ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. ( 3.15 σελ 63 ) 3 ) Να αποδειχθεί ότι, αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. ( 5.11 σελ 113 ) 4 ) Να αποδειχθεί ότι «Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές». ( 4.6 σελ 83 ) 5 ) Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. ( 3.2 Πόρισμα ΙΙΙ σελ 37 ) 6 ) Να αποδειχθεί ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. ( 5.2 σελ 97 ) 7 ) Να αποδειχθεί το Θεώρημα : «Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε απ τη κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.» ( 5.9 Θεώρημα Ι σελ 109 ) 8 ) Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει απ τις πλευρές της και αντίστροφα, κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει απ τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. ( 3.6 σελ 46 ) 9 ) Να αποδειχθεί ότι : «Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε οι διαγώνιοι του είναι ίσες.» ( 5.11 σελ 113 ) 10 ) Να αποδειχθεί ότι : «το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς τη τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.» ( 5.6 σελ 104 ) 11 ) Να αποδειχθεί ότι : «Δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνον αν τα αποστήματα τους είναι ίσα.» ( 3.6 Θεώρημα ΙΙΙ σελ 46 ) 12 ) Να αποδειχθεί ότι, αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του είναι ίση με 30 0, τότε η απέναντι πλευρά του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ( 5.9 Πόρισμα σελ 110 ) ΘΕΜΑ 1 Ο - Β ( ερωτήσεις κλειστού τύπου Σ-Λ ) 1. Αν οι διαγώνιοι ρόμβου είναι ίσες, τότε αυτό είναι τετράγωνο. 2. Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου πάντοτε διχοτομούν τις γωνίες του. 3. Δυο τρίγωνα με ίσες γωνίες είναι πάντα ίσα, 4. Αν οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε αυτό είναι πάντα παραλληλόγραμμο. 5. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου διχοτομούνται. 6. Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι (2ν-4) ορθές. 7. Βαρύκεντρο λέγεται το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου. 8. Η γωνία που σχηματίζεται απ τη χορδή του κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την επίκεντρη που βαίνει στο τόξο της χορδής.
9. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών τριγώνου είναι 360 0. 10. Ορθόκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων ενός τριγώνου. 11. Δυο γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι πάντα ίσες. 12. Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής δυο τεμνόμενων κύκλων. 13. Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν δυο οξείες γωνίες μια προς μια ίσες. 14. Ένας ρόμβος με μια ορθή γωνία είναι τετράγωνο. 15. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών. 16. Σε κάθε τραπέζιο η διάμεσος του ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων του. 17. Κάθε σημείο της διχοτόμου γωνίας ισαπέχει απ τις πλευρές της. 18. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 19. Το παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία είναι ορθογώνιο. 20. Αν δυο παράλληλες τέμνονται από τρίτη ευθεία, σχηματίζουν τις εντός και επι τα αυτά γωνίες ίσες. 21. Υπάρχει ορθογώνιο με ίσες διαγωνίους, το οποίο δεν είναι ορθογώνιο. 22. Οι απέναντι γωνίες ισοσκελούς τραπεζίου είναι παραπληρωματικές. 23. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), η διχοτόμος ΓΔ είναι ύψος και διάμεσος. 24. Ένα ορθογώνιο είναι τετράγωνο, αν οι διαγώνιες του είναι κάθετες. 25. Περίκεντρο λέγεται το σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου. 26. Κάθε παραλληλόγραμμο που έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες είναι ρόμβος. 27. Τετράγωνο είναι ένα παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία και διαγώνιες ίσες. 28. Έγκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών ενός τριγώνου. 29. Το άθροισμα γωνιών κυρτού πολυγώνου είναι 4ν-2 ορθές. 30. Κάθε τετράγωνο είναι και ρόμβος. 31. Οι διαγώνιοι ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. 32. Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. 33. Δυο τρίγωνα με δυο πλευρές ίσες μια προς μια και μια γωνία τους ίση είναι ίσα. 34. Αν ένα τετράπλευρο έχει 3 ορθές γωνίες, τότε είναι τετράγωνο. 35. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε απ τη κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 36. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της.
ΘΕΜΑ 3 Ο 1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ =90 0 ) με Bˆ =30 0, η κάθετη στο μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Δ. Να αποδειχθεί ότι : α ) ΑΔ = ΔΓ 2 β ) ΑΔ = ΜΔ ( μονάδες 7 ) γ ) ΜΔ = AB 3 ( μονάδες 10 ) 2. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Αˆ = 90 0 ). Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και έστω Δ μέσο της ΒΜ. Απ το μέσο Ε της ΑΒ προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ, τέτοιο ώστε ΔΖ = ΔΕ. Να αποδειχθεί : α ) το ΒΕΜΖ είναι ορθογώνιο. β ) τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΕΒΖ είναι ίσα. ( μονάδες 10 ) γ ) το ΑΕΖΜ είναι παραλληλόγραμμο. ( μονάδες 7 ) 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Ο κύκλος με διάμετρο ΒΓ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Δ, Ε αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι : α ) το κέντρο Κ του κύκλου ισαπέχει απ τις ΑΒ, ΑΓ. ( μονάδες 9 ) β ) ΓΕ = ΒΔ ( μονάδες 7 ) γ ) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. ( μονάδες 9 )
4. Δίνεται κύκλος (O,R) και η διάμετρος του ΒΓ. Προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Φέρνουμε την ακτίνα ΟΑ ΒΓ. Οι ΑΔ, ΑΕ τέμνουν τον κύκλο στα Ζ, Η αντίστοιχα. Να αποδειχθεί : α ) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. β ) Οι αποστάσεις του Ο απ τις ΑΔ, ΑΕ είναι ίσες. ( μονάδες 9 ) γ ) ΔΖ = ΕΗ 5. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΔΓ ) με ΑBˆ Γ = 2Γˆ και ΒΓ = 4. Φέρνουμε τη ΒΕ ΔΓ. Τα Κ, Λ είναι μέσα των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι : α ) Γˆ = 60 0 β ) ΕΛ // ΑΔ. ( μονάδες 9 ) γ ) ΑΚΕΛ παραλληλόγραμμο. 6. Δίνεται γωνία χô y και ΟΔ η διχοτόμος της. Φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΟΔ σε τυχαίο σημείο της Μ που τέμνει τις πλευρές Οχ, Οy στο Α, Β αντίστοιχα. α ) να δειχθεί ότι : ΟΑ=ΟΒ ( μονάδες 13 ) β ) αν Κ,Λ μέσα των ΟΑ, ΟΒ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το ΟΚΜΛ είναι ρόμβος. ( μονάδες 12 )
7. Δίνεται κύκλος (O,R) και δυο σημεία του Α,Β. Φέρνουμε τις ίσες χορδές ΑΓ και ΒΔ οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνονται στο Ε. α ) να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΖΑΓ, ΖΒΔ είναι ίσα, όπου Ζ το κοινό σημείο των ΑΔ, ΒΓ. (μονάδες13 ) β ) αν επιπλέον, το τόξο AB είναι 180 0, τότε να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΓΕΔΖ είναι εγγράψιμο. (μονάδες 12 ) 8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ = 90 0 ) και Bˆ = 60 0. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ προς το Β κατά τμήμα ΒΕ = ΒΔ. Αν η προέκταση της ΕΔ τέμνει την ΑΓ στο Ζ, τότε : α ) να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΒΔΕ. (μονάδες 5 ) β ) να δειχθεί ότι το ΑΔΖ είναι ισόπλευρο. (μονάδες 5 ) γ ) να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΖΕ, ΑΔΓ είναι ίσα. (μονάδες 15 ) 9. Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΓ = ΑΒ. Συνδέουμε την κορυφή Α με το μέσο Μ της ΒΓ και προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΕ = ΑΜ. Να αποδειχθεί ότι : α ) το ΑΒΕΓ είναι ρόμβος. β ) Η ΑΜ είναι κάθετη στην ΑΔ. γ ) Τα σημεία Δ,Γ,Ε είναι συνευθειακά. ( μονάδες 9+8+8 )