O ZBEKISTON RESPUBLIKSI OLIY V O RT MXSUS T LIM VZIRLIGI QRSHI DVLT UNIVERSITETI MTEMTIK NLIZ V LGEBR KFEDRSI Nzrov Frru Shurtovichig 546000 mtmti t lim yo lishi bo yich blvr drsii olish uchu CHIZIQLI OPERTORLRNING B`ZI BIR TTBIQLRI mvzusid yozg BITIRUV MLKVIY ISHI Ilmiy rhbr: dots. M. bulov Himoyg tvsiy tilsi Fizi mtmti fultti di: prof..q. Tshtov 0 yil Qrshi - 0
M u d r i. Kirish 4 I bob. Chiziqli fzo....6..chiziqli fzo t`rifi v osslri....6..chiziqli fzoig o`lchovi v izomorfligi. 0.3.Chiziqli fzoi qism fzolrig yig`idisig yoyish.4. Evlid fzosi v uig osslri.....6 II bob. Chiziqli oprtorlr 0..Chiziqli oprtorlr v ulrig sosiy osslri..0..chiziqli oprtorlri mtritsli yozuvi.4.3.chiziqli oprtorig rtristi o`phdi 6.4.Evlid fzosid chiziqli v bir yrim chiziqli formlr 30.5. Evlid fzosidgi o`z-o`zig qo`shm oprtorlr...33.6. Kvdrti formi vdrtlr yig`idisig ltirish36 Xulos 38 Foydlilg dbiyotlr ro`yti 39
Bu murb duyoig zliy v bdiy mummolri, shu bil birg, hr bir dvrig dolzrb msllrig hr tomolm sosli ilmiy voblr topilg tqdirdgi m`viyt olmi ygi m`o-mzmu bil boyib bordi. Boshqch ytgd, hr bir ilmiy ygili, yrtilg shfiyot bu ygi dvr v duyoqrshg turti brdi, m`viytig shllishig o`zig os t`sir o`tzdi. I. Krimov 3
Kirish. Bitiruv mlviy ishig dolzrbligi: Chiziqli lgbr v fusiol liz flriig sosiy tushuchlrid biri bu chiziqli oprtor tushuchsidir. Shu sbbli hm chiziqli oprtorlrlri, ulr iqlg chiziqli fzo v vlid fzolrii hmd bu fzolrd brilg oprtorlrlri muhim osslri v ttbiqlrii o`rgish ud muhim. Msl, lgbr fidgi chiziqli lmshtirishi, mtmti fizi tglmlri fid diffrsillshi oprtor siftid qrsh mumi shuig uchu hm oprtor osslrii o`rgish mtmti fi uqtyi zrid ud dolzrb msldir. Bitiruv mlviy ishig mqsdi: Chiziqli lgbr v fusiol liz flriig muhim bo`limlrid biri bo`lg chiziqli oprtorlri osslrii v b`zi bir ttbiqlrii o`rgishd ibort. Bitiruv mlviy ishig vzifsi:. Chiziqli fzo tushuchsi v chiziqli fzoig osslrii o`rgish.. Chiziqli otrtorig os qiymti v os vtorii, uig rtristi o`phdii o`rgish. 3. Evlid fzosid chiziqli v bir yrim chiziqli formlr v o`z-o`zig qo`shm oprtorlrlri osslri v ttbiqlrii o`rgish. Bitiruv mlviy ishig ilmiyligi v ilmiy hmiyti: Bitiruv ishi mvzusid oid brch muhim bo`lg dbiyotlri to`plsh v ulr sosid chiziqli fzo, vlid fzosi, chiziqli oprtor t`rifi v osslri hmd ttbiqlri bil tishib, ulr qo`llildig sohi yd chuqurroq o`rgishd ibort. Ushbu bitiruv mlviy ish iit bob v o`t prgrfd ibort. Birichi bob birichi prgrfd chiziqli fzo t`rifi v sosiy osslri ltirilg. Iichi prgrfd s chiziqli fzoig o`lchovi v izomorf chiziqli fzolr hqid sosiy tushuchlr yoritilg. Uchichi prgrfd chiziqli fzoi 4
qism fzolrg yoyish o`rstilg. To`rtichi prgrfd s vlid fzosi t`rifi v uig sosiy osslri ltilg. Iichi bob birichi prgrfd chiziqli oprtor t`rifi v uig sosiy osslri yoritilg. Iichi prgrfd s chiziqli oprtorlri mtritsli yozivi o`rstib brilg. Uchichi prgrfd chiziqli oprtorig rtristi o`phdi, os qiymti v os vtori t`riflri v osslri o`rstilg. To`rtichi prgrfd vlid fzosid chiziqli v bir yrim chiziqli formlri slyr o`pytm orqli ifodlishi isbotlg. Bshichi prgrfd s vlid fzosidgi o`z-o`zig qo`shm oprtorlr t`rifi v osslri yoritilg.olichi y`i so`gi prgrfd chiziqli oprtorlr osslrid foydlib vdrti formi vdrtlr yig`idisig yoyish o`rstilg. 5
I bob. Chiziqli fzo...chiziqli fzo t`rifi v sosiy osslri. T`rif., y, z, itiyoriy tbitli lmtlrig R to`plmii chiziqli yoi fi) fzosi dyildi, grd quyidgi ucht shrt brils: I. R to`plmig itiyoriy iit v y lmtlri uchu uchichi bir z lmti mos qo`yish qoidsi, y`i v y lmtlri yig`idisi iqlg v u z y db blgildi. II. R to`plmi itiyoriy lmtii itiyoriy hqiqiy λ sog o`pytirish qoidqsi y`i lmti λ sog o`pytmsi iqlg v u y orqli blgildi. III. Kiritilg mllr quyidgi 8 t siomg bo`ysudi:. y y qo`shish ommuttiv). z y z) qo`shish ssositiv) y yoi 3. Shudy 0 lmt mvudi, itiyoriy lmt uchu 0 bo`ldi. 4. Hr bir lmt uchu shudy qrm-qrshi lmt mvudi, 0 bo`ldi. 5. Hr bir lmt uchu 6. ) ) ; 7. ) ; 8. y. -misol. Uch ; o`lchovli vzod ri vtorlr to`plmii qryli. Bizg m`lum bo`lg vtorlri qo`shish v sog o`pytirish mllrg isbt bu to`plm chiziqli fzo bo`ldi v ui B orqli blgildi. Shug o`shsh 3 tislidgi v to`g`ri chiziqdgi ri vtorlr to`plmlri mos rvishd B v B orqli blgilymiz. 6
