Πτυχιακή Εργασία. iii

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ EXCEL ΚΑΤΣΑΡΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΚΟΥΤΡΟΥΚΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΙΩΤΗΣ ΦΩΤΙΟΣ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΕΓΑΡΙΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 206

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωµατικ εργασία έγινε µε σκοπό την εξοικείωση των τελειόφοιτων οικονοµικών και συναφών σχολών µε το excel. Μέσα από τις εφαρµογές που παρουσιάζονται φαίνεται ξεκάθαρα η σηµασία της χρσης του excel για την επίλυση χρηµατοοικονοµικών προβληµάτων. Από πλευράς των συντακτών της παρούσας πτυχιακς υπάρχει η ελπίδα ότι η παρούσα εργασία κινθηκε στη σωστ κατεύθυνση.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στα πλαίσια της παρούσας πτυχιακς εργασίας πραγµατοποιθηκε η ανάλυση και παρουσίαση των βασικών εννοιών των χρηµατοοικονοµικών µαθηµατικών καθώς και η επίλυση καθηµερνών προβληµάτων µε τη χρση προγραµµάτων excel. Πιο συγκεκριµένα στην αρχ γίνεται µία εισαγωγ στις βασικές έννοιες των χρηµατοοικονοµικών µαθηµατικών όπως τα ανάλογα ποσά, ο µερισµός και τα ποσοστά. Οι συγκεκριµένες έννοιες είναι εξαιρετικά χρσιµες για την κατανόηση των εννοιών που αναλύονται στη συνέχεια στης παρούσας εργασίας. Στη συνέχεια αναλύονται διεξοδικά όλες οι πράξεις που αποτελούν το σύνολο των χρηµατοοικονοµικών µαθηµατικών όπως ο Απλός Τόκος, η Προεξόφληση, τα Ισοδύναµα Γραµµάτια, ο Ανατοκισµός, οι Ράντες και τα άνεια. Σε κάθε κεφάλαιο µετά από την παρουσίαση της κάθε πράξης και της ανάλυσης των βασικών µεγεθών που χρησιµοποιούνται σε αυτ, γίνεται λεπτοµερς παρουσίαση της επίλυσης των προβληµάτων µε τη χρση προγραµµάτων excel. Στο τέλος γίνεται παράθεση των συµπερασµάτων που προκύπτουν καθώς και µελλοντικών εργασιών. Λέξεις κλειδιά: Χρηµατοοικονοµικά Mαθηµατικά, Απλός Τόκος, Προεξόφληση, Ισοδύναµα Γραµµάτια, Ράντες, Ανατοκισµός, άνεια, Excel

ABSTRACT I ths thess we aalyze the basc cocepts of facal atheatcs ad the solvg of everyday probles usg excel progras. I partcular at the begg s a troducto to the basc cocepts of facal atheatcs as the correspodg aouts, sharg ad percetages. These cocepts are very helpful for uderstadg the cocepts dscussed later ths paper. The thoroughly aalyzed all operatos of facal atheatcs as sple terest, the dscoutg, equvalet blls, the copoud terest, the suspeders, loas etc. I each chapter, after a bref presetato of each struet ad aalyss of key szes used each operato, a detaled presetato of solvg probles usg excel progras s gve. At the ed s quote the coclusos draw ad future work. Keywords: Facal atheatcs, Sple Iterest, Dscout, Equvalet Blls, Suspeders, Copoud Iterest, Loa, Excel. v

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ABSTRACT... v ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο... 3. Ποσά Ανάλογα... 3.2 Μέθοδος των τριών... 3.3 Ποσοστά... 4.4 Μερισµός... 5.5 Εταιρείες... 7.6 Εφαρµογές για τον υπολογισµό των κερδών µίας επιχείρησης µε το Excel... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο... 2 2. Βασικοί τύποι υπολογισµού του απλού τόκου... 2 2.2 Μεικτό, εµπορικό και πολιτικό έτος... 3 2.3 Τοκάριθµος και σταθερός διαιρέτης... 3 2.4 Υπολογισµός του τόκου µιας σειράς κεφαλαίων που κατατέθηκαν σε χρόνους διαφορετικούς µεταξύ τους... 4 2.5 Τελικ αξία κεφαλαίου... 4 2.6 ανεισµός Χρηµάτων µε προκαταβολ του τόκου... 5 2.7 Μέσο Επιτόκιο... 5 2.8 Εφαρµογές για τον υπολογισµό του τόκου, της τελικς αξίας και του µέσου επιτοκίου µε το Excel... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο... 25 3. Βασικοί Ορισµοί... 25 3.2 Εξωτερικ Προεξόφληση... 26 3.3 Εσωτερικ Προεξόφληση... 28 3.4 ιαφορά προεξοφληµάτων και πραγµατικών αξιών... 29 3.5 Προεξόφληση µε έξοδα... 30 3.6 Επισυναλλαγµατικ, πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης και πινάκιο προεξόφλησης... 3 3.7 Υπολογισµός του προεξοφλµατος και της πραγµατικς αξίας ενός γραµµατίου µε τη χρση Excel... 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο... 35 4. Βασικοί Ορισµοί... 35 4.2 Εποχ Ισοδυναµίας µία χρονικ στιγµ l - Προεξόφληση εξωτερικ... 35 4.3 Εποχ ισοδυναµίας ηµέρα υπολογισµού και προεξόφληση εσωτερικ... 39 4.4 Μέση λξη... 40 4.5 Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων ισοδύναµων συναλλαγµατικών... 4 4.6 Υπολογισµός του ενιαίου γραµµατίου και του χρόνου λξης του στα ισοδύναµα γραµµάτια µε τη χρση Excel... 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο... 48 5. Βασικές έννοιες και τύποι στον ανατοκισµό... 48 5.2 Εύρεση του αρχικού κεφαλαίου Κ ο στον ανατοκισµό... 50 5.3 Εύρεση του χρόνου στον ανατοκισµό... 5 5.4 Εύρεση του επιτοκίου στον ανατοκισµό... 54 v

5.5 Ανάλογα και ισοδύναµα επιτόκια... 56 5.6 Προεξόφληση στον ανατοκισµό... 58 5.7 Οικονοµικ ισοδυναµία... 58 5.8 Άλλα είδη ανατοκισµού... 59 5.9 Υπολογισµός της τελικς αξίας, του χρόνου και του επιτοκίου στον ανατοκισµό µε τη χρση Excel... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο... 66 6. Βασικές έννοιες στις Ράντες... 66 6.2 Βασικές κατηγορίες ραντών... 67 6.3 Τρόποι εύρεσης της αρχικς και της τελικς αξίας ειδικών περιπτώσεων ραντών... 68 6.4 Εύρεση του αριθµού των όρων µίας ράντας και τακτοποίηση αυτς και εύρεση του επιτοκίου στις ράντες... 75 6.5 Άλλες εφαρµογές των ραντών... 76 6.6 Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας στις ράντες µε τη χρση του Excel... 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο... 85 7. Βασικές έννοιες στα άνεια... 85 7.2 Αποπληρωµ ενός δανείου... 86 7.3 Οµολογιακά δάνεια... 89 7.4 Υπολογισµός της δόσης ενός δανείου µε τη χρση Excel... 90 ΕΠΙΛΟΓΟΣ... 94 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 95 v

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικά Η χρηµατοοικονοµικ επιστµη ασχολείται µε τον κόσµο των χρηµαταγορών, των κεφαλαιαγορών και των επιχειρσεων. Βασικές έννοιες της χρηµατοοικονοµικς είναι το χρµα, το κεφάλαιο, ο χρόνος, ο τόκος, η νοµισµατικ µονάδα καθώς και το επιτόκιο. Το χρµα είναι οτιδποτε αναγνωρίζεται σε µία κοινωνία ανθρώπων σαν µέσο ανταλλαγς για απόκτηση αγαθών ως µέτρο της αξίας διαφόρων πραγµάτων. Με τη βοθεια του χρµατος πραγµατοποιούνται οι οικονοµικές συναλλαγές µεταξύ νοµικών φυσικών προσώπων. Η ανάγκη για τη δηµιουργία του χρµατος προέκυψε από την αρχέγονη ανάγκη των ανθρώπων να συναλλάσσονται µε σκοπό την κάλυψη των ελλείψεων σε είδη πρώτης ανάγκης. Σε πρώτο στάδιο η συγκεκριµένη ανάγκη καλύφθηκε µέσω της ανταλλαγς αγαθών. Η ανταλλαγ όµως των αγαθών εκτός από αρκετά δύσκολη για πρακτικούς λόγους εµφάνιζε και το πρόβληµα της απουσίας ενός σταθερού µέτρου υπολογισµού της αξίας των συναλλασσόµενων αγαθών. Απόρροια των παραπάνω ταν οι συναλλαγές πολλές φορές να µην πραγµατοποιούνται λόγω ασυµφωνίας µεταξύ των συναλλασσόµενων και ως εκ τούτου δηµιουργθηκε το χρµα. Το χρµα δεν είχε πάντα την ίδια µορφ, αρχικά για παράδειγµα ως χρµα χρησιµοποιθηκαν όστρακα και κελύφη ζώων ενώ στη συνέχεια χρησιµοποιθηκαν διάφορα µέταλλα µε κύριο τον χρυσό και τον χαλκό. Το κεφάλαιο, το οποίο συµβολίζεται στην βιβλιογραφία µε Κ, είναι ένα χρηµατικό ποσό το οποίο όταν αποταµιευθεί δανεισθεί παράγει νέο χρηµατικό ποσό. Ο χρόνος (στη βιβλιογραφία συµβολίζεται µε, t ανάλογα µε το χρονικό διάστηµα που χρησιµοποιείται) είναι το χρονικό διάστηµα για το οποίο ένα κεφάλαιο αποταµιεύεται δανείζεται. Το τόκος (στη βιβλιογραφία συµβολίζεται µε Ι) είναι το χρηµατικό ποσό που δίνει ο δανειζόµενος στο δανειστ ως αµοιβ γιατί ο δανειστς έδωσε σε αυτόν ένα κεφάλαιο προκειµένου να το εκµεταλλευτεί για ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα. Το επιτόκιο (στη βιβλιογραφία συµβολίζεται µε ) είναι ο τόκος που δίνει µία νοµισµατικ µονάδα για µία ορισµένη χρονικ περίοδο. Η χρονικ αυτ περίοδος µπορεί να είναι από µνες µέχρι έτη µε πιο συνηθισµένη περίοδο να αποτελεί το ένα έτος. Το επιτόκιο είναι συνθως ευµετάβλητο και η διακύµανσ του εξαρτάται από τους παρακάτω παράγοντες: Την διεθν οικονοµικ κατάσταση. Την οικονοµικ κατάσταση της χώρας. Τις προσωπικές σχέσεις δανειστ και δανειζόµενου. Σύγχρονες µορφές χρµατος Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούµενο κεφάλαιο η µορφ του χρµατος δεν µένει σταθερ, αντίθετα αλλάζει µε βάση τις ανάγκες των συναλλασσόµενων. Οι σύγχρονες µορφές χρµατος είναι οι εξς: Επιταγές: Ως επιταγ καλείται ένα έντυπο (πιστωτικό έντυπο), ο κάτοχος του οποίου µπορεί να εισπράξει από µία τράπεζα το χρηµατικό ποσό που αναγράφεται σε αυτό. Τα είδη επιταγών που υπάρχουν είναι πολλά. Κάποια από αυτά τα είδη είναι οι

Ιδιωτικές Προσωπικές Επιταγές, οι Τραπεζικές επιταγές, οι Ταχυδροµικές επιταγές, οι ταξιδιωτικές επιταγές, οι επιταγές του Ελληνικού ηµοσίου κ.α. Πιστωτικές Κάρτες: Οι πιστωτικές κάρτες εκδίδονται από τις τράπεζες για λογαριασµό πελατών τους, για να χρησιµοποιούνται αντί των τραπεζογραµµατίων, µε συγκεκριµένο όµως όριο όπως αυτό καθορίζεται κάθε φορά (στη παρούσα φάση αυτό το ποσό είναι 420 ευρώ ανά εβδοµάδα λόγω των ελέγχων κεφαλαίων που έχουν τεθεί). Με την χρση της πιστωτικς κάρτας ο κάτοχός της έχει την δυνατότητα πραγµατοποίησης πληθώρας εµπορικών συναλλαγών µε την αποπληρωµ των συγκεκριµένων συναλλαγών να γίνεται άµεσα από την τράπεζα ενώ ο κάτοχος της κάρτας θα πρέπει να εξοφλσει το ποσό εντός ενός συγκεκριµένου χρονικού διαστµατος ανάλογα µε τους όρους έκδοσης της κάρτας. Γραµµάτιο σε διαταγ, Συναλλαγµατικ, Επισυναλλαγµατικ: Οι παραπάνω τίτλοι αποτελούν ένα άλλο είδος πιστωτικών τίτλων και χρησιµοποιούνται σε πληθώρα συναλλαγών αντί των τραπεζογραµµατίων. Χρησιµοποιούνται συχνά σε συναλλαγές µεγάλης αξίας όπου η χρση των τραπεζογραµµατίων καθίσταται σχετικά δύσκολη (π.χ. η αγορά ενός αυτοκιντου). Με τους συγκεκριµένους τίτλους ουσιαστικά ο αγοραστς υπόσχεται υποχρεούται να καταβάλει συγκεκριµένο µέρος του οφειλόµενου ποσού εντός δεδοµένου χρονικού διαστµατος. Αν ο αγοραστς δε τηρσει τη δέσµευσ του τότε εγείρονται έννοµες απαιτσεις από την πλευρά του πωλητ. Τα γραµµάτια εκδίδονται από τον οφειλέτη ( αγοραστ) ενώ οι συναλλαγµατικές εκδίδονται από τον πιστωτ ( πωλητ). Οι µορφές χρµατος που αναφέρθηκαν σε συνδυασµό µε τις βασικές έννοιες που αναλύθηκαν όπως το κεφάλαιο, το επιτόκιο και ο χρόνος αποτελούν τη βάση των χρηµατοοικονοµικών µαθηµατικών όπως θα παρουσιαστούν και στη συνέχεια της παρούσας πτυχιακς εργασίας. 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Βασικές έννοιες Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών. Ποσά Ανάλογα Γενικά µε τον όρο ποσό ονοµάζεται οτιδποτε µπορεί να αυξηθεί να µειωθεί. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα ενός ποσού στην οικονοµικ επιστµη είναι οι καταθέσειςαναλψεις που έχει µια τράπεζα. ύο ποσά ονοµάζονται ανάλογα ( ευθέως ανάλογα) όταν πολλαπλασιαζόµενη η τιµ ενός ποσού επί έναν αριθµό, πολλαπλασιάζεται και η τιµ του άλλου ποσού επί τον ίδιο αριθµό. Η ίδια λογικ ισχύει και για την διαίρεση δύο ποσών. ύο ποσά ονοµάζονται αντίστροφα ( αντιστρόφως ανάλογα) όταν πολλαπλασιαζόµενη η τιµ του ενός ποσού επί έναν αριθµό, διαιρείται η τιµ του άλλου ποσού δια τον ίδιο αριθµό, διαιρούµενη η τιµ του ενός ποσού δια ενός αριθµού, πολλαπλασιάζεται η τιµ του άλλου ποσού επί τον ίδιο αριθµό αντίστοιχα..2 Μέθοδος των τριών Απλ µέθοδος των τριών ονοµάζεται η µέθοδος εκείνη στην οποία δίνονται τρία ποσά (οι αριθµοί αυτοί είναι γνωστοί) και ζητείται να υπολογιστεί ένα τέταρτο άγνωστο ποσό. Η πρώτη ενέργεια που γίνεται για την επίλυση ενός προβλµατος µε την απλ µέθοδο των τριών είναι η κατάταξη των ποσών και η σύγκρισ για το αν είναι ευθέως αντιστρόφως ανάλογα µεταξύ τους. Ένα παράδειγµα είναι το εξς: Τέσσερα τρακτέρ οργώνουν µία έκταση σε 9 ηµέρες αν λειτουργούν τον ίδιο αριθµό κάθε µέρα. Πόσα τρακτέρ χρειάζονται για να οργώσουν την ίδια έκταση σε 6 ηµέρες; Από την εκφώνηση του παραδείγµατος προκύπτει ότι τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και η κατάταξ τους θα είναι: 4 τρακτέρ οργώνουν την έκταση σε 9 ηµέρες x τρακτέρ οργώνουν την έκταση σε 6 ηµέρες 3

Με δεδοµένο ότι τα παραπάνω ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα θα ισχύει: 4/x=6/9 x=4 6/9=6 Παρατηρούµε ότι το x ισούται µε τον αριθµό που βρίσκεται από πάνω του επί το κλάσµα όπως είναι. Πολλές φορές παρατηρείται το φαινόµενο σε ένα πρόβληµα που επιλύεται µε την απλ µέθοδο των τριών να δίνονται περισσότερα από δύο ανάλογα αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Στις περιπτώσεις αυτές το πρόβληµα µπορεί να αναλυθεί σε δύο περισσότερα προβλµατα απλς µεθόδου των τριών οπότε σε αυτ την περίπτωση η επίλυση γίνεται µε τη σύνθετη µέθοδο των τριών. Για την επίλυση τέτοιων προβληµάτων η λογικ επίλυσης είναι η ίδια µε πριν, δηλαδ το x ισούται µε τον αριθµό που βρίσκεται από πάνω του, πολλαπλασιαζόµενο επί κάθε ένα από τα κλάσµατα που σχηµατίζονται από τα ποσά, αντεστραµµένα αν αυτά είναι ανάλογα όπως είναι αν αυτά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Ένα παράδειγµα προβλµατος που επιλύεται µε την σύνθετη µέθοδο των τριών είναι το εξς: ώδεκα εργαζόµενοι, µε οκτάωρη απασχόληση ηµερησίως, τελειώνουν ένα συγκεκριµένο έργο σε 25 µέρες. Πόσες ηµέρες πρέπει να απασχοληθούν 20 εργαζόµενοι για να τελειώσουν το ίδιο έργο, αλλά µε εξάωρη απασχόληση ηµερησίως; Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η κατάταξη του προβλµατος όπως αυτ προκύπτει θα είναι η εξς: Οι 2 εργαζόµενοι µε 8 ώρες την ηµέρα τελειώνουν σε 25 µέρες. Οι 20 εργαζόµενοι µε 6 ώρες την ηµέρα τελειώνουν σε x; Με βάση τη σύγκριση των παραπάνω ποσών βλέπουµε ότι οι εργαζόµενοι και οι µέρες είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα, ενώ το ίδιο ισχύει και για τις ώρες ηµερησίως και τις ηµέρες. Συνεπώς προκύπτει η παρακάτω λύση: x=25*8/6*2/20 άρα το x=20. Άρα οι 20 εργαζόµενοι θα τελειώσουν το έργο σε 20 µέρες αν εργάζονται 6 ώρες κάθε µέρα..3 Ποσοστά Σε προβλµατα όπου είναι αναγκαίο να υπολογιστούν τα κέρδη οι ζηµίες, οι προµθειες µίας εταιρείας, οι εκπτώσεις στις πωλσεις, τα ασφάλιστρα, οι µεσιτείες, οι αυξοµειώσεις σε πληθυσµούς, η αύξηση στους µισθούς των εργαζοµένων κ.α. η ανάγκη της χρσης της µεθόδου των ποσοστών καθίσταται επιτακτικ. Τα παραπάνω προβλµατα επιλύονται µε την απλ µέθοδο των τριών, µε τα εκάστοτε ποσά να είναι πάντα ευθέως ανάλογα µεταξύ 4

