ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα ενότητας 1. Το Θεώρημα Fubini. 4
Σκοποί ενότητας Το Θεώρημα Fubini είναι ένα από τα κεντρικά θεωρήματα του λογισμού ολοκληρωμάτων πολλών μεταβλητών. Μας επιτρέπει να υπολογίζουμε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάγωντάς τα σε απλά. 5
Θεώρημα Fubini (1) Θα ξεκινήσουμε με ένα-δύο απλά παραδείγματα και κατόπιν θα δώσουμε την απόδειξη του θεωρήματος στην γενικότητά του. Στο τέλος θα δώσουμε πολλές και ποικίλες εφαρμογές του. Ας είναι f: Π = a, b c, d R μια συνεχής και άρα ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Το θεώρημα του Fubini μας λέει ότι Π f x, y dxdy d = f x, y dx a = f x, y dy a b c d c b dx. dy 6
Θεώρημα Fubini (2) Αν π.χ. Π = 1,1 0,1 και f x, y 1,1 0,1 x 2 + y dxdy = = = 2 3 1 0 1 0 = x 3 1 = x 2 + y, τότε 1 = x 2 + y dx 0 x=1 1 3 + yx dy x= 1 1 3 1 + 2y dy 3 1 2 + 2y dy 3 0 1 y + 2y2 2 0 = 2 3 + 1 = 5 3. dy 7
Θεώρημα Fubini (3) Ομοίως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά της ολοκλήρωσης και να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Δηλαδή 1 1 0 1 x 2 + y dy dx = 5 3. Ας περάσουμε τώρα στο θεώρημα Fubini όπως ισχύει στην γενικότητα του, δηλαδή για ολοκληρώσιμες συναρτήσεις επί φραγμένων συνόλων με σύνορο μέτρου 0. Ας είναι λοιπόν A B ένα ορθογώνιο του R m n, όπου Α είναι ένα ορθογώνιο του R m και Β ένα ορθογώνιο του R n. 8
Θεώρημα Fubini (4) Αν A B f R είναι ολοκληρώσιμη, τότε κατά τον Fubini, μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα A B f x, y dxdy ως το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα A B f x, y dx dy Χρειαζόμαστε κάποιους συμβολισμούς.. 9
Θεώρημα Fubini (5) Αν A B f R είναι φραγμένη, θέτουμε g x y = f x, y, άρα g x : B R. Επίσης, συμβολίζουμε με L x = g x y dy _B το κάτω και με U x = g x y dy το άνω ολοκλήρωμα της g x επί του Β. B = f x, y dy _B = f x, y dy B 10
Θεώρημα Fubini (6) Επισημαίνουμε ότι τα αθροίσματα L x και U x υπάρχουν αφού η f είναι φραγμένη και συνεπώς και η g x. Έχουμε το Θεώρημα 1 (Fubini) Ας είναι A B ένα ορθογώνιο του R m n, όπου Α είναι ένα ορθογώνιο του R m και Β ένα ορθογώνιο του R n. Αν A B f R είναι ολοκληρώσιμη, τότε οι x L x και x U x είναι ολοκληρώσιμες και ισχύει: A B f x, y dxdy = L x dx A = g x y dy A _B dx = f x, y dy A _B dx, (1) 11
Θεώρημα Fubini (7) και A B f x, y dxdy = U x dx A = f x, y dy A B dx = g x y dy Πριν περάσουμε στην απόδειξη, ας κάνουμε δύο παρατηρήσεις.. A B dx 12
Θεώρημα Fubini (8) Παρατηρήση 1: 1. Προφανώς οι ρόλοι των Α και Β στα παραπάνω ολοκληρώματα μπορούν να εναλλαγούν. Μπορούμε δηλαδή να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς x και και μετά ως προς y. 2. Σε όλες σχεδόν τις εφαρμογές, η y g x y είναι ολοκληρώσιμη ως προς y για κάθε x. Έτσι π.χ. στην (1) μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα κάτω ολοκληρώματα με τα ολοκληρώματα, και συνεπώς A B f x, y dxdy = g x y dy A B dx = f x, y dy A B dx. 13
Θεώρημα Fubini (9) Απόδειξη (του θεωρήματος Fubini). Ας είναι Δ 1 μια διαμέριση του Α R m σε ορθογώνια S A, και Δ 2 μια διαμέριση του B R n σε ορθογώνια S B. Συμβολίζουμε με Δ την διαμέριση του A B που παράγεται από τα ορθογώνια S A S B. Θα δείξουμε ότι η L x = g x y dy _B = f x, y dy _B είναι ολοκληρώσιμη, δείχνοντας ότι μπορούμε να κάνουμε τη διαφορά U Δ1 L L Δ1 L όσο μικρή θέλουμε. 14
Θεώρημα Fubini (10) Για αυτό, θα δείξουμε ότι U Δ1 L U Δ f και L Δ f L Δ1 L. Θα έχουμε λοιπόν U Δ1 L L Δ1 L U Δ f L Δ f ε, αφού η f είναι ολοκληρώσιμη. Κοιτάζουμε τα κάτω αθροίσματα 15
Θεώρημα Fubini (11) L Δ f = m SA S B f S A S B S A S B = inf x,y S A S B f x, y S A S B S A S B inf f x 0, y S A S B, y S B S A S B όπου x 0 είναι κάποιο τυχαίο σημείο του S A. Όμως έχουμε θέσει f x 0, y = g x0 y. 16
Θεώρημα Fubini (12) Άρα, L Δ f inf y S B f x 0, y S A S B S A S B = inf y S B g x0 y S A S B S A S B S A S B inf y S B g x0 y S B S A L Δ2 g x0 S A S A για κάθε x 0 Α. L Δ 2 g x0 g x 0 B =L x 0 L x 0 S A S A, (2) 17
Θεώρημα Fubini (13) Ας διαλέξουμε τώρα στην (2) ένα x 0 τ.ω. L x 0 = inf L x = m SA L. x S A Συνεπώς L Δ f L x 0 S A inf L x x S A S A S A S A m SA L S A S A = L Δ1 L. 3 Όμοια μπορούμε να δείξουμε ότι U Δ1 L U Δ f. 4 Από τις (3) και (4) έχουμε U Δ1 L L Δ1 L U Δ f L Δ f ε, 18
Θεώρημα Fubini (14) αν η διαμέριση Δ είναι αρκετά λεπτή, αφού η f είναι ολοκληρώσιμη. Συνεπώς, η L είναι ολοκληρώσιμη και A B f x, y dxdy = sup Δ L Δ f 3 sup Δ 1 L Δ1 L = L x dx Α = g x y dy A _B dx = f x, y dy Όμοίως, από την (4) έχουμε την αντίστροφη ανισότητα, και έτσι η απόδειξη είναι πλήρης. A _B dx. 19
Θεώρημα Fubini (15) Παρατηρήση 2: Μια εύκολη περίπτωση του Fubini είναι αυτή των χωρισμένων μεταβλητών, όταν δηλαδή η A B f R ικανοποιεί f x, y = f 1 x f 2 y, x, y A B. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε A B Για παράδειγμα, f x, y dxdy 0,1 2 e x+2y dxdy = f 1 x dx A 1 = e x dx 0 B f 2 y dy 1 e 2y dy 0.. 20
Βιβλιογραφία 1. Γ. Γεωργανόπουλος, Ολοκληρωτικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, Εκδόσεις Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, 1995. 2. Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, 1996. 3. J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2000. 4. M. Spivac, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1994. 21
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Μιχάλης Μαριάς. «. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs437/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 2014-2015