-misol. {} brch musbt hqiqiy solr to`plmi bo`lsi. Bu to`plmig v y lmtlri yig`idisii v y hqiqiy solr o`pytmsi bi iqlyli. {} to`plmi lmtii hqiqiy sog o`pytmsii hqiqiy soi drg o`pytirish bi iqlyli. {} to`plmi ol lmti bo`lib soi izmt qildi, lmtg tsri lmt bo`lib Oso o`rish mumii, -8 siomlr brildi. 3-misol. Chiziqli fzog muhim misol bo`lib, / soi izmt qildi. lmtlri trtiblg t hqiqiy solrig ushbu lmtlrid ibort bo`lg to`plmi izmt qildi. to`plm lmtlri uchu qo`shish v sog o`pytirish mllrii quyidgich iritmiz:,,, ) y, y,, y, y,,,,, ),,, ). y ); Bu to`plmig ol lmti bo`lib 0 0, 0,, 0) lmt izmt qildi.,,, ) lmtg qrm qrshi lmt bo`lib,,, ) izmt qildi. Ko`rish qiyi msi -8 siomlr brildi. 4-misol. t b orliqd iqlg v uzlusiz bo`lg t) fusiylrig C [, b] to`plmid qo`shish v sog o`pytirish mllrii fusiylri qo`shish v sog o`pytirish mllri bi iqls, oso o`rish mumii -8 siomlr brildi. 5-misol. { P t)} drsi d yuqori bo`lmg lgbri o`phdlr to`plmi, bizg m`lum o`phdlri qo`shish v sog o`pytirish bi iqls, u hold bu to`plm hm chiziqli fzog misol bo`ldi. Quyidgi to`plmlr chiziqli fzog misol bo`l olmydi: ) Brch drli o`phdlr to`plmichui ulrig yig`idisi drli o`phd bo`lmsligi mumi); 7
b) Koffisitlri musbt bo`lg v drsi d tt bo`lmg o`phdlr to`plmi bu to`plm lmtlrii mfiy hqiqiy sog o`pytirish mumi ms). Itiyoriy chiziqli fzo lmtlrii vtorlr db tsh qbul qilig. Ko`p hollrd vtor so`zi tor m`od bo`lib qoldi, chui chiziqli fzo lmtlri itiyoriy tbitli bo`lishi mumi. gr t`rifdgi,,. solr hqiqiy solr bo`ls, u hold bu fzo hqiqiy chiziqli fzo dyildi. gr t`rifdgi,,. solr ompls solr bo`ls, u hold budy fzo ompls chiziqli fzo dyildi. Edi chiziqli fzolrig b`zi bir osslrii ltirib o`tmiz. -torm. Hr qdy chiziqli fzod ygo ol lmt v hr bir lmti uchu ygo qrm-qrshi lmti mvud. -torm. Itiyoriy chiziqli fzod ) ol lmt itiyoriy lmtii ol hqiqiy sog o`pytirilgig tg: 0 0. b) Hr qdy lmt uchu qrm-qrshi lmt bu lmti hqiqiy sog o`pytirilgig tg:, y, z, lmtli R hqiqiy chiziqli fzoi qryli. -t`rif. R fzoi, y,, z lmtlriig chiziqli ombitsiysi db bu lmtlri hqiqiy solrg o`pytmlriig yig`idisi y z ) g ytildi. Bud,,, lr biror hqiqiy solr. -t`rif. R fzoig, y,, z lmtlri chiziqli bog`liq dyildi, grd shudy hqiqiy mid bittsi old frqli bo`lg,,, solr topilib ulr uchu ushbu lmtlrig chiziqli ombitsiysi fzoig ol lmtig tg bo`ls, y`i bo`ls. y z 0 8
Chiziqli bog`liq bo`lmg, y,, z lmtlri chiziqli rli lmtlr dyildi. 3-t`rif. R fzoig,y,,z lmtlri chiziqli rli dyildi, grd ) chziqli ombitsiy fqt 0 bo`lgdgi fzoig ol lmtig tg bo`ls. 3-torm. R fzoig, y,, z lmtlri chiziqli bog`liq bo`lishi uchu bu lmtlrd biri qolglriig chziqli ombitsiysid ibort bo`lishi zrur v trli. -tsdiq. gr, y,, z lmtlr ichid ol lmt bo`ls, u hold bu lmtlr chiziqli bog`liq bo`ldi. -tsdiq., y,, z lmtlrig biror qismi chiziqli bog`liq bo`ls, u hold bu butu sistm hm chiziqli bog`liq bo`ldi. quyidgi fzo lmtlriig chziqli bog`liqligi mslsii qryli.bu fzodgi, 0, 0,, 0), 0,.. 0,, 0, 0,, 0,, 0), ) ) lmtlr chiziqli rli ligii v ulrg itiyoriy,,, ) lmti qo`shgd chiziqli bog`liq bo`lishii isbotlymiz. ) i biror,,, solr bil olig chiziqli ombitsiysii qryli.,,, bu lmt fqt 0 bo`lgdgi olg tg bo`ldi. Dm, ) lmtlr chiziqli rli. Edi s ) g itiyoriy,,, ) lmti qo`shgd chiziqli bog`liq bo`lishii o`rstyli. -tormg o`r,,, ) lmt ) ) lmtlri chiziqli ombitsiysi bo`lishii o`rstish trli. Bu rvsh, siomlrg o`r,,, ). 9
4-t`rif. R fzoig chiziqli rli,,, lmtlri to`plmi bu fzoig bzisi dyildi, gr bu R fzoig hr bir lmti uchu shudy hqiqiy,, bo`ls. Bu lmti, solr topildii, ulr uchu 3),,, bzis bo`yich yoyilmsi dyildi.,,, solr s lmti,,, bzis bo`yich) oorditlri dyildi. 4-torm. R fzoig iit lmtii qo`shish uchu bu fzoig itiyoriy bzisid) ulri mos oorditlri qo`shildi, lmtii sog o`pytirish uchu uig brch oorditlri sog o`pytirildi... Chiziqli fzoig o`lchovi v izomorfligi. -t`rif. R chiziqli fzo o`lchovli dyildi, grd ud t chiziqli rli lmt mvud, itiyoriy t lmti s chiziqli bog`liq bo`ls. R fzoig o`lchovi odtd dim R orqli blgildi. -t`rif. R chiziqli fzo chsiz o`lchovli dyildi, grd ug itiyoriy sodgi chiziqli rli lmtlr mvud bo`ls. -torm. gr R o`lchovli chiziqli fzo bo`ls, u hold bu fzoig itiyoriy t chiziqli rli lmtlri bzis tshil tdi. -torm. gr R fzod t lmtd ibort bzis mvud bo`ls,u hold R fzoig o`lchovi g tg. 3-t`rif. Iit hqiqiy R v R chiziqli fzolr izomorf dyildi, grd bu fzolr lmtlri orsid o`zro bir qiymtli shudy mosli o`rtish mumi bo`lsi, gr R fzoig v y lmtlrig R fzoig v y lmtlri mos ls, u hold R fzoig y lmtig R fzoig y, lmtig lmt mos ls. Ko`rish qiyi msi, gr R v R chiziqli fzolr izomorf bo`ls, u hold ) R fzoig ol lmtig R fzoig ol lmti mos ldi; 0
