7. ΠΑΛΜΟΚΩΔΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (CM) 7.1. Γενικά Η παλμοκωδική διαμόρφωση (ulse Code Modulation ή CM) είναι η ευρύτερα χρησιμοποιούμενη τεχνική για τη μετατροπή αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά (A/D). Επινοήθηκε το 1937 (Reeves) και πρωτοεφαρμόστηκε το 1962 (εκμεταλλευόμενη την πρόοδο που είχε γίνει, μέχρι τότε, στην τεχνολογία ημιαγωγών). Τα βασικά στάδια της CM είναι η δειγματοληψία (sampling), η κβάντιση (quantisation) και η κωδικοποίηση (encoding). Πέραν αυτών, κατά την παλμοκωδική διαμόρφωση ενός αναλογικού σήματος, μπορεί να εφαρμοστεί η διεργασία της συμπίεσης (companding), προκειμένου να βελτιστοποιηθεί η κβάντιση του σήματος καθώς και η κωδικοποίηση γραμμής (line coding) για την προσαρμογή του σήματος CM στις απαιτήσεις του μέσου μετάδοσης. Τέλος, ένας αριθμός σημάτων CM μπορούν να πολυπλεχθούν (και να μεταδοθούν ταυτόχρονα) μέσω της τεχνικής πολυπλεξίας διαίρεσης χρόνου (Time Division Multiplexing ή TDM). m a (t) Δειγματοληψία m s (t) Κβάντιση m q (t) Κωδικοποίηση m d (t) Oι τρεις βασικές διεργασίες της CM 1 7.2. Περιγραφή των βασικών διεργασιών της CM 7.2.1. Η δειγματοληψία Γενικά Η δειγματοληψία, δηλαδή η «αποτύπωση», σε τακτές χρονικές στιγμές, των δειγμάτων του (αναλογικού) σήματος πληροφορίας m a (t) συνίσταται (τουλάχιστον κατά την ιδανική δειγματοληψία) στον πολλαπλασιασμό του m a (t) με μια κρουστική παλμοσειρά δ Τ (t). Στην πράξη (όπου η παραγωγή ιδανικής κρουστικής παλμοσειράς είναι ανέφικτη), αντί για την κρουστική παλμοσειρά δ Τ (t), χρησιμοποιείται ορθογωνική παλμοσειρά p T (t) με παλμούς πολύ μικρής διάρκειας. 1 Στην πράξη, η κβάντιση και η κωδικοποίηση πραγματοποιούνται από ενιαία μονάδα η οποία χαρακτηρίζεται ως «κωδικοποιητής». Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.1
m a (t) X m s (t) = m a (t).δ Τ (t) Γεννήτρια ορθογωνικών παλμών Iδανική δειγματοληψία (χρησιμοποιείται κρουστική παλμοσειρά δ Τ (t)) Το σήμα εξόδου του δειγματολήπτη m s (t) είναι μια ακολουθία παλμών που έχουν πολύ μικρή (ιδανικά απειροστή) διάρκεια ενώ το ύψος τους (τάση παλμών) είναι το εκάστοτε ύψος του αρχικού αναλογικού σήματος m a (t). Για το λόγο αυτόν, το σήμα m s (t) χαρακτηρίζεται ως «παλμικό σήμα με διαμόρφωση πλάτους» (ulse Amplitude Modulated ή AM signal). 2 Κατά τη δειγματοληψία, ένα πολύ σημαντικό ζήτημα είναι η επιλογή της συχνότητας δειγματοληψίας f s (σε δείγματα/s), δηλαδή του ρυθμού με τον οποίο λαμβάνονται τα δείγματα του αρχικού αναλογικού σήματος m a (t). Προφανώς, ο ρυθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ούτε πολύ χαμηλός (γιατί τα δείγματα δεν θα αποτυπώνουν, πιστά, το αναλογικό σήμα m a (t)) αλλά ούτε και πολύ υψηλός γιατί (όπως θα φανεί παρακάτω) θα οδηγήσει στη δημιουργία ψηφιακού σήματος με υπερβολικά υψηλό ρυθμό μετάδοσης. Η επιλογή της συχνότητας δειγματοληψίας f s (δείγματα/s) γίνεται με βάση το «θεώρημα δειγματοληψίας» το οποίο διατυπώνεται ως εξής: Θεώρημα δειγματοληψίας (Shannon) Ένα αναλογικό σήμα m a (t) που καταλαμβάνει την περιοχή συχνοτήτων (σε Hz) από f min έως f max (άρα, το εύρος ζώνης του είναι Β a = f max f min ) μπορεί να αναπαραχθεί τέλεια από τα δείγματά του, αρκεί αυτά να λαμβάνονται με συχνότητα f s τέτοια, ώστε f s 2(f max f min ) f s 2Β a (7.1) δηλαδή η συχνότητα δειγματοληψίας (αριθμός των δειγμάτων/sec) πρέπει να είναι διπλάσια του εύρους ζώνης Β a του σήματος. Αυτό σημαίνει ότι τα δείγματα του αναλογικού σήματος πρέπει να λαμβάνονται σε χρονικά διαστήματα T s = 1 1 (7.2) f s 2Β a 2 Επισημαίνεται ότι το AM σήμα m s (t) είναι διακριτό αλλά αναλογικό. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.2
(Τ s η περίοδος δειγματοληψίας) 3. Η συχνότητα δειγματοληψίας f s = 2Β a ονομάζεται «συχνότητα Nyquist». Σχόλια επί του θεωρήματος δειγματοληψίας (Ι): Ιδανική δειγματοληψία Η ιδανική δειγματοληψία η λήψη δειγμάτων του σήματος m a (t), δηλαδή η παραγωγή του σήματος m s (t), πραγματοποιείται με τον πολλαπλασιασμό του m a (t) με την κρουστική παλμοσειρά δ T (t). Στην περίπτωση αυτή, το θεώρημα δειγματοληψίας μπορεί να εξηγηθεί, σχετικά εύκολα, ως εξής: Δεδομένου ότι (ενότητα 4.5), δ T (t) = 1.[1+ 2cos(2π.fs.t) + 2cos(2π.2f s.t) +...] (4.26.α) T s προκύπτει ότι m s (t) = m a (t).δ T (t) = m a (t). M s (f) = T s 1 [1+ 2cos(2π.fs.t) + 2cos(2π.2f s.t) +...] (7.3) T s 1.[...+ Ma (f+2f s ) + M a (f+f s ) + M a (f) + M a (f f s ) + M a (f 2f s ) +...] (7.4) Η απεικόνιση της (7.4) φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Στις περιπτώσεις (α) και (β) (δηλαδή, όταν f s 2.B a, οπότε ικανοποιείται η (7.1)) η ανάκτηση του m a (t) είναι δυνατή μέσω της επιλογής (από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο) του κεντρικού λοβού του M s (f). Ο 1 1 λοβός αυτός είναι το ολοκλήρωμα Fourier Ma (f) που αντιστοιχεί στο σήμα ma (t) (δηλαδή το αρχικό αναλογικό σήμα m a (t) πολλαπλασιασμένο με τη σταθερά T s Αντίθετα, στην περίπτωση (γ) (f s < 2.B a ) η αλληλοεπικάλυψη των επιμέρους φασμάτων προκαλεί αλλοίωση στο αναπαραγόμενο σήμα (φαινόμενο αλλοίωσης λόγω επικάλυψης ή aliasing effect ). T s 1 ). T s 3 Συνήθως, f min = 0 οπότε το σήμα καταλαμβάνει την περιοχή συχνοτήτων από 0 έως f max = Β a (Hz). Στην περίπτωση αυτή, το εύρος ζώνης Β a ταυτίζεται με την υψηλότερη συχνότητα f max του σήματος. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.3
(α) M s (f) M a (f) (f s > 2Β a ) 2f s f s 0 f s 2f s f (β) M s (f) M a (f) (f s = 2Β a ) 2f s f s 0 f s 2f s f (γ) M s (f) M a (f) (f s < 2Β a ) 2f s f s 0 f s 2f s f Μπορεί να αποδειχθεί η παρακάτω σχέση, στην οποία το αναλογικό σήμα m(t) εκφράζεται συναρτήσει των δειγμάτων που λαμβάνονται σε χρονικά διαστήματα Τ s = 1 1 (Βa το εύρος ζώνης του αναλογικού σήματος m(t)). f s 2B a n sin[2πba (t )] n 2B m(t) = Σ [,+ ] m( ). a 2Β a n 2πBa (t ) 2B a (7.5) Σχόλια επί του θεωρήματος δειγματοληψίας (ΙΙ): Πραγματική δειγματοληψία παλμοί με πεπερασμένη διάρκεια τ που ακολουθούν πιστά το πλάτος του m a (t) Στην περίπτωση πραγματικής δειγματοληψίας (χρήση ορθογωνικής παλμοσειράς p Τ (t)), αν η δειγματοληψία γίνει έτσι που το πλάτος του δείγματος (που τώρα έχει πεπερασμένη διάρκεια τ) ακολουθεί πιστά το πλάτος του αρχικού αναλογικού σήματος m a (t), τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι M s (f) = τ.σ [,+ ] T s sin(nπfsτ) M a (f nf s ) (7.6) nπf τ s Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.4
