ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò Ýùò 200 êáé ôï óôïé åßï 2 óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò 20 Ýùò 2008; (â ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá óôïé åßá, 2 êáé 3 âñßóêïíôáé óå êüðïéåò áðü ôéò èýóåéò Ýùò 200; (ã ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá ðåñéôôü óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ðåñéôôýò èýóåéò; Ëýóç. (á Ìéá ìåôüèåóç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôçí ïðïßá ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò Ýùò 200 êáé ôï óôïé åßï 2 óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò 20 Ýùò 2008 ìðïñåß íá êáôáóêåõáóôåß óå 3 óôüäéá. Óôï ï óôüäéï äéáëýãïõìå ìéá èýóç áðü ôéò èýóåéò Ýùò 200 ãéá íá ìðåé ôï óôïé åßï. Áõôü ãßíåôáé ìå 200 äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Óôï 2ï óôüäéï äéáëýãïõìå ìéá èýóç áðü ôéò èýóåéò 20 Ýùò 2008 ãéá íá ìðåé ôï óôïé åßï 2. Áõôü ãßíåôáé ìå 808 äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôçí åðéëïãþ ðïõ êüíáìå óôï ï óôüäéï. ÔÝëïò óôï 3ï óôüäéï âüæïõìå ôá õðüëïéðá óôïé åßá óå óåéñü óôéò õðüëïéðåò 2006 èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 2006! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôéò åðéëïãýò ðïõ êüíáìå óôï ï êáé óôï 2ï óôüäéï. Óõíåðþò, áðü ôçí ðïëëáðëáóéáóôéêþ áñ Þ, ôï ðëþèïò ôùí ìåôáèýóåùí ìå ôç æçôïýìåíç éäéüôçôá åßíáé 200 808 2006! (â Ìéá ìåôüèåóç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôçí ïðïßá ôá óôïé åßá, 2 êáé 3 âñßóêïíôáé óå êüðïéåò áðü ôéò èýóåéò Ýùò 200 ìðïñåß íá êáôáóêåõáóôåß óå 3 óôüäéá. Óôï ï óôüäéï äéáëýãïõìå ôéò 3 èýóåéò áðü ôéò èýóåéò Ýùò 200 óôéò ïðïßåò èá ôïðïèåôçèïýí ôá óôïé åßá, 2 êáé 3. Áõôü ãßíåôáé ìå ( 200 3 äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Óôï 2ï óôüäéï äéáôüóïõìå ôá óôïé åßá, 2 êáé 3 þóôå íá ìðïõí óôéò ðñïåðéëåãìýíåò èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 3! ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôçí åðéëïãþ ðïõ êüíáìå óôï ï óôüäéï. ÔÝëïò óôï 3ï óôüäéï âüæïõìå ôá õðüëïéðá óôïé åßá óå óåéñü óôéò õðüëïéðåò 2005 èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 2005! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôéò åðéëïãýò ðïõ êüíáìå óôï ï êáé óôï 2ï óôüäéï. Óõíåðþò, áðü ôçí ðïëëáðëáóéáóôéêþ áñ Þ, ôï ðëþèïò ôùí ìåôáèýóåùí ìå ôç æçôïýìåíç éäéüôçôá åßíáé ( 200 3! 2005! 200 99 98 2005! 3 (ã Ìéá ìåôüèåóç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôçí ïðïßá ôá ðåñéôôü óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ðåñéôôýò èýóåéò ãßíåôáé óå 2 óôüäéá. Óôï ï óôüäéï âüæïõìå ôá 004 ðåñéôôü óôïé åßá óôç óåéñü þóôå íá ôïðïèåôçèïýí êáôüðéí ìå áõôþ ôç óåéñü óôéò ðåñéôôýò èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 004! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Óôï 2ï óôüäéï âüæïõìå ôá 004 Üñôéá óôïé åßá óôç óåéñü ãéá íá ôïðïèåôçèïýí êáôüðéí ìå áõôþ ôç óåéñü óôéò Üñôéåò èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 004! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò áíåîüñôçôá ìå ôçí åðéëïãþ ðïõ êüíáìå
óôï ï óôüäéï. Óõíåðþò áðü ôçí ðïëëáðëáóéáóôéêþ áñ Þ, ôï ðëþèïò ôùí ìåôáèýóåùí ìå ôç æçôïýìåíç éäéüôçôá åßíáé 004! 004! (004! 2 ÈÝìá 2. (á (2 âáèìïß Íá âñåèåß ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò x + x 2 + + x 20 2008; ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò 0 x i 200 ãéá i ; 2; ; 0 êáé x i 0 ãéá i ; 2; ; 20. (â ( âáèìüò Íá âñåèåß ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò x + x 2 + + x 20 2008; ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x 20 íá åßíáé Üñôéïò. Ëýóç. (á ñçóéìïðïéïýìå ôïí { ìåôáó çìáôéóìü ôùí ìåôáâëçôþí y i x i 0 ãéá i ; 2; ; 0 êáé y i x i ãéá i ; 2; ; 20. ôóé ôï ðñüâëçìá ôïõ ðñïóäéïñéóìïý ôïõ ðëþèïõò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò áñ éêþò åîßóùóçò ìå ôïõò áñ éêïýò ðåñéïñéóìïýò áíüãåôáé óôï ðñïóäéïñéóìü ôïõ ðëþèïõò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò y + y 2 + + y 20 908; ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò 0 y i 90 ãéá i ; 2; ; 0 êáé y i 0 ãéá i ; 2; ; 20. ÈÝôïõìå Ω ôï óýíïëï ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò áõôþò êáé Á i íá åßíáé ôï õðïóýíïëï ôïõ Ω ðïõ ðåñéëáìâüíåé ôéò ëýóåéò ìå y i 9, ãéá i ; 2; ; 0. Ôüôå ôï æçôïýìåíï ðëþèïò ëýóåùí åßíáé ôï N(A A 2 A 0. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí áñ Þ åãêëåéóìïý{áðïêëåéóìïý. Ðñïò ôï óêïðü áõôü õðïëïãßæïõìå ôï N(A i A i2 A i ãéá ; 2; ; 0 êáé êüèå õðïóýíïëï äåéêôþí {i ; i 2 ; ; i } {; 2; ; 0}. ïõìå üôé ôï N(A i A i2 A i åßíáé ôï ðëþèïò ôùí ìç{áñíçôéêþí áêýñáéùí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò y + y 2 + + y 20 908; ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò y i 9 ãéá i {i ; i 2 ; ; i } êáé y i 0 ãéá i {i ; i 2 ; ; i }. ÈÝôïíôáò íýåò ìåôáâëçôýò w i y i 9 ãéá i {i ; i 2 ; ; i } êáé w i y i ãéá i {i ; i 2 ; ; i } Ý ïõìå íá âñïýìå ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò w + w 2 + + w 20 908 9 êáé åðïìýíùò N(A i A i2 A i ( 20 + 908 9 ; 908 9 2
ãéá ; 2; ; 9, åíþ ãéá 0 åßíáé 0. ñçóéìïðïéþíôáò ôçí áñ Þ åãêëåéóìïý áðïêëåéóìïý Ý ïõìå ôþñá üôé ôï æçôïýìåíï ðëþèïò ëýóåùí åßíáé N(A A 2 A 0 ( ( 0 N(A i A i2 A i 9 ( ( ( 0 20 + 908 9 908 9 0 0 0 (â Ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò x + x 2 + + x 20 2008 ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x 20 íá åßíáé Üñôéïò ôáõôßæåôáé ìå ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò x + x 2 + + x 20 + x 2 2008 ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x 20 íá åßíáé Üñôéïò. ÐñÜãìáôé ïé áêýñáéåò ìç{áñíçôéêýò ëýóåéò (x ; x 2 ; ; x 20 ôçò áíßóùóçò âñßóêïíôáé óå - áíôéóôïé ßá ìå ôéò áêýñáéåò ìç{áñíçôéêýò ëýóåéò (x ; x 2 ; ; x 20 ; x 2 ôçò åîßóùóçò, èýôïíôáò x 2 2008 x x 2 x 20. Ôï óýíïëï ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x 20 íá åßíáé Üñôéïò ìðïñåß íá èåùñçèåß ç îýíç Ýíùóç ôùí óõíüëùí ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò üðïõ ï x 20 ðáßñíåé ôçí ôéìþ 2 ãéá 0; ; 2; ; 004. Ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò ðïõ ï x 20 ðáßñíåé ôçí ôéìþ 2 åßíáé ( 20+2008 2 2008 2. Óõíåðþò ôï æçôïýìåíï ðëþèïò ëýóåùí åßíáé 004 ( 20 + 2008 2 2008 2 0 ÈÝìá 3. (á ( âáèìüò Íá õðïëïãéóôåß ôï Üèñïéóìá n n ; n N + 2( 0 (â (2 âáèìïß Íá õðïëïãéóôåß ôï Üèñïéóìá ( 2 + 0 ( m + + 2 + ( m + + ; m N Ëýóç. (á ïõìå n n + 2( 0 n + n n + n! ( + ( + 2( ( + ( + 2!(n! 0 0 n n! ( + ( + 2!(n! n n!(n + (n + 2 ( + (n + (n + 2 ( + 2!(n! 0 0 n (n + 2! ( + (n + (n + 2 ( + 2!(n! n ( n + 2 ( + (n + (n + 2 + 2 0 0 3
ÊÜíïõìå ôþñá ôçí áëëáãþ ìåôáâëçôþò + 2 ïðüôå Ý ïõìå n 0 n + 2( 2 ( n + 2 ( (n + (n + 2 2 2 (n + (n + 2 ( n + 2 Åßíáé üìùò ( n + 2 ( n+ n + ( n + (n + 2 (n + 2 (n + 2(2 n+ i êáé ïðüôå ôåëéêü i ( n + 2 2 (n + 2 2 n 3; 2 n 0 n + 2( 2 (n + 2(2n+ 2 + n + 3 (n + (n + 2 ( n + 2 (â Áíáðôýóïõìå ôïõò äéùíõìéêïýò óõíôåëåóôýò óå ðáñáãïíôéêü êáé êüíïõìå êüðïéåò áðëïðïéþóåéò ùò åîþò ( ( 2 + m + + ( 2 + m + + 0 2 (2 +! (m + +! (!( +! (2 +!(m! m + + 0 ( (m +!!( +!(m! ÐïëëáðëáóéÜæïõìå êáé äéáéñïýìå ìå m! þóôå íá äçìéïõñãçèïýí äéùíõìéêïß óõíôåëåóôýò. ïõìå ( ( 2 + m + + ( ( (m +!m! 2 + m + +!( +!(m!m! 0 0 ( ( ( m + m + 0 ( ( (m + + m + ( 0 ( ( (m + m + 0 ( ( (m + m + m + + 0 ( ( (m + m + m + m 0 0 m + ( m áí m 0; 0 áí m 0 ÈÝìá 4. 0 óôù a ê, ê 0; ; 2; ôï ðëþèïò ôùí óõíäõáóìþí ìå åðáíüëçøç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω {! ;! 2 ; ;! 2008 } áíü ê, üðïõ ôá! ;! 2 ; ;! 000 åìöáíßæïíôáé ôï ðïëý öïñü ôï êáèýíá, ôá 4
! 00 ;! 002 ; ;! 999 åìöáíßæoíôáé Üñôéï áñéèìü öïñþí (äçëáäþ 0 Þ 2 Þ 4 êëð. öïñýò ôï êáèýíá êáé ôá! 2000 ;! 200 ;! 2008 åìöáíßæïíôáé áêñéâþò öïñü ôï êáèýíá. (á ( âáèìüò Íá ðñïóäéïñéóôåß ç ãåííþôñéá óõíäõáóìþí A(t a ê t ê ê0 (â ( âáèìüò Íá âñåèåß Ýíáò üóï ôï äõíáôüí áðëïýóôåñïò ôýðïò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ðëþèïõò a ê ôùí óõíäõáóìþí ìå åðáíüëçøç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω {! ;! 2 ; ;! 2008 } áíü ê ðïõ ðëçñïýí ôéò ðáñáðüíù óõíèþêåò. Ëýóç. (á Ïé (áðëïðïéçìýíåò áðáñéèìþôñéåò ôùí óôïé åßùí! ;! 2 ; ;! 000 åßíáé A (t +t; A 2 (t + t; ; A 000 + t. Ãéá ôá óôïé åßá! 00 ;! 002 ; ;! 999 åßíáé A 00 (t + t 2 + t 4 + t 2, A 002 (t t 2 ; ; A 999 (t t 2, åíþ ãéá ôá! 2000 ;! 200 ; ;! 2008 åßíáé A 2000 (t t; A 200 (t t; ; A 2008 (t t. ÅðïìÝíùò ç ãåííþôñéá ôùí óõíäõáóìþí åßíáé A(t A (ta 2 (t A 2008 (t ( 999 ( 999 ( + t 000 t 9 t 2 ( + t t 9 t ( 999 (t 9 + t 0 t (â Åßíáé ïðüôå ( 999 ( 999 + A(t (t 9 + t 0 (t 9 + t 0 t t 0 ( 999 + ( 999 + t +9 + t +0 0 0 9 ( 989 + 9 t + 0 ( 988 + 0 0 áí 0; ; ; 8; ( a 989+ 9 áí 9; ( 989+ ( 9 + 988+ 0 áí 0; ; ; 5