ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου στο επίπεδο: Σχεδιάζουμε δύο κάθετες ημιευθείες μεταξύ τους Ox και Oy. Πάνω σε καθεμία από αυτές ορίζουμε την ίδια μονάδα μέτρησης. Αυτές οι ημιευθείες ορίζουν ένα ορθογώνιο σύστημα ημιαξόνων. Ο ημιάξονας Ox λέγεται.. Ο ημιάξονας Oy λέγεται.. Το σημείο Ο λέγεται. 2. Η τετμημένη και η τεταγμένη ενός σημείου Α λέγονται 3. Το ζεύγος (x,y) όπου ο πρώτος αριθμός είναι η τετμημένη ενός σημείου Α και ο δεύτερος αριθμός είναι η τεταγμένη του σημείου Α, λέγεται διότι έχει σημασία η διάταξη δηλαδή η σειρά που είναι γραμμένοι οι αριθμοί αυτοί. 4. Ένα σύστημα ημιαξόνων λέγεται ορθοκανονικό όταν.. 5. Ένα σημείο με τετμημένη ίση με το μηδέν βρίσκεται. 6. Ένα σημείο με τεταγμένη ίση με το μηδέν βρίσκεται.. 7. Το πηλίκο δύο αριθμών λέγεται και 8. Η ισότητα δύο λόγων λέγεται. 9. Κλίμακα σε μία εικόνα ή έναν χάρτη λέγεται....

1 ΜΕΘΟΔΟΣ : αν η κλ ίµακα σε ένα σχέδιο είναι 1: Κ ή αλλιώς τότε ισχύει Κ 1 απόσταση στο σχέδιο = Κ απόσταση στην πραγµατικότητα ( απόσταση στην πραγµατικότητα ) =Κ ( απόσταση στο σχέδιο) 1 Κ ( απόσταση στο σχέδιο) = ( απόσταση στην πραγµατικότητα ) 10. Δύο σχήματα λέγονται όμοια όταν... 11. Κάθε σχέση αναλογίας α = γ είναι ισοδύναμη με την.. β δ 12. Αν οι λόγοι των μηκών των αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράμμων είναι, τότε αυτοί (οι λόγοι) θα είναι ίσοι και με το λόγο των περιμέτρων τους. 13. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; 14. Δύο ποσά x και y είναι ανάλογα όταν οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν πάντα το ίδιο y δηλαδή είναι = α ( σταθερό). x Το πηλίκο α λέγεται Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται και με τη σχέση y= α x, όπου α ο συντελεστής αναλογίας. 15. Όταν το ποσό y είναι ποσοστό του ποσού x τότε τα δύο ποσά συνδέονται με τη σχέση a a y= x και είναι ανάλογα, με συντελεστή αναλογίας το ή a %. 100 100

16. Όταν δύο ποσά είναι ανάλογα τότε ο διπλασιασμός, τριπλασιασμός κ.ο.κ του ενός ποσού, επιφέρει αντίστοιχα διπλασιασμό, τριπλασιασμό κ.ο.κ του άλλου ποσού. Επίσης αν το ένα υποδιπλασιαστεί ή υποτριπλασιαστεί τότε και το άλλο ποσό υποδιπλασιάζεται ή υποτριπλασιάζεται αντίστοιχα. 17. Τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x, y) δύο ανάλογων ποσών βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία με αρχή το σημείο Ο(0,0) που είναι αρχή των ημιαξόνων. 18. Για να διαπιστώσουμε αν δύο ποσά είναι ανάλογα συνήθως εξετάζουμε αν όλες οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν σταθερό λόγο. 19. Δύο μεγέθη λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν η μεταβολή τους είναι τέτοια ώστε. 20. Δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν πάντα το ίδιο δηλαδή είναι x y= α ( σταθερό), α 0. 21. Στην περίπτωση όπου είναι α = 1 δηλαδή x y= 1, τότε τα x και y είναι αντίστροφοι αριθμοί. 22. Τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x, y) δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών βρίσκονται πάνω σε μια καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή. Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Ox και Oy διότι οι συντεταγμένες των σημείων της δεν παίρνουν ποτέ την τιμή 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σημειώσετε στο παρακάτω ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων τα σημεία : Α( 5,5 ), Β( 2, 4 ), Γ( 9, 7 ), ( 6,10 ), Ε( 12,3 ), Κ( 0, 4 ), Λ( 0, 7 ), Μ( 10, 0 ), Ν ( 3, 0) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΝ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΛΝ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΛΜΝ.

2. Να βρεθούν οι λόγοι των ευθύγραμμων τμημάτων από το παρακάτω σχήμα: ΑΒ ΑΒ ΑΒ = =, = =, = = Γ ΕΖ ΙΚ Γ Γ Γ = =, = =, = = ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΗΘ ΙΚ ΙΚ = =, = =, = = ΕΖ ΗΘ ΑΒ 3. Σε μια τάξη με 30 μαθητές τα 12 είναι αγόρια. Να βρεθεί ο λόγος: Του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών :. ( πλήθος αγοριών ) = ( πλήθος κοριτσιών ) Του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:. ( πλήθος κοριτσιών ) = ( πλήθος αγοριών ) Του αριθμού των αγοριών προς το συνολικό πλήθος της τάξης :

( πλήθος αγοριών ) = ( συνολικό πλήθος µαθητων) Του αριθμού των κοριτσιών προς το συνολικό πλήθος της τάξης : ( πλήθος κοριτσιών ) = ( συνολικό πλήθος µαθητων) 4. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι x και 3x. (α) να γράψεις τη σχέση που συνδέει την περίμετρό Π του ορθογωνίου με το x. (β) να συμπληρωθεί ο πίνακας: x 3 7 1,5 Π 32 80 100 5. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι x και x+3. (α) να γράψεις τη σχέση που συνδέει την περίμετρό Π του ορθογωνίου με το x. (β) να συμπληρωθεί ο πίνακας: x 3 5 2,5 Π 30 50 86 6. Να συμπληρωθεί ο πίνακας: ΚΛΙΜΑΚΑ 1:4 2:5 3:10 1:150 5:16 ΜΗΚΟΣ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΟ 7cm 14cm 21cm 6cm 10cm ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΜΗΚΟΣ

7. Nα συμπληρωθεί ο πίνακας: ΚΛΙΜΑΚΑ 1:10 2:7 3:130 1:250 1:700 ΜΗΚΟΣ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΜΗΚΟΣ 60cm 42cm 39m 500m 140m 8. Οι διαστάσεις ενός χωραφιού σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου σε ένα σχέδιο κλίμακας 1:500 είναι 7cm και 11cm. Να βρεθούν οι πραγματικές του διαστάσεις. 9. Αν ανακατέψουμε 2 κιλά κόκκινο χρώμα και 3 κιλά κίτρινο χρώμα τότε θα πάρουμε μια συγκεκριμένη απόχρωση του πορτοκαλί. Αν έχουμε 7 κιλά κόκκινο χρώμα με πόσα κιλά κίτρινο χρώμα πρέπει να τα ανακατέψουμε για να πάρουμε την ίδια απόχρωση του πορτοκαλί; 10. Τα 5 κιλά ελιές δίνουν 1,5 κιλά λάδι. Πόσα κιλά λάδι θα μας δώσουν 2 τόνοι ελιές; Για να φτιάξουμε 75 κιλά λάδι πόσα κιλά ελιές θα χρειαστούμε;

11. Να βρεθεί το πραγματικό εμβαδόν του χωραφιού που είναι σχεδιασμένο στο παρακάτω σχήμα: 12. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αν είναι γνωστό ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα και ο συντελεστής αναλογίας είναι : 3 α = 5 x 10 25 55 100 y 18 6 60 13. Ένα διάλυμα αλατιού περιεκτικότητας 15% σε αλάτι έχει μάζα 260 gr. Πόσα gr αλάτι περιέχει;

14. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα και έτσι διανύει απόσταση 150 km μέσα σε 2 ώρες. Πόσες ώρες χρειάζεται για να διανύσει απόσταση 375km; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει σε 192 min;.. 15. Αν ο Σούλης έχει ύψος 1 μέτρο και 50 εκ. και η σκιά του είναι 1 μέτρο και 20 εκ. Την ίδια στιγμή ο Ρούλης έχει σκιά 1,05 μέτρα, ποιο το ύψος του Ρούλη;. 16. Σε κατάλληλο σύστημα ημιαξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις για καθεμιά από τις παρακάτω σχέσεις αναλογίας: 1 3 2 ( α ) y= x, ( β ) y= 2 x, ( γ ) y= x, ( δ ) y= x 3 2 3

17. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει διαστάσεις x και y. Αν γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του είναι 12 m 2 να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας μόνο με ακέραιες τιμές. Ποια σχέση συνδέει τις διαστάσεις του ορθογωνίου με το εμβαδόν του; Να γίνει η γραφική παράσταση σε σύστημα ημιαξόνων. x y 18. Για την κατασκευή ενός έργου εργάστηκαν 8 εργάτες για 6 ημέρες. Αν θέλαμε το έργο να κατασκευαστεί σε 4 ημέρες, πόσοι εργάτες θα έπρεπε να εργαστούν; 19. Για να εμφιαλώσουμε μια ποσότητα λαδιού σε μπουκάλια των 800 ml χρειαζόμαστε 120 μπουκάλια. Για να εμφιαλώσουμε την ίδια ποσότητα σε μπουκάλια του ενός λίτρου πόσα μπουκάλια θα χρειαστούμε;

Αν κάθε μπουκάλι των 800 ml κοστίζει 45 λεπτά του και κάθε μπουκάλι του ενός λίτρου κοστίζει 60 λεπτά του ποιος τρόπος εμφιάλωσης είναι ο οικονομικότερος;. 20. Αν τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα να συμπληρωθεί ο πίνακας τιμών: x 3 2 8 2,4 y 8 5 24 6 21. Τα χρήματα παίρνει για χαρτζιλίκι ο Σούλης του φτάνουν για 20 ημέρες αν ξοδεύει 5 κάθε ημέρα. Πόσα χρήματα πήρε για χαρτζιλίκι ο Σούλης; Πόσες μέρες μπορεί να περάσει αν ξοδεύει 4 την ημέρα...