Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της «σύνθεσης κινήσεων». (β μέρος) 1
Στο α μέρος αυτής της σειράς διαφανειών κατέληξα σε ένα πολύ ουσιαστικό συμπέρασμα: 2
Γενικό Συμπέρασμα: Η σύνθεση όμοιων κινήσεων (κινήσεων με όμοια χαρακτηριστικά) ίδιας διεύθυνσης δεν είναι φυσικό φαινόμενο και δεν πρέπει να διδάσκεται, γιατί είναι μια σύνθεση αρχικών συνθηκών ή αλλιώς μια πρόσθεση που αρνούμαστε να εκτελέσουμε. 3
Θα ενισχύσω αυτό το συμπέρασμα με ένα ακόμη παράδειγμα από το βιβλίο Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου. 4
Ενότητα 1.7 Α σχολικού βιβλίου Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου «Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας» 5
Στα παρακάτω θα προτιμάται η ορθότερη διατύπωση: Επαλληλία (πρόσθεση) εξισώσεων κίνησης απλών αρμονικών Ταλαντώσεων. 6
Η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης μπορεί να δοθεί με τρεις μορφές, που είναι μαθηματικώς ισοδύναμες. Διδακτικά όμως η αξία τους διαφοροποιείται δραματικά κατά περίπτωση. 7
1η μορφή: x=α ημ(ω t+φ) όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και φ η αρχική φάση στη συγκεκριμένη εξίσωση ταλάντωσης 2η μορφή: x=a συν(ω t+θ) όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και θ η αρχική φάση στη συγκεκριμένη εξίσωση ταλάντωσης 3η μορφή: x=x 0 συνωt + ημωt όπου x 0 η αρχική θέση και υ 0 η αρχική ταχύτητα. Εδώ δεν έχει νόημα η έννοια της φάσης 0 8
Σκοπός αυτής της σειράς διαφανειών είναι να αναδείξει την αξία που έχει η γνώση των ιδιαίτερων δυνατοτήτων της κάθε μιας από τις τρεις παραπάνω μορφές, γεγονός που θα μας προστατεύσει από παρανοήσεις. 9
Θα ακολουθήσουμε ακριβώς την ίδια «διαδρομή» με την επαλληλία εξισώσεων ευθυγράμμων ομαλών κινήσεων. 10
Κάποτε αναρωτήθηκα, αν έχει αξία να διδαχτεί μια ενότητα με τον τίτλο «Επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας». (το «ίδιας διεύθυνσης» το θεωρώ δεδομένο και το «γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας» δεν έχει αξία γιατί δεν αναιρεί ΤΙΠΟΤΕ από όσα θα ακολουθήσουν) 11
Αναρωτήθηκα δηλαδή, αν είναι δυνατόν ένας παρατηρητής που εξετάζει την κίνηση ενός υλικού σημείου, να καταλήξει σε διαφορική εξίσωση, η λύση της οποίας να του επιτρέψει να τη μεταφράσει ως επαλληλία (πρόσθεση) δύο εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας. 12
Με άλλα λόγια αναρωτήθηκα αν υπάρχει κίνηση, που να είναι σύνθετη από δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας. 13
Για να απαντήσω επέλεξα δύο τρόπους διδασκαλίας χρησιμοποιώντας κάθε φορά άλλη εξίσωση κίνησης. 14
1ος τρόπος διδασκαλίας της απλής αρμονικής ταλάντωσης Θα γίνει χρήση της εξίσωσης: 0 x= x 0 συνωt + ημωt όπου x 0 η αρχική θέση και υ 0 η αρχική ταχύτητα 15
