ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α Β)=Ρ(Α) Ρ(Α Β). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 4 Α3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα f μιας παρατήρησης x ενός δείγματος. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6 x. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες ΘΕΜΑ Β δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M)=, η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P(A)= 4λ 4 7 και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P(K)= 5 λ +, όπου 4 λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<7, τότε Β. Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68 Β. Να υπολογιστεί η τιμή του λ Μονάδες 6 Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β4. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0) Β(0, 0) Γ(, 0) (4, y ) E(6, y Ε ) Ζ(8, 0) Η(0, 0) όπου y, y Ε οι τεταγμένες των κορυφών και Ε του πολυγώνου ΑΒΓ ΕΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y και y Ε των κορυφών και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 400 ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f %. Μονάδες 3 Γ3. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων f % της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 5000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 Γ5. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτημα. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f (x) = e x x 3 x+ 0 5, x. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ΑŒΒ και Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α»Β), Ρ(Β Α). 3. ίνεται η συνάρτηση h (x) = e 3x x 5 x 3, x. α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=h(x). Μονάδες 8 Μονάδες 3 β) Aν x < x < x 3 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και v =x +, =,,3 οι συχνότητες των παρατηρήσεων x τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. ύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα όταν A B =. Α3. Θεωρία, σελ. 65 σχολικού βιβλίου. Η σχετική συχνότητα f µιας τιµής x ενός v δείγµατος, προκύπτει από το λόγο f=, όπου v είναι η συχνότητα της τιµής x προς v το µέγεθος v του δείγµατος. Έτσι, αν πολλαπλασιαστεί επί 00 εκφράζει την ποσοστιαία εµφάνιση της τιµής x, σε σχέση µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Έστω ( A ), ( K ), ( M ) τα πλήθη αντίστοιχα των άσπρων ( A ), κόκκινων ( K ) και ( M ) µαύρων ( M ) σφαιρών. Επειδή P( M ) =, θα είναι: = ( Ω ) = 4 ( M ). 4 ( Ω) 4 Αφού 64 < ( Ω ) < 7 έπεται 64< 4 ( M ) < 7 6 < ( M ) < 8. Αφού ( M ) είναι φυσικός αριθµός, προκύπτει ( M ) = 7. Άρα ( Ω ) = 4 7 = 68. Β. Είναι Α Κ Μ =Ω, άρα P( Α Κ Μ ) = P( Ω ) = (), µε A M =, A K =, M K =, δηλαδή τα Α, Κ, Μ, είναι ανά δύο ασυµβίβαστα. Έτσι η () γράφεται P( A) + P( K) + P( M ) =. 7 Προκύπτει έτσι + 4λ 5λ + = 4λ 5λ + = 0 λ = ήλ =. 4 4 4 Για λ= προκύπτει P( A= ) 4, οπότε η τιµή λ = απορρίπτεται διότι 0 P( A). Για λ= προκύπτει P( A= ), P( Κ ) =, P( Μ ) =. Άρα η τιµή λ= είναι η 4 4 4 4 ζητούµενη. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΥΦΗ
Β3. Ν( Μ) P( Μ ) = = Ν( Μ ) = Ν( Ω ) = 68= 7. 4 Ν( Ω) 4 4 4 Ν( Α) Επίσης, P( A) = = Ν( Α ) = Ν( Ω ) = 68= 7. 4 Ν( Ω) 4 4 4 ' ( K) P ( K) = = ( K) = ( Ω ) = 68= 34. ( Ω) Β4. Έστω Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί άσπρη σφαίρα και Μ το ενδεχόµενο να επιλεγεί µαύρη σφαίρα. Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχοµένου A M. Επειδή τα Α, Μ είναι ασυµβίβαστα, είναι: P( A M ) = P( A) + P( M ) = + =. 4 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι: 7 y ye x = x f = 8 0 + 0 0,+ 0, + 4 + 6 + 8 0,+ 0 0 = 00 00 Επειδή είναι x= 4, και y = y Ε έπεται y 4, = +,4 + 30 y +,8 4, 5, = 30 y 9 = 00 00 30. Άρα: y = y Ε = 30 Γ. Είναι: ος τρόπος: Επειδή y + y Ε = 60 και Ε // x x είναι y = y Ε. Έτσι προκύπτει y = y Ε = 30. f% 30 0 0 A B Γ 8 0 4 6 8 0 E Z x (χιλιάδες ευρώ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΥΦΗ H
Γ3. Είναι: [ - ) x f % 9-0 0-3 0 3-5 4 30 5-7 6 30 7-9 8 0 Σύνολο 00 Γ4. Σύµφωνα µε τον πίνακα του ερωτήµατος Γ3, το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν το επιπλέον εφάπαξ ποσό είναι 40%. Γ5. Είναι ν = 80, διότι το εµβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το πλήθος ν των µετρήσεων. Έτσι ο αριθµός των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό, που αναφέρεται στο ερώτηµα Γ4, είναι: 80 40% = 3. ΘΕΜΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε ' ' x x x+ x x x+ 3 0 5 3 0 5 3 f '( x) = e = e x x + x = 3 0 5 x x x+ 3 0 5 3 = e 3x x + x = 3 5 5 x x x+ 3 0 5 x x x+ 3 0 5 e 3 x x + 5 5 x x x+ 3 0 5 f '( x) = 0 e x x + = 0 (αφού e 0 x R) 5 5 x x + = 0 5x x + = 0 x = ή x =. 5 5 3 5 Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνακας µεταβολών: x f f - /3 /5 + + - + ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΥΦΗ
Εποµένως η f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, 3, γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, 3 5, γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, +. 5. Η f σύµφωνα µε το παρουσιάζει: τ. µέγιστο στη θέση x= 3 τ. ελάχιστο στη θέση x =. 5 3. α) Είναι A B άρα P( A) P( B), οπότε Ακόµα, επειδή A B A B = A. P( A= ) και 3 Οπότε: P( A B) = P( A) =. 3 P( A B) = P( A) P( A B) = = 0. 3 3 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + =. 3 5 3 5 P( B A) = P( B) P( A B) = =. 5 3 5 3x x( x x+ ) x( x ) e x 3 0 5 5 3 4 PB= ( ). 5 f( x) = h( x) e = e 3x 3x xx ( x + ) = x( x ) 5 x ( x x + ) = 3 x( x ) 3 0 5 5 3 0 5 3 3x 5 x ( x x + ) 3 x( x ) = 0 0 5 3 9x x(5x x + + 3x + ) = 0 5x x( x + 3) = 0 xx ( 5x + 6) = 0 x = 0, x =, x3 = 3. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΥΦΗ
β) Είναι: ν = + = 0 + =. x x 3 x3 ν = + = + = 5. ν = + = 3+ = 7. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων: Άρα 0+ 0+ 3 x= =. 3 3 x v x v x = 0 v = 0 x = v = 5 0 x 3 = 3 v 3 = 7 v = 3 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΥΦΗ