Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 1
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα
Πίνακας Περιεχομένων Γ.6 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα... 8 6.1 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα - Πρώτη Μορφή... 8 6.1.1 Γενική περίπτωση:... 8 Πρώτη Μορφή Γενική Περίπτωση... 8 6.1.1.1 Παράδειγμα... 8 6.1.1. Παράδειγμα... 8 6.1. Ειδικές περιπτώσεις... 8 Πρώτη Μορφή Ειδική Περίπτωση Ι... 9 6.1..1 Παράδειγμα... 9 6.1.. Παράδειγμα... 9 6.1..3 Παράδειγμα... 9 6.1..4 Παράδειγμα... 9 6.1..5 Παράδειγμα... 9 6.1..6 Παράδειγμα... 9 6.1..7 Παράδειγμα... 9 Πρώτη Μορφή Ειδική Περίπτωση ΙΙ... 1 6.1..8 Παράδειγμα... 1 6.1..9 Παράδειγμα... 1 6.1..1 Παράδειγμα... 1 Πρώτη Μορφή Ειδική Περίπτωση ΙΙΙ... 1 6.1..11 Παράδειγμα... 1 6.1..1 Παράδειγμα... 1 6.1..13 Παράδειγμα... 1 6.1..14 Παράδειγμα... 1 6.1..15 Παράδειγμα... 1 6.1..16 Παράδειγμα... 1 6.1..17 Παράδειγμα... 11 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 3
6.1..18 Παράδειγμα... 11 6.1..19 Παράδειγμα... 11 6.1.. Παράδειγμα... 11 6.1..1 Παράδειγμα... 11 6.1.. Παράδειγμα... 11 6.1..3 Παράδειγμα... 11 6.1..4 Παράδειγμα... 11 6.1..5 Παράδειγμα... 11 6.1..6 Παράδειγμα... 11 6.1..7 Παράδειγμα... 1 6.1..8 Παράδειγμα... 1 6.1..9 Παράδειγμα... 1 6.1..3 Παράδειγμα... 1 6.1..31 Παράδειγμα... 1 6.1..3 Παράδειγμα... 1 6.1..33 Παράδειγμα... 1 6.1..34 Παράδειγμα... 1 6.1..35 Παράδειγμα... 1 6. Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα- Δεύτερη μορφή... 13 6..1 Περίπτωση Ι... 13 6..1.1 Παράδειγμα... 13 6..1. Παράδειγμα... 13 6..1.3 Παράδειγμα... 13 6..1.4 Παράδειγμα... 13 6..1.5 Παράδειγμα... 13 6..1.6 Παράδειγμα... 13 6..1.7 Παράδειγμα... 13 6..1.8 Παράδειγμα... 14 6..1.9 Παράδειγμα... 14 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 4
6..1.1 Παράδειγμα... 14 6..1.11 Παράδειγμα... 14 6..1.1 Παράδειγμα... 14 6..1.13 Παράδειγμα... 14 6..1.14 Παράδειγμα... 14 6..1.15 Παράδειγμα... 14 6..1.16 Παράδειγμα... 14 6..1.17 Πρόβλημα... 14 6.. Περίπτωση ΙΙ... 15 6...1 Παράδειγμα... 15 6... Παράδειγμα... 15 6...3 Παράδειγμα... 15 6...4 Παράδειγμα... 15 6...5 Παράδειγμα... 15 6...6 Παράδειγμα... 15 6...7 Πρόβλημα... 15 6..3 Περίπτωση ΙΙΙ... 16 6..4 Περίπτωση IV... 16 6..4.1 Παράδειγμα... 16 6..5 Περίπτωση V... 16 6..5.1 Παράδειγμα... 17 6..5. Παράδειγμα... 17 6..5.3 Παράδειγμα... 17 6..5.4 Παράδειγμα... 17 6..5.5 Παράδειγμα... 17 6..5.6 Παράδειγμα... 17 6..5.7 Παράδειγμα... 17 6..5.8 Παράδειγμα... 17 6..5.9 Παράδειγμα... 17 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 5
