Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου"

Transcript

1 . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας, αν το ίδιο κεφάλαιο το τοκίσουμε για ένα ακόμη έτος, θα δώσει πάλι τόκο ίσο με I= i. Συνολικά λοιπόν στα δύο έτη δημιουργείται τόκος Ι =Κ ι. Σημειώνεται ότι ο δείκτης στο σύμβολο του τόκου I δείχνει ότι πρόκειται για τον τόκο στα δύο έτη. Ανάλογα αν το κεφάλαιο τοκισθεί για τρία έτη, δημιουργούνται συνολικά τόκοι Ι =Κ ι. Συνεχίζοντας με την ίδια λογική μπορούμε να γενικεύσουμε τον τύπο για την εύρεση του τόκου μετά από n έτη ως εξής: In n i Το νέο κεφάλαιο που δημιουργείται στο τέλος των n ετών είναι ίσο με το αρχικό κεφάλαιο συν τους τόκους των n ετών, το συμβολίζουμε με n και είναι: n In ή n n i Αυτή είναι η βασική εξίσωση του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη και το επιτόκιο είναι ετήσιο. Όταν έχουμε ετήσιο επιτόκιο, αλλά ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες, τον ανάγουμε σε έτη διαιρώντας με το, οπότε έχουμε για τον τόκο: I i και για το νέο κεφάλαιο: i Όταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, τον ανάγουμε σε έτη διαιρώντας με το 65, οπότε για τον τόκο έχουμε: I i 65 και για το νέο κεφάλαιο: i 65 Πολλές φορές, για ευκολία στους υπολογισμούς, θεωρούμε ότι το έτος έχει 60 ημέρες και ο κάθε μήνας 0 ημέρες. Στην περίπτωση αυτή το έτος καλείται εμπορικό έτος. Το εμπορικό έτος χρησιμοποιείται στις συναλλαγές στις σκανδιναβικές χώρες, στη Γερμανία, στη Ρωσία κ.α. Όταν χρησιμοποιούμε το ημερολογιακό έτος με τους μήνες στην πραγματική τους διάρκεια, δηλαδή 0 ή ημέρες και 8 ή 9 για τον Φεβρουάριο, το έτος καλείται πολιτικό έτος. Το πολιτικό έτος το χρησιμοποιούν στις συναλλαγές τους η Μεγάλη Βρετανία και οι ΗΠΑ. Κάτι ενδιάμεσο το οποίο χρησιμοποιείται από τη χώρα μας και άλλες χώρες (όπως Ιταλία, Ισπανία, Γαλλία κ.α.) είναι το μικτό έτος. Εδώ οι μήνες λαμβάνονται όπως στο ημερολογιακό έτος, αλλά το σύνολο των ημερών του έτους θεωρείται 60 ημέρες. Όλα τα παραπάνω φαίνονται στον πίνακα.: Έτος Μήνας Χρόνος Πολιτικό 8, 9, 0, μέρες 65 ή 66 μέρες Εμπορικό 0 μέρες 60 μέρες Μικτό 8, 9, 0, μέρες 60 μέρες Πίνακας. Είδη ετών

2 ... Εύρεση του τόκου Παράδειγμα Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου.000 το οποίο τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 7% για 5 έτη. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: στον τύπο του απλού τόκου: μικτό.).000 n 5 i 0,07 I5 ni I5 5i , Παράδειγμα Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου.000 το οποίο τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 4% για 8 μήνες. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: στον τύπο του απλού τόκου I i 0,04 i ,04 I8 80 Παράδειγμα Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου το οποίο τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 9% για 70 ημέρες. (Έτος Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: στον τύπο του απλού τόκου I i 0,09 i 0, I Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου το οποίο τοκίστηκε από την η Ιανουαρίου 05 έως τις 6 Μαρτίου 05 με ετήσιο επιτόκιο 9%. (Έτος μικτό.) Από την η Ιανουαρίου 05 έως τις 5 Μαρτίου 05 έχει μέρες ο Ιανουάριος, 8 μέρες ο Φεβρουάριος και 5 μέρες ο Μάρτιος, δηλαδή το κεφάλαιο μας τοκίζεται για +8+6-=84 ημέρες. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: i 0,09 στον τύπο του απλού τόκου και έχουμε: i ,09 I I Το νέο κεφάλαιο που δημιουργείται είναι το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου, δηλαδή: I

3 ... Εύρεση του επιτοκίου Παράδειγμα 5 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο για 5 έτη και έδωσε τόκο 4.500; Θα αντικαταστήσουμε τα δεδομένα της άσκησης στον τύπο του απλού τόκου (=5.000 n=5 I=4.500). I I ni i i 0,06 n Δηλαδή το επιτόκιο είναι 6%. Παράδειγμα 6 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο από τις 5 Ιανουαρίου 05 έως τις 0 Μαρτίου 05 και έδωσε τόκο ; (Έτος μικτό.) Ο αριθμός των ημερών που τοκίζεται το κεφάλαιο είναι: Ιανουάριος: 7 Φεβρουάριος: 8 Μάρτιος: 0 Δηλαδή, συνολικά 7+8+0=65 ημέρες από τις οποίες αφαιρούμε μία, άρα έχουμε 64 τοκοφόρες ημέρες. (ν=64) Επιπλέον, γνωρίζουμε το κεφάλαιο Κ=790 και τον τόκο Ι=. Λύνουμε τον τύπο του απλού τόκου ως προς το επιτόκιο: 60 I i 60 I i i I 60 αντικαθιστούμε τα δεδομένα: 60 I 60 i 0, Παρατήρηση Προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αριθμό των τοκοφόρων ημερών μιας περιόδου, για να μην μετράμε τις ημέρες κάθε μήνα, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον πίνακα τοκοφόρων ημερών. Ο πίνακας αυτός (.) σε κάθε ημερομηνία αντιστοιχίζει τον αριθμό ημερών από την η του έτους. Αρκεί να βρούμε σε πόσες ημέρες από την αρχή του έτους αντιστοιχεί η ημερομηνία έναρξης και λήξης της περιόδου τοκισμού και να τις αφαιρέσουμε για να βρούμε τις τοκοφόρες ημέρες που αντιστοιχούν. Στο παραπάνω παράδειγμα η περίοδος τοκισμού είναι από 5 Ιανουαρίου 05 μέχρι 0 Μαρτίου 05. Έναρξη στις 5 Ιανουαρίου 05 σημαίνει 5 ημέρες από την η του έτους. Λήξη στις 0 Μαρτίου 05 σημαίνει 79 ημέρες από την η του έτους. Άρα, οι τοκοφόρες ημέρες είναι: 79 5=64 ημέρες. Αν η περίοδος τοκισμού εκτείνεται σε περισσότερα από ένα έτη π.χ. από 0 Νοεμβρίου 04 έως 5 Φεβρουαρίου 05, τότε υπολογίζουμε τον αριθμό των τοκοφόρων ημερών δύο περιόδων, δηλαδή από 0 Νοεμβρίου 04 έως Δεκεμβρίου 04 και από η Ιανουαρίου 05 έως 5 Φεβρουαρίου 05. Για την περίοδο από 0 Νοεμβρίου 04 έως Δεκεμβρίου 04 έχουμε: 65 4=5 ημέρες. Για την περίοδο από η Ιανουαρίου 05 έως 5 Φεβρουαρίου 05 έχουμε 56 ημέρες. Άρα, για την περίοδο από 0 Νοεμβρίου 04 έως 5 Φεβρουαρίου 05 έχουμε συνολικά 5+56=07 τοκοφόρες ημέρες. Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α Σ Ο Ν Δ

