Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, ΕΔΑΦΟΣ Α.Ε.

Για την Τρίτη Διάσταση στην Ευστάθεια Πρανών On the Third imension in Slope Stability ΚΑΒΟΥΝΙΔΗΣ, ΣΠΥΡΟΣ. Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, ΕΔΑΦΟΣ Α.Ε. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Εξετάζεται η επιρροή της τρίτης διάστασης στις αναλύσεις ευσταθείας πρανών. Αναφέρονται ορισμένες μέθοδοι τρισδιάστατης ανάλυσης και αποδεικνύεται ότι ο κρίσιμος τρισδιάστατος συντελεστής ασφαλείας είναι πάντα μεγαλύτερος ή ίσος προς τον κρίσιμο δισδιάστατο συντελεστή. Δίδονται διαγράμματα του λόγου των συντελεστών ασφαλείας σε συνθήκες φ u = για περιπτώσεις διαφόρων άκρων και για διάφορες κλίσεις πρανών και εξάγονται συμπεράσματα. Τέλος παρουσιάζονται παραδείγματα από την πράξη που χρησιμοποιήθηκε τρισδιάστατη ανάλυση ευσταθείας. ABSTRACT : The influence of the third dimension in slope stability analyses is examined. Some 3 methods of analysis are mentioned and it is proven that the critical 3 factor of safety is always greater or equal to the critical factor. iagrams of the ratio of factors of safety in φ u = condition are given for cases of different shapes of the ends and of different slope angles and conclusions are drawn. Finally case studies where 3 slope stability analyses were used are presented 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συνήθης πρακτική στις αναλύσεις ευσταθείας πρανών, αλλά και στις αντίστροφες αναλύσεις κατολισθήσεων είναι να χρησιμοποιούνται μέθοδοι οριακής ισορροπίας σε δύο διαστάσεις. Ο βασικός λόγος γι αυτό είναι η τεράστια εμπειρία που έχει σωρευθεί χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους και -στην περίπτωση ελέγχου ευσταθείας- η χρήση συντελεστή ασφαλείας που καλύπτει τις όποιες ατέλειες των μεθόδων. Εξ άλλου στις αντίστροφες αναλύσεις κατολισθήσεων πρακτικώς το όποιο σφάλμα υπεισέρχεται μειώνεται σημαντικά με τη χρήση της ίδιας μεθόδου στην ευθεία ανάλυση με τα μέτρα αποκατάστασης. Οι κύριες παραδοχές των δισδιάστατων μεθόδων οριακής ισορροπίας είναι η στερεοπλαστική συμπεριφορά του υλικού, η ενιαία μέση αντοχή (και συντελεστής ασφαλείας) κατά μήκος της επιφάνειας ολίσθησης και ότι υπάρχουν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης, με άλλα λόγια το πρανές είναι απείρου μήκους. Αυτήν την τελευταία παραδοχή πραγματεύεται η παρούσα παρουσίαση, δεδομένου ότι υπάρχουν συνθήκες κάτω από τις οποίες η παραδοχή αυτή αποκλίνει σημαντικά από τις πραγματικές συνθήκες. Η ενσωμάτωση της τρίτης διάστασης έχει αποτελέσει αντικείμενο προσπαθειών από διάφορους μελετητές. Έχουν γίνει διάφορες απόπειρες εισαγωγής της τρίτης διάστασης στους υπολογισμούς όπως Lambe and Whitman (1969), Hutchinson (1979), Baligh and Azzouz (1975), Hovland (1977), Chen and Chameau (1985), Gens et al (1987), Hungr (1987), Leshchinsky et al (1985), Ugai (1985, 1988). Το θέμα της επιρροής της τρίτης διάστασης συζητήθηκε και στο 11 ο Διεθνές Συνέδριο Εδαφομηχανικής και Θεμελιώσεων (Cavounidis, 1985). Μια ενδιαφέρουσα εργασία σύγκρισης δισδιάστατων και τρισδιάστατων αναλύσεων περιέχεται και στα πρακτικά του 6 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Γεωτεχνικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (Γάκης και Τσότσος, 1). Ένα πρόβλημα σε ορισμένες προσπάθειες μεθόδων τρισδιάστατης ανάλυσης είναι ότι, υπό ορισμένες συνθήκες, βρίσκουν το συντελεστή ασφαλείας σε τρεις διαστάσεις F 3 μικρότερο από το συντελεστή ασφαλείας σε δύο διαστάσεις F. Αυτό είναι εσφαλμένο και παρακάτω παρουσιάζεται η απόδειξη (Cavounidis, 1987). Παρουσιάζονται επίσης ορισμένες αναλύσεις σε τρεις διαστάσεις για γεωμετρικώς προσδιορισμένα άκρα για 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 1

