ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε κατανοήσει ότι το χρήμα έχει διαχρονική αξία. Αυτό γίνεται αντιληπτό εάν σκεφθείτε ότι ένα ευρώ που δίνετε σήμερα αξίζει περισσότερο από ένα ευρώ το οποίο θα λάβετε σ έναν χρόνο από σήμερα. Η ιδέα αυτή είναι συνδεδεμένη με την έννοια του τόκου και αυτού που οι οικονομολόγοι ονομάζουν κόστος ευκαιρίας του χρήματος 1. Γενικά, πάντως, για να συγκρίνετε δύο ή περισσότερα επενδυτικά σχέδια, θα πρέπει να συγκρίνετε τις εισπράξεις και τις πληρωμές των σχεδίων αυτών, οι οποίες όμως μπορεί να πραγματοποιούνται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να «μεταφέρετε» τις εισπράξεις και τις πληρωμές τους σε μια ενιαία χρονική στιγμή, έτσι ώστε να είναι συγκρίσιμες. Η ενέργεια αυτή μπορεί να γίνει μόνο με την χρησιμοποίηση των Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών. Το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τρεις ενότητες. Στη πρώτη ενότητα αναλύεται ο απλός τόκος. Στη δεύτερη ενότητα εξετάζεται ο σύνθετος τόκος και ειδικότερα η τελική αξία και η παρούσα αξία. Στην τρίτη ενότητα παρουσιάζονται οι σειρές πληρωμών (ράντες), καθώς επίσης και ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε την σταθερή πληρωμή και το επιτόκιο ανατοκισμού μιας σειράς πληρωμών (ράντας). 2.1 Απλός τόκος Το ποσό χρημάτων που δανείζεται κάποιος κατά την σύναψη ενός δανείου ονομάζεται αρχικό κεφάλαιο (principal). Το ποσό που λαμβάνει ο δανειζόμενος ονομάζεται παρούσα αξία (present value) του δανείου. Στον απλό τόκο το αρχικό κεφάλαιο είναι ίσο με τη παρούσα αξία του δανείου. Ο χρόνος (time or term) του δανείου είναι η περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ο δανειζόμενος έχει τη χρήση όλου ή μέρους του δανειζόμενου ποσού. Στα δάνεια απλού τόκου, ο τόκος (interest) υπολογίζεται καθ ολοκληρίαν επί του αρχικού κεφαλαίου. Στα δάνεια 1 Το κόστος ευκαιρίας του χρήματος (opportunity cost of money) είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής επένδυσης η οποία είναι διαθέσιμη. Με άλλα λόγια, είναι η υψηλότερη απόδοση την οποία μπορεί να επιτύχει ένας επενδυτής εάν δεν επενδύσει τα χρήματά του σ ένα συγκεκριμένο πρόγραμμα.

2 8 ανατοκιζόμενου τόκου, ο τόκος βασίζεται στο αρχικό κεφάλαιο, το οποίο όμως αυξάνεται κάθε φορά που παράγεται ο τόκος. Η τιμή ενός δανείου απλού τόκου εκφράζεται ως ένα επιτόκιο (rate of interest) και είναι ένα σταθερό κλάσμα του κεφαλαίου το οποίο πρέπει να πληρωθεί για τη χρήση του δανείου. Το απλό επιτόκιο παρουσιάζεται συνήθως ως ένα ποσοστό ανά μονάδα χρόνου (για παράδειγμα, 10% το χρόνο). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε ονομάζεται κεφαλαιοποίηση. Απλός τόκος (simple interest) ή απλή κεφαλαιοποίηση ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος που παράγεται ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο μια φορά, στο τέλος του χρονικού διαστήματος κατά το οποίο το κεφάλαιο αυτό είναι παραγωγικό. Ο απλός τόκος δίνεται από τη σχέση: I = P r t (2.1) όπου I = ο απλός τόκος, P = το αρχικό κεφάλαιο, r = το επιτόκιο και t = ο χρόνος. Παράδειγμα 2.1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 έτη. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 2=) ευρώ. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους, έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί ο προηγούμενος τύπος. Στη περίπτωση αυτή η παραπάνω σχέση γίνεται: I = P r (m/12) (2.2) όπου το m συμβολίζει τον αριθμό των μηνών κατά τους οποίους είναι εκτοκισμένο το κεφάλαιο. Παράδειγμα 2.2 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 8/12=) ευρώ.

3 9 Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε ημέρες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των ημερών σε κλάσμα του έτους, έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί ο προηγούμενος τύπος. Στη περίπτωση αυτή η παραπάνω σχέση γίνεται: I = P r (d/360) ή I = P r (d/365) (2.3) όπου το d συμβολίζει τον αριθμό των ημερών κατά τις οποίες είναι εκτοκισμένο το κεφάλαιο. Όταν ο τόκος έχει υπολογιστεί με διαιρέτη το 360, τότε ονομάζεται συνηθισμένος τόκος (ordinary interest). Στη περίπτωση αυτή, λέμε ότι χρησιμοποιούμε το εμπορικό έτος, το οποίο αποτελείται από 12 μήνες που έχουν 30 ημέρες ο καθένας. Όταν ο τόκος έχει υπολογιστεί με διαιρέτη το 365 (ή το 366 για δίσεκτο χρόνο), τότε ονομάζεται ακριβής τόκος (exact interest). Στη περίπτωση αυτή, λέμε ότι χρησιμοποιούμε το πολιτικό έτος. Η χρησιμοποίηση του 360 ως διαιρέτη οδηγεί στον υπολογισμό μεγαλύτερου τόκου και γι αυτό το εμπορικό έτος είναι ιδιαίτερα δημοφιλές μεταξύ των δανειστών. Παράδειγμα 2.3 Να βρεθεί ο συνηθισμένος και ο ακριβής τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 60 ημέρες. Απάντηση: Ο συνηθισμένος τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 60/360=) ευρώ. Ο ακριβής τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 60/365=) 1.972,6 ευρώ. Για να εφαρμόσουμε τους τύπους που αναφέρονται στο εμπορικό ή στο πολιτικό έτος, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις τοκοφόρες ημέρες ενός δανείου, δηλαδή τον αριθμό των ημερών για τις οποίες υπολογίζεται τόκος. Υπάρχουν δύο τρόποι για να υπολογίσει κανείς τον αριθμό των ημερών που μεσολαβούν μεταξύ δύο ημερομηνιών ενός δανείου. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος είναι η ακριβής μέθοδος (exact), η οποία περιλαμβάνει όλες τις ημέρες εκτός από την πρώτη. Η δεύτερη μέθοδος είναι η προσεγγιστική μέθοδος (approximate), η οποία βασίζεται στην υπόθεση ότι όλοι οι μήνες περιλαμβάνουν 30 ημέρες. Στον αριθμό αυτό προστίθεται ο ακριβής αριθμός των ημερών που εναπομένουν μέσα στον μήνα, μέχρι να λήξει το δάνειο.

4 10 Παράδειγμα 2.4 Να βρεθεί ο ακριβής και ο κατά προσέγγιση χρόνο ο οποίος μεσολαβεί μεταξύ της 5ης Ιανουαρίου και της 25ης Φεβρουαρίου. Απάντηση: Ο ακριβής χρόνος είναι 51 ημέρες. Ο αριθμός αυτός βρίσκεται εάν προσθέσουμε στις 26 ημέρες που εναπομένουν μέχρι το τέλος του Ιανουαρίου, τις 25 ημέρες του Φεβρουαρίου. Ο προσεγγιστικός χρόνος είναι 50 ημέρες. Ο αριθμός αυτός βρίσκεται ως εξής. Υπολογίζουμε πρώτα τους μήνες που μεσολαβούν μεταξύ 5 Ιανουαρίου και 5 Φεβρουαρίου. Στη περίπτωση αυτή, μεσολαβεί ένας μήνας που αντιστοιχεί σε 30 ημέρες. Στη συνέχεια προσθέτουμε στις 30 ημέρες που βρήκαμε τις 20 ημέρες που μεσολαβούν μεταξύ 5 Φεβρουαρίου και 25 Φεβρουαρίου. Το σύνολο μας κάνει 50 ημέρες. Από τη προηγούμενη ανάλυση γίνεται φανερό ότι έχουμε ακριβή και συνηθισμένο τόκο, καθώς επίσης και ακριβή και κατά προσέγγιση χρόνο. Κατά συνέπεια, υπάρχουν τέσσερις τρόποι για να υπολογίσει κανείς τον απλό τόκο ενός δανείου. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος όμως είναι η χρησιμοποίηση συνηθισμένου τόκου και ακριβούς χρόνου. Η συνηθισμένη αυτή εμπορική πρακτική ονομάζεται κανόνας των τραπεζιτών ή μεικτός κανόνας (bankers rule). Οι υπολογισμοί των τόκων βραχυχρόνιων οικονομικών πράξεων όπου ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες και το επιτόκιο παραμένει σταθερό μπορούν να γίνουν ευκολότερα με τη χρήση τοκαρίθμων. Η προηγούμενη σχέση η οποία μας δίνει τον απλό τόκο μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής: d P d N I = P r I = = D r ( 2.4) όπου N είναι το γινόμενο του αρχικού κεφαλαίου (P) επί του αριθμού των ημερών (d) που διαρκεί το δάνειο και ονομάζεται τοκάριθμος, δηλαδή N=P d. Το D, το οποίο ισούται με 360/r (ή 365/r), ονομάζεται σταθερός διαιρέτης.