4 Πίνακας. Αριθμός τοκοφόρων ημερών Παράδειγμα 7 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο το οποίο μετά από 7 έτη έγινε.40; Εδώ μας δίνεται το νέο κεφάλαιο το οποίο δημιουργήθηκε, δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο συν τους τόκους I, το αρχικό κεφάλαιο και ο χρόνος τοκισμού και πρέπει να βρούμε το επιτόκιο. Θα πάρουμε τον τύπο απλού τόκου και θα λύσουμε ως προς το επιτόκιο I n i n i i n Εφαρμόζουμε τον τύπο στα δεδομένα του παραδείγματος: i i 0,09 n Δηλαδή το επιτόκιο είναι 9%.

5 Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να βρούμε τον τόκο αφαιρώντας το αρχικό από το τελικό κεφάλαιο και να δουλέψουμε όπως στα προηγούμενα παραδείγματα. Παράδειγμα 8 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο το οποίο διπλασιάστηκε σε 0 έτη; Το νέο κεφάλαιο είναι. Γνωρίζουμε ότι στον απλό τόκο ισχύει: ( n i) όπου αντικαθιστούμε το ίσο του ( n i) μπορούμε να διαγράψουμε το από τα δύο μέλη, οπότε έχουμε ni ni i 0, n 0 Παρατηρούμε ότι το ερώτημα είναι ανεξάρτητο του κεφαλαίου. Δηλαδή, οποιοδήποτε κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο, χρειάζεται επιτόκιο 0% προκειμένου να διπλασιαστεί σε 0 έτη. αυτού; Παράδειγμα 9 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε ένα κεφάλαιο για 6 μήνες και έφερε τόκο ίσο με το /8 του κεφαλαίου O τόκος είναι ίσος με το /8 του κεφαλαίου I 8 από την άλλη το κεφάλαιο τοκίζεται για 6 μήνες, άρα δίνει τόκο i I i από τις δύο σχέσεις έχουμε i i 0,5 8 4 Άρα, το επιτόκιο είναι 5%. Παράδειγμα 0 Με ποιο επιτόκιο τοκίσθηκε κεφάλαιο 600 που μετά από 6 μήνες έγινε με τους τόκους του 68; Οι τόκοι του κεφαλαίου είναι I αφού το κεφάλαιο τοκίστηκε για 6 μήνες θα έχουμε 6 I i 600 i 00i από την παραπάνω σχέση έχουμε 8 00i 8 i 0,06 00 Άρα, το επιτόκιο είναι 6%.... Εύρεση του χρόνου Παράδειγμα. Πόσα έτη πρέπει να τοκισθεί κεφάλαιο με επιτόκιο 5% για να γίνει 7.50; Γνωρίζουμε το αρχικό και το τελικό κεφάλαιο από όπου βρίσκουμε τον τόκο I

6 από τον τύπο του απλού τόκου έχουμε I I ni n i αντικαθιστούμε τα δεδομένα του παραδείγματος και I.50 n 9 i ,05 Συνεπώς το κεφάλαιο θα τοκισθεί για 9 έτη. Παράδειγμα. Πόσα έτη πρέπει να τοκισθεί κεφάλαιο με επιτόκιο 5% έτσι ώστε να τριπλασιαστεί; Αν το αρχικό κεφάλαιο είναι Κ το τελικό κεφάλαιο θα είναι από όπου βρίσκουμε τον τόκο I από τον τύπο του απλού τόκου έχουμε I I ni n i i i συνεπώς ο αριθμός των ετών που απαιτούνται για τον τριπλασιασμό ενός κεφαλαίου είναι n i άρα, με επιτόκιο 5% χρειάζονται n 40 έτη Γενικά, για να γίνει το τελικό κεφάλαιο λ φορές το αρχικό, απαιτούνται: n έτη i (αυτό προκύπτει αν εργαστούμε ανάλογα με την παραπάνω περίπτωση του τριπλασιασμού)...4 Προβλήματα απλού τόκου με πολλά κεφάλαια Θα ασχοληθούμε με προβλήματα απλού τόκου τα οποία εμπλέκουν πολλά κεφάλαια. Παράδειγμα Κεφάλαια 4.000, 7.700, και ευρώ τοκίστηκαν για 64, 79, 08 και 8 ημέρες αντίστοιχα με κοινό επιτόκιο 7%. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος. Έχουμε για τον συνολικό τόκο ισχύει έχουμε I I I I I 4 i i i 4i i

7 άρα 0,07 I ,8 60 Ο συνολικός τόκος από τα τέσσερα κεφάλαια είναι 6,8. Παράδειγμα 4 Τοκίστηκαν τα εξής κεφάλαια: α) 500 από η Ιανουαρίου 05 έως 9 Φεβρουαρίου 05. β) 700 από 0 Μαρτίου 05 έως 0 Απριλίου 05. γ) 000 από η Ιανουαρίου 05 έως Μαρτίου 05. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος, αν το επιτόκιο είναι 7% και το έτος μικτό. Από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών (.) υπολογίζουμε πόσες μέρες τοκίστηκε το κάθε κεφάλαιο: 500, 0/- 09 /, 40-9, , 0 / -0 / 4, 00-79,.000, 0/- /, 90-89, ο συνολικός τόκος και πάλι είναι: i i i I I I I i 60 έχουμε Επομένως, ο συνολικός τόκος είναι: ,07 I.00,95 60 Παράδειγμα 5 Κάποιος τοκίζει το / του κεφαλαίου του με επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο με 9% και εισπράττει από το δεύτερο μέρος.0 περισσότερο ετήσιο τόκο από ότι εισπράττει από το πρώτο μέρος. Ποιο είναι το συνολικό κεφάλαιο που τόκισε; Θα πρέπει πρώτα να επιμερίσουμε το αρχικό κεφάλαιο σε δύο μικρότερα κεφάλαια, έτσι ώστε: κάθε κεφάλαιο να σχετίζεται με το αρχικό ως εξής:, Επίσης, λαμβάνουμε υπόψη ότι «εισπράττει από το δεύτερο μέρος.0 περισσότερο ετήσιο τόκο από ότι εισπράττει από το πρώτο μέρος», δηλαδή