τους και ένα από αυτά είναι το 00 το 000. Τα προβλµατα ποσοστών διακρίνονται στις εξς κύριες κατηγορίες: ίνεται η αρχικ αξία ενός ποσού και ζητείται η τελικ του αξία. ίνεται η τελικ αξία και ζητείται η αρχικ. Υπολογισµός του ποσού. Ειδικά προβλµατα ποσοστών. Ένα τέτοιο παράδειγµα επίλυσης µε την µέθοδο των ποσοστών είναι το εξς: Η χρηµατιστηριακ τιµ µίας εταιρείας ταν 5 ευρώ στις 4/6/205 και στις 2/0/205 ταν 3,32 ευρώ. Να υπολογιστεί η ποσοστιαία µείωση της µετοχς της εταιρείας για το πιο πάνω χρονικό διάστηµα. Από το πρόβληµα προκύπτει ότι η µείωση της µετοχς για το χρονικό διάστηµα από 4/6/205 έως 2/0/205 είναι,68 ευρώ (από τα 5 ευρώ πγε στα 3,32 ευρώ). Με βάση και αυτό το στοιχείο η κατάταξη που προκύπτει είναι η εξς: Στα 5 ευρώ έχουµε µείωση,68 ευρώ Στα 00 ευρώ έχουµε µείωση x; Άρα λύση θα είναι : x=,68*00/5 x=33,6%.4 Μερισµός Μερισµός καλείται ο χωρισµός ενός ποσού σε µέρη σύµφωνα µε τα δεδοµένα µιας σειράς αριθµών διάφορων µεταξύ τους. Τα µέρη αυτά που θα προκύψουν από το µερισµό ενός ποσού µπορεί να είναι ευθέως αντιστρόφως ανάλογα µε τους δεδοµένους κάθε φορά αριθµούς. ύο περισσότεροι αριθµοί ονοµάζονται ανάλογοι προς δύο η περισσότερους αριθµούς αντίστοιχα, αν οι πρώτοι προκύπτουν από τους δεύτερους όταν αυτοί πολλαπλασιαστούν επί τον ίδιο αριθµό. Για παράδειγµα οι αριθµοί 5, 30, 50 είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς, 6, 0 καθώς οι πρώτοι προκύπτουν από τους δεύτερους αν αυτοί πολλαπλασιαστούν επί 5. Το ίδιο συµβαίνει και από την άλλη πλευρά, δηλαδ οι δεύτεροι αριθµοί προκύπτουν από τους πρώτους αν αυτοί πολλαπλασιαστούν επί τον ίδιο αριθµό, το /5. Αυτό που φαίνεται να ισχύει είναι το εξς: 5/=30/6=50/5=5 Αν η παραπάνω παρατρηση γενικευτεί προκύπτει ότι αν οι αριθµοί a,b,c είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς x,y,z τότε θα ισχύει: 5

a/x=b/y=c/z=k Οπότε: a=k*x, b=k*y, c=k*z Στην παραπάνω περίπτωση προκύπτει ότι ο λόγος των οµολόγων αριθµών είναι ο ίδιος για όλους και αυτός ο λόγος είναι ίσος µε k. ύο περισσότεροι αριθµοί ονοµάζονται αντιστρόφως ανάλογοι προς δύο οι περισσότερους αριθµούς αντίστοιχα, αν και µόνο αν, οι πρώτοι είναι ανάλογοι προς τους αντίστροφους των δεύτερων. Για παράδειγµα οι αριθµοί 8, 20, 28, 40, 60 είναι αντιστρόφως ανάλογοι προς τους αριθµούς /2, /5, /7, /0, /5 αφού είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς 2, 5, 7, 0 και 5 που είναι οι αντίστροφοι των δεύτερων αριθµών. Ένα ποσό Κ που πρόκειται να µεριστεί, ονοµάζεται µεριστέος. Αν ζητείται να µεριστεί ο αριθµός Κ σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς a, b, c τότε διαιρείται µε το άθροισµα αυτών των αριθµών και το πηλίκο πολλαπλασιάζεται επί κάθε επιµέρους αριθµό ξεχωριστά. Ως εκ τούτου ο µεριστέος Κ θα µεριστεί σε τρία µέρη ως εξς: (Κ/(a+b+c))*a (Κ/(a+b+c))*b (Κ/(a+b+c))*c To δε πηλίκο Κ/(a+b+c) ονοµάζεται συντελεστς µερισµού. Στην περίπτωση όπου ζητείται να µεριστεί ένα ποσό Κ σε µέρη αντιστρόφως ανάλογα προς µία δοσµένη σειρά αριθµών a, b, c τότε πρέπει το Κ να µεριστεί σε µέρη ανάλογα προς τους αντίστροφους αριθµούς αυτών, δηλαδ τους /a, /b, /c και γίνονται τα εξς: Οι αριθµοί /a, /b, /c πρέπει να γίνουν οµώνυµα κλάσµατα Το Κ µερίζεται ανάλογα µε τους αριθµητές των πιο πάνω κλασµάτων και έτσι προκύπτει: (K/(a*b+a*c+b*c))*b*c (K/(a*b+a*c+b*c))*a*c (K/(a*b+a*c+b*c))*a*b Παρατρηση: Ένας αριθµός µπορεί να µεριστεί σε µέρη ανάλογα περισσότερων δεδοµένων σειρών αριθµών Ένα παράδειγµα εφαρµογς των παραπάνω είναι το εξς: 6

Να µεριστεί το ποσό των 690 ευρώ σε µέρη αντιστρόφως ανάλογα προς τους αριθµούς 4,5 και 8. Οι αντίστροφοι αριθµοί των 4,5 και 8 είναι οι αριθµοί /4,/5 και /8. Αφού τα κλάσµατα γίνουν οµώνυµα προκύπτουν τα εξς κλάσµατα: 20,80,6/80 και 0/80. Συνεπώς το ποσό των 690 ευρώ µερίζεται σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς 20,6 και 0,άρα προκύπτουν τα εξς: (690/(20+6+0))*20=300 ευρώ (690/(20+6+0))*6=240 ευρώ, (690/(20+6+0))*0=50 ευρώ..5 Εταιρείες Όταν δύο περισσότερα άτοµα συµφωνούν εγγράφως και αναλαµβάνουν την υποχρέωση να αναπτύξουν από κοινού µία επιχειρηµατικ δραστηριότητα, καταβάλλοντας κάποιο ποσό έκαστος, τότε τα άτοµα αυτά δηµιούργησαν µία εταιρεία. Η δίκαιη διανοµ των κερδών των ζηµιών µία εταιρείας στους µετόχους της, γίνεται µε τη µέθοδο του µερισµού. Το πιο συνηθισµένο πρόβληµα σε µία εταιρεία είναι ο µερισµός µεταξύ των µετόχων, του κέρδους της ζηµίας, ανάλογα προς τα κεφάλαια που έχει καταβάλλει ο κάθε µέτοχος καθώς και προς τους χρόνους που τα κεφάλαια αυτά καταβλθηκαν στην εταιρεία. Για κάθε εταιρεία δηµιουργείται ένα καταστατικό, όπου καταγράφονται οι τρόποι διανοµς των κερδών των ζηµιών της εταιρείας, οι υποχρεώσεις των εταίρων, οι τρόποι λειτουργίας της εταιρείας κ.α. Σε περίπτωση που στο καταστατικό κάποιας εταιρείας δεν αναφέρεται ρητά ο τρόπος κατανοµς των κερδών, ζηµιών άλλων περιουσιακών στοιχείων αυτς, τότε ο µερισµός γίνεται ως εξς: Άνισα Κεφάλαια-ίσα χρονικά διαστµατα: ανάλογα προς το µετοχικό κεφάλαιο που κατέβαλε κάθε µέτοχος και για το ίδιο χρονικό διάστηµα για κάθε έναν από αυτούς. Ίσα Κεφάλαια-άνισα χρονικά διαστµατα: ανάλογα προς τα χρονικά διαστµατα, που ίδια κεφάλαια για κάθε εταίρο παρέµειναν στην εταιρεία. Άνισα κεφάλαια-άνισα χρονικά διαστµατα: ανάλογα προς τα γινόµενα των κεφαλαίων που κατέβαλε κάθε εταίρος επί το χρονικό διάστηµα που αυτά παρέµειναν στη διάθεση της εταιρείας. Ένα παράδειγµα είναι το εξς: Ο κ. Αναστασίου ξεκίνησε, πριν από 4 µνες µία επιχείρηση, µε αρχικό κεφάλαιο 60000 ευρώ και σµερα βάζει συνέταιρο του τον κ. Αλεξάνδρου, ο οποίος καταβάλλει στην 7

επιχείρηση κεφάλαιο 60000 ευρώ. Αν µετά από οκτώ µνες η επιχείρηση των δύο µετόχων έχει καθαρά κέρδη 68000 ευρώ, πως θα µεριστεί το ποσό αυτό στους δύο συνεταίρους; Με δεδοµένο ότι ο κ. Αναστασίου κατέβαλλε µετοχικό κεφάλαιο στην επιχείρηση ίσο µε αυτό του κ. Αλεξάνδρου, µετά από τέσσερις µνες ακριβώς, ο µερισµός θα γίνει ανάλογα προς το χρόνο που τα κεφάλαια χρησιµοποιθηκαν στην επιχείρηση. ηλαδ για 2 µνες για τον πρώτο εταίρο και για 8 µνες για τον άλλο εταίρο. Άρα προκύπτουν τα εξς: (68000/(2+8))*2= 40800 για τον κ. Αναστασίου, (68000/(2+8))*8= 27200 για τον κ. Αλεξάνδρου..6 Εφαρµογές για τον υπολογισµό των κερδών µίας επιχείρησης µε το Excel Στις εφαρµογές που ακολουθούν γίνεται υπολογισµός του µερίσµατος των κερδών µίας εταιρείας όταν δίνονται σε ένα πρόβληµα µέχρι και 4 µέτοχοι µε εφαρµογ και σε µεγαλύτερο αριθµό µετόχων. Άνισα κεφάλαια-ίσα χρονικά διαστµατα Το κέρδος 5000 ευρώ µίας εταιρείας πρέπει να µεριστεί στους τέσσερις µετόχους της, οι οποίοι κατέβαλαν ταυτόχρονα σε αυτν τα εξς αρχικά κεφάλαια: 3000 ευρώ ο πρώτος, 2000 ο δεύτερος, 9000 ευρώ ο τρίτος και 7000 ευρώ ο τέταρτος µέτοχος αντίστοιχα. Ζητείται να υπολογιστεί το ποσό του κέρδους που πρέπει να πάρει κάθε ένας από τους µετόχους. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω φύλλο excel στη πρώτη στλη είναι το κέρδος της εταιρείας, στη δεύτερη στλη βρίσκονται τα αρχικά κεφάλαια που έχει επενδύσει ο κάθε µέτοχος και στην τρίτη στλη υπολογίζονται τα µερίσµατα των µετόχων µε βάση τον παρακάτω τύπο: =Α*Β/SUM(B:B4), =,2,3,4 8

Εικόνα :Άνισα Κεφάλαια-Ίσα Χρονικά ιαστµατα Ίσα κεφάλαια-άνισα χρονικά διαστµατα Το κέρδος 9000 ευρώ µίας εταιρείας πρέπει να µεριστεί στους τέσσερις µετόχους της, οι οποίοι κατέβαλλαν σε αυτν ίσα αρχικά κεφάλαια, αλλά σε διαφορετικούς χρόνους µεταξύ τους, τοι: ο πρώτος είχε συµµετοχ 24 µνες στην εταιρεία, ο δεύτερος 9 µνες, ο τρίτος 3 µνες και ο τέταρτος 5 µνες. Ζητείται να υπολογιστεί το ποσό του κέρδους που πρέπει να λάβει ο κάθε µέτοχος. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω φύλλο excel στη πρώτη στλη είναι το κέρδος της εταιρείας, στη δεύτερη είναι η συµµετοχ σε µνες του κάθε µετόχου και στην τελευταία υπολογίζονται τα κέρδη που θα λάβουν οι µέτοχοι µε βάση το χρονικό διάστηµα που συµµετείχαν µε βάση τον παρακάτω τύπο: =Α*Β/SUM(B:B4), =,2,3,4 9

Εικόνα 2:Ίσα Κεφάλαια-Άνισα Χρονικά ιαστµατα Άνισα κεφάλαια-άνισα χρονικά διαστµατα Το κέρδος 26000 ευρώ µίας επιχείρησης πρέπει να µεριστεί στους τέσσερις µετόχους της, οι οποίοι κατέβαλλαν σε αυτ αρχικά κεφάλαια 3000, 9000, 8000 και 3000 ευρώ αλλά σε διαφορετικούς χρόνους µεταξύ τους. Ο ένας είχε συµµετοχ 24 µνες, ο δεύτερος 9 µνες, ο τρίτος 3 µνες και ο τέταρτος 5 µνες. Ζητείται να υπολογιστεί το ποσό του κέρδους που πρέπει αν λάβει ο κάθε µέτοχος. Στη πρώτη στλη είναι είναι το συνολικό κέρδος, στη δεύτερη στλη είναι τα επενδυµένα κεφάλαια των µετόχων και στην τρίτη στλη είναι η συµµετοχ του κάθε µετόχου εκφρασµένη σε µνες. Στη τελευταία στλη είναι υπολογισµένα τα µερίσµατα που αντιστοιχούν στον κάθε µέτοχο. Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =Α*B*C/(B*C+B2*C2+B3*C3+B4*B4), =,2,3,4 0

Εικόνα 3: Άνισα Κεφάλαια-Άνισα Χρονικά ιαστµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Απλός Τόκος 2. Βασικοί τύποι υπολογισµού του απλού τόκου Απλός τόκος ονοµάζεται η διαδικασία τοκισµού χρηµάτων κατά την οποία από χρονικ περίοδο τοκισµού σε χρονικ περίοδο τοκισµού ο δανειστς εισπράττει το τόκο του αρχικού κεφαλαίου που έδωσε στον δανειζόµενο και αφνει µόνο το αρχικό κεφάλαιο να τοκίζεται για κάθε επόµενη χρονικ περίοδο τοκισµού. Ο δανειζόµενος µε τη λξη του δανείου οφείλει και επιστρέφει µόνο το αρχικό κεφάλαιο που δανείσθηκε. Κάποιες γενικευµένες µορφές των προβληµάτων που επιλύονται µε τον απλό τόκο είναι οι εξς: Πρόβληµα ο: Κεφάλαιο Κ ευρώ τοκίσθηκε µε απλό τόκο και ετσιο επιτόκιο ε% για έτη. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος που θα δώσει το κεφάλαιο αυτό στο τέλος των ετών. Λύση: Το επιτόκιο είναι ε%. Οπότε το ένα ευρώ για ένα έτος θα δώσει τόκο =ε/00. Άρα το κεφάλαιο των Κ ευρώ για ένα έτος θα δώσει τόκο K*. Συνεπώς το κεφάλαιο των Κ ευρώ για έτη θα δώσει τόκο: Ι=K*+K*+.+K* (-φορές) I=K** () Η παραπάνω εξίσωση είναι η θεµελιώδης εξίσωση του απλού τόκου. Πρόβληµα 2ο: Κεφάλαιο Κ ευρώ τοκίσθηκε µε απλό τόκο και ετσιο επιτόκιο ε% για µνες. Να βρεθεί ο τόκος που θα δώσει το κεφάλαιο αυτό στο τέλος των µηνών. Λύση: Το κεφάλαιο των Κ ευρώ για ένα έτος θα δώσει τόκο Κ* όπου =ε/00. Άρα για το διάστηµα των µηνών θα δώσει τόκο: K I = K = 2 2 (2) Πρόβληµα 3ο: Κεφάλαιο Κ ευρώ τοκίζεται µε απλό τόκο και ετσιο επιτόκιο e% για t ηµέρες. Να βρεθεί ο τόκος που θα δώσει το κεφάλαιο αυτό στο τέλος των t ηµερών. Λύση: Το κεφάλαιο των Κ ευρώ για ένα έτος θα δώσει τόκο K*, όπου =ε/00. Άρα για το χρονικό διάστηµα των t ηµερών θα δώσει τόκο: 2

t K t I = K = (3) 365 365 Αν το έτος είναι δίσεκτο τότε ο παρονοµαστς θα γίνει 366. 2.2 Μεικτό, εµπορικό και πολιτικό έτος Όταν ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες ο υπολογισµός του απλού τόκου γίνεται µε τις παρακάτω µεθόδους: Μικτό έτος: Εδώ θεωρείται ότι όλοι οι µνες του έτους έχουν ακριβώς τις ίδιες µέρες που έχουν ηµερολογιακά αλλά το έτος έχει 360 µέρες. Αν χρησιµοποιηθεί αυτ τη πρακτικ τότε ο τύπος για τον υπολογισµό του τόκου είναι ο εξς: K t I = 360 Εµπορικό έτος: Εδώ θεωρείται ότι ο κάθε µνας έχει 30 µέρες και στο έτος έχει 360 µέρες. Αν χρησιµοποιηθεί αυτ η πρακτικ τότε ο τύπος για τον υπολογισµό του τόκου είναι ο εξς: K t I = 360 Πολιτικό έτος: Εδώ θεωρείται ότι όλοι οι µνες του έτους έχουν ακριβώς τις ηµέρες που έχουν ηµερολογιακά και το έτος 365 ηµέρες (εκτός αν είναι δίσεκτο). Αν χρησιµοποιηθεί αυτ η πρακτικ τότε ο τύπος που προκύπτει για τον υπολογισµό του τόκου είναι ο εξς: K t I = 366 Παρατρηση: Οι τοκοφόρες ηµέρες όταν αποταµιεύονται χρµατα σε µία τράπεζα, αρχίζουν από την επόµενη µέρα της κατάθεσης του κεφαλαίου και τελειώνουν την ηµέρα ανάληψης του κεφαλαίου. Ενώ οι τοκοφόρες ηµέρες όταν κάποιος δανείζεται ένα κεφάλαιο από µία τράπεζα, ξεκινούν από την ηµέρα δανεισµού του κεφαλαίου και τελειώνουν την ηµέρα επιστροφς του. 2.3 Τοκάριθµος και σταθερός διαιρέτης Έστω ένα κεφάλαιο Κ Ευρώ που τοκίζεται για t ηµέρες µε ετσιο επιτόκιο. Το γινόµενο K*t συµβολίζεται µε Ν και ονοµάζεται τοκάριθµος. 3

Το πηλίκο 360/ 365/ συµβολίζεται µε και ονοµάζεται σταθερός διαιρέτης. Με βάση τα παραπάνω ο τύπος του απλού τόκου µετασχηµατίζεται στον εξς τύπο: K t K t I = = 360 360 N = 2.4 Υπολογισµός του τόκου µιας σειράς κεφαλαίων που κατατέθηκαν σε χρόνους διαφορετικούς µεταξύ τους Πολλοί καταθέτες (ιδίως αν έχουν αποταµιευτικό λογαριασµό) ενώ έχουν λογαριασµούς µε το ίδιο επιτόκιο δεν καταθέτουν µόνο µία φορά αλλά σε διαφορετικούς χρόνους. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο συνολικός απλός τόκος δεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισµα των τόκων που αντιστοιχούν σε κάθε κεφάλαιο. Σε αυτ την περίπτωση ισχύει: Ι=Ι +Ι 2 +Ι 3 + +Ι ν Ο παραπάνω τύπος µε βάση τον τύπο της προηγούµενης ενότητας µετασχηµατίζεται ως εξς: Παρατηρσεις:. Το Ν l =K l *t l µε l=,2,3,,v I= N +N 2 +N 3 +...+N ν (4) 2. Το είναι σταθερό µιας και το είναι το ίδιο και συνθως σταθερό για µεγάλο χρονικό διάστηµα. Άρα ο συνολικός τόκος µίας σειράς κεφαλαίων που κατατίθενται για απλ κεφαλαιοποίηση, σε χρόνους διαφορετικούς µεταξύ τους, υπολογίζεται αν διαιρεθεί το άθροισµα των τοκαρίθµων δια του σταθερού διαιρέτη. Με τον τρόπο αυτό υπολογίζεται ο τόκος καταθέσεων χρηµατικών ποσών σε Ταµιευτρια, Τράπεζες κ.λπ. 2.5 Τελικ αξία κεφαλαίου Τελικ αξία κεφαλαίου ονοµάζεται το άθροισµα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου που αναλογεί σε αυτό για ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα. Ένα παράδειγµα εφαρµογς του υπολογισµού της τελικς αξίας κεφαλαίου είναι το εξς: Κεφάλαιο 800 ευρώ τοκίζεται µε απλό τόκο και ετσιο επιτόκιο 5% για 70 µέρες. Να βρεθεί η τελικ αξία του κεφαλαίου. 4

