Κύματα Μηχανικά κύματα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Από τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν ένα μηχανικό αρμονικό κύμα, αυτά που δεν εξαρτώνται από το εαστικό μέσο διάδοσης του κύματος είναι: α. Η συχνότητα του κύματος. β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ. Το μήκος κύματος. δ. Το πάτος του κύματος. 2. Δύο ηχητικά κύματα Α και Β διαδίδονται στο ίδιο μέσο με συχνότητες f Α = 200 Hz και f Β = 400 Hz αντίστοιχα. Για τις ταχύτητες των κυμάτων αυτών, ποια σχέση θα ισχύει; α. υ Β = 1 2 υ Α, β. υ Β = υ Α, γ. υ Β = 2 υ Α, δ. υ Β = 4 υ Α 3. Τα ηχητικά κύματα δεν διαδίδονται: α. σε στερεά, β. σε υγρά, γ. σε αέρια, δ. στο κενό 4. Αν μεταβηθεί η συχνότητα ενός αρμονικού κύματος, ποια από τα παρακάτω μεγέθη μεταβάονται; α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης των σωματιδίων του μέσου διάδοσης. γ. Το μήκος κύματος. δ. Η περίοδος του κύματος 5. Κατά μήκος δύο χορδών 1 και 2 που είναι κατασκευασμένες από το ίδιο υικό, έχουν ίδιο μήκος και πάχος και τεντωμένες το ίδιο, διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα. Το κύμα στη χορδή 1 έχει διπάσια συχνότητα και μισό πάτος από το κύμα στη χορδή 2. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; α. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι ί- δια και στις δύο χορδές. β. Το μήκος κύματος στη χορδή 2 είναι διπάσιο από το μήκος κύματος στη χορδή 1. γ. Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης είναι μεγαύτερη στα σωματίδια της χορδής 1. δ. Η μέγιστη επιτάχυνση ταάντωσης είναι μεγαύτερη στα σωματίδια της χορδής 1. 6. Η φάση ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς το θετικό ημιάξονα δίνεται από τη σχέση: α. 2π T t, β. 2π, γ. 2π( t - ), δ. 2π( t T T + ) 7. Ένα αρμονικό κύμα έχει συχνότητα f = 10 Hz και διαδίδεται σ ένα εαστικό μέσο. Αν στην ευθεία διάδοσης του κύματος δύο σημεία Α και Β του μέσου, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση 2 m, έχουν διαφορά φάσης π/6 rad, η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: α. 12 m/s, β. 60 m/s, γ. 120 m/s, δ. 240 m/s Αιτιοογήστε την απάντησή σας. 8. Για την εξίσωση ενός αρμονικού κύματος y = Aημ2π( t T - ), τι από τα παρακάτω είναι σωστό; Α. Το μέγεθος y είναι η απόσταση του σημείου, στο οποίο φτάνει το κύμα τη χρονική στιγμή t, από την πηγή του κύματος. Β. Το μέγεθος Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας κάθε υικού σημείου του εαστικού μέσου, που κάνει εξαιτίας του κύματος απή αρμονική ταάντωση.
2 Γ. Το μέγεθος είναι το μήκος κύματος, δηαδή η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου. Δ. Το μέγεθος Τ είναι η περίοδος του κύματος, η οποία είναι ίση με την περίοδο ταάντωσης της πηγής του κύματος. 9. Σωστό ή άθος: Α. Το μήκος κύματος είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων του εαστικού μέσου τα οποία έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π rad. Β. Η εξίσωση y = A ημ 2π ( υt ) περιγράφει αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Γ. Η εξίσωση y = A ημ ( ωt + k ), όπου k = 2π, περιγράφει αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Δ. Το στιγμιότυπο του αρμονικού κύματος παριστάνει την απομάκρυνση ενός υικού σημείου του εαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το κύμα, σε συνάρτηση με το χρόνο. 10. Ποιες από τις προτάσεις που αναφέρονται σε ένα αρμονικό κύμα είναι σωστές και ποιες ανθασμένες. Να αιτιοογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος συμπίπτει με τη μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης των υικών σημείων του μέσου. β. Όα τα σημεία του μέσου διάδοσης έχουν την ίδια χρονική στιγμή την ίδια φάση. γ. Για ένα συγκεκριμένο σημείο του μέσου η φάση αυξάνεται σε συνάρτηση με το χρόνο. δ. Για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή η φάση αυξάνεται σε συνάρτηση με τη θέση των σημείων του μέσου. 11. Το διάγραμμα του σχήματος απεικονίζει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά. Σωστό ή άθος: B Α. Τα σημεία Α και Γ του μέσου έχουν την ίδια φάση. Β. Τα σημεία Α και Γ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης. Γ. Τα σημεία Α και Γ έχουν διαφορά φάσης 2π rad. Δ. Τα σημεία B και Γ έχουν διαφορά φάσης π 2 rad. Ε. Η φάση του σημείου Β είναι μεγαύτερη από τη φάση του σημείου Α κατά π rad. Στ. Η φάση του σημείου Β είναι μεγαύτερη από τη φάση του σημείου Γ κατά π rad. 12. Οι παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν δύο ε- γκάρσια αρμονικά κύματα που διαδίδονται σε διαφορετικά εαστικά μέσα: α. y = 0,5συν2π(5t-3), β. y = 0,4συν2π(-6-10t) (S.I.) Ποιο κύμα διαδίδεται με μεγαύτερη ταχύτητα; y O A Αιτιοογήστε την απάντησή σας. 13. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι: y = 8 ημπ(4t+ 10 ) ( και y σε cm, t σε s). Σωστό ή άθος: Α. Το πάτος του κύματος είναι 4 cm. υ Γ
3 Β. H συχνότητα του κύματος είναι 2 Hz. Γ. Το μήκος κύματος είναι 10 cm. Δ. Το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα. Ε. Για δύο σημεία Α και Β για τα οποία ισχύει A < B, θα ισχύει και φ Α < φ Β. 14. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι: y = 0,4ημ(20πt-4π) (S.I.). Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης των σημείων του εαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα είναι: α. π m/s, β. 4π m/s, γ. 6π m/s, δ. 8π m/s Βρείτε τη σωστή απάντηση. 15. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι: y = 0,1ημ2π(100t-0,05) (S.I.). Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του εαστικού μέσου που τααντώνονται με διαφορά φάσης π, είναι: α. 1 m, β. 2,5 m, γ. 5 m, δ. 10 m Βρείτε τη σωστή απάντηση. 16. Σ' ένα εαστικό μέσο διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα μήκους κύματος. Η διαφορά φάσης της ταάντωσης δύο σημείων του μέσου που απέχουν μεταξύ τους /4 είναι: α. π 8, β. π 4, γ. π 2, δ. π. Βρείτε τη σωστή απάντηση. 17. Ένα αρμονικό κύμα συχνότητας f και μήκους κύματος μεταβαίνει από ένα εαστικό μέσο Α σε ένα άο εαστικό μέσο Β, όπου διαδίδεται με διπάσια ταχύτητα. Ποια θα είναι η συχνότητα και ποιο το μήκος του κύματος στο μέσο Β; Αιτιοογήστε την απάντησή σας. 18. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, προς την αρνητική κατεύθυνση. Οι φάσεις της ταάντωσης δύο σημείων Α και Β του εαστικού μέσου, την ίδια χρονική στιγμή, είναι φ Α = 15π 2 και φ Β = 5π 2, αντίστοιχα. Αν τα δύο σημεία βρίσκονται στο θετικό ημιάξονα, ποιο βρίσκεται πησιέστερα στη θέση = 0; Αιτιοογήστε την α- πάντησή σας. 19. Δύο σημεία Α και Β ενός γραμμικού εαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα συχνότητας f = 30 Hz, έχουν κάποια χρονική στιγμή διαφορά φάσης Δφ = 6π rad. Σε πόσο χρόνο θα φθάσει το κύμα από το ένα σημείο στο άο; [Απ. 0,1 s] 20. Κατά μήκος του ημιάξονα Ο διαδίδεται προς τη θετική φορά ένα αρμονικό κύμα μήκους κύματος = 0,5m. Δύο σημεία Α και Β του μέσου διάδοσης του κύματος απέχουν μεταξύ τους απόσταση 20 cm και είναι A < B. Αν κάποια χρονική στιγμή η φάση της ταάντωσης του σημείου Β είναι 36 0, η φάση της ταάντωσης του σημείου Α την ίδια χρονική στιγμή θα είναι: α. 108 0, β. 144 0, γ. 180 0, δ. 216 0. Αιτιοογήστε την απάντησή σας. 21. Ποια από τις επόμενες εξισώσεις περιγράφει στιγμιότυπο αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα ; α. φ = 2π ( t - ) β. y = Aημ2π( t T - σταθ ) T γ. y = Aημ2π( σταθ - ) δ. y = Aημ2π( t - ) 22. Το σχήμα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός ε- y O υ A t = 2T B A T
4 γκάρσιου αρμονικού κύματος, το οποίο διαδίδεται προς τα δεξιά. Προς ποια κατεύθυνση κινούνται τα σημεία Α και Β του εαστικού μέσου; α. και τα δύο προς τα πάνω β. και τα δύο προς τα κάτω γ. το Α προς τα πάνω και το Β προς τα κάτω δ. το Α προς τα κάτω και το Β προς τα πάνω Επιέξτε τη σωστή απάντηση. 23. Το παρακάτω σχήμα δείχνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος, το οποίο παράγεται από την πηγή Ο και διαδίδεται προς τα δεξιά, κατά τη χρονική στιγμή t. Αν η εξίσωση της απομάκρυνσης της πηγής Ο είναι y = A ημπt (το t σε s), τότε 2,5 s μετά τη χρονική στιγμή t η πηγή Ο: 25. Σε ένα γραμμικό εαστικό μέσο που έχει τη διεύθυνση του άξονα, διαδίδεται αρμονικό κύμα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση y=aημ2π( t T - ). Αν η πηγή του κύματος αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0, να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση ενός σημείου Μ του μέσου που βρίσκεται στη θέση M 3 4 = σε συνάρτηση με το χρόνο, για το χρονικό διάστημα από t = 0 μέχρι t = 3Τ. 26. α) Η ταάντωση είναι κύμα; β) Όταν ένα κύμα διαδίδεται σε κάποιο μέσο, τα μόρια του μέσου τααντώνονται γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους. Εξαρτάται η ταχύτητα της ταάντωσης αυτής από την ταχύτητα διάδοσης του κύματος; α. θα έχει απομάκρυνση μηδέν και θετική ταχύτητα. y A -A O β. θα έχει απομάκρυνση μηδέν και αρνητική ταχύτητα. γ. θα έχει απομάκρυνση μέγιστη θετική. δ. θα έχει απομάκρυνση μέγιστη αρνητική. Επιέξτε τη σωστή απάντηση. 24. Σε ένα εαστικό μέσο διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση y = Aημ2π( t T - ). Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τις χρονικές στιγμές υ 5T t= 4 και t 3T t= 2. Συμβοή 27. Η αρχή της επαηίας ισχύει: α. μόνο για κύματα με την ίδια συχνότητα και το ίδιο μήκος κύματος, β. μόνο για αρμονικά κύματα, γ, μόνο για εγκάρσια κύματα, δ. για όα τα κύματα του ίδιου τύπου (εγκάρσια ή διαμήκη) που δεν έχουν πού μεγάο πάτος Επιέξτε τη σωστή απάντηση. 28. Στην επιφάνεια ενός υγρού δύο πηγές Π 1 και Π 2 εκτεούν κατακόρυφη αρμονική ταάντωση του ίδιου πάτους Α, καθώς και της ίδιας συχνότητας και με την ίδια φάση. Το πάτος της ταάντωσης ενός τυχαίου σημείου της επιφάνειας του υγρού, στο οποίο φθάνουν τα δύο κύματα: α. είναι 2Α, β. ποικίει από μηδέν έως 2Α,
5 γ. ποικίει από μηδέν έως Α, δ. β. ποικίει από Α έως 2Α. Επιέξτε τη σωστή απάντηση. 29. Στην επιφάνεια ενός υγρού, δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 παράγουν πανομοιότυπα αρμονικά κύματα, μήκους κύματος το καθένα. Ένα σημείο Α της επιφάνειας του υγρού, θα μένει συνεχώς ακίνητο, όταν η διαφορά των αποστάσεών του από τις δύο πηγές α. 3 β. 3 4 γ. 11 2 (r 1 -r 2 ) είναι ίση με: δ. μηδέν Επιέξτε τη σωστή απάντηση. 30. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια μιας ίμνης εγκάρσια κύματα πάτους Α και μήκους κύματος = 2cm. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Α, Β και Γ της επιφάνειας του νερού της αριστερής στήης με τα πάτη ταάντωσης της δεξιάς στήης. (Με δείκτη 1 συμβοίζονται οι αποστάσεις των σημείων από την πηγή Π 1 και με δείκτη 2 οι αποστάσεις των σημείων από την πηγή Π 2 ). Α (r 1 = 18 cm, r 2 = 15 cm) Β (r 1 = 20 cm, r 2 = 12 cm) Γ (r 1 = 20 cm, r 2 = 15,5 cm) 1. Tαάντωση με πάτος Α 2. 2. Tαάντωση με πάτος 2Α. 3. Tαάντωση με πάτος μεταξύ Α και 2Α. 4. Σημείο διαρκώς ακίνητο. 31. Ήχος φτάνει από ένα μεγάφωνο σε σημείο Α από δύο διαφορετικούς δρόμους, που έχουν διαφορά απόστασης d = 1,7 m. Όταν η συχνότητα του ή- χου αυξάνεται βαθμιαία, η ένταση του ήχου στο σημείο Α περνά διαδοχικά από μια σειρά μεγίστων και εαχίστων. Αν ένα μέγιστο της έντασης παρατηρείται για τη συχνότητα f 1 = 1000 Hz και το αμέσως επόμενο μέγιστο παρατηρείται για τη συχνότητα f 2 = 1200 Hz, υποογίστε την ταχύτητα του ήχου. 32. Δύο πηγές Π 1 και Π 2 δημιουργούν αρμονικά κύματα στην επιφάνεια υγρού. Τα κύματα έχουν το ίδιο πάτος την ίδια ταχύτητα διάδοσης και την ίδια συχνότητα. Ποιο είναι το αποτέεσμα της συμβοής σε ένα σημείο της επιφάνειας του υ- γρού το οποίο βρίσκεται στη μεσοκάθετο του τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές: α) αν οι πηγές είναι σύγχρονες και β) αν οι πηγές τααντώνονται με διαφορά φάσης π; Στάσιμα κύματα 33. Το στάσιμο κύμα είναι το αποτέεσμα της συμβοής δύο κυμάτων που έχουν: α. ίδια συχνότητα, πάτος και κατεύθυνση. β. ίδια συχνότητα, διαφορετικό πάτος και ίδια κατεύθυνση. γ. ίδια συχνότητα, ίδιο πάτος και αντίθετη κατεύθυνση. δ. διαφορετική συχνότητα, ίδιο πάτος και αντίθετη κατεύθυνση. Ποια πρόταση είναι σωστή; 34. Κατά μήκος ενός σχοινιού έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το πάτος ταάντωσης μιας στοιχειώδους μάζας του σχοινιού: α. είναι σταθερό σε συνάρτηση με το χρόνο t και τη θέση. β. είναι συνάρτηση του χρόνου t. γ. είναι συνάρτηση της θέσης. δ. είναι συνάρτηση του χρόνου t και της θέσης. Ποια πρόταση είναι σωστή;
6 35. ι) Η εάχιστη απόσταση μεταξύ δύο δεσμών στάσιμου κύματος είναι: α. 4 β. 2 γ. δ. 2 Ποια είναι η σωστή απάντηση; ιι) Η εάχιστη απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και μιας κοιίας στάσιμου κύματος είναι: α. 8 β. 4 γ. 2 δ. Ποια είναι η σωστή απάντηση; 36. Δύο αρμονικά κύματα με την ίδια συχνότητα f = 10 Hz και την ίδια ταχύτητα υ = 1 m/s συμβάουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι: α. 0,05 m β. 0,1 m γ. 0,2 m δ. 0,4 m. Επιέξτε τη σωστή απάντηση και αιτιοογήστε την. 37. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Δύο σημεία Α και Β του μέσου που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών: α. βρίσκονται σε συμφωνία φάσης β. έχουν την ίδια φάση γ. έχουν κάθε στιγμή την ίδια φορά κίνησης και την ίδια ταχύτητα. δ. έχουν το ίδιο πάτος. Ποιες προτάσεις είναι σωστές; 38. Κατά μήκος ενός σχοινιού δημιουργείται στάσιμο κύμα, ως αποτέεσμα της συμβοής δύο αρμονικών κυμάτων μήκους κύματος. Η διαφορά φάσης των τααντώσεων δύο σημείων του σχοινιού που απέχουν μεταξύ τους απόσταση 4 : α. είναι πάντοτε μηδέν β. είναι πάντοτε π γ. μπορεί να είναι μηδέν ή π δ. είναι πάντοτε π 4. Ποια πρόταση είναι σωστή; 39. Κατά μήκος ενός σχοινιού δημιουργείται στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: y = 2A συν 2π ημ2π t T. Σωστό ή άθος: Α. Οι δεσμοί του στάσιμου κύματος παραμένουν μονίμως ακίνητοι, ενώ οι κοιίες τααντώνονται με πάτος 2Α. Β. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι ίση με π. Γ. Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και μιας κοιίας είναι περιττό ποαπάσιο του 4. Δ. Όα τα σημεία του σχοινιού εκτός των δεσμών τααντώνονται με περίοδο Τ. 40. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι άθος; Όα τα σημεία του εαστικού μέσου που περιαμβάνονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ενός στάσιμου κύματος: α. έχουν την ίδια φάση. β. έχουν την ίδια συχνότητα ταάντωσης. γ. έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης. δ. διέρχονται ταυτόχρονα από τις θέσεις ισορροπίας τους. 41. Στο σχήμα φαίνονται δύο στιγμιότυπα στάσιμου εγκάρσιου κύματος, που έχει δημιουργηθεί σε γραμμικό εαστικό μέσο. Αν το στιγμιότυπο 1 1 A 2 (συνεχής γραμμή) αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t 1 = Τ 4 y (όπου Τ: η περίοδος των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα), τότε το στιγ-
7 μιότυπο 2 (εστιγμένη γραμμή) αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή: α. 3Τ 4 β. Τ 2 γ. Τ δ. Τ 3 Επιέξτε τη σωστή απάντηση. 42. Στο σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος, που έχει δημιουργηθεί κατά μήκος ε- νός σχοινιού. Η ενέργεια του κύματος αυτή τη χρονική στιγμή είναι: α. μηδέν β. μόνο κινητική γ. μόνο δυναμική δ. κινητική και δυναμική y t Ο Να επιέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιοογήσετε. 43. Τη χρονική στιγμή t 1, το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος το οποίο σχηματίζεται σε χορδή της ο- ποίας τα άκρα Α και Β είναι στερεωμένα, είναι το t 1 Α Β Α Β (α) (β) (Τα βέη συμβοίζουν τα διανύσματα των ταχυτήτων των αντίστοιχων σημείων της χορδής) 44. Το ένα άκρο μιας χορδής είναι ακόνητα στερεωμένο, ενώ το άο άκρο της είναι συνδεδεμένο με τααντωτή, ο οποίος δημιουργεί στάσιμα κύματα πάνω στη χορδή. Όταν η συχνότητα του τααντωτή αυξάνεται, ο αριθμός των δεσμών του στάσιμου κύματος: α. μειώνεται β. αυξάνεται γ. παραμένει σταθερός Να επιέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιοογήσετε. 45. Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση: y = 2A συν 2π 2πt ημ. Σε κοινό διάγραμμα να T παρασταθούν γραφικά με το χρόνο οι απομακρύνσεις των σημείων που βρίσκονται στις θέσεις: α) = β) = 7 6 και γ) = 9 4. 46. Να δείξετε ότι δύο σημεία του στάσιμου κύματος που απέχουν μεταξύ τους Δ = 2 βρίσκονται συνεχώς σε αντίθεση φάσης, δηαδή έχουν κάθε στιγμή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα. Α Β Α Β (γ) (δ) σχήμα (α). Να αντιστοιχίσετε τα στιγμιότυπα (β), (γ) και (δ) με τις χρονικές στιγμές: 1. t 1 + Τ 4, 2. t 1+ 3Τ 4, 3. t 1+ Τ 2, 4. t 1+ Τ 8
Μηχανικά κύματα 1. Η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι y = 0,2ημπ(5t ) (S.I.). Να βρείτε: α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και την μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης των υικών σημείων του εαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα. [Απ. 5 m/s, π m/s] β) Να σχεδιάσετε σε βαθμοογημένους άξονες: i) το στιγμιότυπο του κύματος τις χρονικές στιγμές t 1 = 0,7 s, t 2 = 1 s. ii) τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ ( M = +1,75 m) χρόνο. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ σε συνάρτηση με το γ) Να υποογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Μ ( M = +1,75 m) και Λ ( Λ = +2,5 m) για κάθε χρονική στιγμή μετά την έναρξη της ταάντωσης και των δύο σημείων. [Απ. 3π/4 rad] δ) Να υποογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι y1 = +0,1 m. [Απ. 0,5π 3 m/s] 2. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα υ = 5 m/s κατά μήκος ομογενούς χορδής σταθερού πάχους και απείρου μήκους που ταυτίζεται με τον θετικό ημιάξονα Ο. Το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση και το υικό σημείο που βρίσκεται στο αριστερό άκρο Ο ( = 0) της χορδής έχει εξίσωση ταάντωσης y = Αημωt. Ένα υικό σημείο Μ της χορδής, που έχει μάζα m = 10-4 g, αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 = 1s έχοντας ενέργεια ταάντωσης Ε = 2 10-6 J. Μεταξύ του σημείου Μ τη στιγμή που ξεκινά την ταάντωσή του και του άκρου Ο της χορδής η κυματική εικόνα έχει επαναηφθεί 5 φορές. α) Να βρείτε το πάτος του κύματος. [Απ. 0,2 m] β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο Μ. [Απ. F M = -2 10-5 ημ(10πt 10π) (S.I.), t>1 s] γ) Να βρείτε τον αριθμό των ορέων που έχουν σχηματιστεί στη χορδή τη χρονική στιγμή t 2 που το υικό σημείο Μ διέρχεται για τρίτη φορά από τη θέση ισορροπίας του μετά τη στιγμή που ξεκίνησε να τααντώνεται. [7] δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης φ της ταάντωσης του υικού σημείου Κ ( Κ = +3,25 m), σε συνάρτηση με το χρόνο. [Απ. φ K = 10πt 6,5π] Θεωρήστε π 2 = 10. 3. Ένα ημιτονοειδές κύμα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Το σημείο Ο ( = 0) του άξονα εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση της μορφής y = 0,1 ημωt. Τη χρονική στιγμή t 1 = 30 1 s το σημείο Ο διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση με απομάκρυνση y 1 = +0,05 m, ενώ τη χρονική στιγμή t 2 που το Ο φθάνει για πρώτη φορά στη θέση ισορροπίας του το κύμα έχει διαδοθεί κατά d = 0,6 m πέρα από το σημείο αυτό. α) Να υποογίσετε τη χρονική στιγμή t 2.[Απ. 0,2 s] β) Nα βρείτε με πόσα μήκη κύματος ισούται η α- πόσταση μεταξύ των σημείων Ο και Δ του εαστικού μέσου ( Δ = +2,4 m). [Απ. 2] γ) Να γράψετε την εξίσωση της φάσης του κύματος και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση τη χρονική στιγμή t 3 = 2 t 2, για όα τα σημεία του εαστικού μέσου που βρίσκονται μεταξύ του Ο και του Δ. [Απ. φ() = 2π + 5π 3 ]
9 δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση y = f(t) για το σημείο Κ του εαστικού μέσου το οποίο είναι το τρίτο κατά σειρά στον αρνητικό ημιάξονα που κάθε χρονική στιγμή, από τη στιγμή που άρχισε να τααντώνεται, έχει αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα από το σημείο Ο. 4. Για ένα γραμμικό αρμονικό κύμα που τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά από την αρχή του άξονα και διαδίδεται κατά τη θετική φορά, η φάση του τη χρονική στιγμή t = 2 s μεταβάεται σε συνάρτηση με την απόσταση από την αρχή Ο του άξονα σύμφωνα με τη σχέση φ = 4π(2-) (S.I.). Αν το πάτος του κύματος είναι Α = 0,1 m: α) να βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [Απ. 2 Hz, 1 m/s] β) να γράψετε την εξίσωση του κύματος. [Απ. y = 0,1ημ4π(t-) (S.I.)] γ) να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος για τη χρονική στιγμή t = 2 s. δ) να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση των σημείων του μέσου, που απέχουν = 1 m από την αρχή του άξονα, τη χρονική στιγμή t = 5 s. [Απ. 0,4π m/s, 0] 5. Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου, με ταχύτητα υ = 40 m/s προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Κάποια στιγμή, οι φάσεις των τααντώσεων δύο σημείων Α και Β του μέσου είναι φ Α = 15π rad και φ Β = 45π rad, αντίστοιχα. Το σημείο Β βρίσκεται σε απόσταση Β = 5 m από την αρχή Ο του άξονα και είναι το τρίτο κατά σειρά σημείο του εαστικού μέσου που έχει μόνιμα αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα από το Ο. α) Να εξετάσετε αν το κύμα διαδίδεται από το Α προς το Β ή αντίθετα. [Απ. από το Β προς το Α] β) Να υποογίσετε τη συχνότητα του κύματος. [Απ. 20 Hz] γ) Να υποογίσετε την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. [Απ. 30 m] δ) Όταν το σημείο Β διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά, ποια είναι η απομάκρυνση και η φορά κίνησης του σημείου Α; [Απ. 0, θετική φορά] 6. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με μήκος κύματος = 20 cm, προς την αρνητική φορά του ά- ξονα. Η απομάκρυνση ενός σημείου Ο, το ο- ποίο θεωρούμε αρχή του άξονα, δίνεται από την εξίσωση y = 2 10-2 ημ20πt (S.I.). α) Nα υποογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [Απ. 2 m/s] β) Nα γράψετε την εξίσωση του κύματος. [Απ. y = 2 10-2 ημ2π (10t+5)] γ) να βρείτε τη διαφορά φάσης Δφ = φ Α - φ Β μεταξύ των τααντώσεων των σημείων Α ( = 0,4 m) και Β ( = -0,4 m) του εαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή. [Απ. 8π] δ) Όταν το σημείο Α βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του, σε ποια απομάκρυνση βρίσκεται το σημείο Β; [Απ. ίδια με το Α]
10 7. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πάτους Α = 0,4 m διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα. φ(rad) 0 10 t(s) -10π Η απομάκρυνση της πηγής Ο που είναι και η αρχή του άξονα δίνεται από τη σχέση y = Aημωt. Στο διάγραμμα φαίνεται η μεταβοή της φάσης ενός σημείου Α που βρίσκεται στη θέση Χ Α = 20 m, σε συνάρτηση με το χρόνο t. α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. [Απ. y = 0,4ημ2π( t 2 4 ) (S.I.)] β) H φάση ενός σημείου Β είναι μεγαύτερη από τη φάση του Α κατά 6π (rad) την ίδια χρονική στιγμή. Να γίνει το διάγραμμα της απομάκρυνσης του σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να σχεδιαστεί το διάγραμμα y = f() τη χρονική στιγμή t = 1,5 s (στιγμιότυπο του κύματος). 8. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε εαστικό μέσο κατά μήκος του άξονα. Η αρχή του άξονα τη χρονική στιγμή t = 0 έχει y = 0 και υ > 0. Τη χρονική στιγμή t = 2 s η φάση μεταβάεται σε συνάρτηση με την απόσταση από την πηγή του κύματος όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. φ(rad) 8π 0 2 (m) Αν το πάτος είναι Α = 0,1 m: α) Nα βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [Απ. 2 Hz, 1 m/s] β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. [Απ. y = 0,1ημ4π(t-) (S.I.)] γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 2 s. δ) Να βρείτε την ταχύτητα ταάντωσης και την επιτάχυνση των σημείων του άξονα που απέχουν από την αρχή απόσταση = 1 m τη χρονική στιγμή t = 5 s. [Απ. 0,4π m/s, 0] 9. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ = 4 m/s, προς την θετική φορά του άξονα. Ένα σημείο Μ του μέσου, το οποίο βρίσκεται στη θέση = +2 m, εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση y Μ = 0,1ημ8πt (S.I.). α) Να βρείτε το μήκος κύματος. [Απ. 1 m] β) Να γράψετε την εξίσωση της πηγής του κύματος, αν αυτή βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα. [Απ. y = 0,1ημ(8π t+4π) (S.I.)] γ) Ποια είναι η ταχύτητα της πηγής όταν η ταχύτητα του σημείου Μ είναι 2 m/s; [Απ. 2 m/s] 10. Η εξίσωση της ταάντωσης της πηγής ενός αρμονικού κύματος δίνεται από τη σχέση y = 2ημ(2πt + φ 0 ) (t σε s, y σε cm). Tη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Όταν η πηγή περνάει από τη θέση ισορροπίας της για τρίτη φορά, το κύμα που παράγεται απ αυτήν έχει διαδοθεί σε απόσταση d = 25 cm. α) Να βρείτε την αρχική φάση φ 0. [Απ. π/2 rad]] β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, αν η πηγή βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα και το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. [Απ. y = 2ημ2π(t- 20 + 1 4 )] γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα μόριο του εαστικού μέσου το οποίο βρίσκεται στη θέση = 10 cm.
11 [Απ. υ = 4πσυν2π(t- 1 4 ), α = -8π2 ημ2π(t- 1 4 )] δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 1,5 s. 11. * Δύο εαστικά νήματα μεγάου μήκους συνδέονται στο σημείο Ο και σχηματίζουν εαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα O. Το σημείο σύνδεσης O ( = 0), αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 = 0 να κινείται κατακόρυφα με την επίδραση δύο τααντώσεων: y α = 5 ημ(10πt + π 3 ) και y β = 5 3 ημ(10πt - π 6 ) (y α, y β σε cm, t σε s). Σημείο Μ του ενός νήματος που βρίσκεται στη θέση Μ = 2m, αρχίζει να τααντώνεται μετά από χρόνο t M = 0,4s, ενώ σημείο Ν του άου νήματος με N = -2m, αρχίζει να τααντώνεται μετά από χρόνο t N = 0,3s. α) Να βρείτε την εξίσωση κίνησης του σημείου Ο. [Απ. y Ο = 0,1 ημ10πt (S.I.)] β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιουργούνται. [Απ. y 1 = 0,1ημ2π(5t-), y 2 = 0,1ημ2π(5t+ 3 4 )(S.I.)] γ) Να βρείτε την φάση των σημείων του εαστικού μέσου τη στιγμή t 1 = 0,6s και να την παραστήσετε γραφικά. [Απ. φ 1 = 2π(3-), φ 2 = 2π(3+ 3 4 )(S.I.)] δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του εαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 1. ε) Να βρείτε την διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Μ και Ν τη χρονική στιγμή t 1. [Απ. φ N - φ Μ = π rad] στ) Να βρείτε πόσα σημεία του εαστικού μέσου, έχουν κατά τη χρονική στιγμή t 1, κινητική ενέργεια ίση με την δυναμική ενέργεια ταάντωσής τους. [Απ. 24 σημεία] ζ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το σημείο Μ έχει κινητική ενέργεια τριπάσια της δυναμικής ενέργειας ταάντωσής του για δεύτερη φορά. [Απ. 29 60 s] η) Να βρείτε την απομάκρυνση και την ταχύτητα ταάντωσης του σημείου Ν όταν το σημείο Μ έχει απομάκρυνση -8cm κινούμενο προς τη θέση ι- σορροπίας του. [Απ. 8 cm, -0,6π m/s] θ) Να βρείτε την ενέργεια ταάντωσης στοιχειώδους τμήματος του νήματος που έχει μάζα Δm = 10-4 kg. [Απ. 5π 2 10-5 J] ι) Αν η μάζα ανά μονάδα μήκους του νήματος που είναι στο θετικό ημιάξονα είναι 0,2kg/m και του νήματος στον αρνητικό ημιάξονα είναι 0,4kg/m, να βρείτε την ενέργεια που παρέχει η πηγή στη μονάδα του χρόνου. [Απ. Συμβοή 2 11π 6 W] 12. Σε δύο σημεία Κ και Λ της επιφάνειας υγρού υ- πάρχουν δύο πηγές που δημιουργούν τη χρονική στιγμή t = 0 ταυτόχρονα αρμονικά κύματα πάτους Α = 3 cm, συχνότητας f = 10 Hz και ταχύτητας διάδοσης υ = 1 m/s. Αν σ ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού, που απέχει από τις πηγές αποστάσεις αντίστοιχα ΜΚ = r 1 = 80 cm και ΜΛ = r 2 = 57,5 cm, επιπέει μικρός φεός, να βρείτε: α) Τη χρονική στιγμή που αρχίζει να τααντώνεται ο φεός. [Απ. 0,575 s] β) Την εξίσωση της απομάκρυνσης του φεού από τη θέση ισορροπίας του, όταν τα κύματα από τις πηγές συμβάουν. [Απ. y = 0,03 2 ημ2π(10t-6,875) (S.I.)]
12 γ) Την απομάκρυνση του φεού από τη θέση ι- σορροπίας του τις χρονικές στιγμές t 1 = 0,5 s, t 2 = 0,7 s και t 3 = 1 s. [Απ. 0, 3 cm, 3 cm] 13. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με το ίδιο πάτος Α = 1 cm και την ίδια συχνότητα f = 1 Hz. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ = 40 cm/s. Ένα μικρό κομμάτι φεού βρίσκεται στο σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού που απέχει από τις δύο πηγές r 1 = 120 cm και r 2 = 40 cm αντίστοιχα. Να βρεθούν: α) Η απομάκρυνση του φεού, τη χρονική στιγμή 49 t 1 = 12 s καθώς και η ταχύτητα ταάντωσής του εκείνη τη στιγμή; [Απ. 1 cm, 2π 3 cm/s] β) Ποια χρονική στιγμή ο φεός βρίσκεται για πρώτη φορά στη θέση y = +2 cm. [Απ. 3,25 s] 14. Σ ένα σημείο Κ της επιφάνειας υγρού που απέχει r 1 = 8 m και r 2 = 6 m από δύο πηγές Π 1 και Π 2 αντίστοιχα, φθάνουν ταυτόχρονα απ' αυτές δύο ε- γκάρσια κύματα της μορφής y 1 = Aημ(πt-πr 1 +φ 0 ) και y 2 = Aημ(πt-πr 2 ) (S.I.). Για ποια τιμή της φ 0 το σημείο Κ θα παραμένει συνεχώς ακίνητο; [Απ. π] 15. Δύο μεγάφωνα Α και Β εκπέμπουν ημιτονοειδή ηχητικά κύματα της ίδιας συχνότητας. Ένας α- κροατής βρίσκεται σε σημείο Κ, που απέχει αποστάσεις r 1 = 5 m και r 2 = 4 m αντίστοιχα από τα μεγάφωνα Α και Β. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι υ = 340 m/s, να βρείτε για ποιες συχνότητες ο ακροατής στο σημείο Κ ακούει ήχο μέγιστης και για ποιες δεν ακούει καθόου ήχο. [Απ. 340Ν Hz, 170(2Ν+1) Hz, N = 0,1,2... ] έντασης 16. Για να μετρήσουμε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια υγρού, κάνουμε το παρακάτω πείραμα: δημιουργούμε στην επιφάνεια του υγρού δύο σύγχρονες πηγές (πηγές σε φάση) Π 1 και Π 2 αρμονικών κυμάτων με συχνότητα f = 20 Hz. Η διαφορά των αποστάσεων από τις πηγές ενός σημείου Α που παραμένει ακίνητο είναι r 2 - r 1 = 145 cm, ενώ η διαφορά των αποστάσεων από τις πηγές ενός άου σημείου Β που παραμένει επίσης ακίνητο είναι r 2 - r 1 = 255 cm. Αν στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ υπάρχουν ακόμη 10 ακίνητα σημεία, να βρείτε την ταχύτητα υ των κυμάτων. [Απ. 2 m/s] 17. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2, που απέχουν μεταξύ τους d = 6 m, δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με το ίδιο πάτος Α = 2 cm και την ίδια συχνότητα f. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ = 16 m/s. Έχει προσδιοριστεί πειραματικά ότι το μήκος κύματος των κυμάτων που παράγουν οι πηγές βρίσκεται στην περιοχή μεταξύ 1 = 0,65 m και 2 = 1 m. Ένα μικρό κομμάτι φεού βρίσκεται στο σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού, σε απόσταση r 2 = 8 m από την πηγή Π 2 και πάνω στην κάθετο προς το ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π 2 που διέρχεται από το σημείο Π 2. Αν το κομμάτι του φεού παραμένει συνεχώς ακίνητο, να υποογίσετε: α) Τη συχνότητα f. [Απ. 20 Hz] β) Το πάτος της ταάντωσης ενός άου μικρού κομματιού φεού, που βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π 2, σε απόσταση 1 = 3,1 m από την πηγή Π 1. [Απ. 2 2 cm] 18. Στην επιφάνεια ενός υγρού δημιουργούνται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα πάτους 3cm και συχνότητας 10 Hz τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 3,6 m/s. Τα κύματα παράγονται από δύο πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν μεταξύ τους 12 cm και αρχίζουν να τααντώνονται ταυτόχρονα τη χρονική στιγμή t = 0. Ένα σημείο Μ, που βρίσκε-
13 ται στην κάθετο της Π 1 Π 2 η οποία διέρχεται από την Π 2, είναι το σημείο με την μικρότερη φάση, από αυτά που που τααντώνονται με πάτος 3 3 cm. Να υποογίσετε: α) τις αποστάσεις r 1 και r 2 του Μ από τις πηγές Π 1 και Π 2 αντίστοιχα. [Απ. 15 cm, 9 cm] β) την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του Μ τη χρονική στιγμή t = 11 120 s. Θεωρήστε π 2 10. [Απ. -1,5 3 cm, -0,9π m/s, 60 3 m/s 2 ] 19. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα της επιφάνειας ενός υγρού και τααντώνονται με εξίσωση y = 0,05ημ10πt (S.I.). Οι δύο πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 0,4 m και τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού διανύοντας το καθένα μήκος Δ = 0,1 m σε κάθε περίοδο ταάντωσης της πηγής που τα δημιουργεί. Σε σημείο Ζ της επιφάνειας του υγρού, το οποίο απέχει από την πηγή Π1 απόσταση r 1 και από την πηγή Π 2 απόσταση r 2 (r 1 > r 2 ), τα κύματα φθάνουν με διαφορά φάσης Δφ = 7π rad. α) Να εξετάσετε εάν στο σημείο Ζ όγω της συμβοής των δύο κυμάτων εμφανίζεται ενίσχυση ή απόσβεση. β) Να υποογίσετε την απόσταση του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ από το σημείο Δ το οποίο είναι το σημείο τομής του τμήματος ΚΛ και της υπερβοής ενίσχυσης ή απόσβεσης (όπως προέκυψε από το α ερώτημα) που διέρχεται από το σημείο Ζ. [Απ. 0,175 m] γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του υικού σημείου Θ, το οποίο βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ σε απόσταση ενός μήκους κύματος από το μέσο Μ, μετά τη στιγμή συμβοής των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό. [Απ. y = 0,1ημ(10πt-4π) (S.I.)] δ) Να υποογίσετε τη χρονική στιγμή, μετά τη συμβοή, που το σημείο Μ φθάνει για πρώτη φορά σε απομάκρυνση y = +0,05 m. [Απ. 5 12 s] 20. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με το ίδιο πάτος Α = 0,5 cm και την ίδια περίοδο Τ = 0,2 s. Ένα μικρό κομμάτι φεού βρίσκεται στο σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού και απέχει από τις δύο πηγές r 1 = 28 cm και r 2 = 44 cm αντίστοιχα. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ = 0,4 m/s. α) Ποια είναι η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων στο σημείο Μ, την ίδια χρονική στιγμή; [Απ. 4π] β) Ποιο είναι το πάτος της ταάντωσης του φεού; [Απ. 1 cm] γ) Κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Π 1 Π 2 βρίσκεται ένα δεύτερο μικρό κομμάτι φεού. Ποια είναι η εάχιστη απόσταση του φεού από το μέσο του τμήματος Π 1 Π 2, ώστε ο φεός να παραμένει διαρκώς ακίνητος; [Απ. 2 cm] 21. Δύο πηγές κυμάτων Π 1 και Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα με πάτος Α = 2 cm, περίοδο Τ = 1 s και την ίδια φάση. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ=10cm/s. Ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει αντίστοιχα από τις δύο πηγές r 1 = 20 cm και r 2, τέτοια ώστε 22 cm < r 2 < 26 cm. α) Πόση είναι ακριβώς η απόσταση r 2, αν το σημείο Μ παραμένει διαρκώς ακίνητο; [Απ. 25 cm] β) Να βρείτε τις εξισώσεις y 1 = f(t) και y 2 = f(t) των τααντώσεων που εκτεεί το σημείο Μ, όγω των κυμάτων που φθάνουν από τις πηγές Π 1 και Π 2 α-
14 ντίστοιχα. [Απ. y 1 = 2ημ2π(t-2), y 2 = 2ημ2π(t-2,5), y 1, y 2 σε cm και t σε s] γ) Με τη βοήθεια των εξισώσεων του προηγούμενου ερωτήματος να εξηγήσετε γιατί το σημείο Μ παραμένει συνεχώς ακίνητο. [Απ. Δφ = π] Στάσιμα κύματα 22. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα, που έχουν το ίδιο πάτος και την ίδια συχνότητα, διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος του ίδιου εαστικού μέσου, προς αντίθετες κατευθύνσεις. Τα δύο κύματα συμβάουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η ε- ξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση είναι: y 1 = 4ημπ(2t- ), όπου τα 20, y 1 σε cm και t σε s. Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( = 0) μια κοιία του στάσιμου κύματος και ως αρχή των χρόνων (t = 0) τη χρονική στιγμή που στη θέση = 0 η φάση της ταάντωσης είναι φ = 0. α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση. [Απ. y 2 = 4ημπ(2t+ ),, y σε cm και t σε s] 20 β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [Απ. y = 8συν π ημ2πt,, y σε cm και t σε s] 20 γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης, της πησιέστερης προς τη θέση = 0 κοιίας του στάσιμου κύματος. [Απ. y = -8ημ2πt, y σε cm και t σε s] δ) Πόσοι δεσμοί υπάρχουν μεταξύ των θέσεων = 0 και = 80 cm; [Απ. 4] 23. Γραμμικό εαστικό μέσο εκτείνεται κατά μήκος του άξονα. Δύο σημεία του Α και Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση 20 cm και αρχίζουν να τααντώνονται κατακόρυφα με την ίδια συχνότητα f = 5 Hz και πάτος Α = 4 cm. Κατά μήκος του εαστικού μέσου διαδίδονται τα ημιτονοειδή εγκάρσια κύματα που παράγονται όγω της ταάντωσης των σημείων Α και Β. Το μήκος κύματος είναι = 4 cm. Θεωρούμε αρχή του άξονα το μέσο Ο της απόστασης ΑΒ, με το Α αριστερά και το Β δεξιά. Επίσης θεωρούμε αρχή του χρόνου, τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα κύματα συναντώνται στο Ο και είναι, για το σημείο Ο, y = 0 και υ > 0. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από τη συμβοή των δύο κυμάτων. [Απ. y = 8συν π 2 ημ10πt,, y σε cm και t σε s] β) Να βρείτε τις θέσεις και τον αριθμό των δεσμών και κοιιών που σχηματίζονται. (Στάσιμο κύμα κατά μήκος του εαστικού μέσου σχηματίζεται μόνο μεταξύ των σημείων Α, Β. Αριστερά του Α και δεξιά του Β, τα κύματα διαδίδονται κατά την ίδια κατεύθυνση). [Απ. Δ = (2κ+1) cm, -5 κ 4, 10 δεσμοί, Κ = 2κ cm, -5 κ 5, 11 κοιίες] γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με το χρόνο για τη δεύτερη προς τα δεξιά κοιία μετά το Ο. [Απ. y = 8 ημ10πt,, y σε cm και t σε s] 24. Ένα οριζόντιο σχοινί έχει στο ένα άκρο του στερεωμένο δακτύιο, ο οποίος περιβάει κατακόρυφο σωήνα μικρότερης διαμέτρου. Αν αρχίσουμε να τααντώνουμε το εεύθερο άκρο του σχοινιού κατακόρυφα με σταθερή συχνότητα, τότε διαδίδεται προς τα δεξιά ένα εγκάρσιο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: y 1 =4ημ2π(10t- 60 ) (, y 1 σε cm και t σε s). α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [Απ. 6 m/s]
15 β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται από το προσπίπτον και το ανακώμενο κύμα. [Απ. y = 8συν π 30 ημ20πt,, y σε cm και t σε s] γ) Για ένα τμήμα του σχοινιού από τη θέση = 0 που ταυτίζεται με μία κοιία, μέχρι τη θέση = 90 cm, όπου βρίσκεται ο δακτύιος, να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος κατά τις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 0,025 s. δ) Να βρείτε το πάτος της ταάντωσης του σημείου του σχοινιού που βρίσκεται σε απόσταση d = 37,5 cm από τον δακτύιο. [Απ. 4 2 cm] Δίνεται ότι, επειδή ο δακτύιος είναι εεύθερος να κινηθεί πάνω-κάτω, το προσπίπτον κύμα ανακάται χωρίς μεταβοή φάσης. 25. Πηγή κυμάτων Α δημιουργεί εγκάρσια κύματα στην ήρεμη επιφάνεια υγρού με συχνότητα f = 2 Hz, πάτος Α = 0,1 m και ταχύτητα διάδοσης υ = 1 m/s. Ένα σημείο Γ της επιφάνειας του υγρού απέχει απόσταση d = (AΓ) = 7 m από την πηγή Α. 4 Στο σημείο Δ της μεσοκαθέτου της ΑΓ τοποθετούμε ανακαστήρα κυμάτων, κάθετο στην επιφάνεια του υγρού και παράηο προς την ΑΓ. Α Δ α) Να υποογίσετε την εάχιστη απόσταση ΜΔ (Μ το μέσο της ΑΓ) έτσι ώστε στο σημείο Γ να έ- χουμε απόσβεση. [Απ. 15 M K Γ 8 m] β) Αν τοποθετήσουμε τον ανακαστήρα κάθετα στην ΑΓ στο σημείο Κ, με ΑΚ = 13 m, τότε στο ευ- 8 θύγραμμο τμήμα ΑΚ δημιουργείται στάσιμο κύμα, με κοιία στο σημείο Α και δεσμό στο Κ. i. να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [Απ. y = 2 10-1 συν4π ημ4πt (S.I.)] ii. να βρείτε πόσες κοιίες περιέχονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΚ. [Απ. 7] iii. να βρείτε το πάτος της ταάντωσης του σημείου Μ. [Απ. 0] 26. Κατά μήκος μιας χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: y = 4συν π 10 ημ25πt (, y σε cm και t σε s). Υποθέτουμε ότι στη θέση = 0 βρίσκεται μία κοιία Ο της οποίας η φάση είναι μηδέν για t = 0. α) Να βρείτε τον αριθμό των κοιιών του στάσιμου κύματος που περιαμβάνονται μεταξύ δύο δεσμών (Σ και Σ ) που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 50 cm. [Απ. 5] β) Μεταβάοντας κατάηα τη συχνότητα των δύο κυμάτων, δημιουργούμε νέο στάσιμο κύμα. Αν τα σημεία Σ και Σ είναι δεσμοί και του νέου κύματος και ο αριθμός των κοιιών που περιαμβάνονται μεταξύ των Σ και Σ είναι κατά μία ιγότερες από πριν, να γράψετε την εξίσωση του νέου στάσιμου κύματος. [Απ. y = 4συν 2π ημ20πt,, y σε 25 cm και t σε s] 27. Φυσώντας κατάηα στα χείη ενός άδειου μπουκαιού, δημιουργείται στάσιμο κύμα το ο- ποίο περιγράφεται από την εξίσωση y = 4 10-3 συν π ημ3800πt (S.I.), με = 0 στα 0,09 χείη του μπουκαιού, όπου σχηματίζεται κοιία. Το μήκος του μπουκαιού είναι L = 22,5 cm και στον πυθμένα του δημιουργείται δεσμός.
16 Α.α) Να υποογίσετε την ταχύτητα του ήχου στον y Ζ (m) αέρα και να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων +0,2 από τα οποία προήθε το στάσιμο κύμα. [Απ. 342 m/s, y 1,2 = 2 10-3 ημ2π(1900t 0,18 ),(S.I.)] 0 0,1 0,2 0,3 0,4 t(s) β) Να υποογίσετε τον συνοικό αριθμό των σχηματιζόμενων δεσμών στο μπουκάι. [Απ. 3] Β. Ρίχνουμε στο μπουκάι νερό και μειώνουμε το μήκος της αέριας στήης κατά 30%. Φυσώντας τώρα (με διαφορετικό τρόπο), δημιουργείται νέο στάσιμο κύμα, με κοιία στα χείη, δεσμό στον πυθμένα και 5 συνοικά δεσμούς. α) Να βρείτε το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το νέο στάσιμο κύμα. [Απ. 7 cm] β) Να γράψετε τη νέα εξίσωση του στάσιμου κύματος και να βρείτε το πάτος της ταάντωσης των μορίων του αέρα που απέχουν απόσταση = 10,5 cm από τα χείη του μπουκαιού. [y = 4 10-3 συν 2π 0,07 ημ9771,4πt (S.I.), 4 10-3 m] 28. Δύο αρμονικά κύματα πάτους Α = 0,1 m διαδίδονται με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ = 4 m/s σε γραμμικό εαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον ά- ξονα και συμβάοντας δημιουργούν στάσιμο κύμα. Στο σχήμα φαίνεται για το υικό σημείο Ζ ( Ζ > 0) η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο y = f(t), από κάποια στιγμή που θεωρείται t = 0 και μετά, αφού έχει δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα σε όο το εαστικό μέσο. Στην αρχή του άξονα ( = 0) δημιουργείται κοιία και το υικό σημείο του εαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση αυτή εκτεεί απή αρμονική ταάντωση περνώντας τη χρονική στιγμή t = 0 από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. -0,2 α) Να υποογίσετε το μήκος κύματος των συμβαόντων κυμάτων. [Απ. 0,8 m] β) Να υποογίσετε τη θέση του σημείου Ζ στον ά- ξονα αν γνωρίζετε ότι μεταξύ των σημείων Ο και Ζ υπάρχουν 4 δεσμοί. [Απ. +1,6 m] γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας ταάντωσης και της επιτάχυνσης ενός υικού σημείου Μ που απέχει από το σημείο Ζ απόσταση d = 0,3 m και βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα, μεταξύ του 5ου και του 6ου δεσμού (μετρώντας από την αρχή Ο). Θεωρήστε π 2 =10. [Απ. v M = -π 2 συν10πt, α M = 100 2 ημ10πt (S.I.)] δ) Μεταβάοντας την συχνότητα των αρμονικών κυμάτων που συμβάοντας δημιουργούν το στάσιμο κύμα, πετυχαίνουμε να δημιουργήσουμε 2 κοιίες μεταξύ των σημείων Ο και Ζ, με το Ζ να έχει γίνει δεσμός και το σημείο Ο να παραμένει κοιία. Να υποογίσετε την % μεταβοή της συχνότητας [Απ. -37,5%] 29. Χορδή μήκους L = 0,8 m έχει τα άκρα της ακόνητα στερεωμένα. Όταν ένα σημείο της χορδής τίθεται σε ταάντωση, κατά μήκος της χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα με τέσσερις κοιίες που τααντώνονται με πάτος Α = 4 10-2 m. Η ταχύτητα διάδοσης των αρμονικών κυμάτων που συμβάουν είναι υ = 5 m/s. α) Να βρείτε το μήκος κύματος των συμβαόντων κυμάτων. [Απ. 0,4 m] β) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης δύο διαδοχικών κοιιών Κ 1 και Κ 2 του στάσιμου
17 κύματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Ως αρχή των χρόνων (t = 0) να θεωρήσετε τη χρονική στιγμή που η κοιία Κ 1 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται κατά τη θετική φορά. [Απ. y 1 = 4 10-2 ημ25πt, y 2 = -4 10-2 ημ25πt (S.I.)] 30. Mία χορδή έχει μήκος L = 1 m. Το ένα άκρο είναι εεύθερο, ενώ το άο δένεται σε ακόνητο σημείο. Στη χορδή διαδίδεται κύμα με ταχύτητα υ =8m/s. α) Ποιων συχνοτήτων κύματα δημιουργούν στη νήμα μεγάου μήκους που ταυτίζεται με τον ά- ξονα Ο. χορδή στάσιμα κύματα; [Απ. 2(2k+1) Hz, k Ν] β) Αν το πάτος της ταάντωσης είναι Α = 4 cm, να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. (Θεωρήστε ότι το εεύθερο άκρο της χορδής είναι κοιία του στάσιμου κύματος). 2κ+1 2 [Απ. y = 0,08συν( π ) ημ4π(2κ+1)t,(si) k Ν] 31. Χορδή έχει μήκος L = 16 cm. Από τα δύο άκρα της αρχίζουν να διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος της χορδής δυο εγκάρσια κύματα που έχουν πάτος Α = 2 cm, μήκος κύματος = 4 cm και συχνότητα f = 10 Ηz. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων και την εξίσωση του κύματος που προκύπτει από τη συμβοή τους. [Απ. y 1 = 2ημ2π(10t- 4 ), y 2 = 2ημ2π(10t+ 4-4), y=4συν2π(2- )ημ2π(10t-2),,y σε cm, t σε s] 4 β) Βρείτε το πάτος της ταάντωσης ενός σημείου που απέχει απόσταση = [Απ. 2 cm] 4 3 cm από το ένα άκρο. 32. Σώμα 2 μάζας m 2 = 3 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού εατηρίου σταθεράς k = 300 Ν/m, το άο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή και είναι ακίνητο σε ύψος h = 0,15 m πάνω από το οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα αυτό είναι δεμένο οριζόντιο αβαρές Σώμα 1 μάζας m 1 = 1 kg βάεται από το δάπεδο κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ 0, στη διεύθυνση του άξονα του εατηρίου, και τη χρονική στιγμή t = 0 συγκρούεται κεντρικά και εαστικά με το σώμα 2, με αποτέεσμα αυτό να τααντώνεται, κι έτσι να διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά μήκος του οριζόντιου νήματος με εξίσωση y = 0,05ημ(10t-2π) (SI). α) Να υποογίσετε το μέτρο της ορμής του σώματος 2 αμέσως μετά την κρούση. [Απ. 1,5 kg m/s] β) Να βρείτε την ταχύτητα υ 0. [Απ. 2 m/s] γ) Να υποογίσετε την μεταβοή της ορμής του σώματος 1 εξαιτίας της κρούσης. [Απ. -1,5 kg m/s] δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 0,75π s Δίνεται: g = 10 m/s 2. Απόστοος Γεωργάκης Φυσικός