8 I I.0 i i.0 0, 09 0, , Παράδειγμα 6 Τοκίζουμε το /6 του κεφαλαίου μας με 9% για 6 μήνες, το / με 6% για 6 μήνες και το υπόλοιπο με 8% για χρόνο. Αν ο συνολικός τόκος που πήραμε είναι.44, ποιο είναι το αρχικό μας κεφάλαιο; Θα πρέπει πρώτα να επιμερίσουμε το κεφάλαιο στα τρία μικρότερα κεφάλαια, έτσι ώστε κάθε κεφάλαιο να σχετίζεται με το αρχικό ως εξής:,, ο συνολικός τόκος είναι i i i I I I I i i i = από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε:, 6, i =0.09 i , 6, i =0.06 i 0.0,, i =0.08 i δηλαδή i i i 0,84 Αφού ο συνολικός τόκος για το αρχικό κεφάλαιο είναι 450, έχουμε 0, Παράδειγμα 7 Δύο κεφάλαια τοκίστηκαν επί 9 μήνες, το πρώτο με επιτόκιο 6% και το δεύτερο με 7% και έδωσαν συνολικό τόκο Αν ο τόκος του β' κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος του τόκου του α' κεφαλαίου κατά.800, να βρεθούν τα κεφάλαια που τοκίστηκαν. Έστω και τα κεφάλαια τα οποία τοκίστηκαν. Ο τόκος του κάθε κεφαλαίου είναι: i 9 0,06 I 0,045 i 9 0,07 I 0, 055 Έχουμε ότι τα δύο κεφάλαια «έδωσαν συνολικό τόκο 4.500», δηλαδή II 4.500

9 Επίσης έχουμε ότι «ο τόκος του β κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος του τόκου του α κεφαλαίου κατά.800», δηλαδή I.800 I Από τις δύο τελευταίες σχέσεις βρίσκουμε τον τόκο του κάθε κεφαλαίου I.800 I I.700 I.50 I.50 και. Από τις σχέσεις τόκου κεφαλαίου βρίσκουμε τα κεφάλαια.50 0, , Παράδειγμα 8 Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά 50. Το μεγαλύτερο τοκίστηκε με επιτόκιο 6% και το μικρότερο με 8%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν αντίστοιχα και οι ετήσιοι τόκοι προκύπτουν ίσα ποσά. Ποια ήταν τα κεφάλαια αυτά; Ας ονομάσουμε το μεγαλύτερο και το μικρότερο κεφάλαιο αντίστοιχα. Εφόσον διαφέρουν κατά 50 ισχύει: 50 Από το γεγονός ότι αν στα δύο κεφάλαια προστεθούν οι αντίστοιχοι ετήσιοι τόκοι προκύπτουν ίσα νέα κεφάλαια έχουμε: ( i ) ( i ) συνεπώς.700. ( 50)( i ) ( i ) ( i ) 50( i ) ( i ) ( i ) ( i ) 50( i ) ( i i ) 50( i ) i,06 i i 0, Παράδειγμα 9 Ένα κεφάλαιο τοκίζεται για 80 μέρες με επιτόκιο 9% ενώ τριπλάσιο κεφάλαιο τοκίζεται για 6 μήνες με επιτόκιο i. Ο συνολικός τόκος ανέρχεται στο /5 του αρχικού κεφαλαίου. Να βρεθεί το επιτόκιο με το οποίο τοκίζεται το δεύτερο κεφάλαιο. (Έτος Μικτό.) Έστω το πρώτο κεφάλαιο, ο τόκος του είναι: i 80 0,09 0, Το δεύτερο κεφάλαιο θα είναι Κ και ο τόκος του i 6i i Τα άθροισμα των τόκων είναι ίσο με το /5 του πρώτου κεφαλαίου, δηλαδή: 0,0 i 5 0, 0 i i 0, 5 Άρα, το δεύτερο κεφάλαιο τοκίζεται με επιτόκιο %. Παράδειγμα 0

10 Κεφάλαια και τοκίστηκαν με δύο διαφορετικά επιτόκια και έδωσαν συνολικό ετήσιο τόκο 60. Αν ο ετήσιος τόκος του πρώτου κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος του ετήσιου τόκου του δεύτερου κατά 0, με ποια επιτόκια τοκίστηκαν τα πιο πάνω κεφάλαια; έχουμε Έστω 4.000, και i, i τα αντίστοιχα επιτόκια. Αν I I 60 I, I οι αντίστοιχοι ετήσιοι τόκοι II 0 Προσθέτουμε κατά μέλη το σύστημα αυτό και βρίσκουμε ότι: I 0, I 00 από τον τύπο του απλού τόκου έχουμε I 0 I i i 0, Άρα το πρώτο κεφάλαιο τοκίστηκε με επιτόκιο 8%, όμοια βρίσκουμε ότι το δεύτερο κεφάλαιο τοκίστηκε με επιτόκιο 5%. Παράδειγμα Δύο κεφάλαια που διαφέρουν κατά.000 τοκίζονται και τα δύο μαζί με επιτόκιο 0% και δίνουν στον ίδιο χρόνο τόκους που διαφέρουν κατά 00. Να βρεθεί ο χρόνος (σε μήνες). Επειδή τα κεφάλαια διαφέρουν κατά.000, έχουμε:.000 όπου είναι το μεγαλύτερο από τα δύο κεφάλαια. Αφού το επιτόκιο και ο χρόνος είναι ίδια, το μεγαλύτερο κεφάλαιο θα δώσει και μεγαλύτερο τόκο και η διαφορά των τόκων είναι 00, άρα i i 00 i , 00 6 Άρα, τα κεφάλαια τοκίζονται για 6 μήνες. Παράδειγμα Τόκισε κάποιος τα /5 του κεφαλαίου του με ετήσιο επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο με 8% για ένα έτος. Η διαφορά των τόκων είναι 60. Ποιο ήταν το συνολικό κεφάλαιο που τοκίστηκε; Η διαφορά των ετήσιων τόκων είναι 60, συνεπώς: 0, 08 0, (0, 4 0,) Παράδειγμα Πατέρας ο οποίος έχει τρία παιδιά με ηλικίες, και 6 ετών έχει στη διάθεσή του το ποσό των και επιθυμεί να τους το μοιράσει και να καταθέσει στην τράπεζα το μερίδιο του καθενός με ετήσιο επιτόκιο 0%, έτσι ώστε όταν κάθε παιδί γίνει ετών να εισπράξει το ίδιο ποσό. Να βρεθούν τα μερίδια που θα κατατεθούν στην τράπεζα σήμερα για κάθε παιδί. Εδώ έχουμε τρία κεφάλαια (μερίδια) για το παιδί ηλικίας ετών το ποσό αυτό θα τοκιστεί για n 0 έτη για το παιδί ηλικίας ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για n 8 έτη

