Σημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Προς τους φοιτητές:

1 Σημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προς τους φοιτητές: Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να διευκολύνουν τη μελέτη θεμάτων της ατομικής φυσικής που μελετώνται στα πλαίσια του κατ επιλογήν μαθήματος «Ατομική Φυσική» που διδάσκεται στο 7 ο εξάμηνο σπουδών του Τμήματος Φυσικής. Η ατομική φυσική προϋποθέτει καλή γνώση της κβαντομηχανικής, και της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Προτάσσεται μια μικρή επανάληψη κάποιων ειδικών θεμάτων, αλλά τα διδακτικά βοηθήματα που έχουν δοθεί για τα μαθήματα αυτά θα πρέπει να βρίσκονται «στην ημερησία διάταξη!». Θα ακολουθήσουν μερικές ακόμα σελίδες για θέματα που δεν έχουν καλυφθεί. Επειδή η συλλογή των στοιχείων και η συγγραφή έγινε με τον χρόνο να πιέζει ασφυκτικά - τα κείμενα γράφτηκαν για τις συγκεκριμένες διαλέξεις και στη συνέχεια ενοποιήθηκαν - υπάρχουν κάποιες επαναλήψεις σχημάτων, ή σχέσεων, που σε επόμενες εκτυπώσεις διορθώνονται. Παρακαλώ να μου υποδείξετε τα σημεία που θεωρείτε ότι θα πρέπει να διευκρινιστούν περισσότερο ή λάθη που μπορεί να υπάρχουν. Ευχαριστώ τον A.Mark Fox, Καθ. στο Παν. του Sheffield, για την άδειά του να χρησιμοποιήσω σχήματα και αποσπάσματα από τις σημειώσεις του Ατομικής Φυσικής που υπάρχουν στο δίκτυο. Ε. Βιτωράτος Φεβρ. 01 1

Εισαγωγικά (Ι) Η ατομική Φυσική εξετάζει τι συμβαίνει στο εσωτερικό των ατόμων. Είναι το πιο σημαντικό πεδίο δοκιμών της κβαντικής θεωρίας, κι έτσι είναι περιοχή έντονου ερευνητικού ενδιαφέροντος για τον λόγο ότι τα πορίσματα των ερευνών αυτών είναι εξαιρετικής σημασίας τόσο για την βασική έρευνα, όσο και για την τεχνολογία. Πολλοί κλάδοι της επιστήμης σχετίζονται άμεσα με την Ατομική φυσική. Για παράδειγμα: από τη Φυσική: η Αστροφυσική, η Φυσική της Στερεάς κατάστασης, η Φυσικοχημεία, η Φυσική του πλάσματος, η Φυσική της ατμοσφαίρας, η Φυσική των ακτινοβολιών. από τις άλλες επιστήμες: η Χημεία (η ανάλυση, οι ρυθμοί αντιδράσεων, ), η Βιολογία (η μοριακή δομή, η φυσιολογία), η Επιστήμη των Υλικών, η έρευνα σχετικά με την Ενέργεια, η μελέτες που σχετίζονται με την σύντηξη. από τον χώρο των εφαρμογών: τα Lasers, η τεχνολογία των ακτίνων Χ, ο πυρηνικός μαγνητικός συντονισμός(nmr), ο εντοπισμός της μόλυνσης στο περιβάλλον, οι εφαρμογές σε θέματα ιατρικής, κλπ.

3 Σε πρώτη φάση: θα δούμε εν συντομία τα θέματα που θα μελετήσουμε στη συνέχεια των μαθημάτων με λεπτομέρεια. Θα συνοψίσουμε επίσης την θεωρία του Bohr που ήταν η βάση της παλιάς πριν την κβαντομηχανική κβαντικής θεωρίας. 3

4 Φασματοσκοπία Η γνώση που έχουμε για τα άτομα προέρχεται από τη μελέτη του τρόπου που το φως αλληλεπιδρά με την ύλη και πιο συγκεκριμένα από τις μετρήσεις των ατομικών φασμάτων. Έτσι η οπτική έχει παίξει ρόλο-κλειδί στην ανάπτυξη της ατομικής φυσικής. Η εξαιρετικά μεγάλη ακρίβεια με την οποία μπορούν να μετρηθούν οι φασματοσκοπικές γραμμές, κάνει την ατομική φυσική τον πλέον ακριβή κλάδο της Φυσικής. Για παράδειγμα, οι συχνότητες των φασματικών γραμμών του υδρογόνου έχουν μετρηθεί με πολύ μεγάλη ακρίβεια, τέτοια που επέτρεψε την έρευνα ασθενών αλλά πολύ σημαντικών φαινομένων που εκ πρώτης όψεως περνούν απαρατήρητα. Η βασική επιδίωξη της ατομικής φασματοσκοπίας είναι η μέτρηση της ενέργειας του φωτονίου που απορροφάται ή εκπέμπεται όταν ένα ηλεκτρόνιο «πηδάει» από μία κβαντική κατάσταση σε μια άλλη, όπως φαίνεται στο σχήμα Ι.1 που ακολουθεί: Αυτά τα πηδήματα καλούνται «ακτινοβολούσες μεταβάσεις». Η συχνότητα ν του φωτονίου, ή το μήκος κύματός του λ, καθορίζεται από την ενεργειακή διαφορά των δύο ενεργειακών σταθμών, σύμφωνα με τη σχέση: hc h E E όπου E 1 και στάθμη αντίστοιχα. 1 E είναι οι ενέργειες που αντιστοιχούν στην κατώτερη και την ανώτερη Οι ερευνητές μετρούν το μήκος κύματος του φωτονίου και από αυτό υπολογίζουν την ενεργειακή διαφορά. Ι.1 4