Η τελικ αξία είναι η εξς: K t t K = K + I = K + = K + 360 360 Με αντικατάσταση των δεδοµένων του παραδείγµατος στον παραπάνω τύπο προκύπτει το εξς αποτέλεσµα: Κ 70 =800*(+((70*0,05)/360))=807,77 2.6 ανεισµός Χρηµάτων µε προκαταβολ του τόκου Σε αρκετές περιπτώσεις ο δανειζόµενος προκαταβάλει τους τόκους που αναλογούν στο κεφάλαιο που έχει δανειστεί. Η προκαταβολ αυτ γίνεται κατά τη διαδικασία της δανειοδότησης και ως εκ τούτου στη λξη του δανείου ο δανειζόµενος καταβάλει µόνο το κεφάλαιο. Ο υπολογισµός του τόκου προκύπτει από τον τύπο: I= K** όπου Κ το κεφάλαιο που έχει δανειστεί ο δανειζόµενος, τα έτη και το επιτόκιο δανεισµού Το καθαρό ποσό K δ που θα εισπράξει ο δανειστς είναι ίσο µε : Κ δ =Κ-Ι=Κ-Κ**=K*(-*) (5) Παρατρηση: Αν αντί για έτη το πρόβληµα αναφέρει µνες ηµέρες τότε στη θέση του θα είναι είτε /2, είτε t/360 αντίστοιχα. Για τις µέρες δε ενδέχεται να είναι και t/360 ανάλογα µε τον τρόπο υπολογισµού. 2.7 Μέσο Επιτόκιο Μέσο Επιτόκιο καλείται το επιτόκιο µε το οποίο πρέπει να τοκίσουµε διάφορα Κεφάλαια, για διάφορους χρόνους, ώστε να πάρουµε τον ίδιο συνολικό τόκο που θα παίρναµε, αν τοκίζαµε τα ίδια Κεφάλαια στους ίδιους χρόνους αλλά µε διαφορετικά επιτόκια. Έστω ότι τα κεφάλαια Κ j, j=,2,, τοκίσθηκαν για t j µέρες, j=,2,, µε απλό τόκο και ετσιο επιτόκιο j, j=,2,, όπως ορίζεται στον παρακάτω πίνακα: 5

Κεφάλαιο Ηµέρες Επιτόκιο Τόκος Κ t I Κ 2 t 2 2 I 2............ Κ t I Ο συνολικός τόκος που θα δώσουν τα κεφάλαια αυτά είναι: Ι=I +I 2 +...+I = = Κ t 360 Κ Κ +... + t t +... +Κ 360 360 t Τώρα έστω ότι τα κεφάλαια Κ j, j=, 2,, τοκίσθηκαν για t j µέρες, j=, 2,, µε απλό τόκο και ετσιο επιτόκιο όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Κεφάλαιο Ηµέρες Επιτόκιο Τόκος Κ t I Κ 2 t 2 I 2............ Κ j t j I j Ο συνολικός τόκος που θα δώσουν τα κεφάλαια αυτά είναι: I =I +I 2 +...+I K t +... + K t = 360 Μέσο επιτόκιο των επιτοκίων, 2,, ονοµάζεται εκείνο το επιτόκιο για το οποίο ισχύει: Ι=Ι (6) 6

Παρατηρσεις:. Από την παραπάνω σχέση και σε συνδυασµό µε τους τύπους που έχουν προκύψει από την αρχ του κεφαλαίου προκύπτουν τα εξς: Ι=Ι Κ t +... +Κ 360 t K t +... + K t = 360 K... + K t = ( K t + + K t ) t +... = K t K +... + K t +... + K t t 2. Αν στον τύπο του µέσου επιτοκίου είναι Κ =Κ 2 =...=Κ και t =t 2 =...=t τότε αυτός ο τύπος γίνεται: = +... + Άρα σε αυτ την περίπτωση το µέσο επιτόκιο είναι ο µέσος όρος των επιτοκίων. 2.8 Εφαρµογές για τον υπολογισµό του τόκου, της τελικς αξίας και του µέσου επιτοκίου µε το Excel Υπολογισµός του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε µνες Κεφάλαιο ύψους 2000 ευρώ έχει επενδυθεί για διάστηµα 3 µηνών µε επιτόκιο 3%. Να βρεθεί ο τόκος που αναλογεί. Στην πρώτη στλη εµφανίζεται το κεφάλαιο (2000 ευρώ), στη δεύτερη στλη το χρονικό διάστηµα εκφρασµένο σε µνες και στη τρίτη στλη το ύψος του επιτοκίου (0,03). Ο τόκος που προκύπτει είναι 5 ευρώ. 7

Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =Α*Β*C/2 Εικόνα 4:Υπολογισµός του τόκου όταν ο τόκος δίνεται σε µνες Υπολογισµός του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη Κεφάλαιο ύψους 2000 ευρώ έχει επενδυθεί για διάστηµα 3 ετών µε επιτόκιο 3%. Να βρεθεί ο τόκος που αναλογεί. Στην πρώτη στλη εµφανίζεται το κεφάλαιο (2000 ευρώ), στη δεύτερη στλη το χρονικό διάστηµα εκφρασµένο σε έτη και στη τρίτη στλη το ύψος του επιτοκίου (0,03). Ο τόκος που προκύπτει είναι 80 ευρώ. Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =Α*Β*C 8

Εικόνα 5:Υπολογισµός του τόκου όταν ο τόκος δίνεται σε έτη Υπολογισµός του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες. Έτος µικτό. Κεφάλαιο ύψους 2000 ευρώ έχει επενδυθεί για διάστηµα 60 ηµερών µε επιτόκιο 3%. Να βρεθεί ο τόκος που αναλογεί µε το έτος να είναι µικτό. Στην πρώτη στλη εµφανίζεται το κεφάλαιο (2000 ευρώ), στη δεύτερη στλη το χρονικό διάστηµα εκφρασµένο σε ηµέρες και στη τρίτη στλη το ύψος του επιτοκίου (0,03). Ο τόκος που προκύπτει είναι 0 ευρώ. Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =Α*Β*C/360 9

Εικόνα 6:Υπολογισµός του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες-έτος µεικτό Υπολογισµός του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες. Έτος πολιτικό. Κεφάλαιο ύψους 2000 ευρώ έχει επενδυθεί για διάστηµα 60 ηµερών µε επιτόκιο 3%. Να βρεθεί ο τόκος που αναλογεί µε το έτος να είναι πολιτικό. Στην πρώτη στλη εµφανίζεται το κεφάλαιο (2000 ευρώ), στη δεύτερη στλη το χρονικό διάστηµα εκφρασµένο σε ηµέρες και στη τρίτη στλη το ύψος του επιτοκίου (0,03). Ο τόκος που προκύπτει είναι 9,86 ευρώ. Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =Α*Β*C/365 20

Εικόνα 7:Υπολογισµός του τόκου όταν χρόνος δίνεται σε ηµέρες-έτος πολιτικό Υπολογισµός της τελικς αξίας ενός κεφαλαίου όταν ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες. Έτος µικτό. Κεφάλαιο ύψους 2000 ευρώ έχει επενδυθεί για διάστηµα 60 ηµερών µε επιτόκιο 3%. Να βρεθεί η τελικ αξία ενώ το έτος είναι µικτό. Στην πρώτη στλη εµφανίζεται το κεφάλαιο (2000 ευρώ), στη δεύτερη στλη το χρονικό διάστηµα εκφρασµένο σε ηµέρες και στη τρίτη στλη το ύψος του επιτοκίου (0,03). Η τελικ αξία που προκύπτει είναι 200 ευρώ. Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =A*(+(B*C)/360) 2

Εικόνα 8: Υπολογισµός της τελικς αξίας ενός κεφαλαίου όταν ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες.-έτος µικτό. Υπολογισµός του καθαρού ποσού που εισπράττει ο δανειζόµενος ενός κεφαλαίου, όταν έχουµε δανεισµό χρηµάτων µε προκαταβολ του τόκου και ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες. Έτος µικτό. Κεφάλαιο ύψους 2000 ευρώ δίνεται σε δανειζόµενο µε προκαταβολ τόκου. Το επιτόκιο είναι 3% ενώ το χρονικό διάστηµα είναι 60 ηµέρες. Να βρεθεί το καθαρό ποσό που θα εισπράξει ο δανειζόµενος. Στην πρώτη στλη εµφανίζεται το κεφάλαιο (2000 ευρώ), στη δεύτερη στλη το χρονικό διάστηµα εκφρασµένο σε ηµέρες και στη τρίτη στλη το ύψος του επιτοκίου (0,03). Το καθαρό ποσό που θα εισπράξει ο δανειζόµενος είναι 990 ευρώ. Ο υπολογισµός έγινε µε τον παρακάτω τύπο: =Α*(-(B*C)/360) 22

Εικόνα 9: Υπολογισµός του καθαρού ποσού που εισπράττει ο δανειζόµενος ενός κεφαλαίου, όταν έχουµε δανεισµό χρηµάτων µε προκαταβολ του τόκου και ο χρόνος δίνεται σε ηµέρες.-έτος µικτό. Υπολογισµός του µέσου επιτοκίου Τα κεφάλαια 000, 2000, 3000, 4000, 5000 ευρώ τοκίσθηκαν µε απλό τόκο για 20, 30, 40, 50 και 60 ηµέρες αντίστοιχα µε επιτόκια 4%, 5%, 7%, 9%, %. Να βρεθεί το µέσο επιτόκιο αυτών. Η παρακάτω εφαρµογ υλοποιθηκε για υπολογισµό του µέσου επιτοκίου µέχρι και για 5 επιτόκια αλλά µπορεί εύκολα να επεκταθεί και για παραπάνω. Στην πρώτη στλη είναι τα πέντε κεφάλαια που έχουν δοθεί. Στη δεύτερη στλη είναι οι ηµέρες τοκισµού που αντιστοιχούν στο κάθε κεφάλαιο και στην τρίτη στλη είναι τα επιτόκια που αντιστοιχούν στο κάθε κεφάλαιο. Στη τέταρτη στλη έχει υπολογιστεί η ποσότητα A*B*C µε =,2,3,4,5 Στη πέµπτη στλη έχει υπολογιστεί η ποσότητα A*B µε =,2,3,4,5 Στα κελιά D6 και Ε6 υπολογίστηκαν τα αθροίσµατα των στηλών D και Ε αντίστοιχα. Εφόσον έχουν υπολογιστεί και τα αθροίσµατα των στηλών D και Ε το µέσο επιτόκιο δεν είναι τίποτα άλλο από την διαίρεση του D6 µε το Ε6 (D6/E6) και το αποτέλεσµα εµφανίζεται στο κελί F6. Το µέσο επιτόκιο είναι περίπου 9% 23

Εικόνα 0:Υπολογισµός του µέσου επιτοκίου 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Προεξόφληση 3. Βασικοί Ορισµοί Πολλές φορές σε εµπορικές συναλλαγές οι συναλλαγές µεταξύ των πωλητών και των αγοραστών γίνονται µέσω συναλλαγών µε πίστωση. Η συναλλαγ µε πίστωση πρακτικά σηµαίνει τη µη εξόφληση µιας χρηµατικς υποχρέωσης µε µετρητά. Στην περίπτωση της συναλλαγς µε πίστωση ο πωλητς πιστωτς δεν πληρώνεται σε µετρητά και ο αγοραστς οφειλέτης δεν εξοφλεί τον πιστωτ σε µετρητά αλλά του υπόσχεται γραπτώς την εξόφληση του ποσού που οφείλει. Οι πιστωτικοί τίτλοι που χρησιµοποιούνται στην συναλλαγ µε πίστωση είναι οι εξς:. Γραµµάτιο σε διαταγ: εκδίδεται από τον οφειλέτη, ο οποίος και υπογράφει. 2. Συναλλαγµατικ: Εκδίδεται από τον πιστωτ, ο οποίος και υπογράφει, αλλά φέρει και την υπογραφ του οφειλέτη. Και οι δύο πιστωτικοί τίτλοι εκδίδονται κυρίως για την αγορά εµπορευµάτων και χρησιµοποιούνται ως µέσο πληρωµών αντικαθιστώντας το χρµα. Η ηµεροµηνία που αναγράφεται επάνω στο τίτλο (συναλλαγµατικ γραµµάτιο) για την πληρωµ του οφειλόµενου ποσού από τον οφειλέτη στον πιστωτ ονοµάζεται ηµεροµηνία λξης συναλλαγµατικς γραµµατίου. Γενικά η εξόφληση των συναλλαγµατικών των γραµµατίων µπορεί να γίνει είτε στην ηµεροµηνία λξης τους είτε νωρίτερα. Αν η εξόφληση αυτών των τίτλων γίνει νωρίτερα από την λξη τους στις τράπεζες τότε προκύπτει η προεξόφληση. Στην περίπτωση όπου η συναλλαγµατικ το γραµµάτιο δεν πληρωθεί µέχρι και την ηµεροµηνία λξεως τότε προκύπτει η δικαστικ απαίτηση είσπραξης του ποσού. Τότε έχουµε τη λεγόµενη διαµαρτύρηση συναλλαγµατικς δανείου. Μέσω αυτ της διαδικασίας ουσιαστικά ζητείται εκποίηση κινητς και ακίνητης περιουσίας του οφειλέτη ώστε να ικανοποιηθούν οι έννοµες απαιτσεις του πιστωτ. Ονοµαστικ αξία συναλλαγµατικς γραµµατίου είναι το ποσό που αναγράφεται πάνω στη συναλλαγµατικ. Προεξόφληµα είναι το ποσό που παρακρατείται από τη τράπεζα στην περίπτωση προεξόφλησης µίας συναλλαγµατικς ενός γραµµατίου. Το προεξόφληµα διακρίνεται σε απλό και σύνθετο. Απλό προεξόφληµα ονοµάζεται αυτό που αφορά τις βραχυπρόθεσµες 25

οικονοµικές πράξεις, ενώ σύνθετο προεξόφληµα ονοµάζεται αυτό που αφορά τις µακροπρόθεσµες οικονοµικές πράξεις. Παρούσα αξία ονοµάζεται το ποσό που θα εισπράξει κάποιος που θα προεξοφλσει µία συναλλαγµατικ ένα γραµµάτιο σε µία ορισµένη χρονικ στιγµ πριν από τη λξη της. Η ονοµαστικ αξία της συναλλαγµατικς ενός γραµµατίου είναι το άθροισµα της παρούσας αξίας και του προεξοφλµατος. Στη συνέχεια θα αναλυθούν τα είδη του απλού προεξοφλµατος. Το απλό προεξόφληµα διακρίνεται σε δύο κατηγορίες οι οποίες είναι οι εξς: Εξωτερικ προεξόφληση: είναι ο τόκος της ονοµαστικς αξίας. Εσωτερικ προεξόφληση: είναι ο τόκος της παρούσας αξίας. 3.2 Εξωτερικ Προεξόφληση Όπως έγινε αναφορά και σε προηγούµενη ενότητα η εξωτερικ προεξόφληση είναι η προεξόφληση κατά την οποία το προεξόφληµα υπολογίζεται µε βάση την ονοµαστικ αξία της συναλλαγµατικς. Η εξωτερικ προεξόφληση χρησιµοποιείται σχεδόν σε όλη την Ευρώπη (εκτός από το Ηνωµένο Βασίλειο όπου χρησιµοποιείται η εσωτερικ προεξόφληση). Συµβολισµοί: Κ: Ονοµαστικ αξία της συναλλαγµατικς Ε: Εξωτερικό προεξόφληµα : Επιτόκιο προεξόφλησης Α: Πραγµατικ παρούσα αξία συναλλαγµατικς t: Αριθµός ηµερών πριν από τη λξη της συναλλαγµατικς Μία συναλλαγµατικ ονοµαστικς αξίας K, προεξοφλείται εξωτερικά t ηµέρες πριν από τη λξη της µε επιτόκιο προεξόφλησης. Αν το έτος είναι µικτό εµπορικό, τότε για το προεξόφληµα Ε και την πραγµατικ αξία αυτού του πιστωτικού τίτλου ισχύουν οι παρακάτω τύποι: K t E = 360 E = K t 26

µε = 360 και Α= Κ-Ε Παρατρηση: Αν ο χρόνος των t ηµερών είναι έτη µνες, τότε το προεξόφληµα υπολογίζεται από τους παρακάτω τύπους: E = K και E = K 2 αντίστοιχα. Ένα παράδειγµα εφαρµογς της εξωτερικς προεξόφλησης είναι το εξς: Συναλλαγµατικ ονοµαστικς αξίας 200 ευρώ προεξοφλείται εξωτερικά 50 µέρες πριν από τη λξη της και δίνει πραγµατικ αξία 97 ευρώ. Να βρεθεί το προεξόφληµα και το επιτόκιο προεξόφλησης. Αρχικά υπολογίζεται το εξωτερικό προεξόφληµα Ε=Κ-Α=200-97=3 Στη συνέχεια και µε δεδοµένο το εξωτερικό προεξόφληµα µπορεί να υπολογιστεί και το επιτόκιο προεξόφλησης. Παρατρηση: K t E = 360 200 50 3= 360 = 0,08 Αν στον τύπο E = K t έχουµε: t=, τότε Ε=Κ t>, τότε Ε>Κ άρα το εξωτερικό προεξόφληµα µπορεί να γίνει µεγαλύτερο της ονοµαστικς αξίας ίσο 27

3.3 Εσωτερικ Προεξόφληση Η εσωτερικ προεξόφληση είναι η προεξόφληση όπου το προεξόφληµα υπολογίζεται µε βάση την πραγµατικ αξία της συναλλαγµατικς. Συµβολισµοί: Κ: Ονοµαστικ αξία Ε : Εσωτερικό προεξόφληµα : Επιτόκιο προεξόφλησης Α : Πραγµατικ αξία συναλλαγµατικς t: Αριθµός ηµερών πριν από τη λξη της συναλλαγµατικς Έστω ότι υπάρχει µία συναλλαγµατικ ονοµαστικς αξίας Κ, η οποία προεξοφλείται εσωτερικά t ηµέρες πριν από τη λξη της µε επιτόκιο εσωτερικς προεξόφλησης και δίνει πραγµατικ αξία Α. Αν το έτος είναι εµπορικό, τότε για το προεξόφληµα και την πραγµατικ αξία αυτς ισχύουν τα εξς: E = Α t 360 E = Α t όπου = 360 και Α =Κ-Ε Παρατηρσεις: Αν ο χρόνος t ηµερών είναι έτη και µνες, τότε το εσωτερικό προεξόφληµα υπολογίζεται από τους τύπους: E =Α και E = Α 2 Οι τύποι που έχουν αναφερθεί σχετικά µε τον υπολογισµό του εσωτερικού προεξοφλµατος έχουν το µειονέκτηµα ότι έχουν δύο άγνωστες ποσότητες, το Α και το Ε. Γι αυτό το λόγο είναι η επιτακτικ η ανάγκη εφαρµογς ενός πιο εύχρηστου τύπου, έτσι ισχύει το εξς: 28

Ε =Κ-Α Α =Κ-Ε Κάνοντας χρση του παραπάνω στον τύπο του εσωτερικού προεξοφλµατος προκύπτει το εξς: E = Α t 360 E = ( Κ Ε ) t 360 E = Κ t +t t Κ t Πάντα ισχύει ότι t<t+, άρα <. Συνεπώς < Κκαι επιπλέον Ε <Κ. Άρα t + + t το εσωτερικό προεξόφληµα δεν µπορεί σε καµία περίπτωση να είναι µεγαλύτερο από την πραγµατικ αξία. 3.4 ιαφορά προεξοφληµάτων και πραγµατικών αξιών Έστω ότι µία συναλλαγµατικ έχει ονοµαστικ αξία Κ η οποία προεξοφλείται t ηµέρες πριν από τη λξη της µε επιτόκιο τότε ισχύει: E = K t και E = Κ t +t Από τους παραπάνω τύπους προκύπτει ότι η εσωτερικ προεξόφληση είναι µικρότερη από την εξωτερικ µιας και ο παρονοµαστς είναι µεγαλύτερος. Άρα Ε>Ε. Η διαφορά µεταξύ των δύο τύπων προεξοφλσεων δίνει τα εξς: K t Κ t K t E E = = + t 29 2 ( + t) K t K t = ( + t) ( + t)

