Κριτικά σχόλια επί της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας όπως αυτή αναπτύσσεται από τους Landau-Lifshitz

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Πτυχιακή Εργασία Κριτικά σχόλια επί της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας όπως αυτή αναπτύσσεται από τους Landau-Lifshitz Αδαμάντιος Αναστασιάδης Επιβλέπων: Θ. Αποστολάτος ΑΘΗΝΑ 2017

Περιεχόμενα Περίληψη iii 1 Σωματίδιο σε βαρυτικό πεδίο 1 1.1 Βαρυτικά πεδία στη μή σχετικιστική μηχανική............... 1 1.2 Το βαρυτικό πεδίο στη σχετικιστική μηχανική............... 2 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες 8 2.1 Χωρικές και χρονικές αποστάσεις..................... 13 2.2 Συναλλοίωτη παραγώγιση......................... 14 2.3 Η σχέση των συμβόλων Κρίστοφελ με τον μετρικό τανυστή....... 20 3 Κίνηση σωματιδίου σε βαρυτικό πεδίο 25 3.1 Το σταθερό βαρυτικό πεδίο......................... 29 3.2 Περιστροφή................................. 34 3.3 Οι εξισώσεις της ηλεκτροδυναμικής μέσα σε βαρυτικό πεδίο....... 36 4 Οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου 38 4.1 Ο τανυστής της καμπυλότητας....................... 38 4.2 Ιδιότητες του τανυστή καμπυλότητας................... 41 4.3 Η δράση του βαρυτικού πεδίου....................... 45 i

Περίληψη Η παρούσα εργασία πραγματεύεται τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας όπως αυτή αναπτύσσεται από τους Landau-Lifshitz. Ξεκινώντας από την κλασσική αντίληψη για την βαρύτητα, εισάγεται η αρχή της ισοδυναμίας και θεμελιώνεται βήμα-βήμα η σχετικιστική θεώρηση της βαρύτητας. Ένα σκέλος είναι αφιερωμένο στον τανυστικό λογισμό και στα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία που απαιτούνται για την κατανόηση της Γενικής Σχετικότητας. Αφού εξαχθούν οι εξισώσεις των γαιωδεσιακών ακολουθούν κάποια ενδιαφέροντα παραδείγματα όπως οι περιπτώσεις στατικού βαρυτικού πεδίου, περιστρεφόμενου συστήματος καθώς και μια τροποποίηση των εξισώσεων του ηλεκτρομαγνητισμού στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας. Τέλος εξάγουμε τον τελεστή καμπυλότητας (Reimann) και εφαρμόζεται η αρχή της ελάχιστης δράσης για το βαρυτικό πεδίο. Στο κείμενο υπάρχει εκτενής κουβέντα και σχολιασμός διαφόρων ιδεών και εφαρμογών των Landau-Lifshitz. iii

Κεφάλαιο 1 Σωματίδιο σε βαρυτικό πεδίο 1.1 Βαρυτικά πεδία στη μή σχετικιστική μηχανική Σε ένα βαρυτικό πεδίο όλα τα σώματα ακολουθούν την ίδια τροχιά για ίδιες αρχικές συνθήκες ανεξάρτητα από τη μάζα τους. Το γεγονός αυτό αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα των βαρυτικών πεδίων. Για παράδειγμα, ο νόμος της ελεύθερης πτώσης στο βαρυτικό πεδίο της γης είναι ίδιος για όλα τα σώματα όποια και αν είναι η μάζα τους. Όλα θα αποκτήσουν την ίδια επιτάχυνση! Η ιδιότητα αυτή των βαρυτικών πεδίων μας δίνει τη δυνατότητα να ισχυριστούμε ότι υπάρχει κάποιου είδους αναλογία μεταξύ ενός σώματος που κινείται σε ένα βαρυτικό πεδίο και ενός σώματος που δε βρίσκεται σε κάποιο εξωτερικό πεδίο, αλλά το παρατηρούμε από ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Συγκεκριμένα, σε ένα αδρανειακό σύστημα η ελεύθερη κίνηση όλων των σωμάτων είναι ευθύγραμμη και ομογενής (συνήθως την αποκαλούμε ευθύγραμμη και ομαλή). Σε ένα τέτοιο σύστημα, αν όλα τα σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή, θα διατηρήσουν την ταχύτητα αυτή για όλες τις χρονικές στιγμές. Είναι λογικό λοιπόν σε ένα μη αδρανιακό σύστημα όλα τα σώματα να κινηθούν με τον ίδιο τρόπο. 1 Με άλλα λόγια, οι ιδιότητες της κίνησης σε ένα μη αδρανειακό σύστημα είναι ίδιες με αυτές σε ένα αδρανειακό σύστημα παρουσία βαρυτικού πεδίου. Συνεπώς, ένα μη αδρανειακό σύστημα είναι ισοδύναμο με ένα συγκεκριμένο βαρυτικό πεδίο. Αυτή είναι η αρχή της ισοδυναμίας. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την κίνηση σε ένα ομογενώς επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς. Ένα σώμα οποιασδήποτε μάζας, το οποίο κινείται ελεύθερα σε ένα τέτοιο σύστημα,είναι προφανές ότι θα έχει μια σταθερή επιτάχυνση σε σχέση με το σύστημα, ίση και αντίθετη με την επιτάχυνση του συστήματος. Το σώμα θα παρουσιάζει την ίδια ακριβώς συμπεριφορά αν κινείται σε ένα ομογενές και σταθερό βαρυτικό πεδίο, όπως αυτό της γης (προφανώς σε μικρές περιοχές έτσι ώστε να μπορούμε να το θεωρήσουμε ομογενές). Θα κινείται δηλαδή με σταθερή επιτάχυνση. Φαίνεται με αυτό το παράδειγμα ότι ένα μη αδρανειακό σύστημα με σταθερή επιτάχυνση είναι ισοδύναμο με ένα σταθερό και ομογενές εξωτερικό πεδίο. Μια κάπως πιο γενική περίπτωση είναι αυτή μιας ευθύγραμμης κίνησης του συστήματος αναφοράς με μεταβαλλόμενη επιτάχυνση. Αυτό είναι ισοδύναμο 1 Σ.τ.Μ Αυτό συμβαίνει μιας και η μεταβολή στην ορμή των σωμάτων που θα αντιληφθεί ο μη αδρανειακός παρατηρητής θα είναι ουσιαστικά η μεταβολή της ταχύτητας του μη αδρανειακού συστήματος του σε σχέση με ένα αδρανειακό και ώς εκ τούτου θα είναι ίδια για όλα τα σώματα. 1

2 1 Σωματίδιο σε βαρυτικό πεδίο με ένα ομογενές αλλά μεταβαλλόμενο βαρυτικό πεδίο. Παρόλα ταύτα τα πεδία για τα οποία μπορούμε να βρούμε κάποιο ισοδύναμο μη αδρανειακό σύστημα δεν είναι εντελώς ίδια με τα πραγματικά βαρυτικά πεδία παρατηρούμενα από αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Υπάρχει μια βασική διαφορά ως προς τη συμπεριφορά των πεδίων αυτών στο άπειρο. Σε μακρινές αποστάσεις από το σώμα που παράγει το πεδίο, τα πραγματικά πεδία τείνουν στο μηδέν. Αντίθετα, τα πεδία που είναι ισοδύναμα με μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς μεγαλώνουν χωρίς κανένα περιορισμό σε μακρινές αποστάσεις ή στην καλύτερη αποκτούν μια σταθερή πεπερασμένη τιμή σε άπειρη απόσταση. Έτσι, για παράδειγμα, η φυγόκεντρος δύναμη που εμφανίζεται στα περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς μεγαλώνει απεριόριστα όσο απομακρυνόμαστε από τον άξονα περιστροφής. Το ισοδύναμο πεδίο θα απειρίζεται στο άπειρο. Αντίστοιχα σε ένα μη αδρανειακό σύστημα το οποίο επιταχύνεται ευθύγραμμα το ισοδύναμο βαρυτικό πεδίο θα έχει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο του χώρου (η οποία θα αλλάζει με το χρόνο) και συνεπώς και στο άπειρο. Τα πεδία που είναι ισοδύναμα με κάποιο μη αδρανειακό σύστημα εξαφανίζονται αν κάνουμε ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων και πάμε σε κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Αντίθετα, τα πραγματικά βαρυτικά πεδία (τα οποία παρατηρούνται και στα αδρανειακά συστήματα) δεν μπορούν να εξαφανιστούν όποια επιλογή συστήματος αναφοράς κι αν κάνουμε. Αυτό είναι ήδη προφανές απ όσα έχουμε πει για τη διαφορά στις συνοριακές συνθήκες στο άπειρο μεταξύ των πραγματικών βαρυτικών πεδίων, και των πεδίων που είναι ισοδύναμα με μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Δεδομένου ότι τα τελευταία δεν μηδενίζονται στο άπειρο είναι εύλογο να πούμε ότι ο μηδενισμός στο άπειρο δεν μας επιτρέπει να βρούμε κατάλληλο μετασχηματισμό για να πάμε σε αδρανιακό σύστημα. Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι με κατάλληλη επιλογή συστήματος αναφοράς να εξαφανίσουμε το βαρυτικό πεδίο τοπικά, σε μια μικρή περιοχή του χώρου, ώστε στα πλαίσια αυτά να μπορούμε να το θεωρήσουμε ομογενές. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε επιλέγοντας ένα επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς στη συγκεκριμένη περιοχή το οποίο θα έχει επιτάχυνση ίδια με αυτή που θα αποκτούσε ένα σωματίδιο αν το τοποθετούσαμε στην περιοχή που εξετάζουμε. Η κίνηση ενός σωματιδίου σε ένα βαρυτικό πεδίο στη μή σχετικιστική μηχανική καθορίζεται από μια Λαγκρανζιανή της μορφής: L = mv2 mϕ (1.1) 2 όπου το ϕ είναι μια συνάρτηση των συντεταγμένων και του χρόνου και ονομάζεται βαρυτικό δυναμικό. Αντίστοιχα, η εξίσωση κίνησησης του σωματιδίου είναι: v = ϕ (1.2) Η εξίσωση αυτή δεν περιέχει τη μάζα ή οποιαδήποτε άλλη σταθερά που να χαρακτηρίζει τις ιδιότητες του σωματιδίου. Αυτή είναι η μαθηματική έκφραση της βασικής ιδιότητας των βαρυτικών πεδίων. 1.2 Το βαρυτικό πεδίο στη σχετικιστική μηχανική Η βασική ιδιότητα των βαρυτικών πεδίων οτι όλα τα σώματα κινούνται σ αυτά με τον ίδιο τρόπο παραμένει σε ισχύ και στη σχετικιστική μηχανική. Συνεπώς παραμένει

1.2 Το βαρυτικό πεδίο στη σχετικιστική μηχανική 3 και η αναλογία μεταξύ βαρυτικών πεδίων και μη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Ως εκ τούτου, για να μελετήσουμε τις ιδιότητες των βαρυτικών πεδίων στη σχετικιστική μηχανική, ξεκινάμε απο αυτή την αναλογία. Σε ένα αδρανιακό σύστημα, το διάστημα ds δίνεται από τη σχέση: ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 (1.3) Κάνοντας μετασχηματισμό σε κάποιο άλλο αδρανιακό σύστημα (χρησιμοποιώντας μετασχηματισμό Λόρενς), το διάστημα διατηρεί την ίδια μορφή. Αν όμως κάνουμε μετασχηματισμό σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, τότε το ds 2 δε θα είναι πια το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων διαφορικών των συντεταγμένων. Έτσι, για παράδειγμα, όταν κάνουμε μετασχηματισμό σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς x = x cos ωt y sin ωt, y = x sin ωt + y cos ωt, z = z (1.4) (Όπου Ω η γωνιακή ταχύτητα στον άξονα z) θα έχουμε: dx = dx cosωt x ΩsinΩtdt dy sinωt Ωy cosωtdt (1.5) dy = dx sinωt + x ΩcosΩtdt + dy cosωt y ΩsinΩtdt (1.6) Συνεπώς: dx 2 = cos 2 Ωt(dx Ωy dt) 2 + sin 2 Ωt(Ωx dt + dy ) 2 2cosΩtsinΩt(dx Ωy dt)(ωx dt + dy (1.7) ) Κάνοντας την αντίστοιχη πράξη για το dy και αντικαθιστώντας στο ds καταλήγουμε: ds 2 = dt 2 [ c 2 Ω 2 (x 2 + y 2 ) ] dx 2 dy 2 dz 2 + 2Ωy dx dt 2Ωx dy dt (1.8) Στην έκφραση αυτή έχουμε διατηρήσει τον χρόνο. Όποιος και αν είναι ο νόμος μετασχηματισμού του χρόνου, παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να φέρουμε το διαφορικό στην μορφή του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορικών των συντεταγμένων. Έτσι, στη γενική περίπτωση ενός μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς, το τετράγωνο της απόστασης παίρνει τη γενική μορφή: ds 2 = g ik dx i dx k (1.9) οπού τα g ik είναι συγκεκριμένες συναρτήσεις των χωρικών συντεταγμένων x 1, x 2, x 3 και της χρονικής x 0. Έτσι, όταν έχουμε μη αδρανιακό σύστημα, το τετραδιάστατο σύστημα συντεταγμένων x 0, x 1, x 2, x 3 είναι καμπυλόγραμμο. Οι ποσότητες g ik, ο οποίες καθορίζουν όλες τις γεωμετρικές ιδιότητες σε κάθε καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων, λέμε ότι αντιπροσωπεύουν τη μετρική του χωρόχρονου. Οι ποσότητες g ik φαίνεται εύκολα ότι είναι συμμετρικές κάτω από εναλλαγή των δεικτών ( g ik = g ki ), μιας και καθορίζονται από τη συμμετρική μορφή (1.9) στην οποία, τα g ik και g ki εισάγονται σαν συντελεστές στο ένα και μοναδικό γινόμενο dx i dx k. Στη γενική περίπτωση υπάρχουν δέκα διαφορετικές ποσότητες g ik - 4 με ίδιους δείκτες και 6

4 1 Σωματίδιο σε βαρυτικό πεδίο με διαφορετικούς. Σε ένα αδρανιακό σύστημα, στο οποίο χρησιμοποιούμε καρτεσιανές συντεταγμένες x 1,2,3 = x, y, z και χρόνο x 0 = ct οι g ik, θα είναι : g 00 = 1, g 11 = g 22 = g 33 = 1, g ik = 0, for i k (1.10) Ένα τετραδιάστατο σύστημα συντεταγμένων με αυτές τις τιμές για τα g ik αποκαλείται γαλλιλαϊκό. Στην προηγούμενη ενότητα δείξαμε ότι ένα μη αδρανειακό σύστημα είναι ισοδύναμο με ένα συγκεκριμένο πεδίο δύναμης. Τώρα βλέπουμε ότι στη σχετικιστική μηχανική αυτά τα πεδία χαρακτηρίζονται από τις ποσότητες g ik. Αυτό ισχύει και στα πραγματικά βαρυτικά πεδία. Οποιοδήποτε βαρυτικό πεδίο είναι μια αλλαγή στη μετρική του χωρόχρονου η οποία εμφανίζεται στις ποσότητες g ik. Αυτό είναι σημαντικό γιατί δείχνει ότι η γεωμετρία του χωρόχρονου (η μετρική του) καθορίζεται από τα φυσικά φαινόμενα και δεν είναι προκαθορισμένη. 2 Η θεωρία των βαρυτικών πεδίων, η οποία κατασκευάσθηκε στη βάση της θεωρίας της σχετικότητας, αποκαλείται γενική θεωρία της σχετικότητας. Εισήχθη από τον Einstein ( μοντελοποιήθηκε το 1916) και πιθανώς είναι η πιο όμορφη υπάρχουσα φυσική θεωρία. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι o Einstein κατέληξε σε αυτή με τελείως αφηρημένο τρόπο και αργότερα επιβεβαιώθηκε από τα αστρονομικά δεδομένα. Όπως και στη μη σχετικιστική μηχανική, υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στα πραγματικά βαρυτικά πεδία και στα πεδία τα οποία είναι ισοδύναμα με μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Όταν κάνουμε μετασχηματισμό για να πάμε σε ένα μη αδρανειακό σύστημα, οι ποσότητες g ik εξάγονται από τις αντίστοιχες γαλλιλαϊκές κάνοντας ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων. Μπορούμε να τις επαναφέρουμε στις αρχικές τους τιμές κάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Αυτή όμως η περίπτωση όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε είναι πολύ περιορισμένη, καθώς οι g ik είναι 10 ανεξάρτητες ποσότητες και δεν μπορούμε να καλύψουμε όλους τους συνδυασμούς τιμών που αυτές μπορούν να έχουν με έναν μετασχηματισμό 4 συντεταγμένων. Ένα πραγματικό βαρυτικό πεδίο δεν μπορεί να εξαφανιστεί με έναν απλό μετασχηματισμό συντεταγμένων. Με άλλα λόγια, παρουσία βαρυτικού πεδίου, ο χωρόχρονος αποκτά τέτοια μορφή που οι ποσότητες g ik δεν μπορούν να μετατραπούν με οποιοδήποτε μετασχηματισμό συντεταγμένων σε γαλλιλαϊκές σε όλη την έκταση του χώρου. Τέτοιος χωρόχρονος λέγεται καμπυλωμένος, σε αντίθεση με τον χωρόχρονο στον οποίο μια τέτοια μετατροπή είναι δυνατή και ο οποίος λέγεται επίπεδος. Παρ όλα ταύτα, με κατάλληλη επιλογή συντεταγμένων, μπορούμε να φέρουμε τις ποσότητες g ik σε γαλιλαϊκή μορφή σε ένα συγκεκριμένο σημείο του καμπυλωμένου χωρόχρουνου (μη γαλιλαϊκού): Αυτό αντιστοιχεί στη διαγωνιοποίηση ενός συμμετρικού 4 επί 2 Σ.τ.Μ Το σχόλιο αυτό του Landau το οποίο μας φαντάζει παράξενο, ίσως να έχει κάποιες φιλοσοφικές προεκτάσεις. Η έννοια του χώρου και του χρόνου στην εποχή πριν τον Einstein είχε απόλυτο χαρακτήρα και μια μεταφυσική χροιά. Ήταν μια σκηνή στην οποία διαδραματίζονταν τα φυσικά φαινόμενα. Αυτό φιλοσοφικά έθετε ένα ζήτημα. Ένα ιδεατό κατασκεύασμα (ο χώρος και ο χρόνος) έθετε τα πλαίσια στα οποία διαδραματίζονταν οι υπαρκτές φυσικές διεργασίες-τα φυσικά φαινόμενα. Στο αρχέγονο φιλοσοφικό ζήτημα του αν προηγείται η ύλη ή η συνείδηση, η Νευτώνεια φυσική τοποθετούνταν στη μεριά της συνείδησης, αφού το ιδεατό κατασκεύασμα του χώρου και του χρόνου έπρεπε να ορισθεί σαφώς από τα πριν, χωρίς την τέλεση οποιουδήποτε φυσικού φαινομένου. Εδώ ο Landau υποστηρίζει ότι στα πλαίσια της γενικής σχετικότητας, ο ίδιος ο χωρόχρονος καθορίζεται από τις φυσικές διεργασίες που συντελούνται σε αυτόν. Υπάρχει δηλαδή μια διαλεκτική σύνδεση μεταξύ της σκηνής και της παράστασης που λαμβάνει χώρα.