6..5.1 Παράδειγμα... 17 6..5.11 Παράδειγμα... 18 6..5.1 Παράδειγμα... 18 6..5.13 Παράδειγμα... 18 6..5.14 Παράδειγμα... 18 6..5.15 Παράδειγμα... 18 6..5.16 Παράδειγμα... 18 6..5.17 Παράδειγμα... 18 6..5.18 Παράδειγμα... 18 6..5.19 Παράδειγμα... 18 6..5. Παράδειγμα... 18 6..5.1 Παράδειγμα... 18 6.3 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα - Τρίτη Μορφή... 19 6.3.1 Παράδειγμα... 19 6.3. Παράδειγμα... 19 6.3.3 Παράδειγμα... 19 6.3.4 Παράδειγμα... 19 6.4 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα - Τέταρτη Μορφή... Παρατήρηση... Παραδείγματα... 6.4.1 Παράδειγμα... 6.4. Παράδειγμα... 6.4.3 Παράδειγμα... 6.4.4 Παράδειγμα... 6.4.5 Παράδειγμα... 6.4.6 Παράδειγμα... 1 6.4.7 Παράδειγμα... 1 6.4.8 Παράδειγμα... 1 6.4.9 Παράδειγμα... 1 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 6
6.4.1 Παράδειγμα... 1 6.4.11 Παράδειγμα... 1 6.4.1 Παράδειγμα... 1 6.4.13 Παράδειγμα... 1 6.4.14 Παράδειγμα... 1 6.5 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα Πέμπτη Μορφή... 6.5.1 Περίπτωση Ι... 6.5. Περίπτωση ΙΙ... 6.5.3 Περίπτωση ΙΙΙ... Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 7
Γ.6 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 6.1 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα - Πρώτη Μορφή Πρόκειται για ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων τριγωνομετρικών αριθμών, που τις συμβολίζουμε με Rsinx, cosx, και των οποίων ο παρονομαστής είναι άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών. 6.1.1 Γενική περίπτωση: Θέτουμε επειδή cosx cos 1 έχουμε x x 1 1 tan d d x 1 1 cos cos x d 1 cosx. Επειδή όμως x x 1 tan tan 1 cosx, sin x x 1 x 1 tan 1 tan 1 Εχουμε 1 1 d d. Τελικά d 1 1 1 1 1 Πρώτη Μορφή Γενική Περίπτωση 6.1.1.1 Παράδειγμα I 5 4cosx 6.1.1. Παράδειγμα I cos x cos x 1 cosx 1 6.1. Ειδικές περιπτώσεις (i) Αν η συνάρτηση R είναι περιττή ως προς sinx, αν δηλαδή ισχύει R sin x, cosx Rsin x, cosx τότε επιλέγουμε τον μετασχηματισμό cosx. Εχουμε: d 1 sinx 1. καθώς και (ii) Αν η συνάρτηση R είναι περιττή ως προς cosx, ισχύει δηλαδή Rsinx, cosx Rsinx, cosx τότε επιλέγουμε τον μετασχηματισμό sinx και έχουμε: d 1 cosx 1. και Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 8
(iii) Αν η συνάρτηση είναι άρτια ως προς sinx και cosx, αν δηλαδή R sin x, cosx Rsin x, cosx τότε επιλέγουμε τον μετασχηματισμό tanx και έχουμε: όπου θεωρούμε γνωστά cosx 1 d tan x d cos x 1 1 1 1 tan x 1 Πρώτη Μορφή Ειδική Περίπτωση Ι sin x tan x 1 tan x 1 6.1..1 Παράδειγμα cosx 1 I 3 3sin x sin x 6.1.. Παράδειγμα 6.1..3 Παράδειγμα 6.1..4 Παράδειγμα I sin x 1 cosx 3 6.1..5 Παράδειγμα I sin x cos x 1 6.1..6 Παράδειγμα I cosx sin x 6.1..7 Παράδειγμα I 4 sin x cos x 5 5 1 cos x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 9
Πρώτη Μορφή Ειδική Περίπτωση ΙΙ 6.1..8 Παράδειγμα I 1 3cos x 6.1..9 Παράδειγμα I 3 5 cos x cos x 4 sin x sin x 6.1..1 Παράδειγμα I 3 5 cos x cos x 4 sin x sin x Πρώτη Μορφή Ειδική Περίπτωση ΙΙΙ 6.1..11 Παράδειγμα I 3cos x sin x 6.1..1 Παράδειγμα I asin x bcos x 6.1..13 Παράδειγμα 1 I 5sin x 3cos x 4 6.1..14 Παράδειγμα 6.1..15 Παράδειγμα I 1 sin x 6.1..16 Παράδειγμα I 1 cosx Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 1