5 11 Παράδειγμα 2.5 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 45 ημέρες. Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του τοκαρίθμου. Απάντηση: Ο τοκάριθμος ισούται με N = ( =) και ο σταθερός διαιρέτης ισούται με D = (360/0,12=) Κατά συνέπεια, ο τόκος ισούται με I = ( /3.000 =) ευρώ. Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία (amount) του κεφαλαίου, συμβολίζεται με S και δίνεται από τη σχέση: S = P + I S = P + (P r t) (2.5) S = P [1 + (r t)] Παράδειγμα 2.6 Δανείζεται κάποιος ευρώ για 6 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 15%. Ποια είναι η τελική αξία την οποία θα πρέπει να καταβάλει σε 6 μήνες; Απάντηση: Το συνολικό ποσό που θα πρέπει να πληρώσει σε 6 μήνες είναι S = { [1+(0,15 6/12)]=} ευρώ. Εάν είναι γνωστή η τελική αξία ενός δανείου και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό κεφάλαιο (παρούσα αξία), μπορούμε να λύσουμε την προηγούμενη σχέση ως προς P. P = S 1 + ( r t) ( 2.6) Παράδειγμα 2.7 Ποια είναι η παρούσα αξία ενός κεφαλαίου ύψους ευρώ το οποίο θα σας δοθεί σε 1 έτος από σήμερα, εάν είναι γνωστό ότι το κόστος του χρήματος είναι 8%;

6 12 Απάντηση: Η παρούσα αξία είναι P = { /[1+(0,08 1)]=} ευρώ. Κατά συνέπεια, ευρώ επενδυμένες σήμερα με ετήσιο επιτόκιο 8% θα παράγουν τελική αξία ευρώ σε 1 έτος. 2.2 Ανατοκισμός Ανατοκισμός ή σύνθετος τόκος ή σύνθετη κεφαλαιοποίηση (compound interest) ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος ο οποίος παράγεται κάθε περίοδο (δηλαδή ο δεδουλευμένος τόκος) προστίθεται στο κεφάλαιο (κεφαλαιοποιείται) και το άθροισμά τους αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για όλες τις επόμενες περιόδους. Άρα, στη σύνθετη κεφαλαιοποίηση δημιουργείται τόκος από την επένδυση του τόκου. Στην απλή κεφαλαιοποίηση ο τόκος και το αρχικό κεφάλαιο παραμένουν αμετάβλητα, ενώ στη σύνθετη κεφαλαιοποίηση ο τόκος και το εκτοκιζόμενο κεφάλαιο αυξάνουν κάθε περίοδο. Ένα κεφάλαιο μπορεί να ανατοκίζεται μια ή και περισσότερες φορές το χρόνο. Άρα, η περίοδος του ανατοκισμού ενός κεφαλαίου μπορεί να είναι το έτος, το εξάμηνο, ο μήνας κλπ. Στη περίπτωση αυτή, ονομάζεται ότι έχουμε ανατοκισμό κάθε έτος, κάθε εξάμηνο, κάθε μήνα κλπ Τελική αξία Τελική αξία ή μελλοντική αξία (terminal value or future value) είναι η αξία που θα έχει στο μέλλον ένα χρηματικό ποσό το οποίο επενδύεται σήμερα. Ανάλογα με το πόσες φορές ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται μέσα σ ένα χρόνο, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις. Ετήσιος ανατοκισμός (annual compounding). Στο τέλος n ετών η τελική αξία (TV) μιας αρχικής κατάθεσης (X0) η οποία ανατοκίζεται μια φορά το χρόνο με επιτόκιο r ισούται με: n ( ) ( ) TV = X 0 1+ r 2.7 n όπου TVn = η τελική αξία που θα έχει η επένδυση στο τέλος του n έτους, X0 = το αρχικό κεφάλαιο το οποίο επενδύθηκε στην αρχή του πρώτου έτους, n = ο αριθμός των ετών κατά την διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός, και r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού (compound interest rate).

7 13 Το διώνυμο [(1+r) n ] λέγεταο συντελεστής ανατοκισμού (compound factor) ή συντελεστής τελικής αξίας και δίνει τη τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας η οποία ανατοκίζεται με επιτόκιο r για n περιόδους. Ο συντελεστής ανατοκισμού μπορεί να βρεθεί και από ειδικούς πίνακες 2, οι οποίοι δίνουν τη τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας που ανατοκίζεται με διάφορα επιτόκια και για διάφορες περιόδους. Οι πίνακες αναγράφουν συνήθως στην πρώτη γραμμή τα διάφορα επιτόκια ανατοκισμού (π.χ. 1%, 2%, 3% κλπ.) και στην πρώτη στήλη τις διάφορες χρονικές περιόδους. Στη διασταύρωση της κάθε στήλης με την κάθε γραμμή υπάρχει ο συντελεστής που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο επιτόκιο της στήλης και στη συγκεκριμένη χρονική περίοδο της γραμμής. Για παράδειγμα, ο συντελεστής ανατοκισμού που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 10% και 5 έτη και αναγράφεται στον πίνακα είναι το 1,6105. Κατά συνέπεια, για να υπολογίσουμε την τελική αξία μιας αρχικής επένδυσης, χρειάζεται μόνο να καθορίσουμε τον συντελεστή ανατοκισμού από τον σχετικό πίνακα και να πολλαπλασιάσουμε τον συντελεστή αυτό με την αρχική επένδυση. Από το διώνυμο [(1+r) n ], αλλά και από τον σχετικό πίνακα, γίνεται φανερό ότι, όταν αυξάνει το r ή το n, ο συντελεστής ανατοκισμού δεν αυξάνει αναλογικά, αλλά αυξάνει κατά γεωμετρική πρόοδο. Άσκηση 2.1 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται κάθε χρόνο με ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του 3ου έτους; Ανατοκισμός με μεγαλύτερη από την ετήσια συχνότητα. Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m περιόδους τον χρόνο, τότε η τελική αξία μιας αρχικής κατάθεσης βρίσκεται από τον τύπο: TV n nm 1 r = X m ( ) 2 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 1) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

8 14 όπου TVn = η τελική αξία που θα έχει η επένδυση στο τέλος του n έτους, X0 = το αρχικό κεφάλαιο το οποίο επενδύθηκε στην αρχή του πρώτου έτους, n = ο αριθμός των ετών κατά την διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός, r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού, και m = οι περίοδοι κατά τις οποίες το κεφάλαιο ανατοκίζεται εντός ενός έτους. Στην περίπτωση που έχουμε ανατοκισμό σε περισότερες περιόδους από μια τον χρόνο, ο συντελεστής ανατοκισμού μπορεί να βρεθεί από τους πίνακες ως εξής. Βρίσκουμε το επιτόκιο που αντιστοιχεί στην κάθε περίοδο διαιρώντας το ετήσιο επιτόκιο (r) με τον αριθμό των περιόδων (m) ανατοκισμού κατά την διάρκεια ενός έτους. Βρίσκουμε τον αριθμό των περιόδων, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ετών (n) κατά τη διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός με τον αριθμό των περιόδων (m) ανατοκισμού κατά τη διάρκεια ενός έτους. Στη συνέχεια, βρίσκουμε από τον πίνακα τον συντελεστή που αντιστοιχεί στο επιτόκιο της περιόδου και στον αριθμό των περιόδων που υπολογίσαμε προηγουμένως. Παράδειγμα 2.8 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται δύο φορές το έτος (δηλαδή κάθε 6 μήνες) με ετήσιο επιτόκιο 10%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους; Απάντηση: Ο συντελεστής ανατοκισμού ο οποίος αντιστοιχεί σε επιτόκιο (0,10/2=) 0,05 και χρονική περίοδο (5 2=) 10 είναι 1,6289. Άρα, η ζητούμενη τελική αξία είναι TV3 = ( ,6289=) ευρώ. Άσκηση 2.2 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται τέσσερις φορές το έτος (δηλαδή κάθε 3 μήνες) με ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του τρίτου έτους; Συνεχής ανατοκισμός (continuous compounding). Στην περίπτωση του συνεχούς ανατοκισμού, η αξία του m τείνει στο άπειρο. Καθώς συμβαίνει αυτό, η αξία του [1+(r/m)] nm προσεγγίζει το e rn, όπου το e είναι η βάση των νεπέρειων ή φυσικών λο-

9 15 γαρίθμων (napierian or natural logarithms) και επομένως προσεγγίζει το 2,71828, δηλαδή m 1 e = lim m m ( ) Επομένως, η τελική αξία μιας αρχικής κατάθεσης (X0), η οποία ανατοκίζεται συνεχώς με επιτόκιο (r) για (n) χρόνια καθορίζεται από τη σχέση: TVn ( ) rn = X 0e 2.10 όπου e 2, Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι, αν και ο συνεχής ανατοκισμός φαίνεται αρκετά περίπλοκος, χρησιμοποιείται συχνά στα χρηματοοικονομικά, διότι επιτρέπει να παράγεται τόκος από τόκο πιο συχνά από οποιαδήποτε άλλη περίοδο ανατοκισμού. Άσκηση 2.3 Έστω ότι καταθέτει κάποιος ένα κεφάλαιο ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται συνεχώς με ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του τρίτου έτους; Παρούσα αξία Παρούσα αξία ή προεξοφλημένη αξία ή ανηγμένη αξία (present value or discount value) είναι η αξία που έχει σήμερα ένα συγκεκριμένο ποσό που θα δοθεί σε μια ορισμένη ημερομηνία στο μέλλον 3. Ο προσδιορισμός της παρούσας αξίας ενός κεφαλαίου είναι το αντίστροφο του ανατοκισμού. Στον ανατοκισμό μετακινούμε ένα ποσό από το παρόν στο μέλλον. Γνωρίζουμε την αξία ενός ποσού σε κάποιο χρονικό σημείο και προσπαθούμε να καθορίσουμε το πόσο αυτό θα αυξηθεί μετά την πάροδο 3 Η παρούσα αξία μπορεί να καθοριστεί και ως το αρχικό κεφάλαιο το οποίο θα έχει τελική αξία ένα συγκεκριμένο ποσό σε μια ορισμένη μελλοντική ημερομηνία.