H (7.6) σημαίνει ότι, ναι μεν παράγονται οι «λοβοί» του σχήματος (όπως και στην ιδανική δειγματοληψία), όμως κάθε «λοβός» M a (f nf s ) πολλαπλασιάζεται με έναν συγκεκριμένο sin(nπf sτ) (και σταθερό) παράγοντα. Και στην περίπτωση αυτή, η επιλογή (μέσω nπf τ s φίλτρου) του κεντρικού λοβού (n = 0) είναι δυνατή, αφού για n = 0, ισχύει ότι sin(nπf sτ) τ = 1, άρα ο σχετικός όρος της σειράς έχει τη μορφή Ma (f) δηλαδή είναι το nπf τ s T s ολοκλήρωμα Fourier που αντιστοιχεί στο σήμα τ ma (t). T s m a (t) t M s (f) M a (f) (f s > 2Β a ) 2f s f s 0 f s 2f s f Σχόλια επί του θεωρήματος δειγματοληψίας (ΙIΙ): Πραγματική δειγματοληψία παλμοί με πεπερασμένη διάρκεια τ που δεν ακολουθούν πιστά το πλάτος του m a (t) Στην περίπτωση πραγματικής δειγματοληψίας (χρήση ορθογωνικής παλμοσειράς p Τ (t)), αλλά με το πλάτος του δείγματος να παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια χρόνου τ (οπότε τα δείγματα δεν ακολουθούν πιστά το πλάτος του αρχικού αναλογικού σήματος m a (t)), μπορεί να αποδειχθεί ότι M s (f) = τ.σ [,+ ] T s sin(πfτ) Ma (f nf s ) (7.7) πfτ Στην περίπτωση αυτή, ακόμη και ο κεντρικός λοβός (n = 0) λαμβάνεται στη μορφή τ sin(πfτ) sin(πfτ) Μa (f). Έτσι, λόγω του ότι ο παράγοντας δεν είναι σταθερός (αλλά πfτ πfτ T s Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.5
συνάρτηση της συχνότητας f), ο συγκεκριμένος λοβός διαφέρει από το ολοκλήρωμα Fourier του αρχικού αναλογικού σήματος 4, 5. m a (t) t M s (f) M a (f) (f s > 2Β a ) 2f s f s 0 f s 2f s f 7.2.2. Η κβάντιση Κατά την κβάντιση, οι τιμές των δειγμάτων τροποποιούνται έτσι, ώστε να συμπέσουν με την πλησιέστερη από έναν αριθμό προεπιλεγμένων τιμών τάσης εξόδου που, στον κοινό κβαντιστή ισαπέχουν μεταξύ τους (η μη γραμμική κβάντιση προϋποθέτει την ύπαρξη πρόσθετων βαθμίδων και παρουσιάζεται, χωριστά, στην ενότητα 7.3). Σημειώνεται ότι ο συνολικός αριθμός των προβλεπόμενων τάσεων εξόδου L είναι πάντοτε δύναμη του 2 (π.χ. 256=2 8 στάθμες), ο δε εκθέτης αντιπροσωπεύει τον αριθμό δυφίων (bits) που θα απαιτηθεί για την αναπαράσταση των τάσεων εξόδου του κβαντιστή. Ισχύει δηλαδή ότι L = 2 b (στάθμες) b = log 2 L (bits/στάθμη) (7.8) 4 Το φαινόμενο αυτό χαρακτηρίζεται ως «φαινόμενο ανοίγματος» ( aperture effect ). 5 Το θεώρημα δειγματοληψίας (αναπαραγωγή αναλογικού σήματος με βάση τα δείγματά του) μπορεί να αντίκειται στην κοινή λογική, όμως, στην πράξη, δεν είναι δυνατόν να υπάρξει ούτε ιδανική δειγματοληψία ούτε και ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο (που θα επιλέξει μόνο τον κεντρικό λοβό). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.6
4 + m q (t) (Volts) 3 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 m s (t) 1 (Volts) 2 3 4 Χαρακτηριστική κβαντιστή Η διεργασία της κβάντισης, έτσι όπως περιγράφηκε παραπάνω, εξηγείται με τη βοήθεια της κλιμακωτής χαρακτηριστικής του σχήματος. Π.χ. οποιαδήποτε τάση εισόδου (δηλαδή τάση δείγματος) ανήκει στην περιοχή από 2,5 έως 3,5 Volts δίνει στην έξοδο του κβαντιστή την (προβλεπόμενη) τάση των 3 Volts. Στο σημείο αυτό μπορεί να οριστεί η «δυναμική περιοχή» Δ της διεργασίας κβάντισης που εκφράζει το λόγο (πηλίκο) του εύρους τάσεων [, +] προς την ελάχιστη μεταβολή τάσης που μπορεί να διαχειριστεί ο κβαντιστής. Δεδομένου ότι η ελάχιστη αυτή μεταβολή τάσης είναι η απόσταση δ μεταξύ δύο διαδοχικών σταθμών κβάντισης (το λεγόμενο βήμα κβάντισης) προκύπτει ότι και δεδομένου ότι Δ = 2 δ (7.9) δ = 2 2 (7.10) b L -1 2-1 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.7
ισχύει ότι Δ = L 1 = 2 b 1 (7.11) 6 Συνήθως η δυναμική περιοχή Δ εκφράζεται σε db ως εξής: Δ db = 20.log(Δ) = 20.log(L 1) = 20.log(2 b 1) (7.12) Λόγω της τροποποίησης που υφίστανται οι τάσεις των δειγμάτων (προκειμένου οι τιμες τάσης στην έξοδο του κβαντιστή να συμπίπτουν με μία από τις προβλεπόμενες στάθμες κβάντισης), δημιουργείται το λεγόμενο «σφάλμα κβάντισης». Το σφάλμα αυτό είναι ισοδύναμο με την (εκούσια) υπέρθεση θορύβου στο σήμα που χαρακτηρίζεται ως θόρυβος κβάντισης. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η μέση ισχύς του θορύβου αυτού δίνεται από τη σχέση 1 n,q =.δ 2 1 2 = ( ) 2 1 = ( ) 2 12 12 L -1 3 L -1 (7.13) Η τιμή αυτή συγκρίνεται με τη μέση ισχύ ενός «αντιπροσωπευτικού» σήματος που καλύπτει όλη την περιοχή [, ] και που δίνεται από τη σχέση m = 2 (7.14) 3 Από τις (7.13), (7.14), προκύπτει ότι m n,q = (L 1) 2 = (2 b 1) 2 = Δ 2 (7.15) 7 Δεδομένου ότι, συνήθως, L = 2 b >> 1, η εξίσωση (7.11) μπορεί να γραφεί, προσεγγιστικά, ως εξής: m = (L 1) 2 L 2 = 2 2b (7.16) 8 n,q 6 Εναλλακτικά, η δυναμική περιοχή μπορεί να οριστεί ως η μέγιστη προς την ελάχιστη τιμή που L -1 μπορεί να διαχειριστεί ο κβαντιστής, δηλαδή ως Δ = =. Πάντως, στο κείμενο που δ 2 ακολουθεί, εφαρμόζεται ο ορισμός (7.9) Δ = 7 Ο λόγος m n,q 2 = L 1 δ χαρακτηρίζεται ως σηματοθορυβικός λόγος (Signal-to-Noise-Ratio ή SNR). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.8
Ο λόγος m n,q χαρακτηρίζεται ως σηματοθορυβικός λόγος (Signal-to-Noise-Ratio ή SNR) και μπορεί να εκφραστεί και σε db ως εξής: SNR = m n,q m SNR db = 10.log ( ) n,q (7.17) Με βάση την εξίσωση (7.15), ο απαιτούμενος αριθμός σταθμών L προκειμένου να m επιτυγχάνεται συγκεκριμένος λόγος προκύπτει από την εξίσωση n,q L = 1 + m = 1+ SNR SNR (7.18) 9 n,q Η εξίσωση (7.18) υποδεικνύει ότι ο αριθμός των σταθμών L = 2 b, καθορίζεται από την m απαίτηση ο λόγος να εξασφαλίζει αποδεκτή ποιότητα στην παρεχόμενη υπηρεσία. n,q Π.χ. για την τηλεφωνία, λόγος m n,q = 48 db = 10 4,8 = 63096 θεωρείται ότι εξασφαλίζει ικανοποιητική ποιότητα για το χρήστη γεγονός που οδηγεί στην επιλογή L = 256 στάθμες (b = 8 bits) βλέπε και ενότητα 7.2.3. 7.2.3. Η κωδικοποίηση Κατά την κωδικοποίηση, οι ακέραιοι αριθμοί που προσδιορίζουν τις στάθμες των κβαντισμένων δειγμάτων μετατρέπονται στο δυαδικό τους ισοδύναμο. Για κάθε αριθμό στάθμης, χρησιμοποιούνται b δυφία (bits) (b = log 2 L) εκ των οποίων το 1 ο δηλώνει το πρόσημο («1» για τις θετικές στάθμες και «0» για τις αρνητικές) ενώ τα επόμενα bits δηλώνουν το μέτρο. Για παράδειγμα, η στάθμη +127 γίνεται 11111111 ενώ η 33 γίνεται 00100001 ( 10,11 ). 8 Η σχέση (7.16) δηλώνει ότι αύξηση του αριθμού των bits κατά 1 (δηλαδή, διπλασιασμός των σταθμών κβάντισης) έχει ως αποτέλεσμα τον τετραπλασιασμό του λόγου m / n,q (αύξηση κατά 6 db). 9 Δεδομένου ότι ο αριθμός σταθμών κβάντισης L πρέπει να είναι της μορφής L = 2 b, επιλέγεται η δύναμη του 2 που είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό L που προκύπτει βάσει της (7.17). Επίσης, η (7.17) υποδηλώνει ότι, προκειμένου η μετάδοση CM να υπερτερεί της αναλογικής μετάδοσης, θα m πρέπει ο αριθμός των σταθμών L να είναι τέτοιος ώστε L > 1 +. 10 Η συγεκριμένη τεχνική χαρακτηρίζεται ως «πρόσημο και μέτρο» ( sign and magnitude ). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.9 n,q
Ο ρυθμός μετάδοσης R (bit/s) του ψηφιακού σήματος δίνεται από τον τύπο R = f s.b = f s.log 2 L (bit/s) (7.19) Το εύρος ζώνης B d B CM (Hz) του ψηφιακού (CM) σήματος εξαρτάται από τις απαιτήσεις για την ποιότητα μετάδοσης και την τεχνική φιλτραρίσματος. Ισχύει ότι B d B CM = (1+r). 2 R (0 < r <1) (7.20) δηλαδή το εύρος ζώνης του ψηφιακού σήματος κυμαίνεται μεταξύ R/2 και R ( 12 ). δ = 2/(L 1) = 2/3 + 0 1 η θετική στάθμη +1 = 11 0 η θετική στάθμη +0 = 10 0 η αρνητική στάθμη 0 = 00 1 η αρνητική στάθμη 1 = 01 Κωδικοποίηση κβαντισμένων σταθμών H πρώτη θετική στάθμη χαρακτηρίζεται ως +0 ενώ η τελευταία είναι η +( 2 L 1). H πρώτη αρνητική στάθμη χαρακτηρίζεται ως 0 ενώ η τελευταία είναι η ( 2 L 1). Τέλος, με βάση την εξίσωση (7.19) και δεδομένου ότι f s 2Β a (θεώρημα δειγματοληψίας 7.1) ενώ L SNR (εξίσωση 7.18), προκύπτει ότι ο απαιτούμενος ρυθμός μετάδοσης R m (σε bit/s) για να επιτυγχάνεται σηματοθορυβικός λόγος SNR = δίνεται από τη σχέση R = f s.b = 2B a.log 2 SNR = B a.log 2 (SNR) (7.21) n,q 11 Σημειώνεται ότι η αρίθμηση των θετικών σταθμών αρχίζει από τη στάθμη +0 και των αρνητικών από το 0. Οι στάθμες +0 και 0 είναι, προφανώς, διαφορετικές. 12 Χρήση εύρους ζώνης B d B CM = R (για r = 1) σημαίνει ότι μεταδίδεται ολόκληρος ο κεντρικός φασματικός λοβός του ψηφιακού σήματος (βλ. ενότητα 3.3.2) οπότε οι ορθογωνικοί παλμοί μεταδίδονται με ελάχιστη παραμόρφωση. Αντίθετα, όταν B d B CM = 2 R (για r = 0), αποκόπτεται σημαντικό τμήμα του κεντρικού φασματικού λοβού και η παραμόρφωση είναι η μέγιστη ανεκτή (δεδομένου ότι, στις ψηφιακές μεταδόσεις, η ακριβής μορφή των μεταδιδόμενων παλμών δεν είναι σημαντική). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.10
Εφαρμογή: Ψηφιακοποίηση τηλεφωνικού σήματος Στις τηλεφωνικές συνδιαλέξεις, μεταδίδονται οι συχνότητες 0,3 3,4 khz, άρα f max = 3,4 khz, f min = 0,3 khz και B a = f max f min = 3,4 0,3 = 3,1 khz. Αυτό σημαίνει ότι η συχνότητα δειγματοληψίας f s πρέπει να είναι f s 2.B a = 6,2 khz 6200 δείγματα/s. Αφήνεται ένα «περιθώριο» 1,8 khz, οπότε, τελικά, η συχνότητα δειγματοληψίας προδιαγράφεται στην τιμή f s = 8 khz 8000 δείγματα/s. Για την επιλογή του αριθμού L των σταθμών κβάντισης, θεωρείται ότι ο λόγος πρέπει να είναι ίσος με 48 db = 10 4,8 = 63096, οπότε επιλύοντας την (7.15) ή την (7.18) προκύπτει ότι L = 252, οπότε, επειδή ο αριθμός των σταθμών L πρέπει να είναι «δύναμη του 2», επιλέγεται η τιμή L = 256 = 2 8. m n,q Αφού L = 256 = 2 8 στάθμες, κάθε δείγμα κωδικοποιείται με b = 8 bits. Άρα (αφού λαμβάνονται f s = 8000 δείγματα/s και κάθε δείγμα κωδικοποιείται με b = 8 bits), ο ρυθμός μετάδοσης είναι ίσος με R = f s.b = 8000 8 = 64 kbit/s. To εύρος ζώνης του ψηφιακοποιημένου σήματος είναι B d = R = 64 khz. Στην πράξη, το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι B d = 2 R = 32 khz (που, σημειωτέον, είναι πολύ μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης Β a του αρχικού αναλογικού τηλεφωνικού σήματος) 13. 13 Υπενθυμίζεται ότι στην πράξη, επειδή στις ψηφιακές επικοινωνίες δεν ενοχλεί, ιδιαίτερα, η παραμόρφωση του ψηφιακού σήματος (αφού αυτό ουσιαστικά αναγεννάται στο δέκτη) απαιτείται εύρος ζώνης B min R/2 (r = 0 στη σχέση 7.19). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.11
7.3. Μη γραμμική κβάντιση 14 Ένα αναλογικό σήμα (π.χ. το ηχητικό σήμα που παράγει ο χρήστης κατά τη διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνομιλίας) συνήθως περιορίζεται στη χαμηλότερη περιοχή των δυνατών τιμών τάσης και σπάνια λαμβάνει τις υψηλότερες τιμές. Από την παρατήρηση αυτή, προκύπτει το συμπέρασμα ότι η παλμοκωδική διαμόρφωση ενός αναλογικού σήματος θα γίνεται με υψηλότερη πιστότητα (δηλαδή με χαμηλότερο θόρυβο κβάντισης), όταν η κβάντιση του σήματος είναι περισσότερο λεπτομερής (δηλαδή με μικρότερο βήμα κβάντισης) για τις χαμηλές του τιμές και λιγότερο λεπτομερής (δηλαδή με μεγαλύτερο βήμα κβάντισης) για τις υψηλότερες. Αναλογική υλοποίηση της συμπίεσης Η εφαρμογή της μη γραμμικής κβάντισης γίνεται μέσω της «συμπίεσης» των υψηλότερων περιοχών τάσης του αναλογικού σήματος. Έτσι, αν [, ] είναι η περιοχή τιμών τάσης (εύρους 2) που μπορεί να «χειριστεί» ο μετατροπέας CM, οι περιοχές τάσης [0, ] 2 2 4 και [, ] (εύρους ) δεν συμπιέζονται, η (επόμενη) περιοχή [, ] (εύρους 2 4 8 4 = ) συμπιέζεται κατά 1:2, η (επόμενη) περιοχή [, ] (εύρους = ) 64 32 64 συμπιέζεται κατά 1:4 κ.ο.κ. μέχρι την (τελευταία) περιοχή [, ] (εύρους 64 = ) η οποία συμπιέζεται κατά 1:64 (αντίστοιχη συμπίεση γίνεται και στις 2 αρνητικές τάσεις). Για κάθε μία από τις παραπάνω περιοχές (που χαρακτηρίζονται αντίστοιχα με τους αύξοντες αριθμούς +0, +1, +2,..., +7 οι θετικές και 0, 1, 2,..., 7 οι αρνητικές) προβλέπονται 16 στάθμες κβάντισης, οπότε το βήμα κβάντισης είναι μικρότερο για τις περιοχές με τις μικρές τάσεις (των οποίων το εύρος είναι μικρότερο) και μεγαλύτερο για τις περιοχές με τις μεγαλύτερες τάσεις (των οποίων το εύρος είναι μεγαλύτερο). 14 Δεδομένου ότι η μη γραμμική κβάντιση εφαρμόζεται κυρίως στην τηλεφωνία, η παρούσα ενότητα περιγράφει τη συγκεκριμένη διεργασία όπως εφαρμόζεται στην τηλεφωνία. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.12
Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα καθώς και στη χαρακτηριστική του συμπιεστή που ακολουθεί. Περιοχή τιμών τάσης εισόδου (αύξων αριθμός) Εύρος περιοχής τάσης εισόδου v in (αυξάνεται γεωμετρικά από τις μικρότερες στις μεγαλύτερες τάσεις - τα εύρη αθροιζόμενα δίνουν 2) 7 6 5 4 3 2 1 0 +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 2 4 8 16 32 64 Συμπίεση 1:64 1:32 1:16 1:8 1:4 1:2 1:1 1:1 1:1 1:1 1:2 1:4 1:8 1:16 1:32 1:64 Εύρος περιοχής εξόδου v out (πάντα το ίδιο) Στάθμες (16 ανά περιοχή) Οι στάθμες ισαπέχουν στο (συμπιεσμένο) σήμα εξόδου. -127-112 -111-96 -95-80 -79-64 -63-48 -47-32 -31-16 -15 0 0 15 16 31 Η εφαρμοζόμενη συμπίεση ανά περιοχή τιμών τάσης v out 64 32 47 32 48 63 16 64 79 8 80 95 4 96 111 2 112 127 v in Η χαρακτηριστική v out v in H παραπάνω τεχνική συμπίεσης ονομάζεται συμπίεση «τύπου Α» και αποτελεί Ευρωπαϊκό Πρότυπο (στις ΗΠΑ εφαρμόζεται η παραπλήσια συμπίεση «τύπου μ») 15. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, η αναλογική υλοποίηση της συμπίεσης προβλέπει την εφαρμογή της στο αρχικό (αναλογικό) σήμα και, στη συνέχεια, την εφαρμογή παλμοκωδικής διαμόρφωσης (δειγματοληψία κβάντιση κωδικοποίηση) στο συμπιεσμένο σήμα. 15 Η συμπίεση «τύπου Α» προβλέπει συγκεκριμένη (λογαριθμική) σχέση μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του συμπιεστή (v in και v out ). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.13