6.1..17 Παράδειγμα I 7 3sin x 6cosx 6.1..18 Παράδειγμα I sin x cosx 6.1..19 Παράδειγμα I 4sin x 3cosx 6.1.. Παράδειγμα I sin x 1 cosx 6.1..1 Παράδειγμα cosx I 4 4 sin x cos x 6.1.. Παράδειγμα I sin x cosx 6.1..3 Παράδειγμα I cosx sin x cosx sins 6.1..4 Παράδειγμα I 1 tan x 6.1..5 Παράδειγμα I 3tan x 6.1..6 Παράδειγμα I 1 tan 1 tan x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 11
6.1..7 Παράδειγμα I 4 sin x sin x 3 cos x cos x 6.1..8 Παράδειγμα I 3sin x cosx sin x 3cosx 6.1..9 Παράδειγμα I 3sin x 5cos x 6.1..3 Παράδειγμα I sin x 3sin x cos x cos x 6.1..31 Παράδειγμα I sin x3 sin x 6.1..3 Παράδειγμα I 3 3 sin x cos x 6.1..33 Παράδειγμα I sin x cos x sin x cosx 6.1..34 Παράδειγμα tan x 3 I sin x cos x 6.1..35 Παράδειγμα x sin x I 1 cos x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 1
6. Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα- Δεύτερη μορφή 6..1 Περίπτωση Ι Είναι ολοκληρώματα με δυνάμεις και γινόμενα των sin και cos της μορφής m n sin x cos x όπου n, ή m είναι περιττό Έστω ότι περιττό είναι το n. Αν n=1 έχουμε Αν n>1 τότε γράφουμε 1 m 1 m m m1 sin x cos x sin dsin x sin x c n n1 cos x cos x cosx οπου n-1 θα είναι άρτιο. Αυτό με την βοήθεια της ταυτότητας γραφεί ως δυνάμεις του sin x cos x 1 μπορεί να sin x οπότε καταλήγουμε σέ ολοκλήρωμα της μορφής (άθροισμα δυνάμεων του x) cosx 6..1.1 Παράδειγμα I 5 sin xcos x 6..1. Παράδειγμα I 3 cos x cosx 6..1.3 Παράδειγμα I 3 cos x cosx 6..1.4 Παράδειγμα I 4 3 cos x sin x 6..1.5 Παράδειγμα I 3 sin x cos x 6..1.6 Παράδειγμα I 3 5 sin 3x cos 3x 6..1.7 Παράδειγμα I 3 sin x cos x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 13
6..1.8 Παράδειγμα 5 sin xcosx 6..1.9 Παράδειγμα 5 I sin xcos x 6..1.1 Παράδειγμα 3 4 I sin xcos x 6..1.11 Παράδειγμα 3 3 I sin xcos x 6..1.1 Παράδειγμα 4 3 35sin cos x 6..1.13 Παράδειγμα 4 5 sin xcos x 6..1.14 Παράδειγμα sin x cos x 6..1.15 Παράδειγμα 4 3 cos sin d 6..1.16 Παράδειγμα 3 sin cos d 6..1.17 Πρόβλημα 5 sin xcos x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 14
6.. Περίπτωση ΙΙ Περιλαμβάνει ολοκληρώματα της μορφής Για την λύση τους βασιζόμαστε στις ταυτότητες m n sin x cos x όπου τώρα τα n και m είναι άρτια. 1 1 1 1 1 sin x cos x sin x, sin x cos x, cos x cos x 6...1 Παράδειγμα I sin xcos x 6... Παράδειγμα I 4 sin xcos x 6...3 Παράδειγμα I 4 sin x cos x 6...4 Παράδειγμα I 4 4 sin x cos x 6...5 Παράδειγμα 4 I sin x cos x 6...6 Παράδειγμα 6 sin xcos x 6...7 Πρόβλημα Ποιο ολοκλήρωμα χρειάζεται περισσότερη δουλειά για να υπολογισθεί sin 798 xcosx ή 4 4 sin xcos x Εξηγείστε. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 15