10 16 ορισμένου χρόνου εάν ανατοκίζεται με ένα συγκεκριμένο επιτόκιο. Στη παρούσα αξία, μεταφέρουμε ένα μελλοντικό ποσό στο παρόν, δηλαδή προσπαθούμε να καθορίσουμε την σημερινή αξία ενός ποσού του οποίου γνωρίζουμε την μελλοντική αξία. Ενώ στον ανατοκισμό λέγαμε για το επιτόκιο ανατοκισμού και το αρχικό κεφάλαιο, στον καθορισμό της παρούσας αξίας μιλάμε για το προεξοφλητικό επιτόκιο (ή το κόστος ευκαιρίας του χρήματος) και την παρούσα αξία ενός μελλοντικού κεφαλαίου. Κατά τα άλλα, η τεχνική και η ορολογία παραμένουν ίδιες. Μόνο η μαθηματική σχέση αντιστρέφεται, καθώς λύνουμε ως προς X0. Όπως στον ανατοκισμό, έτσι και στη παρούσα αξία, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις ανάλογα με το πόσες φορές ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται μέσα σ ένα έτος. Ετήσιος ανατοκισμός. Η παρούσα αξία (PV) κεφαλαίου Xn το οποίο θα πάρουμε μετά από n χρόνια προεξοφλημένο με επιτόκιο k ισούται με 1 PV = X n ή PV X n = n + k ( 1+ k ) n ( 1 ) ( 2.11) όπου PV = η παρούσα αξία που θα έχει μια μελλοντική πληρωμή, Xn = η αξία που θα έχει μια πληρωμή μετά από n χρόνια, n = ο αριθμός των ετών που θα μεσολαβήσουν μέχρι να γίνει η πληρωμή, και k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης ή αναγωγής ή κεφαλαιοποίησης (discount rate or capitalization rate). Το [1/(1+k) n ] ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής σε παρούσα αξία (discount factor) και δίνει την παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας που λαμβάνεται μετά από n έτη και προεξοφλείται με επιτόκιο k. Ο συντελεστής προεξόφλησης μπορεί να βρεθεί και από ειδικούς πίνακες 4 οι οποίοι δίνουν τη παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας η οποία προεξοφλείται με διάφορα επιτόκια και για διάφορες περιόδους. Οι πίνακες αναγράφουν συνήθως στη πρώτη γραμμή τα προεξοφλητικά επιτόκια (για παράδειγμα, 1%, 2%, 3% κλπ.) και στη πρώτη στήλη τις χρονικές περιόδους. Γιά παράδειγμα, ο συντελεστής προεξόφλησης που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 10% και 5 έτη και αναγράφεται στον πίνακα είναι το 0,6209. Ο συντελεστής αυτός είναι αντίστροφος του συντελεστή ανατοκισμού 4 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 2) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

11 17 [0,6209=(1/1,6105)]. Κατά συνέπεια, για να υπολογίσουμε την παρούσα αξία μιας επένδυσης, χρειάζεται μόνο να καθορίσουμε τον συντελεστή προεξόφλησης από τον σχετικό πίνακα και να πολλαπλασιάσουμε τον συντελεστή αυτό με τη μελλοντική αξία της επένδυσης. Από το [1/(1+k) n ], αλλά και από τον σχετικό πίνακα, γίνεται φανερό ότι, όταν αυξάνει το k ή το n, ο συντελεστής προεξόφλησης μειώνεται και επομένως μειώνεται και η παρούσα αξία. Άσκηση 2.4 Ποια είναι η παρούσα αξία ευρώ που θα ληφθούν σε 5 έτη από σήμερα, εάν το κόστος του χρήματος είναι 8% και ο ανατοκισμός γίνεται μια φορά τον χρόνο; Ανατοκισμός με περισσότερες περιόδους τον χρόνο. Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m περιόδους τον χρόνο, τότε η παρούσα αξία (PV) κεφαλαίου Xn το οποίο θα πάρουμε μετά από n έτη προεξοφλούμενο με επιτόκιο k ισούται με 1 PV = X n nm k 1+ m ( 2.12) όπου PV = η παρούσα αξία που θα έχει μια μελλοντική πληρωμή, Xn = η αξία που θα έχει μια πληρωμή μετά από n έτη, n = ο αριθμός των ετών που θα μεσολαβήσουν μέχρι να γίνει η πληρωμή, k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης, και m = οι περίοδοι ανατοκισμού κατά τη διάρκεια ενός έτους. Και στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής προεξόφλησης μπορεί να βρεθεί από τους πίνακες ως εξής. Διαιρούμε το ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο (k) με τον αριθμό των περιόδων (m) ανατοκισμού κατά την διάρκεια ενός έτους και πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των ετών (n) κατά τη διάρκεια των οποίων γίνεται η προεξόφληση, με τις περιόδους (m) ανατοκισμού κατά τη διάρκεια ενός έτους.

12 18 Παράδειγμα 2.9 Ποιο είναι το ποσό που θα πρέπει να επενδύσει κανείς σήμερα σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 10% ανατοκιζόμενο 2 φορές τον χρόνο, έτσι ώστε να συγκεντρωθεί σε 5 χρόνια ευρώ; Απάντηση: Ο συντελεστής προεξόφλησης ο οποίος αντιστοιχεί σε επιτόκιο (0,10/2=) 0,05 και χρονική περίοδο (5 2=) 10 είναι 0,6139. Άρα, η ζητούμενη παρούσα αξία είναι PV = ( ,6139=) ευρώ. Άσκηση 2.5 Ποιο είναι το ποσό που θα πρέπει να επενδύσει κανείς σήμερα σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% ανατοκιζόμενο τέσσερις φορές τον χρόνο, έτσι ώστε να συγκεντρωθεί σε πέντε έτη ευρώ; Συνεχής ανατοκισμός. Στην περίπτωση του συνεχούς ανατοκισμού, η αξία του m προσεγγίζει το άπειρο. Καθώς συμβαίνει αυτό, η αξία του {1/[1+(k/m)] nm } προσεγγίζει το (1/e kn ), όπου το e είναι η βάση των νεπέρειων ή φυσικών λογαρίθμων και επομένως προσεγγίζει το 2, Επομένως, η παρούσα αξία κεφαλαίου Xn το οποίο θα πάρουμε μετά από n έτη προεξοφλούμενο με επιτόκιο k καθορίζεται από τη σχέση: 1 PV = X n e kn ( 2.13) όπου e 2,71828 Άσκηση 2.6 Ποια είναι η παρούσα αξία ευρώ που θα ληφθούν σε πέντε έτη από σήμερα, εάν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 8% και υπάρχει συνεχής ανατοκισμός;

13 Εύρεση του επιτοκίου ανατοκισμού Για να βρούμε το επιτόκιο ανατοκισμού όταν γνωρίζουμε την παρούσα (ή την τελική) αξία ενός κεφαλαίου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους πίνακες ή τους αντίστοιχους τύπους. Παράδειγμα 2.10 Ένας επενδυτής δανείζεται σήμερα από μια τράπεζα ευρώ και συμφωνεί να αποπληρώσει ολόκληρο το δάνειο πληρώνοντας ευρώ στο τέλος του όγδοου έτους. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο δανείζει η τράπεζα τον επενδυτή; Απάντηση: Το επιτόκιο αυτό βρίσκεται με πολύ απλό τρόπο εάν χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα παρούσας αξίας ή τον πίνακα τελικής αξίας, καθώς τα στοιχεία του ενός πίνακα είναι αντίστροφα των στοιχείων του άλλου. (α) περίπτωση: πίνακας παρούσας αξίας. Δίνεται ότι η παρούσα αξία είναι PV= και ότι στο όγδοο έτος θα πληρωθεί X8= Από το τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία μιας μελλοντικής πληρωμής έχουμε ότι: PV = X8 (Συντελεστής Παρούσας Αξίας) = (ΣΠΑ) ΣΠΑ = ( / ) ΣΠΑ = 0,6274. Στον πίνακα παρούσας αξίας μιας μελλοντικής πληρωμής, αν κοιτάξουμε κατά μήκος της γραμμής που αντιστοιχεί στην όγδοη περίοδο (εδώ όγδοο έτος), βρίσκουμε την τιμή 0,6274. Η τιμή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 6%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή με ετήσιο επιτόκιο 6%. (β) περίπτωση: πίνακας τελικής αξίας. Δίνεται ότι η τελική αξία είναι TV8= και ότι το αρχικό κεφάλαιο είναι X0= Από τον τύπο που μας δίνει την τελική αξία ενός αρχικού κεφαλαίου έχουμε ότι: TV8 = X0 (Συντελεστής Τελικής Αξίας) = (ΣΤΑ) ΣΤΑ = ( / ) ΣΤΑ = 1,5940. Στον πίνακα τελικής αξίας ενός αρχικού κεφαλαίου, αν κοιτάξουμε κατά μήκος της γραμμής που αντιστοιχεί στην όγδοη περίοδο (εδώ όγδοο έτος), βρίσκουμε την τιμή 1,5940. Η τιμή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 6%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή με ετήσιο επιτόκιο 6%. Στο ίδιο αποτέλεσμα