5 Οι ακριβείς τιμές των ενεργειών προσδιορίζονται αφού καθοριστεί η μία από τις δύο ενεργειακές στάθμες συνήθως η θεμελιώδης κατάσταση με άλλες μεθόδους, π.χ. από μετρήσεις του δυναμικού ιονισμού (ionization potential). Μονάδες ενέργειας Οι ατομικές ενέργειες συνήθως εκφράζονται σε ηλεκτρονιοβόλτ (ev). Ένα ev είναι η ενέργεια που απαιτείται για να επιταχυνθεί ένα ηλεκτρόνιο από μια διαφορά δυναμικού ενός βολτ. 1 1,6 10 19 ev x J Το ev είναι μια βολική μονάδα, μια και οι ενέργειες των ηλεκτρονίων των ατόμων είναι συνήθως λίγα ev. Ακόμη, οι ατομικές ενέργειες εκφράζονται συχνά σε μονάδες του κυματαριθμού (cm -1 ). Ο κυματαριθμός είναι το αντίστροφο του μήκους κύματος του φωτονίου με ενέργεια Ε, και ορίζεται ως εξής: _ 1 E Ι. ( _ cm) c hc Ας σημειωθεί ότι το μήκος κύματος θα πρέπει να εκφράζεται σε cm. Έτσι, e 1eV cm 8066cm hc 1 1 Ι.3 Οι τιμές εκπεφρασμένες σε cm -1 είναι ιδιαίτερα βολικές για την ατομική φασματοσκοπία. Και αυτό λόγω του ότι στον υπολογισμό του κυματαριθμού δεν εισέρχονται φυσικές σταθερές. Έτσι, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που εκπέμπεται κατά την μετάβαση, δίνεται από τη σχέση: 1 _ 1 Ι.4 όπου 1 και οι τιμές των ενεργειακών σταθμών 1 και, μετρημένες σε μονάδες cm -1 και το λ σε cm. 5

6 Οι κλίμακες ενέργειας στην Ατομική Φυσική Παραδοσιακά οι αλληλεπιδράσεις που συμβαίνουν στο εσωτερικό των ατόμων κατατάσσονται από άποψη ενέργειας- σε τρεις κλίμακες σύμφωνα με τον πίνακα που ακολουθεί. Η αντιστοιχία αυτής της κατάταξης στην παρατήρηση των φασματικών γραμμών φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Χοντρική Υφή (Gross structure) Στην πρώτη ενεργειακή κλίμακα της ιεραρχίας των ατομικών αλληλεπιδράσεων που ονομάζεται «χοντρική υφή» περιλαμβάνονται οι μεγαλύτερες αλληλεπιδράσεις στο εσωτερικό των ατόμων, και συγκεκριμένα: η κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων στις τροχιές τους γύρω από τον πυρήνα η ενέργεια λόγω της ηλεκτροστατικής έλξης μεταξύ του θετικού πυρήνα και των ηλεκτρονίων. η ενέργεια λόγω της απωστικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των ηλεκτρονίων στα άτομα με πολλά ηλεκτρόνια. Το μέγεθος των αλληλεπιδράσεων αυτών αντιστοιχεί σε ενέργειες από 1 μέχρι 10 ev και πάνω. Έτσι, καθορίζουν αν το φωτόνιο που εκπέμφθηκε βρίσκεται στο υπέρυθρο ή στο ορατό ή στο υπεριώδες ή στην περιοχή των ακτίνων Χ και πιο συγκεκριμένα αν είναι στο ιώδες, το μπλε, το πράσινο, το κίτρινο, το πορτοκαλί ή το κόκκινο, στην περίπτωση που μιλάμε για το ορατό φάσμα. 6

7 Λεπτή Υφή (Fine structure) Προσεκτική παρατήρηση των φασματικών γραμμών των ατόμων αποκαλύπτει συχνά πως είναι πολλαπλές! Παραδείγματος χάριν, η έντονη κίτρινη γραμμή του νατρίου - που χρησιμοποιείται για τον φωτισμό των δρόμων είναι διπλή! Υπάρχουν δύο φασματικές γραμμές με μήκη κύματος 589,0nm και 589,6nm. Το γεγονός αυτό δηλώνει πως υπάρχουν και μικροτέρας τάξεως αλληλεπιδράσεις μέσα στο άτομο εκτός από εκείνες που οφείλονται στα φαινόμενα που εντάσσονται στην «χοντρική υφή». Οι αλληλεπιδράσεις χοντρικής υφής καθορίζουν τη θέση της φασματικής γραμμής (χοντρικά) στο κίτρινο, αλλά στα φαινόμενα λεπτής υφής οφείλεται ο διαχωρισμός αυτής σε δύο επί μέρους λεπτές γραμμές. Στην περίπτωση της κίτρινης γραμμής του νατρίου, η ενέργεια που αντιστοιχεί στην διαχωρισμό των φασματικών γραμμών λόγω λεπτής υφής είναι,1x10-3 ev ή 17 cm -1. Οι αλληλεπιδράσεις λεπτής υφής οφείλονται στην αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς. Τα ηλεκτρόνια περιφερόμενα γύρω από τον πυρήνα ισοδυναμούν με κυκλικά ρεύματα τα οποία με τη σειρά τους ισοδυναμούν με ατομικά μαγνητικά δίπολα. Το μέγεθος της μαγνητικής διπολικής ροπής των ηλεκτρονίων είναι της τάξεως της μαγνητόνης του Bohr μ Β : e 4 1 B 9, 7 10 JT Ι.5 m e Τα μαγνητικά δίπολα δημιουργούν ισχυρά μαγνητικά πεδία σε ατομική κλίμακα και το σπιν των ηλεκτρονίων μπορεί να αλληλεπιδράσει με αυτό το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο. Το γεγονός αυτό έχει σαν συνέπεια μικρές μετατοπίσεις στις ενέργειες οι οποίες εντοπίζονται με τις μετρήσεις της λεπτής υφής των φασμάτων. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να μάθουμε πώς ακριβώς το σπιν και η τροχιά συζεύγνυνται. Στις πιο προχωρημένες ατομικές θεωρίες, όπως για παράδειγμα η θεωρία του Dirac, κ.α., γίνεται σαφές πως η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι ένα σχετικιστικό φαινόμενο. 7

8 Υπέρλεπτη Υφή (Hyperfine structure) Ακόμη προσεκτικότερη μελέτη των φασματικών γραμμών με φασματόμετρα μεγάλης διακριτικής ικανότητας αποκαλύπτει πως οι φασματικές γραμμές που προέκυψαν λόγω λεπτής υφής είναι και αυτές πολλαπλές και διαχωρίζονται περαιτέρω. Οι αλληλεπιδράσεις που είναι υπεύθυνες γι αυτόν τον επί πλέον διαχωρισμό ονομάζονται υπέρλεπτες αλληλεπιδράσεις. Οι υπέρλεπτες αλληλεπιδράσεις οφείλονται σε φαινόμενα μεταξύ των ηλεκτρονίων και του πυρήνα. Ο πυρήνας έχει μια μικρή μαγνητική ροπή της τάξεως του B / 000 που οφείλεται στο πυρηνικό σπιν. Η μαγνητική αυτή ροπή μπορεί να αλληλεπιδράσει με το μαγνητικό πεδίο που οφείλεται στην κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τον πυρήνα. Η αλληλεπίδραση αυτή δημιουργεί μετατοπίσεις των ενεργειακών σταθμών περίπου 000 φορές μικρότερες από αυτές που οφείλονται στην λεπτή υφή. Η περίφημη γραμμή στα 1cm στην ραδιοαστρονομία προκαλείται από μεταβάσεις μεταξύ ενεργειακών σταθμών που οφείλονται στην υπέρλεπτη υφή στο ατομικό υδρογόνο. Το φωτόνιο που εκπέμπεται σ αυτή την περίπτωση έχει ενέργεια 6x10-6 ev, ή 0,05 cm -1. 8