11 για το παιδί ηλικίας 6 ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για και πρέπει να αθροίζουν σε Δηλαδή πρέπει n 5 Τα κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο και για κάθε παιδί όταν θα γίνει ετών γίνονται: ( n i) ( n i),8 ( n i),5 Τα τελικά κεφάλαια πρέπει να είναι ίσα δηλαδή οπότε έχουμε,8 0,9,8,5, Αντικαθιστούμε στη σχέση () 0,9, συνεπώς, έτη () Παράδειγμα 4 Τρία κεφάλαια Κ, Κ, Κ είναι ανάλογα των αριθμών, 9, 8. Το πρώτο τοκίζεται για μήνες με επιτόκιο 6%, το δεύτερο για 4 μήνες με επιτόκιο 8% και το τρίτο για 6 μήνες με 5% και δίνουν συνολικό τόκο.45. Να βρεθούν τα κεφάλαια που τοκίστηκαν. Αφού τα κεφάλαια είναι ανάλογα των αριθμών, 9, 8 ισχύει: Ο συνολικός τόκος είναι.45: 4 6 0, 06 0, 08 0, , 045 0, 4 0,.45 Τα κεφάλαια είναι: 0, Κεφάλαια που τοκίζονται διαδοχικά Παράδειγμα 5 Καταθέτουμε κεφάλαιο Κ για μήνες με επιτόκιο 8%. Μετά το τέλος των μηνών το επιτόκιο αλλάζει και γίνεται 0%. Αφήνουμε το κεφάλαιο για άλλους 6 μήνες. Αν τελικά πήραμε κεφάλαιο και τόκους μαζί.85, ποιο είναι το ποσό που τοκίσαμε;

12 Το αρχικό κεφάλαιο τοκίζεται σε δύο φάσεις. Πρώτα για μήνες και στη συνέχεια το κεφάλαιο που δημιουργείται για άλλους 6 μήνες. Έστω το αρχικό κεφάλαιο, το νέο κεφάλαιο που δημιουργείται μετά από μήνες και τέλος έστω Σχηματικά 0 το τελικό κεφάλαιο αφού περάσουν άλλοι 6 μήνες. 6 0 i 0,08 i 0,.85 Εφαρμόζουμε δύο φορές τον τύπο του απλού τόκου i 0 i Από εδώ μπορούμε να συνεχίσουμε με δύο τρόπους: ος τρόπος. Από τη δεύτερη σχέση γνωρίζουμε τα άρα μπορούμε να βρούμε το,, i 60,.85.85, /, στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην πρώτη και έχουμε i 0 0, , ος τρόπος. Αντικαθιστούμε την πρώτη στη δεύτερη σχέση και έχουμε i i 0 i i i i 0 0,0 0,05 0,00 0 0, ,07,07 0 Παράδειγμα 6 Τόκισε κάποιος, με απλό τόκο, Το επιτόκιο κατάθεσης ήταν στην αρχή 5% άλλαξε όμως μετά από μερικές ημέρες (ν) και έγινε 4%. Να βρεθεί ο αριθμός των ημερών (ν) από την αρχή της κατάθεσης μέχρι να αλλάξει το επιτόκιο, αν είναι γνωστό ότι το σύνολο των τόκων στο τέλος του έτους ήταν 67,4. Έτος μικτό. Η συνολική περίοδος που τοκίστηκε το κεφάλαιο είναι ένα έτος. Τις πρώτες έστω ημέρες τοκίστηκε με επιτόκιο i 0,05, ενώ τις επόμενες 60 ημέρες τοκίστηκε με επιτόκιο i 0,04. Επίσης γνωρίζουμε το αρχικό κεφάλαιο και το συνολικό τόκο I 67,4. Τα δεδομένα αυτά περιγράφονται σχηματικά παρακάτω

13 , i0,05 i0,04 0 Εφαρμόζουμε δύο () φορές τον τύπο του απλού τόκου i i 0, Αντικαθιστούμε και έχουμε i i i i i i i (60 ) i (60 ) i i άρα i i i i i i 0 i i i i i i i 0 i i i i i i i i i i i i i i i , Λύνουμε την παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση και βρίσκουμε λύσεις 90 και.070 μέρες. Προφανώς δεκτή είναι η πρώτη λύση άρα το αρχικό κεφάλαιο τοκίζεται με επιτόκιο 5% και για τις υπόλοιπες 70 μέρες με επιτόκιο 4%. Παράδειγμα 7 Δυο κεφάλαια, από.000 το καθένα, τοκίστηκαν με κοινό επιτόκιο 8%. Έως σήμερα, το πρώτο έδωσε τόκο 70 και το δεύτερο 0. Σε πόσο χρόνο (ημέρες) από σήμερα, ο συνολικός τόκος του πρώτου κεφαλαίου θα είναι διπλάσιος του συνολικού τόκου του δεύτερου κεφαλαίου; Εδώ έχουμε δύο κεφάλαια τα οποία τοκίζονται σε δύο φάσεις, η πρώτη φάση τοκισμού δεν γνωρίζουμε αν άρχισε μαζί για τα δύο κεφάλαια αλλά η δεύτερη φάση τοκισμού άρχισε μαζί και διήρκεσε ίδιο χρόνο ημέρες. Έχουμε λοιπόν I I I I όπου I, Iοι συνολικοί τόκοι για κάθε κεφάλαιο, και I, Iοι τόκοι της πρώτης φάσης τοκισμού. Εφαρμόζουμε τον τύπο του απλού τόκου για την πρώτη φάση τοκισμού i 60I I 5 60 i 80 i 60I 60 0 I 5 60 i 80 Θέλουμε «ο συνολικός τόκος του πρώτου κεφαλαίου να είναι διπλάσιος του συνολικού τόκου του δεύτερου κεφαλαίου», δηλαδή I I

14 τότε το πρώτο κεφάλαιο θα έχει τοκιστεί συνολικά ημέρες και το δεύτερο συνεπώς i i Δηλαδή θα χρειαστεί να τοκιστούν ακόμα 45 ημέρες από σήμερα. ημέρες, Παράδειγμα 8 Κεφάλαιο Κ τοκίσθηκε για 0 ημέρες και έγινε με τους τόκους του.000. Το ποσό αυτό τοκίσθηκε στη συνέχεια με το ίδιο επιτόκιο για 90 ημέρες και έγινε μαζί με τους τόκους του.99,. Να βρεθεί το επιτόκιο και το αρχικό κεφάλαιο Κ (έτος εμπορικό). Πάλι εδώ έχουμε ένα κεφάλαιο το οποίο τοκίζεται σε δύο φάσεις, στην αρχή για 0 ημέρες και στη συνέχεια για 80 ημέρες. Τα δεδομένα της άσκησης φαίνονται παρακάτω i i και i i 0, Στη δεύτερη εξίσωση το μόνο άγνωστο μέγεθος είναι το επιτόκιο, λύνουμε ως προς αυτό: i i 60 i , i 4 0,0 0, Άρα το κοινό επιτόκιο είναι 8%. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το αρχικό κεφάλαιο: 0 0 i Άρα το ζητούμενο αρχικό κεφάλαιο είναι.000. Παράδειγμα 9 Μια επιχείρηση δανείζει για 40 μέρες ένα ποσό με μηνιαίο επιτόκιο 6% και μετά το κεφάλαιο και τον τόκο που πήρε, τα καταθέτει σε μια Τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 8%. Μετά από πόσες μέρες θα έχει δυνατότητα να αποσύρει από την τράπεζα, όποια στιγμή θέλει, ποσό 7.00; Οι 40 ημέρες αντιστοιχούν σε 8 μήνες έτσι τα δεδομένα της άσκησης παριστάνονται σχηματικά: = i0,06 i0,08 Ισχύει 0( i ) από όπου υπολογίζουμε το νέο κεφάλαιο : ( i ) 4.600( 80,06) , Για τη δεύτερη φάση έχουμε i i ,

