Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Α Ε Π Ι Λ Τ Η Α Κ Η Ε Ω Ν Σ Ι Η Λ Ε Κ Σ Ρ Ι Κ Ε Σ Α Λ Α Ν Σ Ω Ε Ι

Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Α Ε Π Ι Λ Τ Η Α Κ Η Ε Ω Ν Σ Ι Η Λ Ε Κ Σ Ρ Ι Κ Ε Σ Α Λ Α Ν Σ Ω Ε Ι τοιχεία ταλάντωσης Για την μελέτη μιας ηλεκτρικής ταλάντωσης θα πρέπει όπως και στις μηχανικές να γνωρίζουμε κάθε φορά κάποια βασικά στοιχεία.αυτά είναι : o Η περίοδος ή η συχνότητα ή η γωνιακή ταχύτητα (συχνότητα) o Το μέγιστο φορτίο και ρεύμα o Και τη αρχική φάση αν υπάρχει Αν γνωρίζουμε τα τρία αυτά στοιχεία τότε μπορούμε να βρούμε και τις χρονικές εξισώσεις του φορτίου και του ρεύματος για την συγκεκριμένη ταλάντωση. Ι. Εύρεση χρονικών εξισώσεων ταλάντωσης Σε μια άσκηση ηλεκτρικών ταλαντώσεων για να βρούμε τις χρονικές εξισώσεις μεταβολής του φορτίου στον πυκνωτή και του ρεύματος στο κύκλωμα πρέπει να προσδιορίσουμε ακριβώς ποιες είναι οι αρχικές συνθήκες με τις οποίες ξεκινά η ταλάντωση στο κύκλωμα. Δηλαδή να ελέγξουμε αν ο πυκνωτής αρχικά είναι φορτισμένος. Αν ναι, τότε κάνουμε χρήση τη γενική μορφή των εξισώσεων που αναφέρει το σχολικό βιβλίο : q= Qσυνωt, i= -Iημωt Σε κάθε άλλη περίπτωση χρησιμοποιούμε τις γενικότερες σχέσεις : q = Q ημ(ωt+φο) και i= I συν(ωt+φο) και ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες στο φορτίο του πυκνωτή και το ρεύμα στο πηνίο υπολογίζουμε την αρχική φάση φ ο και την τελική μορφή των εξισώσεων. Οι παραπάνω σχέσεις προκύπτουν αφού στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις το φορτίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα μεταβάλλονται όπως η απομάκρυνση και η ταχύτητα αντίστοιχα στη μηχανική ταλάντωση. Περίοδος Η περίοδος συνδέεται με τα παρακάτω χρονικά διαστήματα : 1) To χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται ο πυκνωτής για να εκφορτιστεί (η ηλεκτρική ενέργεια να γίνει μηδέν) ή το ρεύμα στο πηνίο να γίνει μέγιστο ( η μαγνητική ενέργεια να γίνει μέγιστη) για πρώτη φορά είναι Σ/4. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 1

) Ο χρόνος που χρειάζεται ο πυκνωτής για να αποκτήσει ξανά το φορτίο του με αρνητική πολικότητα είναι Σ/. 3) Από ένα από τα διαγράμματα,αν μας δίνεται, του φορτίου ή του ρεύματος του κυκλώματος με τον χρόνο, σημειώνοντας στον οριζόντιο άξονα των χρόνων, το χρονικό διάστημα στο οποίο βλέπουμε την καμπύλη να επαναλαμβάνετε. 4) Από τη σχέση LC χωρητικότητα του πυκνωτή. αν γνωρίζουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής και την Αν υπολογίσουμε την περίοδο την συχνότητα ή την γωνιακή συχνότητα μπορούμε να τις υπολογίσουμε από τις γνωστές σχέσεις f = 1 Τ και ω = π Τ ή ω = πf Μζγιστο φορτίο- ρεύμα To μέγιστο φορτίο μπορούμε να το βρούμε 1) Αν μας δίνεται το φορτίο με το οποίο αρχικά ξεκινά την ταλάντωση ο πυκνωτής ) Από τη σχέση Q C V,αν γνωρίζουμε τη χωρητικότητα και την διαφορά δυναμικού της ηλεκτρικής πηγής με την οποία φορτίζουμε το πυκνωτή 3) Από τη σχέση Ι = Qω αν γνωρίζουμε το μέγιστο ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα και την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης 4) Από ένα από τα διαγράμματα του φορτίου ή του ρεύματος στο κύκλωμα με τον χρόνο, σημειώνοντας στον κατακόρυφο άξονα τη μέγιστη τιμή του μεγέθους που σχεδιάζεται στο διάγραμμα. 5) Από τη σχέση που μας δίνει την ενέργεια Ε= Q C Αρχική φάση Στην περίπτωση που οι αρχικές συνθήκες του κυκλώματος είναι διαφορετικές από αυτές του κυκλώματος του σχολικού βιβλίου (για t=0 είναι q=q), υπολογίζουμε την αρχική φάση φ ο με τη βοήθεια των σχέσεων : q = Q ημ(ωt+φο) και i= I συν(ωt+φο) ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με αυτήν στις μηχανικές ταλαντώσεις. π.χ. αν ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος δηλαδή για t=0 q=0 εύκολα προκύπτει ότι φ 0=0 και οι εξισώσεις θα είναι οι q = Q ημ(ωt) και i= I συν(ωt) Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός

ΙΙ. Τπολογισμός στιγμιαίας τιμής φορτίου ή ρεύματος και αντίστοιχης χρονικής στιγμής Αν μας είναι γνωστές οι χρονικές εξισώσεις του φορτίου ή του ρεύματος μπορούμε να βρούμε τις στιγμιαίες τιμές τους q ή i σε μια χρονική στιγμή t κάνοντας αντικατάσταση την τιμή του χρόνου στην αντίστοιχη εξίσωση. Αν ζητούμενο είναι η χρονική στιγμή t που το φορτίο ή το ρεύμα παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή χρησιμοποιούμε πάλι την αντίστοιχη εξίσωση και αφού αντικατα-στήσουμε τη τιμή φορτίου ή του ρεύματος λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση που προκύπτει, επιλέγοντας εκείνη τη λύση που αντιστοιχεί στην χρονική σειρά που το μέγεθος μας παίρνει τη δεδομένη τιμή. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 3

Ρυθμοί μεταβολής βασικών μεγεθών στην ηλεκτρική ταλάντωση 1. Ο ρυθμόσ μεταβολήσ του φορτίου ςτον πυκνωτή q Είναι ίσος με την ένταση i του ρεύματος στο πηνίο δηλαδή q i. Ο ρυθμόσ μεταβολήσ τησ ένταςησ του ρεύματοσ ςτο κύκλωμα Σύμφωνα με τον o κανόνας του Kirchhoff κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής σ ένα κύκλωμα το αλγεβρικό άθροισμα των διαφορών δυναμικού ισούται με μηδέν (τάση στα άκρα του πυκνωτή + επαγωγική τάση στα άκρα του πηνίου ισούται με μηδέν ). Vc - Eαυτ =0, Vc = Eαυτ, q C i L i i q q LC i q 3. Ο ρυθμόσ μεταβολήσ τησ τάςησ ςτα άκρα του πυκνωτή V c Δt Από τον ορισμό της χωρητικότητας και επειδή C=σταθερό προκύπτει ότι Δt V c q C Δt 1 q i c c V c i Δt c 4. Ο ρυθμόσ μεταβολήσ τησ ενέργειασ του πυκνωτή και του πηνίου Άρα για τον πυκνωτή θα ισχύει ΔU E Δt Και για το πηνίο ΔU Β Δt = P c = V c i = QI ημ(ωt) C = P L = V c i = E αυτ i Ο ρυθμόσ μεταβολήσ τησ ενέργειασ είναι η ιςχύσ. Σε ένα τμήμα ενόσ ηλεκτρικού κυκλώματοσ δίνεται από τη ςχέςη P=Vi αφού ΔU B+ΔU E=0 (ΑΔΕΤ) Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 4

Λ υ μ έ ν ε ς α σ κ ή σ ε ι ς Παράδειγμα 1 Σην θύθισκα ηνπ ζρήκαηνο δίλνληαη: πεγή ειεθηξεγεξηηθήο δύλακεο Δ=5 V κεδεληθήο εζσηεξηθήο αληίζηαζεο, ππθλσηήο ρσξεηηθόηεηαο C=8 10 6 F, πελίν κε ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L= 10 H. Αξρηθά ν δηαθόπηεο Γ 1 είλαη θιεηζηόο θαη ν δηαθόπηεο Γ αλνηρηόο. Α. Να ππνινγίζεηε ην θνξηίν Q ηνπ ππθλσηή. Αλνίγνπκε ην δηαθόπηε Γ 1 θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 θιείλνπκε ην δηαθόπηε Γ. Τν θύθισκα LC αξρίδεη λα εθηειεί ακείσηεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο. Β. Να ππνινγίζεηε ηελ πεξίνδν ησλ ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ. Γ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα ηελ έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην πελίν. Γ. Να ππνινγίζεηε ην ειεθηξηθό θνξηίν ηνπ ππθλσηή ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε ελέξγεηα ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ζην πελίν είλαη ηξηπιάζηα από ηελ ελέξγεηα ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζηνλ ππθλσηή. Λύση Α ) Κατά την διάρκεια που ν δηαθόπηεο Γ 1 είλαη θιεηζηόο θαη ν δηαθόπηεο Γ αλνηρηόο ο πυκνωτής φορτίζεται από την πηγή με ΗΕΔ Ε=5V και αποκτά φορτίο Q που υπολογίζεται από τη σχέση της χωρητικότητας.δηλαδή C = Q V Q = C V = 8 10 6 5 = 40 10 6 C B ) H περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση T = π LC = π 10 8 10 6 = π 16 10 8 = 8π10 4 sec Γ ) Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος δίνεται από τη σχέση i=-iημωt Η γωνιακή συχνότητα ω = π Τ = π 104 8π10 4 = 4 = 500 r/s H μέγιστη τιμή του ρεύματος Ι=Qω= 40 10 6 500 = 10 5 10 6 = 0, 1 Α Άρα η εξίσωση του ρεύματος θα είναι i=0,1ημ500t (S.I.) Δ ) Για να υπολογίσουμε το φορτίο του πυκνωτή όταν U B=3U E (1) θα κάνουμε χρήση της ΑΔΕΤ στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 5

Ε = U B + U E q = 10 5 C 1 Ε = 3UE + U E Ε = 4U E Q C = 4 q C q = ± Q 4 = ± Q Παράδειγμα Σε έλα θύθισκα LC ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ ν ππθλσηήο έρεη ρσξεηηθόηεηα C=1κ F θαη ην πελίν έρεη ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L. Τν θνξηίν q ηνπ ππθλσηή θάζε ρξνληθή ζηηγκή δίλεηαη από ηε ζρέζε q=0,5 10-6 ζπλ5000t (S.I.). A. Να ππνινγίζεηε ηνλ ζπληειεζηή απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ. Β. Να ππνινγίζεηε ηελ έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην πελίν ηελ ρξνληθή ζηηγκή t = 13 3 10 4 π s Γ. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή κεδελίδεηαη ε ελέξγεηα ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζηνλ ππθλσηή γηα πξώηε θνξά ; Γ. Τελ ηάζε ζηνπο νπιηζκνύο ηνπ ππθλσηή όηαλ ε ελέξγεηα ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ είλαη ίζε κε ηελ ελέξγεηα ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ γηα πξώηε θνξά. Λύση Α ) Από την εξίσωση του φορτίου με τον χρόνο που μας δίνεται, προσδιορίζουμε την γωνιακή συχνότητα ω=5000 r/s, το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή Q=5 10-7 C Γνωρίζουμε ότι T = π LC επίσης ισχύει ότι : ω = π ω = 1 Τ LC ω = 1 L = 1 = 1 106 LC ω C 5000 10 6 = = 1 = 0,04. Άρα L= 40mH 5 10 6 5 B ) H εξίσωση του ρεύματος είναι η i=-ιημωt. Πρέπει να υπολογίσουμε τη μέγιστη τιμή του ρεύματος από τη σχέση Ι=Qω=5 10-7 5 10 3 =5 10-4 Α. Οπότε η εξίσωση του ρεύματος θα είναι i=-5 10-4 ημ5000t (S.I.) Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση την χρονική στιγμή t= 13 3 10 4 π και έχουμε i=5 10-4 ημ5000 13π 3 10 4 = 5 10 4 ημ5 13π 30 = 5 10 4 ημ 13π 6 = 5 10 4 ημ 1π 6 + π 6 = 5 10 4 ημ π + π 6 = 5 10 4 ημ π 6 = 5 10 4 i=1,5 10-4 Α Γ ) Η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση U Ε = 1 Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι για να μηδενιστεί η ενέργεια πρέπει να μηδενιστεί το φορτίο στο πυκνωτή. Από την εξίσωση του φορτίου q=0,5 10-6 ςυν5000t αν θέσουμε όπου q=0 μπορούμε να υπολογίσουμε την ζητούμενη χρονική στιγμή. q C Έτσι 0=0,5 10-6συν5000t 0 = συν5000t συν π = συνν5000t 5000t = kπ + π 5000t = kπ π Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 6

Για κ=0 αφού ζητάμε την χρονική στιγμή που αυτό γίνεται για πρώτη φορά,έχουμε 5000t = π 5000t = π t = π 10 4 sec t = π 10 4 χρόνος δεν μπορεί να έχει αρνητικές τιμές. δεκτή είναι η τιμή t = π 104 μιας και η δεύτερη απορρίπτεται καθώς ο Δ ) Η τάση στα άκρα του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση V c = q C Με την εφαρμογή της Α.Δ.Ε.Τ. μπορούμε να βρούμε την τιμή του φορτίου q τη στιγμή που οι δύο ενέργειες είναι ίσες μεταξύ τους : Ε = U B + U E U E = E q C = 1 Q q = ± C Q, άρα q = ± 5 10 7 Το φορτίο αρχικά παίρνει τη θετική του τιμή οπότε η τάση θα είναι : V c = q C = 5 10 7 10 6 =,5 10 V c = 0, 5 V Παράδειγμα 3 Σε έλα θύθισκα LC ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ ν ππθλσηήο έρεη ρσξεηηθόηεηα C θαη ην πελίν έρεη ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L. Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ θνξηίνπ q ηνπ ππθλσηή θάζε ρξνληθή ζηηγκή δίλεηαη από ην παξαθάησ ζρήκα: A. Να ππνινγηζηεί ε εμίζσζε ηνπ ξεύκαηνο ζην θύθισκα θαη λα γίλεη ε αληίζηνηρε γξαθηθή παξάζηαζε. Β. Αλ ε κέγηζηε ηηκή ηεο ελέξγεηαο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ είλαη U max =50 mj λα βξεζεί ν ζπληειεζηή απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ. Γ. Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηνπ ξεύκαηνο θαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ ξεύκαηνο όηαλ ην θνξηίν ζην ππθλσηή είλαη q=3 κc. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 7

Λύση Α ) Από το διάγραμμα προσδιορίζουμε τα παρακάτω στοιχεία : Tην περίοδο της ταλάντωσης η οποία είναι ίση με Τ=π 10-6 sec και τη μέγιστη τιμή του φορτίου Q=5 10-6 C Aπό τη περίοδο έχουμε ω=π/τ=10 6 r/s και η μέγιστη τιμή του ρεύματος Ι=Qω=5 10-6 10 6 = 5 A. Έτσι η εξίσωση του ρεύματος θα είναι η i=-5ημ10 6 t (S.I.) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση φαίνεται παρακάτω : B ) H μέγιστη τιμή της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση U max B = LI L = U max B 50 10 3 I = = 410 3 L = 4mH 5 Γ ) Με την εφαρμογή της Α.Δ.Ε.Τ. μπορούμε να υπολογίσουμε το στιγμιαίο ρεύμα i στο κύκλωμα LC: Q Ε = U B + U E = C q C Li + i Q q i = ±10 6 (5 10 6 ) (3 10 6 ) = ±10 6 9 10 1 = i = ±3A = i Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος, στο κύκλωμα υπολογίζεται με εφαρμογή του ου κανόνα του Kirchhoff οπότε έχουμε : Vc = Eαυτ, q C i L Δi Δt = 3 10 6 (10 6 ) i q LC q = 3 10 6 A/s Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 8

Παράδειγμα 3 Tν θύθισκα ηνπ ζρήκαηνο πεξηιακβάλεη πεγή κε ΗΔΓ Δ=1V, εζσηεξηθή αληίζηαζε r=1ω,αληίζηαζε R=Ω,πελίν ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L=10mH θαη ππθλσηή ρσξεηηθόηεηαο C=4 κf. Αξρηθά ν δηαθόπηεο είλαη θιεηζηόο. Α) Να ππνινγηζηεί ην θνξηίν ηνπ ππθλσηή θαη ην ξεύκα ζην πελίν Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 αλνίγνπκε ηνλ δηαθόπηε Β) Να εμεηάζεηε ηη ζα ζπκβεί ζην θύθισκα LC Γ) Να γξαθνύλ νη ζρέζεηο πνπ δίλνπλ ην θνξηίν q ηνπ ππθλσηή θαη ηελ έληαζε i ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην πελίν ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν Γ) Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ελέξγεηαο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηνπ πελίνπ ζε ζπλάξηεζε κε ην ξεύκα. Λύση Α ) Για όσο χρονικό διάστημα ο διακόπτης είναι κλειστός το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα έντασης Ι που δίνεται από τη σχέση που περιγράφει το νόμο κύκλωμα. Δηλαδή I = E R+r = 1 3 = 4A. του Ohm για κλειστό O πυκνωτής στο συνεχές ρεύμα λειτουργεί ως διακόπτης και δεν διαρρέεται από ρεύμα, και επειδή η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πηνίου άρα και του πυκνωτή είναι μηδέν και το φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο με μηδέν. Β ) Μόλις ανοίξει ο διακόπτης το ρεύμα στο πηνίο τείνει να μηδενιστεί,οπότε εμφανίζεται λόγω του φαινομένου της αυτεπαγωγής, επαγωγική τάση Ε αυτ στα άκρα του πηνίου με τέτοια πολικότητα ώστε το επαγωγικό ρεύμα που δημιουργείται να έχει ίδια φορά με το αρχικό ρεύμα. Εξαιτίας της επαγωγικής τάσης ο πυκνωτής θα αρχίσει να φορτίζεται με τη πολικότητα που φαίνεται στο διπλανό σχήμα και αρχίζει μια ηλεκτρική ταλάντωση στο κύκλωμα LC με ενέργεια ίση με την ενέργεια που είχε το πηνίο πριν ανοίξει ο διακόπτης δηλαδή Ε = LI Γ) Στην περίπτωση αυτή οι αρχικές συνθήκες του κυκλώματος LC είναι διαφορετικές από αυτές του κυκλώματος του σχολικού βιβλίου (για t=0 είναι q=q), οπότε οι σχέσεις που δίνουν το φορτίο και το ρεύμα θα είναι : q = Q ημ(ωt+φο) και i= I συν(ωt+φο) Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 9

Για να βρούμε την αρχική φάση θέτουμε π.χ. στην εξίσωση του ρεύματος t=0 και i=+i (αφού αμέσως μετά την έναρξη της ταλάντωσης ο οπλισμός του πυκνωτή στον οποίο κατευθύνεται το ρεύμα φορτίζεται θετικά).έτσι έχουμε 0=Ιημφο ημ0 = ημφ ο ο φ ο = κπ ή φ ο = κπ + π για κ=0 έχουμε φ ο = 0 Το κύκλωμα εκτελεί ταλάντωση με περίοδο T = π LC και γωνιακή συχνότητα ω ω = π ω = 1 Τ LC ω = 1 ω == 1 = 1 = 104 = 5000 r/s. LC LC 10 10 3 4 10 6 To μέγιστο φορτίο του πυκνωτή το βρίσκουμε με τη βοήθεια της σχέσης Ι=Qω Q = I ω = 4 5000 = 8 10 4 C Επομένως οι ζητούμενες σχέσεις θα είναι : q = 8 10 4 ημ5000t και i=4 συν5000t στο (S.I.) Δ) η ενέργεια του μαγνητικού πεδίο στο πηνίο δίνεται από τη σχέση U B = Li με τη μέγιστη τιμή να είναι ίση με U B max = LI H ζητούμενη γραφική παράσταση θα είναι = 10 10 3 16 = 8 10 J Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 10

Ε Ρ Ω Σ Η Ε Ι Σ Ι Η Λ Ε Κ Σ Ρ Ι Κ Ε Σ Α Λ Α Ν Σ Ω Ε Ι 1. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης διπλασιάζεται όταν α) διπλασιαστεί η χωρητικότητα του πυκνωτή. β) διπλασιαστεί ο συντελεστής αντεπαγωγής του πηνίου. γ) τετραπλασιαστεί η χωρητικότητα του πυκνωτή. δ) υποτετραπλασιαστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου.. Η τάση φόρτισης V του πυκνωτή σε ιδανικό κύκλωμα LC το οποίο μπορεί να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις, διπλασιάζεται. Τότε: α) η ενέργεια της ταλάντωσης διπλασιάζεται. β) η περίοδος παραμένει σταθερή. γ) η συχνότητα της ταλάντωσης διπλασιάζεται. δ) η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή τετραπλασιάζεται. 3. Σε ιδανικό κύκλωμα LC, με τον πυκνωτή να έχει αρχικά μέγιστο φορτίο Q (χρονική στιγμή που κλείνει ο διακόπτης), όταν αρχίσει η εκφόρτιση του πυκνωτή, η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα αυξάνεται σταδιακά α) λόγω του ότι ο πυκνωτής αντιδρά στην εκφόρτιση. β) γιατί το πηνίο δημιουργεί αντίρροπο ρεύμα σε σχέση με το ρεύμα εκφόρτισης του πυκνωτή. γ) εξαιτίας της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στα άκρα του πηνίου. δ) επειδή το πηνίο είναι ιδανικό 4. Ένα κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Κάποια στιγμή η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος είναι μέγιστη. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. α) την ίδια στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι μέγιστη β) η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή αρχίζει να μειώνεται γ) το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν δ) η τάση στις άκρες του πυκνωτή είναι μέγιστη 5. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω και μέγιστο φορτίο του πυκνωτή Q. Όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι Q/, τότε η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι : 3 3 α) ωq β) ωq γ) ωq δ) ωq 3 6. Σε ιδανικό κύκλωμα LC, τη στιγμή t = 0 το φορτίο στον πυκνωτή έχει τη μέγιστη τιμή. Μετά από χρόνο t = 3T/4, ισχύει : α) i = 0 β) U E=U B γ) U B = U B(max) δ) Q = 3Q/4 7. Η εξίσωση που δίνει την ένταση του ρεύματος σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC είναι i = -0,5 ηµ10 4 t στο S.I. Η μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή του κυκλώματος είναι ίση µε : α. 0,5 C β. 5 10-4 C γ. 10 4 C δ. 5 10-5 C. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 11

8. Κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση στην οποία γνωρίζουμε ότι για t=0 είναι q = Q. Αν ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται ώστε το φορτίο απ την αρχική του τιμή Q να φτάσει στην τιμή Q/ είναι Δt = 0,5 s,τότε η περίοδος του είναι : α. Τ =s β. Τ =5s γ. T =3s δ. T =4s 9. Ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκτελεί αμείωτη ταλάντωση ενέργειας Ε. Αν διπλασιάσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή χωρίς να μεταβληθεί το μέγιστο φορτίο του τότε για την ενέργεια Ε της νέας ταλάντωσης ισχύει : α. Ε = Ε β. Ε = Ε γ. Ε =Ε δ. Ε = E 10. Φαρακτηρίστε ως σωστές () ή λανθασμένες (Λ) τις προτάσεις που ακολουθούν, α. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι συνεχώς μικρότερη από την ολική ενέργεια του κυκλώματος. β. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων, στη διάρκεια μιας περιόδου, έχουμε περιοδική μετατροπή της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο και αντίστροφα. γ. Σε ιδανικό κύκλωμα LC, η μέγιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου και η μέγιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου δεν εμφανίζεται ταυτόχρονα αλλά απέχουν χρονικά κατά ένα τέταρτο της περιόδου. δ. Ένας λόγος που στην πραγματικότητα η ενέργεια ενός κυκλώματος ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC μειώνεται είναι ότι εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία και έτσι χάνουν ενέργεια. 11. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC, τη στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή είναι το μισό του μέγιστου φορτίου του ( q = Q/ ), η ενέργεια U B του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι το : α. 5% β. 50% γ. 75% της ολικής ενέργειας Ε του κυκλώματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 1. Για κάποιο χρονικό διάστημα Δt, η πολικότατα του πυκνωτή και η φορά του ρεύματος σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC, που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, φαίνονται στο επόμενο σχήμα. Στο χρονικό διάστημα Δt : α. Η απόλυτη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος αυξάνεται, το ίδιο και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου. β. Η απόλυτη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος μειώνεται και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου αυξάνεται. γ. Η απόλυτη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος αυξάνεται και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου μειώνεται. δ. Η απόλυτη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος μειώνεται, το ίδιο κατ ή ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 1

13. Στο ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος έχουμε αρχικά τους διακόπτες Δ 1 και Δ ανοικτούς. Ο πυκνωτής χωρητικότητας C 1 έχει φορτιστεί μέσω πηγής συνεχούς τάσης με φορτίο Q 1. Tη χρονική στιγμή to=0 ο διακόπτης Δ 1 κλείνει, οπότε στο κύκλωμα LC 1 έχουμε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t=5t/4, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης του κυκλώματος LC 1, o διακόπτης Δ 1 ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο Δ. Το μέγιστο φορτίο Q που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C, όπου C =4C 1, κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος LC θα είναι ίσο με α) Q 1 β) Q 1/ γ) Q 1 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 14. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται γραφικά η ένταση του ρεύματος που διαρρέει δύο ιδανικά κυκλώματα L-C Α και Β σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α) Τη χρονική στιγμή t=0 οι πυκνωτές και στα δύο κυκλώματα είναι αφόρτιστοι. β) Για το μέγιστο φορτίο των δύο πυκνωτών ισχύει η σχέση Q A Q B = L A γ) Ισχύει η σχέση = C B L b C A δ) Για τη μέγιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου των δύο πυκνωτών ισχύει η U max E(A) σχέση: U E(B) m ax = 4L A L b 15. Για δύο κυκλώματα L-C που εκτελούν αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και έχουν ίδια πηνία, η ηλεκτρική ενέργεια σε συνάρτηση με το φορτίο μεταβάλλεται όπως στο σχήμα. Για τα δύο κυκλώματα ισχύει a. C Α=C Β β. Τ Α=Τ Β γ. Ι Α=Ι Β Να χαρακτηρίσετε κάθε περίπτωση με Σ (σωστό ή λάθος). Να δικαιολογήσεις την απάντηση σου Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 13

Α σ κ ή σ ε ι ς σ τ ι ς η λ ε κ τ ρ ι κ έ ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς 1. Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος αποτελείται από πυκνωτή με χωρητικότητα 10-5 F, ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 0,05H και διακόπτη Δ όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι ανοικτός και ο ++ + + πυκνωτής είναι φορτισμένος με ηλεκτρικό φορτίο 5 10-7 C. Οι C αγωγοί σύνδεσης έχουν αμελητέα αντίσταση. - - - - Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη Δ. Δ Να υπολογίσετε: α. την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης β. το πλάτος της έντασης του ρεύματος γ. την ένταση του ρεύματος τη στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή C είναι 3 10-7 C. Δίνεται: π = 3,14. L. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση, η ένταση του ρεύματος i που διαρρέει το κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου δίνεται από τη σχέση i=-0,5ημ10 4 t (S.I.): Αν ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=10 - H. Να υπολογιστούν : α. H περίοδος της ταλάντωσης. β. H χωρητικότητα του πυκνωτή. γ. To μέγιστο φορτίο του πυκνωτή δ. Η απόλυτη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα όταν το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή είναι q=3 10-5 C 3. Η ολική ενέργεια ιδανικού κυκλώματος LC, του παρακάτω σχήματος, είναι 4,5 10-5 J η δε περίοδος Τ = 4π 10-4 s. Εάν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = 4 10-5 F να υπολογίσετε: α. ο συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. β. το πλάτος της έντασης του ρεύματος γ. το μέγιστο φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή. δ. το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. 4. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο Τ = 4π 10 3 s. Τη χρονική στιγμή t = 0, o πυκνωτής έχει το μέγιστο ηλεκτρικό φορτίο. Ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 10μF και η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, είναι 10 3 Α. α. Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου. β. Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται μέγιστη για πρώτη φορά. γ. Να υπολογισθεί η μέγιστη τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή. δ. Να υπολογισθεί η ένταση του ρεύματος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι τριπλάσια της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο. Δίνονται: 1μF =10 6 F, π =3,14. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 14

5. Ένα ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C=μF και πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=0 mh, τα οποία συνδέονται μέσω διακόπτη. Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q=0μC και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη. Να βρεθούν: α) η περίοδος της ταλάντωσης β) η σχέση της έντασης του ρεύματος με το χρόνο η οποία να παρασταθεί γραφικά γ) Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου δ) ο ρυθμός μεταβολής της τάσης του πυκνωτή τη στιγμή κατά την οποία η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι τριπλάσια από την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. 6. Ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων αποτελείται από πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L = 4mH, και επίπεδο πυκνωτή χωρητικότητας C= 10μF. Ο πυκνωτής φορτίζεται από τάση Vo = 00V.Θεωρούμε ότι για t = 0 είναι q = +Q. Α. Nα γράψετε τις εξισώσεις q = f(t) και i = f(t) Β. Όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι q = Q/ να βρεθούν i. η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα i V c ii. οι ρυθμοί μεταβολής & iii. o ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή Γ. Nα βρείτε το φορτίο του πυκνωτή όταν είναι U B = U E/3. Πότε γίνεται αυτό για δεύτερη φορά; 7. Για το διπλανό κύκλωμα, του οποίου η ωμική αντίσταση είναι αμελητέα, δίνονται: C 1 = 50μF, C = 00 μf, L = H, Q 1 = 4mC και οι διακόπτες δ 1 και δ είναι ανοικτοί. A) τη χρονική στιγμή t = 0 κλείνουμε μόνο το διακόπτη δ 1. Να βρείτε την ενέργεια μαγνητικού πεδίου κυκλώματος LC 1 σε συνάρτηση με το χρόνο Β) Κάποια χρονική στιγμή που η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του κυκλώματος LC 1 είναι το 1/3 της αντίστοιχης ηλεκτρικής, ανοίγουμε ακαριαία το διακόπτη δ 1 και ταυτόχρονα κλείνουμε το διακόπτη δ. Nα υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή χωρητικότητας C. 8. Το κύκλωμα του σχήματος περιλαμβάνει πηγή συνεχούς ρεύματος με ΗΕΔ Ε = 1V και εσωτερική αντίσταση r = Ω, αντιστάτη με αντίσταση R = 10Ω, πυκνωτή με χωρητικότητα C = 10-5 F και ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 4 10-3 Η. Α. Αρχικά ο μεταγωγός-διακόπτης μ βρίσκεται στη θέση Α και ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. Να υπολογίσετε: α. την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη και το φορτίο του πυκνωτή. Β. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο μεταγωγός-διακόπτης μ μεταφέρεται ακαριαία στη θέση Β, χωρίς να σχηματισθεί σπινθήρας. α. Να γράψετε την εξίσωση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο, σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του φορτίου στον αρχικά θετικά φορτισμένο οπλισμό του πυκνωτή, τη χρονική στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή μηδενίζεται για πρώτη φορά. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 15