9 Αλληλεπιδράσεις με τα εξωτερικά πεδία Πληροφορίες γι αυτά που συμβαίνουν στο εσωτερικό των ατόμων μπορούμε να πάρουμε και από την μελέτη των φαινομένων που οφείλονται στην επίδραση των εξωτερικών πεδίων. Σε αδρές γραμμές μπορούμε να αναφέρουμε: Το φαινόμενο Zeeman: διαχωρισμός των ατομικών φασματικών γραμμών όταν εφαρμοστεί ένα εξωτερικό ασθενές μαγνητικό πεδίο. Όταν το πεδίο είναι ισχυρό, παρατηρείται ένα διαφορετικό φαινόμενο που καλείται φαινόμενο Paschen-Back. Εν τούτοις για τα περισσότερα άτομα αυτό το ισχυρό μαγνητικό πεδίο που είναι απαραίτητο για να περάσουμε από την παρατήρηση του φαινομένου Zeeman στο Paschen-Back δεν είναι πάντοτε εφικτό στα ερευνητικά εργαστήρια, έτσι συνήθως μένουμε στην παρατήρηση του φαινομένου Zeeman. Στην περίπτωση που εφαρμόζουμε ηλεκτρικά πεδία δεν διακρίνουμε ισχυρά και ασθενή παρατηρούμε φαινόμενα που αποδίδονται με τον όρο: «φαινόμενο Stark». Τα φαινόμενα αυτά ονομάστηκαν έτσι, από το όνομα του J. Stark, ο οποίος ήταν ο πρώτος που μελέτησε την επίδραση της εφαρμογής ηλεκτρικών πεδίων στις ατομικές φασματικές γραμμές και μέτρησε τον διαχωρισμό των γραμμών Balmer του υδρογόνου από ένα ηλεκτρικό πεδίο το 1913. 9

10 Το μοντέλο του Bohr Το 1911 ο Rutherford ανακάλυψε τον πυρήνα. Το γεγονός αυτό οδήγησε στην ιδέα ότι τα άτομα αποτελούνται από ηλεκτρόνια που περιφέρονται σε κλασσικές τροχιές γύρω από τον πυρήνα και ότι η απαραίτητη κεντρομόλος δύναμη προέρχεται από την έλξη Coulomb μεταξύ των αρνητικά φορτισμένων ηλεκτρονίων και του θετικού πυρήνα, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Το πρόβλημα που εμφανίζεται όμως σε αυτήν τη περίπτωση είναι ότι το ηλεκτρόνιο συνεχώς επιταχύνεται! Τα επιταχυνόμενα φορτία όμως εκπέμπουν ακτινοβολία (ακτινοβολία bremsstrahlung), έτσι τα ηλεκτρόνια θα έπρεπε να εκπέμπουν συνεχώς, πράγμα που θα μείωνε συνεχώς την ενέργειά τους και θα τα οδηγούσε σε μια σπειροειδή κίνηση με τελικό αποτέλεσμα την πτώση τους στον πυρήνα, όπως ακριβώς προσπίπτει ένας δορυφόρος πάνω στη γη. Το 1913 ο Bohr πρότεινε το δικό του μοντέλο για το άτομο. Τα στοιχεία-κλειδιά αυτού του μοντέλου ήταν πως: η στροφορμή L του ηλεκτρονίου πρέπει να παίρνει διακριτές τιμές (είναι κβαντισμένη) με τιμές ακέραια πολλαπλάσια της σταθεράς. ( =h/π): L n. όπου n ακέραιος οι ατομικές τροχιές είναι σταθερές και εκπέμπεται ή απορροφάται φως μόνον όταν ένα ηλεκτρόνιο πηδάει από την μια ενεργειακή στάθμη στην άλλη. Όταν ο Bohr έκανε τις υποθέσεις αυτές, το 1913, ήταν εντελώς αυθαίρετες, δεν υπήρχε καμιά δικαιολόγηση γι αυτές, εκτός από το ότι με εντυπωσιακή επιτυχία προέβλεπαν τις φασματικές γραμμές του φάσματος του υδρογόνου. 10

11 Έχοντας τώρα στο μυαλό μας την κβαντομηχανική, ξέρουμε το γιατί αυτές οι αυθαίρετες συνθήκες δουλεύουν! Η πρώτη από τις υποθέσεις του Bohr ισοδυναμεί με την διατύπωση πως η τροχιά του ηλεκτρονίου θα πρέπει να αντιστοιχεί σε ακέραιο αριθμό μηκών κύματος κατά de Broglie. Έτσι, για την περίπτωση μιας κυκλικής τροχιάς, μπορούμε να γράψουμε: h h r n n n Ι.6 p m deb από την οποία παίρνουμε: h L m r n Ι.7 Η δεύτερη από τις υποθέσεις του Bohr είναι συνέπεια του γεγονότος ότι η εξίσωση του Schrödinger οδηγεί σε λύσεις ανεξάρτητες από το χρόνο (ιδιοκαταστάσεις). Η τιμές των ενεργειακών σταθμών προκύπτουν ως εξής: Ας θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο σε μια τροχιά γύρω από ένα πυρήνα μάζας φορτίο Ze. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η δύναμη Coulomb: m Ze F r 4 r Ι.8 0 m N και (Στα άτομα το ηλεκτρόνιο περιφέρεται στον ελεύθερο χώρο, όπου η σχετική διηλεκτρική σταθερά r είναι ίση με τη μονάδα. Εντούτοις, στη στερεά κατάσταση συχνά συναντάμε υδρογονοειδή συστήματα μέσα σε κρυστάλλους όπου η σχετική διηλεκτρική σταθερά είναι διάφορη του 1. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να αντικαταστήσουμε την σταθερά 0 με το γινόμενο 0 r ). Οπως σε όλα τα συστήματα δύο σωματιδίων που περιφέρονται, η μάζα m μπαίνει στον υπολογισμό είναι η ανηγμένη μάζα: 1 1 1 Ι.9 m m m Η ολική ενέργεια δίνεται από το άθροισμα κινητικής και δυναμικής, δηλαδή(με βάση και τις Ι.7, Ι.8): 4 1 Ze mz e E n m 4 r 8 hn Ι.10 0 0 Ή R En n Ι.11 mz όπου: R R m Ι.1 e Η R είναι η ενέργεια Rydberg: me R 8 I.13 4 e 0 h Η ενέργεια Rydberg είναι μια βασική φυσική σταθερά και έχει τιμή,18x10-18 Joule, που είναι ισοδύναμη με 13,6 ev ή 109,737 cm -1. Αυτό μας λέει πως η χοντρική e N που 11

