Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15%
ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον s είναι: 3 (2->s=1) + (3->s=1) + (4->s=1) Επομένως, ισχύει η συνθήκη συντήρησης της ίσης ροής μεταξύ αφετηρίας και προορισμού. Για τους υπόλοιπους κόμβους: 1: 1 (r 1) 1 (1 2) 0 (1 3) = 0 2: 1 (1 2) - 0 (2 3) 1 (2 s) = 0 3: 0 (1 3) +0 (2 3) + 0 (r 3) +1 (4 3) - 0 (3 4) - 1 (3 s) = 0 4: 2 (r 4) + 0 (3 4) 1 (4 3) 1 (4 s) = 0 Επομένως, ισχύει και η συνθήκη συντήρησης μηδενικής ροής σε κάθε κόμβο χωριστά του δικτύου.
ΘΕΜΑ 1 Μονοπάτι επαύξησης: r 1 2 s. Συνολική ροή: 4.
ΘΕΜΑ 1 (Η ετικέτα του s είναι (3+, 1) Μονοπάτι επαύξησης: r 1 3 s. Συνολική ροή: 5.
ΘΕΜΑ 1 Μονοπάτι επαύξησης: r 3 4 s. Συνολική ροή: 7.
ΘΕΜΑ 1 Μονοπάτι επαύξησης: r 3 s. Συνολική ροή: 8. Καθώς δεν μπορεί να εντοπίσει ένα νέο μονοπάτι επαύξησης, ο αλγόριθμος τερματίζει με μέγιστη ροή που μπορεί να μεταφερθεί από τον r προς τον s να είναι 8.
ΘΕΜΑ 1 Γ) Η μέγιστη ροή παραμένει 8 μιας και ο αλγόριθμος συνεχίζει να τερματίζει στο ίδιο βήμα ακόμη και με την αύξηση της χωρητικότητας της ακμής 2->s σε 3.
ΘΕΜΑ 2 Α/Α Κόστος Ακμής Ακμή Α/Α Κόστος Ακμής Ακμή (c i,j ) (c i,j ) 1 1 (4,7) 8 8 (6,8) 2 2 (2,4) 9 8 (7,9) 3 2 (5,6) 9 (1,3) 4 4 (4,5) 11 9 (8,9) 5 6 (2,6) 12 (1,2) 6 7 (3,6) 13 11 (7,8) 7 7 (5,7) 14 14 (2,3) 1 9 2 2 4 1 7 14 6 4 5 11 9 2 3 7 6 8 8 Ο αλγόριθμος εκτελείται σε 9-1=8 βήματα: 7 8 9
ΘΕΜΑ 2 1 2 4 1 7 5 9 3 6 8 Βήμα-1: Στο βήμα αυτό αρχικοποιείται ο αλγόριθμος με την επιλογή της ακμής (4,7) που έχει το μικρότερο κόστος «1» και δεν υπάρχει άλλη ακμή με κόστος 1. Στο βήμα αυτό επιλέγηκαν από τον αλγόριθμο οι κόμβοι {1,4}.
ΘΕΜΑ 2 1 2 2 4 1 7 5 9 3 6 8 Βήμα-2: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχουν δύο ακμές με κόστος 2, οι ακμές (2,4) και (5,6), από τις οποίες επιλέγεται η ακμή (2,4), καθότι ο κόμβος {2} έχει μεγαλύτερη προτεραιότητα από τους κόμβους {5} και {6}. Στο βήμα αυτό επιλέγηκε επιπροσθέτως και ο κόμβος {2}, οπότε συνολικά έχουν επιλεγεί οι κόμβοι {2,4,7}.
ΘΕΜΑ 2 1 2 2 4 1 7 5 9 2 3 6 8 Βήμα-3: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχει μία ακμή με κόστος 2, η ακμή (5,6). Γίνεται προσθήκη της ακμής (5,6) καθότι ικανοποιεί όλα το κριτήρια της εκφώνησης. Στο βήμα αυτό επιλέγηκαν επιπροσθέτως και οι κόμβοι {5,6}, οπότε συνολικά έχουν επιλεγεί οι κόμβοι {2,4,5,6,7}.
ΘΕΜΑ 2 1 2 2 4 1 7 4 5 9 2 3 6 8 Βήμα-4: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχει μια ακμή με κόστος 4, η ακμή (4,5), η οποία επιλέγεται καθότι ικανοποιεί όλα το κριτήρια της εκφώνησης. Στο βήμα αυτό δεν επιλέγηκαν επιπρόσθετοι κόμβοι πέραν των {2,4,5,6,7}.
ΘΕΜΑ 2 1 2 2 4 1 7 4 5 9 2 3 7 6 8 Βήμα-5: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχει μία ακμή με κόστος 6, η ακμή (2,6), η οποία όμως απορρίπτεται καθότι δημιουργεί βρόχο. Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχουν δύο ακμές με κόστος 7, οι ακμές (3,6) και (5,7), από τις οποίες επιλέγεται η ακμή (3,6) καθότι ικανοποιεί όλα τα το κριτήρια της εκφώνησης. Στο βήμα αυτό επιλέγηκε επιπροσθέτως και ο κόμβος {3}, οπότε συνολικά έχουν επιλεγεί οι κόμβοι {2,3,4,5,6,7}.
1 ΘΕΜΑ 2 2 2 4 1 7 4 5 9 2 3 7 6 8 8 Βήμα-6: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχει μια ακμή με κόστος 7, η ακμή (5,7), ), η οποία όμως απορρίπτεται καθότι δημιουργεί βρόχο. Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχουν δύο ακμές με κόστος 8, οι ακμές (6,8) και (7,9), από τις οποίες επιλέγεται η ακμή (6,8) καθότι ικανοποιεί όλα τα το κριτήρια της εκφώνησης. Στο βήμα αυτό επιλέγηκε επιπροσθέτως και ο κόμβος {8}, οπότε συνολικά έχουν επιλεγεί οι κόμβοι {2,3,4,5,6,7,8}.
ΘΕΜΑ 2 1 2 2 4 1 7 4 5 9 2 9 3 7 6 8 8 Βήμα-7: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχει μια ακμή με κόστος 8, η ακμή (7,9), ), η οποία όμως απορρίπτεται καθότι προκύπτει ο κλάδος (5,4,7,9) με W=4.5 > W max =4. Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχουν δύο ακμές με κόστος 9, οι ακμές (1,3) και (8,9). Η ακμή (1,3) απορρίπτεται επίσης καθότι προκύπτει ο κλάδος (5,6,3,1) με W=4.5 > W max =4. Η ακμή (8,9) επιλέγεται καθότι ικανοποιεί όλα τα το κριτήρια της εκφώνησης. Στο βήμα αυτό επιλέγηκε επιπροσθέτως και ο κόμβος {9}, οπότε συνολικά έχουν επιλεγεί οι κόμβοι {2,3,4,5,6,7,8,9}.
