РАДИЈАЦИОНА ФИЗИКА Рачунски задаци из Радијационе физике

Природно математички факултет Владимир Марковић РАДИЈАЦИОНА ФИЗИКА Рачунски задаци из Радијационе физике

Боров модел атома Боров модел атома представља атом са малим позитивно наелектрисаним језгром око којег се електрони крећу у кружним орбитама слично кретању планета око Сунца, при чему привлачна сила потиче од електростатичке интеракције. Овим моделом је успешно објашњена Ридбергова формула за спектралне емисионе линије атома водоника. Из Радерфордових експеримента постало је јасно да су позитивно наелектрисање и маса атома сконцентрисани у центру атома око којег се налази дифузни облак електрона, носиоца негативног наелектрисања. На основу тога се природно наметнуо планетарни модел атома. Међутим планетарни модел наилазио је на бројне потешкоће у погледу објашњења стабилности атома и природе атомских спектара. Према класичним законима електродинамике наелектрисање при убрзаном кретању мора да емитује електромагнетно зрачење губећи при томе енергију. Тако би електрон у кружној путањи око језгра требало непрекидно да емитује зрачење и да због губитка енергије спирално падне на атомско језгро. Емитовано зрачење треба да има континуални карактер. Међутим, још крајем XIX века у бројним експериментима са електричним пражњењем у разређеним гасовима, показано је да атоми емитују зрачење са дискретним фреквенцијама. Бор је на основу опажања у експериментима постулирао следеће:. Дозвољене су само оне орбите код којих је момент импулса, L= vr (орбитални момент импулса) електрона целобројни умножак ћ, L=ћ, =,,,.... Електрон који се креће по стационарној орбити не емитује електромагнетно зрачење.. Емисија или апсорпција зрачења дешава се само приликом преласка електрона из једне стационарне орбите у другу, i. Укупна енергија електрона у орбити водониковог атома је сума његове кинетичке и потенцијалне енергије: v () r f

Према првом постулату момент импулса је: L vr () Радијациона физика - Рачунске вежбе На електрон у орбити делује кулонова сила која је у равнотежи са центрипеталном силом: r v r Множењем леве и десне стране () са r и комбиновањем са () добија се: () v () Решавањем () по r и заменом у () можемо одредити брзину електрона у датој орбити: (5) v Уврставањем (5) у израз за енергију () знајући да је / налазимо да енергија електрона атома водоника има дискретне вредности које зависе од главног квантног броја :, =,,,... () 8 Из једначине () можемо одредити израз за радијус електрона комбинујући је са постулатом за квантизацију импулса. r (7) Боров модел атома је успешно објаснио спектар водониковог атома. Овај модел се може применити и на водонику сличне атоме. Борова теорија представља прелазну етапу између класичне и квантне физике. 8.85. 9 9.9 =.99795 8 C kg s/v =.59 - Js =.57-5 V s

; 8 v r. V v. / s r 5.9. Израчунати енергију, радијус, и брзину електорна у атома водоника у основном стању.. V, r 5.9, v. / s =, =. V v. / s r 5.9. Израчунати енергију, радијус, и брзину електорна у атому водоника у најнижем ексцитованом стању. =, =. V

v.8 / s r.. Радијус електрона у атому је.55 -, а његова брзина износи v =8. /s. Израчунати енергију тог електрона. 5.9 ; v. / s r =, =8. V. V 7. V. Израчунати таласну дужину треће линије Балмерове серије водониковог атома. Која је енергија тог фотона у V? =, = и =5 8 R t R t 8.97 λ=. -7 = 7-8. 9.58 J. 8V 7.. 5. Који је највећи квантни број стања Li + јона са орбиталним радијусом мањим од 5 Å? = r 5.9 r 5.9.8

Боровом теоријом су дефинисане целобројне вредности квантних бројева: r 5 Å =7 r 5 Å =. Одредити угловну брзину електрона у основном стању H + v f f v r v r =, =. 7 r s 5

Таласна дужина фотона R ; R=.9 7 -. Израчунати таласну дужину фотона при k α прелазу у атому водоника. R. 7.. Израчунати таласну дужину фотона код k β прелаза у атому H +. R.58 8 5. 8. Израчунати фреквнцију фотона фотона који се емитује при k γ прелазу у атому H +. 8. V f. V 8 f 5V 8.* J f f. Hz

. Брзина електона у атому H + на неком нивоу је v. / s. Са тог нивоа електрон прелази на ниво чији је радијус r 9.5. Квант које енергије је потребан за ексцитацију овог електрона? v. / s v. / s. =. / s r 5.9 r 5.9 9.5 = 5.9 Фотон се абсорбује f. V f. 8 V. 5 V 5. У својим експериментима, Дависон (Davisso) и Џемер (Grr) су користили електроне убрзане потенцијалном разликом од 5V. Која је d Brogli таласна дужина ових електрона. p ; p 9.9. V. 9.7 7

. Израчунати деброљеву таласну дужину електрона са енергијом MV. Овај проблем се мора третирати релативистички. Обележимо са Укупна енергија електрона је:, где је релативистичка маса, тако да је K MV. Енергија електрона је је днака суми кинетичке енергије и енергије мировања:, одакле добијамо да је k k k, тј. k ( ) одакле се добија да је., одакле је v v ДеБрољева таласна дужина је:.8 p v v 8

Рутхерфорд-ов модел расејања z, z Пре судара После судара Фракција честица који се расеје под углом у односу на упадни правац: d d zz si d si Фракција честица које се расеју у интервалу углова (, ) у односу на упадни правац (интеграција претходног израза): d, M z z 8 d Cos Cos. Израчунати фракцију расејаних протона у распону углова од / до / са енергијом MV на атомима хелијума распоређених у слоју дебљине. Густина хелијума је =.78 g l, а моларна маса. g/ol. z =, z = =.78 kg - ; d=.; M=. kg/ol =MV=. - J; 9

Радијациона физика - Рачунске вежбе α=π/; β=π/. 8, Cos Cos z z d d, d =.775-7. Израчунати фракцију расејаних α честица у распону углова од / до / са енергијом MV које се расејавају на листу злата дебљине μ. Густина злата је 9. g, а моларна маса 9.97 g ol -. z =, z =79 =9. kg - ; d= - ; M=.997 kg ol =MV=. - J α=π/; β=π/. 8, Cos Cos z z d d, d =.799=7. -. Израчунати густину атома мете ако је фракција расејаних протона под углом од / до / графиту дебљине износи.. Протони имају енергију MV. Моларна маса графита. g/ol. 8, Cos Cos z z d d f M

Радијациона физика - Рачунске вежбе 8 Cos Cos z z d f M =.5 kg -. Израчунати дебљину слоја атома мете ако се α честице са енергијом MV расеју под углом од / do /. Mta j l gusti.7 g/ - ; olara asa M=.98 g ol -, a frakija rasjai projktila j.55 -. z =,z = 8, Cos Cos z z d d f M 8 Cos Cos z z f M d =μ

Koptoovo rasjaj i Foto fkat si os v. Фотон таласне дужине. се судара са електроном и при томе се расеје за угао 8. Одредити таласну дужину фотона након расејања. si.5 8 si si. 8 9.. X зрачење таласне дужине.7 расејава се на графиту. Одредити таласну дужину расејаног зрачења под углом =/. si.5 9 si 7. si 7. 8 9.. Фотон таласне дужине 7 пада на материјал чији је излазни рад = V. Израчунати енергију ослобођеног електрона. v v 8.5 9 9 7. 57. 5 V

. У Комптоновом расејању фотона фреквенције, 8 Hz на угљенику, електрон на којем се фотон расејао добије енергију,85 V. Колико степени се расејао фотон?.5..85. 7.9 8 9,.55.5 os os 7. 88 5. Таласна дужина електромагнетног зрачења расејаног на слободном електрону је пута већа при расејању за угао о него за угао од о. Одредите таласну дужину електромагнетског зрачења.. os. os os. os.....