1 ενέργεια των ατομικών καταστάσεων στο άτομο του υδρογόνου είναι της τάξεως 1-10 ev ή 10 4-10 5 cm -1. R, είναι η ενεργός σταθερά Rydberg του συστήματος. Στην περίπτωση του υδρογόνου έχουμε ένα ηλεκτρόνιο που περιφέρεται γύρω από τον πυρήνα που έχει ένα πρωτόνιο με μάζα m. Η ανηγμένη μάζα στην περίπτωση mp αυτή είναι: m me 0,9995m m m e p οπότε η ενεργός σταθερά Rydberg για το υδρογόνο είναι: R 0,9995 Ι.14 H R e p Η ατομική φασματοσκοπία δίνει αποτελέσματα με μεγάλη ακρίβεια και παράγοντες όπως 0,05% μετρώνται εύκολα. Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις ακτίνες των τροχιών και τις ταχύτητες των ηλεκτρονίων στις τροχιές αυτές: n me r n a0 Z m Ι.15 Z n c Ι.16 n Οι δύο φυσικές σταθερές που εμφανίζονται στις παραπάνω σχέσεις είναι η ακτίνα του Bohr a 0 : και η σταθερά λεπτής υφής : a h I.17 0 0 me e e Ι.18 hc 0 Είναι μια αδιάστατη σταθερά που δίνει ένα μέτρο της σχετικής έντασης της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Είναι ο λόγος της ταχύτητας του ηλεκτρονίου στην θεμελιώδη κατάσταση του Η προς την ταχύτητα του φωτός. Δηλαδή είναι ένα μέτρο του πότε γίνονται σημαντικά τα σχετικιστικά φαινόμενα. Οι φυσικές σταθερές που προέρχονται από το μοντέλο του Bohr σχετίζονται μεταξύ τους με τις σχέσεις: 1 a0 Ι.19 mc e 1 R m a Ι.0 e 0 1

13 Τώρα, οι ενέργειες των φωτονίων που εκπέμπονται ή απορροφώνται κατά τις μεταβάσεις μεταξύ των διακριτών ενεργειακών σταθμών στο άτομο του υδρογόνου, προκύπτουν από τη σχέση Ι.11, και είναι: 1 1 h R H n1 n Ι.1 όπου n 1 και n οι κβαντικοί αριθμοί των δύο ενεργειακών σταθμών. Στην περίπτωση που έχουμε απορρόφηση ενός φωτονίου, θέτουμε n1 1. Στην περίπτωση εκπομπής μπορούμε να έχουμε κάθε συνδυασμό, με n1 n. Σε κάποιες από τις σειρές των φασματικών γραμμών έχουν δοθεί ειδικά ονόματα. Οι φασματικές γραμμές που προκύπτουν από την κατάληξη των ηλεκτρονίων στην στάθμη με n1 1 καλούνται σειρά Lyman, αυτές που προκύπτουν από την κατάληξη στην στάθμη με n1 καλούνται σειρά Balmer, κλπ. Η ανάγκη της κβαντικής μηχανικής Ένας απλός υπολογισμός δείχνει ότι το μοντέλο του Bohr δεν είναι συμβατό με την κβαντομηχανική. Στο μοντέλο του Bohr, η γραμμική ορμή του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση: Z n p m mc Ι. n r n Εντούτοις ξέρουμε από την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg ότι η ακριβής τιμή της ορμής είναι μη προσδιορίσιμη. Αν δεχτούμε ότι η αβεβαιότητα στον καθορισμό της θέσης του ηλεκτρονίου είναι της τάξεως της ακτίνας της τροχιάς r, βρίσκουμε πως η αβεβαιότητα στην ορμή είναι: p x r n n Ι.3 Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις βρίσκουμε: p n p Ι.4 Η σχέση αυτή δείχνει ότι το μέγεθος της ορμής p δεν μπορεί να καθοριστεί εκτός εάν το n είναι πολύ μεγάλο. Για μικρές τιμές του n το μοντέλο του Bohr αποτυγχάνει. 13

14 Το σπιν Στη σειρά των μαθημάτων θα ασχοληθούμε και με το σπιν του ηλεκτρονίου και τη σημασία του για την ερμηνεία των φαινομένων. Εδώ θα δούμε τα πλέον βασικά χαρακτηριστικά του. Το σπιν είναι μια πλήρως κβαντομηχανική οντότητα που δεν έχει κλασσικό ανάλογο. Το πείραμα Stern-Gerlach έδειξε ότι άτομα που δεν είχαν τροχιακή στροφορμή εξακολουθούν να εμφανίζουν στροφορμή. Στην αναζήτηση ενός ονόματος γι αυτή την «επίμονη» στροφορμή, προτάθηκε το όνομα «σπιν». (Στο μοντέλο του Bohr η τροχιακή στροφορμή L ισούται με n, και αφού n 1, το L είναι διάφορο του μηδενός. Αλλά, όπως θα δούμε στη συνέχεια των μαθημάτων: L l( l 1), όπου l o κβαντικός αριθμός της τροχιακής στροφορμής. Αφού το l μπορεί να πάρει τιμές από 0 έως n 1, μερικά άτομα μπορούν να έχουν L 0. Επιπλέον όπως θα δούμε στη συνέχεια των μαθημάτων η μαγνητική διπολική ροπή ενός ατόμου είναι ευθέως ανάλογη της στροφορμής του. Έτσι, ένα άτομο με L 0 δεν θα μπορούσε να εκτραπεί από ένα μη ομογενές μαγνητικό πεδίο αν δεν συμπεριλάβουμε στη θεώρησή μας την επίδραση του σπιν). Ο Paul Dirac στο Cambridge ασχολήθηκε με την ερμηνεία του ηλεκτρονικού σπιν όταν διατύπωσε την σχετικιστική κυματική εξίσωση που φέρει το όνομά του το 198. Το γεγονός ότι δεν υπάρχουν παρεκκλίσεις στο πείραμα Stern-Gerlach, οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η συνιστώσα κατά τον άξονα των z του σπιν μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές. Έτσι, καθορίστηκαν δύο κβαντικοί αριθμοί του σπιν για το ηλεκτρόνιο, οι s και m, όπου s 1/ και m 1/ s s Το μέγεθος της στροφορμής σπιν, δίνεται από τη σχέση: S s( s 1) Ι.5 και η συνιστώσα κατά τον άξονα των z: S m Ι.6 z s Το γεγονός ότι το ηλεκτρόνιο έχει ημιακέραιο σπιν, το κατατάσσει στα φερμιόνια. Τα φερμιόνια υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Pauli. Σωματίδια με ακέραιες τιμές σπιν (όπως τα σωμάτια α) δεν υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Pauli. Η απαγορευτική αρχή του Pauli λέει ότι μόνο ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να καταλαμβάνει μια μεμονωμένη κβαντική κατάσταση, πράγμα που είναι σημαντικό για την ερμηνεία του περιοδικού συστήματος των στοιχείων. 14

15 Με λίγα λόγια: Η πορεία για τη λύση της εξίσωσης του Schrödinger για ένα σφαιρικό δυναμικό. Γραφή της εξίσωσης σε σφαιρικές συντεταγμένες Διαχωρισμός των μεταβλητών: * ακτινική εξίσωση, * γωνιακή εξίσωση (με επί πλέον διαχωρισμό ). Η ως προς φ εξίσωση, απαιτεί: m= ακέραιος Η ως προς θ εξίσωση, έχει λύσεις τα πολυώνυμα του Legendre και απαιτεί: l=0,1,,3, και το m να παίρνει τιμές από l έως l ). Οι λύσεις της γωνιακής εξίσωσης είναι οι σφαιρικές αρμονικές Υ lm (θ,φ), και δεν εξαρτώνται από την μορφή του δυναμικού (αφού είναι ένα κεντρικό δυναμικό). Στη συνέχεια συνδέουμε τις λύσεις αυτές με μια ειδική φυσική ποσότητα: την στροφορμή. Βλέπουμε ότι οι λύσεις της γωνιακής εξίσωσης είναι ιδιοτιμές του. Το γεγονός αυτό έχει φυσική σημασία: οι κυματοσυναρτήσεις που είναι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της στροφορμής έχουν ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε καθορισμένες τιμές της στροφορμής. Στη συνέχεια θα δούμε κάποιες μάλλον περίεργες ιδιότητες της στροφορμής στην κβαντομηχανική. 15

16 Η Εξίσωση του Schrodinger Η λύση της ανεξάρτητης από το χρόνο εξίσωσης του Schrodinger: Ze ( r,, ) E( r,, ) m 4 0r (S1) επιτυγχάνεται με τον χωρισμό των μεταβλητών r, θ, φ. Έτσι, η κυματοσυνάρτηση παρίσταται από το γινόμενο: ( r,, ) R( r) P( ) ( ) Ο χωρισμός αυτός των μεταβλητών οδηγεί σε τρεις εξισώσεις για τις τρεις αυτές χωρικές μεταβλητές οι λύσεις των οποίων n l m που αναδεικνύουν τους τρεις κβαντικούς αριθμούς (,, ) l σχετίζονται με τις ενεργειακές στάθμες του ατόμου του υδρογόνου. Το άτομο «βλέπει» ένα δυναμικό με σφαιρική συμμετρία, έτσι είναι λογικό να χρησιμοποιηθούν σφαιρικές πολικές συντεταγμένες ( r,, ). 16

17 Ας σημειωθεί ότι θεωρούμε την κίνηση του ηλεκτρονίου σε σχέση με έναν πυρήνα που θεωρούμε ακίνητο. Όμως και το ηλεκτρόνιο και ο πυρήνας περιφέρονται γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματός τους και θα πρέπει να ληφθεί υπ όψιν η ανηγμένη μάζα m του ηλεκτρονίου στην εξίσωση του Schrodinger. (Εξ άλλου η μικρή εξάρτηση της ανηγμένης μάζας του ηλεκτρονίου από την μάζα του πυρήνα οδηγεί στην ισοτοπική μετατόπιση των φασματικών γραμμών). Η ανηγμένη μάζα ορίζεται από τη σχέση: 1 m 1 m 1 m (S) Επειδή δε για το υδρογόνο: mn mp, η ανηγμένη μάζα είναι πολύ κοντά στην μάζα του ηλεκτρονίου m e, συγκεκριμένα: m 0,9995 m e. e N e Η δυναμική ενέργεια του φορέα είναι: Ur (). 4 r Η εξ. του Schrodinger σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται: 0 1 1 1 Ze r sin E m r r r r sin r sin 4 0r (S3) Σκοπός μας είναι να βρούμε τις κυματοσυναρτήσεις ( r,, ) που ικανοποιούν την εξίσωση και να προσδιορίσουμε τις επιτρεπόμενες κβαντισμένες ενεργειακές τιμές. 17

18 Τελεστές Στην κβαντομηχανική σημαντικό ρόλο παίζουν οι «τελεστές»! Τελεστή, Q, ορίζουμε τον κανόνα με τον οποίο μια συνάρτηση f σχετίζεται με μια άλλη συνάρτηση. Συμβολικά γράφουμε: f Q Το σύμβολο ενός τελεστή κρύβει σύνθετους υπολογισμούς με τους οποίους η αρχική συνάρτηση ( ) μετασχηματίζεται σε μια άλλη συνάρτηση f. Για παράδειγμα το σύμβολο κρύβει διπλές παραγωγίσεις ως προς x,y,z και πρόσθεση των παραστάσεων που θα προκύψουν. Σε ειδικές περιπτώσεις, ένας τελεστής μπορεί να παριστάνει τον πολλαπλασιασμό της αρχικής συνάρτησης με μια συνάρτηση U. Δηλαδή: f U U. Σε αυτή την περίπτωση: U U Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας U σαν τελεστή του οποίου η επίδραση στη συνάρτηση είναι να την πολλαπλασιάσει επί U, η εξίσωση του Schrodinger: U E m γίνεται: H E Στην παραπάνω σχέση το σύμβολο H είναι: «τελεστής άθροισμα» του τελεστή της κινητικής ενέργειας με τον τελεστή της δυναμικής ενέργειας και ονομάζεται Χαμιλτονιανή. Για το γινόμενο δύο τελεστών Τ 1 και Τ δεν ισχύει πάντα η αντιμεταθετική ιδιότητα (η εναλλακτικότητα). Δηλαδή: T 1 T δεν είναι πάντα ίσο με T T 1. Ο τελεστής TT 1, T 1 T T T 1 ονομάζεται «εναλλάκτης» ή «αντιμεταθέτης» (commutator) των τελεστών Τ 1 και Τ. Στις ειδικές περιπτώσεις που ο εναλλάκτης δύο τελεστών είναι μηδέν, λέμε ότι οι τελεστές εναλλάσσονται, γεγονός που σημαίνει ότι μπορούμε να μετρήσουμε ταυτόχρονα τις ακριβείς τιμές των μεγεθών που παριστάνουν. 18