m a (t) Συμπίεση m c (t) Δειγματοληψία m s (t) Κβάντιση m q (t) Κωδικοποίηση m d (t) Αναλογική εφαρμογή της συμπίεσης: Συμπίεση του αρχικού αναλογικού σήματος m a (t) και παλμοκωδική διαμόρφωση του συμπιεσμένου σήματος m c (t) Ψηφιακή υλοποίηση της συμπίεσης Η συμπίεση («τύπου Α» στην Ευρώπη και «τύπου μ» στις ΗΠΑ), υλοποιείται, πλέον, με ψηφιακές τεχνικές. Η ψηφιακή υλοποίηση της συμπίεσης προβλέπει την ψηφιακοποίηση (CM) του αρχικού αναλογικού σήματος (με χρήση 12 αντί για 8 bits) και, στη συνέχεια, την (με ψηφιακό τρόπο) συμπίεση του σήματος CM (των 12 bits). Πιο συγκεκριμένα, ο ψηφιακός συμπιεστής δέχεται το σήμα CM (που αποτελείται από 12 δυφία bits) «διαβάζει» το πρώτο δυφίο (που καθορίζει το πρόσημο της περιοχής), στη συνέχεια «διαβάζει» τα επόμενα (00...1), μέχρι να εντοπίσει το πρώτο «1», η θέση του οποίου καθορίζει τον αύξοντα αριθμό της περιοχής (άρα και τη συμπίεσή της) και κατόπιν «διαβάζει» τα 4 δυφία (bits) ABΓΔ, που καθορίζουν τη συγκεκριμένη στάθμη μέσα στην υπόψη περιοχή. Τα υπόλοιπα δυφία (Χ...Χ) αγνοούνται το δε γεγονός ότι αγνοούνται περισσότερα δυφία (bits) για τις περιοχές με μεγάλη συμπίεση είναι δηλωτικό του ότι, στις περιοχές αυτές, οι προσεγγίσεις που επιβάλλονται από την κβάντιση είναι περισσότερο χονδροειδείς. m a (t) Δειγματοληψία m s (t) Κβάντιση m q (t) Κωδικοποίηση m d,12 (t) Συμπίεση m d (t) (L = 2 12 σταθμες) (12 bits) (8 bits) Ψηφιακή εφαρμογή της συμπίεσης: Παλμοκωδική (CM) διαμόρφωση του αρχικού αναλογικού σήματος m a (t) (με 12 bits) και ψηφιακή συμπίεση του σήματος CM Η «ενδιάμεση» χρήση λέξεων 12 bits, ουσιαστικά, υποδηλώνει ότι, σε αυτό το ενδιάμεσο στάδιο, ο κωδικοποιητής προβλέπει 2 12 = 4096 στάθμες. Με τον τρόπο αυτόν, για όλο το εύρος τιμών από έως +, επιτυγχάνεται λεπτομερής κβάντιση (με μικρό, δηλαδή, βήμα) που ελαχιστοποιεί το θόρυβο (σφάλμα) κβάντισης. Στη συνέχεια, ο κωδικοποιητής αρχίζει να «αφαιρεί» στάθμες προκειμένου να προκύψουν οι 2 8 = 256 στάθμες που αρχικά προβλέπονταν. Ωστόσο, η «αφαίρεση» αυτή δεν γίνεται ομοιόμορφα, υπό την έννοια ότι, από τις τέσσερις κεντρικές περιοχές ( 1, 0, +0, +1, συμπίεση 1:1) δεν αφαιρούνται Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.14
στάθμες ενώ ο μεγαλύτερος σταθμών αφαιρείται από τις ακραίες στάθμες ( 7 και +7, συμπίεση 1:64). Aριθμός σταθμών Συμπιεσμένη Αποσυμπιεσμένη Περιοχή Συμπίεση (αρχικός «Λέξη» 12 bits «λέξη» 8 bits «λέξη» 12 bits τελικός) Π rst ABΓΔ 0 1:1 16 16 Π 0000000 ΑΒΓΔ Π 000 ΑΒΓΔ Π 0000000 ΑΒΓΔ 1 1:1 16 16 Π 0000001 ΑΒΓΔ Π 001 ΑΒΓΔ Π 0000001 ΑΒΓΔ 2 1:2 32 16 Π 000001 ΑΒΓΔΧ Π 010 ΑΒΓΔ Π 000001 ΑΒΓΔ1 3 1:4 64 16 Π 00001 ΑΒΓΔΧΧ Π 011 ΑΒΓΔ Π 00001 ΑΒΓΔ10 4 1:8 16 Π 0001 ΑΒΓΔΧΧΧ Π 100 ΑΒΓΔ Π 0001 ΑΒΓΔ100 5 1:16 256 16 Π 001 ΑΒΓΔΧΧΧΧ Π 101 ΑΒΓΔ Π 001 ΑΒΓΔ1000 6 1:32 512 16 Π 01 ΑΒΓΔΧΧΧΧΧ Π 110 ΑΒΓΔ Π 01 ΑΒΓΔ10000 7 1:64 1024 16 Π 1 ΑΒΓΔΧΧΧΧΧΧ Π 111 ΑΒΓΔ Π 1 ΑΒΓΔ100000 Ψηφιακή συμπίεση/αποσυμπίεση τύπου Α Σε κάθε περίπτωση, στην έξοδο του συμπιεστή εμφανίζεται μια παλμοσειρά των 8 δυφίων (bits) της μορφής ΠrstΑΒΓΔ όπου το δυφίο (bit) Π δηλώνει το πρόσημο («1» για το +, «0» για το ), τα 3 δυφία (bits) rst δηλώνουν τον αύξοντα αριθμό (0,..., 7) άρα και τη συμπίεση της περιοχής ενώ τα 4 δυφία (bits) ΑΒΓΔ καθορίζουν τον αύξοντα αριθμό της στάθμης μέσα στην περιοχή (βλέπε και σχετικό παράδειγμα). Αν και η παραπάνω υλοποίηση της μη γραμμικής κβάντισης προβλέπει 16 περιοχές, υπάρχουν μόνο 13 περιοχές διαφορετικής συμπίεσης (οι περιοχές 1, 0, +0, +1 δεν συμπιέζονται). Για το λόγο αυτόν, η συγκεκριμένη τεχνική συμπίεσης χαρακτηρίζεται ως τύπου Α 13 περιοχών (εναλλακτικά, χαρακτηρίζεται και ως τύπου Α 12/8 bits). Λόγω της μείωσης του βήματος κβάντισης στις ενδιάμεσες περιοχές, η εφαρμογή μη γραμμικής κβάντισης αυξάνει τη δυναμική περιοχή Δ (όπως φαίνεται και από τη σχέση 7.9) ενώ βελτιώνει και το σηματοθορυβικό λόγο m / n,q. Εκτιμάται ότι, για μη γραμμική κβάντιση (με αριθμό ενδιάμεσων σταθμών L ) ισχύει ότι m n,q = 0,45.(L 1) 1,96 (7.22) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.15
7.4. Κωδικοποίηση γραμμής Η ψηφιακή παλμοσειρά, έτσι όπως εμφανίζεται στην έξοδο του μετατροπέα CM (είτε έχει υποστεί συμπίεση είτε όχι) δεν είναι ακόμη έτοιμη να μεταδοθεί μέσω της ψηφιακής γραμμής. Και αυτό για δύο κυρίως λόγους: Το σήμα CM έχει μέση τιμή διαφορετική από το «0». Συνεπώς υπάρχει DC συνιστώσα η οποία και υφίσταται απόσβεση καθώς διέρχεται από μετασχηματιστές, αναγεννητές κλπ (υπενθυμίζεται ότι η μέση τιμή <m(t)> ενός σήματος m(t) είναι ουσιαστικά η DC συνιστώσα του). Επιπλέον, πολλά συνεχόμενα «1» υφίστανται απόσβεση η οποία μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένη αναγνώριση των τελευταίων παλμών που λόγω απόσβεσης θα έχουν μειωθεί κάτω από την τάση κατωφλίου. Η εμφάνιση συνεχόμενων «1» ή συνεχόμενων «0» μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια συγχρονισμού μεταξύ πομπού και δέκτη δεδομένου ότι ο δέκτης, για το συγχρονισμό του με τον πομπό, χρησιμοποιεί τις μεταβάσεις «1» «0» του σήματος CM. (Το πρόβλημα θα ήταν πολύ έντονο κατά τη μη χρήση της γραμμής οπότε ο δέκτης δεν θα ελάμβανε καθόλου σήμα). Για τους παραπάνω λόγους, το σήμα CM υφίσταται μια περαιτέρω κωδικοποίηση που χαρακτηρίζεται ως «κωδικοποίηση γραμμής» και αποσκοπεί στο να εξαλείψει τα παραπάνω προβλήματα. Κατά καιρούς, έχουν προταθεί διάφοροι κώδικες, οι κυριότεροι από τους οποίους είναι οι εξής: RZ (Return to Zero): Στον κώδικα αυτόν, τα «1» κωδικοποιούνται, ως «1» «0» τα δε «0» μετατρέπονται σε «0» «0». AMI (Alternate Mark Inversion): Στον κώδικα αυτόν, το προηγούμενο με το επόμενο «1» έχουν αντίθετη πολικότητα (διπολικός κώδικας). Λόγω της διπολικότητας, ο κώδικας ΑΜΙ δεν έχει DC συνιστώσα οπότε αντιμετωπίζει επιτυχώς την εμφάνιση (στην παλμοσειρά CM) διαδοχικών «1» (χωρίς όμως να μπορεί να αντιμετωπίσει το πρόβλημα αποσυγχρονισμού πομπού-δέκτη, από την εμφάνιση συνεχόμενων «0»). Γενικά ένα AMI σήμα ρυθμού R (bit/s) καταλαμβάνει φάσμα από 0 έως Β όπου Β(Ηz) Β R = R(bit/s). Το μέγιστο της ισχύος ενός ΑΜΙ σήματος προκύπτει για Β (max) =. 2 2 Τα παραπάνω συμπεράσματα προκύπτουν από το μετασχηματισμό Fourier του sin 2 (πfτ) σήματος ΑΜΙ που είναι της μορφής Μ ΑΜΙ (f) = 4jΑτ. cos(πfτ) (Α το πλάτος πfτ του παλμού και τ η διάρκειά του). ΗDB3 (High Bipolar Density 3): Aποτελεί βελτίωση του ΑΜΙ, υπό την έννοια ότι αντιμετωπίζει επιτυχώς την εμφάνιση (στην παλμοσειρά CM) διαδοχικών «0», αποτρέποντας έτσι τον αποσυγχρονισμό του δέκτη. Αυτό το επιτυγχάνει Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.16
αντικαθιστώντας το 4 ο συνεχόμενο «0» με «1» το οποίο όμως έχει την ίδια πολικότητα με το προηγούμενο «1». Έτσι, ο δέκτης, όταν λαμβάνει δύο διαδοχικά «1» που έχουν ίδια (και όχι αντίθετη όπως θα έπρεπε) πολικότητα, αντιλαμβάνεται ότι το 2 ο «1» προέρχεται από μετατροπή «0». CMI (Coded Mark Inversion): Σύμφωνα με τον κώδικα αυτόν, τα «1» κωδικοποιούνται, εναλλάξ, ως «1» ή «0», τα δε «0» μετατρέπονται σε («0» «1»). Ο κώδικας CMI είναι μονοπολικός και χρησιμοποιείται κυρίως σε ζεύξεις οπτικών ινών, επειδή τόσο οι οπτικές πηγές όσο και οι οπτικοί δέκτες λειτουργούν μόνο με θετική πολικότητα και συνεπώς, δεν προσφέρονται για εφαρμογή διπολικών κωδίκων. 1 0 0 0 0 0 1 0 CM NRZ 16 (χωρίς κωδικοποίηση γραμμής) AMI HDB3 G ΑΜΙ (f) Κωδικοποιήσεις γραμμής R/2 B = R f Φασματική πυκνότητα ισχύος σήματος ΑΜΙ 16 Η παλμοσειρά CM (χωρίς κωδικοποίηση γραμμής) χαρακτηρίζεται και ως παλμοσειρά «με μη επιστροφή στο 0» (Νon Return to Zero ή NRZ). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.17
7.5. Πολυπλεξία σημάτων CM Η πολυπλεξία σημάτων CM πραγματοποιείται μέσω της εκμετάλλευσης του χρόνου μεταξύ δύο δειγματοληψιών ενός αναλογικού σήματος, για τη δειγματοληψία και άλλων. Αν π.χ. η συχνότητα δειγματοληψίας είναι ίση με f s = 8000 δείγματα/s, τότε ο χρόνος 1 μεταξύ δύο δειγματοληψιών είναι ίσος με T s = = 125 μs. Αν τώρα, για τη λήψη του δείγματος, ο δειγματολήπτης απαιτεί π.χ. περί τα 4 μs, τότε απομένουν (μέχρι τη λήψη του 2 ου δείγματος) άλλα 121 μs για τη λήψη δειγμάτων και από άλλα σήματα. f s Από το παραπάνω παράδειγμα, φαίνεται ότι η πολυπλεξία σημάτων CM πραγματοποιείται, μέσω της διάθεσης, σε κάθε αναλογικό σήμα, καθορισμένων χρονοθυρίδων (time slots) που χρησιμοποιούνται για τη δειγματοληψία του (βλέπε και σχήμα). Οι χρονοθυρίδες αυτές πρέπει να είναι όσο το δυνατόν βραχύτερες, προκειμένου να υπάρχει χρόνος για την πολυπλεξία όσο το δυνατόν περισσοτέρων σημάτων (άρα είναι σημαντικό να υπάρχουν διατάξεις με πολύ σύντομους χρόνους δειγματοληψίας καθώς και ταχείς επιλογείς για τη μετάβαση από το ένα αναλογικό σήμα στο άλλο). Η παραπάνω τεχνική πολυπλεξίας ονομάζεται πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου (Time- Division Multiplexing ή TDM βλ. κεφάλαιο 15). Στην πρώτη στάθμη TDM, πολυπλέκονται 30 σήματα CM (ρυθμού μετάδοσης 64 kbit/s που το καθένα μπορεί να αντιστοιχεί σε μια τηλεφωνική συνομιλία). Στα σήματα αυτά προστίθενται ακόμη 2 σήματα (των 64 kbit/s) που μεταφέρουν τη σηματοδοσία (επικοινωνία μεταξύ τηλεφωνικής συσκευής και τηλεφωνικού κέντρου ή μεταξύ τηλεφωνικών κέντρων) καθώς και πληροφορία που σχετίζεται με το συγχρονισμό και την οργάνωση της όλης διεργασίας. Τα 32 (30+2) αυτά ψηφιακά σήματα δημιουργούν ένα σήμα συνολικού ρυθμού 32 x 64 = 2048 kbit/s = 2,048 Μbit/s που ονομάζεται σήμα τάξης Ε1 και αποτελεί τη βάση για την περαιτέρω πολυπλεξία σημάτων CM. Δειγματολ. 1 Δειγματολ. 2 Μεταγωγέας Πολυπλέκτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής Πρόσθετες σήμα βαθμίδες TDM Δειγματολ. 30 Σχηματική αναπαράσταση πολυπλεξίας TDM Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.18
Η πολυπλεξία TDM υλοποιείται μέσω δύο τεχνικών, της Πλησιόχρονης Ψηφιακής Ιεραρχίας (lesiochronous Digital Hierarchy ή DH) και της Σύγχρονης Ψηφιακής Ιεραρχίας (Synchronous Digital Hierarchy ή SDH). Η DH είναι παλαιότερη τεχνική και προβλέπει πολυπλεξία μέχρι και 5.760 σημάτων 64 kbit/s (8.828 με τα επιπλέον σήματα σηματοδοσίας και συγχρονισμού συνολικός ρυθμός μετάδοσης περί τα 565 Mbit/s). Η SDH είναι νέα, εξελιγμένη και με περισσότερες δυνατότητες τεχνική η οποία, σε επίπεδο πραγματικών ζεύξεων, προβλέπει πολυπλεξία μέχρι και 120.960 (ωφέλιμων) σημάτων 64 kbit/s (συνολικός ρυθμός μετάδοσης περί τα 10 Gbit/s). Τάξη Ενεργά σήματα των 64 kbit/s Συνολικός αριθμός σημάτων 64 kbit/s Ρυθμός μετάδοσης (Μbit/s) Κώδικας γραμμής Ε1 30 32 2,048 ΗDB3 Ε2 120 (= 4 x 30) 132 8,448 ΗDB3 Ε3 480 (= 4 x 120) 537 34,448 ΗDB3 Ε4 1440 (= 4 x 480) 2176 139,264 CMI Ε4 5760 (= 4 x 1440) 8828 564,992 Ατυποποίητο Η ευρωπαϊκή ιεραρχία TDM (Τα επιπλέον σήματα χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση των δεδομένων συγχρονισμού και σηματοδοσίας) Τάξη Σχέση με προηγούμενη τάξη Ρυθμός μετάδοσης (Μbit/s) 17 STM-1 Eίτε 63 σήματα Ε1 155,520 Είτε 3 σήματα Ε3 Είτε 1 σήμα Ε4 STM-4 4 x STM-1 622,080 STM-16 4 x STM-4 2448,320 STM-64 4 x STM-16 9953,280 STM-256 4 x STM-64 39813,120 Η σύγχρονη ψηφιακή ιεραρχία (SDH) Η πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου εξετάζεται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 15 (η δομή του σήματος Ε1 2048 kbit/s στην περίπτωση πολυπλεξίας τηλεφωνικών σημάτων εξετάζεται στην ενότητα 7.7). 17 Για λόγους συντομίας, τα σήματα αυτά αναφέρονται και ως σήματα 155 Mbit/s, 622 Mbit/s, 2,5 Gbit/s, 10 Gbit/s και 40 Gbit/s, αντίστοιχα. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.19
7.6. Λήψη σημάτων CM Στο δέκτη CM, αρχικά λαμβάνει χώρα η «αναγνώριση» του σήματος CM, δηλαδή η «διάκριση» μεταξύ των καταστάσεων «1»" και «0». Με δεδομένη την ύπαρξη θορύβου, είναι σημαντικό, η διεργασία αυτή να γίνεται κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο, δηλαδή με ελαχιστοποιημένη την πιθανότητα εσφαλμένης αναγνώρισης (το «1» να εκλαμβάνεται ως "0" και αντίστροφα). Μπορεί να αποδειχθεί (βλέπε και κεφάλαιο 18) ότι η βέλτιστη διάταξη για την επίτευξη του παραπάνω στόχου είναι ένας ολοκληρωτής. (Σε περίπτωση που στον πομπό έχει εφαρμοστεί ψηφιακή συμπίεση, πριν τη διεργασία «αναγνώρισης» των δειγμάτων μεσολαβεί η μετατροπή των 12 δυφίων (bits) σε 8, σύμφωνα με τον πίνακα που προβλέπεται για την ψηφιακή συμπίεση/αποσυμπίεση). Στη συνέχεια, με τη βοήθεια ενός βαθυπερατού φίλτρου λαμβάνεται η περιβάλλουσα των δειγμάτων που είναι η αναπαράσταση m a (t) στο δέκτη, του αρχικού σήματος m(t). Δέκτης CM m(t) Αποσυμπιεστής Διάταξη αναγνώρισης "1"/"0" Βαθυπερατό m a (t) (Ολοκληρωτής) φίλτρο Δέκτης για λήψη σημάτων CM (δομικό διάγραμμα) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.20