1.2 Το βαρυτικό πεδίο στη σχετικιστική μηχανική 5 4 πίνακα με σταθερές τιμές. Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται γαλλιλαϊκό για ένα δοσμένο σημείο. 3 Επισημαίνουμε ακόμα ότι μετά τη διαγωνιοποίηση σε ένα συγκεκριμένο σημείο, ο πίνακας g ik θα έχει μια θετική και τρεις αρνητικές ιδιοτιμές. Από αυτό το γεγονός, προκύπτει ότι για έναν πραγματικό χωρόχρονο, η μετρική θα έχει πάντα αρνητική ορίζουσα g < 0 (1.11) Μια αλλαγή στη μετρική του χωρόχρονου σημαίνει αλλαγή και στο καθαρά χωρικό κομμάτι της μετρικής. Σε μια γαλλιλαϊκή μετρική g ik αντιστοιχεί Ευκλείδια γεωμετρία του χώρου. Όταν υπάρχει βαρυτικό πεδίο, η γεωμετρία του χώρου γίνεται μη-ευκλείδια. Αυτό ισχύει τόσο για τα πραγματικά βαρυτικά πεδία στα οποία ο χωρόχρονος είναι καμπυλωμένος όσο και για τα πεδία που προκύπτουν από το γεγονός ότι το σύστημα δεν είναι αδρανιακό και τα οποία διατηρούν το χωρόχρονο επίπεδο. Το πρόβλημα της χωρικής γεωμετρίας μέσα σε βαρυτικό πεδίο θα αναπτυχθεί διεξοδικά σε επόμενη παράγραφο. Παρόλα ταύτα είναι χρήσιμο να δώσουμε εδώ ένα απλό επιχείρημα που δείχνει περιγραφικά ότι ο χώρος θα γίνει μη-ευκλείδιος όταν πάμε σε ένα μη αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων. Ας φανταστούμε δυο συστήματα αναφοράς από τα οποία το ένα είναι αδρανειακό (Κ) και το άλλο (Κ ) περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον κοινό τους άξονα z. Ένας κύκλος στο επίπεδο x,y όπως τον βλέπει ο Κ, με κέντρο την αρχή των αξόνων, θα είναι ένας κύκλος στο επίπεδο x,y το οποίο παρατηρεί ο Κ. Αν μετρήσουμε με ένα καλάμι την διάμετρο του κύκλου στο Κ σύστημα και με μικρά καλαμάκια την περιφέρεια, θα βρούμε ότι ο λόγος περιφέρειας προς διάμετρο είναιπ, σε συμφωνία με τον ευκλείδιο χαρακτήρα της γεωμετρίας στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Αν επαναλάβουμε τη μέτρηση του κύκλου με ένα καλάμι που είναι σε ηρεμία ως προς τον Κ, θα δούμε ότι ως προς τον Κ, τα εφαπτόμενα στην περιφέρεια καλάμια υπόκεινται συστολή Lorentz ενώ το καλάμι που μετράει την διάμετρο θα μένει αμετάβλητο. Είναι λοιπόν λογικό ο λόγος περιφέρειας-διαμέτρου από μια τέτοια μέτρηση να είναι μεγαλύτερος από π. 4 3 Για να αποφύγουμε παρεξηγήσεις, να τονίσουμε ότι αυτό δε σημαίνει και αφανισμό του βαρυτικού πεδίου στον απειροστό τετραόγκο του σημείου. Μια τέτοια εξαφάνιση είναι βέβαια επίσης δυνατή με χρήση της αρχής της ισοδυναμίας και έχει μεγάλη σημασία όπως θα διαπιστώσουμε παρακάτω. 4 Σ.τ.Μ Ο λόγος θα είναι μεγαλύτερος για τον ακόλουθο λόγο: Χρειαζόμαστε περισσότερα καλάμια που έχουμε ονομάσει μέτρο. Ο περιστρεφόμενος αυτά θα τα βλέπει να γεμίζουν τον κύκλο, αλλά χωρίς να έχουν συσταλεί. Έτσι θα μετράει μεγαλύτερη περιφέρεια. Αντίθετα το καλάμι που μετράει την ακτίνα, εφ όσον είναι κάθετο στην κίνηση (κυκλική) θα μένει αμετάβλητο και ως προς τους δυο παρατηρητές. Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε οτι για τον ακίνητο, η περιφέρεια του κύκλου που μετράει με τα ακίνητα ως προς αυτόν καλάμια είναι 2πR. Έστω τώρα περιστρεφόμενα εφαπτομενικά στον κύκλο καλάμια (σα να μετράμε ένα πολύγωνο). Το κάθε καλάμι θα συσταλεί για τον ακίνητο παρατηρητή. Αν το στοιχειώδες εφαπτομενικό καλάμι έχει μήκος dl, τότε τα περιστρεφόμενα θα έχουν μήκος: dl rotated = γdl όπου 1 γ = 1+ (ωr)2 c 2 με ω τη γωνιακή ταχύτητα που περιστρέφεται ο Κ ως προς τον Κ. Ετσι, αφού το κάθε καλάμι θα έχει συσταλεί με τον ίδιο τρόπο, άρα και το συνολικό μήκος που μετράνε αυτά τα καλάμια θα έχει συσταλεί κατα ένα συντελεστή γ. Αν λοιπόν θέλουμε να γεμίσουμε τον κύκλο του ακίνητου Κ με περιστρεφόμενα εφαπτομενικά καλάμια θα χρειαζόμασταν περισσότερα, έτσι ώστε να φτάσουμε να γεμίζουμε την ίδια περιφέρεια. Για την ακρίβεια, δεδομένου ότι αν πάρουμε τόσα περιστρεφόμενα καλάμια, όσα ήταν πριν τα ακίνητα θα γεμίζουμε ένα μήκος 2πRγ ενώ πρέπει να γεμίσουμε μήκος 2πR, θα πρέπει να πάρουμε παραπάνω περιστρεφόμενα. Πόσα παραπάνω; Μα ακριβώς 1/γ φορές περισσότερα. Χρειαζόμαστε λοιπόν 2πR γ περιστρεφόμενα καλάμια για να γεμίσουμε τον κύκλο του Κ. Αυτά τα καλάμια θα είναι ακίνητα ως

6 1 Σωματίδιο σε βαρυτικό πεδίο Στη γενική περίπτωση ενός αυθαίρετου και μεταβαλλόμενου βαρυτικού πεδίου, η μετρική δεν είναι απλά μη-ευκλείδια, αλλά επίσης μεταβάλλεται με τον χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι οι σχέσεις μεταξύ διαφορετικών γεωμετρικών αποστάσεων αλλάζουν με τον χρόνο. Σαν αποτέλεσμα, η σχετική θέση δοκιμαστικών σωματιδίων τα οποία εισάγονται στο πεδίο δεν μπορεί να μείνει αμετάβλητη σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων. 5 Έτσι, για παράδειγμα, αν τοποθετήσουμε σωματίδια πάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου και πάνω στη διάμετρο, αφού ο λόγος τους δε θα παραμένει π αλλά θα αλλάζει με τον χρόνο, αν διατηρήσουμε σταθερές τις αποστάσεις στη διάμετρο, θα πρέπει να αλλάζουν οι αποστάσεις στην περιφέρεια και αντίστροφα. 6. προς τον Κ. Θα γεμίζουν επίσης τον κύκλο του. Ο λόγος περιφέρειας προς διάμετρο που θα μετράει αυτός θα είναι λοιπόν: 2πR γ 2R = π γ. 5 Αν θέλουμε να μιλήσουμε αυστηρά, ο αριθμός των σωματιδίων θα πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τέσσερα για να μην μπορούμε να βρούμε σύστημα συντεταγμένων με σταθερές αποστάσεις. Μέχρι και με τέσσερα σωματίδια μπορούμε να σχηματίσουμε ένα τετράεδρο. Το τετράεδρο έχει από κατασκευής έξι ευθύγραμμα τμήματα να ενώνουν τις κορυφές του. Εμείς μπορούμε να επιλέξουμε σύστημα αναφοράς στο οποίο να μεταβάλλουμε συνεχώς τις συντεταγμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να μένουν αμετάβλητα αυτά τα έξι ευθύγραμμα τμήματα. Έχουμε όμως κάποιους περιορισμούς. Το τετράεδρο έχει έξι βαθμούς ελευθερίας για να αλλάξει (κάθε ένα από τα ευθύγραμμα τμήματα). Ομοίως και εμείς έχουμε τρεις χωρικές μεταθέσεις κα τρεις στροφές. Αν φέρναμε άλλο ένα σωματίδιο και φτιάχναμε πεντάεδρο, αυτό θα είχε περισσότερους βαθμούς ελευθερίας αλλά εμείς όχι! Άρα σε κόσμους με τέσσερα ή λιγότερα σωματίδια θα μπορούσαμε να φτιάξουμε συστήματα που να διατηρούν τις αποστάσεις στον χρόνο. Στον δικό μας κόσμο όμως δε συμβαίνει αυτό! 6 Σ.τ.Μ Στην πραγματικότητα, στο παράδειγμα με τον περιστρεφόμενο παρατηρητή τα πράγματα είναι αρκετά πιο πολύπλοκα. Ο περιστρεφόμενος παρατηρητής θα μπορούσε να παρομοιαστεί με διαδοχικά boost κάθετα στη διεύθυνση των x,y αξόνων του τα οποία συντελούνται σε απειροστούς χρόνους dt και το καθένα από αυτά έχει ως αποτέλεσμα στραμμένους x,y άξονες κατά γωνία dθ σε σχέση με τους προηγούμενους. Ο λόγος dθ/dt είναι σταθερός και ίσος με ω (γωνιακή ταχύτητα). Το πρόβλημα ανακύπτει για τον εξής λόγο. Αν σκεφτούμε ότι κατά μήκος του x άξονα του αρχικού συστήματος υπάρχουν παρατηρητές που έχουν συγχρονίσει τα ρολόγια τους, μετά το πρώτο boost θα πρέπει να βρούμε τον άξονα x στραμμένο κατά dθ. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι παρατηρητές θα κινηθούν στη διεύθυνση y, αλλά θα πρέπει σε χρόνο dt να έχουν καλύψει διαφορετικές αποστάσεις προκειμένου να σχηματίζεται γωνία dθ με τον αρχικό άξονα. Ήδη παρατηρούμε ότι αν οι παρατηρητές μας εκτείνονται μέχρι το άπειρο έχουμε προβλήματα που σχετίζονται με την ταχύτητα του φωτός. Ας πετάξουμε τους παραβατικούς παρατηρητές (για μεγάλα R) και ας κρατήσουμε αυτούς που σε χρόνο dt θα πρέπει να αποκτήσουν ωr < c Κατευθείαν βλέπουμε ότι οι παρατηρητές που είναι πιο κοντά στην αρχή των αξόνων θα πρέπει να κάνουν boost στη διεύθυνση y με v μικρότερη από αυτούς που είναι πιο μακριά. Από το πρώτο boost βλέπουμε ότι τα ρολόγια που ήταν συγχρονισμένα στο αρχικό σύστημα θα αποσυγχρονιστούν. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι πριν κάνουμε το επόμενο boost θα επανασυγχρονίζαμε τα ρολόγια αλλά εφόσον τα boost πρέπει να γίνονται σε απειροστό χρόνο και η ταχύτητα του φωτός είναι πεπερασμένη, δεν υπάρχει φυσική διεργασία με την οποία θα μπορούσαμε να πετύχουμε τον συγχρονισμό πριν γίνει το επόμενο boost! Σε ένα μη αδρανειακό σύστημα δηλαδή ενώ μπορούμε να έχουμε τους φίλους μας σε κάθε σημείο του χώρου για να κάνουμε μετρήσεις, είμαστε καταδικασμένοι να κρατάμε ρολόγια που τρέχουν με διαφορετικούς χρόνους. Το πρόβλημα γίνεται ακόμα πιο παράξενο αν αναλογιστούμε το γεγονός ότι αν κάποιος από τους παρατηρητές μετρήσει την περίοδο περιστροφής του συστήματος και θελήσει να την συγκρίνει με κάποιον φίλο του που περιστρεφόταν πιο μακριά από την αρχή των αξόνων δε θα συμφωνήσουν για την διάρκειά της! Για να διατρέξει γωνία 2π ο παρατηρητής που βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο χρειάζεται λιγότερο χρόνο παρά το γεγονός ότι τρέχει με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.μια πιθανή εξήγηση θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη: Ο παρατηρητής που βρίσκεται πιο μακριά, προκειμένου να νομίζει ότι συνεχίζει να βρίσκεται σε κύκλο θα πρέπει να αισθάνεται μια κεντρομόλο επιτάχυνση a k = mωr. Ανάλογα με την ακτίνα η επιτάχυνση αλλάζει. Για δεδομένο ω και R (όπως ο κάθε παρατηρητής τα αντιλαμβάνεται-μετρώντας δηλαδή με φωτεινά σήματα την απόστασή του από την αρχή των αξόνων και ρυθμίζοντας κατάλληλα τη χωρική του απόσταση και την ταχύτητα του σε σχέση με αυτήν) έχουμε μια σταθερή σε μέτρο επιτάχυνση. Σε διαφορετική ακτίνα θα έχουμε άλλη επιτάχυνση. Ακόμα και αν αγνοήσουμε το γεγονός ότι η διεύθυνση της

1.2 Το βαρυτικό πεδίο στη σχετικιστική μηχανική 7 Είναι έτσι προφανές ότι στη γενική σχετικότητα είναι αδύνατον να έχουμε ένα σύστημα από σώματα τα οποία είναι ακίνητα μεταξύ τους. Αυτό το αποτέλεσμα αλλάζει θεμελιωδώς την ίδια την έννοια του συστήματος αναφοράς στη γενική σχετικότητα όταν το συγκρίνουμε με την έννοια που έχει στην ειδική σχετικότητα. Στην τελευταία (ειδική) σαν σύστημα αναφοράς, εννοούμε ένα σύνολο από σώματα με αμετάβλητες σχετικές θέσεις. Τέτοιο σύστημα δεν υπάρχει αν έχουμε παρουσία ενός μεταβαλλόμενου βαρυτικού πεδίου. Για τον ακριβή προσδιορισμό της θέσης ενός σωματιδίου, αν θέλουμε να είμαστε αυστηροί, να έχουμε έναν άπειρο αριθμό σωματιδίων τα οποία γεμίζουν τον χώρο σαν κάποιο μέσο. Ένα τέτοιο σύστημα σωμάτων με κάθε σώμα να έχει το δικό του αυθαίρετο ρολόι αποτελεί σύστημα αναφοράς στη γενική σχετικότητα. Η αυθαιρεσία του συστήματος αναφοράς στη γενική σχετικότητα, καθιστά επιτακτικό το γεγονός οι νόμοι της φύσης να μπορούν να γραφούν σε μορφή ανεξάρτητη από οποιαδήποτε επιλογή τετραδιάστατου συστήματος αναφοράς (ή αλλιώς να μπορούν να γραφούν σε συναλλοίωτη μορφή). Αυτό βέβαια δεν υπονοεί την ισοδυναμία από φυσικής απόψεως όλων αυτών των συστημάτων(αντίθετα με την ισοδυναμία από φυσικής απόψεως που υπάρχει μεταξύ των αδρανειακών συστημάτων στην ειδική θεωρία της σχετικότητας). Αντίθετα, συγκεκριμένες πτυχές των φυσικών φαινομένων, συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων της κίνησης των σωμάτων, μεταβάλλονται από σύστημα σε σύστημα. επιτάχυνσης μεταβάλλεται εύκολα διαπιστώνουμε ότι όχι απλά δεν ανήκουμε σαν παρατηρητές στο ίδιο αδρανειακό σύστημα, αλλά δεν ανήκουμε καν στο ίδιο σύστημα αναφοράς! Συνεπώς δεν μπορούμε καν να περιγράψουμε τον κόσμο.

Κεφάλαιο 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Στη μελέτη των βαρυτικών πεδίων ερχόμαστε αντιμέτωποι με την αναγκαιότητα να εξετάζουμε φαινόμενα σε αυθαίρετα συστήματα συντεταγμένων. Ως εκ τούτου είμαστε αναγκασμένοι να αναπτύξουμε μια τετραδιάστατη γεωμετρία σε ένα αυθαίρετο καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Ας σκεφτούμε τον μετασχηματισμό από ένα σύστημα συντεταγμένων x 0, x 1, x 2, x 3 σε ένα άλλο με συντεταγμένες x 0, x 1, x 2, x 3 : x i = f i (x 0, x 1, x 2, x 3 ) (2.1) όπου οι f i είναι συγκεκριμένες συναρτήσεις. Όταν μετασχηματίζουμε συντεταγμένες, τα διαφορικά μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον κανόνα: dx i = xi x k dx k (2.2) Οποιοδήποτε σύνολο τεσσάρων ποσοτήτων A i, (i = 0, 1, 2, 3), το οποίο σε εναλλαγή συντεταγμένων μετασχηματίζεται όπως τα διαφορικά των συντεταγμένων, ονομάζεται ανταλλοίωτο τετράνυσμα: A i = xi x k A k (2.3) Έστω ϕ ένα βαθμωτό μέγεθος. Σε ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων, οι τέσσερις ποσότητες ϕ θα μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον τύπο: x i ϕ x = ϕ x k (2.4) i x k x i ο οποίος είναι διαφορετικός από τον τύπο 1.14. Κάθε σύνολο τεσσάρων ποσοτήτων A i οι οποίες σε ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων μετασχηματίζονται όπως οι μερικές παράγωγοι ενός βαθμωτού ονομάζεται συναλλοίωτο τετράνυσμα. A i = x k x i A k (2.5) 8

9 Από το γεγονός ότι έχουμε δύο τύπους ανυσμάτων σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες προκύπτουν τρεις τύποι τανυστών δεύτερης τάξης. Αποκαλούμε ανταλλοίωτο τανυστή δεύτερης τάξης, ένα σύνολο 16 ποσοτήτων A ik οι οποίες μετασχηματίζονται σαν το γινόμενο των συνιστωσών δύο ανταλλοίωτων ανυσμάτων, δηλαδή σύμφωνα με τον κανόνα: A ik = xi x l x k x m A lm (2.6) Ένας συναλλοίωτος τανυστής δεύτερης τάξης μετασχηματίζεται σύμφωνα με τον κανόνα: και ένας μεικτός τανυστής, σύμφωνα με τον κανόνα: A ik = x l x i x m x k A lm (2.7) A i k = xi x l x m x k A l m (2.8) Οι ορισμοί που δίνονται εδώ είναι οι φυσικές γενικεύσεις των ορισμών των τετρανυσμάτων και των τανυστών σε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες, σύμφωνα με τους οποίους τα διαφορικά dx i συνιστούν ένα ανταλλοίωτο τετράνυσμα και οι παράγωγοι ϕ σχηματίζουν x i ένα συναλλοίωτο τετράνυσμα. 1 Οι κανόνες για να σχηματίζουμε τετρατανυστές μέσω πολλαπλασιασμού ή συστολής από άλλους τανυστές παραμένουν ίδιοι σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με αυτούς των γαλλιλαϊκών. Για παράδειγμα, είναι εύκολο με χρήση των κανόνων 1.14 και 1.16 να δείξουμε ότι το βαθμωτό γινόμενο δύο τετρανυσμάτων A i B i είναι αναλλοίωτο: A i B i = xi x k x l x i A k B l = x l x k A k B l = A k B k (2.9) Ο τανυστής δk i ορίζεται όπως και στην περίπτωση των γαλλιλαϊκών συντεταγμένων. Οι συνιστώσες του είναι δk i = 0 για i k και 1 για i = k. Αν το Ak είναι ένα τετράνυσμα, τότε πολλαπλασιαζόμενο με το δk i δίνει: δ i ka k = A i (2.10) με άλλα λόγια έναν άλλο τανυστή. Το δk i οφείλει γι αυτό το λόγο να είναι τανυστής. Το τετράγωνο του στοιχειώδους μήκους σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες είναι μια αναπαράσταση της μορφής: ds 2 = g ik dx i dx k (2.11) 1 Ενώ όμως σε γαλλιλαϊκά συστήματα οι ίδιες οι συντεταγμένες x i συνιστούν τετράνυσμα (και όχι μόνο τα διαφορικά τους) αυτό δεν ισχύει σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

10 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες όπου τα g ik είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων. Τα g ik είναι συμμετρικά υπό την εναλλαγή των δεικτών i,k: g ik = g ki (2.12) Εφόσον το γινόμενο των g ik με τα dx i, dx k είναι βαθμωτό, τα g ik σχηματίζουν έναν συναλλοίωτο τανυστή. Ο τανυστής αυτός ονομάζεται μετρική. Δύο τανυστές A ik και B ik ονομάζονται αντίστροφοι αν ισχύει: A ik B kl = δ l i (2.13) Συγκεκριμένα, ο τανυστής g ik είναι αντίστροφος του g ik, δηλαδή: g ik g kl = δ l i (2.14) Η ίδια φυσική ποσότητα μπορεί να αναπαρασταθεί είτε σαν συναλλοίωτο είτε σαν ανταλλοίωτο διάνυσμα. 2 Είναι προφανές ότι οι μόνες ποσότητες που μπορούν να συσχετίσουν τα συναλλοίωτα με τα ανταλλοίωτα διανύσματα είναι τα στοιχεία του μετρικού τανυστή. 3 Η συσχέτιση γίνεται μέσω των τύπων: A k = g ki A i A k = g ki A i (2.16) Σε ένα γαλιλλαϊκό σύστημα συντεταγμένων, η μετρική έχει τα εξής στοιχεία: g (0) ik = g(0)ik = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2.17) Ο τύπος 1.27 μας δίνει την οικεία συσχέτιση: A 0 = A 0, A 1,2,3 = A 1,2,3 4 2 Σ.τ.Μ Αυτό συμβαίνει γιατί τα ανταλλοίωτα και τα συναλλοίωτα διανύσματα ανήκουν σε δυϊκούς ανυσματικούς χώρους οι οποίοι εν τέλει περιγράφουν την ίδια πραγματικότητα. Η σχέση μεταξύ ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων είναι ουσιαστικά η ίδια με τη σχέση μεταξύ bra και ket στην κβαντομηχανική. Η διαφορά είναι ότι εδώ δεν έχουμε μιγαδικό διανυσματικό χώρο αλλά πραγματικό 3 Σ.τ.Μ Είναι προφανές για τον Landau. Για εμάς τους κοινούς θνητούς μάλλον χρειάζεται κάποια επεξήγηση. Έστω A k ένα ανταλλοίωτο άνυσμα. Σχηματίζουμε την ποσότητα g ik A k. Η ποσότητα αυτή θα είναι ένα συναλλοίωτο διάνυσμα. Αυτό το διαπιστώνουμε εύκολα αν κάνουμε συστολή δεικτών, ή αν κάνουμε ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων και δούμε πως συμπεριφέρεται. Γιατί όμως να πούμε ότι η ποσότητα αυτή είναι η A i ; Η απάντηση είναι η εξής: g ik A k g im A m = A k A m g ik g im = A k A m δ m k = A k A k (2.15) Έχουμε δηλαδή μια συναλλοίωτη ποσότητα η οποία συμπεριφέρεται ακριβώς ίδια με την A i 4 Οποτεδήποτε χρησιμοποιούμε την έννοια γαλιλλαϊκό σύστημα πρέπει να έχουμε κατά νου ότι αυτά ισχύουν μόνο για επίπεδο χώρο. Σε έναν καμπυλωμένο χώρο μπορούμε να μιλήσουμε για γαλιλλαϊκό σύστημα μόνο σε έναν απειροστό τετραόγκο ο οποίος όμως μπορεί πάντα να βρεθεί. Ο τρόπος που εξάγουμε τους τύπους δεν επηρεάζεται από την αλλαγή αυτή.

11 Όλα αυτά ισχύουν και για τις μετατροπές τανυστών από την μια μορφή στην άλλη. Η αλλαγές επιτυγχάνονται μέσω των τύπων: A i l = g ik A kl, A ik = g il g km A lm (2.18) Σε προηγούμενη παράγραφο είχαμε ορίσει τον πλήρως αντισυμμετρικό μοναδιαίο ψευδοτανυστή e iklm. Ας τον μετασχηματίσουμε σε ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο θα τον συμβολίσουμε E iklm. Κρατάμε τους ορισμούς μας ίδιους με πριν. Δηλαδή e 0123 = 1 και e 0123 = 1. Έστω οι x i γαλιλλαϊκές συντεταγμένες και οι x i κάποιες αυθαίρετες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Σύμφωνα με τους κανόνες μετασχηματισμού των τανυστών θα έχουμε: ή αλλιώς: E iklm = xi x p x k x q x l x r x m x s epqrs (2.19) E iklm = Je iklm (2.20) οπού J είναι η ορίζουσα που σχηματίζουν οι ποσότητες xi x p. Με λίγα λόγια είναι η Ιακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού από τις γαλλιλαϊκές στις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. J = (x0, x 1, x 2, x 3 ) (x 0, x 1, x 2, x 3 ) (2.21) Η Ιακωβιανή αυτή μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της ορίζουσας του μετρικού τανυστή g ik (στο σύστημα x i ). Για να το πετύχουμε αυτό, γράφουμε τη μετρική στο καινούργιο σύστημα συντεταγμένων. g ik (0)lm xi x k = g (2.22) x l x m και στη συνέχεια εξισώνουμε τις ορίζουσες από τα δύο σκέλη της εξίσωσης. Η ορίζουσα του αντίστροφου τανυστή της μετρικής είναι g ik = 1. Η ορίζουσα της επίπεδης g μετρικής g (0)ik = 1. Συνεπώς θα έχουμε 1 = J 2 και άρα J = 1 g g. Συνεπώς σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής τέταρτης τάξης πρέπει να οριστεί ως εξής: E iklm = 1 g e iklm (2.23) Οι δείκτες του τανυστή μπορούν να κατέβουν χρησιμοποιώντας την μετρική: ge iklm = g ip g kr g lq g mt e prqt (2.24)

12 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Έτσι ώστε να ισχύει: E iklm = ge iklm (2.25) 5 Σε ένα γαλλιλαϊκό σύστημα x i το ολοκλήρωμα ενός βαθμωτού μεγέθους σε ένα χωρίο dω = dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 είναι επίσης βαθμωτό. Συνεπώς το στοιχείο όγκου dω συμπεριφέρεται σα βαθμωτό κατά την ολοκλήρωση. Όταν κάνουμε μετασχηματισμό σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες x i το στοιχείο ολοκλήρωσης μετασχηματίζεται αντίστοιχα. dω = dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 = x0 x i x 1 x j x 2 x k x 3 x l dx i dx j dx k dx l (2.26) = Jdω (?) dω = 1 J dω = gdω (2.27) Έτσι, όταν ολοκληρώνουμε σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, η ποσότητα gdω συμπεριφέρεται σαν αναλλοίωτο. 6 Όλα τα σχόλια από την ειδική σχετικότητα που αφορούν στοιχεία ολοκλήρωσης σε υπερεπιφάνειες, επιφάνειες και γραμμές παραμένουν σε ισχύ σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με τη μόνη διαφορά να είναι η αλλαγή του ορισμού των δυϊκών τανυστών. Το στοιχείο της επιφάνειας που καλύπτεται με τρεις απειροστές μετατοπίσεις είναι ο ανταλλοίωτος αντισυμμετρικός τανυστής ds ikl. Ο δυϊκός του τανυστής μας δίνεται αν πολλαπλασιάσουμε με τον τανυστή ge iklm. Θα είναι λοιπόν: gdsi = 1 6 e iklmds klm g (2.28) Ομοίως, αν το df ik είναι το στοιχείο μιας επιφάνειας δύο διαστάσεων το οποίο καλύπτεται από δύο απειροστές μετατοπίσεις, ο δυϊκός τανυστής ορίζεται ως εξής: gdf ik = 1 geiklm df lm (2.29) 2 5 Σ.τ.Μ Είναι παράξενο το γεγονός ότι για να κατεβάσουμε τους δείκτες του e δεν αρκεί απλά να πολλαπλασιάσουμε τόσες φορές με τη συναλλοίωτη μετρική όση είναι τάξη του τανυστή και πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και με -g για να ισχύει η σχέση. Ας μην ξεχνάμε όμως ότι ο e είναι ψευδοτανυστής και πρέπει να μετασχηματίζεται έτσι ώστε να ισχύει η σχέση 1.36 αφού αυτή έχει όλο το ζουμί του μετασχηματισμού. Όταν κάνουμε αλλαγή συντεταγμένων και θέλουμε να μετασχηματίσουμε ένα συναλλοίωτο μέγεθος χρησιμοποιούμε την αντίστροφη Jaccobian. Η ορίζουσα της αντίστροφης Jaccobian είναι 1/J, συνεπώς αναγκαστικά θα καταλήγουμε στη σχέση 1.36. Γι αυτό ο e οφείλει να ανεβοκατεβάζει δείκτες με αυτόν τον τρόπο. 6 Έτσι, όταν είμαστε σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, αν το φ είναι ένα βαθμωτό, τότε η ποσότητα gϕ η οποία δίνει αναλλοίωτο μέγεθος όταν ολοκληρωθεί στον όγκο dω λέγεται βαθμωτή πυκνότητα. Αντίστοιχα μπορούμε να μιλήσουμε για διανυσματικές και τανυστηκές πυκνότητες ga i, ga ik κτλ. Αυτές οι ποσότητες δίνουν ένα άνυσμα ή έναν τανυστή αντίστοιχα όταν πολλαπλασιαστούν με το dω. (Το ολοκλήρωμα A i dω σε έναν πεπερασμένο όγκο (και όχι απειροστό) δεν μπορεί να είναι διάνυσμα αφού οι κανόνες μετασχηματισμού από σημείο σε σημείο είναι άλλοι).

2.1 Χωρικές και χρονικές αποστάσεις 13 2.1 Χωρικές και χρονικές αποστάσεις Έχουμε ήδη επισημάνει ότι στη γενική σχετικότητα η επιλογή των συντεταγμένων δεν περιορίζεται με κανένα τρόπο. Η τριπλέτα των χωρικών συντεταγμένων x 1, x 2, x 3, μπορεί να είναι οποιεσδήποτε ποσότητες οι οποίες ορίζουν τη θέση των σωμάτων στο χώρο. Η χρονική συντεταγμένη x 0 μπορεί να οριστεί από ένα ρολόι το οποίο τρέχει με έναν αυθαίρετο ρυθμό. Η ερώτηση που ανακύπτει είναι προφανής: Υπό ποιες συνθήκες οι τιμές των συντεταγμένων x 1, x 2, x 3, x 0 μας λένε ποιο είναι το πραγματικό χωρικό και χρονικό διάστημα? Αρχικά θα βρούμε τη σχέση του ιδιόχρονου, τον οποίο από δω και πέρα θα συμβολίζουμε τ, με την χρονική συντεταγμένη x 0. Για να το καταφέρουμε αυτό θα φανταστούμε δυο γεγονότα τα οποία απέχουν απειροστά από άποψη χρόνου και τα οποία συμβαίνουν στο ίδιο χωρικό σημείο. Αυτό σημαίνει ότι το χωροχρονικό διάστημα ds που τα χωρίζει θα είναι απλά cdτ, όπου dτ ο ιδιόχρονος που έχει περάσει (ή καλύτερα που έχει διανυθεί) ανάμεσα στα δύο γεγονότα. Αν θέσουμε x 1 = x 2 = x 3 = 0 στη γενική σχέση ds = g ik dx i dx k θα πάρουμε : και άρα: ds 2 = c 2 dτ 2 = g 00 (dx 0 ) 2 (2.30) dτ = 1 c g00 dx 0 (2.31) Εναλλακτικά, για τον χρόνο που περνάει ανάμεσα σε δύο γεγονότα που συντελούνται στο ίδιο σημείο του χώρου: τ = 1 c g00dx 0 (2.32) Αυτή η σχέση μας δίνει το πραγματικό χρονικό διάστημα (ή όπως αλλιώς αποκαλείται, τον ιδιόχρονο για ένα δεδομένο σημείο στον χώρο) σε σχέση με τη μεταβολή της συντεταγμένης x 0.Συνοπτικά να αναφέρουμε ότι η ποσότητα g 00 όπως φαίνεται και από τους προηγούμενους τύπους είναι θετική. g 00 > 0 (2.33) Είναι σημαντικό να εξηγήσουμε τη διαφορά αυτής της τελευταίας σχέσης και της ανάγκης η μετρική τοπικά να μπορεί να μετασχηματιστεί με αλλαγή συντεταγμένων σε έναν πίνακα με μια θετική και τρεις αρνητικές ιδιοτιμές. Ένας τανυστής g ik που δεν πληρεί την δεύτερη προϋπόθεση δεν μπορεί να αντιστοιχεί σε κανένα πραγματικό βαρυτικό πεδίο, με λίγα λόγια δεν μπορεί να είναι μετρική του χωρόχρονου. Αντίθετα, ένας τανυστής που έχει g 00 < 0 σημαίνει ότι το δεδομένο σύστημα αναφοράς δεν μπορεί να πραγματωθεί με πραγματικά σώματα. Αν η υπόθεση των προσήμων των ιδιοτιμών ισχύει, μπορούμε να κάνουμε ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων και το g 00 να γίνει θετικό. Παράδειγμα

14 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες τέτοιου συστήματος είναι το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς το οποίο θα δούμε διεξοδικά σε επόμενη παράγραφο. Στη συνέχεια θέλουμε να προσδιορίσουμε το στοιχείο dl της χωρικής απόστασης. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας μπορούμε να ορίσουμε το dl ως την απειροστή απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων τα οποία συντελούνται την ίδια χρονική στιγμή. Στη γενική θεωρία της σχετικότητας είναι συνήθως αδύνατον να το κάνουμε αυτό! Δεν είναι δυνατόν δηλαδή να προσδιορίσουμε το dl απλά θέτοντας dx 0 = 0 στο ds. Αυτό συνδέεται με το γεγονός ότι η συντεταγμένη dx 0 έχει διαφορετική εξάρτιση από τον ιδιόχρονο σε διαφορετικά σημεία του χώρου. Ας μην ξεχνάμε ότι οι σχέσεις που βγάλαμε πριν για τη σύνδεση του ιδιόχρονου με την χρονική συντεταγμένη αφορούσαν αυστηρά το ίδιο σημείο του χώρου. Για σημεία που έχουν έστω και ελάχιστη χωρική απόσταση δεν μπορούμε να πούμε τίποτα! Για να βρούμε το dl εργαζόμαστε ως εξής: Υποθέτουμε ότι ένα σήμα φωτός ξεκινάει από το σημείο Β ( με συντεταγμένες x a +dx a ) και κατευθύνεται στο σημείο Α το οποίο βρίσκεται απειροστά κοντά του ( με συντεταγμένες x a ). Στο σημείο Α το σήμα ανακλάται και επιστρέφει ξανά στο Β. Είναι σχεδόν προφανές, ότι το διάστημα που θα έχει διανύσει η ακτίνα φωτός θα είναι ο μισός χρόνος (όπως τον μετράει ο Β-ο οποίος βρίσκεται διαρκώς στο ίδιο χωρικό σημείο και άρα μπορεί να βγάλει ασφαλή συμπεράσματα) πολλαπλασιασμένος με την σταθερά c (ας μην ξεχνάμε ότι ο χρόνος που μετράει ο Β είναι ιδιόχρονος) 7. Ας γράψουμε το χωροχρονικό μήκος ξεχωρίζοντας χωρικές και χρονικές συντεταγμένες: ds 2 = g αβ dx α dx β + 2g 0α dx 0 dx α + g 00 (dx 0 ) 2 (2.34) όπου το άθροισμα στους ελληνικούς δείκτες είναι για τις συντεταγμένες 1 μέχρι 3. Λύνοντας την εξίσωση ds 2 = 0 ως προς το dx 0 έχουμε: = 2g 0α dx α 2g 0β dx β 4g 00 g αβ dx α dx β (2.35) dx 0(1,2) = 2g 0αdx α ± 4g 0α dx α g 0β dx β 4g 00 g αβ dx α dx β 2g 00 (2.36) dx 0(1,2) = g 0αdx α ± (g 0α g 0β g 00 g αβ )dx α dx β g 00 (2.37) Οι δύο ρίζες αντιστοιχούν στους χρόνους που έφυγε και που επέστρεψε το σήμα στο Β. Η ρίζα 2 είναι η στιγμή της αποχώρησης και η ρίζα 1 η στιγμή της άφιξης αφού έχει ανακλαστεί στο Α. 2.2 Συναλλοίωτη παραγώγιση Σε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες 8 τα διαφορικά da i ενός ανύσματος A i σχηματίζουν ένα διάνυσμα και οι μερικοί παράγωγοι A i των συνιστωσών του διανύσματος ως προς x k 7 αυτό βέβαια συμβαίνει γιατί το διάστημα ds που διανύει μια ακτίνα φωτός είναι πάντα 0, και άρα μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να εξισώσουμε χωρικές και χρονικές συντεταγμένες 8 Γενικά όταν οι ποσότητες g ik είναι σταθερές