Λαµβάνοντας υπόψη ότι Α =Κ-Ε και Α=Κ-Ε προκύπτει ότι Α >Α µε δεδοµένο ότι Ε>Ε. Άρα για την διαφορά Α -Α προκύπτουν τα εξς: Α Α=Κ Ε ( Κ Ε) =Ε Ε = Κ t 2 ( + t) 3.5 Προεξόφληση µε έξοδα Οι τράπεζες πολλές φορές εκτός από το προεξόφληµα κρατούν και άλλα ποσά για προµθεια, χαρτόσηµο και άλλα επιµέρους έξοδα τα οποία υπολογίζονται επί της ονοµαστικς αξίας είτε του γραµµατίου, είτε της συναλλαγµατικς. Έστω ότι υπάρχει µία συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ. Η συγκεκριµένη συναλλαγµατικ προεξοφλείται t ηµέρες πριν από τη λξη της µε επιτόκιο. Κατά την προεξόφληση κρατείται προµθεια π%, έξοδα ε% και χαρτόσηµο χ ευρώ. Η καθαρ παρούσα αξία θα προσδιοριστεί µε δύο τρόπους:. Με εξωτερικ προεξόφληση 2. Με εσωτερικ προεξόφληση Με εξωτερικ προεξόφληση Για την εξωτερικ προεξόφληση της συναλλαγµατικς κρατούνται τα παρακάτω ποσά από τη τράπεζα: Εξωτερικό προεξόφληµα: E = K t Προµθεια: π Κ Π = 00 Άρα: ιάφορα έξοδα: Χαρτόσηµο: χ Ε δ = ε Κ 00 Κ t π Κ ε Κ Α=Κ Ε Π Εδ χ =Κ χ 00 00 30

Με εσωτερικ προεξόφληση Για την εσωτερικ προεξόφληση της συναλλαγµατικς κρατούνται τα παρακάτω ποσά από τη τράπεζα: Εξωτερικό προεξόφληµα: E = Κ t +t Προµθεια: π Κ Π = 00 Άρα: ιάφορα έξοδα: Χαρτόσηµο: χ Ε δ = ε Κ 00 Κ t π Κ ε Κ Α =Κ Ε Π Εδ χ =Κ χ + t 00 00 Είναι φανερό ότι η µόνη αλλαγ ανάλογα µε την µέθοδο που θα ακολουθηθεί είναι µόνο στο ύψος της προεξόφλησης. εν υπάρχει καµία διαφορά ούτε στις προµθειες, ούτε στα διάφορα έξοδα, ούτε και στο χαρτόσηµο το οποίο έτσι και αλλιώς είναι ένα συγκεκριµένο ποσό. 3.6 Επισυναλλαγµατικ, πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης και πινάκιο προεξόφλησης Επισυναλλαγµατικ Στις περιπτώσεις όπου ο οφειλέτης δεν µπορεί να πληρώσει τη συναλλαγµατικ κατά τη λξη της εκδίδει µία νέα συναλλαγµατικ για την κάλυψη της οφειλς της παλιάς συναλλαγµατικς που έληξε. Αυτ η συναλλαγµατικ ονοµάζεται επισυναλλαγµατικ και έχει πραγµατικ αξία την ηµέρα λξης της παλιάς συναλλαγµατικς ίση µε την ονοµαστικ αξία αυτς. Για την εύρεση της ονοµαστικς αξίας της επισυναλλαγµατικς αρκεί να βρεθεί το Κ. Για να βρεθεί το Κ αρκεί να γίνει το εξς: Α =Κ Ε Π Ε δ χ Κ =Α+Ε +Π+Ε δ Κ t π Κ ε Κ +χ Κ =Α+ + + +χ 00 00 3

Πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης Οι τράπεζες κατά τη διάρκεια της προεξόφλησης µε έξοδα, µε την κράτηση επιπλέον ποσών: προµθεια, διάφορα έξοδα και χαρτόσηµο ουσιαστικά αυξάνουν το επιτόκιο προεξόφλησης. Αυτό το επιτόκιο ονοµάζεται πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης. Έστω ότι µία συναλλαγµατικ αξίας Κ ευρώ προεξοφλείται µε έξοδα, t µέρες πριν από τη λξη της και δίνει πραγµατικ αξία Α, τότε το πραγµατικό επιτόκιο j είναι εκείνο το επιτόκιο βάσει του οποίου πρέπει να τοκιστεί το ποσό Α για t µέρες ώστε να προκύψει ως τόκος το συνολικό ποσό που κρατάει η τράπεζα κατά την προεξόφληση που είναι Κ-Α. Άρα ισχύει το εξς (αν το έτος είναι µικτό): ( K A) Α t j 360 = K A j = 360 A t Αν το έτος είναι πολιτικό τότε στη θέση του 360 θα είναι 365. Πινάκιο προεξόφλησης Όταν ένας πιστωτς προσκοµίζει στη τράπεζα συναλλαγµατικές οφειλετών για προεξόφληση, τότε καταχωρούνται τα στοιχεία τους σε ένα ειδικό έντυπο το οποίο ονοµάζεται πινάκιο προεξόφλησης. Η χρση του πινακίου προεξόφλησης έχει αρχίσει να καταργείται καθώς η συµπλρωσ του είναι χρονοβόρα και η χρση του είναι δύσκολη. 3.7 Υπολογισµός του προεξοφλµατος και της πραγµατικς αξίας ενός γραµµατίου µε τη χρση Excel Υπολογισµός του εξωτερικού και εσωτερικού προεξοφλµατος Έστω ότι υπάρχει συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ=400 ευρώ και προεξοφλείται. Οι ηµέρες µέχρι την λξη είναι 45 και το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 9%. Να βρεθεί το εσωτερικό και το εξωτερικό προεξόφληµα καθώς και η διαφορά αυτών. Στη πρώτη στλη είναι η ονοµαστικ αξία, στη δεύτερη οι ηµέρες µέχρι τη λξη και στη τρίτη το επιτόκιο προεξόφλησης. 32

Στο κελί D είναι η τιµ του εξωτερικού προεξοφλµατος. Για τον υπολογισµό αυτού χρησιµοποιθηκε ο τύπος: =A*B*C/360 Στο κελί E είναι η τιµ του εσωτερικού προεξοφλµατος. Για τον υπολογισµό αυτού χρησιµοποιθηκε ο τύπος: =(Α*Β)/((360/C)+B) Στο κελί F είναι η διαφορά των δύο προεξοφληµάτων. Για τον υπολογισµό αυτς της διαφοράς χρησιµοποιθηκε ο τύπος: =D-E Εικόνα :Υπολογισµός του εσωτερικού και του εξωτερικού προεξοφλµατος Προεξόφληση µε έξοδα-υπολογισµός της πραγµατικς αξίας στην εξωτερικ και εσωτερικ προεξόφληση Έστω ότι υπάρχει συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ=400 ευρώ και προεξοφλείται. Οι ηµέρες µέχρι την λξη είναι 45 και το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 9%. Να βρεθεί το εσωτερικό και το εξωτερικό προεξόφληµα καθώς και η διαφορά αυτών. Το ποσοστό προµθειας είναι 0,25%, το ποσοστό των εξόδων είναι 0,5% και το χαρτόσηµο είναι,5 ευρώ. Ζητείται να βρεθεί η πραγµατικ προεξόφληση του γραµµατίου όταν η εξόφληση είναι εσωτερικ, η πραγµατικ αξία του γραµµατίου όταν η προεξόφληση είναι εξωτερικ, καθώς και το πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης. 33

Στη πρώτη στλη είναι η ονοµαστικ αξία, στη δεύτερη οι ηµέρες µέχρι τη λξη και στη τρίτη το επιτόκιο προεξόφλησης. Στη τέταρτη στλη είναι το ποσοστό προµθειας, στην πέµπτη το ποσοστό των εξόδων και στην έκτη το χαρτόσηµο. Στο κελί G είναι η πραγµατικ αξία στην εξωτερικ προεξόφληση. Για τον υπολογισµό αυτς χρησιµοποιθηκε ο τύπος: =Α-((A*B*C)/360)-((D*A)/00)-((E*A)/00)-F Στο κελί H είναι η πραγµατικ αξία στην εσωτερικ προεξόφληση. Για τον υπολογισµό αυτς χρησιµοποιθηκε ο τύπος: =A-((A*B)/((360/C)+B))-((D*A)/00)-((E*A)/00)-F Στο κελί I είναι το πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης. Για τον υπολογισµό αυτς της διαφοράς χρησιµοποιθηκε ο τύπος: =((A-G)*360)/(G*B). Εικόνα 4: Προεξόφληση µε έξοδα-υπολογισµός της πραγµατικς αξίας στην εξωτερικ και εσωτερικ προεξόφληση 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Ισοδύναµα Γραµµάτια 4. Βασικοί Ορισµοί Πολλές φορές κατά τη διάρκεια εµπορικών συναλλαγών υπάρχει η ανάγκη αντικατάστασης γραµµατίων από κάποια άλλα για µία σειρά από λόγους (το γραµµάτιο δεν µπορεί να εξοφληθεί στην ηµεροµηνία λξεως κλπ). Στις περισσότερες συναλλαγές όµως δεν υπάρχει ένα µόνο γραµµάτιο όπου θα µπορούσε να αντικατασταθεί από µία επισυναλλαγµατικ, αλλά δύο περισσότερα γραµµάτια που θα πρέπει να αντικατασταθούν. Σε αυτ τη περίπτωση γίνεται χρση του ενιαίου γραµµατίου που είναι ένα γραµµάτιο που αντικαθιστά περισσότερα άλλα γραµµάτια που έχουν διαφορετικές ηµεροµηνίες λξης. Στην περίπτωση όπου γίνεται χρση ενός ενιαίου γραµµατίου θα πρέπει να µην υπάρχει κέρδος ζηµία για τον πιστωτ και τον χρεώστη. Αυτ η αρχ ονοµάζεται αρχ της οικονοµικς ισοδυναµίας. Πιο συγκεκριµένα θα πρέπει το άθροισµα των παρουσών αξιών να είναι ίσο µε την παρούσα αξία του ενιαίου γραµµατίου µε το ίδιο επιτόκιο και τον ίδιο τύπο προεξόφλησης. Ένα γραµµάτιο ονοµάζεται ισοδύναµο µε ένα περισσότερα άλλα γραµµάτια σε µία χρονικ στιγµ, όταν η παρούσα αξία του γραµµατίου είναι ίση µε την παρούσα αξία ενός άλλου το άθροισµα των παρουσών αξιών περισσότερων άλλων γραµµατίων που το αντικαταστεί/ούν, µε ίδιο ισχύον επιτόκιο και ίδιο είδος προεξόφλησης. Εποχ ισοδυναµίας χρόνος ισοδυναµίας είναι η ηµέρα κατά την οποία ένα η περισσότερα γραµµάτια είναι ισοδύναµα. Ηµέρα υπολογισµού είναι η ηµέρα κατά την οποία γίνεται η αντικατάσταση των γραµµατίων. Κοιν λξη είναι η ηµέρα λξης του ενιαίου γραµµατίου. 4.2 Εποχ Ισοδυναµίας µία χρονικ στιγµ l - Προεξόφληση εξωτερικ Για να γίνει πιο κατανοητ η εποχ ισοδυναµίας µία χρονικ στιγµ l ακολουθεί το παρακάτω παράδειγµα. Η προεξόφληση είναι εξωτερικ. Πρόβληµα: Μία σειρά συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ,Κ 2,...,Κ οι οποίες λγουν µετά από t,t 2,,t ηµέρες από σµερα αντίστοιχα, αντικαθίστανται από µία ενιαία συναλλαγµατικ ονοµαστικς αξίας Κ η οποία λγει µετά από t ηµέρες από σµερα. Να 35

εκφραστούν οι µεταβλητές Κ, t ως συνάρτηση των µεταβλητών Κ, Κ 2,..., Κ, t, t 2,,t. Η προεξόφληση θα είναι εξωτερικ, η εποχ ισοδυναµίας είναι µία στιγµ l ηµέρες από σµερα, ενώ το έτος είναι µεικτό και το επιτόκιο. Λύση: Χωρίς βλάβη της γενικότητας ισχύει ότι: t <l<t 2 <t 3 <...<t. Εικόνα 45:Εποχ Ισοδυναµίας τη χρoνικ στιγµ l Για να βρεθεί η λύση θα πρέπει πρώτα να βρεθούν οι πραγµατικές αξίες των συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ,Κ 2,...,Κ και Κ τη χρονικ στιγµ l ηµέρες από σµερα. Άρα προκύπτουν τα εξς: Η συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ λγει πριν από τη χρονικ στιγµ l. Οπότε η πραγµατικ αξία του Κ θα είναι: ( l t ) K ( t l) K Α = K + = K άρα η πραγµατικ αξία του Κ είναι το Κ συν το τόκο l-t ηµέρες. Η συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ 2 λγει µετά τη χρονικ στιγµ l. Οπότε η πραγµατικ αξία του K 2 είναι: 2 Α = K 2 K 36 2 ( t l) 2

δηλαδ η πραγµατικ αξία του Κ 2 είναι Κ 2 µείον το προεξόφληµα για t 2 -l ηµέρες. Με παρόµοιο τρόπο προκύπτουν και οι πραγµατικές αξίες των συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ 3,Κ 4,...,Κ,K είναι: 3 Α = K 3 4 Α = K 4 K K...... 3 4 ( t l) 3 ( t l) 4 Α = K... K ( t l) και K Α= K ( t l) Κατά την χρονικ στιγµ l υπάρχει οικονοµικ ισοδυναµία. Σε αυτ την περίπτωση ισχύει η παρακάτω σχέση: K A +A 2 +...+A =A ( t l) K ( t l) K ( t l) K +... + K ( Κ +... +Κ ) K = K ( t l) +... + K ( t l) K ( t l) = K ( Κ + +Κ ) ( K t +... + K t ) + ( K + + K ) l = K Κ ( t l)...... () [ ( t l) ] = ( + l) ( K + + K ) ( K t + + K t ) Κ...... Κ = ( + l) ( K +... + K ) ( K t +... + K t ) ( t l) 37 (2)

Από τη σχέση () προκύπτει το εξς: ( Κ + +Κ ) ( K t +... + K t ) + ( K + + K ) l = K Κ t + K l...... Κ t = [ K ( K + + K )] + ( K t +... + K t ) + l [ K ( K +... + K )]... t = [ Κ ( Κ + + K )] + ( K t +... + K t ) l [ K ( K + + K )]...... + K K (3) Από τα παραπάνω προκύπτουν κάποιες παρατηρσεις:. Αν η εποχ ισοδυναµίας είναι η ηµέρα υπολογισµού, τότε το l=0. Άρα οι τύποι για τον υπολογισµό του Κ και του t µετασχηµατίζονται ως εξς: Κ Κ t +... +Κ K t Κ t =Κ, ( K + + K ) ( K t + + K t )...... Κ = t [ Κ ( Κ + +Κ )] + ( K t + + K t )...... t = K 2. Αν η εποχ ισοδυναµίας είναι η κοιν λξη, τότε l=t. Συνεπώς οι τύποι του προβλµατος για τον υπολογισµό του Κ και του t µετασχηµατίζονται ως εξς: Κ = Κ =Κ Κ =Κ ( t t) Κ ( t t) Κ +... + ( + t) ( K + + K ) ( K t +... + K t ) t = +... +Κ... ( t ) +... + K ( t ) Κ, [ K ( K +... + K )] + ( K t +... + K t ) K +... + K, 38

4.3 Εποχ ισοδυναµίας ηµέρα υπολογισµού και προεξόφληση εσωτερικ Νωρίτερα µέσω του υποδείγµατος που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη παράγραφο τα Κ, t εκφράστηκαν ως συνάρτηση των µεταβλητών Κ,Κ 2,...,Κ, t,t 2,,t µε την προεξόφληση να είναι εξωτερικ. Τώρα θα γίνει παρουσίαση της περίπτωσης όπου η προεξόφληση θα είναι εσωτερικ. Η συγκεκριµένη περίπτωση δεν έχει καµία πρακτικ αξία όµως, καθώς δεν χρησιµοποιείται σε καµία εµπορικ συναλλαγ. Πρόβληµα: Έστω ότι υπάρχει µία σειρά συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ,Κ 2,...,Κ οι οποίες λγουν µετά από t,t 2,,t ηµέρες από σµερα αντίστοιχα, αντικαθίστανται από µία ενιαία συναλλαγµατικ ονοµαστικς αξίας Κ η οποία λγει µετά από t ηµέρες. Ζητείται να εκφραστούν οι µεταβλητές Κ και t ως συνάρτηση των µεταβλητών Κ,Κ 2,...,Κ, t,t 2,,t. Η προεξόφληση θα είναι εσωτερικ, η εποχ ισοδυναµίας είναι η ηµέρα υπολογισµού,ενώ το έτος είναι µεικτό και το επιτόκιο. Λύση: Χωρίς βλάβη της γενικότητας ισχύει ότι: t <t 2 <t<t 3 <...<t. Αρχικά υπολογίζονται οι πραγµατικές αξίες των συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ,Κ 2,...,Κ,Κ κατά την ηµέρα υπολογισµού. Άρα προκύπτουν τα εξς: Η συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ έχει πραγµατικ αξία: Α =Κ Κ t +t Με παρόµοιο τρόπο προκύπτουν και οι πραγµατικές αξίες των συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ 2,Κ 3,...,Κ,K οι οποίες και θα είναι οι εξς: Α Α 2 =Κ =Κ 39 2 Κ 2 t2, + t......... Κ t, + t Κ t Α=Κ. + t Λαµβάνοντας υπόψη ότι η εποχ ισοδυναµίας είναι η ηµέρα υπολογισµού προκύπτει η παρακάτω σχέση:

2 A + A +... + A = A K t K t K t K +... +Κ = K (4) + t +t + t Από τη σχέση (4) λύνοντας ως προς Κ προκύπτει ο παρακάτω τύπος: Κ = K t K t +... + + t + t ( + t) ( K +... + K ) K K ( + t) + + Κ =... + t + t (5) Από τη σχέση (4) αν λυθεί ως προς t προκύπτει ο παρακάτω τύπος: t = ( Κ +... +Κ ) K K t + t K t +... + + t t = Κ + t K Κ +... + +t (6) 4.4 Μέση λξη Σε ένα πρόβληµα των ισοδύναµων συναλλαγµατικών, δηλαδ σε ένα πρόβληµα που µία σειρά συναλλαγµατικών µε ονοµαστικές αξίες Κ,Κ 2,...,Κ αντικαθίστανται αντικαθιστά µία ενιαία συναλλαγµατικ µε ονοµαστικ αξία Κ τότε δηµιουργείται το λεγόµενο πρόβληµα µέσης λξης όταν: Κ=Κ +Κ 2 +...+Κ Σε αυτ την περίπτωση το t ονοµάζεται µέση λξη. 40

Όταν η προεξόφληση είναι εξωτερικ, από τον τύπο (3) όπως παρουσιάστηκε σε προηγούµενη ενότητα, ανεξάρτητα από την εποχ ισοδυναµίας που έχουµε, προκύπτει ο τύπος: t = K t +... + K t K (7) Παρατηρσεις:. Στα προβλµατα µέσης λξης όταν η προεξόφληση είναι εξωτερικ, η µέση λξη είναι ανεξάρτητη του επιτοκίου. 2. Αν Κ =Κ 2 =...=Κ τότε ο τύπος (7) γίνεται ως εξς: t +... +t t = 3. Αν η προεξόφληση είναι εξωτερικ, τότε στα προβλµατα που αφορούν τη µέση λξη, η µέση λξη είναι ανεξάρτητη από την ηµεροµηνία που ορίζεται ως εποχ ισοδυναµίας. 4.5 Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων ισοδύναµων συναλλαγµατικών Για την επίλυση προβληµάτων ισοδύναµων γραµµατίων υπάρχει µία γενικ µεθοδολογία που µπορεί να βρει εφαρµογ στα προβλµατα όπου η προεξόφληση είναι εξωτερικ. Τα βµατα είναι τα εξς: Βµα ο:αρχικά γίνεται έλεγχος αν το δοθέν πρόβληµα είναι πρόβληµα µέσης λξης. Στην περίπτωση αυτ για τη λύση του προβλµατος εφαρµόζεται ο παρακάτω τύπος: t = K t +... + K t K Βµα 2ο:Στην περίπτωση όπου το πρόβληµα δεν είναι πρόβληµα µέσης λξης δεν µπορεί να πιστοποιηθεί αυτό, τότε για τη λύση του προβλµατος πρέπει να δηµιουργηθεί το αντίστοιχο χρονοδιάγραµµα που προκύπτει από την άσκηση και από εκεί εντοπίζεται και η εποχ ισοδυναµίας του προβλµατος. Εν συνεχεία ανάλογα εφαρµόζεται για τη λύση ένας από τους παρακάτω τύπους: ) Εποχ ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού (l=0). K t Κ t K =Κ +... + K K t 2) Εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη (l=t). 4

K = K ( t t) K ( t t) K +... + K 3) Εποχ ισοδυναµίας l ηµέρες από σµερα. ( t l) K ( t l) K ( t l) K K = K +... + K 4.6 Υπολογισµός του ενιαίου γραµµατίου και του χρόνου λξης του στα ισοδύναµα γραµµάτια µε τη χρση Excel Σε όλα τα παραδείγµατα η προεξόφληση είναι εξωτερικ. 4.6. Εποχ ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού Υπολογισµός του ενιαίου γραµµατίου και του χρόνου λξης του. Εποχ Ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού - Υπολογισµός της ονοµαστικς αξίας του ενιαίου γραµµατίου. Έστω ότι υπάρχει µία σειρά γραµµατίων µε ονοµαστικές αξίες 2000, 500, 3500, 2000, 25000 ευρώ τα οποία λγουν µετά από 20, 25, 35, 60 και 45 ηµέρες αντίστοιχα. Τα συγκεκριµένα γραµµάτια αντικαθίστανται από ένα ενιαίο γραµµάτιο που λγει µετά από 35 ηµέρες. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 3% και εποχ ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού να βρεθεί η ονοµαστικ αξία του ενιαίου γραµµατίου (το έτος είναι µικτό). Στην πρώτη στλη είναι οι αξίες των σειρών γραµµατίων και στο τελευταίο κελί το σύνολο αυτών. Στη δεύτερη στλη είναι οι λξεις αυτών των γραµµατίων, στη τρίτη στλη το επιτόκιο προεξόφλησης, στη τέταρτη στλη η λξη του ενιαίου γραµµατίου. Στην πέµπτη στλη είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις µέρες που αποµένουν µέχρι την ηµεροµηνία λξεως τους και στην έκτη στλη είναι η ονοµαστικ αξία του ενιαίου γραµµατίου. Ο υπολογισµός γίνεται ως εξς: Στα κελιά Ε-Ε5 είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις ηµέρες µέχρι τη λξη τους µε τον τύπο A*B µε =,...,5 Στα κελιά Α6 και Ε6 είναι τα αθροίσµατα των κελιών Α-Α5 και Ε-Ε5 αντίστοιχα. 42

Η ονοµαστικ αξία του ενιαίου γραµµατίου στο κελί F6 υπολογίστηκε µε βάση τον παρακάτω τύπο: =(((360/C)*A6)-E6)/((360/C)-D) Εικόνα 3: Εποχ Ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού - Υπολογισµός της ονοµαστικς αξίας του ενιαίου γραµµατίου. Εποχ ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού - Υπολογισµό του αριθµού των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του Έστω ότι υπάρχει µία σειρά γραµµατίων µε ονοµαστικές αξίες 2000, 500, 3500, 2000, 25000 ευρώ τα οποία λγουν µετά από 20, 25, 35, 60 και 45 ηµέρες αντίστοιχα. Τα συγκεκριµένα γραµµάτια αντικαθίστανται από ένα ενιαίο γραµµάτιο ονοµαστικς αξίας 43957,79. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 3% και εποχ ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού να βρεθεί ο αριθµός των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του (το έτος είναι µικτό). Στην πρώτη στλη είναι οι αξίες των σειρών γραµµατίων και στο τελευταίο κελί το σύνολο αυτών. Στη δεύτερη στλη είναι οι λξεις αυτών των γραµµατίων, στη τρίτη στλη το επιτόκιο προεξόφλησης, στη τέταρτη στλη η ονοµαστικ αξία του ενιαίου γραµµατίου. Στην 43

πέµπτη στλη είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις µέρες που αποµένουν µέχρι την ηµεροµηνία λξεως τους και στην έκτη στλη είναι ο αριθµός των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του. Ο υπολογισµός γίνεται ως εξς: Στα κελιά Ε-Ε5 είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις ηµέρες µέχρι τη λξη τους µε τον τύπο A*B µε =,...,5 Στα κελιά Α6 και Ε6 είναι τα αθροίσµατα των κελιών Α-Α5 και Ε-Ε5 αντίστοιχα. Ο αριθµός των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του στο κελί F6 υπολογίστηκε µε βάση τον παρακάτω τύπο: =(((360/C)*(D-A6))+E6)/D Εικόνα 4: Εποχ ισοδυναµίας η ηµέρα υπολογισµού - Υπολογισµό του αριθµού των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του 4.6.2 Εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη Υπολογισµός του ενιαίου γραµµατίου και του χρόνου λξης του. Εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη Υπολογισµός της ονοµαστικς αξίας του ενιαίου γραµµατίου Έστω ότι υπάρχει µία σειρά γραµµατίων µε ονοµαστικές αξίες 2000, 500, 3500, 2000, 25000 ευρώ τα οποία λγουν µετά από 20, 25, 35, 60 και 45 ηµέρες αντίστοιχα. Τα 44

συγκεκριµένα γραµµάτια αντικαθίστανται από ένα ενιαίο γραµµάτιο που λγει µετά από 35 ηµέρες. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 3% και εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη να βρεθεί η ονοµαστικ αξία του ενιαίου γραµµατίου (το έτος είναι µικτό). Στη πρώτη στλη είναι οι αξίες των σειρών γραµµατίων και στο τελευταίο κελί το σύνολο αυτών. Στη δεύτερη στλη είναι οι λξεις αυτών των γραµµατίων, στη τρίτη στλη το επιτόκιο προεξόφλησης, στη τέταρτη στλη η λξη του ενιαίου γραµµατίου. Στην πέµπτη στλη είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις µέρες που αποµένουν µέχρι την ηµεροµηνία λξεως τους και στην έκτη στλη είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις ηµέρες που έχουν οριστεί ως η κοιν λξη. Στην έβδοµη στλη είναι η ονοµαστικ αξία του γραµµατίου Ο υπολογισµός γίνεται ως εξς: Στα κελιά Ε-Ε5 είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις ηµέρες µέχρι τη λξη τους µε τον τύπο A*B µε =,...,5 Στα κελιά F-F5 είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τη κοιν λξη (35 ηµέρες) µε τον τύπο Α*$D$(το δολάριο είναι για να είναι σταθερό το κελί) Στα κελιά Α6, Ε6 και F6 είναι τα αθροίσµατα των κελιών Α-Α5, Ε-Ε5 και F-F5 αντίστοιχα. Η ονοµαστικ αξία του ενιαίου γραµµατίου στο κελί G6 υπολογίστηκε µε βάση τον παρακάτω τύπο: =A6-((E6-F6)/(360/C)) 45

Εικόνα 5: Εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη Υπολογισµός της ονοµαστικς αξίας του ενιαίου Εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη Υπολογισµός του αριθµού των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του Έστω ότι υπάρχει µία σειρά γραµµατίων µε ονοµαστικές αξίες 2000, 500, 3500, 2000, 25000 ευρώ τα οποία λγουν µετά από 20, 25, 35, 60 και 45 ηµέρες αντίστοιχα. Τα συγκεκριµένα γραµµάτια αντικαθίστανται από ένα ενιαίο γραµµάτιο ονοµαστικς αξίας 43957,92. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 3% και εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη να βρεθεί ο αριθµός των ηµερών του ενιαίου γραµµατίου µέχρι τη λξη του (το έτος είναι µικτό). Στην πρώτη στλη είναι οι αξίες των σειρών γραµµατίων και στο τελευταίο κελί το σύνολο αυτών. Στη δεύτερη στλη είναι οι λξεις αυτών των γραµµατίων, στη τρίτη στλη το επιτόκιο προεξόφλησης, στη τέταρτη στλη η ονοµαστικ αξία του γραµµατίου. Στην πέµπτη στλη είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις µέρες που αποµένουν µέχρι την ηµεροµηνία λξεως τους και στην έκτη στλη είναι η λξη του ενιαίου γραµµατίου. Ο υπολογισµός γίνεται ως εξς: Στα κελιά Ε-Ε5 είναι το γινόµενο των αξιών των γραµµατίων µε τις ηµέρες µέχρι τη λξη τους µε τον τύπο A*B µε =,...,5 Στα κελιά Α6 και Ε6 είναι τα αθροίσµατα των κελιών Α-Α5 και Ε-Ε5 αντίστοιχα. Η λξη του ενιαίου γραµµατίου στο κελί F6 υπολογίστηκε µε βάση τον παρακάτω τύπο: =(((360/C)*(D-A6))+E6)/A6. 46

Εικόνα 6: Εποχ ισοδυναµίας η κοιν λξη Υπολογισµός του αριθµού των ηµερών του ενιαίου 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο Ανατοκισµός 5. Βασικές έννοιες και τύποι στον ανατοκισµό Με τον όρο ανατοκισµό ονοµάζεται η διαδικασία τοκισµού χρηµάτων σύµφωνα µε την οποία ο δανειστς στο τέλος κάθε περιόδου δεν εισπράττει τον τόκο αλλά τον αφνει στο δανειζόµενο και γίνεται κεφάλαιο. Αυτ η διαδικασία οδηγεί εκτός από τον τόκο του αρχικού κεφαλαίου να δηµιουργείται και τόκος για τον τόκο του αρχικού κεφαλαίου. Το ίδιο γίνεται και για τις επόµενες χρονικές περιόδους τοκισµού. Ο ανατοκισµός επειδ διαρκεί περισσότερο από ένα έτος, συγκαταλέγεται στις µακροπρόθεσµες οικονοµικές πράξεις. Ο ανατοκισµός επιτρέπεται σε ορισµένες περιπτώσεις όπως για παράδειγµα σε καταθέσεις ταµιευτηρίου, για περιορισµένο αριθµό ετών και γενικά µέσα στα πλαίσια του πνεύµατος αποταµίευσης των οικονοµιών των πολιτών. Ο ανατοκισµός µεγάλων χρηµατικών ποσών και για µεγάλα χρονικά διαστµατα δεν επιτρέπεται από το νόµο, καθώς µε αυτό τον τρόπο δύναται να παραχθούν τεράστια κεφάλαια που η αποπληρωµ τους θα ταν εξαιρετικά δύσκολη. Στα προβλµατα ανατοκισµού χρησιµοποιούνται οι παρακάτω συµβολισµοί: Κ 0 : Αρχικό Κεφάλαιο Κ : Τελικ αξία κεφαλαίου : Επιτόκιο ανατοκισµού : Αριθµός χρονικών περιόδων που ανατοκίζεται το αρχικό κεφάλαιο Κ 0. Οι βασικοί τύποι που εφαρµόζονται στον ανατοκισµό παρουσιάζονται παρακάτω µε τη µορφ προβληµάτων: Πρόβληµα ο: Αρχικό κεφάλαιο Κ ο τοκίζεται µε ανατοκισµό και ετσιο επιτόκιο για έτη. Να αποδειχτεί ότι η τελικ αξία αυτού Κ δίνεται από τον τύπο: 0 ( + ) K = K () Λύση: Η τελικ αξία του κεφαλαίου Κ στο τέλος του πρώτου έτους θα έχει ως εξς: Κ = K0 + K 0 = K 0 ( + ) 48

Η τελικ αξία του κεφαλαίου Κ 2 στο τέλος του δευτέρου έτους θα έχει ως εξς: ( +) = K ( +) ( +) = K ( + ) 2 Κ 2 =Κ +Κ = K 0 0 Με επαγωγ προκύπτει ότι η τελικ αξία του κεφαλαίου στο τέλος του έτους θα είναι: Κ = K Παρατρηση: Η εξίσωση που µόλις αποδείχτηκε 0 ( + ) Κ = K 0 ( + ), η οποία είναι και η θεµελιώδης εξίσωση του ανατοκισµού, έχει εφαρµογ όχι µόνο για περιπτώσεις όπου το επιτόκιο είναι ετσιο αλλά και σε άλλες περιπτώσεις. Η µόνη προϋπόθεση είναι να το να αποτελεί ακέραιο αριθµό χρονικών περιόδων του επιτοκίου. Πρόβληµα 2:Αρχικό κεφάλαιο Κ 0 ανατοκίζεται µε ετσιο επιτόκιο για έτη και µνες. Να αποδειχτεί ότι η τελικ αξία αυτού K + δίνεται από τον τύπο: 2 K = K 0 2 + 2 ( + ) + (2) Λύση:Από το προηγούµενο πρόβληµα είναι γνωστό ότι στο τέλος του έτους το αρχικό κεφάλαιο Κ 0 το οποίο ανατοκίζεται µε ετσιο επιτόκιο δίνει τελικ αξία ίση µε: Κ = K 0 ( + ) Στη συνέχεια το κεφάλαιο Κ τοκίζεται για µνες µε επιτόκιο και δίνει τόκο: Κ Ι = 2 Άρα η τελικ αξία του κεφαλαίου K + θα είναι ίση µε: 2 K Κ = K + I = K + = K + = K 0 2 2 2 + 2 ( + ) + Πρόβληµα 3ο:Αρχικό κεφάλαιο Κ 0 ανατοκίζεται µε ετσιο επιτόκιο για έτη και t ηµέρες. Να αποδειχθεί ότι η τελικ αξία αυτού Κ + δίνεται από το τύπο: t 360 t Κ = K 0 t 360 + 360 ( + ) + (3) 49

Λύση: Στο τέλος του έτους το αρχικό κεφάλαιο Κ 0 το οποίο ανατοκίζεται µε ετσιο επιτόκιο δίνει τελικ αξία: Κ = K 0 ( + ) K t Στη συνέχεια το κεφάλαιο Κ τοκίζεται για t ηµέρες µε επιτόκιο και δίνει τόκο I = 360.Άρα η τελικ αξία του κεφαλαίου θα είναι η εξς: K t t t Κ = K + I = K + = K + = K 0 t 360 360 360 + 360 ( + ) + 5.2 Εύρεση του αρχικού κεφαλαίου Κ ο στον ανατοκισµό Λαµβάνοντας υπόψη τους τύπους (), (2), (3) της προηγούµενης παραγράφου προκύπτουν οι παρακάτω τύποι για την εύρεση του αρχικού κεφαλαίου Κ 0, όταν είναι γνωστές όλες οι άλλες µεταβλητές ποσότητες του προβλµατος του ανατοκισµού. K 0 = Κ = Κ 0, ( +) K + 2 2 ( +) + και K 0 = K t + 360 t 360 ( +) + Ένα παράδειγµα εφαρµογς των παραπάνω τύπων είναι το εξς: Κεφάλαιο ανατοκίζεται για 4 έτη και 3 µνες µε ετσιο επιτόκιο 7% και δίνει τελικ αξία 500 ευρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο. 50

Τα δεδοµένα της άσκησης είναι τα εξς: =4, =3, =0,07 και Κ = 500 και ζητείται το Κ 3 0. Η άσκηση είναι ουσιαστικά απλ 4+ 2 εφαρµογ του τύπου, έτσι προκύπτει το εξς αποτέλεσµα: Κ Κ 3 4+ 2 = 3 2 4 ( +ι) + ( + 0,07) 500 3 0,07 + 2 0 = = 4 374,80 5.3 Εύρεση του χρόνου στον ανατοκισµό Λογάριθµος Έστω α>0,α και θ>0. Τότε: log θ = x α α x = θ Ιδιότητες Λογαρίθµου Έστω α>0, α και θ>0 και k R. Τότε ισχύουν τα εξς:. logα( θ θ 2) = logαθ + logαθ2 θ 2. loga = log aθ logaθ2 θ 2 k 3. log θ = k log θ α α log 4. α αθ = θ Αν α=0, τότε ο λογάριθµος καλείται δεκαδικός και συµβολίζεται logθ. Ενώ αν το α=e,όπου e 2,78 τότε ο λογάριθµος καλείται φυσικός Νεπέρειος και συµβολίζεται µε lθ. 5

Μέθοδος της παρεµβολς Εικόνα 7:Μέθοδος της Παρεµβολς Έστω µία συνάρτηση y=f(x) και έστω ότι είναι γνωστά για την συγκεκριµένη συνάρτηση δύο σηµεία τα Α=(x,y ) και Β=(x 2, y 2 ). Αν δοθεί ένα σηµείο x του διαστµατος (x,x 2 ), τότε ζητείται να βρεθεί προσεγγιστικά η τιµ y =f(x ). Έστω η ευθεία ΑΒ. Η εξίσωση αυτς της ευθείας θα είναι η εξς: y y y y ( x ) 2 = x x2 x Άρα το y που θα αντιστοιχεί προσεγγιστικά στο x είναι: Επίσης από τη σχέση: έχουµε: y x 2 y x ( x' x ) 2 y' = y + y y = y y ( x ) 2 x x2 x 52

x x x x ( y ) 2 = y y2 y x 2 ( y y ) 2 x = x + y x y Η παραπάνω σχέση είναι χρσιµη όταν είναι γνωστ η τιµ y και ζητείται η x. Για να βρεθεί ο χρόνος,όταν οι άλλες µεταβλητές ποσότητες στον τύπο του ανατοκισµού είναι γνωστές υπάρχουν τρεις τρόποι: Με λογάριθµο Με χρση του τύπου της παρεµβολς Με απλ µέθοδο των τριών Για να γίνει κατανοητ η εφαρµογ των τριών τρόπων θα γίνει επίλυση ενός παραδείγµατος και µε τους τρεις τρόπους. Το παράδειγµα έχει ως εξς: Κεφάλαιο 00 ευρώ ανατοκίζεται µε ετσιο επιτόκιο 4% και δίνει τελικ αξία 20 ευρώ. Να βρεθεί ο χρόνος που ανατοκίστηκε το κεφάλαιο αυτό. Λύση: Τα δεδοµένα της άσκησης είναι τα εξς: Κ 0 =00, =0,04 και Κ =20 Άρα 0 ( + ) Κ = K 20=00*(+0,04) (+0,04) =,2 Για να υπολογιστεί το υπάρχουν οι τρεις τρόποι που προαναφέρθηκαν. Οι τρόποι αυτοί θα µας δώσουν τα εξς αποτελέσµατα: Με λογάριθµο Ισχύουν τα εξς: ( + 0,04) =,2 ( + 0,04) log,2 log = log,04= log,2 53

= log,2 log,04 0,0798246 = = 4,64 0,07033339 Με τη χρση του τύπου της παρεµβολς Εδώ θα πρέπει να υπολογιστούν αρχικά τα y,y 2. Λαµβάνοντας υπόψη τα δεδοµένα του παραδείγµατος προκύπτουν τα εξς: 4 5 ( + 0,04) =,698586και y = ( + 0,04),266529 y = 2 = το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι το εξς: x2 x 5 4 x = x + y y,266529,698586 2 ( y y ) = 4+ (,2,698586) = 4,644 Με την απλ µέθοδο των τριών Εδώ θα πρέπει να υπολογιστούν αρχικά τα y,y 2. Λαµβάνοντας υπόψη τα δεδοµένα του παραδείγµατος προκύπτουν τα εξς: 4 ( + 0,04) =,698586και y = ( + 0,04) 5 y = 2 =,266529 Η απλ µέθοδος των τριών εφαρµόζεται στο συγκεκριµένο παράδειγµα ως εξς: Στη διαφορά,266529-,698586=0,046800424 αντιστοιχεί διαφορά 5-4=. Στη διαφορά,2-,698586=0,03044 ποια διαφορά x αντιστοιχεί; Με δεδοµένη την παραπάνω απλ µέθοδο των τριών προκύπτει το παρακάτω αποτέλεσµα: 0,03044 x = = 0,644 0,046800424 Άρα ο ζητούµενος χρόνος ανατοκισµού είναι =4+0,644=4,644,άρα 4 έτη και 232 ηµέρες. 5.4 Εύρεση του επιτοκίου στον ανατοκισµό Για να βρεθεί το επιτόκιο, όταν οι άλλες µεταβλητές ποσότητες στον τύπο του ανατοκισµού είναι γνωστές υπάρχουν τρεις τρόποι: Με λογάριθµο Με χρση του τύπου της παρεµβολς Με απλ µέθοδο των τριών Για να γίνει κατανοητ η εφαρµογ των τριών τρόπων θα γίνει επίλυση ενός παραδείγµατος και µε τους τρεις τρόπους. Το παράδειγµα έχει ως εξς: 54

Κεφάλαιο 00 ευρώ ανατοκίζεται για 5 έτη και δίνει τελικ αξία 25 ευρώ. Να βρεθεί το ετσιο επιτόκιο ανατοκισµού. Λύση: Τα δεδοµένα της άσκησης είναι τα εξς: Κ 0 =00, =5 και Κ 5 =25 Άρα = K ( + ) 5 Κ 5 0 25=00*(+)5 (+) 5 =,25 Για να υπολογιστεί το υπάρχουν οι τρεις τρόποι που προαναφέρθηκαν. Οι τρόποι αυτοί θα µας δώσουν τα εξς αποτελέσµατα: Με λογάριθµο Ισχύουν τα εξς: ( + ) 5 =,25 log ( + ) 5 = log,25 ( +) log,25 5 log = ( + ) log = log,25 5 ( + ) 0,09382002 log = + =,0456396 = 0,0456396 Με τη χρση του τύπου της παρεµβολς Εδώ θα πρέπει να υπολογιστούν αρχικά τα y,y 2. Λαµβάνοντας υπόψη τα δεδοµένα του παραδείγµατος προκύπτουν τα εξς: 5 5 ( + 0,045) =,24689και y = ( + 0,05),276286 y = 2 = το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι το εξς: x2 x 0,05 0,045 x = x + y y,276286,24689 2 ( y y ) = 0,045+ (,25,24689) = 0,0456342 55

Με την απλ µέθοδο των τριών Εδώ θα πρέπει να υπολογιστούν αρχικά τα y,y 2. Λαµβάνοντας υπόψη τα δεδοµένα του παραδείγµατος προκύπτουν τα εξς: 5 5 ( + 0,045) =,24689καιy = ( + 0,05),276286 y = 2 = Η απλ µέθοδος των τριών εφαρµόζεται στο συγκεκριµένο παράδειγµα ως εξς: Στη διαφορά,276286-,24689=0,03009962 αντιστοιχεί διαφορά επιτοκίων 0,05-0,045=0,005. Στη διαφορά,25-,24689= 0,0038806 ποια διαφορά x αντιστοιχεί; Με δεδοµένη την παραπάνω απλ µέθοδο των τριών προκύπτει το παρακάτω αποτέλεσµα: 0,0038806 x = 0,005 = 0,000634237 0,03009962 Άρα το ζητούµενο επιτόκιο είναι =0,045+0,000634237=0,0456342 5.5 Ανάλογα και ισοδύναµα επιτόκια Ανάλογα επιτόκια ύο επιτόκια, 2 στα οποία αντιστοιχούν διαφορετικές χρονικές περίοδοι ανατοκισµού t,t 2 καλούνται ανάλογα όταν ο λόγος των επιτοκίων, 2 είναι ίδιος µε το λόγο των αντίστοιχων t χρονικών περιόδων τοκισµού που αντιστοιχούν στα δύο αυτά επιτόκια. Άρα =. t Ισοδύναµα επιτόκια ύο επιτόκια, 2 στα οποία αντιστοιχούν διαφορετικές χρονικές περίοδοι ανατοκισµού καλούνται ισοδύναµα όταν δίνουν την ίδια τελικ αξία σε ένα κεφάλαιο που θα ανατοκισθεί µε τα δύο αυτά διαφορετικά επιτόκια για το ίδιο χρονικό διάστηµα. Οι βασικοί τύποι που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό στα ισοδύναµα επιτόκια θα παρουσιαστούν µε τη µορφ προβληµάτων: Πρόβληµα: Έστω ότι και λ δύο ισοδύναµα επιτόκια και έστω ότι η χρονικ περίοδος ανατοκισµού του επιτοκίου λ χωράει λ φορές στη χρονικ περίοδο ανατοκισµού του επιτοκίου. Τότε η σχέση που συνδέει τα επιτόκια και λ είναι: ( ) λ + = + λ Λύση: Έστω ότι κεφάλαιο ευρώ ανατοκίζεται για µία χρονικ περίοδο ανατοκισµού του µε επιτόκιο. Τότε η τελικ αξία αυτού του κεφαλαίου θα είναι: ( + ) = + Κ = 56 2 2

Για το ίδιο χρονικό διάστηµα (µία χρονικ περίοδο ανατοκισµού του ) το κεφάλαιο ευρώ ανατοκιζόµενο µε το επιτόκιο λ δίνει τελικ αξία: λ λ ( + ) = ( + ) λ Κ = Με βάση την αρχικ υπόθεση τα επιτόκια, λ είναι ισοδύναµα. Άρα: λ Κ =Κ λ +=(+ λ ) λ Ο δείκτης λ του τύπου φανερώνει το είδος του επιτοκίου, ενώ ο εκθέτης λ το πόσες φορές γίνεται ο ανατοκισµός µε επιτόκιο λ µέσα σε αυτ τη χρονικ περίοδο. Πρόβληµα: Κεφάλαιο K 0 ανατοκίζεται µε ετσιο επιτόκιο για έτη και µνες. Να αποδειχτεί ότι η τελικ αξία αυτού δίνεται από το τύπο: Κ + = K 2 0 (3) + ( + ) 2 Η παραπάνω εξίσωση είναι ο δεύτερος τρόπος υπολογισµού της τελικς αξίας ενός κεφαλαίου που ανατοκίζεται για έτη και µνες και ονοµάζεται εκθετικ συνθκη Λύση: Έστω λ το ισοδύναµο µηνιαίο επιτόκιο του ετσιου επιτοκίου. Τότε +=(+ λ ) 2. Άρα + λ =(+) /2. Επίσης η τελικ αξία του κεφαλαίου K 0 όταν αυτό ανατοκισθεί µε το µηνιαίο επιτόκιο λ είναι: Άρα προκύπτει το εξς: Κ + = K 2 0 λ 2+ ( + ) λ Κ + 2 = K 0 ( + ) 2 2+ K = K 0 2 + 2+ + ( +) 2 = K 0 ( +) 2 57

5.6 Προεξόφληση στον ανατοκισµό Στην προεξόφληση µε ανατοκισµό χρησιµοποιούνται οι παρακάτω συµβολισµοί: Κ :Ονοµαστικ αξία συναλλαγµατικς K 0 : Πραγµατικ αξία συναλλαγµατικς : Επιτόκιο προεξόφλησης : Αριθµός χρονικών περιόδων ανατοκισµού πριν από τη λξη της συναλλαγµατικς Παράδειγµα: Έστω ότι υπάρχει µία συναλλαγµατικ ονοµαστικς αξίας Κ η οποία προεξοφλείται µε επιτόκιο ανατοκισµού, χρονικές περιόδους ανατοκισµού του πριν από τη λξη της. Να βρεθούν η πραγµατικ αξία αυτς και το προεξόφληµα. Λύση: Έστω Κ 0 η ονοµαστικ αξία της συναλλαγµατικς. Τότε: Άρα: Το προεξόφληµα θα είναι ίσο µε: ( ) = K Κ + 0 Κ 0 = Κ ( +) Ε =Κ K 0 = K K ( + ) Παρατρηση: Όταν είναι γνωστ µόνο η παρούσα αξία Κ 0 της συναλλαγµατικς, τότε το προεξόφληµα Ε δίνεται από το τύπο: Ε =Κ ( + ) 0 K 0 = K 0 K 5.7 Οικονοµικ ισοδυναµία Η οικονοµικ ισοδυναµία προκύπτει από την ανάγκη τα αντικαθιστάµενα γραµµάτια να είναι οικονοµικώς ισοδύναµα µε αυτά που τα αντικαθιστούν. Για να επιτευχθεί αυτό πρέπει, το άθροισµα των παρουσών αξιών των αντικαθιστάµενων γραµµατίων να ισούται µε το άθροισµα των παρουσών αξιών των νέων γραµµατίων, σε ορισµένη χρονικ στιγµ και µε το ίδιο επιτόκιο. Αν η εποχ ισοδυναµίας είναι η χρονικ στιγµ l περιόδους ανατοκισµού από σµερα και το επιτόκιο προεξόφλησης ανατοκισµού, τότε ισχύει ότι : 58

Κ = Κ +... + ( +) ( +) ( +) Όπου Κ,K 2,,K οι ονοµαστικές αξίες των συναλλαγµατικών,, 2,... οι χρονικές περίοδοι ανατοκισµού και Κ η νέα συναλλαγµατικ. Κ 5.8 Άλλα είδη ανατοκισµού Περιοδικός ανατοκισµός Όταν ο ανατοκισµός γίνεται σε χρονικ περίοδο k διαφορετικ του έτους, δηλαδ κάθε εξάµηνο τρίµηνο κλπ και το επιτόκιο που δίνεται είναι ετσιο, τότε για να υπολογίσουµε την τελικ αξία ενός κεφαλαίου που ανατοκίζεται k φορές µέσα στο έτος, για συνεχ έτη, χρησιµοποιείται το ισοδύναµο επιτόκιο ανάλογο επιτόκιο, το /k. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο ανατοκισµός καλείται περιοδικός. Από τη θεµελιώδη εξίσωση του ανατοκισµού ένα αρχικό κεφάλαιο Κ 0 ανατοκίζεται *k φορές στα έτη µε επιτόκιο /k και δίνει τελικ αξία: Κ k = K 0 + k k Συνεχς ανατοκισµός Ο συνεχς ανατοκισµός συναντάται όταν ένα αρχικό κεφάλαιο Κ 0 ανατοκίζεται διαρκώς µέσα στο έτος για έτη και µε ετσιο επιτόκιο, δηλαδ όταν οι ποσότητες Κ 0, και παραµένουν σταθερές και k +. Στην περίπτωση αυτ η τελικ αξία K T του ανατοκιζόµενου κεφαλαίου είναι: Αν τεθεί KT = K 0 l + k + k =,τότε k=*, + άρα η τελικ αξία θα έχει ως εξς: k k K T = K 0 l + + To όριο l + = eµε το e να είναι περίπου ίσο µε 2,78288(είναι άρρητος αριθµός). + Με βάση αυτό ο τύπος µετασχηµατίζεται ως εξς: Κ Τ =Κ e 0 59

Στην περίπτωση του περιοδικού και του συνεχούς ανατοκισµού υπάρχει και η έννοια του ενεργού επιτοκίου e. Το ενεργό επιτόκιο είναι εκείνο το επιτόκιο το οποίο αν εφαρµοστεί η θεµελιώδης εξίσωση του ανατοκισµού θα δώσει τόκο ίσο µε αυτόν που θα έδιδε αν ο ανατοκισµός γινόταν πολλές φορές µέσα στο έτος. Με άλλα λόγια, στην περίπτωση όπου ο ανατοκισµός ενός κεφαλαίου Κ 0 γίνεται ετησίως µε επιτόκιο,τότε το ενεργό επιτόκιο είναι ίσο µε το ετσιο ονοµαστικό, άρα = e. Σε αυτ την περίπτωση που το κεφάλαιο ανατοκίζεται περισσότερες φορές από µία φορά µέσα σε ένα έτος, όπως συµβαίνει στις περιπτώσεις του περιοδικού και του συνεχούς ανατοκισµού, θα ισχύει ότι > e. Τότε για τον υπολογισµό του ενεργού επιτοκίου θα ισχύουν τα εξς: Με περιοδικό ανατοκισµό Κ k = K ( + ) 0 e = K 0 + k k ( + ) e = + k + e = + k e = + k k k k Με συνεχ ανατοκισµό Κ T = K 0 ( + ) = K e e 0 ( + ) = e e + e = e = e e 60

5.9 Υπολογισµός της τελικς αξίας, του χρόνου και του επιτοκίου στον ανατοκισµό µε τη χρση Excel Υπολογισµός της τελικς αξίας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ Έστω ότι υπάρχει ένα αρχικό κεφάλαιο 2000 ευρώ µε το συνολικό χρονικό διάστηµα να είναι τέσσερα έτη, το ετσιο επιτόκιο είναι 6% και ζητείται να βρεθεί η τελικ αξία. Στην πρώτη στλη είναι το αρχικό κεφάλαιο, στη δεύτερη ο αριθµός των ετών, στην τρίτη το ετσιο επιτόκιο ανατοκισµού και στην τέταρτη η τελικ αξία. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας στο κελί D έγινε µε τη χρση του παρακάτω τύπου: =Α*((+C)^B) Εικόνα 8:Υπολογισµός της τελικς αξίας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ και το επιτόκιο Υπολογισµός της τελικς αξίας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη και εξάµηνα και το επιτόκιο είναι ετσιο Έστω ότι υπάρχει ένα αρχικό κεφάλαιο 2000 ευρώ µε το συνολικό χρονικό διάστηµα να είναι τέσσερα έτη και έξι µνες, το ετσιο επιτόκιο είναι 6% και ζητείται να βρεθεί η τελικ αξία. 6

Στην πρώτη στλη είναι το αρχικό κεφάλαιο, στη δεύτερη ο αριθµός των ετών, στην τρίτη το ετσιο επιτόκιο ανατοκισµού και στην τέταρτη στλη ο αριθµός των µηνών. Στην τελευταία στλη είναι η τελικ αξία που προκύπτει µετά τους υπολογισµούς. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας στο κελί Ε έγινε µε τη χρση του παρακάτω τύπου: =A*((+C)^B)*(+(D*B)/2) Εικόνα 68: Υπολογισµός της τελικς αξίας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη και εξάµηνα και το επιτόκιο Υπολογισµός της τελικς αξίας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη και ηµέρες και το επιτόκιο είναι ετσιο Έστω ότι υπάρχει ένα αρχικό κεφάλαιο 2000 ευρώ µε το συνολικό χρονικό διάστηµα να είναι τέσσερα έτη και πενντα πέντε ηµέρες, το ετσιο επιτόκιο είναι 6% και ζητείται να βρεθεί η τελικ αξία. Στην πρώτη στλη είναι το αρχικό κεφάλαιο, στη δεύτερη ο αριθµός των ετών, στην τρίτη το ετσιο επιτόκιο ανατοκισµού και στην τέταρτη στλη ο αριθµός των ηµερών. Στην τελευταία στλη είναι η τελικ αξία που προκύπτει µετά τους υπολογισµούς. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας στο κελί Ε έγινε µε τη χρση του παρακάτω τύπου: =A*((+C)^B)*(+(D*C)/360) 62

Εικόνα 20: Υπολογισµός της τελικς αξίας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη και ηµέρες και το επιτόκιο Υπολογισµός του χρόνου στον ανατοκισµό όταν δίνονται το αρχικό κεφάλαιο, το ετσιο επιτόκιο και η τελικ αξία του κεφαλαίου Έστω ότι υπάρχει ένα αρχικό κεφάλαιο 2000 ευρώ και η τελικ αξία του ανατοκισµού είναι 3000 ευρώ µε ετσιο επιτόκιο 6%. Να βρεθεί ο χρόνος που πρέπει να ανατοκιστεί το αρχικό κεφάλαιο µε ετσιο επιτόκιο 6% Στην πρώτη στλη είναι το αρχικό κεφάλαιο, στη δεύτερη στλη η τελικ αξία του ανατοκισµού. Στην τρίτη στλη είναι το ετσιο επιτόκιο που είναι 0,06 και στην τέταρτη στλη είναι το χρονικό διάστηµα που πρέπει να ανατοκιστεί το αρχικό κεφάλαιο Ο υπολογισµός του χρόνου του ανατοκισµού στο κελί D έγινε µε τη χρση του παρακάτω τύπου: =LOG(B/A;0)/LOG(+C;0) 63

Εικόνα 2: Υπολογισµός του χρόνου στον ανατοκισµό όταν δίνονται το αρχικό κεφάλαιο, το ετσιο Υπολογισµός του επιτοκίου στον ανατοκισµό όταν δίνονται το αρχικό κεφάλαιο, ο αριθµός των ετών ανατοκισµού και η τελικ αξία του κεφαλαίου Έστω ότι υπάρχει ένα αρχικό κεφάλαιο 2000 ευρώ και η τελικ αξία του ανατοκισµού είναι 3000. Ο αριθµός των ετών που γίνεται ο ανατοκισµός είναι τέσσερα έτη. Να βρεθεί το επιτόκιο στον ανατοκισµό. Στην πρώτη στλη είναι το αρχικό κεφάλαιο, στη δεύτερη στλη η τελικ αξία του ανατοκισµού. Στην τρίτη στλη είναι ο αριθµός των ετών που γίνεται ο ανατοκισµός (τέσσερα έτη). Στην τέταρτη στλη είναι το επιτόκιο του ανατοκισµού Ο υπολογισµός του επιτοκίου ανατοκισµού στο κελί D έγινε µε τη χρση του παρακάτω τύπου: =EXP(LN(B/A)/C)- 64

Εικόνα 22: Υπολογισµός του επιτοκίου στον ανατοκισµό όταν δίνονται το αρχικό κεφάλαιο, ο 65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο Ράντες 6. Βασικές έννοιες στις Ράντες Στο προηγούµενο κεφάλαιο του ανατοκισµού, το κυριότερο πρόβληµα είναι ο υπολογισµός της τελικς αξίας ενός αρχικού κεφαλαίου, που τοποθετείται µε το σύστηµα του ανατοκισµού για ένα αριθµό χρονικών περιόδων. Υπάρχουν όµως και οι περιπτώσεις των µακροπρόθεσµων οικονοµικών πράξεων, όπου µε το σύστηµα του ανατοκισµού επιδιώκεται µε περιοδικές χρονικά καταβολές η δηµιουργία ενός µεγάλου κεφαλαίου η αποπληρωµ ενός δανείου. Αν δηλαδ για τη δηµιουργία ενός µεγάλου κεφαλαίου για την αποπληρωµ ενός δανείου καταβάλλονται ανά ίσα χρονικά διαστµατα διάφορα ποσά (καταθέσεις δόσεις) ίσα άνισα µεταξύ τους, τότε τα ποσά αυτά αποτελούν µια ράντα. Χρσιµοι ορισµοί: Ράντα καλείται µια σειρά (ακολουθία) χρηµατικών κεφαλαίων, τα οποία καταβάλλονται λγουν ανά ίσα χρονικά διαστµατα και στα οποία ισχύει ο ανατοκισµός. Τα χαρακτηριστικά της ράντας είναι τα ακόλουθα: Όρος δόση: το ποσό χρηµατικού κεφαλαίου που καταβάλλεται κάθε φορά. Περίοδος ράντας: ο χρόνος µεταξύ δύο καταβολών. Ληξιπρόθεσµη ράντα: η ράντα της οποίας το ποσό καταβάλλεται στο τέλος της περιόδου. Προκαταβλητέα ράντα: η ράντα της οποίας το ποσό καταβάλλεται στην αρχ της περιόδου. Ακέραια ράντα: η ράντα της οποίας ο αριθµός των όρων είναι ίσος µε τον αριθµό των περιόδων της. Κλασµατικ ράντα: η ράντα της οποίας ο όρος διαιρείται σε ρ ίσα τµµατα και κάθε ένα από αυτά καταβάλλεται ρ φορές εντός της ακέραιης περιόδου. Σταθερ ράντα: η ράντα της οποίας οι όροι είναι ίσοι. Μεταβλητ ράντα: η ράντα της οποίας οι όροι (δόσεις) είναι άνισοι. Αρχ της ράντας: η ηµεροµηνία που αρχίζει η πρώτη περίοδος. Εποµένως αρχ της ληξιπρόθεσµης ράντας είναι η χρονικ στιγµ που βρίσκεται µια ολόκληρη περίοδο µπροστά από το χρονικό σηµείο που καταβάλλεται ο πρώτος όρος της. Επίσης αρχ 66