7.7. 1η εφαρμογή: Ψηφιακοποίηση αναλογικού τηλεφωνικού σήματος 7.7.1. Γενικά Η ψηφιακοποίηση του τηλεφωνικού δικτύου αποσκοπεί αφενός στη βελτίωση της ποιότητας της τηλεφωνικής υπηρεσίας και αφετέρου στην εκμετάλλευση των επιπλέον δυνατοτήτων που γενικά παρέχει ένα ψηφιακό δίκτυο (ευκολία διαχείρισης, οικονομία σε καλωδίωση και εξοπλισμό, επεκτασιμότητα, πρόσθετες διευκολύνσεις κλπ.). 7.7.2. Βασικές παράμετροι ψηφιακοποίησης τηλεφωνικού σήματος Οι βασικές παράμετροι της ψηφιακοποίησης του αναλογικού τηλεφωνικού σήματος έχουν δοθεί παραπάνω και επαναλαμβάνονται εδώ, χάριν ευκολίας. Οι παράμετροι αυτές είναι: Εύρος ζώνης αναλογικού τηλεφωνικού σήματος: 0,3 3,4 khz Συχνότητα δειγματοληψίας: f s = 8000 δείγματα/s Χρόνος μεταξύ διαδοχικών δειγματοληψιών: 1 T s = = 125 μs Μη γραμμική κβάντιση: Τύπου Α - 13 περιοχών (SNR 38 db) Αριθμός σταθμών: L = 256 b = 8 bits/δείγμα Ρυθμός μετάδοσης (ανά συνομιλία): R = f s.b = 64 kbit/s Απαιτούμενο εύρος ζώνης (ανά συνομιλία): B d = R = 64 khz f s 7.7.3. Πολυπλεξία (1ης τάξης) τηλεφωνικών σημάτων (IT-T G.703) Γενικά Όσον αφορά την πολυπλεξία 1ης τάξης των τηλεφωνικών σημάτων, ο πολυπλέκτης CM (χαρακτηρίζεται ως CM-30), δειγματοληπτεί 30 διαφορετικά αναλογικά τηλεφωνικά σήματα (μέσα στο χρόνο των 125 μs που μεσολαβεί μεταξύ διαδοχικών δειγματοληψιών) τα οποία και διαβιβάζει στον κβαντιστή ως μία ενιαία ομάδα δειγμάτων. Ο κβαντιστής κβαντίζει τα δείγματα αυτά (σε 256 στάθμες), ο δε κωδικοποιητής (δεδομένου ότι 256 = 2 8 ) δημιουργεί μία δυφιοκτάδα (byte) για κάθε ένα δείγμα. Με τον τρόπο αυτόν παράγονται 30 δυφιοκτάδες (bytes) μία για κάθε τηλεφωνική συνομιλία. Στις 30 αυτές δυφιοκτάδες, ο πολυπλέκτης προσθέτει άλλες 2, μία για να μεταφέρει τα δεδομένα για το συγχρονισμό των 30 δυφιοκτάδων (bytes) και μία για να μεταφέρει τα κριτήρια σηματοδοσίας των συνομιλιών (π.χ. έναρξη, λήξη κλήσης κλπ.). Με τον τρόπο αυτό Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.21
δημιουργείται ένα «πλαίσιο» ( frame ) 32 δυφιοκτάδων (bytes), δηλαδή 256 δυφίων (bits), τα οποία διατάσσονται ως εξής. Δομή 0 1... 15 16 17... 31 byte πλαισίου 0,..,7 0,..,7... 0,..,7 0..,7 0,..,7... 0,..,7 bits 3,9 μs 3,9 μs... 3,9 μs 3,9 μs 3,9 μs... 3,9 μs 125 μs Δυφιοκτάδα (byte) 0: Δεδομένα συγχρονισμού Δυφιοκτάδες (bytes) 1,...,15: Συνομιλίες 1 έως 15. Δυφιοκτάδα (byte) 16: Κριτήρια σηματοδοσίας. Δυφιοκτάδες (bytes) 17,...,31: Συνομιλίες 16 έως 30. Συνολικό μήκος πλαισίου (frame): (32 bytes) x (8 bits) = 256 bits Διάρκεια πλαισίου (frame): 125 μs Διάρκεια δυφιοκτάδας (byte): 125μs / 32 = 3,9 μs Διάρκεια δυφίου (bit): 3,9μs / 8 = 0,49 μs Ρυθμός μετάδοσης (bit-rate): (32 σήματα) x (64 kbit/s) = (256 bits) / (125 μs) = 2048 kbit/s Σε ό,τι αφορά τη σηματοδοσία, στο 1 ο πλαίσιο (αυτό δηλαδή που έχει δημιουργηθεί από την πρώτη σειρά των 30 δειγμάτων), από τη δυφιοκτάδα (byte) 16, τα 4 πρώτα δυφία (bits) μεταφέρουν τη σηματοδοσία της συνομιλίας 1 ενώ τα 4 τελευταία της συνομιλίας 17. Στο 1 ο πλαίσιο (αυτό δηλαδή που έχει δημιουργηθεί από τη δεύτερη σειρά των 30 δειγμάτων), από από τη δυφιοκτάδα (byte) 16, τα 4 πρώτα δυφία (bits) μεταφέρουν τη σηματοδοσία της συνομιλίας 2 ενώ τα 4 τελευταία της συνομιλίας 18 κ.ο.κ. Συνεπώς, για τη μεταφορά των δεδομένων σηματοδοσίας για όλες τις συνομιλίες, απαιτείται ένας «κύκλος» 15 συνολικά πλαισίων. Στα 15 αυτά πλαίσια προστίθεται 1 επιπλέον (που λαμβάνει τον αύξοντα αριθμό 0 και χρησιμοποιείται για το συγχρονισμό ή την επιτήρηση της ομάδας των 15 πλαισίων), τα δε 16 πλαίσια που προκύπτουν δημιουργούν το «πολυ-πλαίσιο» (multi-frame) διάρκειας 16 x 125 μs = 2 ms. Η παραπάνω τεχνική σηματοδοσίας χαρακτηρίζεται ως «σηματοδοσία συσχετισμένου καναλιού» (Channel Associated Signalling CAS) υπό την έννοια η δυφιοκτάδα (byte) της σηματοδοσίας αφορά (συσχετίζεται) με συγκεκριμένο κανάλι (έστω και διαφορετικό κάθε φορά) 18. Συνοπτικά, στο πολυπλαίσιο των 16 πλαισίων (0 ο, 1 ο, 2 ο, 3 ο κλπ.): 18 Η δυφιοκτάδα (byte) σηματοδοσίας προστίθεται, στο εκάστοτε πλαίσιο, κατά τη διεργασία της πολυπλεξίας. Επισημαίνεται ότι στα περισσότερα ψηφιακά τηλεφωνικά δίκτυα, εφαρμόζεται μια διαφορετική (και πιο αποδοτική) τεχνική σηματοδοσίας, η «σηματοδοσία κοινού καναλιού» (Channel Common Signalling CCS, βλ. κεφ. 21, 22). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.22
Η χρονοθυρίδα 0 των άρτιων πλαισίων (0 ο, 2 ο κλπ.) μεταφέρει το σήμα ευθυγράμμισης πλαισίου (Frame Alignment Signal FAS). Η χρονοθυρίδα 0 των περιττών πλαισίων (1 ο, 3 ο κλπ.) μεταφέρει τη λέξη συντήρησης (Service Word SW). Η χρονοθυρίδα 16 του πλαισίου 0 μεταφέρει το συγχρονισμό του πολυπλαισίου. Η χρονοθυρίδα 16 των πλαισίων 1 15 μεταφέρει τη σηματοδοσία (signalling) χρονοθυρ ίδα (=1byte) 0 ευθυγράμμιση πλαισίου / λέξη συντήρησης 1 τηλεφωνικό κανάλι 1 2 τηλεφωνικό κανάλι 2... 15 16 17. τηλεφωνικό Κανάλι τηλεφωνικό.. 31 τηλεφωνικό κανάλι 15 σηματοδοσίας κανάλι 16 κανάλι 30 3,9 μs 3,9 μs 3,9 μs... 3,9 μs 3,9 μs... 3,9 μs 125 μs bits 1 2 3 4 5 6 7 8 Δομή 0 1 2... 14 15 πλαίσιο Πολυπλαισίου (0...31) (0...31) (0...31)... (0...31) (0...31) (χρονοθυρίδες πλαισίου-32 bytes ) 125 μs 125 μs 125 μs 125 μs 125 μs 2 ms Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.23
7.8. 2η εφαρμογή: Ψηφιακοποίηση (αναλογικού) τηλεοπτικού σήματος AL Η ψηφιακοποίηση του αναλογικού σήματος video AL (625 γραμμές ανά εικόνα, συχνότητα 25 εικόνες/s) περιλαμβάνει τις παρακάτω φάσεις (Σύσταση ΙΤ-R 601): 1η φάση: Δειγματοληψία Η δειγματοληψία (sampling) συνίσταται στην (ανά τακτά χρονικά διαστήματα) λήψη δειγμάτων του αναλογικού τηλεοπτικού σήματος (εδώ του σήματος AL). Οι τρεις συνιστώσες του σήματος (η φωτεινότητα Ε Υ και οι χρωματοδιαφορές E R Y, Ε B Y ) δειγματοληπτούνται χωριστά και σύμφωνα με τις παρακάτω απαιτήσεις: 1. Oι συχνότητες δειγματοληψίας πρέπει να ικανοποιούν το κριτήριο Nyquist. Έτσι, για τις τρεις συνιστώσες, πρέπει να ισχύει: f s,y 2B Y f s,r Y 2B R Y f s,β-y 2B Β Y (7.23) όπου B Y = 5,5 ΜΗz και B R Y = B B Y = 2 ΜΗz. 2. Οι συχνότητες δειγματοληψίας πρέπει να είναι ακέραια πολλαπλάσια του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) των συχνοτήτων γραμμής 15625 Hz του συστήματος AL (625 γραμμές/εικόνα Χ 25 εικόνες/s = 15625 Hz) και 15750 Hz του συστήματος NTCS (525 γραμμές/εικόνα Χ 30 εικόνες/s = 15750 Hz), προκειμένου και στα δύο συστήματα, να εξασφαλίζεται ακέραιος αριθμός δειγμάτων κατά μήκος κάθε γραμμής. Αυτό σημαίνει ότι οι συχνότητες δειγματοληψίας πρέπει να είναι ακέραια πολλαπλάσια των 2,25 ΜΗz. Προκειμένου να ικανοποιηθούν οι δύο παραπάνω απαιτήσεις, επιλέχθηκαν τελικά οι παρακάτω συχνότητες δειγματοληψίας: f s,y = 13,5 ΜΗz (Μδείγματα/s) f s,r Y = f s,β Y = 6,75 ΜΗz (Μδείγματα/s) (7.24) (χρόνοι μεταξύ δειγμάτων 0,0741 μs και 0,1481 μs αντίστοιχα). Η παραπάνω μορφή δειγματοληψίας αναφέρεται και ως 4:2:2. Σύμφωνα με αυτή, κατά την πρώτη δειγματοληψία σε μια συγκεκριμένη γραμμή, λαμβάνονται δείγματα και των τριών συνιστωσών (E Y, E R Y, E Β Y ), κατά τη δεύτερη, μόνον του σήματος E Y, κατά την τρίτη πάλι και των τριών συνιστωσών, κατά την τέταρτη, μόνον του σήματος E Y κ.ο.κ. (Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για κάθε μία γραμμή της εικόνας). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.24
