C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]"

Αοιδή Πανταζής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις περιπτώσεις το κεφάλαιο που κατατίθεται κάθε έτος είναι σταθερό και ίσο με τη δόση του δανείου. ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Πρέπει να ορίζεται εκ των προτέρων ο χρόνος πληρωμής των δόσεων και ο χρόνος λήψης του κεφαλαίου (χρέος). Ο γενικός κανόνας είναι ότι όλα τα έξοδα καταβάλλονται στην αρχή της περιόδου ανατοκισμού ενώ όλα τα έσοδα στο τέλος της (αρχή της επομένης). Εάν δεν ορίζεται διαφορετικά, ο κανόνας αυτός θα ακολουθείται πάντα. Στις περιπτώσεις των δανείων, κάθε δόση καταβάλλεται στην αρχή της περιόδου. Υπολογισμός δόσεων για εξόφληση ποσού στο μέλλον Τα ποσά που κατατίθενται στο τέλος κάθε περιόδου t = 1,2,3,...,η, με επιτόκιο r ανά περίοδο θεωρούνται σταθερά και είναι οι δόσεις D του δανείου. Ημερομηνία αξιολόγησης θεωρείται η λήξη της n περιόδου. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο άξονας του χρόνου είναι: Στη λήξη της n περιόδου, κάθε δόση θα παράγει ένα συνολικό ποσό που προκύπτει από το αρχικό ποσό της δόσης συν τους τόκους. Έτσι: - η 1η δόση παράγει για n-1 χρονικές περιόδους ποσό D (1 + r) n-1 - η 2η δόση παράγει για n-2 χρονικές περιόδους ποσό D (1 + r) n-2 - η 3η δόση παράγει για n-3 χρονικές περιόδους ποσό D (1 + r) n-3 - κ.ο.κ. Άρα στο τέλος, το συνολικό ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί από τις δόσεις και τους τόκους τους θα είναι: D (1 + r) n-1 + D (1 + r) n-2 + D (1 + r) n D Το ποσό αυτό είναι ίσο με το συνολικό χρέος. Οπότε: C n = D (1 + r) n-1 + D (1 + r) n-2 + D (1 + r) n D ή C n = D [(l + r) n-1 + (1 + r) n ] Τελικά, η παράσταση με τη βοήθεια γεωμετρικής προόδου γράφεται: C n = D [(l + r) n - 1]/r D = C n r/[(l + r) n - 1] (7) Υπολογισμός δόσεων για εξόφληση ποσού στο παρόν Τα ποσά που κατατίθενται στο τέλος κάθε περιόδου t = 1,2,3,...,η, με επιτόκιο r ανά περίοδο θεωρούνται σταθερά και είναι οι δόσεις D του δανείου.

2 Ημερομηνία αξιολόγησης θεωρείται η σημερινή. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο άξονας του χρόνου είναι: Στη λήξη της κάθε περιόδου, η δόση θα παράγει μια συγκεκριμένη παρούσα αξία. Έτσι: - η 1η δόση παράγει παρούσα αξία D (1 + r) -1 - η 2η δόση παράγει παρούσα αξία D (1 + r) -2 - η 3η δόση παράγει παρούσα αξία D (1 + r) -3 - κ.ο.κ. Άρα σήμερα, η συνολική παρούσα αξία που θα έχει συγκεντρωθεί από τις δόσεις θα είναι: D (1 + r) -1 + D (1 + r) -2 + D (1 + r) D (1 + r) -n Το ποσό αυτό είναι ίσο με το συνολικό χρέος. Οπότε: C 0 = D (1 + r) -1 + D (1 + r) -2 + D (1 + r) D (1 + r) -n ή C 0 = D [(l + r) -1 + (1 + r) (1 + r) -n ] Τελικά, η παράσταση με τη βοήθεια γεωμετρικής προόδου γράφεται: C 0 = D [1 - (l + r) -n ]/r D = C 0 r/[1 - (l + r) -n ] (8) Οι δύο αυτοί τρόποι απόδοσης του δανείου (στο παρόν και στο μέλλον) ονομάζονται τοκοχρεολυτική απόδοση, ενώ το ποσό της δόσης D τοκοχρεολύσιο. Προκειμένου να εκτελέσει ένα τεχνικό έργο, η κατασκευαστική εταιρία πρέπει να αγοράσει μηχάνημα αξίας Για την αγορά αυτή καταφεύγει σε δανεισμό από τράπεζα, για όλο το ποσό. Η συμφωνία με την τράπεζα για την εξόφληση της οφειλής είναι η εξής: - θα δοθούν αρχικά μετά από 2 έτη - το υπόλοιπο ποσό θα καταβληθεί σε 5 ισόποσες εξαμηνιαίες δόσεις, από το επόμενο εξάμηνο μετά την καταβολή των το συμφωνηθέν επιτόκιο είναι 5% ανά εξάμηνο, το οποίο ξεκινά από την ημέρα της σύμβασης του δανείου Να υπολογιστεί το ποσό της δόσης. - η καταβολή της κάθε δόσης γίνεται στην αρχή κάθε εξαμήνου - ως έσοδα της εταιρίας λαμβάνεται η λήψη του ποσού των ως έξοδα της εταιρίας λαμβάνονται οι δόσεις και η καταβολή των η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η σημερινή Σύμφωνα με τα παραπάνω, εάν σε D αντιστοιχεί τo ποσό της κάθε δόσης, σε C 0 το ποσό των και σε C 1 το ποσό των , έχουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου:

3 Σήμερα, η συνολική παρούσα αξία από τα μελλοντικά έξοδα είναι: C 1 (1 + r) -4 + D (1 + r) -5 + D (1 + r) -6 + D (1 + r) -7 + D (1 + r) -8 + D (1 + r) -9 = C 1 (1 + r) -4 + D [(1 + r) -5 + (1 + r) -6 + (1 + r) -7 + (1 + r) -8 + (1 + r) -9 ] = (1 + 0,05) -4 + D [(1 + 0,05) -5 + (1 + 0,05) -6 + (1 + 0,05) -7 + (1 + 0,05) -8 + (1 + 0,05) -9 ] = ,8227+ D (0, , , , ,6446) = ,5618 D Το παραπάνω ποσό είναι ίσο με το ποσό C 0 που πήρε η εταιρία από την τράπεζα, οπότε: ,5618 D = ή 3,5618 D = ή D = Τεχνική εταιρία αναλαμβάνει να κατασκευάσει ένα λιμένα συνολικού κόστους με τους εξής όρους: - η εταιρία θα χρηματοδοτήσει την κατασκευή του έργου που θα διαρκέσει 1 έτος - η πληρωμή της θα γίνει από τα έσοδα χρήσης του λιμένα από τον 2ο έως και το 10ο έτος (από την αρχή του έργου) Να βρεθεί ποια θα πρέπει να είναι τα ελάχιστα έσοδα για τα παραπάνω έτη, ώστε το κέρδος στο τέλος του 10ου έτους (από την αρχή του έργου) να είναι , όταν το ετήσιο επιτόκιο είναι r = 8%. - το απαιτούμενο ποσό για την κατασκευή του λιμένα δίνεται στην αρχή του έργου - τα έσοδα της εταιρίας λαμβάνονται στο τέλος κάθε έτους λειτουργίας της (αρχή επομένου έτους) - το κέρδος λαμβάνεται στο τέλος του 10 ου έτους - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η αρχή του έργου Σύμφωνα με τα παραπάνω, εάν Ε είναι τα έσοδα χρήσης κάθε έτους, θα έχουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου: Στην αρχή του έργου, η συνολική παρούσα αξία που θα έχει συγκεντρωθεί από μελλοντικά ποσά είναι: - από τα έσοδα χρήσης: Ε(1 + r) -2 + Ε(1 + r) -3 + Ε(1 + r) -4 + Ε(1 + r) -5 + Ε(1 + r) -6 + Ε(1 + r) -7 + Ε(1 + r) -8 + Ε(1 + r) -9 + Ε(1 + r) -10 = Ε [(1 + r) -2 + (1 + r) -3 + (1 + r) -4 + (1 + r) -5 + (1 + r) -6 + (1 + r) -7 + (1 + r) -8 + (1 + r) -9 + (1 + r) -10 ] = Ε (1, , , , , , , , ,08-10 ) = Ε (0,8573+0,7938+0,7350+0,6806+0,6302+0,5835+0,5403+0,5002+0,4632) = 5,7842 Ε - από το κέρδος: ΚΕΡΔΟΣ (1 + r) -10 = (1 + 0,08) -10 = ,4632 =

4 Το κόστος κατασκευής στην αρχή του έργου είναι Επειδή τα έσοδα είναι ίσα με τα έξοδα, έχουμε: = ,7842 Ε ή 5,7842 Ε = ή Ε = Τεχνική εταιρία οφείλει σε υπεργολάβο για εργασίες που αυτός εκτέλεσε τα εξής ποσά: - C 1 = , τα οποία θα πρέπει να καταβληθούν μετά 3 έτη, με ετήσιο επιτόκιο r 1 = 7% - C 2 = , τα οποία πρέπει να καταβληθούν μετά 2 έτη χωρίς τόκο - C 3 = , τα οποία πρέπει να καταβληθούν μετά 1 έτος, με ετήσιο επιτόκιο r 3 = 10% - C 4 = , τα οποία πρέπει να καταβληθούν σε 5 έτη, με ετήσιο επιτόκιο r 4 = 5%. Ο υπολογισμός της επιβάρυνσης στα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 αρχίζει από σήμερα. Λόγω οικονομικών δυσκολιών, η εταιρία συμφώνησε με τον υπεργολάβο να γίνει σύνοψη σήμερα, όλων των οφειλών της με ετήσιο επιτόκιο 6%. Επίσης συμφώνησε να εξοφλήσει τα χρέη της προς τον υπεργολάβο καταβάλλοντας άμεσα ποσό και τα υπόλοιπα σε 4 ίσες ετήσιες δόσεις με ετήσιο επιτόκιο r = 6%, που θα αρχίσουν να καταβάλλονται από το τέλος του 1ου έτους. Ζητείται να βρεθεί το ποσό της ετήσιας δόσης D. - από τα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 προκύπτουν στο μέλλον κάποια άλλα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 (είναι τα τοκισμένα αρχικά ποσά για τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα) - η πληρωμή των ποσών C 1, C 2, C 3 και C 4 γίνεται στο τέλος της χρονικής περιόδου που συμφωνήθηκε - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι η σημερινή Για την επίλυση του προβλήματος πρέπει να υπολογίσουμε ποια είναι η σημερινή οφειλή της εταιρίας. Έτσι, σχεδιάζουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου: Τα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 που προκύπτουν στο μέλλον σύμφωνα με τα συμφωνηθέντα είναι: - C 1 = C 1 (1 + r 1 ) 3 = (1 + 0,07) 3 = ,2250 = C 2 = C 2 = C 3 = C 3 (1 + r 3 ) 1 = (1 + 0,10) 1 = ,10 = C 4 = C 4 (1 + r 4 ) 5 = (1 + 0,05) 5 = ,2763 = Σήμερα, η συνολική παρούσα αξία από όλες τις μελλοντικές παλαιές οφειλές είναι: C 0 = C3 (1+r) -1 + C 2 (1+r) -2 + C 1 (1+r) -3 + C 4 (1+r) -5 ή C 0 = (1+0,06) (1+0,06) (1+0,06) (1+0,06) -5 ή C 0 = , , , ,7473 ή C 0 = ή C 0 =

5 Το παραπάνω ποσό είναι ίσο με την παρούσα αξία όλων των πληρωμών που θα κάνει η εταιρία (μετρητά και δόσεις). Έτσι ο νέος άξονας του χρόνου είναι ο εξής: Σήμερα, η συνολική παρούσα αξία από όλες τις πληρωμές (σημερινές και μελλοντικές) είναι: D (1+r) -1 + D (1+r) -2 + D (1+r) -3 + D (1+r) -4 = D [(1+r) -1 + (1+r) -2 + (1+r) -3 + (1+r) -4 ] = D [(1+0,06) -1 + (1+0,06) -2 + (1+0,06) -3 + (1+0,06) -4 ] = D (0, , , ,7921) = ,4651 D Επειδή οι πληρωμές αυτές είναι ίσες με το ποσό C 0, έχουμε: C 0 = ,4651 D ή = ,4651 D ή 3,4651 D = ή D =16.993

Σχετικά έγγραφα

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξής:

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου είναι ο εξής: ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την κατασκευ ενός έργου ύδρευσης ένας Δμος δανείζεται από το Ταμείο Παρακαταθηκών και Δανείων ποσό 5.000.000, με επιτόκιο 5%. Το δάνειο θα αποπληρωθεί σε 10 ισόποσες δόσεις ενώ η αποπληρωμ