) ulrdgi msiml chiziqli rli lmtlr soi bir il y`i ulrig o`lchovi tg. 3-torm. Iit o`lchovli R v R chiziqli fzolr izomorf bo`ldi. Frz qilyli, R fzoig L qism to`plmi quyidgi shrtlri brsi:. gr v y lmtlr L qism to`plmg tgishli bo`ls, u hold y lmt hm shu qism to`plmg tgishli.. gr lmt L qism yots v biror hqiqiy so bo`ls, u hold hm bu qism to`plmg tgishli. Ko`rish qiyi msi, v osslr brilg L qism to`plmi o`zi hm chiziqli fzo bo`ldi. 4-t`rif. v shrtlri bruvchi R fzoig L qism to`plmi R fzoig chiziqli qism fzosi dyildi. Misollr..Fqt ol lmtd tshil topg R fzoig qism to`plmi.. R fzoig o`zi. Bu ii qism fzo osms qism fzolr dyildi. 3. C [, b] dgi { P t)} drsi d tt bo`lmg lgbri o`phdlrig to`plmi, C [, b] ig qism fzosi bo`ldi. 4. B dgi biror tisli prlll bo`lg ri vtorlrig 3 B qism to`plmi. 5., y,, z lmtlr R fzoig lmtlri bo`lsi., y,, z lmtlrig chiziqli qobig`i db, bu lmtlrig brch chiziqli ombitsiyli to`plmig ytmiz, y`i y z o`riishdgi lmtlr to`plmig ytildi. Bud,,, lr itiyoriy solr., y,, z lmtlrig chiziqli qobig`ii L, y,, z) orqli blgilymiz. Rvshi, L, y,, z) chiziqli qobiq uchu v shrtlr brildi. Shu sbbli itiyoriy chiziqli qobiq R fzoig qism fzosi bo`ldi., y,, z lmtlrig chiziqli qobig`i shu lmtlri o`z ichig oluvchi g ichi qism fzo bo`ldi.
Chiziqli qobiqq misol bo`lib, C [, b] dgi, t, t,, t lmtlrig chiziqli qobig`i misol bo`ldi. Bu chiziqli qobiq { P t)} drsi d tt bo`lmg lgbri o`phdlrig to`plmid ibort. Rvshi, R fzoig hr qdy qism fzosiig o`lchovi bu fzo o`lchovid tt ms. gr L qism fzo butu o`lchovli R chiziqli fzo bil ustm-ust tushms, u hold L ig o`lchovi d ichi bo`ldi. Ko`rish mumii, butu R fzod,,, bzis tlg bo`ls, u hold ulri L qism fzoig bzisi siftid olish mumi ms b`zi yotmsligi hm mumi), li tsri tsdiq o`rili. Tsdiq. gr,, lr L d i, lmtlr o`lchovli fzoig o`lchovli qism fzosid bzis tshil ts, u hold bu bzisi R i shudy to`ldirish mumii hosil bo`lg bzis bo`ldi. 5-torm.,,,,, lmtlri orqli, lmtlr to`plmi R d, y,, z lmtlrig L, y,, z) chiziqli qobig`i o`lchovi, y,, z lmtlr sistmsiig msiml chiziqli rli soig tg. Xusus gr lmtlr, y,, z lmtlr chiziqli rli bo`ls, u hold L, y,, z) chiziqli qobiqig o`lchovi, y,, z lmtlr soig tg. L v Qism fzoig yig`idisi v sishmsi. L R fzoig iit itiyoriy qism fzosi bo`lsi. R fzoig bir pytd L v L d yotuvchi lmtlri to`plmi R fzoig qism fzosi bo`ldi v u L v L fzolrig o`pytmsi dyildi. R fzoig brch y z o`riishdgi lmtlri to`plmi, bud y L fzoig lmti z s L fzoig lmti R fzoig qism fzosi bo`ldi v u L v L fzolrig yig`idisi dyildi. Misol. R uch o`lchovli fzodgi brch ri vtorlrig chiziqli fzosi, L Oy tisli prlll bo`lg brch ri vtorlrig qism fzosi, L s Oz
tisli prlll bo`lg brch ri vtorlrig qism fzosi bo`lsi. U hold L v L fzolrig yig`idisi R fzoig o`zid, fzolrig sishmsi s O o`qig prlll bo`lg brch ri vtorlr to`plmid ibort. 6-torm. Chli o`lchovli R chiziqli fzoig L v L qism fzolriig o`lchovlriig yig`idisi, ushbu qism fzolr sishmsi v yig`idisii o`lchovlri yig`idisig tg..3. Chiziqli fzoi qism fzolrig to`g`ri yig`idisig yoyish. L v L o`lchovli R fzoig qism fzolri bo`lsi. -t`rif. R fzo L v L qism fzolrig to`g`ri yig`idisi orqli ifodldi dyildi, grd R fzoig hr bir lmti ygo usul bil o`riishd ifodls. Bud L fzoig s L fzoig lmti. Bu hol R L L o`riishd blgildi. Oirgi tgli R fzoig L v L fzolrig to`g`ri yig`idisig yoyilmsi dyildi. R uch o`lchovli ri vtorlr fzosi, L s Oy tisligig prlll bo`lg brch vtorlr fzosi L s Oz o`qig prlll bo`lg brch vtorlr fzosi bo`ls, u hold R L v L fzolrig to`g`ri yig`idisid ibort bo`ldi. Torm. o`lchovli R fzo L v L qism fzolrig to`g`ri yig`idisid ibort bo`lishi uchu, ulrig sishmsi fqt ol lmtd v R i o`lchovi L v L fzolr o`lchovlri yig`idisid ibort bo`lishi trli. Edi o`lchovli chiziqli fzod bzis o`zgrgd oorditlri o`zgrishi v bzislri lmshtirishi qryli.,,, v,,, lr o`lchovli R chiziqli fzodgi t itiyoriy bzislr bo`lsi. R fzoig itiyoriy lmti hr ii bzis orqli hm ifodldi. Frz qilyli,,, lmtlr,,, lr orqli quyidgich ifodlsi: 3
....,,. ) U hold birichi,, quyidgi o`riishd bo`ldi:, bzisd bzisg o`tish mtritssi,,, ) Bu mtritsig d dtrmiti old frqli iichi bzisd birichi bzisg o`tish mtritssi tsri mtrits B mtritsg tsri mtrits bo`ldi. M`lumi, mtritsg B / d / d / d / d / d / d / d / d / d i s mtritsig lmtiig lgbri to`ldiruvchisi. i ) ig birichi thligii g, iichisii g v hzo -sii s o`pytirib, so`gr ulri qo`shib quyidgi tglii hosil qilmiz. i i i. i i i ustu lmtlrii mos ustu lgbri to`ldiruvchisig o`pytmlri yig`idisi Oirgi tglid i bo`lgd olg tgligii hisobg ols i d d g tg) ) d bud 4
