80 ραστηριότητες από οκίμια Εξετάσεων Να λύσετε τις πιο κάτω δραστηριότητες, δείχνοντας το συλλογισμό σας και δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 1. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 και 1 2. Να αποδείξετε ότι: (α) 2 (β) 2 31 10. (γ) 1 1 2. Αν 2 3 8, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 4 3 36 12 3. Αν 10 4 να βρείτε την τιμή της παράστασης 100 + 4. Να αποδείξετε ότι α ν 3 α ν 3 12α ν α ν α 12. 1. 5. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα που βρίσκονται στην στήλη Α και να τα αντιστοιχίσετε με τα πολυώνυμα της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α) 1 1 1 β) 1 1 γ) δ) 1 2 2 1 ε) 3 2 2 1 α).. β).. γ).. δ).. ε).. 1 1 2 1 Δεν παραγοντοποιείται
6. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα: (α) 3 7 103 (β) 125 γ β 125 (γ) 2 6 1 4 12 1 (δ) 3 2 42 3 7. Να κάνετε τις πράξεις: (α) (β) 8. Να αποδείξετε ότι: (α) : 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 1 (γ) 1 (β) 2 1 (β) (δ) 10. Δίνονται τα πολυώνυμα και (α) Να απλοποιήσετε τα πολυώνυμα και. (β) Να δείξετε ότι 27. 11. Δίνετε η παράσταση: (α) Να απλοποιήσετε την παράσταση. (β) Αν, να λύσετε την εξίσωση: 12. Να υπολογίσετε την αλγεβρική παράσταση: (α) Α (β) Να λύσετε την εξίσωση Α 2χ χ. με 0, 3 και. 2 1
13. Δίνονται οι παραστάσεις: και. (α) Να αποδείξετε ότι: 1 (β) Να λύσετε την εξίσωση: 0 (γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 14. Αν 1 : και 15. Δίνεται η παράσταση (α) Να αποδείξετε ότι. (β) Να βρείτε το ανάπτυγμα. 16. Δίνονται οι παραστάσεις να αποδείξετε ότι 0 με 0 3 και (α) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. (β) Αν και Β = αβ, να αποδείξετε ότι η παράσταση ισούται με το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς. 17. O κύριος Μάριος θέλει να υπολογίσει το ύψος του φάρου που βρίσκεται στο Κάβο Γκρέκο. Τοποθέτησε ένα γωνιομετρικό όργανο σε απόσταση 4 από το μέσο της βάσης του φάρου και βρήκε ότι το μέτρο της γωνίας από το έδαφος προς την κορυφή του φάρου είναι 60. Να υπολογίσετε το ύψος του φάρου με προσέγγιση ενός δεκαδικού ψηφίου. 18. Εμπειρικά για να στηρίξουμε μια σκάλα με ασφάλεια σε τοίχο, πρέπει αυτή να σχηματίζει με το έδαφος γωνία μεγαλύτερη από 40. Κάποιος στήριξε τη σκάλα όπως βλέπουμε στο διπλανό σχήμα. Είναι ασφαλής η στήριξη ή όχι και γιατί; 3
19. Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου, αν το μήκος σκιάς του είναι 12,5. 20. Ένας προβολέας Π βρίσκεται στο έδαφος και φωτίζει ένα δέντρο ΒΓ. Η σκιά Β Γ του δέντρου στο απέναντι κτίριο έχει ύψος 15. Αν η απόσταση του δέντρου από τον προβολέα είναι 8, ενώ από το κτίριο είναι 12, να βρείτε το ύψος του δέντρου. 21. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Αν 4, και εμβαδόν τριγώνου είναι 4 3, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 22. Στο πιο κάτω σχήμα ένας κυνηγός, με ύψος 1,7, βρίσκεται κοντά σε ένα δέντρο. Η ώρα 10 το πρωί οι παράλληλες ακτίνες του ήλιου σχηματίζουν σκιά για τον άνθρωπο μήκους 1,4 και για το δέντρο 8,5. Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, δικαιολογώντας την απάντησή σας. 23. Δίνονται τα σημεία Α1, 2 και Β5,6. (α) Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. (β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της. 24. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου, ώστε οι ευθείες : 2 7 και :32 4 να είναι κάθετες. 25. Οι ευθείες : 3 και : 2 2 5 είναι παράλληλες. Να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των και αν ισχύει η σχέση: 3 4 3. 4
26. Να λύσετε τα συστήματα: 2 3 2 26 (α) 4 (β) 27. Δίνεται το διπλανό ορθογώνιο σύστημα αξόνων και οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών: ε :α y1 ε :y23 ε : 2y 8 Από το σχήμα: (α) Να βρείτε τη λύση του συστήματος: ε :α 1 ε : 2y 8 (β) Να βρείτε την τιμή του α. (γ) Να εξετάσετε αν το σύστημα: ε :α 1 ε : 23 έχει μοναδική λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις. 3 1 23 16 2 28. Αν προσθέσουμε στα διπλάσια χρήματα του Γιώργου τα τριπλάσια χρήματα του Ανδρέα, τότε παίρνουμε άθροισμα 80. Όταν ξοδέψουν από 5, τότε ο Ανδρέας θα έχει τριπλάσια χρήματα από το Γιώργο. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας; 29. Σε ένα διαγωνισμό γνώσεων μια ομάδα μαθητών απάντησε συνολικά σε 50 ερωτήσεις και κέρδισε 166. Αν για κάθε ορθή απάντηση κέρδιζε 5 και για κάθε λανθασμένη έχανε 2, να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις απάντησε ορθά και σε πόσες λάθος. 30. Σε μια εκδρομή με λεωφορείο, πήραν μέρος 90 άτομα, συνοδοί και παιδιά. Οι συνοδοί αμείβονται με 50 ο καθένας. Τα παιδιά πληρώνουν 10 το καθένα. Από τα χρήματα που πλήρωσαν τα παιδιά, πληρώθηκαν τα δύο λεωφορεία, που κόστισαν 250, το φαγητό που κόστισε 350 και οι συνοδοί. Να βρείτε πόσα παιδιά πήραν μέρος στηνεκδρομή. (Να λύσετε το πρόβλημα με σύστημα) 31. Συσκευάσαμε 2,5 τόνους ελαιόλαδου σε 800 δοχεία των 2 και 5 κιλών. Να βρείτε πόσα δοχεία χρησιμοποιήσαμε από κάθε είδος. 5
32. Δίνονται οι ευθείες, και και τα σημεία Α, Β και Γ που είναι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ. Να υπολογίσετε: (α) Το μήκος της πλευράς ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ. (β) Τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. (γ) Την εξίσωση του ύψους ΑΔ του τριγώνου. (δ) Τη γραφική λύση του συστήματος των ευθειών 9 και της. 33. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία 1,3, 2,5 και 1,4. (α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. (β) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ. 34. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές 2, 1, 4, 2, 4, 4. (γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου. (δ) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. (ε) Να αποδείξετε ότι το μέσον της πλευράς ΒΓ βρίσκεται πάνω στην ευθεία 2χ 9. 35. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές 2, 3, 8, 3 και 2, 5. (α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνιές του. (β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου της πλευράς του τριγώνου. (γ) Από το σημείο να φέρετε ευθεία παράλληλη προς την, η οποία τέμνει την στο σημείο. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. (δ) Να βρείτε το μήκος της. 36. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με 0. Από τη γραφική παράσταση να βρείτε: (α) τις συντεταγμένες της κορυφής και να χαρακτηρίσετε το είδος του ακρότατου της, (β) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της, (γ) την τιμή του, (δ) το πεδίο τιμών της συνάρτησης, (ε) την τιμή του λ ώστε το σημείο 10,3 1 να ανήκει πάνω στην παραβολή. 6
37. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Να βρείτε: (α) την τιμή του (β) τις λύσεις της εξίσωσης 0 (γ) τη μέγιστη τιμή της (δ) τον άξονα συμμετρίας (ε) το πεδίο τιμών της (στ) 10 (ζ) 6 38. Από την γραφική παράσταση της παραβολής, να βρείτε: (α) το Π.Ο και το Π.Τ της συνάρτησης (β) την εξίσωση της παραβολής (γ) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας και τις συντεταγμένες της κορυφής της (δ) τα σημεία της παραβολής με τεταγμένη 3 39. H Αιμιλία για να βρει το δημοφιλέστερο τραγούδι παγκύπρια την περίοδο αυτή, σκοπεύει να ρωτήσει τους μαθητές ενός σχολείου. (α) Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί το αποτέλεσμα της έρευνας δε θα είναι αντικειμενικό; (β) Τι πρέπει να κάνει η Αιμιλία για να καταλήξει σε ένα αξιόπιστο συμπέρασμα; 40. Ένα εργοστάσιο παπουτσιών θέλει να κάνει έρευνα για το μέγεθος των παπουτσιών που φορούν οι Κύπριοι, για να προσαρμόσει την παραγωγή του σύμφωνα με τη ζήτηση. Αποφάσισε να πάρει ως δείγμα 200 άτομα και να εξετάσει το μέγεθος των παπουτσιών τους. Ποιος από τους πιο κάτω τρόπους είναι ο καλύτερος, για να πάρει το δείγμα: (α) να πάρει 200 μαθητές από ένα σχολείο; (β) να πάρει 200 υπαλλήλους από μια επιχείρηση; (γ) να πάρει 200 περαστικούς από ένα δρόμο; (δ) να πάρει 200 αθλητές από ένα αθλητικό κέντρο; 7
41. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδό βάσης ίσο με 100 και εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας ίσο με 260. Να βρείτε τον όγκο και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. 42. Κύλινδρος και κώνος έχουν ίσους όγκους και το ύψος του κυλίνδρου είναι τριπλάσιο από το ύψος του κώνου. Η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι 3. (α) Να δείξετε ότι η ακτίνα της βάσης του κώνου είναι 9. (β) Αν επιπλέον, το ύψος του κώνου είναι 40 να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου. 43. Το εμβαδόν της βάσης κώνου είναι 9 και το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του είναι 15. Να υπολογίσετε τον όγκο του. 44. Δίνεται κώνος με ακτίνα 3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ύψους του, έτσι ώστε ο όγκος του να είναι μεγαλύτερος από 3 και μικρότερος από 6. 