14 20 μπορούμε να καταλήξουμε και εάν επιλύσουμε ως προς το επιτόκιο, τους τύπους που μας δίνουν την παρούσα αξία μιας μελλοντικής πληρωμής ή την τελική αξία ενός αρχικού κεφαλαίου. 2.3 Σειρές πληρωμών (ράντες) Γενικά περί σειρών πληρωμών (ραντών) Σειρά πληρωμών ή ράντα 5 ή χρηματική ροή (annuity) είναι ένας αριθμός περιοδικών πληρωμών (ή εισπράξεων) που καταβάλλονται μέσα σ ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Το ποσό που καταβάλλεται με κάθε πληρωμή ονομάζεται όρος της σειράς πληρωμών (periodic rent). Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών πληρωμών ονομάζεται περίοδος της σειράς πληρωμών (payment interval or rent period). Εάν όλοι οι όροι μιας σειράς πληρωμών είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η σειρά πληρωμών (ράντα) ονομάζεται σταθερή ή ομοιόμορφη. Εάν όλοι οι όροι μιας σειράς πληρωμών δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η σειρά πληρωμών (ράντα) ονομάζεται μεταβλητή 6. Τέλος, εάν όλοι οι όροι της σειράς πληρωμών είναι ίσοι με τη μονάδα, τότε η σειρά πληρωμών (ράντα) ονομάζεται μοναδιαία. Η σειρά πληρωμών της οποίας ο όρος καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου ονομάζεται ληξιπρόθεσμη σειρά πληρωμών (ordinary annuity), ενώ η σειρά πληρωμών της οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου ονομάζεται προκαταβλητέα σειρά πληρωμών (annuity due). Οι περισσότερες σειρές πληρωμών που θα συναντήσουμε στα χρηματοοικονομικά είναι σταθερές και ληξιπρόθεσμες. Γι αυτό τον λόγο, στη συνέχεια του βιβλίου, όταν αναφερόμαστε σε σειρές πληρωμών θα εννοούμε σταθερές και ληξιπρόθεσμες σειρές πληρωμών. Τελική αξία μιας σειράς πληρωμών είναι το άθροισμα των αξιών όλων των περιοδικών πληρωμών και ο ανατοκιζόμενος τόκος των πληρωμών αυτών που έχει συγκεντρωθεί στο τέλος της σειράς και δίνεται από τη σχέση: ( r) n 1 1 n t + 1 TVn = A ( 1+ r) = A 2.14 t= 0 r ( ) 5 Ο όρος ράντα προέρχεται από την αγγλική λέξη «rent» που σημαίνει «ενοίκιο». 6 Οι όροι στις μεταβλητές σειρές πληρωμών μπορεί να μεταβάλονται κατά αριθμητική πρόοδο, γεωμετρική πρόοδο, ανά ορισμένες περιόδους κλπ.

15 21 όπου TV = η τελική ή μελλοντική αξία της σταθερής ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών (ράντας) στο τέλος του n χρόνου, A = η περιοδική πληρωμή (δηλαδή ο σταθερός όρος) της σειράς πληρωμών, r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού, και n = ο αριθμός των περιόδων της σειράς πληρωμών (ράντας). Ο όρος στη παρένθεση ονομάζεται συντελεστής τελικής αξίας της σειράς πληρωμών (compound value interest factor for annuity) και δίνει την τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας που καταβάλλεται κάθε περίοδο για n περιόδους ανατοκιζόμενη με ετήσιο επιτόκιο r ανά περίοδο. Η αξία του όρου της παρένθεσης μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση ενός υπολογιστή τσέπης (scientific calculator) ή να βρεθεί από τους αντίστοιχους πίνακες 7. Άσκηση 2.7 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% και ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους. Εάν η πληρωμή και ο ανατοκισμός γίνεται περισότερες από μια φορές το χρόνο (για παράδειγμα, κάθε εξάμηνο), τότε αντί για το ετήσιο επιτόκιο θα υπολογίσουμε το επιτόκιο που αντιστοιχεί σε κάθε περίοδο (για παράδειγμα, εξαμηνιαίο επιτόκιο) και αντί για έτη θα λάβουμε υπόψη μας τις αντίστοιχες περιόδους (για παράδειγμα, εξάμηνα). Κατά τα άλλα, θα χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους τύπους ή πίνακες. Άσκηση 2.8 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στο τέλος κάθε εξαμήνου σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% και ο οποίος ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους. 7 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 3) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

16 22 Παρούσα αξία μιας σειράς πληρωμών είναι το άθροισμα των παρουσών αξιών όλων των πληρωμών της σειράς και δίνεται από τη σχέση: 1 1 n 1 + PV = A A t = t= 1 ( 1+ k ) k ( 1 k ) n ( 2.15) όπου PV = η παρούσα αξία της σταθερής ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών (ράντας), A = η περιοδική πληρωμή (δηλαδή ο σταθερός όρος) της σειράς πληρωμών, k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης, και n = ο αριθμός των περιόδων που διαρκεί η σειρά πληρωμών. Ο όρος στη παρένθεση ονομάζεται συντελεστής παρούσας αξίας της σειράς πληρωμών (present value interest factor for annuity) και δίνει την παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας που καταβάλλεται κάθε περίοδο για n περιόδους προεξοφλημένη με ετήσιο επιτόκιο r ανά περίοδο. Η αξία του όρου της παρένθεσης μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση ενός υπολογιστή τσέπης (calculator) ή να βρεθεί από τους αντίστοιχους πίνακες 8. Άσκηση 2.9 Να βρεθεί το ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέσει σήμερα ένας επενδυτής σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως, για να έχει το δικαίωμα να αποσύρει ευρώ στο τέλος κάθε έτους και επί πέντε έτη. Διηνεκής σειρά πληρωμών (perpetuity) είναι μια σειρά πληρωμών της οποίας οι πληρωμές θα καταβάλλονται επ άπειρον. Ενώ είναι αδύνατο να βρεθεί η τελική αξία μιας διηνεκούς σειράς πληρωμών, η παρούσα αξίας της δίνεται από τη σχέση: A PV = k ( 2.16)

17 23 όπου PV = η παρούσα αξία της διηνεκούς σειράς πληρωμών, A = η περιοδική πληρωμή της διηνεκούς σειράς πληρωμών, και k = το ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο. Παράδειγμα 2.11 Ένα φιλανθρωπικό ίδρυμα θέλει να χορηγεί επ άπειρον μια υποτροφία ευρώ στο τέλος κάθε έτους. Εάν τα χρήματα μπορούν να επενδυθούν με ετήσιο επιτόκιο 5%, ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήμερα το ίδρυμα για να χορηγείται στο διηνεκές η υποτροφία; Απάντηση: Η παρούσα αξία της διηνεκούς σειράς πληρωμών είναι ευρώ. PV = /0,05 = Ο τύπος που μας δίνει την παρούσα αξία μιας διηνεκούς σειράς πληρωμών μπορεί να μας βοηθήσει στον υπολογισμό της παρούσας αξίας μιας σειράς πληρωμών. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: μια σειρά πληρωμών (t) ετών μπορεί να υπολογιστεί και από τη διαφορά δύο διηνεκών σειρών πληρωμών, από τις οποίες η πρώτη να αρχίζει το χρόνο (1), ενώ η δεύτερη το χρόνο (t+1). Στην περίπτωση αυτή, η παρούσα αξία της πρώτης σειράς πληρωμών θα είναι PV = A/k στο έτος (0), ενώ η παρούσα αξία της δεύτερης σειράς πληρωμών θα είναι PV = A/k στο έτος (t). Οπότε η παρούσα αξία της δεύτερης σειράς πληρωμών στο έτος (0) θα είναι PV = A/[k (1+k) t ]. Άρα, η διαφορά των δύο σειρών πληρωμών θα είναι: 1 1 PV = A k k k ( 1+ ) t ( 2.17) Άσκηση 2.10 Ένα φιλανθρωπικό ίδρυμα θέλει να χορηγεί μια υποτροφία ύψους ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου και για είκοσι έτη. Εάν τα χρήματα μπορούν να επενδυθούν 8 Ένας σχετικός πίνακας (Πίνακας 4) υπάρχει στο Προσάρτημα στο τέλος του βιβλίου.

18 24 με ετήσιο επιτόκιο 5%, ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήμερα το ίδρυμα για να χορηγείται η υποτροφία για είκοσι έτη; Για να υπολογίσουμε την τελική αξία μιας σειράς πληρωμών, μπορούμε να υπολογίσουμε πρώτα την παρούσα αξία της και στη συνέχεια να τη μετακινήσουμε από το παρόν στο μέλλον πολλαπλασιάζοντας την παρούσα αυτή αξία με τον συντελεστή [(1+r) t ]. Άσκηση 2.11 Από το αποτέλεσμα της Άσκησης 2.9 να υπολογίσετε το ζητούμενο της Άσκησης Εύρεση του όρου μιας σειράς πληρωμών Για να βρούμε τον όρο μιας σειράς πληρωμών, το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να λύσουμε ως προς Α τους αντίστοιχους τύπους. Άσκηση 2.12 Να βρεθεί το ίσο ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέτει ένας επενδυτής στο τέλος καθενός από τα επόμενα έξι έτη σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% που ανατοκίζεται ετησίως, για να εξοφλήσει στο τέλος του έκτου έτους ένα χρέος ευρώ. Άσκηση 2.13 Ένας επενδυτής έχει καταθέσει ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% που ανατοκίζεται ετησίως. Ο επενδυτής αυτός θέλει να κάνει ισόποσες αναλήψεις στο τέλος κάθε έτους, έτσι ώστε μετά την έκτη ανάληψη το υπόλοιπο του λογαριασμού του να είναι μηδέν. Να βρεθεί το ποσό της κάθε ανάληψης. Άσκηση 2.14 Ένας επενδυτής έχει καταθέσει ευρώ σ έναν τραπεζικό λογαριασμό, ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 8% που ανατοκίζεται ετησίως. Ο επενδυτής αυτός θέλει να κάνει ισόποσες αναλήψεις στο τέλος κάθε έτους, έτσι ώστε μετά την