.,,,, d d d yoi., d d d., d d d 4)..... 4) formul d d,,, bzisd,,,. d bzisg o`tish mtritssi mtritsg tsri mtrits orqli o`tishi ifodlydi. Bu mtritsg tsri mtritsi orqli blgilymiz. Bzis lmshritgd oorditlr orsidgi muosbt. Msusms ) mtrits orqli,,, bzisd bzisg o`tilg,,, bo`lsi. U hold bzislri tsri lmshtirishig 3) mtrits mos ldi qrlyotg R chiziqli fzoig itiyoriy lmti bo`lsi.,,, ) s ui, bzisdgi oorditsi,,, ),, s bzisdgi,,, oorditsi bo`lsi, y`i,,, lr o`rig ulri 4) dgi ifodlrii qo`yib d d Oirgi tglid d ) d,,, d d d d ) bzis bo`yich ygo yoyilm o`rili ligid,,, ) oorditd,,, ) oorditg o`tish formulsi lib chiqdi: d ). 5
., d d d., d d d.... d Tsdiq Itiyoriy msusms mtrits uchu tsri Isboti Frz qilyli y bir C mtrits mvud v d. d C C E bo`lsi U hold C C C C) ) CE E C 5) mtrits ygodir bud C lib chiqdi.4. Evlid fzosi v ui sodd osslri. R hqiqiy chiziqli fzo hqiqiy vlid fzosi yoi vlid fzosi) dyildi grd quyidgi iit shrt brils: I. Ushbu fzoig itiyoriy iit v y lmtlrig ulri slyr o`pytmsi db tluvchi, hqiqiy soi mos qo`yish qoidsi brilg bo`ls. II. Ushbu iqlg slyr o`pytm quyidgi to`rtt siomi qotltirs:., y, ) o`ri lmshtirishli v simmtrili osssi)..,,, ) trqtish osssi). y 3.,, brch hqiqiy lr uchu. 4., ) 0, grd old frqli lmt bo`ls;, ) 0, gr ol lmt bo`ls. 6
gr o`rgildig ob`tlr v yoqorid slg qoidlr brilg bo`ls, u hold vlid fzosi ort iq) fzo dyildi. Evlid fzosig misollr ltirmiz. -misol. Brch ri vrtorlrig B chiziqli 3 fzosii qryli.iit itiyoriy vtoriig slyr o`pytmsii liti gomtriyg iqlg slyr o`pytm bi irityli y`i bu vtorlr uzuligii o`pytmsig ulr orsidgi burch osiusii o`pytmsi).u hold o`rish qiyi msi slyr o`pytmdgi - 4 osslr brildi. Dm, B fzo ushbu iqlg 3 slyr o`pytmg isbt vlid fzosi bo`ldi. -misol. Brch b orliqd iqlg v uzlusiz t) fusiylrig C [, b] chsiz o`lchovli chiziqli fzosii qryli. Iit t) v y t) fusiylrig slyr o`pytmsii bu fusiylri o`pytmsii d b gch ) itgrli siftid iqlymiz: b t) y t) dt. ) Sodd o`rish mumii slyr o`pytmdgi -4 osslr brildi.dm, C [, b] fzo ushbu iqlg ) slyr o`pytmg isbt chsiz o`lchovli vlid fzosi bo`ldi. 3-misol. o`lchovli chiziqli fzo vlid fzosig misol bo`l oldi.grd ud itiyoriy iit,,, ) v y y, y,, y ) vtorlr uchu slyr o`pytmi quyidgich iqls, y y y ) Ko`rish qiyi msi,ushbu iritilg slyr o`pytm uchu - 4 siomlr brildi. Bu vlid fzosi o`p hollrd 4-misol.Ushbu E orqli blgildi. chiziqli fzod slyr o`pytmi ) d frqli,ug isbt umumiy bo`lg hold irityli. Buig uchu trtibli ushbu vdrt mtritsi qrymiz: 7
3) Ushbu mtrits yordmid o`phd tuzmiz:,,, o`zgruvchili bir isli iichi trtibli i i i, 4) Budy o`phd 3) mtritsd tuzilg vdti form dyildi. 4) vdrti form musbt iqlg dyildi, grd u,,, o`zgruvchilrig hmmsi bir vqtd ol tg bo`lmg qiymtlrid musbt qiymti qbul qils. Dm, musbt iqlg vdrti form fqt 0 bo`lgd olg tg,boshq brch hollrd musbt qiymt qbul qildi. 3) mtrits quyidgi iit shrti qotltirsi:. U musbt iqlg 4) vdrti formi ifodlsi.. Simmtri bo`lsi bosh dioglg isbt) y`i brch i,,, v,,, lr uchu i shrti qotltirsi. i - v - shrtlri qotltiruvchi 3) mtrits yordmid fzodgi iit,,, ) v y y, y,, y ) lr uchu slyr o`pytmi quyidgich iqlymiz:, y, i i i Oso o`rish mumii, budy iqlg slyr o`pytm uchu -4 rsiomlr brildi. T`rif. Chiziqli R fzo ormllg dyildi, grd quyidgi iit brils: 5) shrt I. R dgi hr bir lmt uchu uig ormsi uzuligi) db tluvchi v db blgiluvchi hqiqiy so mos qo`ydig qoid iqlmg bo`lsi. II. Ushbu iqlg qoid uchu quyidgi ucht siom brilsi: 8
. 0, grd old frqli lmt bo`ls, 0 grd 0 lmt bo`ls.. brch lmtlr v brch hqiqiy solr uchu. 3. Itiyoriy v y lmlr uchu quyiqgi uchburch tgsizligi yoi Miovsiy tgsizligi db tluvchi y y tgsizli o`rili. 9
II bob. Chiziqli oprtorlr...chiziqli oprtor tushuchsi v ulrig sosiy osslri. -t`rif. V v W lr mos rvishd v m o`lchovli chiziqli fzolr bo`lsi. V i W g o`tqzuvchi oprtor db, : V W sltirishg ytildii, u V ig hr bir lmtii W fzoig biror y lmtig o`tqzdi. -t`rif. V i W g o`tqzuvchi oprtor chiziqli oprtor dyildii, grd V ig itiyoriy iit v hmd λ ompls so uchu quyidgi shrtlr brils:. ) oprtori dditivligi). ) oprtorig bir isligi) gr W fzo ompls tislid ibort bo`ls, u hold V i W g o`qzuvchi chiziqli oprtor chiziqli form yoi chiziqli fusiol dyildi. gr W fzo V fzo bil ustm-ust tushs, u hold Vi V g o`tqzuvchi chiziqli oprtor V fzoi chiziqli lmshtirishi dyildi. v B V i W g o`tqzuvchi oprtorlrig ytmiz: iit chiziqli oprtor bo`lsi. Bu B yig`idisi db quyidgi tgli bil iqlg oprtorg B) B ) oprtorig λ slyrg o`pytmsi db, quyidgi tgli bil iqlg oprtorg ytildi: ) ) ) O ol oprtor db, V fzoig brch lmtlrii W fzoig ol lmtig o`tqzuvchi oprtorg ytildi: O 0. oprtorg qrm-qrshi oprtor db quyidgich iqlg ytildi: ). oprtorg 0
Tsdiq. Brch V i W g o`tqzuvchi oprtorlrig L V, W ) to`plmi yuqorid iqlg oprtorlri qo`shish v sog o`pytirish mllri hmd tlg ol oprtor v qrm-qrshi oprtorlrg isbt chiziqli fzo tshil tdi. L V, W ) to`plmi o`rgmiz. y yoi birli I oprtor db quyidgi oprtorg ytildi: bu rd I V fzoig itiyoriy lmti) L V, W ) fzod oprtorlrig o`pytmsi tushuchsii iritmiz. L V, W ) fzodgi v B oprtorlrig B o`pytmsi db, quyidgi oprtorg ytildi: Umumiy hold B ) B) 3) B L V, W ) fzodgi chiziqli oprtorlr quyidgi osslrg g:. B ) ) B. B) C C BC B 3. B C) B C 4) 4. B ) C BC) 4 ossd L V, W ) fzodgi chli sodgi oprtorlr uchu o`pytmi iqlsh mumiligi lib chiqdi v usus oprtorig drsi quyidgi formul orqli iqldi: Rvshi, muosbt o`rili. m 3-trif. L V, V ) dgi oprtor uchu L V, V ) dgi chiziqli B oprtor tsri oprtor dyildi, grd m
B B I bo`ls. oprtorg tsri oprtor odtd orqli blgildi, dm itiyoriy V uchu Shudy qilib, gr 0 bo`ls, u hold 0 bo`ldi, y`i gr tsri oprtorg g bo`ls, u hold 0 ligid 0 lib chiqdi. V d V g o`tqzuvchi chiziqli oprtor o`zro bir qiymtli dyildi, grd itiyoriy iit hr il v lmtlrg hr il y v y lmtlr mos ls. gr oprtor V d V g o`zro bir qiymtli o`tqzs, u hold : V V sltirish V i V g sltirdi,y`i hr bir y V lmt o`ziig biror V obrzig g bo`ldi: y Bu ftri o`rili ligii isbotlsh uchu V fzoig t chiziqli rli,,, lmtlrii bu fzoig t chiziqli rli,,, lmtlrig slishii o`rstish trli.,,, lr V fzoig chiziqli rli lmtlri bo`lsi. gr 0 bo`ls, u hold chiziqli oprtor ligid oprtor V i V g bir qiymtli sltirish ligid lib chiqdi. Olishimizg o`r,, ) 0 0, lr chiziqli rli. Shu sbbli 0. Dm,,,, lmtlr chiziqli rli. Tdiq. L V, V ) dgi chiziqli oprtor tsri oprtorg g bo`lishi uchu u V i V g bir qiymtli o`tqzishi zrur v trli.
4-t`rif. chiziqli oprtorig ydrosi db V fzoig 0 tglii bruvchi lmtlri to`plmig ytildi. chiziqli oprtorig ydrosi r orqli blgildi. gr r 0 bo`ls, u hold oprtor V i V g bir qiymtli o`tqzdi. r 0 shrt oprtori tsri oprtorg g bo`lishii zruriy v trli shrti bo`ldi. 5-t`rif. chiziqli oprtorig obrzi db V fzoig o`riishd ifodldig lmtlri to`plmig ytildi. chiziqli oprtorig obrzi im orqli blgildi. y gr r 0 bo`ls, im V bo`ldi v sich. Shu sbbli im V shrt hm oprtori tsri oprtorg g bo`lishii zruriy v trli shrti bo`ldi. Rvshi, r v im V fzoig chiziqli fzo ostisi bo`ldi. 3-torm. V fzoig dim V o`lchovi g v L V, V ) dgi chiziqli oprtor bo`lsi, u hold dim im ) dimr ) bo`ldi. 4-torm. V v V lr o`lchovli V chiziqli fzoig qism fzolri v dimv dimv dimv bo`lsi, u hold L V, V ) d shudy chiziqli oprtor topildii, V im v V r bo`ldi. 6-t`rif. chiziqli oprtorig rgi db Rg dimim) sog ytildi. Nti. L V, V ) dgi chiziqli oprtor tsri oprtorg g bo`lishi uchu Rg dim V bo`lishi zrur v trli. 6-torm. v B L V, V ) dgi chiziqli oprtorlr bo`lsi, u hold rgb rg, rgb rgb. 3
7-torm. v B L V, V ) dgi chiziqli oprtorlr v V o`lchovli chiziqli fzo bo`lsi, u hold rgb rg rgb Nti. gr rg V fzoig o`lchovi), u hold rgb rgb rgb.. Chiziqli oprtorlri mtritsli yozivi. Chiziqli V fzod brilg bzisdgi chiziqli oprtorlri mtritslri. V fzodgi,,, bzisi fisirlymiz, V dgi itiyoriy lmt v s bu lmti brilg bzisdgi yoyilmsi hmd s L V, V ) dgi chiziqli oprtor bo`lsi u hold ) d ) ) 3) db ols, ) i quyidgich yozmiz: ) Shudy qilib, y v y y, y,, y ) lmtig oorditlri bo`ls u hold y,,,, 4) Ushbu = ) vdrt mtritsi qryli, bu mtrits brilg,,, bzisdgi А chziqli oprtorig mtritssi dyildi. Oldigi o`rstilg usul bil birglid ui brilg bzisdgi mtritsviy yozuvi hm ishltildi: y 4
gr,,, ) bo`ls, u hold y y, y,, y ) dgi y,,, 4) formul orqli ig lmtlri s 3) formul orqli hisobldi. gr oprtor ol oprtor bo`ls, u hold bu oprtorig mtritssiig brch lmtlri mtrits ol mtrits bo`ldi. gr oprtor birli oprtor bo`ls, y`i itiyoriy bzisd ollrd ibort, y`i I bo`ls, u hold bu oprtorig itiyoriy bzisdgi mtritssi birli mtritsd ibort bo`ldi, y`i = E. -torm. V chiziqli fzod vdrt mtrits bo`lsi, u hold,,, bzis brilg v = trtbli shudy ygo chiziqli oprtor mvudi, bu mtrits brilg bzisd ushbu oprtori mtritssi bo`ldi. v B mtritslr trtibli vdrt mtritslr bo`lsi. v B V fzod ulrg mos { } bzisdgi oprtorlr bo`lsi, u hold tormg o`r + B mtritsg B oprtor mos ldi. Bud biror so. -torm. chiziqli oprtorig rg rgi mtritssi rgig tg. -ti. v B brdi: mtritslr o pytmsiig rgi quyidgi muosbtlri rgb rg, rgb rgb, rgb rg rgb. -ti. oprtor uchu tsri oprtor fqt v fqt oprtor mtritssiig rgi g dim V ) tg bo lgdgi mvud bo ldi. Bu hold mtritsg tsri mtrits hm mvud bo ldi. Edi ygi bzisg o tgd chiziqli oprtor mtritssii lmshtirishi qryli. ~, ~ ~ V chiziqli fzo, s L V, V ) dgi chiziqli oprtor,,, v,, dgi t bzis hmd V ~ ~ i ui,,,, s { } bzisd { } bzisg o`tish formulsi bo`lsi i 5) 5
~ i U u ) db olmiz, rgu g tg. ) v ~ ) mtritslr ~ oprtori { i } v { } bzislrdgi mtritslri bo`lsi Bu mtritslr orsidgi muosbti topmiz. 3-torm. oprtori { i } v { } bzislrdgi ) v ) mtritslri orsid ~ ~ ~ U U 6) muosbt mvud. ~ U U formuli il tomoii o`gd U v chpd U g o`pytirib, quyidgi tglii hosil qilmiz: ~ UU 7) v B trtibli vdrt mtritslr. v B lr { i } bzisdgi ulri mos oprtorlri bo`lsi. U hold ldi. Yuqoridgi tormd lib chiqdi. B mtritsg B chiziqli oprtor mos dt ~ dt Shudy qilib, chiziqli oprtorig mtritssii dtrmiti bzisi tlb olishg bog`liq ms. Shu sbbli А chiziqli oprtorig dtrmiti tushuchsii iritish mumi, dt - oprtorig itiyoriy bzisdgi mtritssi. ~ dt.3.chiziqli oprtorig rtristi o`phdi. L V, V ) dgi А chiziqli oprtor, I s y oprtor bo`lsi. -t`rif. g isbt o`phd bo`lg dt I) oprtorig rtristi o`phdi dyildi. 6
V fzod { } bzis brilg v ) oprtorig bu bzisdgi mtritssi bo`lsi. U hold oprtorig rtristi o`phdi quyidgi o`riishd bo`ldi: dt I). Xrtristi o`phdig oldidgi offisitii d orqli blgilb ui quyidgich yozmiz: dt I) d 0. Shudy qilib, dt I) dtrmit qiymti bzisi tlb olishg bog`liq ms, u hold rtristi o`phdig d offisitlri bzisi tlb olishg bog`liq ms, ulr ivritlr bo`ldi, y`i ulr bzisi tlb olishg bog`liq bo`lmg miqtorlr. Xusus, d ivrit bo`ldi. Bu ivrit oprtorig izi dyildi v tr orqli blgildi: tr. dt I) 0 tglm oprtorig rtristi tglmsi dyildi. Chiziqli oprtorlrig os qiymtlri v os vtorlri. V o`lchovli V chiziqli fzoig qism fzosi v L V, V ) dgi chiziqli oprtor bo`lsi. -t`rif. V oprtorig ivrit qism fzosi dyildi, grd V tgishli brch lmtlr uchu lmt hm V d yots. oprtorig ivrit qism fzolrig oldi. 3-t`rif. r v im qism fzolr misol bo`l so oprtorig os qiymti dyildi, grd shudy old frqli ) 7
tglii qotltiruvchi lmt mvud oprtorig os vtori dyildi. -torm. bo`ls. Bu lmt so oprtorig os qiymti bo`lishi uchu uig dt I) rtristi tglmsii ildizi bo`lishi zrur v trli. 0 Isboti. А oprtorig os qiymti v bu sog mos 0) os vctor bo`lsi. ) i quyidgi o`riishd yozmiz: I) 0. Shudy qilib, old frqli lmt v oirgi tglid r I) 0 lib chiqdi, y`i dimr I)). ) M`lumi, dim im I)) dimr I)), bu tglid v ) tgsizlid dim im I)) 3) lib chiqdi. T`rifd dim im I)) I oprtor rgig tg. Shu sbbli 3) tgsizlid rg I) 4) lib chiqdi. Shudy qilib, gr os qiymt bo`ls, u hold I oprtorig I mtritsig rgi d ichi, y`i dt I) 0 v dm, rtristi tglmi ildizi. Edi ) rtristi tglmig ildizi bo`lsi. U hold 3) tgsizli o`rili v dm ) tgsizli o`rili. Bud s shudy lmt mvudi, I) 0. so uchu old frqli Bu oirgi tgli ) g vivlt, shu sbbli Torm isbotldi. os qiymt. 8
Nti. Hr qdy chiziqli oprtor os qiymtg g. Hqiqt hm, ompls solr zriysiig sosiy tormsig o`r rtristi tglm hr doim ildizg g. -torm. Brilg { } bzisd oprtorig mtritssi diogl o`riishd bo`lishi uchu, bo`lishi zrur v trli. bzis vtorlri bu oprtorig os vtorlri Isboti. bzis vtorlr А oprtorig os vtorlri bo`lsi. U hold, ) shu sbbli oprtorig mtritssi quyidgi o`riishd bo`ldi: 0 0 0 0 0 0 y`i digol o`riishd bo`ldi., ) mtrits А oprtorig { } bzisdgi digol o`riishd bo`lsi, y`i ) o`riishd bo`lsi. U hold ) o`rili, dm bzis vtorlri bu oprtorig os vtorlri.torm isbotldi. 3-torm. А oprtorig,,, lr os qiymtlri bo`lsi. U hold p ulrg mos,,, os vrtorlri o`zro chiziqli rli bo`ldi. p Isboti. Idusiy usulid foydlmiz. p d torm o`rili. Bu hold - old frqli vctor, chui old frqli bitt vctor chiziqli rli. Frz qilyli, torm m t,, vtori qo`shyli, u hold, vtorlr uchu o`rili bo`lsi. Bu vtorlrg m m m o 3) bo`lsi.u hold oprtori chiziqli ligid quyidgi tglii hosil qilmiz: m 0. 4) Shudy qilib, os vtorlr, u hold 9