2.2 Συναλλοίωτη παραγώγιση 15 τις συντεταγμένες σχηματίζουν έναν τανυστή. Σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες αυτό δεν συμβαίνει. Το da i δεν είναι διάνυσμα και το A i δεν είναι τανυστής. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας του γεγονότος ότι το da i είναι η διαφορά διανυσμάτων που βρίσκονται σε x k διαφορετικά (αν και απειροστά κοντά) σημεία του χώρου. Σε διαφορετικά σημεία του χώρου τα διανύσματα μετασχηματίζονται διαφορετικά, αφού οι συντελεστές των τύπων που μετασχηματίζουν τα διανύσματα ()() είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων. Είναι εύκολο να επιβεβαιώσουμε τον παραπάνω ισχυρισμό άμεσα. Για να το κάνουμε αυτό ας επιχειρήσουμε να καθορίσουμε τον τρόπο με τον οποίο μετασχηματίζονται τα da i σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Ένα συναλλοίωτο διάνυσμα μετασχηματίζεται σύμφωνα με τον τύπο: ως εκ τούτου: A i = x k x i A k (2.38) da i = x k x i da k + A kd x k x i x i da k + A 2 x k k x i x l dxl (2.39) = x k Όπως είναι φανερό, το da i δεν μετασχηματίζεται καθόλου σαν διάνυσμα! (Το ίδιο ισχύει και για το διαφορικό ενός ανταλλοίωτου διανύσματος).μόνο αν οι δεύτεροι παράγωγοι 2 x k = 0, δηλαδή τα x k είναι γραμμικές συναρτήσεις των x k, οι μετασχηματισμοί x i x l είναι εξισώσεις της μορφής: A i = x k x i A k (2.40) Μόνο σε αυτή την περίπτωση το da i μετασχηματίζεται σαν διάνυσμα. Θα δώσουμε τώρα τον ορισμό ενός τανυστή ο οποίος σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες παίζει τον ίδιο ρόλο που παίζει και το x k σε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες. Με άλλα x i λόγια, πρέπει να μετασχηματίσουμε το x k από γαλλιλαϊκές σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. x i Σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες για να πάρουμε το διαφορικό ενός διανύσματος με τέτοιο τρόπο που να συμπεριφέρεται και αυτό σαν διάνυσμα, είναι απαραίτητο τα δύο διανύσματα που θα αφαιρεθούν μεταξύ τους να βρίσκονται στο ίδιο σημείο του χώρου. Συνεπώς, θα πρέπει να μετατοπίσουμε ένα από τα διανύσματα (τα οποία απέχουν απειροστά) στο σημείο που βρίσκεται το άλλο. Μετά από αυτή τη διαδικασία προσδιορίζουμε την διαφορά των δύο διανυσμάτων που πλέον βρίσκονται στο ίδιο σημείο του χώρου. Η διαδικασία της μετατόπισης πρέπει να είναι τέτοια, ώστε σε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες η διαφορά θα συμπίπτει με το γνωστό διαφορικό da i. Αφού το da i είναι απλά η διαφορά των συνιστωσών δύο απειροστά διαχωρισμένων διανυσμάτων, αυτό σημαίνει ότι όταν χρησιμοποιούμε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες οι συνιστώσες του διανύσματος δεν αλλάζουν εξαιτίας της διαδικασίας της μετατόπισης. Ο τρόπος να το επιτύχουμε αυτό είναι να κάνουμε μια παράλληλη μετατόπιση. Αν λοιπόν, ένα διάνυσμα υποστεί μια παράλληλη μετατόπιση, οι συνιστώσες του δεν αλλάζουν σε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες. Αν όμως

16 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες χρησιμοποιήσουμε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, τότε γενικά οι συνιστώσες ενός διανύσματος θα αλλάξουν αν υποστεί μια τέτοια παράλληλη μετατόπιση. Έτσι, σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, η διαφορά των συνιστωσών των διανυσμάτων, αφού έχουμε εκτελέσει την παράλληλη μετατόπιση του ενός στο σημείο που βρίσκεται το άλλο, δεν θα συμπίπτει με την διαφορά των συνιστωσών πριν από την μετατόπιση (δηλαδή με το διαφορικό da i ). Καταλήγουμε ότι για να συγκρίνουμε δυο διανύσματα που απέχουν απειροστά πρέπει να εφαρμόσουμε μια παράλληλη μετατόπιση του ενός στο σημείο που βρίσκεται το άλλο. Ας θεωρήσουμε ένα αυθαίρετο ανταλλοίωτο διάνυσμα. Αν η τιμή του στο σημείο x i είναι A i, τότε σε ένα γειτονικό σημείο x i + dx i η τιμή του θα είναι A i + da i. Επιχειρούμε να μετατοπίσουμε παράλληλα το A i στο σημείο x i +dx i. Την αλλαγή που έγινε στο διάνυσμα εξαιτίας αυτής της μετατόπισης θα την συμβολίζουμε δa i. Έτσι η διαφορά DA i μεταξύ των δύο διανυσμάτων που πλέον βρίσκονται στο ίδιο σημείο θα είναι: DA i = da i δa i (2.41) Η αλλαγή δa i στις συνιστώσες ενός διανύσματος όταν αυτό υποστεί μια απειροστή παράλληλη μετατόπιση, εξαρτάται από τις τιμές των ίδιων των συνιστωσών, ενώ η εξάρτηση πρέπει να είναι γραμμική. Αυτό προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι το άθροισμα δύο διανυσμάτων πρέπει να αλλάζει με τον ίδιο τρόπο που αλλάζει κάθε διάνυσμα 9 Ως εκ τούτου, το δa i θα έχει την μορφή: δa i = Γ i kla k dx l (2.43) Όπου τα Γ i kl είναι συγκεκριμένες συναρτήσεις των συντεταγμένων. Η μορφή τους εξαρτάται φυσικά από το σύστημα συντεταγμένων. Για ένα γαλλιλαϊκό σύστημα θα είναι Γ i kl = 0. Από αυτό και μόνο είναι καθαρό ότι οι ποσότητες Γ i kl δεν είναι τανυστές, εφ όσον αν ένας τανυστής είναι μηδέν σε ένα σύστημα συντεταγμένων, θα είναι μηδέν και σε κάθε άλλο. Σε ένα καμπυλόγραμμο χώρο είναι αδύνατον να κάνουμε όλα τα Γ i kl να εξαφανιστούν σε ολόκληρο τον χώρο. Μπορούμε όμως να διαλέξουμε ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο τα Γ i kl θα είναι μηδέν σε μια απειροστή περιοχή (βλέπε το τέλος της ενότητας 10 ).Οι ποσότητες Γ i kl ονομάζονται σύμβολα Κρίστοφελ. Πέρα από τις 9 Ας προσπαθήσουμε να συγκεκριμενοποιήσουμε αυτό που λέει εδώ ο Landau. Έστω ˆP ένας τελεστής ο οποίος όταν δράσει πάνω σε ένα διάνυσμα το μετατοπίζει παράλληλα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Έστω επίσης και ένας άλλος τελεστής ˆL ο οποίος όταν δράσει σε ένα διάνυσμα το μετασχηματίζει σε ένα καινούργιο σύστημα συντεταγμένων. Έστω ότι εκτελούμε μια παράλληλη μετατόπιση σε ένα διάνυσμα Α, και στη συνέχεια θέλουμε να αλλάξουμε σύστημα συντεταγμένων. Σύμφωνα με τα προηγούμενα θα έχουμε: ˆP A = A + δa ( ˆP A) = ˆL(A + δa) = ˆLA + ˆLδA (2.42) Παρατηρούμε ότι αν το δa δεν είναι γραμμική συνάρτηση του Α, αν ήταν ας πούμε συνάρτηση του A 2, τότε θα έπρεπε να το χτυπήσουμε με το ˆL 2 για να πάρουμε το ( ˆP A). Έτσι, ο νόμος του αθροίσματος που αναφέρει ο Landau παραπάνω δεν θα ίσχυε. 10 Αυτό ακριβώς είναι το σύστημα συντεταγμένων στο οποίο αναφερόμαστε όταν λέμε επιχειρήματα για γαλλιλαϊκό σύστημα. Παρόλα ταύτα, όλες οι αποδείξεις είναι εφαρμόσιμες όχι μόνο σε επίπεδο, αλλά και σε καμπυλωμένο χώρο.

2.2 Συναλλοίωτη παραγώγιση 17 ποσότητες Γ i kl θα δούμε αργότερα και τις Γ i,kl 11 οι οποίες ορίζονται ως εξής: και αντίστροφα: Γ i,kl = g im Γ m kl (2.44) Γ i kl = g im Γ m,kl (2.45) Είναι επίσης εύκολο να συσχετίσουμε την αλλαγή στις συνιστώσες ενός συναλλοίωτου διανύσματος το οποίο υπόκειται σε μια παράλληλη μετατόπιση με τα σύμβολα Κρίστοφελ. Για να το κάνουμε αυτό, ας θυμηθούμε ότι ένα βαθμωτό μέγεθος μένει αναλλοίωτο όταν υποστεί παράλληλη μετατόπιση. Συγκεκριμένα, το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων δεν αλλάζει στην παράλληλη μετατόπιση. Έστω τα A i και B i, δύο οποιαδήποτε συναλλοίωτα και ανταλλοίωτα διανύσματα. Τότε από το δ(a i B i ) = 0, έχουμε: Ή αλλάζοντας τους δείκτες: B i δa i = A i δb i = Γ i klb k A i dx l (2.46) B i δa i = Γ k ila k B i dx l (2.47) Από αυτή την τελευταία σχέση, και από το γεγονός ότι το B i είναι τελείως αυθαίρετο διάνυσμα, καταλήγουμε στην σχέση της παράλληλης μετατόπισης για συναλλοίωτα διανύσματα: δa i = Γ k ila k dx l (2.48) Αν χρησιμοποιήσουμε την σχέση (6) και το γεγονός da i = ( A i / x l )dx l και αντικαταστήσουμε στην σχέση (4), παίρνουμε: Ομοίως, για συναλλοίωτα διανύσματα έχουμε: DA i = ( Ai x l + Γ i kla k )dx l (2.49) DA i = ( A i x l Γ k ila k )dx l (2.50) Οι ποσότητες στις παρενθέσεις στις σχέσεις (12) και (13) είναι τανυστές, αφού όταν πολλαπλασιαστούν με το διάνυσμα dx l δίνουν διάνυσμα. Μπορούμε, λοιπόν, να συμπεράνουμε ότι αυτοί οι τανυστές είναι η επιθυμητή γενίκευση της παραγώγου σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Αυτοί οι τανυστές ονομάζονται συναλλοίωτες παράγωγοι των διανυσμάτων A i και A i αντίστοιχα. Θα τις συμβολίζουμε A i ;k και A i;k. Έτσι: 11 Στην θέση των Γ i kl και Γ,kl μερικές φορές χρησιμοποιούνται τα σύμβολα