45. Για την κατασκευή μιας κλειστής κυλινδρικής δεξαμενής καυσίμων ύψους 6, χρειάστηκαν 80 λαμαρίνας. Να υπολογίσετε τον όγκο της δεξαμενής. 46. Το διπλανό σχήμα είναι φτιαγμένο από λαμαρίνα κόστους 20 το και είναι ανοικτό από πάνω. Η ακτίνα του κυλινδρικού τμήματος είναι 3, το ύψος του είναι 10 και η γενέτειρα του κωνικού τμήματος είναι 5. (α) Να βρείτε το κόστος κατασκευής του. (β) Αν το στερεό είναι γεμάτο με σιτάρι και θα το αδειάσουμε σε τετραγωνικό πρίσμα με εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 160 και ύψος 5, να εξετάσετε αν το σιτάρι θα χωρέσει στο τετραγωνικό πρίσμα. 47. Το πιο κάτω στερεό αποτελείται από ένα κύλινδρο με διάμετρο 10 και ύψος 8 και έναν κώνο με γενέτειρα 13. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού. 8
48. Στο πιο κάτω στερεό φαίνεται ένας κύλινδρος από τον οποίο έχει αφαιρεθεί ένας κώνος. Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι 48 και η ακτίνα της βάσης του είναι 3. Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι διπλάσιο του ύψους του κώνου, να βρείτε: (α) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και (β) τον όγκο του στερεού. 49. Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδόν βάσης 144 και παράπλευρο ύψος το πολυώνυμο 2 2 21 2 5 1 1. (α) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό και ίσο με 10. (β) Να βρείτε το ύψος της πυραμίδας. (γ) Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. 50. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται ότι και 90. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 51. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρουμε από την κορυφή Β ευθεία (ε) παράλληλη με την ΑΓ, ΓΔ ΑΒ και ΑΕ (ε). (α) Να αποδείξετε ότι ΓΔ = ΑΕ. (β) Αν Ζ και Η είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΕΖ =ΔΗ. 52. Δίνεται τυχαίο τρίγωνο. Έστω τυχαίο σημείο της διχοτόμου του τριγώνου, και. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 53. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε ΜΕ κάθετη στην ΑΒ και τη προεκτείνουμε κατά τμήμα ΕΖ=ΜΕ. Στη συνέχεια φέρνουμε από το Μ την ΜΗ κάθετη πάνω στην ΑΓ και τη προεκτείνουμε κατά τμήμα ΗΘ=ΜΗ. Να δείξετε ότι: (α) Τα τρίγωνα ΒΕΜ και ΜΗΓ είναι ίσα. (β) Τα τρίγωνα ΕΑΖ και ΗΑΘ είναι ίσα. (γ) Το τρίγωνο ΑΖΘ είναι ισοσκελές. 9
54. Σε ισοσκελές τρίγωνο να φέρετε ευθεία παράλληλη προς τη που να περνά από τα μέσα και των πλευρών και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι κορυφές και ισαπέχουν από την ευθεία. 55. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται, Φ μέσο του ΑΛ και τα σημεία Κ, Φ, Β είναι συνευθειακά. Να αποδείξετε ότι: (α) το τρίγωνο ΦΝΜ είναι ισοσκελές. (β) (γ) οι γωνίες χ και ω είναι ίσες. 56. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Δύο διαδοχικές γωνίες παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. (β) Η διάμεσος τραπεζίου είναι ίση με το άθροισμα των δύο βάσεων του. (γ) Ο ρόμβος έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου. (δ) Ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο αν είναι ορθογώνιο και ρόμβος. 10 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 57. Δίνονται τα πιο κάτω τετράπλευρα. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με ένα τετράπλευρο από τη στήλη Β. (α) (β) (γ) (δ) Στήλη Α (α) ΑΒΓΔ τετράπλευρο (β) ΖΙΚΗ τετράπλευρο (γ) ΤΠΥΟ τετράπλευρο (δ) ΝΞΜΛ τετράπλευρο Στήλη Β (i) Τραπέζιο (ii) Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο (iii) Παραλληλόγραμμο (iν) Ρόμβος (ν) Τετράγωνο (α) (β) (γ) (δ)
58. Δίνεται η παράσταση :. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 59. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. (α) Να αναφέρετε το είδος του τετραπλεύρου. (β) Να βρείτε τα χ και τα ψ. 60. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται 4, 3, 9, 5 και // //. Να υπολογίσετε τα μήκη ΒΓ και ΛΗ. 61. Να υπολογίσετε τα, και στα πιο κάτω σχήματα: 62. Στο σχήμα δίνεται ΑΒΓΔ τραπέζιο (ΑΒ//ΓΔ). Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, 8, 2 και 24, να υπολογίσετε τις βάσεις του τραπεζίου. 11
