Κ. ΜΟΡΦΙ ΗΣ 1, Α. Μ. ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ι. Ε. ΑΒΡΑΜΙ ΗΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας 5 7 Νοεµβρίου, 2008 Άρθρο 1791 Η επιρροή της διεύθυνσης των σεισµικών φορτίων επί του οπλισµού κάµψης κατά την ανάλυση κατασκευών Ο/Σ µε την απλοποιηµένη φασµατική µέθοδο Influence of the seismic forces' orientation on the fleural reinforcement of R/C buildings analzed b the lateral force procedure Κ. ΜΟΡΦΙ ΗΣ 1, Α. Μ. ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ι. Ε. ΑΒΡΑΜΙ ΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία µελετάται η επιρροή της διεύθυνσης των οριζόντιων σεισµικών φορτίων επί του απαιτούµενου διαµήκους οπλισµού κάµψης κατά την ανάλυση κατασκευών Ο/Σ µε την απλοποιηµένη φασµατική µέθοδο. Σύµφωνα µε τους αντισεισµικούς κανονισµούς τα οριζόντια στατικά σεισµικά φορτία λαµβάνονται παράλληλα µε τους άξονες της κατασκευής, οι οποίοι όµως ενδέχεται να µην υπάρχουν ή να µην είναι µονοσήµαντα προσδιορίσιµοι. Έγιναν εκτεταµένες παραµετρικές αναλύσεις σε ένα ευρύ φάσµα κτιρίων (συµµετρικά, ασύµµετρα, µε και χωρίς ορθογωνική διάταξη των αντισεισµικών στοιχείων). Μελετήθηκε η απόκριση λόγω της ταυτόχρονης δράσης των δύο οριζόντιων σεισµικών συνιστωσών για γωνίες της διέγερσης που µεταβάλλονται από 0 ο έως 180 ο σε σχέση µε τους άξονες της κατασκευής. Αποδείχτηκε ότι η απόκριση ενός κτιρίου είναι ανεξάρτητη από τη διεύθυνση των σεισµικών φορτίων µόνο στην περίπτωση κατά την οποία για οιαδήποτε διεύθυνση διέγερσης α ισχύει η ανίσωση: Τ 1 < Τ α < Τ 2 (όπου Τ α η θεµελιώδης ασύζευκτη ιδιοπερίοδος της κατασκευής κατά τη διεύθυνση που σχηµατίζει γωνία α µε τον άξονα του γενικού συστήµατος αναφοράς και Τ 1, Τ 2 οι ιδιοπερίοδοι που οριοθετούν το σταθερό τµήµα του φάσµατος σχεδιασµού των κανονισµών). Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η µεταβολή της απόκρισης για τις µελετηθείσες περιπτώσεις κτιρίων µπορεί να φθάσει έως και το 29%. ABSTRACT : In the present paper the influence of the seismic incident angle on structural response in the contet of the lateral force method of analsis, is investigated. According to current seismic codes, the horizontal static seismic forces are applied along the structural aes, provided that can be clearl identified. An etensive parametric stud is carried out. A wide range of buildings (smmetric, asmmetric, with and without orthogonal arrangement of their resisting elements) are analsed. The response is computed due to the simultaneous action of the two horizontal seismic components for a series of different angles of seismic incidence. It is proved that, in general, the orientation of the seismic action ma affect the maimum response up to 29%. The onl case in which the structural response does not depend on the loading direction is that of structures which fulfill the criterion Τ 1 <Τ α <Τ 2 for an value of α. In this relation α is the angle of incidence, Τ α is the uncoupled fundamental period of the structure along the α-direction and T 1, Τ 2 are the periods which determine the limits of the constant spectral acceleration branch. 1 ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταδιδακτορικός ερευνητής, email: morfidis@tol.com.gr 2 Αν. Καθ., Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, email: minak@civil.auth.gr 3 Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, email: avram@civil.auth.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για τη σεισµική ανάλυση κανονικών κτιρίων όλοι οι σύγχρονοι Αντισεισµικοί Κανονισµοί επιτρέπουν τη χρήση της Απλοποιηµένης Φασµατικής Μεθόδου (ΑΦΜ) αντί της ακριβέστερης υναµικής Φασµατικής Μεθόδου ( ΦΜ), η οποία είναι γενικής εφαρµογής. Σύµφωνα µε την ΑΦΜ, η χρονικά µεταβαλλόµενη σεισµική δράση προσοµοιώνεται κατά κανόνα µε οριζόντια στατικά φορτία, οπότε κατά την ανάλυση ενός κτιρίου ως χωρικού φορέα (που είναι το σύνηθες στην ελληνική δοµική πράξη) ανακύπτει - µεταξύ άλλων - το εξής σηµαντικό ερώτηµα: Σε ποια διεύθυνση θα πρέπει να εφαρµοστούν τα οριζόντια σεισµικά φορτία; Σύµφωνα µε τους σύγχρονους κανονισµούς (π.χ. EC8, FEMA 356, NEHRP, UBC) τα κτίρια πρέπει να ελέγχονται και να διαστασιολογούνται, µε τέτοιο τρόπο ώστε να εξασφαλίζονται έναντι της δυσµενέστερης απαίτησης. Αυτό θεωρείται γενικώς ότι επιτυγχάνεται, ανεξάρτητα από τη µέθοδο ανάλυσης ( ΦΜ ή ΑΦΜ), αν εφαρµόσουµε τα σεισµικά φορτία ανεξάρτητα σε δύο οριζόντιες και ορθογωνικές (δηλαδή κάθετες µεταξύ τους) διευθύνσεις και εν συνεχεία συνδυάσουµε τις δύο αποκρίσεις µε κάποιον κανόνα χωρικής επαλληλίας (SRSS ή ποσοστιαίοι συνδυασµοί). Όσον αφορά όµως στον προσανατολισµό των δύο σεισµικών συνιστωσών, οι επιταγές των διαφόρων κανονισµών συµπίπτουν µόνο όσον αφορά στη ΦΜ, ενώ για την ΑΦΜ ούτε ταυτόσηµες είναι, ούτε επαρκώς σαφείς ούτε πάντοτε προς την πλευρά της ασφάλειας. Στα πλαίσια της ΦΜ αρκετοί ερευνητές (Smeb & Der Kiureghian 1985, Αναστασιάδης & Αβραµίδης 1992, Anastassiadis 1993, Lopez & Torres 1997, Avramidis & Anastassiadis 1998, Lopez et al 2000, Anastassiadis et al 2002) µελέτησαν το πρόβληµα της επιρροής της διεύθυνσης της διέγερσης επί των µεγεθών απόκρισης µε βάση το µοντέλο Penzien- Watabe (1975), δηλαδή θεωρώντας τις συνιστώσες της εδαφικής κίνησης ως στατιστικά ασυσχέτιστες, και κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι η µέγιστη τιµή της απόκρισης είναι ανεξάρτητη από τη διεύθυνση της διέγερσης όταν οι δύο οριζόντιες συνιστώσες εκφράζονται µε το ίδιο φάσµα και εφαρµόζονται ταυτόχρονα. Για τον λόγο αυτόν ο ΕΑΚ αναφέρει (παράγρ. 3.1.1[4]) ότι κατά την εφαρµογή της ΦΜ οι δύο οριζόντιες και ορθογωνικές συνιστώσες του σεισµού µπορούν να έχουν οποιοδήποτε προσανατολισµό ως προς την κατασκευή. Όσον όµως αφορά στην ΑΦΜ, δεν υφίσταται αντίστοιχος κανόνας που να τεκµηριώνεται ερευνητικά. Οι αντισεισµικοί κανονισµοί συνιστούν γενικώς κατά την εφαρµογή της ΑΦΜ τη θεώρηση των οριζόντιων σεισµικών φορτίων κατά τη διεύθυνση των κυρίων διευθύνσεων (αξόνων) του κτιρίου, χωρίς όµως (πλην του ΕΑΚ) να καθορίζουν πάντοτε µε σαφήνεια τον τρόπο προσδιορισµού τους και αφήνοντας να εννοηθεί ότι πρόκειται για τους κατασκευαστικούς άξονες του κτιρίου. Έτσι, για κτίρια µε αντισεισµικά στοιχεία τοποθετηµένα σε ορθογωνικό κάναβο, οι κύριες διευθύνσεις θεωρούνται συνήθως παράλληλες µε τις γραµµές του κανάβου (EC8, NEHRP), ενώ για κτίρια χωρίς ορθογωνική διάταξη οι δύο διευθύνσεις ανάλυσης επιλέγονται στην πράξη κατά την κρίση του εκάστοτε µελετητή, χωρίς να διερευνάται η περίπτωση άλλων, ενδεχοµένως δυσµενέστερων, διευθύνσεων. Συνεπώς έχει όχι µόνο θεωρητικό, αλλά και άµεσο πρακτικό ενδιαφέρον η µελέτη της επιρροής της διεύθυνσης των σεισµικών φορτίων επί των µεγεθών απόκρισης και, εφόσον πρόκειται για κτίρια Ο/Σ, επί του τελικώς απαιτούµενου οπλισµού. 2

Στην παρούσα εργασία µελετάται µε τη βοήθεια µιας σειράς παραµετρικών αναλύσεων η επιρροή της διεύθυνσης της διέγερσης επί του διαµήκους οπλισµού κάµψης κατά την εφαρµογή της ΑΦΜ. Μελετώνται συµµετρικά και ασύµµετρα κτίρια Ο/Σ µε και χωρίς ορθογωνική διάταξη των αντισεισµικών τους στοιχείων. Κάθε κτίριο µελετάται για γωνία της διέγερσης που µεταβάλλεται από 0 ο έως 180 ο µε βήµα ο. Για κάθε γωνία γίνεται σεισµική ανάλυση και υπολογίζεται ο απαιτούµενος οπλισµός. Τα αποτελέσµατα των αναλύσεων αποδεικνύουν ότι στη γενική περίπτωση ο απαιτούµενος οπλισµός κάµψης επηρεάζεται από τη διεύθυνση εφαρµογής των σεισµικών φορτίων και ότι η µέγιστη τιµή του προκύπτει γενικώς για διεύθυνση διέγερσης που δεν συµπίπτει µε τους κατασκευαστικούς άξονες. ΜΕΛΕΤΗΘΕΝΤΕΣ ΦΟΡΕΙΣ Μελετήθηκαν τα παρακάτω περιγραφόµενα τέσσερα κτίρια Ο/Σ µε κατηγορία σκυροδέµατος C20/25 (Ε=2.9 10 7 kn/m 2, ν=0.2, ειδικό βάρος γ=25kn/m 3 ) και κατηγορία χάλυβα S400. Το συνεργαζόµενο πλάτος των δοκών υπολογίστηκε µε βάση τον ΕΚΟΣ και οι ιδιότητες των διατοµών όλων των στοιχείων ελήφθησαν κατά την ανάλυση µειωµένες µε βάση τον ΕΑΚ. 3-ώροφο ΑΣύµµετρο κτίριο µε Τ i στη Σταθερή περιοχή του φάσµατος (3ΑΣΤiΣ) Η κάτοψη του κτιρίου δίνεται στο Σχήµα 1. To ύψος του ισογείου είναι h ισ =4m και των ορόφων h=3m. Όλες οι δοκοί έχουν διατοµή 25/60, ενώ οι διατοµές των υποστυλωµάτων του ισογείου είναι 50/50, του 1 ου ορόφου 45/45 και του 2 ου 40/40. Το κτίριο βρίσκεται σε ζώνη σεισµικής επικινδυνότητας Ι (α=0.16) και η κατηγορία εδάφους είναι Α (Τ 1 =0.1, Τ 2 =0.4 sec). C7 BX5 C8 BX6 C9 q=3.5 θ=1 5.00 BY2 Π3 16 BY4 Y II Π4 16 BY6 ζ=5% γ =1 Ι 8.00 M F θ F X I BX3 e TΧ = 0.5125 BX4 C4 C5 C6 3.00 BY1 Π1 16 BY3 Π2 16 BY5 C1 BX1 C2 BX2 C3 4.00 10.00 6.00 Σχήµα 1. Κάτοψη 3-ώροφου ασύµµετρου κτιρίου µε T i στη σταθερή περιοχή του φάσµατος (3ΑΣ ΤiΣ) 3

5-ώροφο Συµµετρικό κτίριο µε T i στον Κατιόντα κλάδο του φάσµατος (5ΣΤiK) Η κάτοψη του κτιρίου δίνεται στο Σχήµα 2. Το ισόγειο έχει ύψος h ισ =5m και οι όροφοι h=3.2 m. Οι κατά Χ δοκοί έχουν διατοµή 25/60. Τα υποστυλώµατα (πλην των C3, C8, C7, C12 που δίνονται στο σχήµα) έχουν διατοµή 45/45. Οι διατοµές των τοιχωµάτων κατά Χ και κατά Y είναι 25/200. Το κτίριο βρίσκεται σε ζώνη σεισµικής επικινδυνότητας ΙΙ (α=0.24) και η κατηγορία εδάφους είναι Α (Τ 1 =0.1, Τ 2 =0.4 sec). Ο συντελεστής q θεωρήθηκε ίσος µε 2.5. 13.5 5.00 3.50 5.00 TY3 BY1 BY2 BY3 25/80 25/80 25/80 BX13 Π7 Υ IΙ C8(40/60) BX9 C9 BX10 C10 BX11 C11 BX12 Π4 Π1 BY4 BY5 BY6 25/70 25/70 25/70 C13 BX14 Π5 F TX2 Π8 Π2 BX C14 BX16 e TΧ=1.2375 C3(40/60) C4 C6 BX5 BX6 C5 BX7 BX8 θ F M X I BY7 BY8 BY9 Π9 Π6 Π3 TY4 BY12 C12 BY11 C7 BY10 TY1 BX1 C1 BX2 TX1 BX3 C2 BX4 6.50 5.75 5.75 6.50 24.5 TY2 Σχήµα 2. Κάτοψη 5-ώροφου συµµετρικού κτιρίου µε Ti στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος (5ΣΤiK) 5-ώροφο Συµµετρικό κτίριο µε Τ στον Κατιόντα και Τ στον Σταθερό κλάδο του φάσµατος (5ΣΤiKΣ) Η κάτοψη του κτιρίου δίνεται στο Σχήµα 3. Το ισόγειο έχει ύψος h ισ =5m και οι όροφοι h=3.0m. Οι διατοµές των δοκών είναι όπως στο προηγούµενο κτίριο 5ΣΤiK. Τα υποστυλώµατα (πλην των C3, C8, C7 και C12 που είναι 40/55) έχουν διατοµή 45/45. Οι διατοµές των τοιχωµάτων κατά Y είναι 25/250 και των τοιχωµάτων κατά X 25/225. Το κτίριο βρίσκεται σε ζώνη σεισµικής επικινδυνότητας ΙΙ (α=0.24) και η κατηγορία εδάφους είναι Α (Τ 1 =0.1, Τ 2 =0.4 sec). Ο συντελεστής q θεωρήθηκε ίσος µε 2.5. 5-ώροφο Ασύµµετρο κτίριο µε T i στον Κατιόντα κλάδο του φάσµατος (5ΑΣΤiΚ) Η κάτοψη του κτιρίου δίνεται στο Σχήµα 4. Το ισογείο έχει ύψος h ισ =5m και οι όροφοι h=3.2m. Όλες οι δοκοί έχουν διατοµή 25/65. Τα υποστυλώµατα C5 και C6 έχουν διατοµή 50/50, το υποστύλωµα C4 50/60 και όλα τα υπόλοιπα έχουν διατοµή 45/45. Η διατοµή των τοιχωµάτων Τ1 και Τ4 είναι 25/200 και των τοιχωµάτων Τ2 και Τ3 25/250. Το κτίριο βρίσκεται σε ζώνη σεισµικής επικινδυνότητας Ι (α=0.16) και η κατηγορία εδάφους είναι Β (Τ 1 =0., Τ 2 =0.6 sec). Ο συντελεστής q θεωρήθηκε ίσος µε 3.0. 4

TY3 BX13 C13 BX14 TX2 BX C14 BX16 TY4 13.00 5.00 3.00 5.00 BY1 BY2 BY3 C3 Π7 Υ IΙ C8 BX9 C9 BX10 C10 BX11 C11 BX12 Π4 Π1 BY6 BY5 C4 Π5 Π8 BX5 BX6 C5 BX7 BX8 BY4 F θ F M e TX = 1.2375 Π2 X I C6 BY7 BY8 BY9 Π9 Π6 Π3 BY12 C12 BY11 C7 BY10 TY1 BX1 C1 BX2 TX1 BX3 C2 BX4 6.50 5.75 5.75 6.50 24.5 TY2 Σχήµα 3. Κάτοψη 5-ώροφου συµµετρικού κτιρίου µε Τ στον κατιόντα και Τ στον σταθερό κλάδο του φάσµατος (5ΣΤiKΣ) 10.13 5.00 5.13 T3 BX8 C8 BX9 T4 Π1 C4 9.2 9.2 B1 B2 BY1 BX5 Π2 Π5 C5 BY2 BY3 Υ e TX Π6 IΙ Π3 BX6 M X α=-27.63 ο =1.10 I BY4 BY5 C6 Π7 BX7 Π4 BY6 BY8 C7 7.13 7.13 14.25 T1 50 ο BX1 C1 BX2 C2 BX3 C3 BX4 T2 6.00 5.87 22.00 5.00 5.13 Σχήµα 4. Κάτοψη 5-ώροφου ασύµµετρου κτιρίου µε T i στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος (5ΑΣΤiΚ) 5

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Κάθε κτίριο αναλύεται πρώτα για τα κατακόρυφα φορτία που αντιστοιχούν στον σεισµικό συνδυασµό δράσεων. Στη συνέχεια γίνεται ο υπολογισµός µε την ΑΦΜ για διάφορες γωνίες διεύθυνσης θ της σεισµικής δράσης (θ=0 o, o, 30 o, 45 o,, 180 o ). Για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση υπολογίζονται οι ασύζευκτες θεµελιώδεις ιδιοπερίοδοι κατά τη διεύθυνση αυτή καθώς και για την ορθογωνική της. Με γνωστές τις ασύζευκτες θεµελιώδεις ιδιοπεριόδους υπολογίζονται βάσει του φάσµατος σχεδιασµού του ΕΑΚ οι τέµνουσες βάσης για κάθε διεύθυνση και τα αντίστοιχα σεισµικά φορτία στις στάθµες των ορόφων. Το σηµείο εφαρµογής των σεισµικών φορτίων θεωρείται µετατοπισµένο ως προς το γεωµετρικό κέντρο κατά την τυχηµατική εκκεντρότητα (Σχήµατα 1, 2, 3, 4). Για διεύθυνση διέγερσης υπό γωνία θ (Σχήµατα 1, 2, 3, 4) η τυχηµατική εκκεντρότητα είναι διαφορετική από αυτήν που υπολογίζεται για διεύθυνση της διέγερσης παράλληλη µε τους άξονες του κτιρίου. Εντούτοις, προκειµένου να µελετηθεί µόνον η επιρροή της διεύθυνσης (χωρίς επιρροές από άλλους παράγοντες), η τυχηµατική εκκεντρότητα θεωρήθηκε η ίδια για όλες τις εξετασθείσες διευθύνσεις διέγερσης. Με γνωστά τα σεισµικά φορτία για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση διέγερσης γίνεται ανάλυση του χωρικού φορέα ανεξάρτητα για τη διεύθυνση αυτή και για την ορθογωνική της. Η µέγιστη (ακραία) τιµή ενός τυχόντος µεγέθους απόκρισης λόγω της ταυτόχρονης δράσης των δύο οριζόντιων σεισµικών συνιστωσών υπολογίζεται µε τον κανόνα της τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) και µεταβάλλεται σε εξάρτηση από τη διεύθυνση της διέγερσης. Η επιρροή όµως της διεύθυνσης διέγερσης επί ενός µόνο εντατικού µεγέθους δεν ενδιαφέρει ιδιαίτερα στην πράξη, διότι τα κατακόρυφα αντισεισµικά δοµικά στοιχεία (υποστυλώµατα και τοιχώµατα) καταπονούνται γενικώς σε διαξονική κάµψη και ο απαιτούµενος οπλισµός τους εξαρτάται από την τριάδα διαστασιολόγησης (Ν, Μ, M ), όπου, οι κύριοι άξονες της εκάστοτε διατοµής. Για να αποκοµίσουµε λοιπόν µια χρήσιµη εικόνα της επιρροής της διεύθυνσης της διέγερσης, διερευνάται η διακύµανση του απαιτούµενου διαµήκους (καµπτικού) οπλισµού των κατακόρυφων στοιχείων όταν µεταβάλλεται η διεύθυνση διέγερσης. Ο οπλισµός αυτός υπολογίστηκε µε χρήση του προγράµµατος ΙΑΣΚ (2003) και µε τους δύο τρόπους που επιτρέπει ο ΕΑΚ: α) Λαµβάνοντας την ακραία τιµή καθενός από τα τρία µεγέθη και τις πιθανές ταυτόχρονες προς αυτήν τιµές των υπόλοιπων δύο µεγεθών ( 6 τριάδες εντατικών µεγεθών) και β) λαµβάνοντας τις ακραίες τιµές και των τριών εντατικών µεγεθών Ν, Μ, M µε όλους τους πιθανούς συνδυασµούς των προσήµων τους ( 8 τριάδες εντατικών µεγεθών) (βλ. ΕΑΚ παρ. 3.4.4). ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ 3-ώροφο ασύµµετρο κτίριο µε Τ i στη σταθερή περιοχή του φάσµατος (3ΑΣΤiΣ) Οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση καθώς και οι αντίστοιχες τέµνουσες βάσης δίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1. Θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι και τέµνουσες βάσης ανά διεύθυνση θ i [ o ] (Οι κύριοι άξονες Ι και ΙΙ συµπίπτουν µε τους κατασκευαστικούς άξονες Χ και Υ, Σχήµα 1) θ i 0 30 45 60 75 90 105 120 135 0 165 180 Τ i 0.34 0.339 0.335 0.33 0.326 0.323 0.32 0.32 0.326 0.33 0.335 0.339 0.34 V 0i 737 737 737 737 737 737 737 737 737 737 737 737 737 6

Παρατηρούµε (Πίνακας 1) ότι οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι µεταβάλλονται ανάλογα µε τη γωνία, µε µέγιστη τιµή Τ=0.34sec που αντιστοιχεί στη διεύθυνση X (θ=0 ο Σχήµα 1) και ελάχιστη Τ=0.32sec που αντιστοιχεί στη διεύθυνση Υ (θ=90 ο ). Οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι όλων των άλλων διευθύνσεων κυµαίνονται µεταξύ αυτών των τιµών και εποµένως ανήκουν στο διάστηµα των σταθερών επιταχύνσεων (έδαφος Α, Τ 1 =0.1 και Τ 2 =0.4sec). Ως εκ τούτου προκύπτει η ίδια τέµνουσα βάσης V 0 για όλες τις διευθύνσεις. Παροµοίως, ανεξάρτητα από τη θεωρούµενη διεύθυνση της σεισµικής δράσης, ίδιες τιµές προκύπτουν και για τα εντατικά µεγέθη των στοιχείων (βλ. Παράρτηµα). Οι πιθανές ταυτόχρονες τιµές των εντατικών µεγεθών του στύλου C1 (Σχήµα 1) στη βάση του ισογείου δίνονται στον Πίνακα 2. Πίνακας 2. Πιθανές ταυτόχρονες τιµές των εντατικών µεγεθών του υποστυλώµατος C1 Ν M 2 M 3 en= 295.791 Μ 2,Ν = -119.884 Μ 3,Ν = 122.401 N, M2 = -241.905 em 2 = 146.590 Μ 3,M2 = -31.375 N, M3 = 211.711 Μ 2,M3 = -26.895 em 3 = 171.012 en= -295.791 Μ 2,Ν = 119.884 Μ 3,Ν = -122.401 N, M2 = 241.905 em 2 = -146.590 Μ 3,M2 = 31.375 N, M3 = -211.711 Μ 2,M3 = 26.895 em 3 = -171.012 Εποµένως, όταν η θεµελιώδης ασύζευκτη ιδιοπερίοδος ενός φορέα για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση ανήκει στην περιοχή των σταθερών επιταχύνσεων του φάσµατος σχεδιασµού, τότε η απόκριση του φορά αυτού είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης εφαρµογής των στατικών σεισµικών φορτίων. Στην πράξη, για να ελέγξουµε αν πράγµατι ισχύει η ανωτέρω συνθήκη, υπολογίζουµε τις θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπεριόδους κατά τις διευθύνσεις των κυρίων αξόνων. Ως γνωστόν, οι κύριοι άξονες αντιστοιχούν στη µέγιστη και ελάχιστη οριζόντια δυσκαµψία, οπότε και οι ιδιοπερίοδοι θα έχουν αντίστοιχα την ελάχιστη (Τ min ) και µέγιστη (T ma ) τιµή. Η θεµελιώδης ασύζευκτη ιδιοπερίοδος (T) κατά οιαδήποτε άλλη τυχούσα διεύθυνση θα βρίσκεται µεταξύ των δύο αυτών τιµών (Τ min < T< T ma ). 5-ώροφο συµµετρικό κτίριο µε T i στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος (5ΣΤiK) Στον Πίνακα 3 δίνονται οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση καθώς και οι αντίστοιχες τέµνουσες βάσης. Παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή είναι Τ=0.679sec για διεύθυνση X (θ=0 ο Σχήµα 2) και η ελάχιστη Τ=0.481sec για διεύθυνση Υ (θ=90 ο ). Εποµένως οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι για όλες τις διευθύνσεις είναι µεγαλύτερες από 0.4sec, δηλαδή βρίσκονται στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος σχεδιασµού. Ως εκ τούτου, για κάθε διεύθυνση στο διάστηµα [0 ο, 90 ο ] προκύπτει διαφορετική τέµνουσα βάσης V 0i. Η µέγιστη τιµή της προκύπτει για γωνία 90 ο και ισχύει V o, 90 =1.258V o,0. Πίνακας 3. Θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι και τέµνουσες βάσης ανά διεύθυνση θ i [ o ] (Οι κύριοι άξονες Ι και ΙΙ συµπίπτουν µε τους κατασκευαστικούς άξονες Χ και Υ, Σχήµα 2) θ i 0 30 45 60 75 90 105 120 135 Τ i 0.679 0.657 0.608 0.555 0.514 0.489 0.481 0.489 0.514 0.555 V 0i 2820.6 2881.7 3036.7 3225.6 3394.4 3508 3547.8 3508 3394.4 3225.6 Στο Σχήµα 5 δίνεται ο οπλισµός που προέκυψε για τα υποστυλώµατα C1, C3 και C5 (βλ. Σχήµα 2) στη βάση του ισογείου συναρτήσει της γωνίας θ (διεύθυνση διέγερσης) µε χρήση 7

των πιθανών ταυτόχρονων τιµών (A s,simult ) καθώς και µε χρήση των ακραίων τιµών (A s,etr ). Στο Σχήµα 5 (όπως και στα αντίστοιχα σχήµατα που έπονται) δίνονται επίσης χάριν σύγκρισης οι µέγιστοι (maas) και οι ελάχιστοι (mina s ) επιτρεπτοί οπλισµοί βάσει του ισχύοντος κανονισµού. Οι τιµές για κάθε υποστύλωµα είναι κανονικοποιηµένες ως προς τον οπλισµό που προέκυψε για διεύθυνση διέγερσης κατά µήκος των αξόνων Χ και Υ του κτιρίου χρησιµοποιώντας τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές ("λύση αναφοράς"). Παρατηρούµε ότι όταν η γωνία θ αυξάνει στο διάστηµα [0 ο, 45 ο ], ο οπλισµός των υποστυλωµάτων C1 και C5 αυξάνει επίσης, ενώ του C3 ελαττώνεται. Το αντίθετο συµβαίνει στο διάστηµα [45 ο, 90 ο ]. Η αύξηση/ελάττωση είναι εντονότερη κατά τη διαστασιολόγηση µε τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές (29% για το C1) από ό,τι µε τις πιθανές ακραίες τιµές (10% για το C1 και 22% για τον C5). Η µεγάλη διακύµανση του οπλισµού του C5 (42%) µε χρήση των πιθανών ταυτόχρονων τιµών δεν αξιολογείται εδώ, διότι για όλες τις διευθύνσεις ο οπλισµός είναι µικρότερος από τον ελάχιστο απαιτούµενο. Για το ίδιο υποστύλωµα (C5) η διαστασιολόγηση µε τις πιθανές ακραίες τιµές δίνει οπλισµό µεγαλύτερο από τον ελάχιστο απαιτούµενο και η µέγιστη διακύµανση είναι 22%. 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 C5As,etr C5As,simult C5minAs C1As,etr C1As,simult C1minAs C3As,etr C3As,simult C3minAs Σχήµα 5. Οπλισµοί υποστυλωµάτων κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο. Στο Σχήµα 6 δίνεται η µεταβολή του οπλισµού σε σχέση µε τη γωνία για τα τοιχώµατα ΤΧ1 και ΤΥ1 (βλ. Σχήµα 2). Παρατηρούµε ότι για αύξηση της γωνίας στο διάστηµα [0 ο, 45 ο ] ο οπλισµός του ΤΧ1 αυξάνει, ενώ του ΤΥ1 ελαττώνεται. Το αντίθετο συµβαίνει στο διάστηµα [45 ο, 90 ο ]. Για το ΤΧ1 ο µέγιστος οπλισµός προκύπτει για γωνία θ=45 ο και είναι κατά 22% µεγαλύτερος από τον αντίστοιχο οπλισµό για γωνία θ=0 ο. Για το ΤΥ1 ο µέγιστος οπλισµός προκύπτει για γωνία θ=0 ο και είναι κατά % µεγαλύτερος από τον αντίστοιχο οπλισµό για γωνία θ=45 ο. Επίσης παρατηρούµε ότι για γωνία διέγερσης θ=0 ο ο οπλισµός του ΤΧ1 προκύπτει µικρότερος από τον µέγιστο επιτρεπόµενο, ενώ για γωνία θ=45 ο προκύπτει κατά 16% µεγαλύτερος από τον µέγιστο επιτρεπόµενο. 8

1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 TX1As,etr TX1As,simult TX1maAs TY1As,etr TY1As,simult TY1maAs Σχήµα 6. Οπλισµοί τοιχωµάτων κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο. 1, 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 BX11As BX11maAs BX11minAs BY11As BY11maAs BY11minAs Σχήµα 7. Οπλισµοί δοκών κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο. Στο Σχήµα 7 δίνεται η µεταβολή του οπλισµού συναρτήσει της γωνίας για τις δοκούς ΒΧ11 και ΒΥ11. Η διακύµανση σε αυτά τα στοιχεία φθάνει το 11%. 5-ώροφο συµµετρικό κτίριο µε Τ στον κατιόντα και Τ στον σταθερό κλάδο του φάσµατος (5ΣΤiKΣ) Στον Πίνακα 4 δίνονται οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση καθώς και οι αντίστοιχες τέµνουσες βάσης. Παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή είναι Τ=0.604sec για διεύθυνση X (θ=0 ο Σχήµα 3) και η ελάχιστη Τ=0.398sec για διεύθυνση Υ (θ=90 ο ). ηλαδή η Τ βρίσκεται στη σταθερή γραµµή του φάσµατος (έδαφος Α, Τ 2 =0.4) και όλες οι άλλες στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος σχεδιασµού. Ως εκ τούτου για κάθε διεύθυνση στο διάστηµα [0 ο, 90 ο ] προκύπτει διαφορετική τέµνουσα βάσης. Η µέγιστη τιµή προκύπτει για γωνία θ=90 ο : V o, 90 =1.316V o,0. Πίνακας 4. Θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι και τέµνουσες βάσης ανά διεύθυνση θ i [ o ] (Οι κύριοι άξονες Ι και ΙΙ συµπίπτουν µε τους κατασκευαστικούς άξονες Χ και Υ, Σχήµα 3) θ i 0 30 45 60 75 90 105 120 135 Τ i 0.604 0.579 0.525 0.47 0.43 0.407 0.398 0.407 0.43 0.47 V 0i 2923.5 3006 3210.3 3452.8 3664.6 3805.7 3847.4 3805.7 3664.6 3452.8 9

Στο Σχήµα 8 δίνονται οι οπλισµοί συναρτήσει της γωνίας των υποστυλωµάτων C1 και C4 στη βάση του ισογείου και στο Σχήµα 9 οι οπλισµοί των τοιχωµάτων ΤΧ1 και ΤΥ1 (Σχήµα 3). 3,20 2,80 2,40 2,00 1,60 1,20 0,80 C1As,etr C1As,simult C1minAs C4As,etr C4As,simult C4minAs Σχήµα 8. Οπλισµοί υποστυλωµάτων κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο. 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 TX1As,etr TX1As,simult TX1maAs TY1As,etr TY1As,simult TY1maAs Σχήµα 9. Οπλισµοί τοιχωµάτων κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο. Και στο κτίριο αυτό παρατηρούµε ότι για αύξηση της γωνίας στο διάστηµα [0 ο, 45 ο ] για άλλα στοιχεία προκύπτει αύξηση του οπλισµού (C1, C4 (Σχήµα 8) και ΤΧ1 (Σχήµα 9)) και για άλλα µείωση (ΤΥ1 (Σχήµα 9)). Το αντίθετο παρατηρείται στο διάστηµα [45 ο, 90 ο ]. Όπως στο προηγούµενο έτσι και στο κτίριο αυτό οι ακραίες (µέγιστες/ελάχιστες) τιµές αναπτύσσονται για γωνία διέγερσης θ=45 ο. Η µέγιστη διακύµανση για το C1, όταν η διαστασιολόγηση γίνεται µε τις πιθανές ακραίες τιµές, είναι 16%, ενώ για το ΤΧ1 27%. 5-ώροφο ασύµµετρο κτίριο µε T i στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος (5ΑΣΤiΚ) Στον Πίνακα 5 δίνονται οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι για κάθε θεωρούµενη διεύθυνση καθώς και οι αντίστοιχες τέµνουσες βάσης. Παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή είναι Τ=0.805sec για διεύθυνση Ι (θ=0 ο, Σχήµα 4) και η ελάχιστη Τ=0.598º0.6sec για διεύθυνση ΙΙ (θ=90 ο ). Εποµένως οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι για όλες τις διευθύνσεις είναι 10

µεγαλύτερες από Τ 2 =0.6sec, δηλαδή βρίσκονται στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος σχεδιασµού. Ως εκ τούτου για κάθε διεύθυνση στο διάστηµα [0 ο, 90 ο ] προκύπτει διαφορετική τέµνουσα βάσης. Η µέγιστη τιµή προκύπτει για γωνία 90 ο : V o, 90 =1.216V o,0. Πίνακας 5. Θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι και τέµνουσες βάσης ανά διεύθυνση θ i [ o ] (γωνίες θ i ως προς τους κύριους άξονες Ι και ΙΙ, Σχήµα 4) θ i 0 27.634 30 45 60 75 77.634 90 Τ i 0.805 0.786 0.736 0.726 0.666 0.625 0.603 0.601 0.598 V 0i 1445.2 1468.3 33.7 48.2 1638.4 1710.1 1751.6 1755.5 1757.5 θ i 105 117.634 120 135 0 165 167.63 180 Τ i 0.61 0.631 0.637 0.676 0.724 0.773 0.781 0.805 V 0i 1738 1698.5 1689.4 1623.6 51.2 1484.3 1474.6 1445.2 Στο Σχήµα 10 δίνονται συναρτήσει της γωνίας οι οπλισµοί των υποστυλωµάτων C1, C4 και C7 στη βάση του ισογείου, στο Σχήµα 11 οι οπλισµοί των τοιχώµατος Τ4 και στο Σχήµα 12 των δοκών ΒΧ1 και ΒΥ6 (Σχήµα 4). 1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00 C1As,etr C1As,simult C1maAs C4As,etr C4As,simult C7As,etr C7As,simult 0,90 Σχήµα 10. Οπλισµοί υποστυλωµάτων κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο ως προς τους κύριους άξονες Ι και ΙΙ. 1,80 1,40 1,00 T4As,etr T4As,simult T4minAs 0,60 Σχήµα 11. Οπλισµοί τοιχώµατος Τ4 κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο ως προς τους κύριους άξονες Ι και ΙΙ. 11

1,12 1,08 1,04 1,00 BX1As BY6As 0,96 0,92 Σχήµα 12. Οπλισµοί δοκών κανονικοποιηµένοι ως προς τον οπλισµό που προκύπτει από τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές για γωνία θ=0 ο ως προς τους κύριους άξονες Ι και ΙΙ. Στα προηγούµενα κτίρια τα οποία ήταν συµµετρικά µε ορθογωνική διάταξη των κατακόρυφων στοιχείων τους, η γωνία για την οποία εµφανιζόταν η µέγιστη ή ελάχιστη απόκριση ήταν 0 ο ή 45 ο. Στο συγκεκριµένο ασύµµετρο κτίριο υπάρχουν στοιχεία (C1, C4, C7, BX1) των οποίων ο µέγιστη ή ελάχιστη απαίτηση διαµήκους οπλισµού εµφανίζεται για γωνία 0 ο ή 45 ο αντίστοιχα, υπάρχουν όµως και στοιχεία για τα οποία η µέγιστη απαίτηση εµφανίζεται για γωνία ο και η ελάχιστη για γωνία 60 ο. Η µέγιστη διακύµανση του οπλισµού για τα υποστυλώµατα C1, C4 και C7 είναι 18%, 19% και 25% αντίστοιχα, όταν η διαστασιολόγηση γίνεται µε τις πιθανές ταυτόχρονες τιµές. Τα αντίστοιχα ποσοστά διακύµανσης για διαστασιολόγηση µε τις πιθανές µέγιστες τιµές είναι 16%, 10% και %. Για το τοίχωµα Τ4 η µέγιστη διακύµανση είναι 26% και για τις δοκούς ΒΧ1 και ΒΥ6 11% και 6% αντίστοιχα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η παραµετρική µελέτη της επιρροής της διεύθυνσης διέγερσης επί του απαιτούµενου διαµήκους οπλισµού κάµψης κατά την εφαρµογή της ΑΦΜ οδήγησε στα εξής συµπεράσµατα: Όταν οι θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι κατά µήκος των δύο οριζοντίων κύριων διευθύνσεων βρίσκονται στη σταθερή περιοχή του φάσµατος, ο απαιτούµενος οπλισµός είναι ανεξάρτητος από τη διεύθυνση εφαρµογής των σεισµικών φορτίων (υπό την παραδοχή σταθερής εκκεντρότητας και µε χωρική επαλληλία βάσει του κανόνα SRSS). Αντίθετα, όταν τουλάχιστον η µία από τις δύο θεµελιώδεις ασύζευκτες ιδιοπεριόδους κατά µήκος των δύο οριζοντίων κύριων διευθύνσεων βρίσκεται στον κατιόντα κλάδο του φάσµατος, ο απαιτούµενος οπλισµός επηρεάζεται από τη θεωρούµενη διεύθυνση της σεισµικής δράσης, ακόµη κι αν η διάταξη των κατακορύφων στοιχείων του κτιρίου είναι ορθογωνική. Η επιρροή για τα κτίρια που µελετήθηκαν δηµιουργεί σε κάποια στοιχεία αύξηση της απαίτησης οπλισµού που φθάνει έως και το 29%. εν υπάρχει κάποια συγκεκριµένη διεύθυνση που να µεγιστοποιεί την απαίτηση οπλισµού σε όλα τα στοιχεία µιας κατασκευής. 12

Γενικώς, όπως σηµειώθηκε και στην Εισαγωγή, τα κτίρια πρέπει να ελέγχονται και να διαστασιολογούνται µε τέτοιο τρόπο ώστε να εξασφαλίζονται έναντι της δυσµενέστερης απαίτησης. Αυτό σηµαίνει ότι κατά την εφαρµογή της ΑΦΜ θα πρέπει για κάθε στοιχείο να προσδιορίζεται εκείνη η διεύθυνση εφαρµογής των στατικών σεισµικών φορτίων που δηµιουργεί τη µεγαλύτερη απαίτηση οπλισµού. Η διεύθυνση αυτή γενικώς δεν συµπίπτει ούτε µε τους τυχόν κατασκευαστικούς άξονες του φορέα ούτε µε τους κύριους άξονές του, όπως αυτοί ορίζονται π.χ. από τον ΕΑΚ 2000. Για ορισµένες κατηγορίες κτιρίων η δυσµενέστερη διεύθυνση για κάποια στοιχεία ταυτίζεται µε τους κατασκευαστικούς άξονες ενώ για κάποια άλλα σχηµατίζει γωνία 45 ο µε τον κύριο άξονα Χ του φορέα. Στη γενική όµως περίπτωση η ανάλυση µε την ΑΦΜ θα πρέπει να διενεργείται για µία σειρά διαφορετικών διευθύνσεων και για κάθε διατοµή να προσδιορίζεται η δυσµενέστερη απαίτηση οπλισµού της. Σηµειώνεται στο σηµείο αυτό ότι η εφαρµογή των στατικών σεισµικών φορτίων κατά τις κύριες διευθύνσεις του κτιρίου (όπως αυτές ορίζονται στον ΕΑΚ 2000) βασίζεται στην κατά προσέγγιση αποσύζευξη των ελευθεριών κίνησης του χωρικού συστήµατος κατά τις εν λόγω διευθύνσεις και στο µοντέλο σεισµικής διέγερσης κατά Penzien-Watabe, δηλαδή οι συνιστώσες της διέγερσης θεωρούνται ασυσχέτιστες κατά µήκος των κύριων διευθύνσεων της εδαφικής κίνησης. Επιπλέον γίνεται η παραδοχή ότι οι κύριες διευθύνσεις της εδαφικής κίνησης συµπίπτουν µε τις κύριες διευθύνσεις της κατασκευής. Η παραδοχή αυτή βέβαια δεν ισχύει γενικώς, γίνεται όµως αποδεκτή στα πλαίσια µιας απλοποιηµένης µεθόδου όπως η ΑΦΜ, δεδοµένων και των πολλών άλλων αβεβαιοτήτων που υπεισέρχονται στο πρόβληµα. Σύµφωνα µε όλα τα παραπάνω, οι διατάξεις ορισµένων αντισεισµικών κανονισµών που αναφέρονται στις διευθύνσεις διέγερσης για τις οποίες γίνεται η ανάλυση/διαστασιολόγηση πρέπει να αποσαφηνισθούν ώστε ο προκύπτων οπλισµός να µην εξαρτάται από το καθολικό σύστηµα που επιλέγει ο µελετητής. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναστασιάδης Κ., Αβραµίδης Ι.Ε. (1992), " υσµενείς διευθύνσεις σεισµικής διεγέρσεως σε πολυώροφα κτίρια". Πρακτικά 1 ου Ελληνικού Συνεδρίου Αντισεισµικής Μηχανικής και Τεχνικής Σεισµολογίας, Αθήνα, σελ. 252-263. Anastassiadis, K. (1993), Directions sismiques défavorables et combinaisons défavorables des efforts, Annales de l I.T.B.T.P., 512 (Mars/Avril), pp. 83-99. Anastassiadis, K., Avramidis, I.E. (1993), Üngünstigste seismische Erdbebenrichtungen fόr Hochbauten. DER BAUINGENIEUR 68 (6) : 269-275. Anastassiadis, K., Avramidis, I., and Panetsos, P. (2002), Concurrent design forces in structures under three-component orthotropic seismic ecitation, Earthquake Spectra, 18, pp. 1-17. Avramidis, I.E., Anastassiadis, K. (1998), "Recent Advances in Three-Dimensional Response Spectrum Analsis for Multicomponent Earthquake Spectra - Theor and Applications", SEWC, Structural Engineers World Congress, Jul 18-23, San Francisco, CA, USA. ΕAΚ/2000, Ελληνικός αντισεισµικός κανονισµός - 2000, Οργανισµός Αντισεισµικού Σχεδιασµού και Προστασίας, Αθήνα. 13

Eurocode 8, (2003), Design provisions for earthquake resistance of structures, European Committee for Standardization, 1998-1/2003. FEMA 356, (2000), Prestandard and Commentar for the Seismic Rehabilitation of Buildings, Federal Emergenc Management Agenc, Washington, DC. International Conference of Building Officials (ICBO), (1997), Uniform Building Code, Vol. 2, Structural Engineering Design Provisions, Whittier, CA. Lopez,O.A., and Torres R. (1997), The critical angle of seismic incidence and the maimum structural response, Earthquake Eng. Struct. Dn, 26, pp. 881-894. Lopez, O.A., Chopra, A.K., and Hernandez, J.J. (2000), Critical response of structures to multicomponent earthquake ecitation, Earthquake Eng. Struct. Dn., 29, pp. 1759-1778. NEHRP (National Earthquake Hazard Reduction Program), 2003, Recommended Provisions for the Development of Seismic Regulations for New Buildings, Building Seismic Safet Council (BSSC), Washington, DC. Penzien, J., and Watabe, M. (1975), Characteristics of 3-D earthquake ground motions, Earthquake Eng. Struct. Dn., 3, pp. 365-373. Smeb, W., and Der Kiureghian, A. (1985), Modal combination rules for multi-component earthquake ecitation, Earthquake Eng. Struct. Dn., 13, pp. 1-12. ΙΑΣΚ v2.0, Πρόγραµµα υπολογισµού ΙΑτοµών οπλισµένου Σκυροδέµατος, Τεχνικός Οίκος Λογισµικού (Τ.Ο.Λ.), Ηράκλειο Κρήτης, 2003. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Απόδειξη της µη επιρροής της διεύθυνσης για ίσες τέµνουσες βάσης Θεωρούµε Ν-ώροφο κτίριο που φορτίζεται στις στάθµες των ορόφων µε τα σεισµικά στατικά φορτία F T =[F 1 F 2 F N ]. Τα φορτία εφαρµόζονται κατά µήκος του άξονα και δηµιουργούν την απόκριση R,. Στη συνέχεια οι δυνάµεις F εφαρµόζονται κατά µήκος του άξονα και δηµιουργούν την απόκριση R, (Σχήµα 13). Η απόκριση λόγω ταυτόχρονης δράσης του σεισµού κατά µήκος των αξόνων και µε χρήση του κανόνα SRSS είναι: 2 2 er = R, + R, (1) R, R, F i F i Σχήµα 13. Φορτία κατά µήκος των αξόνων και του κτιρίου και αντίστοιχες αποκρίσεις. 14

η R, ξ ξ η R, η ξ Fsina i a F i cosa F i F i F i sina Fcosa i a Σχήµα 14. Φορτία κατά µήκος των αξόνων ξ και η του κτιρίου και αντίστοιχες αποκρίσεις. Θεωρούµε τυχόν σύστηµα συντεταγµένων Οξη που σχηµατίζει γωνία a µε τον άξονα του συστήµατος O. Τα σεισµικά φορτία εφαρµόζονται κατά µήκος του άξονα ξ και δηµιουργούν την απόκριση R, ξ. Στη συνέχεια τα σεισµικά φορτία F εφαρµόζονται κατά µήκος του άξονα η και δηµιουργούν την απόκριση R, η (Σχήµα 14). Η απόκριση λόγω ταυτόχρονης δράσης του σεισµού κατά µήκος των αξόνων ξ και η µε χρήση του κανόνα SRSS είναι: er er = 2 2 2 = R, + R, = (R, cosa + R, sina) + ( R, sina + R, ξ η R, 2 + R, 2 = er cosa) 2 (2) Εποµένως, όταν τα σεισµικά φορτία κατά µήκος οιασδήποτε οριζόντιας διεύθυνσης είναι ίσα (Αυτό συµβαίνει όταν η αντίστοιχη ασύζευκτη θεµελιώδης ιδιοπερίοδος βρίσκεται στη σταθερή περιοχή του φάσµατος σχεδιασµού) και η χωρική επαλληλία γίνεται µε τον κανόνα SRSS, η απόκριση είναι ανεξάρτητη από τη διεύθυνση εφαρµογής των σεισµικών φορτίων.