της προκαταβλητέας ράντας είναι η χρονικ στιγµ που συµπίπτει µε την καταβολ του πρώτου όρου της. Τέλος λξη της ράντας: η ηµεροµηνία που τελειώνει η τελευταία περίοδος. Εποµένως τέλος της ληξιπρόθεσµης ράντας είναι η χρονικ στιγµ που συµπίπτει µε την καταβολ του τελευταίου όρου της. Επίσης τέλος της προκαταβλητέας ράντας είναι η χρονικ στιγµ που βρίσκεται µια ολόκληρη περίοδο µετά από το χρονικό σηµείο που καταβάλλεται ο τελευταίος όρος της. ιάρκεια της ράντας: το χρονικό διάστηµα από την αρχ µέχρι τη λξη της. Τα βασικά προβλµατα των ραντών είναι ο υπολογισµός της αξίας όλων των όρων της ράντας σε µια δεδοµένη χρονικ στιγµ ο υπολογισµός του όρου µιας ράντας που γνωρίζουµε την αξία της στο στην αρχ στη λξη της. Στην επίλυση αυτών των προβληµάτων οι όροι που χρησιµοποιούνται είναι οι ακόλουθοι: Παρούσα αξία της ράντας: το ποσό που είναι ίσο µε την αξία όλων των όρων της σε µια ορισµένη χρονικ στιγµ, µε βάση την αρχ της ισοδυναµίας. Αρχικ αξία της ράντας: το ποσό που είναι ίσο µε την αξία όλων των όρων της στην αρχ της, µε βάση την αρχ της ισοδυναµίας. Μέλλουσα Τελικ αξία της ράντας: το ποσό που είναι ίσο µε την αξία όλων των όρων της στην λξη της, µε βάση την αρχ της ισοδυναµίας. 6.2 Βασικές κατηγορίες ραντών Οι βασικές κατηγορίες ραντών είναι: Σταθερές-Μεταβλητές Σταθερ είναι η ράντα στην οποία όλοι οι όροι είναι ίσοι µεταξύ τους. Μεταβλητ είναι η ράντα στην οποία υπάρχουν όροι που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους Ληξιπρόθεσµες-Προκαταβλητέες Ληξιπρόθεσµη είναι η ράντα στην οποία κάθε όρος της καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου. Προκαταβλητέα είναι η ράντα στην οποία κάθε όρος της καταβάλλεται στην αρχ κάθε περιόδου. Πρόσκαιρες- ιηνεκείς Πρόσκαιρη είναι η ράντα στην οποία το πλθος των όρων της είναι πεπερασµένο. 67

ιηνεκς είναι η ράντα στην οποία το πλθος των όρων της είναι άπειρο. Άµεσες-Μέλλουσες-Αρξάµενες Άµεση είναι η ράντα στην οποία ο πρώτος όρος καταβάλλεται στην πρώτη περίοδο της ράντας. Μέλλουσα είναι η ράντα στην οποία ο πρώτος όρος καταβάλλεται µετά από ορισµένες περιόδους της ράντας. Αρξάµενη είναι η ράντα κατά την οποία ο πρώτος όρος καταβάλλεται πριν από ορισµένες περιόδους της ράντας. Ακέραιες-Κλασµατικές Ακέραια είναι η ράντα στην οποία η περίοδος ανατοκισµού συµπίπτει µε την περίοδο της ράντας. Κλασµατικ είναι η ράντα που δεν είναι ακέραια. Βέβαιες-Ακέραιες Βέβαια είναι η ράντα στην οποία η καταβολ των όρων δεν εξαρτάται από την πραγµατοποίηση µη κάποιου γεγονότος. Τυχαία είναι η ράντα στην οποία η καταβολ των όρων εξαρτάται από την πραγµατοποίηση µη κάποιου γεγονότος. 6.3 Τρόποι εύρεσης της αρχικς και της τελικς αξίας ειδικών περιπτώσεων ραντών Ράντα, σταθερ, ακέραια, πρόσκαιρη, ληξιπρόθεσµη και άµεση Έστω το επιτόκιο ανατοκισµού. Αν καταβάλει κάποιος για συνεχείς χρονικές περιόδους του επιτοκίου στο τέλος κάθε περιόδου το ίδιο ποσό R, τότε να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της ράντας. Για να βρεθεί η αρχικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας αρκεί να βρεθεί µε ανατοκισµό η πραγµατικ αξία κάθε όρου της ράντας στην αρχ της και στη συνέχεια να προστεθούν όλες αυτές οι πραγµατικές αξίες. Η πραγµατικ αξία του πρώτου όρου είναι: Α = R + = R U, µε U = + 68

Η πραγµατικ αξία του δεύτερου όρου είναι:......... Α 2 = R ( + ) 2 = R U 2 Η πραγµατικ αξία του νιοστού όρου είναι: Άρα η αρχικ αξία της ράντας είναι: Α = R ( + ) = R U A= A + A 2 A= R +... + A 2 = R U + R U +... + R U 2 ( U +U +... +U ) U A = R U U U U A = R U = R U U U = R ( +) Για να βρεθεί η τελικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η τελικ αξία της ράντας αρκεί να βρεθεί µε ανατοκισµό η τελικ αξία κάθε όρου της ράντας στο τέλος της και στη συνέχεια να προστεθούν όλες αυτές οι τελικές αξίες. Η τελικ αξία του πρώτου όρου είναι: ( ) S = R 2 2 Η τελικ αξία του δεύτερου όρου είναι: ( )......... S + = R + Η τελικ αξία του νιοστού- όρου είναι: S = R ( + ) Η τελικ αξία του νιοστού όρου είναι: S =R 69

Άρα η τελικ αξία της ράντας είναι: S = S + S S = R 2 +... + S = R ( + ) +... + R ( + ) + R ( ( ) ( ) ) ( +) + + +... + + = R ( +) ( + ) S = R Ράντα, σταθερ, ακέραια, πρόσκαιρη, προκαταβλητέα και άµεση Έστω το επιτόκιο ανατοκισµού. Αν καταβάλει κάποιος για συνεχείς χρονικές περιόδους του επιτοκίου στην αρχ κάθε περιόδου το ίδιο ποσό R, τότε να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της ράντας. Για να βρεθεί η αρχικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας αρκεί να βρεθεί µε ανατοκισµό η πραγµατικ αξία κάθε όρου της ράντας στην αρχ της και στη συνέχεια να προστεθούν όλες αυτές οι πραγµατικές αξίες. Η πραγµατικ αξία του πρώτου όρου είναι: Α =R. Η πραγµατικ αξία του δεύτερου όρου είναι:......... A 2 = R ( +) R U Η πραγµατικ αξία του νιοστού όρου είναι: Άρα η αρχικ αξία της ράντας θα είναι: A = R ( +) = R U Α =Α +Α 2 Α = R +... + A = R + R U +... + R U ( +U +... +U ) U = R U 70

U U A = R = R + ( + ) Για να βρεθεί η τελικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η τελικ αξία της ράντας αρκεί να βρεθεί µε ανατοκισµό η τελικ αξία κάθε όρου της ράντας στο τέλος της και στη συνέχεια να προστεθούν όλες αυτές οι τελικές αξίες. Η τελικ αξία του πρώτου όρου είναι: S = R ( + ) Η τελικ αξία του δεύτερου όρου είναι: ( )......... S 2 = R Η τελικ αξία του νιοστού όρου είναι: ( ) Άρα η τελικ αξία της ράντας θα είναι: S = S + S 2 + S = R + ( + ) + R ( + ) +... + R ( + ) +... + S = R 2 ( + ) + ( + ) +... + ( + ) ) S = R ( + ) ( + ) ( + ) S = R ( + ) = R ( + ) Ράντα, σταθερ, ακέραια, πρόσκαιρη, ληξιπρόθεσµη και µέλλουσα Έστω το επιτόκιο ανατοκισµού. Αν καταβάλει κάποιος µετά από r χρονικές περιόδους του από σµερα, στο τέλος κάθε περιόδου και για συνεχείς χρονικές περιόδους του το ίδιο ποσό R, τότε να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της ράντας. Για να βρεθεί η αρχικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας πρέπει να βρεθεί η πραγµατικ αξία Α όλων των όρων της ράντας στο τέλος της r περιόδου και στη συνέχεια να βρεθεί η πραγµατικ αξία Α του Α στην αρχ της πρώτης περιόδου. 7

Άρα θα ισχύουν τα εξς: Α = R Συνεπώς θα προκύψει το εξς αποτέλεσµα: A U καιa = ( + ) r U Α = R ( + ) r U = R ( + ) r Η τελικ αξία της συγκεκριµένης ράντας θα είναι η εξς: S = R S = R ( + ) +... + R ( + ) + R [ ( ) ( ) ] ( + ) + + +... + + = R Ράντα, σταθερ, ακέραια, πρόσκαιρη, προκαταβλητέα και µέλλουσα Έστω το επιτόκιο ανατοκισµού. Αν καταβάλλει κάποιος µετά από r χρονικές περιόδους του από σµερα, για συνεχείς χρονικές περιόδους του και στην αρχικ κάθε περιόδου το ίδιο ποσό R, τότε να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της ράντας. Για να βρεθεί η αρχικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας πρέπει να βρεθεί η πραγµατικ αξία Α όλων των όρων της ράντας στο τέλος της r περιόδου και στη συνέχεια να βρεθεί η πραγµατικ αξία Α του Α στην αρχ της πρώτης περιόδου. Άρα θα ισχύουν τα εξς: Συνεπώς θα προκύψει το εξς αποτέλεσµα: Α U = R ( + ) και A = A ( + ) r U Α = R ( + ) ( + ) r U = R ( + ) r Η τελικ αξία της συγκεκριµένης ράντας θα είναι η εξς: S = R ( + ) +... + R ( + ) 72

S = R 2 [( ) ( ) ( ) ] ( + ) + + + +... + + = R ( + ) Ράντα, σταθερ, ακέραια, διηνεκς, ληξιπρόθεσµη και άµεση Έστω ότι δίνεται το επιτόκιο ανατοκισµού. Αν καταβάλει κάποιος συνεχώς στο τέλος κάθε χρονικς περιόδου του το ίδιο ποσό R, τότε να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας αυτς. Για να βρεθεί η αρχικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας αρκεί να βρεθεί µε ανατοκισµό η πραγµατικ αξία κάθε όρου της ράντας σµερα και στη συνέχεια να προστεθούν όλες αυτές οι πραγµατικές αξίες. Η πραγµατικ αξία του πρώτου όρου είναι: Α = R ( + ) = R U Η πραγµατικ αξία του δεύτερου όρου είναι :......... Α 2 = R ( + ) 2 = R U 2 Η πραγµατικ αξία του νιοστού όρου είναι :......... Άρα η αρχικ αξία της ράντας θα είναι: Α = R ( + ) = R U A = A + A 2 +... A +... A= R U + R U A = R 2 73 +... + R U 2 ( U +U +... +U +... ) +...

U A = R U = R + + A = R Η τελικ αξία της ράντας θα είναι S=+. O λόγος είναι ότι η παρούσα ράντα δεν είναι πεπερασµένης διάρκειας. Ράντα, σταθερ, ακέραια, διηνεκς, προκαταβλητέα και άµεση Έστω ότι δίνεται το επιτόκιο ανατοκισµού. Αν καταβάλει κάποιος συνέχεια και στην αρχ κάθε χρονικς περιόδου του το ίδιο ποσό R, τότε να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας αυτς. Για να βρεθεί η αρχικ αξία της συγκεκριµένης ράντας τα βµατα είναι τα εξς: Για να βρεθεί η αρχικ αξία της ράντας αρκεί να βρεθεί µε ανατοκισµό η πραγµατικ αξία κάθε όρου της ράντας σµερα και στη συνέχεια να προστεθούν όλες αυτές οι πραγµατικές αξίες. Η πραγµατικ αξία του πρώτου όρου είναι: Α = R Η πραγµατικ αξία του δεύτερου όρου είναι : A 2 = R + ( ) = R U 2......... Η πραγµατικ αξία του νιοστού όρου είναι :... Άρα η αρχικ αξία της ράντας θα είναι: A = R ( +) = R U A = A + A 2 +... A +... 74

A= R + R U + R U A = R 2 +... + R U 2 ( +U +U +... +U +... ) R A = = R U ( + ) Η τελικ αξία της ράντας θα είναι S=+. O λόγος είναι ότι η παρούσα ράντα δεν είναι πεπερασµένης διάρκειας. +... Κλασµατικές ράντες Έστω το επιτόκιο ανατοκισµού και έστω ότι υπάρχει µία ράντα τέτοια ώστε η περίοδος της να χωράει λ φορές στη χρονικ περίοδο του επιτοκίου. Τότε για την εύρεση της αρχικς και της τελικς αξίας αυτς αρκεί να βρεθεί το ισοδύναµο επιτόκιο λ του επιτοκίου που έχει χρονικ περίοδο ίση µε τη χρονικ περίοδο της ράντας. Αυτό γίνεται εφικτό µε τον παρακάτω τύπο: ( ) λ + = + λ λ = λ ( + ) Από εκεί και πέρα η διαδικασία που ακολουθείται για την εύρεση της αρχικς και της τελικς αξίας είναι η ίδια µε τις προηγούµενες περιπτώσεις. 6.4 Εύρεση του αριθµού των όρων µίας ράντας και τακτοποίηση αυτς και εύρεση του επιτοκίου στις ράντες Γενικά για τον υπολογισµό του αριθµού των όρων µίας ράντας µπορούν να εφαρµοστούν οι τρόποι επίλυσης που αναφέρθηκαν στον Ανατοκισµό. Οι τρόποι αυτοί είναι οι εξς:. Με λογάριθµο 2. Με χρση του τύπου της παρεµβολς 3. Με απλ µέθοδο των τριών 75

Ο αριθµός όµως σε κάθε περίπτωση πρέπει να είναι ακέραιος. Αν κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει τότε οι όροι της ράντας τακτοποιούνται (τροποποιούνται), κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο αριθµός να γίνει ακέραιος. Οι τρόποι τακτοποίησης είναι οι εξς: Εντοπίζεται το πόσο που θα πρέπει να κατατεθεί µέχρι - έτη (ίσο ποσό ανά έτος) και το υπόλοιπο ποσό που προκύπτει θα κατατεθεί στο τελευταίο έτος Εντοπίζεται µεταξύ ποιων ακέραιων αριθµών βρίσκεται το και ανάλογα αναπροσαρµόζεται το ποσό της ετσιας κατάθεσης. Για να υπολογιστεί το επιτόκιο σε µία ράντα αρκεί να χρησιµοποιηθεί ο τύπος της παρεµβολς η απλ µέθοδος των τριών όπως αυτ παρουσιάστηκε στον Ανατοκισµό. 6.5 Άλλες εφαρµογές των ραντών Απόσβεση πάγιων στοιχείων ενεργητικού µίας επιχείρησης Με την πάροδο του χρόνου, τα πάγια περιουσιακά στοιχεία (κτίρια, έπιπλα, µηχανµατα κλπ) µίας επιχείρησης υφίστανται φθορά και κατά συνέπεια επέρχεται µείωση της αρχικς τους αξίας. Η αξία της µείωσης των περιουσιακών στοιχείων των επιχειρσεων και οικονοµικών οργανισµών ονοµάζεται απόσβεση πάγιου ενεργητικού. Έστω ότι Α είναι η αρχικ αξία, η χρονικ διάρκεια ωφέλιµης ζως αυτού του στοιχείου, S η υπολειµµατικ αξία του, δηλαδ η αξία που θα έχει το στοιχείο αυτό µετά από έτη και η αξία προς απόσβεση του D=A-S, τότε το ποσό R της ετσιας απόσβεσης για το πάγιο αυτό στοιχείο δίνεται από τη σχέση: R ( + ) = A S R = ( A S) ( + ) Σύνθετη παραγωγικ διάρκεια πάγιων στοιχείων µίας επιχείρησης Η διάρκεια της ωφέλιµης ζως, των πάγιων περιουσιακών στοιχείων µιας επιχείρησης, όπως είναι φυσικό, δεν είναι πάντα η ίδια, για παράδειγµα άλλη είναι η φθορά που επέρχεται στα µηχανµατα καθηµερινς χρσης και σε αυτά που χρησιµοποιούνται σπανιότερα, καθώς και στις διάφορες κτιριακές εγκαταστάσεις της επιχείρησης. Σε τέτοιες περιπτώσεις, για να γίνει ο υπολογισµός της συνολικς αποσβεστέας αξίας των πάγιων περιουσιακών στοιχείων µίας 76

επιχείρησης οικονοµικού οργανισµού, πρέπει να υπολογιστεί η σύνθετη παραγωγικ διάρκεια πάγιων στοιχείων. Η χρονικ αυτ διάρκεια αποτελείται από το χρόνο εκείνο, τον οποίο χρειάζεται η αποσβεστέα αξία των πάγιων στοιχείων για να γίνει ίση µε τη συνολικ ετσια δαπάνη απόσβεσης αυτών. Έτσι αν R S είναι η συνολικ ετσια δαπάνη για την απόσβεση των πάγιων στοιχείων και R D η συνολικ αποσβεστέα αξία, τότε ισχύει: R S ( +) = R D Η σύνθετη παραγωγικ διάρκεια δίνεται από το της σχέσης. Προϋπολογισµός Κεφαλαίου- Κριτρια Επενδυτικών αποφάσεων Στον οικονοµικό τοµέα, οι επενδύσεις που κάνει σκοπεύει να κάνει µία επιχείρηση ένας φορέας, παίζουν σηµαντικότατο ρόλο όχι µόνο στην περαιτέρω ανάπτυξη τους αλλά και στη βιωσιµότητά και επέκταση του χρόνου αποδοτικς λειτουργίας τους. Ως εκ τούτου η λψη σηµαντικών επενδυτικών αποφάσεων σε µία επιχείρηση, όπου πρέπει να διατεθούν µεγάλα χρηµατικά ποσά µε κίνδυνο πολλές φορές η απόδοση της επένδυσης να είναι εις βάρος της επιχείρησης και να χαθεί έτσι το κεφάλαιο που επενδύθηκε, αποτελεί σοβαρό προβληµατισµό της διεύθυνσης της επιχείρησης. Η αξιολόγηση και η λψη επενδυτικών αποφάσεων στον επιχειρηµατικό τοµέα γίνεται µε βάσει τον προϋπολογισµό κεφαλαίου, δηλαδ πόσο αρχικό κεφάλαιο θα επενδυθεί και τι θα αποφέρει αυτό µελλοντικά στην επιχείρηση που αποφάσισε τη συγκεκριµένη επένδυση. Πολλές φορές υπάρχουν περισσότερες από µία επενδύσεις από τις οποίες µπορεί να επιλέξει µία επιχείρηση και πρέπει να επιλεγεί, όπως είναι φυσικό, εκείνη που θα είναι η πλέον συµφέρουσα. Υπάρχουν αρκετές µέθοδοι και κριτρια αξιολόγησης επενδύσεων. Τέτοιες µέθοδοι είναι η µέθοδος της καθαρς παρούσας αξίας (ΚΠΑ), η µέθοδος του εσωτερικού συντελεστ απόδοσης (ΕΣΑ) κ.α. Πιο συνηθισµένη µέθοδος είναι αυτ της καθαρς παρούσας αξίας. Η µέθοδος της καθαρς παρούσας αξίας στηρίζεται στον υπολογισµό του αθροίσµατος των πραγµατικών αξιών όλων των ταµειακών ροών που καταβάλλονται σε µία επένδυση. Ο τύπος µε τον οποίο υπολογίζεται η ΚΠΑ είναι ο εξς: Α Κ = Κ + Κ 2 +... + Κ 2 ( +) ( +) ( +) K 0 Το Κ 0 είναι το αρχικό κόστος της επένδυσης, Κ j,j=,2,, οι καθαρές ταµειακές ροές (έσοδα µείον έξοδα), το ισχύον επιτόκιο κόστους κεφαλαίου και είναι η χρονικ διάρκεια της επένδυσης. 77