19 25 έκτη ανάληψη το υπόλοιπο του λογαριασμού του να είναι ευρώ. Να βρεθεί το ποσό της κάθε ανάληψης. Άσκηση 2.15 Μία τράπεζα χορηγεί σήμερα ένα δάνειο ύψους ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 12% και εξαμηνιαίο ανατοκισμό. Το δάνειο αυτό θα πρέπει να εξοφληθεί σε δέκα έτη με ισόποσες εξαμηνιαίες δόσεις. Να βρεθεί η εξαμηνιαία πληρωμή Εύρεση του επιτοκίου υπολογισμού μιας σειράς πληρωμών Για να βρούμε το επιτόκιο ανατοκισμού μιας σειράς πληρωμών όταν γνωρίζουμε την παρούσα (ή την τελική) αξία της σειράς πληρωμών, καθώς επίσης και τις περιοδικές της πληρωμές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους πίνακες. Το μόνο πρόβλημα είναι ότι οι πίνακες αυτοί δίνουν συντελεστές για ακέραιες τιμές επιτοκίων. Στην περίπτωση που τα επιτόκια δεν είναι ακέραια, μπορούμε να επιτύχουμε μια καλή προσέγγιση του ζητούμενου συντελεστή με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής (linear interpolation) 9. Παράδειγμα 2.12 Ένας επενδυτής δανείζεται σήμερα από μια τράπεζα ευρώ και συμφωνεί να αποπληρώσει το δάνειο σε τέσσερις ετήσιες ισόποσες δόσεις ύψους ευρώ η καθεμία, τις οποίες θα καταβάλει στο τέλος κάθε έτους. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο δανείζει η τράπεζα τον επενδυτή; Απάντηση: Το επιτόκιο αυτό βρίσκεται με πολύ απλό τρόπο όταν χρησιμοποιούμε τους πίνακες. Το παράδειγμα μας είναι μια σειρά πληρωμών με παρούσα αξία PV= , σταθερό όρο A= , και τέσσερις περιοδικές πληρωμές. Από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της σειράς πληρωμών έχουμε ότι: PV = A (Συντελεστής Παρούσας Αξίας Σειράς Πληρωμών) = (ΣΠΑΣΠ) ΣΠΑΣΠ = ( / ) ΣΠΑΣΠ = 3, Για περισσότερες πληροφορίες για τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής βλέπε την όγδοη ενότητα (υπολογισμός του εσωτερικού βαθμού απόδοσης) του κεφαλαίου «Προϋπολογισμός Επενδύσεων Κεφαλαίου» του παρόντος βιβλίου.

20 26 Στον πίνακα παρούσας αξίας σειράς πληρωμών, αν κοιτάξουμε κατά μήκος της γραμμής που αντιστοιχεί στη τέταρτη πληρωμή (εδώ τέταρτο έτος), βρίσκουμε την τιμή 3,3120. Η τιμή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 8%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή με ετήσιο επιτόκιο 8% Προκαταβλητέα σειρά πληρωμών Έχουμε ήδη αναφέρει ότι προκαταβλητέα σειρά πληρωμών (annuity due) ονομάζεται η σειρά πληρωμών της οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου. Επομένως, η μόνη διαφορά μεταξύ μιας προκαταβλητέας και μιας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών είναι ο αριθμός των τοκοφόρων περιόδων. Υπάρχει ένας ιδιαίτερα εύκολος τρόπος για να υπολογίσουμε την τελική αξία, καθώς επίσης και την παρούσα αξία μιας προκαταβλητέας σειράς πληρωμών. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής τελικής (ή παρούσας) αξίας προκαταβλητέας σειράς πληρωμών ισούται με τον αντίστοιχο συντελεστή της ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών ανατοκισμένο για μια ακόμη χρονική περίοδο. Κατά τα άλλα, η διαδικασία είναι η ίδια με αυτήν που περιγράψαμε στην περίπτωση της ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών. Εναλλακτικά, ο υπολογισμός της τελικής και της παρούσας αξίας μιας προκαταβλητέας σειράς πληρωμών μπορεί να γίνει ως εξής: Τελική αξία: Η εύρεση της τελικής αξίας της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών βασίζεται στο γεγονός ότι έχει μια τοκοφόρο περίοδο περισσότερη από την αντίστοιχη ληξιπρόθεσμη σειρά πληρωμών. Κατά συνέπεια, προσθέτουμε μια μονάδα (1) στον αριθμό των πληρωμών της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών και βρίσκουμε τον αντίστοιχο συντελεστή τελικής αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών από τον σχετικό πίνακα ή τον σχετικό τύπο. Στη συνέχεια, αφαιρούμε μια (1) μονάδα από τον συντελεστή και τον πολλαπλασιάζουμε με τον σταθερό όρο. Δηλαδή ισχύει: ( r) n 1 1 n + t + 1 TVn = A ( 1+ r) 1 = A t= 0 r ( )

21 27 Παρούσα αξία: Η εύρεση της παρούσας αξίας της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών βασίζεται στο γεγονός ότι η πρώτη πληρωμή δεν μπορεί να προεξοφληθεί γιατί δεν υπάρχει χρονική περίοδος πριν από αυτή. Άρα, στην προκαταβλητέα σειρά πληρωμών υπάρχει μια λιγότερη προεξοφλητική περίοδος από τον αριθμό των περιοδικών πληρωμών. Κατά συνέπεια, αφαιρούμε μια μονάδα (1) από τον αριθμό των πληρωμών της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών και βρίσκουμε τον αντίστοιχο συντελεστή παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών από τον σχετικό πίνακα ή τον σχετικό τύπο. Στη συνέχεια, προσθέτουμε μια (1) μονάδα στον συντελεστή και τον πολλαπλασιάζουμε με τον σταθερό όρο. Δηλαδή ισχύει: 1 1 n 1 n 1 1 ( 1+ k ) PV = A 1 + A t = + t= 1 ( 1+ k ) k ( ) Παράδειγμα 2.13 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στην αρχή κάθε έτους σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% και ανατοκίζεται ετησίως. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συγκεντρωθεί στον λογαριασμό στο τέλος του πέμπτου έτους. Απάντηση: Η τελική αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. (α) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο πέντε ετών είναι 5,6371. Οπότε η τελική αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι: TV5 = (5,6371) (1+0,06) = ,6. (β) τρόπος. Ο συντελεστής τελικής αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο έξι ετών είναι 6,9753. Οπότε η τελική αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών θα είναι: TV5 = (6,9753-1,00) =

22 28 Παράδειγμα 2.14 Να βρεθεί το ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέσει σήμερα ένας επενδυτής σ έναν τραπεζικό λογαριασμό ο οποίος παρέχει τόκο με ετήσιο επιτόκιο 6% που ανατοκίζεται ετησίως, για να έχει το δικαίωμα να αποσύρει ευρώ στην αρχή κάθε έτους και επί πέντε έτη. Απάντηση: Η παρούσα αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. (α) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο πέντε ετών είναι 4,2124. Οπότε η παρούσα αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών είναι: PV = (4,2124) (1+0,06) = ,4. (β) τρόπος. Ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο τεσσάρων ετών είναι 3,4651. Οπότε η παρούσα αξία της προκαταβλητέας σειράς πληρωμών θα είναι: TV5 = (3,4651+1,00) = Μέλλουσα σειρά πληρωμών Μέλλουσα ή αναβλητική σειρά πληρωμών (deferred annuity) ονομάζεται η σειρά πληρωμών της οποίας η πρώτη πληρωμή δεν γίνεται στην αρχή ή στο τέλος της πρώτης περιόδου, αλλά αργότερα, μετά από έναν ορισμένο αριθμό περιόδων. Η τελική αξία της ληξιπρόθεσμης μέλλουσας σειράς πληρωμών βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο που βρίσκεται η τελική αξία της ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών. Η παρούσα αξία της ληξιπρόθεσμης μέλλουσας σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους. Έστω ότι έχουμε μια μέλλουσα ληξιπρόθεσμη σειρά (ν) πληρωμών, η καταβολή των οποίων αναβάλλεται για (μ) περιόδους. Στο σημείο αυτό, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι το διάστημα της αναβολής της πληρωμής τελειώνει μια (1) περίοδο πριν από την πρώτη πληρωμή. Άρα, η πρώτη από τις (ν) πληρωμές θα γίνει την περίοδο (μ+1) 10. Η παρούσα αξία της σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί ως εξής: 10 Αυτό σημαίνει ότι έχουμε μια ληξιπρόθεσμη σειρά (μ+ν) πληρωμών, από τις οποίες οι μ πληρωμές δεν καταβάλλονται.

23 29 (α) τρόπος. Η παρούσα αξία της μέλλουσας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών ισούται με την αφαίρεση της παρούσας αξίας της ληξιπρόθεσμης σειράς (μ) πληρωμών από την παρούσα αξία της ληξιπρόθεσμης σειράς (μ+ν) πληρωμών. (β) τρόπος. Η παρούσα αξία της μέλλουσας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών ισούται με την παρούσα αξία της ληξιπρόθεσμης σειράς (ν) πληρωμών, την οποία προεξοφλούμε (μ) περιόδους. Τέλος, για να βρούμε τον όρο μιας μέλλουσας σειράς πληρωμών, το μόνο που χρειάζετε να κάνουμε είναι να λύσουμε ως προς Α τους αντίστοιχους τύπους. Παράδειγμα 2.15 Μία τράπεζα χορηγεί σήμερα ένα δάνειο ύψους ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 12%, και εξαμηνιαίο ανατοκισμό. Το δάνειο αυτό θα πρέπει να εξοφληθεί σε δέκα έτη με ισόποσες εξαμηνιαίες δόσεις. Η τράπεζα παρέχει περίοδο χάριτος ίση με πέντε εξαμηνιαίες δόσεις. Να βρεθεί η εξαμηνιαία πληρωμή. Απάντηση: Η εξαμηνιαία πληρωμή είναι κατά προσέγγιση ίση με ευρώ. (α) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (12/2=) 6% και 20 πληρωμές είναι 11,4699. Ο ανάλογος συντελεστής που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και 5 πληρωμές είναι 4,2124. Οπότε ο όρος της μέλλουσας σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της μέλλουσας σειράς πληρωμών ως εξής: PV = Α (ΣΠΑΣΠ20) Α (ΣΠΑΣΠ5) = Α (11,4699-4,2124) Α = /7,2575 Α ,49 (β) τρόπος. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (12/2=) 6% και 15 πληρωμές είναι 9,7122. Ο συντελεστής παρούσας αξίας μιας πληρωμής που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και 5 περιόδους είναι 0,7473. Οπότε ο όρος της μέλλουσας σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της μέλλουσας σειράς πληρωμών ως εξής: PV = Α (ΣΠΑΣΠ15) (ΣΠΑ5) = Α (9,7122) (0,7473) Α = /7,2579 Α ,39