15 Τελικά, προκειμένου να δημιουργηθεί απόθεμα 7.00 ευρώ, θα χρειαστεί να τοκισθεί το νέο ποσό για επιπλέον 0 ημέρες...6. Μέσο επιτόκιο Έστω δύο κεφάλαια και τα οποία τοκίζονται για και ημέρες και με επιτόκια και αντίστοιχα. Αυτά δίνουν συνολικό τόκο i i I Αν τα ίδια κεφάλαια και τοκισθούν και πάλι για και ημέρες αντίστοιχα αλλά με κοινό επιτόκιο i, τότε ο τόκος που δίνουν είναι i i I Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι αν γνωρίζουμε τα,,, και, να βρούμε το κοινό επιτόκιο το οποίο θα δημιουργούσε τον ίδιο τόκο. Το επιτόκιο αυτό καλείται μέσο επιτόκιο. Είναι προφανές ότι το μέσο επιτόκιο δεν ξεπερνά το μεγαλύτερο από τα δύο επιτόκια και είναι μεγαλύτερο από το μικρότερο από τα δύο επιτόκια (βρίσκετε δηλαδή ανάμεσα τους αν ). Για να βρούμε το μέσο επιτόκιο των δύο κεφαλαίων i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Μπορούμε να γενικεύσουμε για m κεφάλαια,,, m τα οποία τοκίζονται για,,, m ημέρες με αντίστοιχα επιτόκια i, i,, i m τότε το μέσο επιτόκιο δίνεται από τον τύπο i i m i i m m ή i m j m j i j Είναι φανερό ότι ο ίδιος τύπος ισχύει αν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες ή έτη. Παράδειγμα 0 Δίνονται δύο κεφάλαια.000 και.000 ευρώ τα οποία τοκίζονται για 0 και 60 ημέρες και με επιτόκια i 0,09 και i 0,06 αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέσο επιτόκιο. j j j j m m

16 Εφαρμόζουμε τα δεδομένα στον τύπο του μέσου επιτοκίου και έχουμε i i , ,06 i ,6 0,07 00 Δηλαδή το μέσο επιτόκιο είναι 7,%. Παράδειγμα Κεφάλαια.000,.800 και.00 τοκίστηκαν αντίστοιχα επί 90, 50 και 00 ημέρες με αντίστοιχα επιτόκια 5%, 7%, 9%. Να υπολογιστεί το μέσο επιτόκιο. Έτος μικτό. Εφαρμόζουμε τον τύπο του μέσου επιτοκίου i i i i , , , ,5 8,9 57,6 8 0, Δηλαδή το μέσο επιτόκιο είναι 8,%. Παράδειγμα Κεφάλαια.000,.000 και τοκίστηκαν με επιτόκια 5%, 8%, 0% αντίστοιχα για τον ίδιο αριθμό ημερών. Να υπολογιστεί το μέσο επιτόκιο. Εφαρμόζουμε τον τύπο του μέσου επιτοκίου i i i i i i i.000 0, , , , Άρα το μέσο επιτόκιο είναι 8.4%. Παράδειγμα Κεφάλαια.000 και.000 τοκίστηκαν για 00 και 00 ημέρες αντίστοιχα. Αν το μέσο επιτόκιο είναι 8% και το δεύτερο κεφάλαιο τοκίστηκε με επιτόκιο %, να υπολογιστεί το επιτόκιο με το οποίο τοκίστηκε το πρώτο κεφάλαιο. Παίρνουμε τον τύπο του μέσου επιτοκίου i i i και λύνουμε ως προς i.

17 i i i i i i i i i i i i ( i i ) i i ( i i ) i 0, 08 (0, 08 0,) 0, Άρα το επιτόκιο με το οποίο τοκίστηκε το πρώτο κεφάλαιο είναι 5%. Παράδειγμα 4 Τρία κεφάλαια ανάλογα των αριθμών, 5 και 8 τοκίζονται για τον ίδιο αριθμό ημερών με επιτόκια 5%, 7% και % αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέσο επιτόκιο. Αφού τα κεφάλαια είναι ανάλογα των αριθμών, 5 και 8 ισχύει: αντικαθιστούμε στον τύπο μέσου επιτοκίου i i i i 5i 8i i 5 8 i 5i 8i 0,05 50,07 80, Για περισσότερη θεωρία και λυμένα παραδείγματα δες: Αλεξανδρή (989), Αποστολόπουλο (996), Αποστολόπουλο (00), Βασιλάκη (005), Βόσκογλου (996), Καραπιστόλη (994), Κιόχο και Κιόχο (999), Κούγια και Γεωργίου (004), Οικονομόπουλο (00), Σφακιανό και Σφακιανό (00), Τσεβά (00), Φράγκο (007), Χουβαρδά (998), Zima και Brown (997).. Ασκήσεις... Λυμένες ασκήσεις Άσκηση Κεφάλαιο τοκίζεται για 8 μήνες και αυξάνει κατά τα /5 αυτού. Να βρεθεί το επιτόκιο με το οποίο έγινε ο τοκισμός; O τόκος είναι ίσος με το /5 του κεφαλαίου I. 5 Tο κεφάλαιο τοκίζεται για 0 μήνες άρα δίνει τόκο 8 I i i i Από τις δύο σχέσεις έχουμε: i i 0% Άσκηση Κάποιος τόκισε τα εξής κεφάλαια: α) Κ =.000 από Μαΐου μέχρι Ιουλίου. β) Κ =.000, από 4 Ιουνίου μέχρι 8 Αυγούστου.