συνεκτικά εδάφη σε αστράγγιστες συνθήκες και εξετάζεται η μεταβολή του λόγου F 3 /F για διάφορες περιστάσεις. Τέλος παρουσιάζονται περιπτώσεις εφαρμογής τρισδιάστατων αναλύσεων σε υπαρκτές κατολισθήσεις.. ΠΟΤΕ ΕΙΝΑΙ ΧΡΗΣΙΜΗ Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Εν γένει η επιρροή της τρίτης διάστασης στην ευστάθεια των πρανών γίνεται σημαντική όταν το πλάτος της εξεταζόμενης επιφάνειας είναι μικρό εν σχέσει με το ύψος της. Έτσι τυπικές περιπτώσεις που έχει νόημα η τρισδιάστατη ανάλυση είναι: (α)υψηλά φράγματα σε στενές κοιλάδες. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι πλευρικές τριβές των άκρων μπορεί να αυξάνουν σημαντικά τις δυνάμεις αντίστασης σε ολίσθηση. (β)πρανή με αλλαγή γεωμετρίας σε μικρό διάστημα. Η δισδιάστατη ανάλυση για την ευστάθεια πρανούς γίνεται εν γένει στην, κατ εκτίμηση, κρίσιμη διατομή, δηλαδή κατά τεκμήριο (εφ όσον κατά τ άλλα ισχύουν τα ίδια) στην υψηλότερη διατομή. Αυτό όμως έχει ενσωματωμένη την υπόθεση της σχετικά ήπιας μεταβολής του ύψους του πρανούς. Στην περίπτωση απότομης μεταβολής θα ήταν εξαιρετικά συντηρητικό να εξετάζεται η ευστάθεια σε διαστάσεις (δηλαδή ως πρανές απείρου πλάτους). (γ)πρανή με αλλαγή των εδαφικών ιδιοτήτων σε μικρό διάστημα. Η περίπτωση είναι παρεμφερής με την προηγούμενη. Εδώ βέβαια θεωρείται ότι παραμένει η γεωμετρία αλλά το εδαφικό υλικό έχει σημαντικά διαφορετικές ιδιότητες σε μικρή απόσταση από την κρίσιμη διατομή. Κάτι τέτοιο μπορεί να ισχύει π.χ. σε ημιβραχώδη πρανή στα οποία ένα μικρό τμήμα για διάφορους γεωλογικούς ή υδρογεωλογικούς λόγους εμφανίζει πολύ μειωμένη αντοχή. (δ)πρανή με φορτία περιορισμένων διαστάσεων στη στέψη. Σ αυτήν την περίπτωση η δισδιάστατη ανάλυση με το φορτίο είναι ως εάν να δέχεται ότι το φορτίο είναι απείρου πλάτους, όπως το πρανές. (ε)εύρεση της αστράγγιστης αντοχής από αντίστροφη ανάλυση κατολίσθησης περιορισμένου πλάτους. Σε αυτή την περίπτωση, που θα αναφερθεί παρακάτω, το λάθος στην αστράγγιστη αντοχή είναι παρεμφερούς τάξης μεγέθους με άλλες περιπτώσεις που εφαρμόζεται διόρθωση στην τιμή της αστράγγιστης αντοχής. Η πρακτική σημασία της περίπτωσης αυτής είναι όταν την αντοχή από αντίστροφη ανάλυση επιχειρούμε να την χρησιμοποιήσουμε σε άλλο πρανές με ίδιο υλικό αλλά άλλη γεωμετρία. 3. ΓΙΑ ΤΟ ΛΟΓΟ ΤΩΝ ΚΡΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Σε κάποιες προσπάθειες ανάπτυξης μεθόδων τρισδιάστατης ανάλυσης ευσταθείας παρατηρείται το αξιοπερίεργο σε ορισμένες περιπτώσεις ο συντελεστής ασφαλείας σε τρεις διαστάσεις να είναι μικρότερος από τον αντίστοιχο συντελεστή ασφαλείας σε δύο διαστάσεις (π.χ. Hovland, 1977, Chen and Chameau, 1983). Κάτι τέτοιο, εκτός του ότι λογικά δεν στέκει, αποδείχτηκε ότι δεν ισχύει (Cavounidis, 1987). Βέβαια πρώτα πρώτα πρέπει να τεθεί το πρόβλημα σωστά και σε συγκεκριμένα πλαίσια: (α) Εφαρμόζονται μέθοδοι οριακής ισορροπίας (β) Ο συντελεστής F min εξάγεται στη κρίσιμη διατομή ενός πρανούς δηλαδή είναι ο ελάχιστος δυνατός συντελεστής βάσει μιας μεθόδου. Δεν είναι ο δισδιάστατος συντελεστής σε κάποια -μη κρίσιμη- διατομή. Με δεδομένη τη γεωμετρία και τις εδαφικές ιδιότητες υπάρχει μόνον ένας F min. (γ) Κάθε τρισδιάστατος συντελεστής ασφαλείας F 3 μπορεί να εκφραστεί ως: + zr dz P( E) ( x, y) F = (1) 3. dz z ( x, y) Όπου R (x,y) και (x,y) είναι αντίστοιχα οι ροπές ( ή δυνάμεις) αντίστασης και κινούσες. P(E) είναι η πρόσθετη αντίσταση λόγω των άκρων. Η εξίσωση (1) σε διακριτοποιημένη μορφή μπορεί να γραφεί ως: ΣR z + P( E) F = () 3 Σ z (δ) Ο συντελεστής F 3min δεν προσδιορίζεται μόνον από την κλίση και τις ιδιότητες του εδάφους. Επιπροσθέτως εξαρτάται από το πλάτος και τη μορφή (τα όρια) της τρισδιάστατης επιφάνειας ολίσθησης. (ε) Η σύγκριση των συντελεστών έχει νόημα όταν ο τρισδιάστατος συντελεστής για πρανή απείρου πλάτους είναι ο ίδιος με τον δισδιάστατο. Αλλιώς μια μη κρίσιμη επιλογή δισδιάστατης ανάλυσης μπορεί προφανώς να δώσει υψηλότερο συντελεστή ασφαλείας από μια κρίσιμη τρισδιάστατη ανάλυση. Δηλαδή έχει νόημα η σύγκριση: F 3min και F min 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος

(στ) Η κρίσιμη επιφάνεια σε τρεις διαστάσεις, εν γένει, δεν εμπεριέχει την κρίσιμη επιφάνεια (γραμμή) σε δύο διαστάσεις. Βάσει των ανωτέρω ζητούμενο είναι να ελεγχθεί αν F 3min F min. Έστω ότι ο F 3min έχει βρεθεί και αντιστοιχεί στην επιφάνεια S 3. Έστω επίσης ότι ο F min αντιστοιχεί στη γραμμή L. Εν γένει η γραμμή L δεν αποτελεί γραμμή της επιφάνειας S 3. Έστω ότι S είναι γραμμή τομής της επιφάνειας S 3 παραλλήλως προς την κίνηση (καθέτως προς τον άξονα περιστροφής) τέτοια που ο συντελεστής F που αντιστοιχεί στην S να είναι ο μικρότερος από όλους τους δισδιάστατους συντελεστές F που i αντιστοιχούν σε γραμμή S σε άλλη διατομή της S 3 (πάντα παράλληλα στην κίνηση). Αυτό σημαίνει ότι: F R Ri i = (3) Στην ανισότητα (3) ο δείκτης (μηδέν) αντιστοιχεί στη γραμμή ολίσθησης S και οι δείκτες i σε οποιαδήποτε άλλη διατομή. R Ri i και γενικά με απλή άλγεβρα: R R + Σ Ri + Όμως: + R Σ i (4) (5) (6) Από το συνδυασμό (3) και (6) προκύπτει: F F (7) 3min Όμως ο F που αντιστοιχεί στη γραμμή S δεν είναι ο ελάχιστος δισδιάστατος συντελεστής. Αντίθετα, όπως έχει οριστεί, ο F min αντιστοιχεί στη γραμμή L που δεν είναι γραμμή της επιφάνειας S 3. Άρα: F min F (8) και βάσει των (7) και (8) F + min Σ Ri Σ i F 3min F 3min δηλαδή ο κρίσιμος δισδιάστατος συντελεστής ασφαλείας, βάσει των ορισμών και συνθηκών που εκτέθηκαν παραπάνω, είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του αντίστοιχου κρίσιμου τρισδιάστατου συντελεστή ασφαλείας. 4. ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 3 4.1 Ψευδοτρισδιάστατες Μέθοδοι Μία πρώτη απόπειρα εισαγωγής της τρίτης διάστασης δίνεται στο κλασικό βιβλίο των Lambe and Whitman (1969). Πρόκειται απλώς για αναλύσεις επί πολλών διατομών και λήψη πρακτικώς του μέσου όρου των δισδιάστατων αναλύσεων ως τρισδιάστατου συντελεστή ασφαλείας. Μια πιο ενδιαφέρουσα επίλυση με συμπερίληψη της τρίτης διάστασης είναι αυτή του Hutchinson (1969). Και πάλι γίνονται αναλύσεις σε πολλές διατομές παράλληλες στην κίνηση, όμως το βάρος της κάθε μιας εξαρτάται από το εμβαδόν -σε κάτοψη- στο οποίο αναφέρονται. Στα δε άκρα λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση που δημιουργείται μεταξύ κινούμενης και ακίνητης μάζας. Συγκεκριμένα στο σκαρίφημα του Σχήματος 1 οι διατομές που γίνεται η δισδιάστατη ανάλυση είναι οι Α, Β, C. Ο τύπος για τον (ψευδο) τρισδιάστατο συντελεστή F 3 είναι: R A + R B + R C + R + A e B e C e M RN F = (9) 3 A A + e B B + e C Ce όπου R η ροπή ή δύναμη αντίστασης στις διατομές ΑΑ, ΒΒ, CC η ροπή ή δύναμη ανατροπής στις διατομές ΑΑ, ΒΒ, CC Α e, B e, C e είναι το εύρος εφαρμογής κάθε τμηματικής δισδιάστατης ανάλυσης και R M, R N είναι οι πλευρικές ροπές ή δυνάμεις αντίστασης. Ένας πρόσφορος τρόπος για την εκτίμηση των R M και R N είναι βάσει των οριζόντιων τάσεων δηλαδή βάσει του Κ ο. Σχήμα 1. Ψευδοτρισδιάστατη ανάλυση κατά Hutchinson Κάτοψη ολισθαίνουσας επιφάνειας Figure 1. Pseudo three dimensional analysis by Hutchinson Plan view of slip surface 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 3

4. Μέθοδοι επέκτασης δισδιάστατων αναλύσεων σε τρεις διαστάσεις Τέτοιες μέθοδοι έχουν διατυπωθεί πολλές και συνεχίζουν να διατυπώνονται. Ένα από τα πρώτα παραδείγματα τέτοιας μεθόδου είναι του Hovland (1977) που ουσιαστικά μετατρέπει την απλή μέθοδο τεμαχίων σε απλή μέθοδο κολωνών κάνοντας ορισμένες (αυθαίρετες) παραδοχές. Οι Chen και Chameau (1983) πρότειναν μέθοδο μετατροπής της απλής μεθόδου Spencer σε τρισδιάστατη πάλι κάνοντας ορισμένες (αυθαίρετες) υποθέσεις. Ο Hungr (1987) πρότεινε μέθοδο που αποτελεί την μετατροπή της απλής μεθόδου Bishop (Bishop Simplified) σε τρισδιάστατη, και πάλι με ορισμένες (αυθαίρετες) υποθέσεις. Κριτική σε αυτή τη δημοσίευση έγινε στο Cavounidis (1988). Εξ άλλου προτάθηκαν και μέθοδοι που συνδυάζουν μέθοδο οριακής ισορροπίας με αναλύσεις με λογισμό των μεταβολών (variational analysis) όπως για παράδειγμα Leshchnsky και Mullet (1988). Μία καλή επισκόπηση διαφόρων μεθόδων μέχρι το 199 εμπεριέχεται στο State -of-the-art Report του J.M. uncan (199). Ως γενική παρατήρηση μπορούμε να πούμε ότι όλες οι μέθοδοι για υλικό c, φ εμπεριέχουν υποθέσεις με κάποιο βαθμό αυθαιρεσίας. Για να γίνουν αποδεκτές οι υποθέσεις και απλοποιήσεις ή πρέπει να προκύπτουν από μία ολοκληρωμένη ανάλυση και να υπάρχει απόδειξη της βασιμότητας των όποιων υποθέσεων και απλοποιήσεων (όπως για παράδειγμα η μέθοδος Bishop Simplified σε σχέση με την Bishop Generalized) ή θα πρεπε με μεγάλο αριθμό περιπτώσεων της πράξης να προκύπτει η βασιμότητα των υποθέσεων και απλοποιήσεων. Κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει στις μεθόδους c, φ και μάλιστα σε ορισμένες από αυτές η απόκλιση ακριβείας είναι προφανής αφού προκύπτει συχνά ότι F > F 3 όπερ άτοπο. 4.3 Παράδειγμα αβάσιμης υπόθεσης Ένα παράδειγμα όπου αυθαίρετη υπόθεση μπορεί να οδηγήσει σε άτοπο αποτέλεσμα δίνεται για την επίλυση των Chen και Chameau (1983). Στο κάτω μέρος της κολώνας έχομε δύναμη Ν κάθετη στη βάση της κολώνας λένε οι Chen και Chameau σε 3 (Σχήμα ). W N 3 1 + tan a xy + tan = (1) a yz και σε W N = (11) 1+ tan a xy λένε λοιπόν άρα N 3 <N ενώ οι κινούσες ροπές λόγω βάρους είναι ίδιες (για μονάδα πάχους της κολώνας). Άρα, λένε, το F 3crit μπορεί να είναι μικρότερο του F crit.. Όμως το N είναι η δύναμη κάθετη στη βάση στην κρίσιμη διατομή όχι σε κάθε διατομή. Σχήμα. Δυνάμεις σε κολώνα στη μέθοδο των Chen and Chameau (1983) Figure. Forces on column according to Chen and Chameau s (1983) method Ας πούμε ότι έχομε τρισδιάστατη επιφάνεια κυλινδρική στο κέντρο με ελλειψοειδή όρια. Τότε N 3 = N (για μονάδα πάχους) στο κεντρικό κυλινδρικό τμήμα. Εκεί α yz = και N 3 = N. Όμως π.χ. στα ελλειψοειδή άκρα όπου α yz δεν υπάρχει το N όπως ορίστηκε. Στο ελλειψοειδές άκρο σε διατομή i το Ν 3i μπορεί ναι είναι μικρότερο του Ν 3 (όπου ο η κρίσιμη διατομή π.χ. τομή κυλίνδρου) αλλά ταυτόχρονα το βάρος W i είναι μικρότερο του W. Αλλιώτικα θα καταλήγαμε σε δισδιάστατο συντελεστή. Ri i R < (1) άρα η διατομή δεν θα ήταν κρίσιμη όπερ αντίθετο με αρχική υπόθεση. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 4

5. ΕΠΙΛΥΣΕΙΣ 3 ΓΙΑ φ u = 5.1 Κύλινδρος με επίπεδα άκρα Έστω κυλινδρική επιφάνεια ολίσθησης πλάτους L και ύψους H (ιδέ Σχήμα 3) σε υλικό σε αστράγγιστες συνθήκες (φ u =, c u σταθερό). Το λ μπορεί να γραφεί αναλυτικά (ιδέ σχετικά σε Gens et al, 1988) είτε για ολισθήσεις ποδός είτε για ολισθήσεις βάσης. Το ίδιο πρόβλημα με γραμμικά μεταβαλλόμενη αντοχή c u με το βάθος επιλύεται αναλυτικά στο Καβουνίδης (1989) και στο Cavounidis and Kalogeropoulos (199). Σχήμα 3. Κυλινδρική επιφάνεια ολίσθησης με επίπεδα άκρα Figure 3. Cylindrical slip surface with plane ends Ο δισδιάστατος συντελεστής ασφαλείας σύμφωνα με την τομή (Σχήμα 4) είναι: M c AQC R R u F = = (13) M W d όπου: M R = ροπές αντίστασης M = κινούσες ροπές W = βάρος d = μοχλοβραχίονας AQC = γραμμή (επιφάνεια) ολίσθησης Σε τρεις διαστάσεις με πλάτος ολισθαίνουσας μάζας L -με επίπεδα άκρα- έχομε: M c AQC R L + M E R u cu F = = (14) 3 M W d L όπου: M E = ροπή εμβαδού κάθε άκρου ως προς τον άξονα περιστροφής, δηλαδή: M F = F 1 + E (15) 3 AQC R L Ήτοι R F = F 1 + λ (16) 3 L όπου M λ = E (17) AQC R Σχήμα 4. Τομή κυλινδρικής επιφάνειας ολίσθησης Figure 4. Section of cylindrical slip surface 5. Κύλινδρος με καμπύλα άκρα Γίνεται η θεώρηση κυλινδρικού μεσαίου τμήματος με καμπύλα άκρα για φ u =, c u = σταθερό. Η περίπτωση επιλύθηκε αριθμητικά (Gens et al 1988) για σειρά καμπύλων άκρων. Σύμφωνα με το Σχήμα 5 η επιφάνεια εκ περιστροφής έχει ένα κυλινδρικό τμήμα μήκους l c και δύο -συμμετρικά- άκρα που προέρχονται από την περιστροφή καμπύλης, μήκους l e το καθένα δηλαδή το συνολικό πλάτος της επιφάνειας ολίσθησης είναι L=l c +l e. Σχήμα 5. Κυλινδρική επιφάνεια με καμπύλα άκρα Figure 5. Cylindrical surface with curved ends Ο άξονας περιστροφής είναι z, η κατεύθυνση κίνησης είναι κατά τον άξονα x και η ακτίνα περιστροφής είναι R. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 5

Ο τρισδιάστατος συντελεστής F 3 δίδεται από την εξίσωση: F c L m ( z) 1 u r = 3 L [ + ( dr / dz) ] γ m ( z) dz d 1/ dz (18) όπου m r (z) η ροπή αντίστασης ανά μονάδα μήκους για κάθε συγκεκριμένη τιμή του z, για c u = 1, m d (z) είναι η κινούσα ροπή για μονάδα μήκους για κάθε συγκεκριμένη τιμή του z, για γ=1, και R η τιμή της ακτίνας για κάθε συγκεκριμένη τιμή του z (ιδέ και Baligh and Azzouz 1975). Η τιμή του dr/dz εξαρτάται από την υπόθεση της συγκεκριμένης επιφάνειας εκ περιστροφής. Χρησιμοποιήθηκαν για άκρα εκ περιστροφής καμπύλες διαφόρων ειδών όπως: 1. Υπερβολή * z / l R = Rmax 1 * 1 + z / l. Ευθεία * = 1 z R Rmax l 3. Εκθετική * exp( z / l ) 1 R = Rmax 1 e 1 4. Παραβολή * R = Rmax [ 1 ( z / l ) ] 5. Έλλειψη * [ 1 ( z / l ] R = Rmax ) 6. Καμπύλες δύναμης * α R = R ( z / l ) [ ] max 1 όπου z * = z l c / R max είναι η ακτίνα του κυλινδρικού τμήματος l o είναι σταθερά που δίνει την τιμή του z * για την οποία η ακτίνα R μηδενίζεται και το α στην περίπτωση των καμπυλών δύναμης (power curves) είναι παράμετρος που δίνει διάφορες θέσεις της καμπύλης. Χρησιμοποιείται για να διατρέξουν οι καμπύλες όλο το χώρο της οικογένειας καμπυλών δύναμης. Στις αναλύσεις το α μπορεί να βελτιστοποιείται για να δίνει τον ελάχιστο F 3. 1 / 6. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ Βάσει των παραπάνω εξισώσεων έγινε αριθμητική επίλυση για διάφορες περιπτώσεις γεωμετρίας και σχήματος των άκρων και βρέθηκε ο κρίσιμος συντελεστής ασφαλείας σε τρεις διαστάσεις. Τα Σχήματα 6 και 7 δίνουν το λόγο του τρισδιάστατου προς τον δισδιάστατο συντελεστή ασφαλείας (F 3 /F ) εν σχέσει με το λόγο πλάτους επιφάνειας ολίσθησης προς ύψος (L/H) για τις διάφορες μορφές των άκρων. Στο Σχήμα 6 πρόκειται για πρανές με κλίση L = 3 o και συντελεστή βάθους =1. Αντίστοιχα στο Σχήμα 7 πρόκειται για κατακόρυφα πρανή και για οποιαδήποτε τιμή του, χωρίς περιορισμό. Παρατηρούμε ότι σ όλες τις περιπτώσεις ο λόγος F 3 /F είναι μικρότερος για τις καμπύλες δυνάμης και μεγαλύτερος για τα επίπεδα άκρα. Δεδομένου ότι ο κρίσιμος δισδιάστατος συντελεστής ασφαλείας παραμένει σταθερός το παραπάνω αντανακλά το γεγονός ότι τα άκρα που δημιουργούνται από την περιστροφή (βελτιστοποιημένης) καμπύλης δύναμης δίνουν το χαμηλότερο κρίσιμο F 3 και αντίστροφα τα επίπεδα άκρα τον υψηλότερο. Σχήμα 6. Σχέση του λόγου συντελεστών ασφαλείας με το λόγο πλάτους προς ύψος του πρανούς για επιφάνειες με κεντρικό κυλινδρικό τμήμα και άκρα διαφόρων ειδών καμπυλών εκ περιστροφής. Περίπτωση =1, γωνία πρανούς i=3 o Figure 6. Relation of the ratio of factors of safety with the ratio of width to slope height for surfaces with cylindrical central part and ends generated by the rotation of curves. Case =1 slope angle i=3 o Αξίζει επίσης να παρατηρηθεί ότι για λόγο πλάτους ολίσθησης (L) προς ύψος μικρότερο του 5 η επιρροή της τρίτης διάστασης είναι 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 6

τουλάχιστον 1% και αυξάνει σε πάνω από 6% στην περίπτωση L/H = 1. Ο λόγος F 3 /F για πολύ μεγάλες τιμές του L/H, δηλαδή για πολύ πλατιά -σε σχέση με το ύψοςολισθαίνουσα επιφάνεια, τείνει προς τη μονάδα, δηλαδή σε πρανή απείρου πλάτους προφανώς ο τρισδιάστατος συντελεστής συμπίπτει με τον δισδιάστατο. Σχήμα 7. Σχέση λόγου συντελεστών ασφαλείας με το λόγο πλάτους προς ύψος πρανούς για κατακόρυφα πρανή με κεντρική κυλινδρική επιφάνεια και άκρα διαφόρων ειδών καμπυλών εκ περιστροφής Figure 7. Relation of the ratio of factors of safety with the ratio of width to slope height for vertical cuts with a central cylindrical surface and ends generated by the rotation of curves Με τις επιλύσεις των εξισώσεων του κεφαλαίου 5 έγιναν και άλλες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Μία βασική είναι ότι όταν το πρανές δεν είναι απείρου πλάτους υπάρχει πεπερασμένος κρίσιμος συντελεστής βάθους, crit, που δίνει τον ελάχιστο F 3 ανεξαρτήτως αν υπάρχει σκληρό στρώμα σε αυτό ή σε μεγαλύτερο βάθος. Υπενθυμίζεται ότι. H είναι η κατακόρυφη απόσταση της στέψης του πρανούς από την οριζόντια εφαπτομένη στην επιφάνεια ολίσθησης, και H είναι το ύψος του πρανούς (κατακόρυφη απόσταση στέψης από τον πόδα). Το αποτέλεσμα αυτό είναι αντίθετο από το αποτέλεσμα των δισδιάστατων αναλύσεων όπου για γωνίες πρανούς μικρότερες των 53 o το crit = και εξηγεί αριθμητικά γιατί δεν σημειώνονται αστοχίες απείρου βάθους. Το Σχήμα 8 παρουσιάζει την μεταβολή του crit με το λόγο L/H στην περίπτωση άκρων από καμπύλες δυνάμης εκ περιστροφής και για διάφορες γωνίες πρανούς. Σχήμα 8. Σχέση κρίσιμου συντελεστή βάθους με το λόγο πλάτους προς ύψος για διάφορες γωνίες i του πρανούς για κυλινδρική επιφάνεια με άκρα εκ περιστροφής καμπυλών δύναμης Figure 8. Relation of critical depth factor with the ratio of width to height for various slope angles i, for cylindrical surface with ends generated by the rotation of power curves 7. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ Στη δημοσίευση Gens et al (1988) γίνεται σύγκριση των αναλυτικών/αριθμητικών επιλύσεων με περιπτώσεις πραγματικών κατολισθήσεων.επιλέχθηκαν 1 κατολισθήσεις με ιδιότητες και γεωμετρία που προσεγγίζουν τα μοντέλα επιφανειών που επιλύθηκαν δηλαδή περιπτώσεις ομογενών, ισότροπων, συνεκτικών πρανών όπου η επιφάνεια ήταν πολύ καλά προσδιορισμένη και πλησίαζε το θεωρητικό δηλαδή κυλινδρική με καμπύλα άκρα. Στο Σχήμα 9 παρουσιάζεται ο λόγος F 3 /F σε σχέση με το L/H για πραγματικά πρανή (4 περιπτώσεις) με κλίση από 6 ο έως 9 ο και στο Σχήμα 1 για πρανή με κλίση περί τις 3 ο (3 ο ±4 ο ) και τιμή από 1 έως (6 περιπτώσεις). Η αντιστοίχιση της αρίθμησης των περιπτώσεων με τα συγκεκριμένα πρανή παρουσιάζεται στη δημοσίευση Gens et al (1988). Γενικά παρατηρείται μια αρκετά καλή συσχέτιση με την αριθμητική επίλυση. Στις 4 περιπτώσεις με κλίση από 6 ο έως 9 ο ο τρισδιάστατος συντελεστής ήταν μεγαλύτερο του δισδιάστατου από 15% έως 3%. Στις 6 περιπτώσεις με κλίση πρανούς περί τις 3 ο ο τρισδιάστατος συντελεστής F 3 είναι μεγαλύτερος του F3 από 3% έως 3%. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 7

συντελεστής F για τρεις διατομές και η αντίσταση των άκρων βάσει του Κ ο - ιδέ Σχήμα 11. Περισσότερα για την ανάλυση αυτή έχουν παρουσιαστεί στο Παντελίδης και Καβουνίδης (1997). Σχήμα 9. Σχέση λόγου συντελεστών ασφαλείας με το λόγο πλάτους προς ύψος βάσει στοιχείων πραγματικών αστοχιών σε πρανή με κλίση από 6 ο έως 9 ο Figure 9. Relation of the ratio of factors of safety with the ratio of width to height according to real failures of slopes with angles 6 o to 9 o Φωτογραφία 1. Η κατολίσθηση της Μαλακάσας Λήψη από ελικόπτερο Photograph 1. The Malakassa Landslide View from helicopter Σχήμα 1. Σχέση λόγου συντελεστών ασφαλείας με το λόγο πλάτους προς ύψος βάσει στοιχείων πραγματικών αστοχιών σε πρανή με κλίση από 3 ο ±4 ο και για =1, 1.5, Figure 1. Relation of the ratio of factors of safety with the ratio of width to height according to real failures for slopes with angles 3 o ± 4 ο and for =1, 1.5, Σε περιπτώσεις στην Ελλάδα και για c, φ υλικά εξετάστηκε κατά τη μελέτη η επίδραση της τρίτης διάστασης χρησιμοποιώντας την (ψευδο) τρισδιάστατη μέθοδο του Hutchinson. Στην περίπτωση της κατολίσθησης της Μαλακάσας (Φωτ. 1) χρησιμοποιήθηκε ο Σχήμα 11. Τρισδιάστατη μέθοδος υπολογισμού συντελεστή ασφαλείας στην κατολίσθηση της Μαλακάσας Figure 11. Three dimensional method of analysis of factor of safety for the Malakassa landslide Στην περίπτωση της κατολίσθησης στην ευρύτερη περιοχή Περιστερίου στην Εγνατία Οδό τμήμα.4 υποπεριοχή Γ1 (Φωτ. ) και πάλι χρησιμοποιήθηκε η ίδια μέθοδος, τρεις διατομές και η αντίσταση των πλευρικών άκρων (Σχήμα 1). Χαρακτηριστικά αναφέρεται ότι για c r = η παραμένουσα γωνία φ r βρέθηκε στις τρεις διατομές μετά από αντίστροφες αναλύσεις 11.8 ο, 13.7 ο και 15 ο. Η αντίστροφη ανάλυση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Hutchinson έδωσε φ r =13. ο. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 8

Φωτογραφία. Κατολίσθηση περιοχής.4, Γ1 της Εγνατίας Οδού Photograph. Landslide of area.4, Γ1 of Egnatia Highway Σχήμα 1. Κάτοψη επιφάνειας ολίσθησης περιοχής.4 Γ1 της Εγνατίας Οδού με τις εξετασθείσες διατομές Figure 1. Plan view of the slip surface of area.4 Γ1 of Egnatia Highway with the crosssections examined 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η εξέταση των αναλύσεων σε τρεις διαστάσεις οδηγεί κατ αρχάς στο συμπέρασμα ότι για υλικά c, φ -που είναι το συνηθέστερο- οι αναλύσεις που υπάρχουν δεν παρέχουν εχέγγυα ορθότητας. Αντίθετα για περιπτώσεις φ u =, c u μπορούν να χρησιμοποιηθούν -αν υπάρχει καλή γεωμετρική προσέγγιση- και μάλιστα παρέχονται και διαγράμματα (Gens et al) για απ ευθείας εύρεση του κρίσιμου F 3. Από τις αναλύσεις μπορεί κανείς να εξάγει πολλά συμπεράσματα τα κυριότερα των οποίων είναι: Όσο αυξάνει ο λόγος πλάτους επιφανείας ολίσθησης προς ύψος (L/H) τόσο μειώνεται η επίδραση της τρίτης διάστασης. Πάντως για λόγο L/H μικρότερο του 5 η επιρροή είναι σημαντική. Υπάρχει κρίσιμος συντελεστής βάθους, crit, πέραν του οποίου δεν μπορεί να πάει η επιφάνεια ολίσθησης έστω και αν δεν περιορίζεται. Οι κρίσιμες επιφάνειες βάσει των τρισδιάστατων αναλύσεων τείνουν να είναι πιο ρηχές από τις αντίστοιχες των δισδιάστατων αναλύσεων. Υπάρχει τάση για στενότερες κατολισθήσεις αυξανόμενης της γωνίας του πρανούς. Το λάθος από την εξαγωγή του c u από δισδιάστατη ανάστροφη ανάλυση ολίσθησης για χρήση αλλού σε ευθεία ανάλυση μπορεί να είναι σημαντική. Ένας μέσος όρος λάθους από υπολογισμούς σε υπαρκτές κατολισθήσεις είναι 14%. Είναι χρήσιμη η εφαρμογή έστω ψευδοτρισδιάστατης ανάλυσης σε περιπτώσεις που οι διαστάσεις της κατολίσθησης είναι τέτοιες που υπάρχει σημαντική επιρροή των άκρων. Τελικό συμπέρασμα είναι ότι στις αναλύσεις μας δεν πρέπει να προσπερνάμε την τρίτη διάσταση αλλά συνειδητά να αποφασίζομε αν έχει νόημα ο παραπάνω κόπος. 9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Baligh, M.M. and Azzouz, A.S. (1975), End effects on stability of cohesive slopes, Journal Geotechnical Engineering ivision, ASCE 11, GT11, p.p. 115-1117. Cavounidis, S. (1985). Geologic aspects of slope stability problems, Proceeding 11 th Int. Conf. Soil Mechanics and Foundation Engineerging, San Francisco, Vol. 5, p.p. 813-818. Cavounidis, S., (1987). On the ratio of factors of safety in slope stability analyses, Geotechnique 37, No., p.p. 7-1. Cavounidis, S. (1988). iscussion of An extension of Bishop s simplified method of slope stability analysis to three dimensions by O. Hungr, Geotechnique 38, No.1, p.p. 155-156. Cavounidis, S. and Kalogeropoulos A. (199) End effects on the stability of cuts in 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 9

normally consolidated clays, Rivista Italiana di Geotechnica, No., p.p. 85-93. Chen, R.H. and Chameau, J.-L. (1983) Three dimensional limit equilibrium analysis of slopes, Geotechnique 33, No.1, p.p. 31-4. Γάκης, Α. και Τσότσος, Στ. (1) «Συγκριτική Θεώρηση Δισδιάστατων και Τρισδιάστατων Αναλύσεων Ευσταθείας Πρανών», Πρακτικά 6 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Γεωτεχνικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (υπό έκδοση). uncan, J. M. (199) State -of-the-art: Static Stability and eformation Analysis in Stability and Performance of Slopes and Embankments Geotechnical Special Publication No. 31, ASCE, Vol. 1, pp. - 66. Gens, A., Hutchinson, J.N. and Cavounidis, S. (1988), Three-dimensional analysis of slides in cohesive soils, Geotechnique 38, No.1, p.p. 1-3. Hovland, H.T. (1977), Three dimensional slope stability analysis method, Journal Geotechnical Engineering ivision, ASCE 13, GT9 p.p. 971-986. Hungr, O. (1987). Extension of Bishop s simplified slope stability analysis to three dimensions. Geotechnique 37, p.p. 113-117. Hutchinson J.N. (1969), Lecture Notes, Imperial College, U.K. Καβουνίδης, Σ. (1989). «Τρισδιάστατη ανάλυση ευστάθειας συνεκτικών πρανών με γραμμικά μεταβαλλόμενη αντοχή»,τεχνικά Χρονικά Α Τόμος 9, Τεύχος 3, σ. 3-36. Lambe, T.W. and Whitman, R.V. (1969). Soil Mechanics, John Wiley and Sons. Inc. Leshchinsky,., Baker, R. and Silver M.L. (1985) Three imensional Analysis of Slope Stability, Int. Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 9, no., pp. 199-3. Leshchinsky,. and Mullet, T.L. (1988) Stability of vertical corner cuts, Proceedings, 6 th Int. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics, Innsbruck, Vol., pp. 149-156. Παντελίδης, Π. Ι. και Καβουνίδης, Σ.Κ. (1997). Πρακτικά 3 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Γεωτεχνικής Μηχανικής, Τόμος, σ. 61-67. Ugai, K. (1985) Three-dimensional stability analysis of vertical cohesive slopes, Soils and Foundations 5, No3, pp. 41-48. Ugai, K. (1988). Three dimensional slope stability analysis by slice methods, Proceeding 6 th Int. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics, Innsbruck,, p.p. 1369-1374. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 1