24 30 Άσκηση 2.16 Ο κύριος Δρακόπουλος δανείζεται ευρώ από μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 14%. Το δάνειο θα πρέπει να αποπληρωθεί σε τέσσερις ισόποσες ετήσιες (τοκοχρεωλυτικές) δόσεις, πληρωτέες στο τέλος κάθε χρόνου. Ζητείται: (α) Ποιο είναι το ύψος της κάθε τοκοχρεωλυτικής (Τ/Χ) δόσης; (β) Από κάθε δόση ποιο ποσό αντιστοιχεί σε τόκο και ποιο στην αποπληρωμή του αρχικού κεφαλαίου; ΣΥΝΟΨΗ Η αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προγραμμάτων απαιτεί τη σύγκριση των εισπράξεων και πληρωμών τους οι οποίες δεν είναι απαραίτητο να γίνονται την ίδια χρονική περίοδο. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να «μεταφέρετε» τις εισπράξεις και πληρωμές τους σε μια ενιαία χρονική στιγμή, έτσι ώστε να είναι συγκρίσιμες. Η ενέργεια αυτή μπορεί να γίνει μόνο με την χρησιμοποίηση των χρηματοοικονομικών μαθηματικών. Απλός τόκος ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος που παράγεται ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο μια φορά, στο τέλος του χρονικού διαστήματος που το κεφάλαιο αυτό είναι παραγωγικό. Ο απλός τόκος δίνεται από τη σχέση: I = P r t Ανατοκισμός ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος ο οποίος παράγεται κάθε περίοδο προστίθεται στο κεφάλαιο (κεφαλαιοποιείται) και το άθροισμα τους αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για όλες τις επόμενες περιόδους. Τελική αξία είναι η αξία στο μέλλον ενός χρηματικού ποσού που επενδύεται σήμερα. Στο τέλος n ετών η τελική αξία (TV) μιας αρχικής κατάθεσης X0, η οποία ανατοκίζεται μια φορά τον χρόνο με επιτόκιο r ισούται με: n ( ) TV = X + r 0 1 n

25 31 Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m περιόδους τον χρόνο, τότε η τελική αξία μιας αρχικής κατάθεσης βρίσκεται από το τύπο: TV n r m = X 0 1+ nm Παρούσα αξία είναι η αξία που έχει σήμερα ένα συγκεκριμένο ποσό που θα δοθεί σε μια ορισμένη ημερομηνία στο μέλλον. Η παρούσα αξία (PV) κεφαλαίου Xn το οποίο θα πάρουμε μετά από n έτη προεξοφλούμενο με επιτόκιο k ισούται με 1 PV = X n ή PV X n = n + k ( 1+ k ) ( 1 ) n Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m περιόδους τον χρόνο, τότε η παρούσα αξία ισούται με 1 PV = X n nm k 1+ m Σειρά πληρωμών (ράντα) είναι ένα αριθμός συνεχών πληρωμών (ή εισπράξεων) που καταβάλλονται μέσα σ ένα χρονικό διάστημα. Η σειρά πληρωμών της οποίας οι πληρωμές καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου ονομάζεται ληξιπρόθεσμη σειρά πληρωμών, ενώ η σειρά πληρωμών της οποίας οι πληρωμές καταβάλλονται στην αρχή κάθε περιόδου ονομάζεται προκαταβλητέα σειρά πληρωμών.

26 32 Τελική αξία μιας σειράς πληρωμών είναι το άθροισμα όλων των περιοδικών πληρωμών και ο ανατοκιζόμενος τόκος των πληρωμών αυτών που έχει συγκεντρωθεί στο τέλος της σειράς και δίνεται από τη σχέση: ( r) n 1 n t 1+ 1 TVn = A ( 1+ r) = A t= 0 r όπου Α = η περιοδική πληρωμή της σειράς πληρωμών. Η παρούσα αξία μιας σειράς πληρωμών είναι το άθροισμα των παρουσών αξιών όλων των πληρωμών της σειράς και δίνεται από τη σχέση: 1 1 n 1 + PV = A A t = t= 1 ( 1+ k ) k ( 1 k ) n Διηνεκής σειρά πληρωμών είναι μια σειρά πληρωμών της οποίας οι πληρωμές θα καταβάλλονται επ άπειρον. Η παρούσα αξίας της διηνεκούς σειράς πληρωμών δίνεται από τη σχέση: A PV = k

27 33 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Απαντήσεις σε Ασκήσεις Άσκηση 2.1 Στο τέλος του τρίτου έτους θα έχει συγκεντρωθεί κεφάλαιο κατά προσέγγιση ίσο με ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο. TV3 = (1+0,08) 3 = ,2597 = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από το σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 8% και περίοδο 3 χρόνων είναι 1,2597. Οπότε TV3 = ,2597 = Άσκηση 2.2 Στο τέλος του τρίτου έτους θα έχει συγκεντρωθεί κεφάλαιο κατά προσέγγιση ίσο με ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο. TV3 = [1+(0,08/4)] 3 4 TV3 = [1+(0,02)] 12 TV3 = ,2682 = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (0,08/4=) 2% και (3 4=) 12 περιόδους είναι 1,2682. Οπότε TV3 = ,2682 = Άσκηση 2.3 Στο τέλος του τρίτου έτους θα έχει συγκεντρωθεί κεφάλαιο κατά προσέγγιση ίσο με ευρώ. TV3 = e 0,08 3 TV3 = e 0,24 TV3 = ,2712 = ,91

28 34 Άσκηση 2.4 Η σημερινή αξία των ευρώ που θα ληφθούν σε 5 έτη είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο. PV = [1/(1+0,08) 5 ] = (0,6806) = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής προεξόφλησης που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 8% και περίοδο 5 ετών είναι 0,6806. Οπότε PV = (0,6806) = Άσκηση 2.5 Η αξία που έχουν σήμερα οι ευρώ που θα συγκεντρωθεί σε 5 έτη είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο. PV = {1/[1+(0,08/4)] 5 4 } = (1/1,4859) PV = (0,6730) = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής προεξόφλησης που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (0,08/4=) 2% και (5 4=) 20 περιόδους είναι 0,6730. Οπότε PV = (0,6730) = Άσκηση 2.6 Η αξία που έχουν σήμερα οι ευρώ που θα ληφθούν σε 5 έτη είναι ευρώ. PV = (1/e 0,08 5 ) = (1/1,4918) PV = (0,6703) = ,00 Άσκηση 2.7 Η τελική αξία της σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο. TV5 = {[(1+0,06) 5-1]/0,06} = (0,3382/0,06) TV5 = (5,6371) = ,

29 35 Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο 5 ετών είναι 5,6371. Οπότε TV5 = (5,6371) = Άσκηση 2.8 Η τελική αξία της σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο, αφού λάβουμε υπόψη μας ότι το εξαμηνιαίο επιτόκιο είναι (6/2=) 3% και ότι έχουμε 10 περιόδους. TV5 = {[(1+0,03) 10-1]/0,03} = (0,3439/0,03) TV5 = (11,4639) = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 3% και 10 περιόδους είναι 11,463. Οπότε TV5 = (11,463) = Άσκηση 2.9 Η παρούσα αξία της σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο. PV = {[1-(1/(1+0,06) 5 )]/0,06} = {[1-0,7473]/0,06} PV = (0,2527/0,06) = (4,2124) = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 6% και περίοδο 5 χρόνων είναι 4,2124. Οπότε PV = (4,2124) = Άσκηση 2.10 Η παρούσα αξία της σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. PV = { (1/0,05)} { /[0,05 (1+0,05) 20 ]} PV = ,66 PV = ,34.

30 36 Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 5% και περίοδο 20 ετών είναι 12,4622. Οπότε PV = (12,4622) = Άσκηση 2.11 Η τελική αξία της σειράς πληρωμών είναι κατά προσέγγιση ευρώ. TV = PV [(1+r) t ] TV = ,38 (1+0,06) 5 = , Άσκηση 2.12 Το ποσό χρημάτων που πρέπει να καταθέτει ο επενδυτής (δηλαδή ο όρος της σειράς πληρωμών) είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Γνωρίζουμε ότι TV6= ευρώ, n=6 και r=8%. Οπότε το αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο και λύνοντας ως προς Α = Α {[(1+0,08) 6-1]/0,08} = Α (0,5869/0,08) = Α (7,3359) Α = /7,3359 = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής τελικής αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 8% και 6 περιόδους είναι 7,3359. Οπότε = Α (7,3359) Α = /7,3359 = , Άσκηση 2.13 Το ποσό της κάθε ανάληψης (δηλαδή ο όρος της σειράς πληρωμών) είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Γνωρίζουμε ότι PV= ευρώ, n=6 και r=8%. Οπότε το αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον σχετικό τύπο και λύνοντας ως προς Α = Α {{1-[1/(1+0,08) 6 ]}/0,08} = Α [(1-0,6302)/0,08] = Α (0,3698/0,08) = Α (4,6229) Α = ( /4,6229) = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τον σχετικό πίνακα. Από τον πίνακα αυτό βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί

31 37 σε επιτόκιο ανατοκισμού 8% και 6 περιόδους είναι 4,6229. Οπότε = Α (4,6229) Α = ( /4,6229) Α = , Άσκηση 2.14 Το ποσό της κάθε ανάληψης (δηλαδή ο όρος της σειράς πληρωμών) είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τους σχετικούς τύπους και λύνοντας ως προς Α = Α {{1-[1/(1+0,08) 6 ]}/0,08} /(1+0,08) = Α [(1-0,6302)/0,08] (0,6302) ( ,39) = Α (0,3698/0,08) ,61 = Α (4,6229) Α = (87.396,61/4,6229) = , Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί και από τους σχετικούς πίνακες. Από τους πίνακες βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 8% και 6 περιόδους είναι 4,6229, και ότι ο συντελεστής προεξόφλησης που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 8% και 6 περιόδους είναι 0,6302. Οπότε = Α (4,6229) (0,6302) Α = [( )/4,6229] Α = (87.396/4,6229) Α = , Άσκηση 2.15 Η εξαμηνιαία πληρωμή είναι κατά προσέγγιση ευρώ. Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού (12/2=) 6% και 20 πληρωμές είναι 11,4699. Οπότε, ο όρος της σειράς πληρωμών μπορεί να βρεθεί από τον τύπο που μας δίνει την παρούσα αξία της σειράς πληρωμών ως εξής: PV = Α (ΣΠΑΣΠ20) = Α (11,4699) Α = /11,4699 Α ,72 Άσκηση 2.16 (α) Από τον σχετικό πίνακα βρίσκουμε ότι ο συντελεστής παρούσας αξίας σειράς πληρωμών που αντιστοιχεί σε επιτόκιο ανατοκισμού 14% και 4 περιόδους είναι

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2 κεφάλαιο 2 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ Δημήτριος Βασιλείου Καθηγητής Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Νικόλαος Ηρειώτης Καθηγητής Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ kosmid@econ.auth.gr ΣΗΜΕΙΩςΕΙς ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗςΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα. Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας

Ράντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Ράντες Χρήση ραντών Έννοια ράντας Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Χρήση περιοδικών κεφαλαίων (ράντες) Σχηματισμός κεφαλαίου με ισόποσες καταθέσεις Εξόφληση χρέους με δόσεις Μηνιαίες

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδωράκη Ελένη Μαρία

Θεοδωράκη Ελένη Μαρία Εισαγωγή στην ασφάλεια Θεοδωράκη Ελένη Μαρία elma.theodoraki@aegean.gr Κεφάλαιο (Principal) ονομάζουμε το αρχικό ποσό που διαθέτουμε για μια επένδυση, για μία χρονική περίοδο Συσσωρευμένη αξία (accumulated

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ Απλός Τόκος Εφαρμόζεται στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, συνήθως μέχρι τριών μηνών ή το πολύ μέχρι ενός έτους.

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό 2. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1 Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό διάστηµα θέλουµε. Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Πρόσκαιρες Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K Κεφάλαιο. Ανατοκισμός. Εισαγωγή Στη διαδικασία με την οποία ένα κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο, στο τέλος κάθε περιόδου παίρνουμε τον τόκο και αφήνουμε το αρχικό κεφάλαιο να τοκιστεί. Έτσι το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος

Κεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος Κεφάλαιο 5 5. Ράντες 5.. Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί Είναι σύνηθες στις μέρες μας να καταθέτουν οι γονείς κάποιο ποσό για τα παιδιά τους σε μηνιαία, εξαμηνιαία ή ετήσια βάση έτσι ώστε να συσσωρευτεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ χ ε τ ι κ ά μ ε τ ι ς ε κ τ ι μ ή σ ε ι ς - σ υ ν ο π τ ι κ ά Σεμινάριο Εκτιμήσεων Ακίνητης Περιουσίας, ΣΠΜΕ, 2018 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ Χ Ε Τ Ι Κ Α Μ Ε Τ Ι Σ Ε Κ Τ Ι Μ

Διαβάστε περισσότερα

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Σημειώσεις Μαθήματος Πέτρος Γ. Σολδάτος, Στέλιος Π. Ροζάκης Αθήνα 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 1: Κεφαλαιοποίηση Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

I = Kni. (1) (accumulated amount). I = Kni = 1 1 i.

I = Kni. (1) (accumulated amount). I = Kni = 1 1 i. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗ- ΜΑΤΙΚΑ (FINANCIAL MATHEMATICS) Τα οικονομικά μαθηματικά λύνουν προβλήματα οικονομικών συναλλαγών. Ορισμός 1. Οικονομικές συναλλαγές ονομάζονται οι δοσοληψίες που είναι μετακινήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα.

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος 2015-2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 1 ο ΣΕΤ. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ, ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗΣ)

ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ, ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗΣ) ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ, ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗΣ) Κάποιες βασικές παραδοχές: Στην πραγματική οικονομία, τόσο τα άτομα, όσο και οι επιχειρήσεις λαμβάνουν αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών Δανάη Διακουλάκη, Καθηγήτρια ΕΜΠ diak@chemeng.ntua.gr Άγγελος Τσακανίκας, Επ. καθηγητής ΕΜΠ atsaka@central.ntua.gr ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Προεξοφλητικό επιτόκιο Η χρονική αξία του χρήματος είναι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου της επιχείρησης. Το προεξοφλητικό επιτόκιο ή επιτόκιο αναγωγής σε παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1] Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις

Διαβάστε περισσότερα

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος Στην περίπτωση του ανατοκισμού συναντάμε τέσσερα ποσά: Το αρχικό κεφάλαιο (ή αρχική αξία), που καταθέτουμε αρχικά, το οποίο συμβολίζουμε με, Το τελικό κεφάλαιο (ή τελική αξία) που είναι το ποσό που αποσύρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Κάθε έργο αποτελεί ένα οικονομικό μηχανισμό, ο οποίος αναλώνει, αλλά και παράγει χρήμα. Οι εμπλεκόμενοι στο έργο

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Ενότητα 1: Βασικές έννοιες Δ. Δαμίγος Μ. Μενεγάκη Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 2: Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ενότητα 1: Αξιολόγηση Επενδύσεων (1/5) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια παραδείγματα Ανατοκισμός Αρχικό κεφάλαιο Κο ή PV Τελικό κεφάλαιο Κ ή FV Επιτόκιο i ή r Χρόνος Ακέραιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Ανατοκισμού

Εφαρμογές Ανατοκισμού Εφαρμογές Ανατοκισμού Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Μέσο επιτόκιο - Ισοδύναμα επιτόκια - Αντικατάσταση κεφαλαίων - Ρυθμός πληθωρισμού ΣΤΟΧΟΙ - Εύρεση μέσου επιτοκίου, όταν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 9: Κόστος κεφαλαίου - Χρηματορροές Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 10: ΡΑΝΤΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commos εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος Κεφάλαιο 5ο Απλός τόκος Υπολογισμός του απλού τόκου όταν αυτός εκφράζεται σε έτη, εξάμηνα, τρίμηνα, μήνες, ημέρες. Στα προβλήματα απλού τόκου συμπλέκονται τέσσερα ποσά. 1) Ο τόκος, ο οποίος θα συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Διάκριση Μαθηματικών Έννοια Χρηματοοικονομικών Ορισμοί Χρηματοοικονομικά Τράπεζες Χρηματιστήρια Προεξόφληση Αντικατάσταση Γραμματίων Δάνεια Ομόλογα Αμοιβαία Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ)

ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ) ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ) ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΗΜΕΡΙΝΟΥ ΠΟΣΟΥ Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 180.000, που ανατοκίζεται κάθε 6 μήνες για 10 έτη με ετήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!!

Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία:12Φεβρουαρίου 2018 Πρωί: Χ Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Οικονομίας & Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Αα Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!! 1/10 Ερώτηση 1. Αν η προεξοφλημένη αξία

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΕΡΩΤΗΣΗ. (5 μονάδες) Θέλετε να αξιολογήσετε τέσσερα ομόλογα. Όλα τα ομόλογα έχουν 0 χρόνια μέχρι την λήξη και ονομαστική αξία.000. Το ομόλογο Α έχει κουπόνι με ετήσια απόδοση % το οποίο παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) 5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Βιομηχανικής και Ενεργειακής Οικονομίας ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 ο Εξάμηνο Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

Ομόλογο καλείται η μορφή επένδυσης μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων μελών όπου ο ένας «δανείζεται» χρήματα και καλείται εκδότης (πχ. κράτος ή εταιρίες) και ο άλλος «δανείζει» χρήματα και καλείται κάτοχος (πχ.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε:

Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε: Ημερομηνία αξιολόγησης Η αξία του κεφαλαίου δεν είναι σταθερή στο χρόνο, και κάθε εξίσωση που περιλαμβάνει το επιτόκιο είναι εξίσωση αξίας, γιατί απεικονίζει ισοδυναμία μεταξύ δυο χρηματικών ποσών σε μια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά ΤΕΙ Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ Κρήτης Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά 1 (1 + ) n PV = A Σημειώσεις Διδασκαλίας Ακαδημαϊκό Έτος 2016-17 Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 4: Ανατοκισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Αποτίμηση αξιογράφων σταθερού εισοδήματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Αποτίμηση αξιογράφων σταθερού εισοδήματος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αποτίμηση αξιογράφων σταθερού εισοδήματος Στο προηγούμενο κεφάλαιο μάθατε τα βασικά χαρακτηριστικά των αξιο γράφων σταθερού εισοδήματος. Οι έννοιες αυτές είναι απαραίτητες για την αποτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Διεθνώς ονομάζεται internal rate of return, και συμβολίζεται με IRR. Με τη μέθοδο αυτή δεν χρησιμοποιούμε επιτόκιο υπολογισμού της αξίας της επένδυσης, αλλά υπολογίζουμε το επιτόκιο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Σηµειώσεις στο Μάθηµα Ειδικά Θέµατα Χρηµατοδοτικής Διοίκησης. Π. Φ. Διαµάντης Α.Α.Δράκος 1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Τα Δάνεια, είναι τα πολύ γνωστά σε όλους µας πιστωτικά προϊόντα στα οποία η αποπληρωµή

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Ονομαστικό και Πραγματικό Επιτόκιο Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας click στους αριθμούς μέσα σε κόκκινα ορθογώνια, μεταϕέρεστε απευθείας στη λύση ή την εκϕώνηση αντίστοιχα. Άσκηση 1

Κάνοντας click στους αριθμούς μέσα σε κόκκινα ορθογώνια, μεταϕέρεστε απευθείας στη λύση ή την εκϕώνηση αντίστοιχα. Άσκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΟΛΟΓΩΝ Κάνοντας click στους αριθμούς μέσα σε κόκκινα ορθογώνια, μεταϕέρεστε απευθείας στη λύση ή την εκϕώνηση αντίστοιχα. Άσκηση Θεωρείστε ένα αξιόγραϕο το οποίο υπόσχεται τις κάτωθι χρηματικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Οικονομολόγους

Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ενότητα # 19: Επανάληψη Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Η μελλοντική των 20 ευρώ σε 3 χρόνια με μηνιαίο ανατοκισμό θα βρεθεί από 12 )3 12

Η μελλοντική των 20 ευρώ σε 3 χρόνια με μηνιαίο ανατοκισμό θα βρεθεί από 12 )3 12 ΠΔΕ35 Λύση ης γραπτής εργασίας 05-6. Λύση: Το ουσιαστικό επιτόκιο θα βρεθεί από er = ( + r m m όπου m= o αριθμός των ανατοκισμών στο έτος. Συνεπώς το ουσιαστικό επιτόκιο είναι er = ( + 0.09 = 0.093807

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση Εφαρμογές με Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Απόσβεση - Σύνθετη παραγωγική διάρκεια παγίων - Κεφαλαιοποιημένο κόστος - Καθαρά παρούσα αξία - Εσωτερικός βαθμός απόδοσης - Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΟΜΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΕΣΟΔΩΝ

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΟΜΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΕΣΟΔΩΝ 1 3. ΟΜΟΛΟΓΑ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΟΜΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΕΣΟΔΩΝ Ομολογίες σταθερής προσόδου: το επιτόκιο αυτών των χρεογράφων καθορίζονται κατά την έκδοσή τους και παραμένει σταθερό για όλη τη διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 π.μ. π.μ. .......

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια της Παρούσας Αξίας και Εφαρμογές: Τιμές των Ομολόγων και Επενδυτικές Αποφάσεις των Επιχειρήσεων 1. Η Έννοια της Παρούσας Αξίας

Έννοια της Παρούσας Αξίας και Εφαρμογές: Τιμές των Ομολόγων και Επενδυτικές Αποφάσεις των Επιχειρήσεων 1. Η Έννοια της Παρούσας Αξίας Έννοια της Παρούσας Αξίας και Εφαρμογές: Τιμές των Ομολόγων και Επενδυτικές Αποφάσεις των Επιχειρήσεων 1. Η Έννοια της Παρούσας Αξίας - Η Παρούσα Αξία (PV) ενός ποσού R που θα εισπραχθεί μετά από μια περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!!

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 6 Φεβρουαρίου 2019 Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα: Αρχές Οικονομίας & Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Αα Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!! 1/6 Θέμα 1 ο α) (2 Βαθμοί)Ομόλογο με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο (II) Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών.

Κεφάλαιο 5ο (II) Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών. Κεφάλαιο 5ο () Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους του β μέλους των τύπων: K v και K

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τόκος. Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος. Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός. Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο

Τόκος. Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος. Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός. Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο Τόκος Διαχωρίζεται ανάλογα με το είδος σε: Απλός τόκος Σύνθετος τόκος ή Ανατοκισμός Το αρχικό κεφάλαιο παραμένει ίδιο Το αρχικό κεφάλαιο μεταβάλλεται αυξανόμενο με τον τόκο κάθε χρονικής περιόδου Ανατοκισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ FW.PR09 Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 4//07 Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Οικονομίας και Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά FW.PR09 / FW.PR09. Δίνεται ένταση ανατοκισμού t = την ράντα s 0.0t για 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδ. Έτος: 1-1 Θέμα 1 α) Ο επενδυτής μπορεί να εκμεταλλευτεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Δάνεια Γενικά Δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ Αν οι τόκοι καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου

Κεφάλαιο Δάνεια Γενικά Δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ Αν οι τόκοι καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου Κεφάλαιο 6 6. Δάνεια 6.. Γενικά Το σημαντικότερο και σίγουρα το πιο διαδεδομένο κεφάλαιο των οικονομικών μαθηματικών είναι αυτό των δανείων. Κράτη, δημόσιοι οργανισμοί, επιχειρήσεις αλλά και ιδιώτες χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί.

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. Εργαστήριο 9 ο Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. NPER Αποδίδει το πλήθος των περιόδων μιας επένδυσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Είναι η επένδυση συμφέρουσα; Ποιός είναι ο πραγματικός χρόνος αποπληρωμής της επένδυσης; Κατά πόσο επηρεάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος.

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος. Δάνεια Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Κεφάλαιο δανείου - Ενιαία δάνεια - Απόσβεση δανείων - Χρεολύσιο - Τοκοχρεολύσιο - Εξοφλητικό απόθεμα - Σύστημα απόσβεσης δανείου ΣΤΟΧΟΙ - Εντοπισμός

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΑΠ ΝΔΦΚ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΑΠ ΝΔΦΚ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ Αρχικό Κεφάλαιο (principal), ονομάζεται το ποσό των χρημάτων που δανείζεται κάποιος κατά τη σύναψη ενός δανείου Το ποσό αυτό που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΤΟΜΑΡΑ ΠΑΪΠΟΥΤΛΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογική Οικονομική Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης

Τεχνολογική Οικονομική Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Τεχνολογική Οικονομική Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Καθηγητής Κ.Π. Αναγνωστόπουλος, D.E.A., Ms, PhD Λέκτορας A.Π. Βαβάτσικος, Dip.Eg., PhD Εισαγωγικά Ο σχεδιασμός τεχνολογικών συστημάτων βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 6: Επιτόκιο Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξής:

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξής: ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την κατασκευ ενός έργου ύδρευσης ένας Δμος δανείζεται από το Ταμείο Παρακαταθηκών και Δανείων ποσό 5.000.000, με επιτόκιο 5%. Το δάνειο θα αποπληρωθεί σε 10 ισόποσες δόσεις ενώ η αποπληρωμ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Προεξόφληση με απλό τόκο Εισαγωγή Βασικές έννοιες προεξόφλησης

Κεφάλαιο Προεξόφληση με απλό τόκο Εισαγωγή Βασικές έννοιες προεξόφλησης Κεφάλαιο. Προεξόφληση με απλό τόκο.. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι οι συναλλαγές μεταξύ επιχειρήσεων σπανίως γίνονται με μετρητά. Ειδικά στις χώρες του εξωτερικού οι συναλλαγές με μετρητά καλύπτουν μόνο ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου)

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου) ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου Ορισμός: είναι το κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων που έχουν όλοι οι επενδυτές της εταιρείας (μέτοχοι και δανειστές) Κόστος ευκαιρίας: είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 13 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 13 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 03 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 03 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ. π.μ.) .

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Όταν μια επιχείρηση εξετάζει την περίπτωση ανάληψης ενός επενδυτικού προγράμματος, θα πρέπει να πάρει δύο ειδών αποφάσεις. Η πρώτη απόφαση αναφέρεται στα

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων. Διάλεξη 1 Η Χρονική Αξία του Χρήματος I (Εξισώσεις Αξίας) Δράκος και Καραθανάσης, Κεφ2

Αξιολόγηση Επενδύσεων. Διάλεξη 1 Η Χρονική Αξία του Χρήματος I (Εξισώσεις Αξίας) Δράκος και Καραθανάσης, Κεφ2 Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 1 Η Χρονική Αξία του Χρήματος I (Εξισώσεις Αξίας) Δράκος και Καραθανάσης, Κεφ2 Περίγραμμα Διάλεξης Το Χρονοδιάγραμμα Οι Τρείς Κανόνες του Χρονοδιαγράμματος Το Χρονοδιάγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κ2.1 Βασικές έννοιες Μέθοδοι λήψης οικονομοτεχνικών αποφάσεων Οι βασικές μέθοδοι για να παρθεί μια απόφαση με βάση οικονομοτεχνικά κριτήρια είναι: 1. Η μέθοδος της παρούσας

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ;

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ; Άσκηση 1 α) Κάνει κάποιος κατάθεση ποσού 5 χιλ. σε λογαριασμό απλού τόκου με ετήσιο επιτόκιο 4%. Μετά από 3 μήνες κάνει ανάληψη 3 χιλ. και μετά από άλλους 7 μήνες επιθυμεί να κάνει μία κατάθεση, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση & Διαχείριση Υπόγειων Εργων ΔΠΜΣ Σχεδιασμός & Κατασκευή Υπόγειων Εργων Κατερίνα Αδάμ, Μ. Sc., Ph.D Aναπληρώτρια Καθηγήτρια, Σχολή ΜΜΜ

Οργάνωση & Διαχείριση Υπόγειων Εργων ΔΠΜΣ Σχεδιασμός & Κατασκευή Υπόγειων Εργων Κατερίνα Αδάμ, Μ. Sc., Ph.D Aναπληρώτρια Καθηγήτρια, Σχολή ΜΜΜ Οργάνωση & Διαχείριση Υπόγειων Εργων ΔΠΜΣ Σχεδιασμός & Κατασκευή Υπόγειων Εργων Κατερίνα Αδάμ, Μ. Sc., Ph.D Aναπληρώτρια Καθηγήτρια, Σχολή ΜΜΜ 27/10/2017 Χειμερινό Εξάμηνο, 2017-2018 1 Ανάλυση Κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Μοντέλα Επιλογής Έργων

Αριθμητικά Μοντέλα Επιλογής Έργων Αριθμητικά Μοντέλα Επιλογής Έργων Διακρίνονται σε χρηματοοικονομικά μοντέλα και σε μοντέλα βαθμολόγησης. Τα χρηματοοικονομικά μοντέλα είναι: Περίοδος αποπληρωμής επενδεδυμένων κεφαλαίων (Payback Period)

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα