ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Transcript

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Α. Η απόσταση της εικόνας του μιγαδικού από την αρχή, ονομάζεται μέτρο και συμβολίζεται με 1 = (A = + y 1 1 Α = 1 = + y Α( ΑΠΣΤΑΣΗ ΔΥ ΣΗΜΕΙΩΝ Α( 1, y 1, B(, y : (ΑΒ = ( + ( y y 1 1 Αν 1 = 1 + i y 1, = + i y μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β. (ΑΒ = 1 1 = ( + ( y y 1 1 ΡΙΣΜΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΥ ΤΠΥ Σε ένα επίπεδο. Μεσοκάθετο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζουμε το επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα Α, Β του τμήματος. Δηλαδή, για τα σημεία Μ έχουμε (ΜΑ = (ΜΒ Κύκλος ονομάζεται το επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από σταθερό σημείο Κ. Το σταθερό σημείο Κ ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η απόσταση ρ των σημείων Μ από το Κ ονομάζεται ακτίνα του κύκλου Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤ ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΠΙΠΕΔ 1 = 1 + i y 1, = + i y Α( 1, y 1, B(, y, M(, y (MA = (MB ή = Το Μ τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Αν K( 0, y 0 η εικόνα του σταθερού σημείου του μιγαδικού 0 = 0 + i y 0 και Μ(, y τυχαίο σημείο του κύκλου με = + i y, τότε (ΜΚ = ρ Δηλαδή 0 = ρ ή ( 0 + (y y 0 = ρ Α( 1 ΣΧΗΜΑ MΚ = 0 = ρ Κ( 0 MA = MB M( B( ( 0 + (y y 0 = ρ K( 0, y 0, M(, y M( Παραδείγματα 1. Η εξίσωση i = i, παριστάνει την μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(, 1 και Β(0, 1. Η εξίσωση = + i, παριστάνει την μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(, 0 και Β(0, 3. Η εξίσωση = 3, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(0, και ακτίνα ρ = 3 4. Η εξίσωση + 3i =, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(, 3 και ακτίνα ρ = 5. Η εξίσωση + 5 i = 1, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(0, 5 και ακτίνα ρ = 1

2 Παρατήρηση Η ανίσωση 1 > ρ (ΜΜ 1 > ρ ( τα σημεία Μ(, y βρίσκονται εκτός του κύκλου Η ανίσωση 1 < ρ (ΜΜ 1 < ρ ( τα σημεία Μ(, y βρίσκονται εντός του κύκλου Η ανίσωση ρ 1 < R ρ (ΜΜ 1 < R ( τα σημεία Μ(, y βρίσκονται εντός του δακτυλίου που ορίζουν οι κύκλοι 1 = ρ και 1 = R 1 > ρ 1 < ρ ρ < 1 < R ρ ρ R ρ ΑΛΛΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ (ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΡΙΣΜΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΥ ΤΠΥ Έλλειψη ονομάζουμε το επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερό. Τα δύο σταθερά σημεία ονομάζονται Εστίες τα Έλλειψης. Υπερβολή ονομάζουμε το επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερό. Τα δύο σταθερά σημεία ονομάζονται Εστίες της Υπερβολής. Παραβολή ονομάζουμε το επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από σταθερή (δ και από σταθερό σημείο Ε. Η σταθερή ευθεία ονομάζεται διευθετούσα και το σταθερό σημείο Εστία της παραβολής. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤ ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΠΙΠΕΔ Αν Μ(, y είναι η εικόνα του μιγαδικού = + i y, Ε(γ, 0, Ε ( γ, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 = γ + i 0 και = γ + i 0 αντίστοιχα τότε ισχύει ΜΑ + ΜΒ = α 1 + = α. (εξίσωση της έλλειψης στο Μιγαδικό επίπεδο Αν Μ(, y είναι η εικόνα του μιγαδικού = + i y, Ε(γ, 0, Ε ( γ, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 = γ + i 0 και = γ + i 0 αντίστοιχα τότε ισχύει ΜΑ ΜΒ = α 1 = α. (εξίσωση της έλλειψης στο Μιγαδικό επίπεδο Αν Μ(, y είναι η εικόνα του μιγαδικού = + i y, και p p Ε(, 0, (δ: = Όπου Ε η εικόνα του μιγαδικού 1 = p + i 0 και τότε ισχύει ΜΑ = d(μ, Ε p 1 = +. (εξίσωση της παραβολής στο Μιγαδικό επίπεδο Έλλειψη α y β + = 1 Α ( α,0 Υπερβολή α y β = 1 Ε ( γ,0 ΣΧΗΜΑ Β(0,β Ε ( γ,0 Ε(γ,0 Β (0,β Α ( α,0 Παραβολή y = p (δ: χ = p Α(α,0 Ε(γ,0 γ = α β Ε( p,0 Α(α,0 γ = α β

3 Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού = + i y,, y R, για τους οποίους ισχύει η σχέση ΜΑ + ΜΒ = 10, όπου Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών 1 = 3 και = 3 ΜΑ + ΜΒ = = 10 + i y i y + 3 = 10 ( 3 + i y + ( i y = 10 ( ( ( ( 3 + y = y ( ( 3 + y y = 10 ( 3 y ( 10 ( 3 y + = y = y y y = + ( ( y = y = y = y + = 1, έλλειψη με α = 5, β = 4, γ = Παράδειγμα Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού = + i y,, y R, για τους οποίους ισχύει η σχέση ΜΑ ΜΒ = 8, όπου Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών 1 = 5 και = 5 Εργαζόμαστε με ανάλογο τρόπο, όπως το προηγούμενο παράδειγμα και έχουμε : ΜΑ ΜΒ = 8 1 = 8 + i y 5 + i y + 5 = 8 y Και μετά από πράξεις καταλήγουμε = 1, υπερβολή με α = 4, β = 3, γ = Σχόλιο Τα δύο παραπάνω παραδείγματα μπορούν να διατυπωθούν και αντίστροφα Να βρεθεί ο Γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών = + i y,, y R που ικανοποιούν τις σχέσεις (α = 10 και (β = 8. Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, αν ισχύει η μιγαδική σχέση = Re( +. = Re( + = + = + ( y ( ( + = y = y = 4 y = 8, παραβολή με παράμετρο p =. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, αν ισχύει 1 Re ( + = Im ( + 1 (1 Με πράξεις εύκολα διαπιστώνουμε ότι + = ( y. πότε η σχέση (1 γράφεται : 1 Re ( + = Im ( + 1 y = y + 1 = y + y + 1 = (y + 1 = ± (y +1 δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι ένα ζεύγος κάθετων ευθειών.

4 Παράδειγμα 5 Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων τις εικόνες των μιγαδικών 1 = 6 + i 0 και = 3 + i 0 είναι ίσος με το. (Απολλώνιος Κύκλος ΜΑ = ΜΑ = ΜΒ 1 = 6 = = ΜΒ ( 6 ( 6 4 ( 3 ( 3 = + + ( y = 36. καταλήγουμε σε κύκλο με κέντρο Κ( 6, 0 και ακτίνα ρ = 6. Παράδειγμα 6 Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, για τα οποία ισχύει = 5. Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία του συμπεράσματος. ( ( ( = 5 ( y y ( y ( y = 5 y 8 6 y = = 5 y y y = = 0 ( + y =. y y y = 5 MA + MB = AB Η σχέση μας θυμίζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Επειδή το σημείο Μ είναι μεταβλητό, βλέπει την υποτείνουσα ΑΒ υπό ορθή γωνία. Άρα περιγράφει κύκλο με διάμετρο την ΑΒ και το κέντρο αυτού του κύκλου είναι το μέσον της 3 ΑΒ, δηλαδή το σημείο Κ, και η ακτίνα του κύκλου είναι το μισό του ΑΒ, ρ = 5. B( 3,0 K 5 A(4,0 ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν η εικόνα του μιγαδικού = + i y,, y R, κινείται στην περιφέρεια κύκλου με κέντρο το + i (0, 0 και ακτίνα ρ = 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού w με w =, όπου -i i. + i Ισχύει ότι = 1. ο μιγαδικός w = w ( i = + i w = i + i w -i w + 1 (w 1 = i (1 + w = i w 1 = w + 1 w + 1 i 1 = i w 1 w 1 w + 1 = 1 w + 1 = w 1. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η w 1 μεσοκάθετος ευθεία στο τμήμα ΑΒ, όπου Α(1, 0 και Μ( 1, 0, άρα η ευθεία κατακόρυφη ευθεία = 0. (Δηλαδή ο w πρέπει να είναι φανταστικός

5 ΑΣΚΗΣΗ Αν η εικόνες του μιγαδικού αριθμός w είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το + 16 (0, 0 και ακτίνα ρ = 4, και ισχύει w =. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w = 4 = = = ( + 16 ( + 16 = 16 ( 4 ( = 4 Άρα οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο (0, 0, ακτίνα ρ = 1. ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού που περιγράφονται από την εξίσωση + 3 = = 1 + = 1 + = 1 + = 3 Άρα οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Κ 0, και ακτίνα ρ = 1. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις (α. + 5 = 6 (β. 5 = 1 (α. Αν Μ(, y η εικόνα του μιγαδικού = + i y Και Α(, 0, Β(5, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 =, = 5 Η απόσταση ΜΑ =, η απόσταση ΜΒ = 5 Η σχέση γράφεται + 5 = 6 ΜΑ + ΜΒ = 6, είναι έλλειψη Με μεγάλο άξονα α = 6 α = 3, εστιακή απόσταση γ = 5 = 3 με κέντρο Κ 5 +,0 = Κ 7,0. άρα η εξίσωσή της έλλειψης είναι 7 y + = 1, διότι β 9 = α γ = 9 = (β. Αν Μ(, y η εικόνα του μιγαδικού = + i y,, y R Και Α(, 0, Β(5, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 =, = 5 Η απόσταση ΜΑ =, η απόσταση ΜΒ = 5 Η σχέση γράφεται + 5 = 6 ΜΑ ΜΒ = 1, ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κλάδος υπερβολής.με απόσταση κορυφών α = 1 α = 1, εστιακή απόσταση γ = 5 = 3, και κέντρο Κ 7,0.

6 7 y Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι = 1, με β = Επειδή 5 4. Η υπερβολή έχει μόνον έναν κλάδο. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού = + i y, που ικανοποιούν την εξίσωση + i = +. + i i = i = + + i = ( + ( ( i + i + 4 = i ( = 4 = y + y = y + y = y = 0 = 0. ΑΣΚΗΣΗ 6 1 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών αριθμών, αν ο αριθμός w = + είναι πραγματικός. 1 1 w R w= w + = + + = 0 1 = 0. Άρα οι εικόνες του μιγαδικού είναι όλα τα σημεία του άξονα των ( ( πραγματικών αριθμών και τα σημεία του κύκλου με κέντρο το και ακτίνα ρ = 1 ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω = + i y, με, y R και y = 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w = στο μιγαδικό επίπεδο. Έστω w = α + i β, με α, β R, ισχύει w = α + i β = y + i y α = y α = y = k + i, όπου k = y. β = y β = Άρα οι εικόνες του μιγαδικού w είναι όλα τα σημεία της μορφής Μ(κ, Δηλαδή σημεία της οριζόντιας ευθείας y =. ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν μιγαδικός = + i y, με, y R, ώστε = 1, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, y όταν ισχύει η σχέση : + i y = + i. = 1 = 1 = 1 Ισχύει : + i y ( + i y + i y = + i = = i i ( + i y = 1 ( + y = 1. πότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 0, ακτίνα ρ = 1

7 ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει ότι των εικόνων του μιγαδικού = + i y, όπου, y R. Έστω = + i y, με, y R. Τότε έχουμε = 17 ( y i ( yi i ( ( + 4 i + 3 = 17, τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος = 17 + y y = y + 5 = 0. ευθεία. ΑΣΚΗΣΗ 10 Ποιοι μιγαδικοί αριθμοί ικανοποιούν την σχέση i 6. Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία. Έστω Μ η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού = + i y, με, y R. Και έστω K( 4, η εικόνα του μιγαδικού 0 = 4 i. Η εξίσωση i = 4 MK = 4, παριστάνει γεωμετρικά τα σημεία του κύκλου με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ = 4. Η εξίσωση i = 6 MK = 6, 6 4 παριστάνει γεωμετρικά τα σημεία του κύκλου με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ = 6. Η σχέση που μας δίδεται i 6 4 MK 6, περιγράφει όλα τα σημεία που ορίζονται μεταξύ των δύο κύκλων. (δηλαδή, του κυκλικού δακτυλίου. ΑΣΚΗΣΗ 11 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών οι οποίοι ικανοποιούν την 1 μετρική σχέση : + =, με = = = = + 1= = 0 = 1 Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0 και ακτίνα ρ = 1. + = ( ΑΣΚΗΣΗ 1 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού = + i y, με, y R ώστε να ισχύει 4 = = = 30 = ( 4 ( 4 30

8 ( + = ( y ( y = 5 y y = 5 + = 1. Έλλειψη με α = 10, β = 6, γ = ΑΣΚΗΣΗ 13 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις (α. ( ( + + = 0 (β. i + + i = 4 ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = + i y, όπου, y R και ικανοποιούν τις ισότητες (α. i + 1 = (β. + i = + + i = 0 (γ Re( 15 = 0 (δ. ( Πολυχρονιάδης Α. Νικόλαος