דוגמאות 1. ארגז שמסתו 5kg נמצא על משטח אופקי. על הארגז פועל כוח שגודלו 30 וכיוונו! 20 מתחת לציר האופקי. y x א. שרטטו דיאגרמת כוחות על הארגז. f W = mg ב. מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל על הארגז? משוואת כוחות בציר : y = mg f sinθ = 0 = 5 9.8 + 30sin20 = 59.26 ג. ד. איזה ערך יראה משקל קפיץ אם יוצב מתחת לארגז? הנורמל הוא הכוח שמפעיל המשטח של מכשיר המשקל הנמצא מתחת לארגז (על הארגז). זהו לכן גם הכוח שמפעיל הארגז על המכשיר (על המשקל). המכשיר מתרגם את הכוח שהוא מרגיש לק ג ע י חילוק ב- : 9.8 m * = 9.8 = 59.26 9.8 = 6.04kg m * גדולה יותר מ- m מהי תאוצת הארגז? בגלל רכיב הכוח האנכי שלוחץ את הארגז על מכשיר המשקל. התאוצה בכיוון האנכי היא 0 כי אין תנועה אנכית. בכיוון האופקי נחשב את התאוצה ע י שימוש = ma x בחוק השני: f cos20 = 5a x a x = 30cos20 = 5.63 m s 5 2
שתי מסות מחוברות בינהן בחוט דק העובר דרך גלגלת חסרת מסה וחיכוך. על מסה A פועל, בנוסף לכוח המתיחות שמפעיל החוט, כוח F המכוון כלפי מטה. המערכת מתחילה ממנוחה. m A = 2kg, m B נתונים: = 0.5kg, F = 5 א. מצאו את גודל וכיוון תאוצת המערכת. A B F נבחר את ציר ה- y כלפי מעלה עבור שני הגופים וננחש תאוצה על A כלפי מעלה (ולכן על B כלפי מטה). A : B : F y = T m A g = m A a F y = T m B g F = m B a.2 נחסר משוואה תחתונה מעליונה: m A g + m B g + F = m A a + m B a a = (m m )g + F B A 1.5 9.8 + 5 = = 3.88 m s m A + m B 2.5 2 ב. התשובה שלילית ולכן התאוצה היא בכיוון ההפוך מזה שניחשנו. כלומר, B עולה ו- A יורד. מהי המתיחות בחוט? אחרי שמצאנו את התאוצה ניתן למצוא את המתיחות ע י הצבה של התאוצה לאחת המשוואות: T 2 9.8 = 2 ( 3.88) T = 11.84
כוחות מתיחות נביט בדוגמא הבאה: אדם מושך חבל אשר אליו מחובר ארגז. כיוון הכוח שמפעיל האדם על קצה החבל הימני הוא ימינה וגודלו F 2 F 2 לפי החוק השלישי, מפעיל קצה החבל הימני כוח תגובה וכיוונו הוא שמאלה. על האדם. גודלו זהה לכוח שמפעיל האדם קצה החבל השמאלי מפעיל כוח F 2 ימינה על הארגז ולכן, לפי החוק השלישי, מפעיל הארגז כוח זהה בגודלו והפוך בכיוונו על קצה החבל השמאלי כוח F 2 ימינה. כעת ננתח את הכוחות הפועלים על החבל. נבחר את ציר ה- x בכיוון ימין: = F 2 נסמן את מסת קטע החבל ב-. m ישנם שני מקרים אפשריים = F 2 = ma = 0 F 2 = המערכת לא מאיצה ) 0 = a :( קיבלנו שכאשר אין תאוצה הכוח שמפעיל האדם על קצה החבל הוא גם הכוח הפועל על הארגז החבל משמש כמתווך כוח אידאלי. F x במקרה זה ניתן לקבל תוצאה זהה אם = F 2 המערכת מאיצה ) 0 m = ma :( a 0, נזניח את מסת החבל. כאשר מסת הארגז היא M m ניתן להזניח את מסת החבל. מתקיים: F 2 = ma Ma = ma = ( M + m)a Ma קיבלנו שהכוחות הפועלים על החבל משני צדדיו שווים כאשר המערכת בשווי משקל, וניתנים להלקח כשווים כאשר מסת החבל זניחה ביחס למסת הארגז. כוחות אלו נקראים מתיחות ומסומנים ב-. T היחידות בהן מודדים את המתיחות הן ניוטון.
חיכוך כוחות מגע בין שני גופים נוצרים כאשר שני משטחים נמצאים במגע. כוחות אלו מקורם באינטראקציות אלקטרומגנטיות ברמה המיקרוסקופית. אנו ננתח כוחות אלו מבלי להכנס לדיון ברמה המקרוסקופית. בכל מקרה בו ישנו מגע בין שני משטחים קיים כוח חיכוך. גודלו של כוח החיכוך יכול להיות במקרים מסויימים קטן מאוד בהשוואה לכוחות האחרים הפועלים על הגוף ולכן השפעתו על תנועת הגוף מוגבלת. בעת ניתוח התנועה נוכל במקרים כאלו להזניח את כוח החיכוך ולקבל מודל פשוט יותר. כוח מגע בין שני גופים ניתן תמיד לפרק לשני רכיבים: רכיב מאונך למשטח שנקרא הנורמל ומסומן ב- רכיב מקביל למשטח שנקרא כוח החיכוך ומסמן ב-. f חיכוך קינטי כאשר גוף מחליק, פועל כוח החיכוך בכיוון הפוך לכיוון התנועה של הגוף. לדוגמא, כאשר גוף מחליק על שולחן בכיוון ימין, יפעל עליו כוח חיכוך שמאלה. כוח זה מופעל ע י השולחן. לפי החוק ה- 3 יפעיל הגוף המחליק כוח שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו על השולחן, כלומר כוח ימינה על השולחן שגודלו שווה לכוח החיכוך הפועל על הגוף המחליק. ככל שנגדיל את כוח המגע בין הגופים (נלחץ אותם חזק יותר אחד אל השני, או במקרה בו גוף נמצא על משטח, נגדיל את משקלו של הגוף), יגדל כוח החיכוך. כוח החיכוך פרופורציונלי בקירוב לכוח הנורמלי: f k = µ k את קבוע הפרופורציה מסמנים ב- µ k והוא נקרא מקדם החיכוך הקינטי. גודל זה מושפע מסוגי החומרים אשר באים במגע ובמשטחים. יש לשים לב שבנוסחה אנו מקשרים בין שני וקטורים ניצבים ) ו- ( f ולכן זו איננה משוואה וקטורית, אלא רק משוואה הנותנת את גודלו של כוח החיכוך. ישנה גם תלות של כוח החיכוך במהירות היחסית בין הגופים, אבל תלות זו מסבכת את המודל ולכן נזניח אותה (המודל הופך לא לינארי המהירות תלויה בתאוצה שתלויה בכוחות והכוחות תלויים במהירות).
חיכוך סטטי כוחות חיכוך פועלים בין שני גופים גם כאשר אין תנועה יחסית בין הגופים. נסתכל על דוגמא שממחישה זאת. על ארגז מופעל כוח ימינה והוא נשאר במקומו. F סכום כוחות על הארגז: F = T אבל ידוע שהארגז לא זז ולכן סכום הכוחות שווה ל- 0. מכאן שישנו כוח נוסף הפועל על הארגז שמאלה זהו כוח החיכוך הסטטי: סכום כוחות על החבל נותן: קיבלנו שכאשר אין תנועה, כוח החיכוך הסטטי שווה לכוח החיצוני המופעל על הארגז. מה קורה כאשר מגדילים את הכוח החיצוני? F בגלל שכוח החיכוך שווה לכוח החיצוני, יגדל גם כוח החיכוך כאשר נגדיל את הכוח החיצוני. כמובן שכוח החיכוך הסטטי לא יוכל להחזיק את הגוף בשווי משקל לכל כוח חיצוני שנפעיל. מה שיקרה f s F = T f s = 0 f s = T F = F T = 0 T = F בפועל הוא שכאשר F יגדל בהדרגה, תהיה נקודה מסויימת שבה כבר לא יוכל להתנגד ל-. F גודלו של כוח החיכוך הסטטי המקסימלי שיכול לפעול (ושעבור כוח חיצוני גדול ממנו תהיה תזוזה), f s,max נקרא כוח החיכוך הסטטי המקסימלי ומסומן ב-. כלומר: לא תהיה תנועה עבור F f s,max (כאשר מתקיים השוויון הגוף הוא על סף תנועה) F > f s,max יש תנועה עבור ערכו של כוח החיכוך המקסימלי: f s,max = µ s לסיכום: כאשר הגוף נמצא בשווי משקל (ללא תנועה) ופועל עליו כוח אופקי חיצוני, אנחנו יודעים שכוח החיכוך הסטטי שווה בגודלו לכוח החיצוני ומנוגד לו בכיוונו כוח החיכוך נקבע ע י תנאי שווי המשקל. ישנו ערך מקסימלי אפשרי לכוח החיכוך והוא נקבע ע י מקדם החיכוך הסטטי והנורמל. כאשר הכוח החיצוני גדול מכוח החיכוך הסטטי, יתנתק הגוף ותתחיל תנועה. במצב זה כוח החיכוך ממשיך, אך עובר להיות קינטי. µ s
דוגמאות 1. גוף שמסתו 2kg מונח על משטח ישר ואופקי. על הגוף פועל כוח שגודלו F = 5 וכיוונו ימינה. א. ב. ג. ד. שרטטו דיאגרמת כוחות על הגוף. מצאו את גודלו ואת כיוונו של כוח החיכוך הסטטי אם נתון שהגוף נשאר במנוחה. מגדילים את הכוח ונתון כי עבור F = 10 הגוף נמצא על סף תנועה. מצאו את מקדם החיכוך הסטטי. בשלב השלישי מפעילים על הגוף כוח שגודלו 15 ניוטון. מצאו את תאוצת הגוף אם נתון. µ k שמקדם החיכוך הקינטי הוא = 0.4 y פתרון א. x f s m F mg ב. בכיוון שמאל = F f s = 0 5 f s = 0 f s = 5 = mg = 0 = mg = 2 9.8 = 19.6 = 10 µ s = 0 10 µ s 19.6 = 0 µ s = 0.51 ג. = 15 µ k ד. = 2 a 15 0.4 19.6 = 2a 2a = 7.16 a = 3.58 m s 2
ארגז שמשקלו 500 נמצא על משטח אופקי. נתון כי בכדי להזיז את הארגז יש לדחוף אותו בכוח אופקי של 200 (סף תנועה). לעומת זאת, לאחר שהארגז מתחיל לזוז, מספיק כוח של 100 בכדי שיזוז במהירות קבועה. מהם מקדמי החיכוך הסטטי והקינטי?.2 פתרון אין כוחות בציר ה- y פרט למשקל ולנורמל ולכן = W = 500 f s,max = µ s = 500µ s כוח החיכוך הסטטי המקסימלי הגוף על סף תנועה עבור: F = 500µ s,max = 200 µ s,max = 2 5 = 0.4. f k לכן, אם הוא נע במהירות קבועה אז = µ k כאשר הגוף כבר נע, פועל עליו כוח חיכוך קינטי שגודלו הכוח שפועל עליו שווה לכוח החיכוך הקינטי: F = 500µ k = 100 µ k = 1 5 = 0.2 נתונה המערכת שבשרטוט. מסה m = 2kg תלויה על חוט העובר דרך גלגילה חסרת מסה וחיכוך.3 ומתחבר למסה שנייה,. M = 5kg ישנו חיכוך בין המסה M לבין המשטח העליון. המערכת M x משוחררת ממצב מנוחה. א. נתון כי המערכת נמצאת על סף תנועה. מצאו את מקדם החיכוך הסטטי. ב. מגדילים את המסה התלויה כך שערכה החדש הוא. m = 3kg m y מצאו את תאוצת המערכת אם נתון שמקדם. µ k החיכוך הקינטי בין המסה העליונה M למשטח הוא = 0.3 פתרון א. סכום כוחות על המסה העליונה צריך להיות שווה אפס (המערכת על סף תנועה): נבחר את ציר ה- x בכיוון ימין (מסה ( M ואת ציר ה- y כלפי מעלה (מסה ): m = T f s = 0 = Mg = 0 = Mg
T f s = 0 T = µ s! Mg סכום כוחות על המסה התלויה: עבור מסה זו נבחר את ציר ה- y כלפי מעלה. = T mg = 0 T = mg שתי המשוואות ייתנו: µ s Mg = mg µ s = m M = 2 5 = T f k ב. = Ma עבור המסה התלויה נקבל: (סימנים: סימן המינוס לפני הביטו באגף ימין הוכנס כי כיוון התאוצה הוא הפוך לכיוון ציר = Mg = 0 = Mg T = Ma + µ k Mg = T mg = ma T = mg ma ה- ( y שילוב של שתי המשוואות ייתן: התאוצה יצאה חיובית כי כיוונה הוא כפי שקבענו מסה תלויה יורדת ומסה גדולה נעה ימינה. ma Ma + µ k Mg = mg ma a = mg µ k Mg m + M = 3 9.8 0.3 5 9.8 8 = 1.83 m s 2