18 γ) Κ =.000 από Μαΐου μέχρι 0 Ιουλίου. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος, αν το επιτόκιο είναι 5% και το έτος μικτό. Έχουμε τα εξής δεδομένα: Κ=.000, Μαΐου Ιουλίου, ν=0-4=60, Κ=.000, 4 Ιουνίου 8 Αυγούστου, ν=40-75=65, Κ=.000, Μαΐου 0 Ιουλίου, ν=9-=60 Ο συνολικός τόκος είναι: i i i I I I I , , , Άσκηση Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά 500. Το μεγαλύτερο τοκίσθηκε με επιτόκιο 4% και το μικρότερο με επιτόκιο 5%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν αντίστοιχα και οι ετήσιοι τόκοι τους, προκύπτουν ίσα κεφάλαια. Ζητείται να ευρεθούν τα αρχικά κεφάλαια. Έστω, τα κεφάλαια με, τότε 500 Αφού οι ετήσιοι τόκοι είναι ίσοι έχουμε: 0,04 0,05 0,04 0, (500 )0, 04 0, , Άσκηση 4 Δύο κεφάλαια, και έχουν τοποθετηθεί με δύο διαφορετικά επιτόκια και έδωσαν μαζί σε ένα έτος, τόκο 750. Εάν ο τόκος του πρώτου κεφαλαίου είναι μικρότερος από τον τόκο του δευτέρου κεφαλαίου κατά 50, να βρεθούν τα επιτόκια με τα οποία τοκίσθηκε το κάθε κεφάλαιο. Έχουμε II 750 και I I 50 Από όπου προκύπτει ότι I 50, I 400 Καθώς

19 I i i 50 i 5%. 0 I i i 400 i 0%. 0 Άσκηση 5 Πατέρας ο οποίος έχει δυο παιδιά με ηλικίες n και k ετών έχει στη διάθεση του ποσό και επιθυμεί να τους το μοιράσει και να καταθέσει στην τράπεζα το μερίδιο του καθενός με ετήσιο επιτόκιο 0% έτσι ώστε όταν κάθε παιδί γίνει 0 ετών να εισπράξει το ίδιο ποσό. Να βρεθούν τα μερίδια που θα κατατεθούν στην τράπεζα σήμερα για κάθε παιδί. Εδώ έχουμε τρία κεφάλαια (μερίδια) για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκιστεί για 0-n έτη για το παιδί ηλικίας k ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για 0-k έτη και πρέπει να αθροίζουν σε. Δηλαδή πρέπει Τα κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο και για κάθε παιδί όταν θα γίνει 0 ετών γίνονται: 0 n i 0 n 0, 0,n 0 0 0, 0, k i k k Τα τελικά κεφάλαια πρέπει να είναι ίσα δηλαδή 0,n 0,k 0, 0, 6 0, 0, 0,k 6 0,nk n k n k k Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι αν τα παιδιά έχουν την ίδια ηλικία n=k θα μοιραστούν εξίσου το ποσό. Αν για παράδειγμα το ένα παιδί είναι 0 ετών και το άλλο είναι 6 ετών, τότε το μεγαλύτερο θα πρέπει να πάρει 0,k 0, 6,4 0, , n k 6 0, 0 6 4,4 Άσκηση 6 Πατέρας ο οποίος έχει τρία παιδιά, έχει στη διάθεση του ποσό και επιθυμεί να τους το μοιράσει και να καταθέσει στην τράπεζα το μερίδιο του καθενός με ετήσιο επιτόκιο 0%, έτσι ώστε όταν κάθε παιδί γίνει 0 ετών να εισπράξει το ίδιο ποσό. Να βρεθούν τα μερίδια που θα κατατεθούν στην τράπεζα σήμερα για κάθε παιδί. Εδώ έχουμε τρία κεφάλαια (μερίδια) για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκιστεί για 0 n έτη για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για 0 n έτη για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για 0 n έτη και πρέπει να αθροίζουν σε. Δηλαδή πρέπει Τα κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο και για κάθε παιδί όταν θα γίνει 0 ετών γίνονται:

20 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, n i n n n i n n n i n n Τα τελικά κεφάλαια πρέπει να είναι ίσα Εκφράζουμε τα και ως προς 0, 0, 0, n n n 0,n 0,n 0,n 0,n Έχουμε 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 6 0,( n n ) 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 6 0,( n n ) Άσκηση 7 Τρία κεφάλαια συνολικής αξίας.700 των οποίων οι αξίες, με την σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τοκίζονται το πρώτο για 90 μέρες, το δεύτερο για 0 μέρες και το τρίτο για 50 μέρες. Αν το επιτόκιο είναι 0% και ο συνολικός τόκος που πήραμε είναι 95, να βρεθούν τα τρία κεφάλαια. Έτος Μικτό. Έστω, και. Επειδή το άθροισμα των τριών κεφαλαίων είναι.700 έχουμε: Ο συνολικός τόκος είναι 95 δηλαδή: i i i I 95 I I I i i i , , , Άρα 600, και.00 Άσκηση 8 Τρία κεφάλαια τοκίζονται στον απλό τόκο, το πρώτο για 90 μέρες με επιτόκιο 8%, το δεύτερο για 0 μέρες με επιτόκιο 0% και το τρίτο για 00 μέρες με επιτόκιο 9%. Αν το μέσο επιτόκιο είναι 9,%, τα τρία κεφάλαια, με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και το γινόμενο των τριών κεφαλαίων ισούται με , να βρεθούν τα τρία κεφάλαια.

21 Επειδή τα τρία κεφάλαια αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, ορίζουμε και. Επειδή το γινόμενο των τριών κεφαλαίων ισούται με , έχουμε: Άρα Ο τύπος του μέσου επιτοκίου είναι: i i i X Κάνουμε αντικατάσταση και έχουμε: i i i X 600, , , ,09 0, , ή 9 5 Συνεπώς τα τρία κεφάλαια είναι: 00, 600,.800 ή.000, 600, Άλυτες ασκήσεις. Κάποιος που κέρδισε ένα χρηματικό ποσό Κ θέλησε να το καταθέσει σε δύο τράπεζες. Το / του ποσού το κατέθεσε για χρόνια 5 μήνες και μέρες με επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο για χρόνια μήνες και ημέρες με επιτόκιο %, και εισέπραξε και από τις δύο καταθέσεις συνολικό τόκο 654. Να βρεθεί το ποσό Κ. (Έτος μικτό.) ( 5.787,6). Κεφάλαιο Κ τοκίζεται με επιτόκιο 6% για 5 μήνες, κεφάλαιο Κ τοκίζεται με 8% για χρόνια και τέλος κεφάλαιο Κ με 9 % για 60 ημέρες αντίστοιχα. Το άθροισμα των τόκων των Κ, Κ είναι 69, των Κ, Κ είναι 0 και των Κ, Κ είναι 450. Να βρεθούν τα κεφάλαια. (Κ= 6.800, Κ=.700, Κ=.000). Δύο κεφάλαια και τοκίστηκαν με διάφορα επιτόκια και σε 00 ημέρες έφεραν συνολικά τόκους Αν ο τόκος του δεύτερου κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος κατά.000 με ποια επιτόκια τοκίστηκαν τα κεφάλαια αυτά; (Έτος μικτό.) (i=0,4, i=0,5) 4. Τρία αδέλφια ηλικίας 9, και 5 χρόνων καταθέτουν σε τράπεζα ποσά που είναι ανάλογα των ηλικιών τους. Ο πρώτος καταθέτει τα χρήματα του για 8 μήνες με επιτόκιο 8%,ο δεύτερος για 0 μήνες με επιτόκιο 6% και τέλος ο τρίτος για χρόνια με επιτόκιο 7%. Αν στο τέλος πήραν συνολικό τοκοκεφάλαιο.8 να βρεθεί το ποσό που κατέθεσε ο καθένας. (Κ= 900, Κ=.00, Κ=.500)

22 5. Τοκίζουμε ένα κεφάλαιο για 6 μήνες και γίνεται μαζί με τους τόκους του Αν το είχαμε τοκίσει με επιτόκιο % μικρότερο θα χρειαζόταν μήνα περισσότερο για να δώσει το ίδιο τοκοκεφάλαιο. Να βρεθούν τα επιτόκια και το κεφάλαιο (i=0,4, = 7.000) 6. Καταθέσαμε ένα κεφάλαιο για 8 μήνες και έγινε μαζί με τους τόκους του Το τοκοκεφάλαιο 4.68 τοκίστηκε για χρόνια, με το ίδιο επιτόκιο, και έγινε μαζί με τους τόκους του 4.89,6. Ποιο ήταν το αρχικό κεφάλαιο και ποιο το επιτόκιο; (= 4.00, i=0,06) 7. Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά.000. Τοκίζουμε το ο για 9 μήνες με επιτόκιο 4% και το για 6 μήνες με επιτόκιο 6%. Ο συνολικός τόκος είναι 870. Να βρεθούν τα κεφάλαια. (Κ=.000, Κ=.000) 8. Τοκίζουμε δύο κεφάλαια Κ, Κ με επιτόκια 4% και 6% αντίστοιχα και παίρνουμε συνολικό ετήσιο τόκο Αν εναλλάξουμε τα επιτόκια θα πάρουμε συνολικό ετήσιο τόκο 00 περισσότερο. Να βρεθούν τα δύο κεφάλαια. (Κ= 0.000, Κ= 5.000) 9. Δύο κεφάλαια συνολικού ποσού τοποθετούνται: το πρώτο με 5% για 0 ημέρες και το δεύτερο με 4% για 50 ημέρες. Ο τόκος του πρώτου είναι το / του τόκου του δεύτερου. Να βρεθούν τα δύο κεφάλαια. (Κ=.000, Κ= 4.000)

23 Βιβλιογραφία Αλεξανδρής, Ν. (989). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Σταμούλη. Αποστολόπουλος, Θ. (996). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Αποστολόπουλος Θ. Αποστολόπουλος, Θ. (00). Οικονομικά μαθηματικά και στοιχεία τραπεζικών εργασιών. Εκδόσεις Αποστολόπουλος Θ. Βασιλάκης, Κ. (005). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις INTERBOOS. Βόσκογλου, Μ. (996). Μαθηματικά για τον τομέα διοίκησης και οικονομίας. Μακεδονικές Εκδόσεις. Καραπιστόλης, Δ. (994). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Κιόχος, Π. & Κιόχος, Α. (999). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις INTERBOOS. Κούγιας, Γ. & Γεωργίου, Δ. (004). Χρηματοοικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών. Οικονομόπουλος, Γ. (00). Οικονομικά Μαθηματικά. Εκδόσεις Οικονομόπουλος Γ. Σφακιανός, Κ. & Σφακιανός, Π. (00). Οικονομικά Μαθηματικά με Οικονομικά Προγράμματα Υπολογιστών. Εκδόσεις INTERBOOS. Τσεβάς, Αναστάσιος (00). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Φράγκος, Χ. (007). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Σταμούλη. Χουβαρδάς, Β. (998). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Zima, P. & Brown, R. (997). Outline of Mathematics of Finance, Schaums nd edition. Εκδόσεις McGraw- Hill.

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K Κεφάλαιο. Ανατοκισμός. Εισαγωγή Στη διαδικασία με την οποία ένα κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο, στο τέλος κάθε περιόδου παίρνουμε τον τόκο και αφήνουμε το αρχικό κεφάλαιο να τοκιστεί. Έτσι το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Προεξόφληση με απλό τόκο Εισαγωγή Βασικές έννοιες προεξόφλησης

Κεφάλαιο Προεξόφληση με απλό τόκο Εισαγωγή Βασικές έννοιες προεξόφλησης Κεφάλαιο. Προεξόφληση με απλό τόκο.. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι οι συναλλαγές μεταξύ επιχειρήσεων σπανίως γίνονται με μετρητά. Ειδικά στις χώρες του εξωτερικού οι συναλλαγές με μετρητά καλύπτουν μόνο ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Σχήμα 3.1 Δύο συναλλαγματικές με λήξεις σε 100 και 150 ημέρες.

Κεφάλαιο 3. Σχήμα 3.1 Δύο συναλλαγματικές με λήξεις σε 100 και 150 ημέρες. Κεφάλαιο. Ισοδυναμία γραμματίων.. Εισαγωγ Ας θεωρσουμε το αντίστροφο πρόβλημα της προεξόφλησης, έστω ότι κάποιος αγοράζει σμερα εμπορεύματα αξίας.00 για τα οποία υπογράφει συναλλαγματικ η οποία λγει σε

Διαβάστε περισσότερα

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Δάνεια Γενικά Δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ Αν οι τόκοι καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου

Κεφάλαιο Δάνεια Γενικά Δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ Αν οι τόκοι καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου Κεφάλαιο 6 6. Δάνεια 6.. Γενικά Το σημαντικότερο και σίγουρα το πιο διαδεδομένο κεφάλαιο των οικονομικών μαθηματικών είναι αυτό των δανείων. Κράτη, δημόσιοι οργανισμοί, επιχειρήσεις αλλά και ιδιώτες χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος

Κεφάλαιο , 05. Τέλος το ποσό της τελευταίας κατάθεσης (συμπλήρωση του 17 ου έτους) θα τοκισθεί μόνο για 1 έτος Κεφάλαιο 5 5. Ράντες 5.. Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί Είναι σύνηθες στις μέρες μας να καταθέτουν οι γονείς κάποιο ποσό για τα παιδιά τους σε μηνιαία, εξαμηνιαία ή ετήσια βάση έτσι ώστε να συσσωρευτεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος Κεφάλαιο 5ο Απλός τόκος Υπολογισμός του απλού τόκου όταν αυτός εκφράζεται σε έτη, εξάμηνα, τρίμηνα, μήνες, ημέρες. Στα προβλήματα απλού τόκου συμπλέκονται τέσσερα ποσά. 1) Ο τόκος, ο οποίος θα συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος Στην περίπτωση του ανατοκισμού συναντάμε τέσσερα ποσά: Το αρχικό κεφάλαιο (ή αρχική αξία), που καταθέτουμε αρχικά, το οποίο συμβολίζουμε με, Το τελικό κεφάλαιο (ή τελική αξία) που είναι το ποσό που αποσύρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 6: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 1: Εισαγωγή

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 1: Εισαγωγή Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 1: Εισαγωγή Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

I = Kni. (1) (accumulated amount). I = Kni = 1 1 i.

