Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι αν A B τότε P A P B. (7 Μονάδες )

Transcript

1 Τάξη Μάθημα : Γ Λυκείου : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Εξεταστέα Ύλη : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Καθηγητής : Καμπάς Νικόλαος Ημερομηνία : 3/02/2013 ΘΕΜΑ 1: Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι αν A B τότε P A P B. (7 Μονάδες ) Β. Πότε ένα δείγμα λέγετε αντιπροσωπευτικό ; (4 Μονάδες ) Γ. Να δώσετε τον Αξιωματικό Ορισμό Πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α. Δ. Να σημειώσετε αν οι πιο κάτω προτάσεις είναι ΣΩΣΤΕΣ ή ΛΑΘΟΣ ; (4 Μονάδες ) i. Η διακύμανση εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. ii. Σε κανονική κατανομή ισχύει x. iii. Αν για τις πιθανότητες P( A ), PB ( ) των ενδεχομένων Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι P A P B τότε ισχύει A B. iv. Αν Α,Β είναι δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει A B B A. v. Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. (10 Μονάδες )

2 ΘΕΜΑ 2: Α. Ένας ποντικός αφήνεται στο σημείο Α του διπλανού λαβύρινθου. Υποθέτουμε ότι ο ποντικός, φθάνοντας σε καθένα από τα εννιά κομβικά σημεία Α,Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ,Ι ακολουθεί μια από τις διαδρομές που ανοίγονται μπροστά του, χωρίς να ξανακάνει την ίδια διαδρομή προς τα πίσω ( δηλαδή αν κάνει την διαδρομή Α Β, θα συνεχίσει σε μια από τις διαδρομές Β Ε ή Β Γ και δεν θα γυρίσει πίσω στη διαδρομή Β Α ). Κάθε διαδρομή διαρκεί 1 δευτερόλεπτο. i. ε τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος, να βρείτε όλες τις δυνατές διαδρομές για τα τέσσερα πρώτα δευτερόλεπτα και να γράψετε έναν κατάλληλο δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. (5 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : ( ΜΟΝΑΔΕΣ) α) Κ = Στο τέλος του 4 ου sec, ο ποντικός να βρεθεί πάλι στο Α β) Λ = Στο τέλος του 4 ου sec, ο ποντικός να μην έχει περάσει από το Ε γ) Μ = Στο τέλος του 3 ου sec, ο ποντικός να βρίσκεται στο Ζ δ) Ν = Στο τέλος του 4 ου sec, ο ποντικός να έχει περάσει 2 φορές από το Ε Β. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)= να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες: i) P ( A B) ( B A) ii) P A B iii) P A B iv) P A B (12 ΜΟΝΑΔΕΣ)

3 ΘΕΜΑ 3: Ο κυβισμός των κινητήρων Χ, σε κυβικά εκατοστά (κ.εκ.) ενός δείγματος 4000 αυτοκινήτων, ακολουθεί κανονική κατανομή. Στο παραπάνω δείγμα βρέθηκαν 100 αυτοκίνητα με κυβισμό μικρότερο από κ.εκ. και αυτοκίνητα με κυβισμό μικρότερο από 2000 κ.εκ.. α) Να βρείτε την μέση τιμή x, την τυπική απόκλιση s και να εκτιμήσετε το εύρος R του κυβισμού των κινητήρων των αυτοκινήτων του δείγματος. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο από το δείγμα. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει κινητήρα με κυβισμό μικρότερο από 1200 κ.ε. ή μεγαλύτερο από 2000 κ.εκ. γ) Αν μετά από επισκευή, ο κυβισμός κάθε κινητήρα αυξηθεί κατά 6%, να βρείτε την μέση τιμή και την διασπορά των νέων τιμών του και να εκτιμήσετε το εύρος τους. ΘΕΜΑ 4: ( ΜΟΝΑΔΕΣ) Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f i % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α (8, 0), Β (10, 10), Γ (12, 20), Δ (14, y Δ ), E (16, y E ), Ζ (18, 10), Η (20, 0) όπου y Δ, y Ε οι τεταγμένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ΑΒΓΔΕΖΗ. α.) Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y Δ και y Ε των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 β.) Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi %. Μονάδες 3 γ.) Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων fi % της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 δ.) Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 ε.) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο δ ερώτημα. Μονάδες 4 Δεν πιστεύω να χρησιμοποιήσετε κομπιουτεράκια??????? Καλή τύχη!!!

4

5

6

7