19 Π.χ για τους τελεστές θέσεως-ορμής: d d x x, p ( x p px) i x i i dx dx Δηλαδή x, p i 0 πράγμα που σημαίνει πως οι τελεστές αυτοί δεν εναλλάσσονται. Το γεγονός αυτό σχετίζεται με το ότι δεν μπορούμε να μετρήσουμε ταυτόχρονα τις τιμές της θέσης και της ορμής, κάτι που το ξέρουμε από την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg. Η Στροφορμή Ο κλασσικός ορισμός της στροφορμής είναι: L r p Στην κβαντομηχανική, ο τελεστής της χ-συνιστώσας της γραμμικής ορμής είναι: px i x Επομένως οι κβαντομηχανικοί τελεστές για την στροφορμή είναι: Lx y z i z y, Ly z x i x z, Lz x y i y x L L L L x y z Lx y z y z y y z z z y z y z y z y Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι οι συνιστώσες της στροφορμής δεν εναλλάσσονται. Δηλαδή: L L L L. Συγκεκριμένα:, x y y x L L i L x y z, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε τα μέτρα των τριών συνιστωσών της στροφορμής ταυτόχρονα. 19

0 Αλλά, L, L z 0 πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να ξέρουμε το μέτρο της στροφορμής και την τιμή μιας από της συνιστώσες (διευκολύνει από μαθηματική άποψη να είναι η L z ). Τα παραπάνω μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά στο «διανυσματικό μοντέλο» για το άτομο. Σε αυτό η στροφορμή παρίσταται από ένα άνυσμα που έχει μήκος ll ( 1) και κάνει μεταπτωτική κίνηση γύρω από τον άξονα z, έτσι ώστε η συνιστώσα της κατά τον άξονα z να ισούται με l m Οι συνιστώσες της στροφορμής κατά τους άξονες x και y δεν είναι δυνατό να προσδιοριστούν. Σε σφαιρικές συντεταγμένες οι τελεστές της στροφορμής L και της μιας από τις συνιστώσες της στροφορμής L z γράφονται: L z i και L 1 1 sin sin sin (S4) Τώρα η εξίσωση του Schrodinger(S3) γράφεται: 1 L Ze r r mr 4 0 E m r r r (S5) 0

1 Οι ιδιοτιμές του τελεστή της στροφορμής θα προκύψουν από την επίλυση της εξισώσεως: L F, CF, ή της 1 1 sin F,, sin sin (S6) CF Η σταθερά C γράφεται με τη μορφή (οι λόγοι θα φανούν στη συνέχεια): C l( l 1) (S7) (στη φάση αυτή το l μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή πραγματική ή μιγαδική). Μπορούμε να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές και να γράψουμε: F(, ) ( ) ( ) (S8) Αντικαθιστούμε στην τελευταία μορφή της εξίσωσης (S6) και έχουμε: 1 d 1 sin d d l l1) sin d d sin d (S9) πολλαπλασιάζοντας επί sin / βρίσκουμε: sin d 1 sin d sin ll ( 1) d d d d (S10) Το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι συνάρτηση της γωνίας και το δεξιό της γωνίας. Επιπλέον η εξίσωση θα πρέπει να ισχύει για κάθε τιμή των μεταβλητών. Επομένως κάθε μέλος θα πρέπει να ισούται με μια σταθερά. Θέτοντας τη σταθερά αυτή m, έχουμε: sin d d sin ( 1)sin d d (S11) και l l m 1

d m d (S1) Το m δεν θα πρέπει να συγχέεται με την ανηγμένη μάζα. Προστίθεται δε ο δείκτης l για να διακρίνεται από τον κβαντικό αριθμό του spin m. S Η τελευταία εξίσωση λύνεται εύκολα και παίρνουμε: im ( ) Ae (S13) και επειδή πρέπει να έχει μία μοναδική τιμή για κάθε τιμή της, θα πρέπει: ( ) ( ) (S14) πράγμα που σημαίνει πως το m θα πρέπει να είναι ακέραιος. Με βάση τη θεώρηση αυτή (το m να είναι ακέραιος), η εξίσωση ως προς γίνεται: d d d d sin sin l( l 1)sin m 0 (S15) Αντικαθιστώντας: εξίσωση γίνεται: u cos και γράφοντας: ( ) Pu ( ), η τελευταία d dp m du du 1 u 1 u l( l 1) P 0 (S16) Η τελευταία εξίσωση είναι γνωστή ως εξίσωση του Legendre ή συμφυής εξίσωση του Legendre, ανάλογα αν το m είναι μηδέν ή όχι. Λύσεις υπάρχουν μόνον αν το l είναι ακέραιος και μεγαλύτερος του m, (δηλαδή αν l m ) και το Pu ( ) πολυωνυμική συνάρτηση του u. Αυτά σημαίνουν πως η λύση της εξίσωσης ως προς θ, θα είναι της μορφής: m ( ) (cos ) (S17) P l m όπου P (cos ) πολυωνυμική συνάρτηση που καλείται «συμφυής l πολυωνυμική συνάρτηση του Legendre».

3 Τελικά η m im F(, ) P (cos ) e (S18) όπου m και l ακέραιοι, και το m μπορεί να παίρνει τιμές από l έως l. Οι σωστά νορμαλισμένες συναρτήσεις καλούνται: Y σφαιρικές αρμονικές lm, (, ). Είναι προφανές από τις σχέσεις (S6, S7 & S4a) ότι οι σφαιρικές αρμονικές ικανοποιούν τις σχέσεις: L Yl, m(, ) l( l 1) Yl, m(, ) L Y (, ) m Y (, ) z l, m l, m (S19) Οι ακέραιοι l και m ονομάζονται τροχιακός κβαντικός αριθμός και μαγνητικός κβαντικός αριθμός αντίστοιχα. Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτουν τα μεγέθη της στροφορμής και της συνιστώσας της κατά τον άξονα των z: ll ( 1) (S0) και m αντίστοιχα. Οι σφαιρικές αρμονικές ικανοποιούν τη σχέση: * Yl, m(, ) Yl, m(, )sindd l, l m, m 00 όπου kk, η συνάρτηση δέλτα Kronecker, που έχει την τιμή 1 όταν k k και την τιμή μηδέν όταν k k Ο πίνακας δίνει μερικές σφαιρικές αρμονικές. l 3

4 Διαχωρισμός μεταβλητών στην εξίσωση του Schrodinger Το δυναμικό Coulomb είναι ένα κλασσικό κεντρικό δυναμικό. Η δύναμη έχει την διεύθυνση της ακτίνας. Τα γεγονός αυτό επιτρέπει τον διαχωρισμό της κίνησης σε ακτινικό και γωνιακό μέρος. Έτσι γράφουμε: ( r,, ) R( r) Y(, ) αντικαθιστώντας στην (S5): (S1) βρίσκουμε: r mr 0 1 L Ze r r mr 0 E m r r 4 r 1 d dr Lˆ Y Ze r Y R RY ERY m dr dr 4 r (S) πολλαπλασιάζοντας επί r / RY και αναδιατάσσοντας τους όρους παίρνουμε: 1 d dr ˆ 1 r Ze r Er L Y m R dr dr 4 Y m 0 (S3) 4

5 Το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του r ενώ το δεξιό είναι συνάρτηση των γωνιακών συντεταγμένων και. Η μόνη περίπτωση για να ισχύει είναι και τα δύο μέλη να ισούνται με μια σταθερά που θέτουμε Έτσι έχουμε: l( l 1) / m. 1 d dr( r) l( l 1) Ze r R( r) R( r) ER( r) m dr dr 4 r r mr 0 (ακτινική) (S4) L Y l l Y (, ) ( 1) (, ) (S5) Συγκρίνοντας την τελευταία σχέση με την L Y (, ) l( l 1) Y (, ) l, m l, m [(S19)] βλέπουμε ότι η σταθερά l είναι ο κβαντικός αριθμός της στροφορμής, και η συνάρτηση Y(, ) είναι μια σφαιρική αρμονική. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι Rr () Pr () r Οπότε η ακτινική εξίσωση γράφεται: d l( l 1) Ze P( r) EP( r) m dr mr 4 0r Η συγκεκριμένη εξίσωση έχει φυσική σημασία γιατί είναι μια εξίσωση του Schrodinger της μορφής: HP( r) EP( r) Όπου ο τελεστής της ενέργειας, δηλαδή η Hamiltonian, δίνεται από τη σχέση: d H V () effective r m dr Ο πρώτος όρος της παραπάνω εξίσωσης καλείται ακτινική κινητική ενέργεια και δίνεται από τη σχέση: KE. radial pr d m m dr 5

6 Ο δεύτερος όρος καλείται ενεργός δυναμική ενέργεια και είναι: V effective l( l 1) () r mr 4 Ze r 0 Που έχει δύο συνιστώσες, από τις οποίες η πρώτη ονομάζεται κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και δίνεται από τη σχέση: KE. orbital L l( l 1) Όπου I mr I mr η ροπή αδρανείας και η δεύτερη είναι η δυναμική ενέργεια που οφείλεται στην αλληλεπίδραση Coulomb. H ανάλυση αυτή δείχνει ότι η κβαντισμένη τροχιακή κίνηση προσθέτει κβαντισμένη κινητική ενέργεια στην ακτινική κίνηση. Για l 0 η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής θα είναι πάντα μεγαλύτερη από την ενέργεια Coulomb για μικρά r, με αποτέλεσμα η ενεργός δυναμική ενέργεια θα είναι θετική. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια τη διατήρηση του ηλεκτρονίου μακριά από τον πυρήνα και εξηγεί το λόγο για τον οποίο οι καταστάσεις με l 0 έχουν δεσμούς στην αρχή των αξόνων. Οι κυματοσυναρτήσεις και οι ενέργειες Η κυματοσυνάρτηση που θέλουμε δίνεται από τη σχέση: ( r,, ) R ( r) Y (, ) Είδαμε στη μελέτη μας ότι η συνάρτηση Y(, ) που εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση πρέπει να είναι μια από τις σφαιρικές αρμονικές, μερικές από τις οποίες φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. 6

7 Η ακτινική κυματοσυνάρτηση R(r) προκύπτει από τη λύση της ακτινικής διαφορικής εξίσωσης (S4): 1 d dr( r) l( l 1) Ze r R( r) R( r) ER( r) m r dr dr mr 4 r Ας εστιάσουμε στα συμπεράσματα: Λύσεις υπάρχουν μόνον αν εισάγουμε έναν ακέραιο κβαντικό αριθμό n. H ενέργεια εξαρτάται μόνο από τον n αλλά ο συναρτησιακός τύπος της R(r) εξαρτάται και από τον n και από τον l, έτσι γράφουμε την ακτινική συνάρτηση με τη μορφή: R ( r ). nl Ένας πίνακας με μερικές ακτινικές συναρτήσεις για το υδρογόνο φαίνεται παρακάτω. 0 7

8 Έτσι, η ολική κυματοσυνάρτηση γράφεται: ( r,, ) R ( r) Y (, ) nlm nl lm Οι κβαντικοί αριθμοί θα πρέπει να υπακούουν στους παρακάτω κανόνες: Ο n μπορεί να έχει ακέραια τιμή μεγαλύτερη της μονάδας. Ο l μπορεί να παίρνει ακέραιες τιμές από 0, μέχρι την τιμή n-1. Ο m μπορεί να παίρνει τιμές από l έως +l. Οι κανόνες αυτοί προέκυψαν από τη μαθηματική λύση. Συναρτήσεις που δεν ακολουθούν τους κανόνες αυτούς δεν ικανοποιούν την εξίσωση του Schrodinger για το άτομο του υδρογόνου. Οι ακτινικές συναρτήσεις που φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί είναι της μορφής: r/ a Rnl ( r) Cnl ( r) e όπου nh / Z, και H = 5,9. 10-11 m η ακτίνα του Bohr του υδρογόνου. Η σταθερά C nl είναι μια σταθερά νορμαλισμού. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι πολυώνυμα βαθμού n-1 και έχουν n-1 δεσμούς. Αν το l 0, όλοι οι δεσμοί συμβαίνουν σε πεπερασμένο r, αλλά αν 0 l, ένας από τους δεσμούς συμβαίνει για r =0. 8

9 Μερικές αντιπροσωπευτικές ακτινικές συναρτήσεις φαίνονται στο σχήμα: Το γωνιακό μέρος της κυματοσυνάρτησης είναι της μορφής (S18): 9

30 m im Yl, m(, ) C lm Pl (cos ) e m όπου P (cos ) l 1 1 είναι ένα πολυώνυμο του Legendre, π.χ. P (cos )., 0 1 l, P (cos ) cos, nl κλπ. C μια άλλη σταθερά νορμαλισμού. Αντιπροσωπευτικές πολικές κυματοσυναρτήσεις φαίνονται παρακάτω: Η ενέργεια του συστήματος βρίσκεται ότι είναι: E n mz e 8 h 4 1 n 0 που είναι η ίδια σχέση με αυτή του Bohr. Παρατηρούμε ότι η ενέργεια εξαρτάται μόνο από τον κύριο κβαντικό αριθμό n. Όλες οι l-καταστάσεις που αντιστοιχούν στο ίδιο n είναι «εκφυλισμένες καταστάσεις» (καταστάσεις της ίδιας ενέργειας) ακόμη κι αν οι ακτινικές κυματοσυναρτήσεις εξαρτώνται και από το l και από το n. Αυτός ο εκφυλισμός που υπάρχει σε σχέση με το l καλείται «τυχαίος», και αυτό είναι συνέπεια της ακριβούς εξάρτησης της ηλεκτροστατικής ενέργειας από το 1/r στο άτομο του υδρογόνου. Σε πιο περίπλοκα άτομα, η ηλεκτροστατική ενέργεια αποκλίνει από το 1/r λόγω του φαινομένου θωράκισης των εσωτερικών ηλεκτρονίων. Στην περίπτωση αυτή, πριν ακόμα αρχίσουμε να σκεφτόμαστε φαινόμενα λεπτής υφής ανωτέρας τάξεως, θα πρέπει να σκεφτούμε πως η ενέργεια εξαρτάται και από το l και από το n. 30

31 Θα το συναντήσουμε στα άτομα των αλκαλίων. Οι κυματοσυναρτήσεις είναι νορμαλισμένες, έτσι ώστε: * n, l, mn, l, mdv n, nl, l m, m r 0 0 0 όπου το dv είναι το στοιχείο όγκου σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες: dv r sin drd d Η ακτινική συνάρτηση πιθανότητας P () r εκφράζει την πιθανότητα που έχει ένα ηλεκτρόνιο να βρεθεί σε απόσταση μεταξύ r και r+dr, δηλαδή: * nl ( ) sin 00 P r dr r drdd nl R () r r dr nl Ο παράγων r σχετίζεται με το εμβαδόν της επιφάνειας του φλοιού ακτίνας r δηλ. το 4πr. ***************************************************************** ** Οι αναμενόμενες τιμές των ποσοτήτων που μπορούν να μετρηθούν, υπολογίζονται από ολοκληρώματα της μορφής: A * A dv Για παράδειγμα η αναμενόμενη τιμή για την ακτίνα θα προκύψει από τη σχέση: * r rdv * nl nl sin r 0 0 0 R R r dr d d * Rnl nl r 0 που τελικά δίνει: R r dr 31

3 n H 3 ll ( 1) r Z n Η σχέση αυτή προσεγγίζει τη τιμή Bohr: [(n l n 1 για μεγάλες τιμές του n. a H )/Z)] για καταστάσεις με Εδώ φαίνονται οι Υ 00, Υ 11, και Υ Πολικά διαγράμματα μερικών σφαιρικών αρμονικών. Δικτυακοί τόποι για «να απολαύσει» κανείς γωνιακές κυματοσυναρτήσεις: http://curie.umd.umich.edu/physlets/hangprob.html http://quantum.bu.edu/notes/quantummechanics/atlasofsphericalharmonics.pdf http://cat.sckans.edu/physics/angular.htm http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/ (ακτινικές, σε 3 διαστάσεις) 3

33 Κανόνες κβάντωσης σε κυκλικές τροχιές (Η μη κβαντική αντιμετώπιση για λόγους συγκριτικής μελέτης). Ο Bohr διατύπωσε την συνθήκη των σταθερών τροχιών από την συνθήκη του Planck: En n ( n ). Αν συμβολίσουμε την συντεταγμένη θέσης του ταλαντωτή με το q και την ορμή του με το p, η ολική του ενέργεια δίνεται από τη σχέση: p 1 ή m En m q n q p n / m mn 1 Το επίπεδο q,p ονομάζεται «επίπεδο φάσης» και μια συνάρτηση στο επίπεδο αυτό που δίνει το p ως συνάρτηση του q ονομάζεται «τροχιά φάσης». Όπως φαίνεται η τροχιά φάσης για έναν αρμονικό ταλαντωτή είναι μια έλλειψη με ημιάξονες: a n και b m mn p dq δίνεται και από το γινόμενο των Το εμβαδόν της έλλειψης ημιαξόνων επί τον αριθμό π: S b n p dq n Ο Bohr επεξέτεινε τον παραπάνω κανόνα κβάντωσης: n pdq που προέκυψε από την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή, και για άλλα μηχανικά συστήματα με την μεταβλητή q να δηλώνει μια γενικευμένη συντεταγμένη και την μεταβλητή p την αντίστοιχη γενικευμένη ορμή. Με τον όρο γενικευμένες συντεταγμένες ενός συστήματος νοούνται ποσότητες με τη βοήθεια των οποίων είναι δυνατός ο προσδιορισμός του συστήματος στον χώρο. 33

34 Παράδειγμα γενικευμένων συντεταγμένων είναι η θέση και η ορμή στον dx αρμονικό ταλαντωτή: q x και p. m dt Για ένα ηλεκτρόνιο που περιφέρεται σε κυκλική τροχιά οι γενικευμένες συντεταγμένες προκύπτουν εύκολα ότι είναι η αζιμουθιακή γωνία και η στροφορμή L. Δηλαδή: L d n Αλλά, λόγω του ότι η δύναμη που ασκεί ο πυρήνας στο ηλεκτρόνιο είναι κεντρική, η στροφορμή θα είναι επίσης σταθερή, άρα: L n Άρα: L n Συμπεραίνουμε λοιπόν, πως σύμφωνα με την κβαντική συνθήκη του Bohr, από όλες τις τροχιές που είναι δυνατές για το ηλεκτρόνιο στην κλασσική μηχανική, συναντώνται μόνο αυτές για τις οποίες η στροφορμή του είναι ακέραιο θετικό πολλαπλάσιο της σταθεράς. Το παραπάνω αποτέλεσμα δεν συμφωνεί με την τιμή για την στροφορμή που δίνει η κβαντομηχανική! 34