I = Kni. (1) (accumulated amount). I = Kni = 1 1 i. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗ- ΜΑΤΙΚΑ (FINANCIAL MATHEMATICS) Τα οικονομικά μαθηματικά λύνουν προβλήματα οικονομικών συναλλαγών. Ορισμός 1. Οικονομικές συναλλαγές ονομάζονται οι δοσοληψίες που είναι μετακινήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο (II) Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών.

Κεφάλαιο 5ο (II) Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών. Κεφάλαιο 5ο () Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο και των Τοκαρίθμων, των Σταθερών Διαιρετών και των Σταθερών Πολλαπλασιαστών. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους του β μέλους των τύπων: K v και K

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΩΝ Απλός Τόκος Εφαρμόζεται στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, συνήθως μέχρι τριών μηνών ή το πολύ μέχρι ενός έτους.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Διάκριση Μαθηματικών Έννοια Χρηματοοικονομικών Ορισμοί Χρηματοοικονομικά Τράπεζες Χρηματιστήρια Προεξόφληση Αντικατάσταση Γραμματίων Δάνεια Ομόλογα Αμοιβαία Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2 κεφάλαιο 2 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 1: ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Βασικές έννοιες Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα. Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΕΛΕΓΚΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2013 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 1: Βασικοί Χρηματοοικονομικοί Ορισμοί Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Ανατοκισμού

Εφαρμογές Ανατοκισμού Εφαρμογές Ανατοκισμού Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Μέσο επιτόκιο - Ισοδύναμα επιτόκια - Αντικατάσταση κεφαλαίων - Ρυθμός πληθωρισμού ΣΤΟΧΟΙ - Εύρεση μέσου επιτοκίου, όταν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ενότητα 1: Αξιολόγηση Επενδύσεων (1/5) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. Επίλυση. είναι ίση με μ το 1 3 της ηλικίας του. από πόσα χρόνια. Απάντηση: 10 έτη. Απάντηση: 22 χρόνια. 42, Λυδία 11. κάθε.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. Επίλυση. είναι ίση με μ το 1 3 της ηλικίας του. από πόσα χρόνια. Απάντηση: 10 έτη. Απάντηση: 22 χρόνια. 42, Λυδία 11. κάθε. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 1. Ένας πατέρας είναι σήμερα 38 ετών και η κόρη του είναι 6 ετών. Έπειτα από πόσα χρόνια η ηλικία της κόρης θα είναι ίση με μ το 1 3 της πατέρα. ηλικίας του Απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση ν-στού πρώτου αριθμού

Εύρεση ν-στού πρώτου αριθμού Εύρεση ν-στού πρώτου αριθμού Ορισμός Πρώτος αριθμός λέγεται κάθε φυσικός αριθμός (εκτός της μονάδας) που έχει φυσικούς διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και τη μονάδα. Ερώτημα: Να υπολογιστεί ο ν-στός πρώτος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 2: ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Υπολογισμός Απλού Τόκου Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Καταβολής Ασφαλιστικών Εισφορών προς τους Ασφαλισμένους Κύριας Ασφάλισης

Οδηγίες Καταβολής Ασφαλιστικών Εισφορών προς τους Ασφαλισμένους Κύριας Ασφάλισης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΟΑΕΕ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ-ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΝΑΥΤΙΚΩΝ & ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΑΚΤΟΡΩΝ Ταχ. Διευθ.:Ακτή Μιαούλη 17-19 Ταχ. Κωδ.:

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Πρόσκαιρες Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΘΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ - ΣΥΝΤΑΞΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΝΙΚΟΣ 1 ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΕΠ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΔΑΠΑΝΗΣ Y = C + I + G + ( X M) Y

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 5: Τεχνικές επενδύσεων ΙΙΙ Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

Απλός τόκος. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση του τύπου υπολογισμού τελικού κεφαλαίου με απλό τόκο.

Απλός τόκος. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση του τύπου υπολογισμού τελικού κεφαλαίου με απλό τόκο. Απλός τόκος Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κο ή PV) - Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κn ή FV) - Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά ΤΕΙ Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ Κρήτης Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά 1 (1 + ) n PV = A Σημειώσεις Διδασκαλίας Ακαδημαϊκό Έτος 2016-17 Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) 5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 1: Κεφαλαιοποίηση Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Ιωάννης Ψαρράς Καθηγητής Ε.Μ.Π. 4 η Σειρά Ασκήσεων Ακαδημαϊκό Έτος 2013 2014 Εξάμηνο 8 ο ΑΣΚΗΣΗ 1 Η εταιρία «ΑΛΦΑ Α.Ε.» έχει ετοιμάσει την παρακάτω πρόβλεψη κερδών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Ηµερών. ikd 360. Kd 360

Πίνακας Ηµερών. ikd 360. Kd 360 Λογαριασµοί Απλού Τόκου (Αλληλόχρεοι Τοκοφόροι Λογαριασµοί) Παραδοχές Ελεύθερες καταθέσεις Αναλήψεις µέχρι το υπόλοιπο, δηλαδή το αλγεβρικό άθροισµα προηγούµενων καταθέσεων, αναλήψεων σε λογαριασµούς υπερανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΓΟΡΑ ΟΜΟΛΟΓΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΓΟΡΑ ΟΜΟΛΟΓΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΓΟΡΑ ΟΜΟΛΟΓΩΝ Παρασκευή 5 Οκτωβρίου 2001 Οι Εξελίξεις του Σεπτεμβρίου 2001 Οι χαμηλές αποδόσεις στη λήξη δημιουργούν τις προϋποθέσεις μιας σταθεροποιητικής ή και θετικής συμπεριφοράς των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις Έντυπη Έκδοση Κυριακάτικη Ελευθεροτυπία, Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2010 Επιστρέψαμε στην εποχή του γραμματίου! Του ΜΠ. ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗ Την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΣΤΑ. Τι πρέπει να θυμάμαι:

ΠΟΣΟΣΤΑ. Τι πρέπει να θυμάμαι: ΠΟΣΟΣΤΑ Τι πρέπει να θυμάμαι: Ένα ποσοστό επί τοις εκατό συμβολίζεται με το σύμβολο (%) και είναι ένα δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή το. Θυμάμαι ότι δεκαδικά λέω τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή το 10

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ ΜΑΘΗΜΑ: Άλγεβρα ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Εξισώσεις και Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού Απόλυτη Τιμή - Ρίζες Α. Εξισώσεις Πρώτου Βαθμού. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 9(8 ) 0(9 ) ( ) 8 7y y i ( ) 0( ) 0 ( 0) iv) y. Να

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 1 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ύο υπάλληλοι έχουν µηνιαίο µισθό 1500. Στον έναν από τους δύο έγινε αύξηση % και στον άλλο µείωση 5% πάνω στις αποδοχές του πρώτου υπαλλήλου όπως αυτές διαµορφώθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 2: Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα