Λύση: Οι 130 στροφές ανά λεπτό αντιστοιχούν σε 130/60 =.167 s 1 που είναι στην ουσία η συχνότητα περιστροφής f. Από αυτήν μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα την γωνιακή συχνότητα Από τον ορισμό του λ έχουμε Ω = πf = 13.61 rad/s λ = ΩR = 13.61.5 = 3.4 v 1 10 Η επιφάνεια του στροφείου είναι ίση με Α = πr = 3.14.5 = 19.63 m. Η ισχύς είναι ίση με P ΩΦ = C 3 PρΑv 1 = 0.35 1.4 19.63 103 = 460 W = 4.6 kw Tο γινόμενο ροπή γωνιακή ταχύτητα μας δίνει την ισχύ στην περιστροφή, δηλαδή P ΩΦ = τω και έτσι μπορούμε να λύσουμε ως προς την ροπή τ = P ΩΦ Ω = 460 = 313 Ν m 13.61 Πρόβλημα:

Ένα μοντέλο ανεμογεννήτριας με διάμετρο 1 m δοκιμάστηκε σε μια πειραματική αεροδυναμική σήραγγα η οποία βρίσκεται σε μια περιοχή με υψόμετρο 400 m. Τα αποτελέσματα των δοκιμών δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Να κατασκευάσετε την καμπύλη C P λ του στροφέα. Ταχύτητα στροφείου (rev/min) 4 m/s 6 m/s 8 m/s Ισχύς Ισχύς (Watt) (Watt) Ταχύτητα στροφείου (rev/min) Ταχύτητα στροφείου (rev/min) Ισχύς (Watt) 306 1.3 48 4.55 673 104.54 35 13.37 550 45.66 764 109.46 397 13.68 619 47.73 856 113.15 443 14.33 688 48.46 948 110.69 489 13.53 757 44.6 1039 100.85 535 11.99 768 43.58 1055 98.39 Λύση: Ο συντελεστής C P είναι εξ ορισμού C P = P πr ρv 3 = 8P πd ρv 3 όπου D = R η διάμετρος του στροφείου και v η ταχύτητα του αέρα v 1 που για λόγους ευκολίας έχουμε παραλείψει το δείκτη "1". Η πυκνότητα του αέρα σε ύψος 400 m είναι περίπου ρ = 1.18 kg/m 3. Για τον υπολογισμό του λ χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λ = RΩ v Τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα σε rev/min (περιστροφές ανά λεπτό) όταν τα διαιρέσουμε με 60 μετατρέπονται σε rev/s που είναι η συχνότητα f της περιστροφής και η οποία συνδέεται ως γνωστό με τη γωνιακή ταχύτητα μέσω της Ω = πf. Με την βοήθεια των παραπάνω, κατασκευάζουμε την εξής γραφική παράσταση (για πίνακα τιμών δείτε υπολογισμούς σε Excel εδώ):

Cp-λ 0.5 0.48 0.46 0.44 0.4 0.4 6 8 10 1 14 16 From Foil Theory, the lift L and drug D forces are given by cρv 1 L = C L cρv 1 D = C D