Το κριτριο µε το οποίο αποφασίζεται η πραγµατοποίηση της επένδυσης είναι: Αν Α Κ >0, τότε η επένδυση είναι συµφέρουσα Αν Α Κ <0, τότε η επένδυση είναι µη συµφέρουσα και δεν πρέπει να πραγµατοποιηθεί. Σε περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες επιλογές επενδύσεων, αλλά πρέπει να επιλεγεί µόνο µία, επιλέγεται αυτ µε τη µεγαλύτερη καθαρ παρούσα αξία. 6.6 Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας στις ράντες µε τη χρση του Excel Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, άµεσης και ληξιπρόθεσµης ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Έστω ράντα µε σταθερό όρο 2000, µε χρόνο λξης τα τέσσερα χρόνια και µε ετσιο επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της δοσµένης ράντας µε δεδοµένο ότι πρόκειται για ληξιπρόθεσµη ράντα. Στην πρώτη στλη είναι ο σταθερός όρος της ράντας, στη δεύτερη στλη είναι οι ετσιες χρονικές περίοδοι, στην τρίτη στλη είναι το ετσιο επιτόκιο, στην τέταρτη στλη είναι η τελικ αξία και στην τελευταία στλη είναι η αρχικ αξία της ράντας. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας της ράντας στο κελί D έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*((((+C)^B)-)/C) Ο υπολογισµός της αρχικς αξίας της ράντας στο κελί Ε έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*((-(/(+C))^B)/C) 78

Εικόνα 23: Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, άµεσης και ληξιπρόθεσµης ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, άµεσης και προκαταβλητέας ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Έστω ράντα µε σταθερό όρο 2000, µε τέσσερις χρονικές περιόδους ανατοκισµού και µε ετσιο επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της δοσµένης ράντας µε δεδοµένο ότι πρόκειται για προκαταβλητέα ράντα. Στην πρώτη στλη είναι ο σταθερός όρος της ράντας, στη δεύτερη στλη είναι οι ετσιες χρονικές περίοδοι, στην τρίτη στλη είναι το ετσιο επιτόκιο, στην τέταρτη στλη είναι η τελικ αξία και στην τελευταία στλη είναι η αρχικ αξία της ράντας. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας της ράντας στο κελί D έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*((((+C)^B)-)/C)*(+C) Ο υπολογισµός της αρχικς αξίας της ράντας στο κελί Ε έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*((-(/(+C))^B)/C)*(+C) 79

Εικόνα 24: Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, άµεσης και προκαταβλητέας ράντας Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, µέλλουσας και ληξιπρόθεσµης ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Έστω ράντα µε σταθερό όρο 2000, η καταβολ του πρώτου όρου έγινε µετά από δύο χρονικές περιόδους, ο αριθµός των χρονικών περιόδων που έγιναν καταβολές είναι τέσσερις και µε επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της δοσµένης ράντας. Στην πρώτη στλη είναι ο σταθερός όρος της ράντας, στη δεύτερη στλη είναι ο αριθµός των ετσιων χρονικών περιόδων, στην τρίτη στλη το ετσιο επιτόκιο και στην τέταρτη στλη ο αριθµός των χρονικών περιόδων της µέλλουσας ράντας µέχρι την καταβολ του πρώτου όρου. Στην πέµπτη στλη είναι η τελικ αξία της ράντας και στην έκτη στλη η αρχικ αξία της. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας της ράντας στο κελί Ε έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*(((+C)^B-)/C) Ο υπολογισµός της αρχικς αξίας της ράντας στο κελί F έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*((-(/(+C))^B)/C)*((+C)^(-D)) 80

Εικόνα 25: Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, µέλλουσας και ληξιπρόθεσµης ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, µέλλουσας και προκαταβλητέας ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Έστω ράντα µε σταθερό όρο 2000, η καταβολ του πρώτου όρου έγινε µετά από δύο χρονικές περιόδους, ο αριθµός των χρονικών περιόδων που έγιναν καταβολές είναι τέσσερις και το επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η αρχικ και η τελικ αξία της δοσµένης ράντας. Στην πρώτη στλη είναι ο σταθερός όρος της ράντας, στη δεύτερη στλη είναι ο αριθµός των ετσιων χρονικών περιόδων, στην τρίτη στλη το ετσιο επιτόκιο και στην τέταρτη στλη ο αριθµός των χρονικών περιόδων της µέλλουσας ράντας µέχρι την καταβολ του πρώτου όρου. Στην πέµπτη στλη είναι η τελικ αξία της ράντας και στην έκτη στλη η αρχικ αξία της. Ο υπολογισµός της τελικς αξίας της ράντας στο κελί Ε έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A*((((+C)^B)-)/C)*(+C) Ο υπολογισµός της αρχικς αξίας της ράντας στο κελί F έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: 8

=A*((-(/(+C))^B)/C)*((+C)^(-D+)) Εικόνα 26: Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, µέλλουσας και προκαταβλητέας ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, διηνεκούς και ληξιπρόθεσµης ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Έστω ράντα µε σταθερό όρο 2000 και το επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η αρχικ αξία της διηνεκούς ράντας. Στην πρώτη στλη είναι ο σταθερός όρος της ράντας, στη δεύτερη στλη είναι το ετσιο επιτόκιο. Στην τρίτη στλη είναι η αρχικ αξία της διηνεκούς, σταθερς και ληξιπρόθεσµης ράντας. Ο υπολογισµός της αρχικς αξίας της ράντας στο κελί C έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =A/B 82

Εικόνα 27: Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, διηνεκούς και ληξιπρόθεσµης ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, διηνεκούς και προκαταβλητέας ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, εξαµηνιαίο κλπ. Έστω ράντα µε σταθερό όρο 2000 και το επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η αρχικ αξία της διηνεκούς προκαταβλητέας ράντας. Στην πρώτη στλη είναι ο σταθερός όρος της ράντας, στη δεύτερη στλη είναι το ετσιο επιτόκιο. Στην τρίτη στλη είναι η αρχικ αξία της διηνεκούς, σταθερς και προκαταβλητέας ράντας. Ο υπολογισµός της αρχικς αξίας της ράντας στο κελί C έγινε µε τη βοθεια του παρακάτω τύπου: =(A/B)*(+B) 83

Εικόνα 28: Υπολογισµός της τελικς και αρχικς αξίας σταθερς, διηνεκούς και προκαταβλητέας ράντας όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη, εξάµηνα κλπ. και το επιτόκιο είναι αντίστοιχα ετσιο, 84

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο άνεια 7. Βασικές έννοιες στα άνεια άνειο λέγεται κάθε χρηµατικό ποσό, το οποίο χορηγείται συνθως εντόκως σε φυσικό νοµικό πρόσωπο, µε σκοπό να επιστραφεί στο δανειστ σε ορισµένο χρόνο. Ο χρόνος που µεσολαβεί από την ηµέρα που συνάπτεται το δάνειο έως την ηµέρα που εξοφλείται λέγεται διάρκεια του δανείου. Τα δάνεια διακρίνονται σε βραχυπρόθεσµα και µακροπρόθεσµα. Βραχυπρόθεσµα ονοµάζονται τα δάνεια τα οποία έχουν διάρκεια αποπληρωµς µέχρι ένα έτος, ενώ µακροπρόθεσµα λέγονται τα δάνεια µε διάρκεια αποπληρωµς µεγαλύτερη του έτους. Σµερα τα πρόσωπα που διεξάγουν τη δραστηριότητα του δανεισµού είναι οι τράπεζες. Γενικά στο επιτόκιο που ζητάει µία τράπεζα για την παροχ ενός δανείου είναι αθροισµένα δύο πράγµατα, ο πληθωρισµός και το κέρδος της τράπεζας για το οποίο δεν υπάρχει κάποιος περιορισµός, εκτός από αυτόν του ανταγωνισµού. Ένα δάνειο περιγράφεται πλρως από τα παρακάτω µεγέθη: Το χρηµατικό ποσό Κ του δανείου. Τις χρονικές περιόδους που διαρκεί η αποπληρωµ του δανείου. Το επιτόκιο υπολογισµού των τόκων µε το οποίο ο δανειστς δίνει τα χρµατα του στο δανειζόµενο. Τη δόση R της ράντας που αποπληρώνει το δάνειο. Γενικά τα µεγέθη Κ,, προκύπτουν ύστερα από συµφωνία των δύο µερών, του δανειστ και του δανειολπτη. Το µέγεθος της δόσης R δίνεται εξισώνοντας την αξία της ράντας µε όρους και επιτόκιο µε το ποσό του δανείου Κ. Με άλλα λόγια η δόση R θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε το αρχικό ποσό του δανείου Κ να ισούται µε την αρχικ αξία της ράντας µε δόση R, όρους και επιτόκιο, δηλαδ: R A = K 85 K R = A Το παραπάνω ποσό είναι η εκάστοτε δόση του δανείου.

7.2 Αποπληρωµ ενός δανείου Έστω δάνειο µεγέθους Κ το οποίο δόθηκε µε επιτόκιο και απαιτείται η αποπληρωµ του σε περιόδους. Για να είναι πιο απλό παράδειγµα ας υπάρχει η υπόθεση ότι η περίοδος υπολογισµού επιτοκίου είναι η ίδια µε την περίοδο καταβολς δόσεων και έστω R η δόση της ράντας. Κάθε δόση αποτελείται από δύο µέρη. Το ένα µέρος είναι ο τόκος του κεφαλαίου για το χρονικό διάστηµα που πέρασε δηλαδ είναι το κέρδος του δανειστ από αυτ τη συναλλαγ, ενώ το άλλο είναι το χρεολύσιο ανασυστάσεως του δανεισµένου κεφαλαίου, δηλαδ το ποσό που ανατοκιζόµενο σωρευτικά θα δώσει το αρχικό κεφάλαιο. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να είναι γνωστό κάθε στιγµ ποιο ποσό από τη δόση αντιστοιχεί στο τόκο του αρχικού κεφαλαίου και ποιο ποσό αντιστοιχεί στο χρεολύσιο ανασύστασης του αρχικού κεφαλαίου. Αυτό είναι σηµαντικό τόσο γιατί µπορεί να προκύψει ζτηµα πρόωρης εξόφλησης του δανείου άρα πρέπει να είναι γνωστό και στο δανειστ και στο δανειζόµενο το υπόλοιπο του κεφαλαίου που αποµένει για πληρωµ τόσο για φορολογικούς λόγους του δανειζόµενου καθώς οι φορολογικές υπηρεσίες του κράτους πολλές φορές αντιµετωπίζουν µε διαφορετικό τρόπο τα έξοδα εξυπηρέτησης τόκων δανείων. Όµως, δεν υπάρχει µόνο ένας τρόπος υπολογισµού των µερών στα οποία χωρίζεται το τοκοχρεολύσιο. Μέθοδος αποπληρωµς προοδευτικού χρεολυσίου Ο πιο συνηθισµένος τρόπος υπολογισµού αυτών των ποσών είναι η µέθοδος του προοδευτικού χρεολυσίου. Σύµφωνα µε αυτό το τρόπο το µέρος της δόσης που αποτελεί το κέρδος του δανειστ είναι ακριβώς ο τόκος του ανεξόφλητου κεφαλαίου για την περίοδο που πέρασε ενώ το υπόλοιπο είναι το χρεολύσιο ανασύστασης του αρχικού κεφαλαίου. Έστω τα ποσά I k και P k τα ποσά που θα πληρωθούν στη k δόση ενός δανείου για το τόκο και το χρεολύσιο αντίστοιχα. Άρα η κάθε δόση θα είναι ίση µε: R = I k + P k Ο τόκος Ι που αντιστοιχεί στην πρώτη περίοδο και που αποτελεί το ένα µέρος της δόσης είναι: Ι =Κ Αυτό σηµαίνει ότι το χρεολύσιο θα είναι το υπόλοιπο ποσό: Ρ = R I = R K 86

και θα αποµείνει υπόλοιπο προς εξόφληση: Κ Ρ =Κ ( +) R Στη δεύτερη περίοδο το τελευταίο ποσό ανατοκίζεται και δίνει το τόκο της δεύτερης δόσης Ι 2 ενώ το ανεξόφλητο κεφάλαιο θα µειωθεί κατά R-I 2. Ο υπολογισµός αυτός γίνεται για κάθε δόση και έτσι προκύπτει ο πίνακας απόσβεσης του δανείου. Η παραπάνω διαδικασία δεν είναι χρηστικ σε περιπτώσεις πολλών δόσεων, συνεπώς τίθεται η ανάγκη γενίκευσης. Παρακάτω θα παρουσιαστεί η διαδικασία γενίκευσης. Έστω δάνειο µεγέθους Κ ευρώ µε επιτόκιο για χρονικές περιόδους του. Με τη µέθοδο του προοδευτικού χρεολυσίου ο τόκος κάθε περιόδου υπολογίζεται µε βάση το υπόλοιπο χρέος της προηγούµενης περιόδου. Στη µέθοδο αυτ τα χρεολύσια αποτελούν γεωµετρικ πρόοδο µε λόγο +. Αυτός είναι και ο λόγος που η µέθοδος αυτ καλείται και µέθοδος του προοδευτικού χρεολυσίου. Στη µέθοδο του προοδευτικού χρεολυσίου τα χρεολύσια Χ, =,2,.., αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικς προόδου µε λόγο +. Ισχύει: R =R +,για =,2,,-. Άρα Ι +X =Ι + +X +, για =,2,,-. Ισχύει ότι Υ 0 =Κ, Ι =Υ - *, =,2,, και Χ =Y - -Y, =,2,,,άρα θα ισχύει: X Ι + X = I + + X + + X = + ( Y Y) + X = X + X X + = X ( + ) Άρα τα χρεολύσια αποτελούν πράγµατι γεωµετρικ πρόοδο µε λόγο +. Από την ισότητα Κ=Χ +Χ 2 +...+Χ καθώς και από τον παραπάνω τύπο θα ισχύει: K = ( + ) +... + X ( + ) X + X K = [ + ( + ) +... + ( + ) ] X 87

K = X Το χρεολύσιο της -οστς περιόδου είναι: X = K ( + ) ( +) X =X ( +) = R +) (+) ( X = R ( + ) µε =,2,, Αµερικάνικη µέθοδος Έστω ότι έχει δανεισθεί κάποιος κεφάλαιο Κ ευρώ µε επιτόκιο για χρονικές περιόδους του επιτοκίου.με την αµερικάνικη µέθοδο το δάνειο εξοφλείται κατά τη λξη του χωρίς να πληρώνονται οι τόκοι των ενδιάµεσων περιόδων. Ο οφειλέτης του δανείου στο τέλος κάθε χρονικς περιόδου και για συνεχείς περιόδους καταθέτει το ποσό R µε επιτόκιο.οι δόσεις αυτές αποτελούν πρόβληµα ληξιπρόθεσµης ράντας. Για την τελικ αξία S αυτς θα ισχύει η παρακάτω σχέση: Επίσης: Άρα: S = R ( + ) S = K ( + ) ( + ) K R = ( +) Μέθοδος Skg fud Έστω ότι δανείσθηκε κάποιος ένα κεφάλαιο Κ µε επιτόκιο για χρονικές περιόδους του επιτοκίου. Με τη µέθοδο skg fud ο οφειλέτης είναι υποχρεωµένος στο τέλος κάθε χρονικς περιόδου και για συνεχείς χρονικές περιόδους να πληρώνει τους τόκους του δανείου, δηλαδ το ποσό Κ* κάθε φορά και επίσης να καταθέτει µε ανατοκισµό ένα σταθερό 88

ποσό µε επιτόκιο έτσι ώστε µετά από χρονικές περιόδους να συγκεντρωθεί το ποσό που δανείσθηκε. Τα δύο επιτόκια και είναι διαφορετικά αλλά έχουν την ίδια χρονικ περίοδο ανατοκισµού. Στο τέλος κάθε χρονικς περιόδου ο οφειλέτης καταθέτει το ποσό: K R = R = K +, =,2,..., ( + ) Πράγµατι, Ι =K*, =,2,, και Χ =X, =,2,,. Επίσης: X = K ( ) + 7.3 Οµολογιακά δάνεια Τα οµολογιακά δάνεια αντιπροσωπεύουν πολύ µεγάλα κεφάλαια, τα οποία δεν µπορούν να διατεθούν µόνο από ένα πρόσωπο, φυσικό νοµικό. Τα δάνεια αυτά, διαιρούνται σε τµµα µικρότερων ποσών τα οποία καλούνται οµολογίες, τις οποίες εκδίδει ο δανειζόµενος και τις διαθέτει στους δανειστές του. Οι οµολογίες διακρίνονται µε βάση τον τρόπο µε τον οποίο εκδίδονται. Η διάκριση αυτ έχει ως εξς: Ονοµαστικές: ονοµάζονται οι οµολογίες στις οποίες αναγράφεται το όνοµα του οµολογιούχου, στον οποίο πληρώνονται οι τόκοι, το πόσο και ο χρόνος πληρωµς του. Οι ονοµαστικές οµολογίες παρέχουν στον κάτοχό τους πλρη ασφάλεια σε περίπτωση απώλειας κλοπς, όµως δεν µπορούν να µεταβιβαστούν εύκολα, αφού αυτό προϋποθέτει αλλαγ ονοµατεπώνυµου στον πιστωτικό τίτλο και στο µητρώο οµολογιών. Στον κοµιστ: ονοµάζονται οι οµολογίες όταν είναι ανώνυµες και ανκουν σε αυτόν που τις έχει. Αυτές οι οµολογίες µεταβιβάζονται εύκολα, αλλά δεν παρέχουν καµία ασφάλεια στον οµολογιούχο αφού είναι ανώνυµες. Μικτές: ονοµάζονται οι οµολογίες όταν στο σώµα τους αναγράφεται το όνοµα του οµολογιούχου και έχουν τοκοµερίδια, τα οποία φέρουν τον αριθµό της οµολογίας. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι η είσπραξη µπορεί να γίνει από τον οποιονδποτε. Ονοµαστικ αξία οµολογίας ονοµάζεται το χρηµατικό ποσό που αναγράφεται πάνω στην οµολογία. Τιµ έκδοσης οµολογίας ονοµάζεται το χρηµατικό ποσό που πουλθηκε η οµολογία. 89

Τιµ εξόφλησης οµολογίας ονοµάζεται το χρηµατικό ποσό που θα εξοφληθεί η οµολογία κατά τη λξη της. Τοκοµερίδιο είναι µία απόδειξη όπου επισυνάπτεται σε µία οµολογία µε την οποία γίνεται η είσπραξη του τόκου στο τέλος κάθε χρονικς περιόδου το οµολογιακού δανείου. Η απόσβεση των οµολογιακών δανείων γίνεται συνθως µε τη µέθοδο του προοδευτικού χρεολυσίου. Για το λόγο αυτό σε καθορισµένες ηµεροµηνίες γίνεται κλρωση ορισµένου αριθµού οµολογιών. 7.4 Υπολογισµός της δόσης ενός δανείου µε τη χρση Excel Υπολογισµός της δόσης (τοκοχρεολύσιου), του τόκου και του χρεολυσίου ενός δανείου µε τη µέθοδο του προοδευτικού χρεολυσίου Έστω δάνειο µε κεφάλαιο 20000 ευρώ και επιτόκιο δανείου ίσο µε 7% µε αριθµό χρονικών περιόδων ίσο µε 0. Να βρεθούν µε τη µέθοδο του προοδευτικού χρεολυσίου τα εξς: Η δόση του δανείου Ο τόκος του δανείου τη χρονικ περίοδο 2. Το χρεολύσιο τη χρονικ περίοδο 2. Υπολογισµός δόσης Στο κελί Α εισάγεται η συνάρτηση: =PMT(0,07;0;20000) Η συνάρτηση PMT έχει τρία ορίσµατα, το επιτόκιο, τον αριθµό των χρονικών περιόδων και το κεφάλαιο του δανείου. Υπολογισµός τόκου Στο κελί Β εισάγεται η συνάρτηση: =IPMT(0,07;2;0;20000) 90

Η συνάρτηση ΙPMT έχει τέσσερα ορίσµατα το επιτόκιο(7%),τον αριθµό της χρονικς περιόδου(2), τον αριθµό των χρονικών περιόδων του δανείου(0) και το κεφάλαιο(20000) Υπολογισµός χρεολυσίου Στο κελί C εισάγεται η συνάρτηση: =PPMT(0,07;2;0;20000) Η συνάρτηση PPMT έχει τέσσερα ορίσµατα το επιτόκιο, τον αριθµό της χρονικς περιόδου που θέλουµε να υπολογίσουµε το χρεολύσιο, τον αριθµό των χρονικών περιόδων και το κεφάλαιο αντίστοιχα. Εικόνα 99: Υπολογισµός της δόσης (τοκοχρεολύσιου), του τόκου και του χρεολυσίου ενός δανείου µε τη µέθοδο του προοδευτικού χρεολυσίου 9