Ένας παρατηρητής, μελετώντας την κίνηση υλικού σημείου, βρίσκει τελικά την εξίσωση κίνησής του. 16
Για να μπορέσει να ισχυριστεί ότι το υλικό σημείο εκτελεί κίνηση σύνθετη δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας π.χ. της και της x 2 5t 3 5t 1 x 1 5t 4 5t 2 17
θα πρέπει η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου που βρήκε να είναι υποχρεωτικά η x=x 1 +x 2 = ( 2 5t 3 5t ) + ( 1 5t 4 5t ) 18
θα πρέπει δηλαδή ο παρατηρητής να έχει λόγους να πει ότι στην εν λόγω κίνηση η Φύση επιβάλλει ως εξίσωση κίνησης την x=x 1 +x 2 = ( 2 5t 3 5t ) + ( 1 5t 4 5t ) Δηλαδή ότι η Φύση επιβάλλει την x=(2+1)συν5t+(3+4)ημ5t 19
Πρέπει δηλαδή ο παρατηρητής να μπορεί να πει ότι η Φύση, «επιβάλλει» να φαίνονται οι προσθέσεις 2+1 και 3+4 στην εξίσωση κίνησης x=(2+1)συν5t+(3+4)ημ5t αλλά να μην εκτελούνται!!! 20
Το να επιμένει όμως ο παρατηρητής μας σε κάτι τέτοιο, είναι σα να δέχεται ότι η Φύση «επιβάλλει» σε εξίσωση κίνησης τη μορφή x=(2+1)συν5t + (3+4)ημ5t ώστε να μας κάνει να βλέπουμε επαλληλία εξισώσεων δύο κινήσεων, αλλά «απαγορεύει» τη μορφή x=3συν5t + 7ημ5t με την οποία θα αποκαλυφθεί ότι τελικά πρόκειται για μια μόνο απλή αρμονική ταλάντωση και όχι για δύο 21
Γιατί αν εκτελεστούν οι προσθέσεις, των αρχικών συνθηκών θα χαθεί μαζί τους και...η επαλληλία (σύνθεση, πρόσθεση) των εξισώσεων κίνησης των απλών αρμονικών ταλαντώσεων και συνεπώς θα χαθεί και το «φαινόμενο» σύνθεση α.α.τ. ίδιας συχνότητας. 22
Όπως καταλαβαίνουμε όμως, δεν είναι δυνατό να υπάρξει φυσικό φαινόμενο, που «θα μας πει»... 23
...ότι στην εξίσωση κίνησης «δε θέλω» την αρχική θέση να τη «λέτε» 3, αλλά 2+1 «ούτε θέλω» το λόγο της αρχικής ταχύτητας προς κυκλική συχνότητας να τον «λέτε» 7, αλλά 3+4 0 24
«ούτε θέλω» την αρχική ταχύτητα να τη «λέτε» 7 5=35, αλλά 3 5+4 5, δηλαδή 15+20! (Μη ξεχνάτε ότι η εξίσωση κίνησης είναι η 0 x x0t + t και συνεπώς μια εξίσωση x=3συν5t + 7ημ5t σημαίνει αρχική θέση 3 και αρχική ταχύτητα 7 5=35) 25
Θα είναι σαν να τρέχουμε με το αυτοκίνητο με 35 Km/h, το κοντέρ να δείχνει 35, να βλέπουμε το 35, να μας ρωτά κάποιος με ποια ταχύτητα τρέχουμε και... η Φύση να μας απαγορεύει να του πούμε με 35, αλλά με 15+20 26
Το να πιστεύουμε ότι η Φύση μας επιβάλλει να μη λέμε 35 αλλά 15+20, να μας επιβάλλει δηλαδή να λέμε ένα απλό «πράμα», με δύο απλά «πράματα» και συγχρόνως να επιβάλλει να μείνει ανεκτέλεστη μια απλή πρόσθεση ανάμεσά τους είναι παραλογισμός!!! 27
Η χρήση λοιπόν της εξίσωσης 0 x x0t + t μας προφυλάσσει πολύ Δε θα μας επιτρέψει ΠΟΤΕ να μιλήσουμε για επαλληλία εξισώσεων κίνησης α.α.τ, (σύνθεση α.α.τ ίδιας ω) γιατί θα είναι σα να «σπάμε» το x 0 σε πολλές αρχικές θέσεις και το υ 0 σε πολλές αρχικές ταχύτητες, χωρίς κανένα μα κανένα λόγο. 28
Και να τα κρατάμε «σπασμένα» λες και πρέπει να βλέπουμε δύο και τρεις ή και πάμπολλες αρχικές θέσεις και ταχύτητες, ενώ στην κάθε κίνηση έχουμε πάντα μια αρχική θέση και μια αρχική ταχύτητα, Θα είναι σα να μη θέλουμε να κάνουμε την τελική πρόσθεση. 29
Θα είναι σα να επιδιώκουμε επαλληλία εξισώσεων κίνησης εκεί που δεν έχουμε και στο τέλος να συμβιβαζόμαστε με το παράλογο της «εμφάνισης» μιας πρόσθεσης αρχικών συνθηκών, για να δημιουργήσουμε σώνει και καλά σύνθεση κινήσεων... 30
Επιλέγοντας ως εξίσωση κίνησης της απλής αρμονικής ταλάντωσης τη μορφή x x t + 0 t 0 ποτέ δε θα μας επιτραπεί να μιλήσουμε για σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, 31
Η χρήση της μορφής 0 x x 0 t + t ως εξίσωση απλής αρμονικής ταλάντωσης θα μας αναγκάσει να κάνουμε τις προσθέσεις των αρχικών συνθηκών των δήθεν συνιστωσών κινήσεων 32
Η χρήση της εξίσωσης 0 x x0t + t αποκαλύπτει ότι η διδασκαλία της «σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων» είναι ανεπίτρεπτη διότι οι προσθέσεις που θα εμφανιστούν πρέπει να (και θα) γίνουν υποχρεωτικά 33
Συνεπώς η σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας, είναι ανεπίτρεπτη διδασκαλία στη Φυσική γιατί δεν είναι φυσικό φαινόμενο. 34
Ένα ύποπτο ερώτημα. 35
Πώς θα μπορούσαμε - να χαλάσουμε τη σκέψη των παιδιών - να καθιερώσουμε μια διαστροφική ασκησιολογία, οικονομικά ωφέλιμη - να αρχίσει να διδάσκεται στα Λύκεια ως «φυσικό φαινόμενο» η α-νοησία της σύνθεσης απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας; 36
Απάντηση: Μπορούμε να τα χαλάσουμε όλα αν για τη διδασκαλία της απλής αρμονικής ταλάντωσης επιλέξω μια σωστή μαθηματικά, αλλά ακατάλληλη διδακτικά για σύνθεση, εξίσωση κίνησης! 37
Αν για παράδειγμα, προκειμένου να διδάξουμε επαλληλία εξισώσεων α.α.τ. ίδιας συχνότητας επιλέξουμε την εξίσωση x ( t ) με R και 0, 2 38
...τα πράγματα θα γίνουν πολύ δύσκολα και γεμάτα παρανοήσεις, η διδασκαλία της Φυσικής ανήθικη και τα παιδιά θα γίνουν απόλυτα εξαρτημένα από τον διδάσκοντα. 39
2ος τρόπος διδασκαλίας σύνθεσης δύο εξισώσεων α.α.τ ίδιας συχνότητας με τη χρήση της εξίσωσης x ( t ) και 0, 2 R 40
Κοιτάξτε τώρα πώς μπορώ να μπερδέψω τελείως, μα τελείως τα πράγματα, να χαλάσω τα παιδιά και να τα κάνω απόλυτα μα απόλυτα εξαρτημένα από εμένα χωρίς βουλή αλλά με οικονομικά οφέλη για μένα. 41
Μπαίνω στην τάξη και αρχίζω το μάθημα για την απλή αρμονική ταλάντωση λέγοντας ότι η κίνηση αυτή έχει ως εξίσωση την x ( t ) 42
Τα παιδιά παραλυμένα από το άγχος των επερχόμενων πανελλαδικών εξετάσεων, δέχονται την εξίσωση ως παρεχόμενη γνώση Τα παιδιά αφοπλισμένα από κάθε συλλογιστική άμυνα (ρομπότ) είναι έτοιμα να πιστέψουνε, θέλουνε δε θέλουνε, ό,τι μα ό,τι «διαστροφικό» τους πω: 43