18 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες και οι συναλλοίωτες παράγωγοι θα είναι: DA i = A i ;ldx l, DA i = A i;l dx l (2.51) A i ;l = Ai x l + Γ i kla k (2.52) A i;l = A i x l Γ k ila k (2.53) Σε γαλλιλαϊκές συντεταγμένες Γ i kl = 0 και η συναλλοίωτη παραγώγιση έρχεται στην γνώριμη μορφή της γνωστής παραγώγισης. Είναι επίσης εύκολο να υπολογίσουμε την συναλλοίωτη παράγωγο ενός τανυστή. Για να το κάνουμε αυτό θα πρέπει να προσδιορίσουμε την αλλαγή που συμβαίνει σε έναν τανυστή αν κάνουμε μια απειροστή παράλληλη μετατόπιση. Για παράδειγμα, ας φανταστούμε οποιονδήποτε ανταλλοίωτο τανυστή, τον οποίο μπορούμε να τον εκφράσουμε σαν γινόμενο δυο ανταλλοίωτον ανύσμάτων A i B k. Αν εφαρμόσουμε μια παράλληλη μετατόπιση θα έχουμε: δ(a i B k ) = A i δb k + B k δa i = A i Γ k lmb l dx m B k Γ i lma l dx m (2.54) Αν εκμεταλλευτούμε την γραμμικότητα αυτού του μετασχηματισμού, θα πρέπει για έναν αυθαίρετο τανυστή να έχουμε: Αν αντικαταστήσουμε αυτό στην δa ik = (A im Γ k ml + A mk Γ i ml)dx l (2.55) DA ik = da ik δa ik = A ik ;l dx l (2.56) παίρνουμε την συναλλοίωτη παράγωγο του τανυστή A ik στην μορφή: A ik ;l = Aik x l + Γ i mla mk + Γ k mla im (2.57) Με τελείως όμοιο τρόπο μπορούμε να εξάγουμε την συναλλοίωτη παράγωγο του μικτού τανυστή A i k και του συναλλοίωτου τανυστή A ik, στην μορφή A i k;l = Ai k x l Γ m kla i m + Γ i mla m k (2.58)

2.2 Συναλλοίωτη παραγώγιση 19 A ik;l = A ik x l Γ m il A mk Γ m kla im (2.59) Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να βρούμε την συναλλοίωτη παράγωγο ενός τανυστή οποιασδήποτε τάξης, ακολουθώντας τον παρακάτω κανόνα: Για να βρούμε την συναλλοίωτη παράγωγο ενός τανυστή οποιασδήποτε τάξης ως προς το x l, προσθέτουμε την κανονική μερική παράγωγο ως προς x l και στην συνέχεια, για κάθε δείκτη i που είναι κάτω(συναλλοίωτος) έναν όρο Γ k il A...k.. και για κάθε δείκτη i που είναι πάνω (ανταλλοίωτος) έναν όρο +Γ i kl A...k.... Εύκολα μπορεί να διαπιστώσει κανείς ότι η συναλλοίωτη παράγωγος ενός γινομένου ακολουθεί τον ίδιο κανόνα με την συνήθη παραγώγηση γινομένων 12. Να σημειώσουμε εδώ, ότι η συναλλοίωτη παράγωγος ενός βαθμωτού ϕ ταυτίζεται με την συνήθη παράγωγο, δηλαδή ϕ k = ϕ/ x k, αφού για ένα βαθμωτό θα ισχύει δϕ = 0 και άρα Dϕ = dϕ. Για παράδειγμα η συναλλοίωτη παράγωγος του γινομένου A i B k θα είναι: (A i B k ) ;l = A i;l B k + A i B k;l (2.60) Αν σε μια συανλλοίωτη παράγωγο ανεβάσουμε τον δείκτη ο οποίος συμβολίζει την παραγώγιση, τότε λαμβάνουμε την λεγόμενη ανταλλοίωτη παράγωγο. Έτσι: A ;k i = g kl A i;l, A i;k = g kl A i ;l (2.61) Θα αποδείξουμε ότι τα σύμβολα Κρίστοφελ είναι συμμετρικά στους κάτω δείκτες. Εφόσον η συναλλοίωτη παράγωγος ενός ανύσματος A i;k είναι τανυστής, τότε και η διαφορά A i;k A k;i θα είναι επίσης τανυστής. Έστω τώρα ότι το διάνυσμα A i είναι το ανάδελτα ενός βαθμωτού, δηλαδή A i = ϕ/ x i. Συνεπώς, A i / x k = 2 ϕ/ x k x i = A k / x i. Με την βοήθεια της σχέσης (16) θα έχουμε: A k;i A i;k = (Γ l ik Γ l ki) ϕ x l (2.62) Σε ένα γαλλιλαϊκό σύστημα συντεταγμένων η συναλλοίωτη παράγωγος πέφτει στην κανονική παράγωγο, και γι αυτό το αριστερό μέλος της εξίσωσης γίνεται μηδέν. Η διαφορά όμως A i;k A k;i είναι τανυστής, και έτσι αν είναι μηδέν σε ένα σύστημα συντεταγμένων θα πρέπει να είναι μηδέν σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων. Έτσι βρίσκουμε Επίσης, προφανώς: Γ i kl = Γ i lk. (2.63) Γ i,kl = Γ i,lk (2.64) 12 Σ.τ.Μ αφού η συναλλοίωτη παράγωγος ορίζεται από το DA = da δa και τόσο το διαφορικό όσο και το δ υπακούν στον κανόνα αυτό, άρα και η συνολική συναλλοίωτη παράγωγος θα υπακούει

20 2 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Γενικά, υπάρχουν συνολικά σαράντα διαφορετικές ποσότητες Γ i kl. Για κάθε τιμή του δείκτη i υπάρχουν δέκα διαφορετικά ζευγάρια των δεικτών k και l (αν μετρήσουμε τα ζευγάρια που εναλλάσσονται αυτοί ως ίδια πχ το 23 και το 32) Τελειώνοντας αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τους νόμους μετασχηματισμού των συμβόλων Κρίστοφελ απο ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο. Οι τύποι μπορούν να εξαχθούν αν συγκρίνουμε τους νόμους μετασχηματισμού των δύο μελών των εξισώσεων που ορίζουν τις συναλλοίωτες παραγώγους, και απαιτώντας οι νόμοι αυτοί να είναι ίδιοι και για τα δύο μέλη. Ένας απλός υπολογισμός δίνει: Γ i kl = Γ m x i np x m x n x p + 2 x m x k x l x k x l x i x m (2.65) Από αυτόν τον τύπο γίνεται φανερό ότι η ποσότητα Γ i kl συμπεριφέρεται σαν τανυστής μόνο σε γραμμικούς μετασχηματισμούς(στους οποίος ο δεύτερος όρος του αθροίσματος στον τύπο (28) μηδενίζεται) Ο τύπος (28) μας δίνει τη δυνατότητα να αποδείξουμε τον ισχυρισμό ότι μπορούμε πάντα να βρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο όλα τα Γ i kl θα μηδενίζονται σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται τοπικά γεωδαισιακό 13. Ας πάρουμε το σημείο που θέλουμε να βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων και ας υποθέσουμε ότι οι τιμές του Γ i kl στο σημείο xi είναι (Γ i kl ) 0. Στη γειτονιά αυτού του σημείου πραγματοποιούμε τον μετασχηματισμό Έτσι: και σύμφωνα με την (28) όλα τα Γ m np γίνονται μηδέν Να σημειώσουμε για τον μετασχηματισμό (30) ότι x i = x i + 1 2 (Γi kl) 0 x k x l (2.66) ( 2 x m x i x k x l x ) m 0 = (Γ i kl) 0 (2.67) ( x i x k ) 0 = δ i k (2.68) και ώς εκ τούτου δεν αλλάζουν οι τιμές κάποιου τανυστή (συμπεριλαμβανομένου και του g ik ) στο συγκεκριμένο σημείο, και έτσι μπορούμε να εξαφανίσουμε τα σύμβολα Κρίστοφελ ενώ παράλληλα φέρνουμε τα g ik σε γαλλιλαϊκή μορφή. 2.3 Η σχέση των συμβόλων Κρίστοφελ με τον μετρικό τανυστή Ας αποδείξουμε ότι η συναλλοίωτη παράγωγος του μετρικού τανυστή g ik είναι μηδέν. Για να το κάνουμε αυτό, ας σημειώσουμε πρώτα ότι η σχέση 13 Μπορεί επίσης να αποδειχθεί, ότι με κατάλληλη επιλογή συστήματος συντεταγμένων, τα Γ i kl μπορούν να μηδενιστούν όχι μόνο σε ένα σημείο, αλλά κατά μήκος μιας δοσμένης καμπύλης