63. Στο πιο κάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθoγώνιο Β 90, 8, 10 και ΒΔ διάμεσος του τριγώνου. Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ορθογώνιο Ε 90 και 30. (α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ΒΓ, ΒΔ και ΓΕ. (β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημα και εφα. 64. Στο πιο κάτω σχήμα ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο 90, ΒΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και Ε είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ. (α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισόπλευρο. (β) Αν 3, 1 και, να υπολογίσετε τις τιμές των και. (γ) Αν προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. 65. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) με 30 και 40. Αν, και τα μέσα των, και αντίστοιχα, να βρείτε τα και στο πιο κάτω σχήμα, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 66. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές 2,2, 3,5, 2,1 και 3, 2. Να αποδείξετε ότι είναι παραλληλόγραμμο. 67. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο η πλευρά ΑΒ είναι διπλάσια από την πλευρά ΑΔ. Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι: (α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ρόμβος. (β) Το τετράπλευρο ΕΗΖΘ είναι ορθογώνιο όπου Η το σημείο τομής των ΕΔ και ΑΖ και Θ το σημείο τομής των ΕΓ και ΒΖ. 12
68. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 90 και 30 και Δ, Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ = ΕΔ. Να αποδείξετε ότι το ΑΓΕΖ είναι ρόμβος. 69. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 90 και 30. Να προεκτείνετε τις πλευρές ΑΒ και ΓΒ προς το μέρος του Β και να πάρετε αντίστοιχα τμήματα ΒΕ=ΑΒ και. Αν Δ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι το ΑΔΕΖ είναι ορθογώνιο. 70. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Αν είναι το μέσο της, είναι το μέσο της, και. Να δείξετε: (α). (β) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο. 71. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και αντιστοίχως. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα. Να δείξετε ότι το ΑΖΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 72. Στο πιο κάτω σχήμα, οι ευθείες,, είναι παράλληλες. (α) Να βρείτε τα και και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι πλευρές του τριγώνου σχηματίζουν πυθαγόρεια τριάδα (να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). (β) Να βρείτε την οξεία γωνία του τριγώνου. 73. Δίνεται ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΒ = 2ΒΓ. Από το Α φέρουμε την ΑΕ κάθετη στη ΒΓ. Αν Η και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα να δείξετε ότι: (α) Το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος (β) ΗΖ = ΗΕ 13
74. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα σημεία Ε, Ζ και Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΕΖ αντίστοιχα. Αν και, να αποδείξετε ότι. 75. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε μέσο της ΑΔ. Αν Ζ, Η, είναι τα μέσα των ΕΒ και ΕΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι ΑΖΗΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 76. Στο πιο κάτω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε σημείο Μ μέσον της ΔΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΕ = ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: (α) το τετράπλευρο ΑΓΕΔ είναι παραλληλόγραμμο. (β) Αν Ζ είναι το μέσον της ΔΕ, να αποδείξετε ότι 77. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με περίμετρο 40 και Κ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Το σημείο Ζ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ και Η είναι το μέσο της ΑΔ. (α) Να αποδείξετε ότι το ΗΖΚΔ είναι παραλληλόγραμμο. (β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΚΖ. 78. Δίνεται παραλληλόγραμμο. Από τις απέναντι κορυφές του, και φέρνουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα και στη διαγώνιο. (α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. 79. Στο πιο κάτω σχήμα το AΒΓΔ είναι τετράπλευρο. Δίνονται τα σημεία 1,5, 1,2, η ευθεία : 3 2 10 και το μήκος της πλευράς ΒΓ= 13 cm. (α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. (β) Αν Ο, 3είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. 14