Τους λέω λοιπόν ότι αποδεικνύεται (!) ότι η εξίσωση κίνησης της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι η x ( t ) με και 0, 2 R Κάποια στιγμή, μετά από ασκήσεις εξοικείωσης των παιδιών με την παραπάνω εξίσωση, συνεχίζω με σύνθεση 44
Υλικό σημείο εκτελεί σύνθετη κίνηση από δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας 45
x 1 =Α 1 ημ(ωt+φ 1 ) και x 2 = Α 2 ημ(ωt+φ 2 ) 46
Αποδεικνύεται (!) ότι η σύνθετη αυτή κίνηση x=x 1 +x 2 είναι απλή αρμονική ταλάντωση ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας με τις συνιστώσες κινήσεις 47
Αποδεικνύεται(!) ότι η σύνθεση x=x 1 +x 2 δίνεται από τη σχέση x ( t ) όπου 2 2 Α= Α1 +Α2 +2Α1 Α2συν(φ1 -φ2 ) A11 A2 2 με και 0,2 A A 1 1 2 2 48
Οι συνιστώσες απλές αρμονικές ταλαντώσεις Αποδεικνύεται ότι η σύνθεσή τους x=x 1 +x 2 είναι απλή αρμον. ταλ. x ( t ) x 1 =Α 1 ημ(ωt+φ 1 ) και x 2 = Α 2 ημ(ωt+φ 2 ) όπου 2 2 Α= Α1 +Α2 +2Α1 Α2συν(φ1 -φ2 A A 1 1 2 2 A A 1 1 2 2 ) 0,2 49
Με τόσα «αποδεικνύεται» χωρίς όμως καμιά απόδειξη, και με τόσο δύσκολες σχέσεις, η «σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας» έχει σκοτεινιάσει πάρα πολύ. 50
Τα παιδιά όχι μόνο δεν καταλαβαίνουν τί τους γίνετε, αλλά παραλυμένα λόγω των πανελλαδικών εξετάσεων, δέχονται ό,τι μα ό,τι τους πω. Δεν τους απέδειξα τίποτε ουσιαστικά, αλλά τους είπα να πιστέψουνε τους ακατάλληλους διδακτικά για σύνθεση, αλλά σωστούς μαθηματικά, τύπους που τους παρουσίασα δια μαγείας. 51
Προέτρεψα τα παιδιά να μάθουνε τους τύπους χωρίς καμιά σκέψη, σκέτη παπαγαλία δηλαδή... Και τους είπα να μάθουνε να τους χρησιμοποιούν μαζί και με άλλα χωρίς συλλογιστική συνέπεια τρυκ (βλέπε «περιστρεφόμενα μονόμετρα-διανύσματα» Α) που θα τους δώσω σε λίγο, αν θέλουνε να περάσουνε σε σχολή.. 52
Τα πράγματα τώρα έχουν τόσο πολύ σκοτεινιάσει, που η σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας, παρόλο που δεν είναι φαινόμενο, αρχίζει να διδάσκεται στο μάθημα Φυσικής Γ Λυκείου με χιλιάδες «πρωτότυπες» ασκήσεις, 53
Θέλω να πω τούτο: Ένα σχολικό βιβλίο που θα στηρίξει τη διδασκαλία της απλής αρμονικής ταλάντωσης στην μαθηματικά σωστή εξίσωση x ( t ) γρήγορα μπορεί να οδηγήσει τα παιδιά στο διδακτικά απαράδεκτο, σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας και μάλιστα χρησιμοποιώντας αδιανόητες σχέσεις 54
Τότε: Εξωσχολικά βοηθήματα θα ξεπεράσουν το σχολικό βιβλίο σε λάθη και αμέσως μετά, τόσο αυτά ως βοηθήματα, όσο και εμείς ως καθηγητές θα συναγωνιζόμαστε μεταξύ μας στην «πρωτοτυπία» των προτεινόμενων ως sos ασκήσεων των πανελλαδικών εξετάσεων... 55
Μια «διδασκαλία» σύνθεσης απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας που θα στηριχτεί στην εξίσωση x ( t ) R 0, 2 56
είναι μια σωστή μαθηματικά διδασκαλία, αλλά χωρίς διδακτική «ηθική», γιατί σκοτεινιάζει τελείως το μάθημα και διαλύει τη σκέψη των μαθητών (-τριών)... 57
Δύο εξισώσεις Φυσικής x x t + 0 t 0 x ( t ) Μαθηματικά ισοδύναμες Διδακτικά τελείως διαφορετικές 58
Με την εξίσωση x x t + 0 t 0 αποκαλύπτεται ότι η σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας και διεύθυνσης δεν είναι φαινόμενο και επομένως η διδασκαλία της αυτοκαταργείται Όλα γίνονται διάφανα 59
ΠΟΤΕ η εξίσωση αυτή δε θα μας αφήσει να καταλήξουμε σε σύνθεση, γιατί θα μας επιβάλλει να εκτελέσουμε ΑΜΕΣΩΣ τις εμφανιζόμενες απλούστατες προσθέσεις της λύσης της διαφορικής... 60
και θα προστατεύσει ΟΛΟΥΣ μας από κάθε παρανόηση να βλέπουμε σε μια πρόσθεση που αρνούμαστε να εκτελέσουμε, αδιανόητες συνθέσεις κινήσεων με τρομακτικές, στη θέα, σχέσεις. 61
Με την ακατάλληλη εξίσωση x ( t ) η σύνθεση απλών αρμ. ταλαν. ίδιας συχνότητας από κάτι ανύπαρκτο, αποκτά ψεύτικη ύπαρξη, γίνεται δήθεν «φυσικό φαινόμενο» και οδηγεί σε παραλογισμούς. 62
Τα παιδιά δεν έχουν κανένα μηχανισμό να προστατευτούν από τα αλλεπάλληλα «αποδεικνύεται» και «αποδεικνύεται» που προϋποθέτει η εξίσωση x ( t ) 63
Γενικό Συμπέρασμα: Η σύνθεση όμοιων κινήσεων (κινήσεων με όμοια χαρακτηριστικά) ίδιας διεύθυνσης δεν είναι φυσικό φαινόμενο και δεν πρέπει να διδάσκεται, γιατί είναι μια σύνθεση αρχικών συνθηκών ή αλλιώς μια απλή πρόσθεση που αρνούμαστε να εκτελέσουμε. 64
Είναι μια απλή πρόσθεση αρχικών συνθηκών που για περίεργους λόγους θέλουμε να διατηρούμε ανεκτέλεστη. 65
Η εξίσωση x ( t ) μαθηματικά είναι σωστή, αλλά αποκρύπτει το γεγονός ότι η σύνθεση α.α.τ. ίδιας συχνότητας δεν είναι «νόμιμη» γιατί δεν αφορά κανένα φαινόμενο, καθιστά ανίκανο το μαθητή να σκεφτεί γίνεται πολύ δεσμευτική για την ψυχή του παιδιού... 66
...η οποία, καθώς καθίσταται απόλυτα εξαρτημένη από τόσα πολλά και παράξενα «αποδεικνύεται» και από λανθασμένα «έστω», θα χάσει όλους τους μηχανισμούς αντίδρασης. 67
Ο μαθητής θα δεχτεί ό,τι μα ό,τι αδιανόητο και να του πούμε!! Θα γαντζωθεί πάνω μας, για να του μάθουμε «τεχνικές» αντιμετώπισης ασκήσεων σύνθεσης απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας, έστω και αν στη Φύση δεν θα συμβαίνουν ΠΟΥΘΕΝΑ αυτά που θα του λέμε! 68
Κάθε φορά που διδάσκω στη Φυσική Γ Λυκείου την παράγραφο 1.7Α, δηλαδή τη «Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας...», νιώθω λύπη Μεγάλη λύπη Νιώθω τη Φύση να μαζεύει τις μαγείες της 69
Τα παιδιά νομίζουν ότι τους διδάσκω Φυσική, ότι τους δίνω καινούριες γνώσεις, ότι τους μαθαίνω καινούρια φυσικά φαινόμενα 70
Μα εγώ ξέρω ότι κατά βάθος, δε διδάσκω απολύτως τίποτε στα παιδιά... ότι με αναγκάζει το σχολικό βιβλίο να τα «κοροϊδεύω» κυριολεκτικά ότι τους έκρυψα την απλή πρόσθεση που μπορούσαν να κάνουν και μόνα τους αν χρησιμοποιούσα άλλη εξίσωση. 71
Ας το πω πιο «διηγηματικά»: Μια «διδασκαλία» επαλληλίας εξισώσεων (σύνθεσης) δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας που θα στηριχτεί στην εξίσωση x ( t ) 72
ποτέ δε θα αφήσει την ψυχή του μαθητή να «χορέψει» ελεύθερα... 73
Σε κάποιο πάρτι που δόθηκε στο δάσος, η σαρανταποδαρούσα τους ξετρέλανε όλους με το χορό της. 74
Μαγεμένος ο βάτραχος την πλησίασε και τη ρώτησε: Πώς τα κατάφερες τόσο καλά με τόσα πόδια που έχεις; 75
Πρέπει να έκανες φοβερή ανάλυση στα βήματα και στις χορευτικές σου φιγούρες... 76
Σκεφτόσουν τώρα σηκώνω το 14ο πόδι, τώρα λυγίζω το 35ο, τώρα βγάζω έξω το 27ο, μετατοπίζω αριστερά το 2ο, ενώ λυγίζω λίγο δεξιά το 18ο. 77
Έτσι δε σκεφτόσουν; είπε ο βάτραχος 78
Δε σκεφτόμουν έτσι, λέει η σαρανταποδαρούσα. Εγώ απλά χόρευα. Μόνο που χόρευα με την ψυχή μου. 79
Όταν έφυγε ο βάτραχος, η σαρανταποδαρούσα σκέφτηκε τα λόγια του και θέλησε να χορέψει, όπως της είπε. 80
Έκανε και ξαναέκανε όλες τις κινήσεις που της είπε ο βάτραχος, μα χορός δεν έβγαινε. 81
Η σαρανταποδαρούσα όσο και να προσπάθησε, ποτέ μα ποτέ δε ξαναχόρεψε. 82
Δύο εξισώσεις x ( t ) x x t + 0 t 0 Μαθηματικά ισοδύναμες. Με δραματικά όμως διαφορετικά «προσόντα» για τη «διδασκαλία της σύνθεσης απλών αρμονικών ταλαντώσεων». 83
Με την εξίσωση x ( t ) η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας από κάτι ανύπαρκτο, αποκτά ψεύτικη ύπαρξη, γίνεται δήθεν «φυσικό φαινόμενο» και οδηγεί σε παραλογισμούς. 84
Η ψυχή του μαθητή παύει να «χορεύει» πια. Τη θέση της έκφρασης, παίρνει μια ακολουθία εξαρτημένων και τυποποιημένων κινήσεων γεμάτων λάθη που δε μπορεί να δει. Ο μαθητής ούτε ξέρει πια τι κάνει, ούτε μπορεί να ελέγξει ό,τι και να του πούμε. 85
Η σκέψη του παιδιού έχει διαλυθεί και εύκολα πια μονόμετρα μεγέθη, όπως είναι το πλάτος ταλάντωσης, μπορούν να γίνουν, απαράδεκτα περιστρεφόμενα διανύσματα (!!!) σε μαθηματικώς απαράδεκτους άξονες, εκτός διδακτέας ύλης! 86
Με την εξίσωση x x t + 0 t 0 αποκαλύπτεται ότι η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας δεν είναι φαινόμενο και αυτοκαταργείται. Όλα γίνονται διάφανα στα μάτια του μαθητή. 87
Χωρίς να του διδάξουμε τίποτε, ο μαθητής της Γ Λυκείου θα κάνει ΜΟΝΟΣ ΤΟΥ ό,τι πρέπει να κάνει και θα δει ΜΟΝΟΣ ΤΟΥ ό,τι πρέπει να δει. Η ψυχή του μαθητή θα «χορέψει» ελεύθερα Για τις προσθέσεις που θα εμφανιστούν μπροστά του, θα κάνει το αυτονόητο: Θα τις εκτελέσει 88
και ΠΟΤΕ μα ΠΟΤΕ δε θα μας κοιτάξει, μήπως κάνει λάθος τα βήματα του «χορού», γιατί ΠΟΤΕ μα ΠΟΤΕ δε θα κάνει λάθος σε μια πρόσθεση! 89
Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Φυσικός Γενικού Λυκείου Αγριάs Πηλίου Καλοκαίρι 2009 thras.maheras@gmail.com 90