ΘΕΜΑ 2 1 2 2 4 1 7 4 5 9 2 9 3 7 6 8 8 Βήμα-8: Από τις εναπομείνασες ακμές υπάρχει μία ακμή με κόστος, η ακμή (1,2). Γίνεται προσθήκη της ακμής (1,2) καθότι ικανοποιεί όλα το κριτήρια της εκφώνησης. Στο βήμα αυτό επιλέγηκε επιπροσθέτως και ο κόμβος {1}, οπότε συνολικά έχουν επιλεγεί οι κόμβοι {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
ΒΗΜΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ (ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΙΑΣ ΝΕΑΣ ΑΚΜΗΣ) ΣΗΜΕΙΑ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΈΝΗΣ ΑΚΜΉΣ ΚΟΣΤΟΣ ΑΚΜΗΣ ΚΛΑΔΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΕΤΑΙ Η ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΗ ΑΚΜΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΛΑΔΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΈΝΟΙ ΚΌΜΒΟΙ (μετά το πέρας του βήματος) 5 4 6 ΘΕΜΑ 2 2 7 3 8 1 9 1 (4,7) 1 (4,7) 1.5 1 {4,7} 2 (2,4) 2 (2,4,7) 2.0 3 {2,4,7} 3 (5,6) 2 (5,6) 1.5 5 {2,4,5,6,7} 4 (4,5) 4 (5,4,2), (5,4,7) και (5,6) 2.0, 2.5 και 1.5 9 {2,4,5,6,7} 5 (3,6) 7 (5,6,3) 2.5 16 {2,3,4,5,6,7} 6 (6,8) 8 (5,6,8) 2.0 24 {2,3,4,5,6,7,8} 7 (8,9) 9 (5,6,8,9) 4.0 33 {2,3,4,5,6,7,8,9} 8 (1,2) (5,4,2,1) 4.0 43 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
ΘΕΜΑ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 30 95 2 60 90 3 85 80 4 95 60 5 85 35 6 70 7 35 15 8 15 30 9 5 50 15 75 Μά ζα: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x k y k 30 60 85 95 85 70 3515 5 15 495 i i i 1 i1 i 1 wx w x 95 90 80 60 3515 30 50 75 540 i i i 1 i 1 i 1 wy w y 49,5 54,0 Άρα (x k,y k ) = (49,5, 54,0) Το σημείο αυτό απεικονίζεται στον χάρτη ως COM.
ΘΕΜΑ 3 Μάζα : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 Οπότε για τις συντεταγμένες (x k,y k ) του κέντρου μάζας θα έχομε: x k i 1 i 1 w x i w i i wi xi i 1 11111 * 30* 60*85* 95*85 70 3515 5 15 3690 67,09 55 55 y k i 1 i 1 w y i w i i wi yi i 1 11111 * 95* 90*80* 60* 3515 30 50 75 3780 68,73 55 55 Άρα (x k,y k ) = (67,09, 68,73) Το σημείο αυτό απεικονίζεται στον χάρτη ως COM 1.
ΘΕΜΑ 3 Μάζα : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 Οπότε για τις συντεταγμένες (x k,y k ) του κέντρου μάζας θα έχομε: x k i 1 i 1 w x i w i i wi xi i1 11111 30 60 85 95 85* 70* 35*15*5 *15 1755 31,91 55 55 y k wi yi wi yi i1 i1 11111 w i1 i 95 90 80 60 35* *15*30 *50 *75 2160 39,27 55 55 Άρα (x k,y k ) = (31,91, 39,27) Το σημείο αυτό απεικονίζεται στον χάρτη ως COM 2.
ΘΕΜΑ 3
ΘΕΜΑ 3 ΒΗΜΑ 1: BHMA 2: Το ζεύγος κόμβων (α,β)=(3,4) έχει την μικρότερη απόσταση. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 30 95 30,41 57,01 73,82 81,39 93,94 80,16 66,71 51,48 25,00 2 60 90 26,93 46, 60,42 80,62 79,06 75,00 68,01 47,43 3 85 80 22,36 45,00 71,59 82,01 86,02 85,44 70,18 4 95 60 26,93 55,90 75,00 85,44 90,55 81,39 5 85 35 29,15 53,85 70,18 81,39 80,62 6 70 35,36 58,52 76,32 85,15 7 35 15 25,00 46, 63,25 8 15 30 22,36 45,00 9 5 50 26,93 15 75 Μάζα: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ΘΕΜΑ 3 BHMA 3: Το ζεύγος κόμβων (α,β)=(8,9) έχει την επόμενη μικρότερη απόσταση και μετά το ζεύγος (1,) Στο επόμενο ζεύγος κόμβων (α,β) με την μικρότερη απόσταση συναντάμε κόμβο που ήδη έχει συγχωνευθεί και επομένως συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 30 95 30,41 57,01 73,82 81,39 93,94 80,16 66,71 51,48 25,00 2 60 90 26,93 46, 60,42 80,62 79,06 75,00 68,01 47,43 3 85 80 22,36 45,00 71,59 82,01 86,02 85,44 70,18 4 90 70 95 60 26,93 55,90 75,00 85,44 90,55 81,39 5 85 35 29,15 53,85 70,18 81,39 80,62 6 70 35,36 58,52 76,32 85,15 7 35 15 25,00 46, 63,25 8 15 30 22,36 45,00 9 40 5 50 26,93 22,5 85 15 75 Μάζα 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ΘΕΜΑ 3 BHMA 4: Κόμβος 1 =(1,), Κόμβος 2 = αρχικός 2, Κόμβος 3=(3,4), Κόμβος 4 αρχικός 5, Κόμβος 5 αρχικός 6, Κόμβος 6 αρχικός 7, Κόμβος 7 =(8,9). ΝΕΟΣ Πίνακας του Αλγορίθμου COM. Αφού οι διαστάσεις (7x7) του πίνακα αυτού είναι μεγαλύτερες του (3x3), συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 1. 1 22,5 85 1 2 3 4 5 6 7 2 60 90 3 90 70 4 85 35 5 70 6 35 15 7 40 Μάζα: 2 1 2 1 1 1 2
ΘΕΜΑ 3 ΒΗΜΑ 1: 1 22,5 85 1 2 3 4 5 6 7 37,83 69,15 80,04 88,78 71,11 46,70 2 60 90 36,06 60,42 80,62 79,06 70,71 3 90 70 35,36 63,25 77,78 85,44 4 85 35 29,15 53,85 75,17 5 70 35,36 67,08 6 35 15 35,36 7 40 Μάζα: 2 1 2 1 1 1 2
ΘΕΜΑ 3 BHMA 2: Το ζεύγος κόμβων (α,β)=(4,5)=αρχικοί(5,6) έχει την μικρότερη απόσταση. 1 22,5 85 1 2 3 4 5 6 7 37,83 69,15 80,04 88,78 71,11 46,70 2 60 90 36,06 60,42 80,62 79,06 70,71 3 90 70 35,36 63,25 77,78 85,44 4 85 35 29,15 53,85 75,17 5 77,5 22,5 70 35,36 67,08 6 35 15 35,36 7 40 Μάζα: 2 1 2 1 1 1 2
ΘΕΜΑ 3 BHMA 3: Το ζεύγος κόμβων (α,β)=(6,7)= αρχικός (7,8,9) έχει την επόμενη μικρότερη απόσταση. Στο επόμενο ζεύγος κόμβων με την μικρότερη απόσταση, συναντάμε τον κόμβο που ήδη έχει συγχωνευθεί και επομένως συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 4. 1 2 3 4 5 6 7 1 22,5 85 37,83 69,15 80,04 88,78 71,11 46,70 2 60 90 36,06 60,42 80,62 79,06 70,71 3 90 70 35,36 63,25 77,78 85,44 4 85 35 29,15 53,85 75,17 5 77,5 22,5 70 35,36 67,08 6 35 15 35,36 7 18,33 31,67 40 Μάζα: 2 1 2 1 1 1 2
ΘΕΜΑ 3 BHMA 4: Κόμβος 1 =(1,), Κόμβος 2 = αρχικός 2, Κόμβος 3=(3,4), Κόμβος 4 αρχικός (5,6), Κόμβος 5 =αρχικός (7,8,9). ΝΕΟΣ Πίνακας του Αλγορίθμου COM. Αφού οι διαστάσεις (5x5) του πίνακα αυτού είναι μεγαλύτερες του (3x3), συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 1. 1 22,5 85 1 2 3 4 5 2 60 90 3 90 70 4 77,5 22,5 5 18,33 31,67 Μάζα: 2 1 2 2 3
ΘΕΜΑ 3 ΒΗΜΑ 1: 1 22,5 85 1 2 3 4 5 37,83 69,15 83,25 53,49 2 60 90 36,06 69,73 71,69 3 90 70 49,12 81,28 4 77,5 22,5 59,88 5 18,33 31,67 Μάζα: 2 1 2 2 3
ΘΕΜΑ 3 BHMA 2: Το ζεύγος κόμβων (α,β)=(2,3)=αρχικός(2,3,4) έχει την μικρότερη απόσταση. 1 22,5 85 1 2 3 4 5 37,83 69,15 83,25 53,49 2 60 90 36,06 69,73 71,69 3 80 76,67 90 70 49,12 81,28 4 77,5 22,5 59,88 5 18,33 31,67 Μάζα: 2 1 2 2 3
ΘΕΜΑ 3 BHMA 3: Στο επόμενο ζεύγος κόμβων (α,β)=(1,2) με την μικρότερη απόσταση, συναντάμε τον κόμβο 2 που ήδη έχει συγχωνευθεί (με 3) και επομένως συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 4. BHMA 4: Κόμβος 1 =(1,), Κόμβος 2 = αρχικός (2,3,4), Κόμβος 3 αρχικός (5,6), Κόμβος 4 =αρχικός (7,8,9). ΝΕΟΣ Πίνακας του Αλγορίθμου COM. Αφού οι διαστάσεις (4x4) του πίνακα αυτού είναι μεγαλύτερες του (3x3), συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 1. 1 2 3 4 1 22,5 85 2 80 76,67 3 77,5 22,5 4 18,33 31,67 Μάζα: 2 3 2 3
ΘΕΜΑ 3 ΒΗΜΑ 1: 1 22,5 85 1 2 3 4 58, 83,25 53,50 2 80 76,67 54,23 76,37 3 77,5 22,5 59,91 4 18,33 31,67 Μάζα: 2 3 2 3
ΘΕΜΑ 3 BHMA 2: Το ζεύγος κόμβων (α,β)=(1,4)=αρχικοί (1,,7,8,9) έχει την μικρότερη απόσταση. 1 22,5 85 1 2 3 4 58, 83,25 53,50 2 80 76,67 54,23 76,37 3 77,5 22,5 59,91 4 20 53 18,33 31,67 Μάζα: 2 3 2 3
ΘΕΜΑ 3 BHMA 3: Δημιουργήθηκαν ήδη 3 συστάδες και επομένως συνεχίζουμε με το ΒΗΜΑ 4. BHMA 4: Κόμβος 1 = (1,7,8,9,), Κόμβος 2 = (2,3,4), Κόμβος 3 = (5,6), ΝΕΟΣ Πίνακας του Αλγορίθμου COM. Αφού οι διαστάσεις (3x3) του πίνακα αυτού δεν είναι μεγαλύτερες του (3x3), ο αλγόριθμος τερματίζει. Το κέντρο μάζας της πρώτης συστάδας (1,7,8,9,) είναι (x 1,y 1 ) = (20, 53) και μάζα = 5. Το κέντρο μάζας της δεύτερης συστάδας (2,3,4) είναι (x 2,y 2 ) = (80, 76,67) και μάζα = 3. Το κέντρο μάζας της τρίτης συστάδας (5,6) είναι (x 3,y 3 ) = (77,5 22,5) και μάζα = 2. Τα κέντρα μάζας των τριών αυτών συστάδων (Σ1, Σ2, Σ3) απεικονίζονται στον χάρτη. 1 2 3 1 20 53 2 80 76,67 3 77,5 22,5 Μάζα: 5 3 2
ΘΕΜΑ 3
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ 18/4
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ 18/4