Για τη δειγματοληψία 4:2:2 (και σύστημα τηλεοπτικής μετάδοσης AL (625 γραμμές, 25 εικόνες/s) ισχύουν τα εξής: Αριθμός δειγμάτων ανά γραμμή = 864 φωτεινότητας E Y 462 χρωματοδιαφοράς E R Y 462 χρωματοδιαφοράς E Β Y αριθμοί που προκύπτουν από το ότι μια γραμμή διαγράφεται σε 64 μs ενώ ο χρόνος μεταξύ δύο δειγμάτων είναι 0,0741 μs και 0,1481 μs για τη φωτεινότητα και τις χρωματοδιαφορές αντίστοιχα. (Είναι προφανές ότι ο αριθμός των δειγμάτων φωτεινότητας είναι ταυτόχρονα και ο αριθμός των εικονοστοιχείων (pixels) ανά γραμμή). Τέλος, για το ενεργό μέρος της γραμμής ισχύει: Αριθμός δειγμάτων στην ενεργή γραμμή = 720 φωτεινότητας E Y 360 χρωματοδιαφοράς E R Y 360 χρωματοδιαφοράς E Β Y 2η φάση: Κβάντιση Κατά την κβάντιση (quantisation), οι τιμές των δειγμάτων (που μπορεί να είναι οποιεσδήποτε μέσα στο εύρος τιμών του αρχικού αναλογικού σήματος AL) αντιστοιχίζονται στην πλησιέστερη από μια σειρά καθορισμένων ισαπεχουσών σταθμών (levels) κβάντισης. Η διαδικασία αυτή αποτελεί τη βασικότερη πηγή σφάλματος κατά τη διαδικασία της ψηφιακοποίησης και ο αριθμός των δυνατών τιμών που μπορεί να λάβει ένα δείγμα καθορίζεται ακριβώς από τη μέγιστη ανεκτή τιμή του σφάλματος αυτού (θόρυβος κβάντισης). Για λόγο σήματος προς θόρυβο ίσο με 58 db, ο απαιτούμενος αριθμός σταθμών κβάντισης είναι ίσος με 1024 (=2 10 ). 3η φάση: Κωδικοποίηση με χρήση παλμοκωδικής διαμόρφωσης (CM) Η λειτουργία του κωδικοποιητή συνίσταται στη μετατροπή κάθε κβαντισμένου δείγματος σε μια ακολουθία δυφίων (δυαδικών ψηφίων - bits). Ειδικότερα, ο κωδικοποιητής CM, μετατρέπει τον ακέραιο αριθμό που αντιστοιχεί σε κάποια στάθμη στο δυαδικό του ισοδύναμο. (Δεδομένου ότι L = 256=2 10 στάθμες, κάθε στάθμη χαρακτηρίζεται από μια λέξη των 10 bits). Ρυθμός μετάδοσης ψηφιακοποιημένου σήματος AL Για τη μετάδοση ψηφιακοποιημένου σήματος AL, απαιτείται ρυθμός μετάδοσης Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.25
R = [(13,5x10 6 + 6,75x10 6 + 6,75x10 6 ) δείγματα/s] x 10 bits/δείγμα = 270 Mbit/s (7.25) Ο ρυθμός αυτός είναι υπερβολικά υψηλός, αν ληφθούν υπόψη ο αριθμός των προς μετάδοση τηλεοπτικών προγραμμάτων και οι περιορισμοί του διαθέσιμου φάσματος. Δεδομένου ότι για τη μετάδοση του ψηφιακού σήματος video χρησιμοποιείται διαμόρφωση ASK (μετάδοση μέσω οπτικής ίνας) 16-QASK (μετάδοση μέσω ομαξονικού καλωδίου) ή QSK (δορυφορική μετάδοση) θα απαιτείτο εύρος ζώνης (ανάλογα με τη διαμόρφωση) της τάξης των 50 έως 200 MHz. Το εύρος αυτό είναι υπερβολικά μεγάλο, ιδιαίτερα αν ληφθεί υπόψη ο αριθμός των προς μετάδοση τηλεοπτικών προγραμμάτων. Προκειμένου να καταστεί εφικτή η μετάδοση και διανομή ψηφιακού σήματος video, είναι απαραίτητη η μείωση του ρυθμού μετάδοσης που δίνεται από την εξίσωση (7.25). Αυτό επιτυγχάνεται με τη συμπίεση του ψηφιακού σήματος που συνίσταται στην απομάκρυνση, της πλεονάζουσας πληροφορίας, χρησιμοποιώντας τις ομοιότητες που υπάρχουν αφενός μεταξύ παρακείμενων pixels και αφετέρου μεταξύ διαδοχικών εικόνων. Κατά καιρούς, εμφανίστηκαν διάφορα συστήματα συμπίεσης, αυτό όμως που φαίνεται να επικρατεί είναι το σύστημα MEG-2. Μέσω του συστήματος αυτού είναι δυνατή η μετάδοση ψηφιακού τηλεοπτικού σήματος συμβατικής ευκρίνειας με ρυθμό 1,5 60 Mbit/s ενώ υπάρχει πρόβλεψη και για παράλληλη μετάδοση ψηφιακού στερεοφωνικού ήχου υψηλής πιστότητας. Όσον αφορά την Ελλάδα, η μετάδοση του τηλεοπτικού σήματος μέσω του δικτύου του ΟΤΕ γίνεται ψηφιακά. Το τηλεοπτικό σήμα ψηφιακοποιείται και συμπιέζεται συνήθως στα 34 Mbit/s (στάθμη Ε3). Για τη μετάδοση των σημάτων Συνήθως, γίνεται πολυπλεξία είτε 4 σημάτων Ε3 σε ένα σήμα (DH) Ε4 (ρυθμού 140 Mbit/s) είτε 3 σημάτων σε ένα σήμα STM-1 (ρυθμού 155 Mbit/s). Τα σήματα Ε4 ή STM-1 μεταδίδονται είτε ασύρματα είτε μέσω οπτικού καλωδίου. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.26
7.9. 3η εφαρμογή: Ψηφιακοποίηση ραδιοφωνικών σημάτων Τα ραδιοφωνικά σήματα διακρίνονται από τα τηλεφωνικά γιατί το εύρος ζώνης τους είναι (σπανιότερα) 7 khz ή (συνηθέστερα) 15 khz. Σήμα με B a = 7 khz (Ψηφιακοποίηση σύμφωνα με τη Σύσταση J.42 της ΙΤ Η συχνότητα δειγματοληψίας έχει τυποποιηθεί στην τιμή f s = 16 khz (> 2B a ). Η κβάντιση είναι γραμμική και γίνεται με L = 4096 = 2 12 στάθμες (άρα b = 12). Ο προκύπτων ρυθμός μετάδοσης είναι R = f s.b = 192 kbit/s. Σήμα με B a = 15 khz (Ψηφιακοποίηση σύμφωνα με τη Σύσταση J.41 της ΙΤ Η συχνότητα δειγματοληψίας έχει τυποποιηθεί στην τιμή f s = 32 khz (> 2B a ). Η κβάντιση είναι γραμμική και γίνεται με L = 4096 = 2 12 στάθμες (άρα b = 12). Ο προκύπτων ρυθμός μετάδοσης είναι R = f s.b = 384 kbit/s. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.27
7.10. Εναλλακτικές τεχνικές κωδικοποίησης Aν και η παλμοκωδική διαμόρφωση (CM) είναι η ευρύτερα χρησιμοποιούμενη τεχνική ψηφιακοποίησης σημάτων, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούνται και άλλες τεχνικές ψηφιακοποίησης, οι κυριότερες από τις οποίες είναι οι εξής: Η διαμόρφωση δέλτα (δ-modulation). Η διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση (Differential CM ή DCM). Η προσαρμοστική διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση (Adaptive Differential CM ή ADCM). Κοινό γνώρισμα των παραπάνω τεχνικών είναι η κωδικοποίηση, όχι των δειγμάτων του σήματος αυτών καθεαυτών, αλλά των διαφορών τους με τα προηγούμενα δείγματα. Οι τεχνικές αυτές υπερτερούν της CM ως προς το ότι απαιτούνται λιγότερα δυφία (bits) για την κωδικοποίηση των σημάτων (άρα μειώνεται ο ρυθμός μετάδοσης και το εύρος ζώνης του τελικού ψηφιακού σήματος) παρουσιάζουν όμως το μειονέκτημα της χαμηλής πιστότητας όταν παρουσιάζονται απότομες μεταβολές στο αρχικό αναλογικό σήμα. Οι παραπάνω τεχνικές ψηφιακοποίησης όπως και η CM, χαρακτηρίζονται τεχνικές κωδικοποίησης πηγής (source coding) υπό την έννοια ότι αφορούν την ψηφιακοποίηση (κωδικοποίηση) σημάτων όπως αυτά παράγονται από την πηγή. Πολλές φορές, στα σήματα αυτά, προστίθενται επιπλέον δυφία (bits) τα οποία χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο και τη διόρθωση λαθών. Η συγκεκριμένη (πρόσθετη) κωδικοποίηση ονομάζεται κωδικοποίηση καναλιού (channel coding). Στις περισσότερες περιπτώσεις, το σήμα που προκύπτει από την κωδικοποίηση της πηγής (και την κωδικοποίηση καναλιού, αν προβλέπεται κάτι τέτοιο) υφίσταται και κωδικοποίηση γραμμής (line coding) προκειμένου να καταστεί κατάλληλο για μετάδοση από το χρησιμοποιούμενο τηλπικοινωνιακό μέσο (βλ. ενότητα 7.4). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.28
7.11. Ασκήσεις Άσκηση 1 2 Tο σήμα του σχήματος, θεωρείται ότι έχει εύρος ζώνης Β m =, μέγιστη τιμή = 6 V και τ ελάχιστη τιμή = 6 V ενώ η κβάντισή του προβλέπει L= 16 στάθμες κβάντισης. m(t) (V) 6V +7 4,4V +5 2,8V +3 +1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25μs 6V 5 (α) Να υπολογιστεί η συχνότητα δειγματοληψίας f s, αν προβλέπεται περιθώριο Δf g = 4 ΜHz. (β) Να υπολογιστεί τo χρονικό διάστημα T s μεταξύ δύο δειγματοληψιών. (γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μετάδοσης R και το εύρος ζώνης B d του ψηφιακού σήματος αν r = 0. (δ) Να υπολογιστεί η δυναμική περιοχή Δ του σήματος ως καθαρός αριθμός και σε db. (ε) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς m του σήματος. (στ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς n,q του θορύβου κβάντισης. m (ζ) Να υπολογιστεί ο σηματοθορυβικός λόγος SNR = ως καθαρός αριθμός και σε db. (η) Να σχεδιαστεί το αντίστοιχο σήμα CM. n,q Λύση 2 (α) Β m = = 8 ΜHz 0, 25μs f s = 2Β m + Δf g = 20 MHz 1 (β) T s = = 0,05 μs (5 δείγματα) f s (γ) (7.19) R = f s.log 2 L = 80 Mbit/s 6 R 80 10 (7.20) B d B CM = (1+r). = (1+0) 40 ΜΗz 2 2 (δ) (7.11) Δ = L 1 = 15 Δ db = 20.log(Δ) = 20.log(L 1) = 20.log(15) = 23,52 db 2 (ε) (7.14) m = = 12 W 3 2 6 (στ) (7.10) δ = = 0,8 V 16 1 1 (7.13) n,q = δ 2 = 0,053 W 12 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.29
m (ζ) (7.15) SNR = = (L 1) 2 = 225 n,q (7.17) SNR db = 10log(SNR) = 23,52 db ( 19 ) (η) Στάθμες κβάντισης: 5, +3, +5, +3, +1, 5 Σήμα CM: 0101, 1011, 0101, 1011, 1001, 0101 Άσκηση 2 Να ψηφιακοποιηθεί, με χρήση τεχνικής CM, το σήμα που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Λύση Δειγματοληψία m s (t) (Volts) 2,54V 127η 1,90V 95η 1,27V 63η 0,62V 31η 0 0 250μs 500μs 750μs 1000μs 0,62V 31η (μs) t 1,27V -63η 1,90V 95η 2,54V 127η Κβάντιση Μετά τις προσεγγίσεις, προκύπτουν οι παρακάτω στάθμες κβάντισης 72η, 0η, 63η, 104η, 104η, 72η, 63η, 16η Κωδικοποίηση 19 Η αριθμητική ισότητα μεταξύ Δ db και SNR db δεν είναι τυχαία. Υπενθυμίζεται ότι (εξίσωση 7.15) SNR = Δ 2 οπότε 10.log(SNR) = 20.log(Δ) άρα Δ db = SNR db. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.30
Μετά την μετατροπή των αριθμών των σταθμών κβάντισης στο δυαδικό τους ισοδύναμο (πρόσημο " " ισοδυναμεί με "0", πρόσημο "+" με "1") προκύπτει το παρακάτω σήμα CM. 01001000, 10000000, 10111111, 11101000, 11101000, 11001000, 10111111, 10010000 Άσκηση 3 Δίνεται τριγωνικός παλμός m(t) ύψους Α = 8 V και διάρκειας τ = 8 μs. Ο παλμός πολλαπλασιάζεται με κρουστική παλμοσειρά δ Τ (t) με περίοδο T = 2 μs. Αν m s (t) = m(t).δ Τ (t): (α) Να σχεδιαστεί το σήμα m s (t) στο πεδίο του χρόνου. (β) Να σχεδιαστεί η φασματική αναπαράσταση M s (f) του m s (t). Δίνεται ότι Μ(f) = Aτ.Sa 2 πfτ ( ). 2 (O τριγωνικός παλμός να θεωρηθεί ότι «εμφανίζεται» τη χρονική στιγμή t = 0). Λύση m(t) m s (t) (α) t Τ = 2 μs τ = 8 μs (β) M s (f) 2/τ = 250 khz 1/T = 500 khz f B m = τ 2 = 250 khz T s = T = 2 μs f s = 1 = 500 khz = 2Bm Τ s Άσκηση 4 Για τα παρακάτω σήματα, να υπολογιστεί (i) η συχνότητα Νyquist f s και (ii) η περίοδος Νyquist Τ s. (α) m(t) = Sa(2π.1000.t). (β) m(t) = Sa 2 (2π.1000.t). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.31
Λύση (α) f m = 1000 Hz f s = 2.f m = 2 khz (β) f m = 2000 Hz f s = 2.f m = 4 khz T s = 0,5 ms T s = 0,25 ms Άσκηση 5 Η συναυλία ενός τραγουδιστή πρόκειται να ψηφιακοποιηθεί και να γραφεί σε CD. Υποθέτοντας ότι η φωνή του τραγουδιστή καλύπτει την περιοχή συχνοτήτων 0 20 khz, ότι για την κβάντιση πρέπει να προβλέπεται σηματοθορυβικός λόγος SNR > 70 db και ότι η συναυλία διαρκεί για χρόνο τ = 100 min, να υπολογιστεί η απαιτούμενη χωρητικότητα C (σε Bytes) για την αποθήκευση της παράστασης. Λύση SNR = (L 1) 2 = 70 db L = 3162 4096 = 2 12 b = 12 R = f s.b = (2 20 khz) (12 bits) = 480 kbit/s Τ= 100 min = 6000 s R τ C = R τ (bits) = (Βytes) = 360 MBytes 8 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.32
Άσκηση 6 Χρησιμοποιώντας την «εξίσωση επανάκτησης σήματος» (από τα δείγματά του) να γραφεί μια έκφραση για το σήμα m(t) αν τα δείγματά του (με περίοδο δειγματοληψίας Τ s = 1 ms) είναι τα εξής: 0, 0, 10, 30, 50, 50, 0, 10, 30. Λύση 0 1 2 m(t) = 0.Sa[2πΒ m (t )] + 0.Sa[2πΒm (t )] + 10.Sa[2πΒm (t )]+ 2B m 2B m 2B m 3 4 5 30.Sa[2πΒ m (t )] + 50.Sa[2πΒm (t )] + 50.Sa[2πΒm (t )] + 2B m 2B m 2B m 6 7 8 0.Sa[2πΒ m (t )] 10.Sa[2πΒm (t )] 30.Sa[2πΒm (t )] = 2B m 2B m 2B m 2 3 4 m(t) = 10.Sa[2πΒ m (t )] + 30.Sa[2πΒm (t )] + 50.Sa[2πΒm (t )] + 2B m 2B m 2B m 5 7 8 50.Sa[2πΒ m (t )] 10.Sa[2πΒm (t )] 30.Sa[2πΒm (t )] = 2B m 2B m 2B m όπου ο «έντονος» (bold) ακέραιος μέσα στο όρισμα της Sa( ) δηλώνει τον αύξοντα αριθμό του δείγματος (0, 1, 2,, 8). Άσκηση 7 Παλμοσειρά διάρκειας τ και περιόδου T s μεταδίδεται μέσω καναλιού εύρους ζώνης Β ch = 200 khz. (α) Να καθοριστεί η διάρκεια τ για βέλτιστη μετάδοση (r = 1) (β) Να καθοριστεί η περίοδος T s. Λύση (α) Πρέπει Β d = B ch = 200 khz, ενώ, για βέλτιση μετάδοση (r = 1), ισχύει ότι B d = R. Αυτό σημαίνει ότι R = 200 kbit/s = 2 10 5 1 kbit/s. Δεδομένου ότι R =, προκύπτει ότι τ 1 τ = = 0,5 10 5 = 5 μs. R Τ (β) τ = s Τs = 2τ = 10 μs. 2 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.33
Άσκηση 8 Η πυκνότητα πιθανότητας ενός σήματος m(t) δίνεται από την εξίσωση f(m) = k.e m ( m 4) f(m) = 0 ( m > 4) Το σήμα δειγματοληπτείται και κβαντίζεται με L = 4 στάθμες κβάντισης. Να υπολογιστούν: (α) Η σταθερά k. (β) Το βήμα κβάντισης δ. (γ) Η μέση ισχύς n,q του θορύβου κβάντισης. Λύση (α) Πρέπει f(m).dm = 1 Όμως f(m).dm = [ 4,4] k.e m.dm = [ 4,0] k.e +m.dm + [0,4] k.e m.dm = k.(1 e 4 ) k.(e 4 1) = 2.k k = 2 1 4V - (-4V) (β) δ = = 2,67 V 3 1 (γ) n,q = δ 2 = 0,6 W 12 Άσκηση 9 Αναλογικό σήμα m(t) ψηφιακοποιείται με χρήση παλμοκωδικής διαμόρφωσης (CM). (α) Αν το σήμα κβαντίζεται με L = 16 στάθμες κβάντισης και η διάρκεια της ψηφιακής λέξης είναι τ word = 400 μs, να υπολογιστεί το εύρος ζώνης καναλιού Β ch που απαιτείται για τη μετάδοση του σήματος CM με ελάχιστη παραμόρφωση. B (β) Αν το κανάλι έχει εύρος ζώνης Β ch = ch, να υπολογιστεί ο αριθμός των σταθμών 2 κβάντισης L προκειμένου το σήμα CM να υφίσταται ελάχιστη παραμόρφωση. Λύση (α) L =16 =2 4 τ b = 4 τ bit = word = 100 μs R = 10 kbit/s Β ch,min = 10 khz 4 B ch, min (β) Β ch = = 5 khz R = 5 kbit/s τ bit = 200 μs b = 400/200 = 2 2 L = 2 2 = 4 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 7.34