Shu sbbli 4) quyidgich yozish mumi: m o 5) 3) tglid m m o. 5) tglid ushbu tglii yirib, quyidgi tglii hosil qilmiz: m m ) o. 6) Shrtg o`r brch o`r,, hr il, y`i m 0. Shu sbbli 6) d olishimizg, vtorlr chiziqli ligid 0 m m lib chiqdi. Bud v 3) d hmd os vtor ligid 0) m m m 0 lib chiqdi. Shudy qilib, 3) tglid biz m 0 tglii hosil qilmiz. Bu s,,, vtorlri chiziqli rli ligii bildirdi. m Torm isbotldi. Nti. gr А oprtorig rtristi o`phdi t hr il ildizg g bo`ls, u hold biror bzisd А oprtorig mtritssi digol o`riishg bo`ldi. Hqiqt hm, qrlyotg hold isbot qilig -tormg o`r brch os vtorlri chiziqli rli v ulri bzis siftid olish mumi U hold - tormg o`r А oprtorig mtritssi bu bzisd digol o`riishd bo`ldi..4. Evlid fzod chiziqli v bir yrim chiziqli formlr. V vlid fzosi v C ompls tisli bir o`lchovli ompls chiziqli fzo) bo`lsi. U hold m`lumi, V i C g o`tqzuvchi chiziqli oprtor chiziqli form dyildi. Ushbu mvzud L V, C) dgi itiyoriy f chiziqli form uchu msus o`riish topmiz. Lmm. f L V, C) dgi chiziqli form bo`lsi, u hold V d chudy ygo h lmt mvudi, f ), h) ) 30
bo`ldi. Isboti. h lmti mvudligii isbotlsh uchu V d olmiz.,, h oorditsi quyidgich ifodlg h lmti qrymiz: Shudy qilib, olishimizg o`r, bzis tlb h f ). ) h h. V dgi itiyoriy lmt bo`lsi. f formig chiziqli ligid v ) tglid foydlib f ) f ) h 3) i hosil qilmiz. M`lumi, ortoormllg { } bzisd v h h vtorlrig, h) slyr o`pytmsi 3) d f ), h) tglii hosil qilmiz. h g tg. U hold h vtori mvudligi isbotldi. Edi bu vtorig ygoligii isbotlymiz. Frz qilyli, shudy iit h v h vtorlr mvud bo`lsii, ulr yordmid f ) chiziqli form ) o`riishd ifodlsi. U hold itiyoriy vtor uchu, h ), ), bud h s, h h ) 0 lib chiqdi. Bu tglid h h db olib, vlid fzosid lmti ormsi t`rifid foydlib h h 0 tgli lmiz. Shudy qilib, h h. Lmm isbotldi. Rvshi, lmm V hqiqiy vlid fzosi, f L V, R) bo`lg hold hm o`rili. Bu yrd R hqiqiy to`g`ri chiziq. Evlid fzosid bir yrim chiziqli formlr v ulri msus ifodlishi. 3
-t`rif. rgumtlri v y L chiziqli fzodgi brch mumi bo`lg vtorlr bo`lg B, soli fusiy bir yrim chiziqli form dyildi, gr L dgi itiyoriy, y v z vtorlr v itiyoriy ompls so uchu B y, z) B, z) B y, z), B, y z) B, B, B,, B, z), ) B, B, muosbtlr brils. -torm. B, V vlid fzosidgi bir yrim chiziqli form bo`lsi. U hold L V, V ) d shudy ygo chiziqli oprtor mvudi, B,, ) bo`ldi. Isboti. y V fzoig fisirlg lmti bo`lsi. U hold B, rgumtig chiziqli formsi bo`ldi. Shu sbbli oldigi mvzudgi lmmg o`r V fzodgi shudy bir qiymtli iqlg h lmti o`rstish mumii, B,, h) 3) bo`ldi. Shudy qilib, V hr bir y lmtg 3) qoid bil V dgi ygo h lmt mos qo`yildi. Dm, shudy А oprtor iqlgi, h y bo`ldi. Bu oprtorig chiziqli ligi ) oss v slyr o`pytm osslrid lib chiqdi. А oprtorig ygo ligii isbotlymiz. Frz qilyli, iit v oprtorlr mvud bo`lsii, bu oprtorlr yordmid B, form ) o`riishg lsi. U hold rvshi, itiyoriy v y lr uchu,, ). Bud s, y ) 0 lib chiqdi. y y gr bu tgli y y db ols, u hold y y 0 3
lib chiqdi. Dm, V dgi itiyoriy y lmt uchu Torm isbotldi. y y y`i. Nti. B, V vlid fzosidgi bir yrim chiziqli form bo`lsi. U hold L V, V ) d shudy ygo oprtor mvudi, B,, 4) bo`ldi. v y lmtlr V d yotsi v, y y lr v y lmtlri { } bzisdgi yoyilmsi bo`lsi. Bir yrim chiziqli formig t`rifid quyidgi muosbti hosil qilmiz:, B, y ) y B, B ) 5) db ols, u hold 5) d b B, ), 6) B,, b y tgli lib chiqdi. B b ) B, bir yrim chiziqli formig } bzisdgi mtritssi dyildi. Tsdiq. B, bir yrim chiziqli form { B,, 4) o`riishd ifodls v А oprtorig bu bzisdgi mtritssi ) g tg bo`ls, u hold bu bzisd bo`ldi. b.5.evlid fzosidgi o`z-o`zig qo`shm chiziqli oprtorlr. -t`rif. L V, V ) dgi * oprtor chiziqli oprtorg qo`shm dyildi, grd V dgi itiyoriy v y lr uchu 33
,, ) muosbt brils. Ko`rish qiyi msi, А chiziqli oprtorg qo`shm oprtor dm chiziqli oprtor bo`ldi. - torm. Hr qdy А chiziqli oprtor ygo qo`shm oprtorg g. Qo`shm oprtorlr quyidgi osslrg g:. I * I.. B)* * B *. 3. )* *. 4. *)*. 5. B )* B * *. -t`rif. L V, V ) dgi chiziqli oprtor o`z- o`zig qo`shm oprtor dyildi, grd bo`ls. -torm. * V vlid fzosidgi chiziqli oprtor bo`lsi, u hold R i i ifodlish o`rili, bud v R 34 i lr o`z-o`zig qo`shm bo`lg oprtorlr, ulr mos rvishd oprtorig hqiqiy v mvhum qismi dyildi. v B oprtorlr ommutsiyldig oprtorlr dyildi, grd B B bo`ls. 3-torm. v B o`z-o`zig qo`shm bo`lg oprtorlrig B o`pytmsi o`z-o`zig qo`shm oprtor bo`lishi uchu v B oprtorlr ommutsiyldig bo`lishi zrur v trli. 4- torm. gr А o`z-o`zig qo`shm oprtor bo`ls, u hold itiyoriy V uchu, ) slyr o`pytm hqiqiy so bo`ldi. 5-torm. O`z-o`zig qo`shm oprtorig os qiymtlri hqiqiy solr bo`ldi.
6-torm. gr А oprtor o`z-o`zig qo`shm oprtor bo`ls, u hold hr il os qiymtlrig mos os vtorlri o`zri ortogol bo`ldi. Chiziqli oprtorig ormsi. V vlid fzosii o`zii-o`zig o`tqzuvchi chiziqli oprtor bo`lsi. -t`rif. А chiziqli oprtorig iqldig sog ytildi: А sup А ormsi db, quyidgi tgli bil Chiziqli oprtor t`rifd quyidgi tgsizli lib chiqdi: Tsdiq. gr А ) o`z-o`zig qo`shm bo`lg oprtor bo`ls, u hold А oprtorig А ormsi, ) g tg: sup ) sup, ). 7-torm. А chiziqli oprtor o`z-o`zig qo`shm oprtor bo`lishi uchu Im, ) 0 bo`lishi zrur v trli. Lmm. Evlid fzosidgi o`z-o`zig qo`shm А chiziqli oprtorig itiyoriy os qiymti, ) slyr o`pytmg tg, bu yrd shrti qotltiruvchi biror vtor. Nti. А o`z-o`zig qo`shm oprtor v s bu oprtotig itiyoriy os qiymti. m bo`lsi. u hold if, ), M sup, ) m M 7-torm. А o`z-o`zig qo`shm oprtor v itoyoriy uchu, ) 0 bo`lsi. U hold bu oprtorig g tt os qiymtig tg. 35
8-torm. А o`z-o`zig qo`shm oprtor, m v M to`plmdgi, ) i iq quyi v yuqori chgrlri bo`lsi. Bu solr А oprtorig g ichi v g tt os qiymtlri bo`ldi. 9-torm. o`lchovli V vlid fzosidgi hr bir А o`z-o`zig qo`shm chiziqli oprtor uchu t chiziqli rli o`zro ortogol v birli os vtorlr mvud bo`ldi. Torm Gmil`to-Kli tormsi). gr А o`z-o`zig qo`shm oprtor v p ) dt I) bu oprtorig rtristi o`phdi bo`ls, u hold bo`ldi. p ) 0.6. Kvdrti formi vdrtlr yig`idisig ltirish. -t`rif. B, bir yrim chiziqli form rmit formsi dyildi, grd itiyoriy v y lr uchu B, B y, ) ) bo`ls. Oldigi bir yrim chiziqli formlri msus ifodlishi mvzudgi - tormg o`r itiyoriy B, bir yrim chiziqli form ygo B,, ) o`riishd ifodlsh mumi, bu yrd А chiziqli oprtor. -torm. B, bir yrim chiziqli form rmit formsi bo`lishi uchu bu formi ) ifodsidgi А oprtor o`z-o`zig qo`shm oprtor bo`lishi zrur v trli. -torm. B, bir yrim chiziqli form rmit formsi bo`lishi uchu B, ) fusiyi hqiqiy bo`lishi zrur v trli. -t`rif. B, bir yrim chiziqli form rmit formsi bo`lsi, bu formg mos vdrti form db B, ) fusiyg ytildi. 36
3-torm. B, o`lchovli V vlid fzosidgi brch mumi bo`lg v y lrd iqlg rmit formsi bo`lsi. U hold bu fzod shudy ortoormllg { } bzis mvud v V d yotuvchi brch lr uchu shudy hqiqiy solri topish mumii, B, ) vdrti formi vtorig { } bzisdgi oorditlriig vdrtlrii yig`idisi o`riishid ifodlsh mumi: B, ). 3) Isboti. B, rmit formsi formsi bo`lsi. U hold oldigi mvzudgi - tormg o`r B, form ygo B,, 4) o`riishd ifodlsh mumi, bu yrd А o`z-o`zig qo`shm oprtor. Oldigi mvzudgi 4-tormg o`r А oprtor uchu shudy ortoormllg uig os vtorlrid tuzilg { } bzisi o`rstish mumi. gr oprtorig os qiymti s vtorig { } bzisdgi oorditlri bo`ls, y`i 5) bo`ls, u hold А v tglilrd uchu quyidgi ifodi hosil qilmiz: А. 6) Shudy qilib 5) v 6) d hmd { } bzisig ortoormllg ligid, ) uchu quyidgi ifodi hosil qilmiz:, ). Bu ifodd v 4) d 3) i hosil qilmiz. Torm isbotldi. 37
X u l o s. Ushbu bitiruv mlviy ish rfrtiv rtrg g bo`lib, chiziqli fzo v chiziqli oprtorlr zriysidgi sosiy tushuchlr v tormlr; chiziqli fzo t`rifi, uig osslri, o`lchovi, bzisi, chiziqli fzoi qism fzolrg yoyilmsi; vlid fzosi v uig sosiy osslri v misollr; chiziqli oprtorlr t`rifi v ulrig sosiy oslri, ulrig mtritsli yozivi, chiziqli oprtorig rtristi o`phdi, os qiymtlri v os vtorlri; vlid fzosidgi chiziqli v bir yrim chiziqli formlri slyr o`pytm orqli ifodlishi; vlid fzosid o`z-o`zig qo`shm bo`lg chiziqli oprtorlr osslri, chiziqli oprtorlr osslrid foydlib vdrti formi vdrtlr yig`idisig ltirish bi mvzulr o`rgilg. Shudy qilib, ushbu bitiruv mlbiy ishi tyyorlsh dvomid quyidgi muhim uloslrg lidi..chiziqli oprtor chiziqli lgbr v fusiyol liz flriig muhim bo`limlrid biri.. gr chiziqli fzod slyr o`pytm iritish mumi bo`ls, u hold bu fzo vlid fzosig yldi. 3. Hr bir chiziqli oprtorg biror mtrits mos ldi v sich hr bir mtrits uchu birort chiziqli oprtor topish mumi. 4. Chiziqli oprtorig hr il os qiymtlrig mos os vtorlri o`zro ortogol bo`ldi. 5. Evlid fzosidgi chiziqli v bir yrim chiziqli formlrii slyr o`pytm orqli ifodlsh mumi. 6.Chiziqli oprtor osslrid foydlib, vdrti formi vdrtlr yig`idisig ltirish mumi. 38
F o y d l i l g d b i y o t l r r o` y t i..и.а. Каримов. Юксак маънавият енгилмас куч. Тошкент. Маънавият. 008 й. 74 б..b..ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. Москва. Наука.974 г. 96 с. 3.М.М.Постников.Введение в теорию алгебраических чисел.м.наука. 98г.40с. 4.Ж.Ҳожиев,А.С.Файнлейб.Алгебра ва сонлар назарияси курси. Т.Ўзбекистон. 00 й. 304б. 5.Л.Б.Шнеперман.Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. I и II часть. Минск.»Выш.шк.» 987 г.7с. 6. А.Н.Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.Наука.976г.546с. 7.С.Т.Завало,В.Н.Костарчук,Б.И.Хацет.Алгебра и теория чисел. М.»Высш.шк». 980г.408с. 8. А.Г. Курош. Олий алгебра курси. Тошкент. Ўқитувчи. 976 й.г.464 б. 9.С.Ленг.Алгебра.М.Мир 968г.564с. 0.А.И.Кострикин.Введение в алгебру.м.наука.977г.496с..ван дер Варден.Алгебра.М.Наука.976г. 648с..И.М.Виноградов.Основы теории чисел. http://www.mcm.ru, http://lib.mmt.ru. 39