6..3 Περίπτωση ΙΙΙ Περιλαμβάνει μορφές n m sin xcos x όπου n και m είναι ρητοί. Εργαζόμαστε ως εξής: 1. αν ο m είναι ακέραιος περιττός τότε κάνουμε την αντικατάσταση t cosx. αν ο n είναι ακέραιος περιττός τότε κάνουμε την αντικατάσταση t sinx 3. αν n+m είναι άρτιος τότε κάνουμε την αντικατάσταση tanx=t ή cosx=t 6..4 Περίπτωση IV Περιλαμβάνει τις μορφές α. m sin x, β. m con x, m αρνητικός ακέραιος α. γράφουμε m sin x x x sin cos m I sin x m και εργαζόμαστε όπως στην β. μετασχηματίζουμε το cos σε sin γράφοντας m cos x m I cos x m sin x 6..4.1 Παράδειγμα I x cos sin x 6..5 Περίπτωση V Περιλαμβάνει ολοκληρώματα της μορφής 1. sin mx cos nx. sinmx sinnx 3. cosmx cosnx α. Εάν m=n τότε με απλή αλλαγή της μεταβλητής από x σε mx ή nx το ολοκλήρωμα λύνεται εύκολα. β. Εάν mn τότε το ολοκλήρωμα λύνεται με την βοήθεια των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων 1 sina cosb sin A B sin A B 1 sina sinb cos A B cos A B 1 cosa cosb cos A B cos A B Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 16
6..5.1 Παράδειγμα sin 3xsin 3x 6..5. Παράδειγμα sin xcosx 6..5.3 Παράδειγμα I sin5xsin3x 1 1 1 1 Εχουμε I sin5x sin3x cosx cos8x sinx sin8x c 6..5.4 Παράδειγμα I sinx cos3x 4 16 6..5.5 Παράδειγμα sin xcos3x 6..5.6 Παράδειγμα sin 3xcosx 6..5.7 Παράδειγμα I cos3x cosx 6..5.8 Παράδειγμα I sin 3x sin x 6..5.9 Παράδειγμα sin 4xcos3x 6..5.1 Παράδειγμα I sinmx cosnx, m n Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 17
6..5.11 Παράδειγμα I cosmx cos nx, m n 6..5.1 Παράδειγμα I sinmx sin nx, m n 6..5.13 Παράδειγμα I sin5x cosx 6..5.14 Παράδειγμα I sin ax sin bx 6..5.15 Παράδειγμα I sinx cosx 6..5.16 Παράδειγμα cos x cos7x 6..5.17 Παράδειγμα cos3xcos 4x 6..5.18 Παράδειγμα I cos3x cos5x 6..5.19 Παράδειγμα I sin 5x cos 4x 6..5. Παράδειγμα I sin 4xcos5x 6..5.1 Παράδειγμα sin 3x cos 5x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 18
6.3 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα - Τρίτη Μορφή Περιλαμβάνει ολοκληρώματα της μορφής 1. n1 sin x cos x ή cos n n1 ή n1 cos x sin x ή sin n n1. sin n n n1 cos x ή cos x x ή cos n n n1 sin x ή sin x Γενικά 3. k sin x cos x cos x ή, k, N k sin x 4. τριγωνομετρικό γινόμενο 6.3.1 Παράδειγμα sin x 4 cos x I 6.3. Παράδειγμα 5 sin x 8 cos x I 6.3.3 Παράδειγμα 4 cos x sin x I 6.3.4 Παράδειγμα I cosx Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 19
6.4 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα - Τέταρτη Μορφή Περιλαμβάνει περιπτώσεις που αναφέρονται στην συνέχεια μαζί με τον μετασχημαστισμό που κάνουμε για την λύση τους. 1.. 3. 4. kx 1 coskx 1 coskx cos kx 1 coskx 1 coskx sin π π kx 1 sin kx 1 sin kx 1 cos kx cos 4 π π kx 1 sin kx 1 sin kx 1 cos kx sin 4 Παρατήρηση Εχουμε x x και cos sin 1 k k sinkx cos x sin x. Οπότε και το ολοκλήρωμα γίνεται Παραδείγματα 6.4.1 Παράδειγμα k k k k k k 1 sin kx cos x sin x cos x sin x cos x sin x k k k k 1 sin kx cos x sin x cos x sin x I 1 cos5x 6.4. Παράδειγμα I 1 cos4x 6.4.3 Παράδειγμα I 1 sin 4x 6.4.4 Παράδειγμα I 1 sin3x 6.4.5 Παράδειγμα I 1 cos x sin x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα
6.4.6 Παράδειγμα 4 1 cos 4x 6.4.7 Παράδειγμα 1 cosx 6.4.8 Παράδειγμα o 1 sin t dt 6.4.9 Παράδειγμα 4 1 tan x 6.4.1 Παράδειγμα 1 cos d 6.4.11 Παράδειγμα 1 cosx 6.4.1 Παράδειγμα 1 cos d 6.4.13 Παράδειγμα 4 sec x 1 6.4.14 Παράδειγμα 3 1 cos t dt Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 1
6.5 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα Πέμπτη Μορφή 6.5.1 Περίπτωση Ι Πρόκειται για ολοκληρώματα της μορφής 1. n tan x. 1. Με αφετηρία τις σχέσεις που ολοκληρώνεται εύκολα. n cot x 3. n sec x 4. tan x sec x και tan x sec 1 γράφουμε n n n n tan x tan x tan x tan x sec 1 tan x sec tan n x n csc x. Με αφετηρία τις σχέσεις cot x csc x και cot x csc x 1 γράφουμε n n n n cot x cot xcot x cot x csc x 1 cot xcsc x cot n x που επίσης ολοκληρώνεται εύκολα. 6.5. Περίπτωση ΙΙ Πρόκειται για ολοκληρώματα της μορφής n sec x n csc x 1. Για άρτιο n, με την βοήθεια της σχέσης sec x tan x 1 γράφουμε n n n sec x sec xsec x tan x 1 sec x ενώ για περιττά n κάνουμε ολοκλήρωση κατά μέρη.. Για άρτια n και με την βοήθεια της σχέσης csc x cot x 1 γράφουμε n n n n csc x csc x csc x csc cot 1 csc x 6.5.3 Περίπτωση ΙΙΙ Πρόκειται για ολοκληρώματα της μορφής m n tan xsec x, cot m n xcsc x Για n άρτιο γράφουμε m n m n tan xsec x tan xsec xsec x και με την βοήθεια της σχέσης sec x tan x 1 εκφράζουμε την παράσταση σε όρους του Για n και m περιττά γράφουμε tan x Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα
m n m 1 n 1 tan x sec x tan xsec xsecx tanx και εκφράζουμε το tan m1 x σε όρους του sec x με την βοήθεια της σχέσης tan x sec x 1 Για n περιττό και m άρτιο γράφουμε όλο το γινόμενο σε όρους του secx και ολοκληρώνουμε κατά μέρη. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 3
Σημειώματα Α) Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της Μαθηματικής Ανάλυσης προέρχεται από τις σημειώσεις του Επίκουρου Καθηγητή κ. Γεωργίου Ν. Μπροδήμα για τις ανάγκες διδασκαλίας του ομώνυμου μαθήματος στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Β) Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γεώργιος Ν. Μπροδήμας. «Μαθηματική Ανάλυση. Ενότητα Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα». Έκδοση: 1.. Πάτρα 15. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY191/ Γ) Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Δ) Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ όσον υπάρχει). Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 4