.. Радијациона физика - Рачунске вежбе.9... Монохроматски извор светлости енергије J емитује светлост таласне дужине λ=5. Колико фотона емитује тај извор? =, - J s.97 9 f.5 f J 7. Колику максималну таласну дужину може имати светлост да би се добио фотоелектрични ефект на металу за који је излази рад =, V? =, - J s v = 8.5.. 9 5.8 7 8. Површину металне плоче обасјамо светлошћу таласне дужине,5 μ, а затим светлошћу којој је таласна дужина,5 μ. При томе, енергија избијених електрона четири пута већа у првом случају него у другом. Колики је излазни рад метала од којег је плоча направљена? v v

5 Радијациона физика - Рачунске вежбе sldi V 9.

Радиоактивност l t t /. Радиоактивни a се распада емитујући бета честице. Израчунати његову активност након ако је његова почетна активност = Bq/. Време полураспада j / =.9. l t /.9.9 5. Bq. Време полураспада неког радиоактивног изотопа је дана. Након колико ће се времена распасти 75% почетног броја радиоактивних језгара? l t /.5 l t /.5 t= daa l t /. Активност неког извора износи А = Bq. Колика ће бити активност тог извора за дан, ако је = -? t. 77 Bq. Период полураспада Ra j =59 година. Колико се језгара распадне у једној секунди у g Ra? / 59 *5 *8 5 l t g ol - g x x=. - ola l / t / l t / =x*a=.9 8 atoa

7. atoa 5. Након колико ће се година количина радиоактивног изотопа угљеника C смањити на % своје почетне вриједности? Вријеме полураспада изотопа C је 57 година. l t /. l t 57 t 9g. Колико је вријеме полураспада изотопа натријума a ако се интензитет радиоактивног зрачења смањи за % током прва два сата? l t /.88 /. 8 l / 7. Неком се радиоактивном изотопу након два дана активност смањи три пута. Колико ће му се пута активност смањити након десет дана? l t / l / следи / =. d l..8. ili /.8=5 пута це се смањити активност % 8. Колика је маса узорка изотопа калцијума 5 Ca који има активност 8, Bq? Време полураспада изотопа 5 Ca је,8 дана. /.8 *8 9.8 * s l /.5 * l 9.5 5.9. 9 7

* Ma. 8 g 9. У неком прехрамбеном производу налази се примеса радиоактивне супстанце која има време полураспада дана. Производ се може корисно употребити након што се активност примјесе смањи на 8% од почетне активности. Након колико се дана производ може употребити? l t /.8 l t l t.8 l.8 t.7 zai, visod 7 daa l. Узорак радона запремине, L налази се на температури 7 o C и притиску,5 kpa. Колико је време полураспада радона ако узорак у једном дану емитује 8, 7 α-честица? pv= R =pv/r=.8 ol = a=.89 честица p=5, V=. -5 =K R=8. pv = 8. -5 R = a =.89 8 = -t, t= da L t t L =.8дана L. Колико је време полураспада радиоактивног узорка којем је 5 дана након што је приправљен Геигер-Миллеровим бројачем измјерено 5 распада у минуту, а дана касније распада у минуту? l t / 5 l 5 / l 95 / 8

5 l 5 / l 95 / l. / 5 l 5 / l l. 5 95 l 95 / / / l. 8 daa.. Измерена активност изотопа C у узорку од g угљеника, узетог од дрвене оплате старог брода, износи распада у минути. Колика је старост дрвета од којега је брод саграђен? Време полураспада изотопа C је 57 година. (Напомена: Активност изотопа углјеника C у живом узорку је,7 Bq/ol.) a = a =. ol =.7.=.78 L l t t 59. /. Пацијент у сврху лечења тироидне жлезде узима препарат који садржи радиоактивни изотоп јода I. У тренутку давања лека активност препарата била је,5 9 Bq. Колики се проценат јода уградио у организам пацијента ако је два дана након давања лека измерена активност укупно излученог урина и фекалија била 8 Bq? Време полурасапада изотопа I j 8, дана. l t / l 9 8..5.7 9 f 9 '.7 * % 9.7 8 * % 8.7% 5. Раствор садржи. Ci 98 u и. Ci I у почетном тренутку.колико је укупна бета активност раствора после дана? Када ће се укупна активност раствора смањити на половину почетне вредности? Оба изотопа се распадају на стабилна језгра уколико се занемати мала фракција распада I у X који не доприноси бета активности. Време полураспада 98 u је.7 дана, а I 8.5 дана. После. дана активности 98 u и I ће бити: 9

u I.9.7..5 Ci и.9 8.5 Радијациона физика - Рачунске вежбе..5 Ci Укупна активност после дана је збир појединачних активности и износи 7. - Ci. Да би смо нашли време када укупна активност падне на половину почетне.+.=. Ci записаћемо: t.9.7 t.9 8.5.7.. Ова једначина је трансцедентна и не може се решити по t. Решење се може потражити графички или итеративним методом смањења грешке. Константе распада 98 u и I су.9/.7 =.57 d ad, for I,.9/8.5 =.8 d. Активности после времена t су:. 57t u ( t). и. 8t u ( t). Слика. показује график ове две активности и њихов збир одакле се може видети да укупна активност опадне на половину за око 5 дана.. Почевши са GBq узорка чистог 9 Sr у почетном тренутку колико ће времена бити потребно да укупна активност ( 9 Sr+ 9 Y) достигне вредност од 9 9 7.5 GBq. Sr распада са временом полураспада од 9. година на Y 8 s који се такође сати. распада на стабилни 9, 9 r са временом полураспада од. Решење: Ово је случај илуструје распад дугоживећег радионуклида ( =9. год.) на краткоживећи потомак ( =. ), >>. Секуларна равнотежа се достиже за око седам времена полураспада потомка и износи 7 =8. После овог

времена активност 9 Sr се није приметно смањила а активност 9 Y, А се повећала до вредности А =А = GBq, тако да укупна активност износи GBq. У овоме задатку је потребно наћи време за које активност 9Y достигне вредност 7.5 GBq. Ова активност ће се достићи за мање од 8, тако да не можемо применити услов за секуларнз равнотежу:. Уколико напишемо равнотежне једначине: d и dt d, узимајући у обзир да је и добијамо: dt t t ( ) Пошто је А =, имамо да је: t ( ), тј..8 7.5 ( t ), одакле је t 8 Интеракција зрачења са материјом -Абсорбована доза d D Gy J / kg d -Експозиција dq X C/kg, R =.58 C/kg. d / -Домет алфа честица у ваздуху R.5 - почетна енергија у MV, R домет у / t - Флукс честица r r R z.9 / R M R R v v M M v /. Израчунати домет алфа честице у ваздуху чија је почетна енергија = MV

/ R.5 / R.5. 99. Колика је почетна енергија алфа честице која у ваздуху пређе растојање од R=? / R 5. MV.5. Алфа честица се емитује почетном енергијом од = MV. Колика је енергија алфа честице након пређеног растојања од R =.? / R.5 R=.5 R R R.5.. 5 / R. 78 MV.5. Алфа честица се емитује у коцки испуњене ваздухом димензије a=. При томе пређе пут до заустављања од R=.5. Израчунати абсорбовану дозу, ако је густина вадуха =. g/. / R. MV.5 V a D d d. 8 9.g 9. 9.. J. 9. kg Sv 5. При кретању кроз ваздух алфа честица преда енергију од MV. Израчунати количину наелектрисања која се створи при томе, ако се зна да је енергија јонизације V. Број електронских парова који се при томе створи је V 9 J V Q 9. 9 C.7 C kg. Одредити енергију алфа честице депоновану у ваздуху ако се зна да је створена количина наелектрисања од Q=. - C.

Q J Q.. 9 C 9 C 9 J V.8 V 7. Алфа честица се креће у лопти испуњене ваздухом радијуса r= пређе пут до заустављања од R=.5. Израчунати експозицију, ако је густина вадуха =. g/ и ако се зна да је енергија јонизације ваздуха V. / R. MV.5 J. V V 97 9 5 Q 97. C.5 C V r.. 5 Q.5 C X.55. kg 8. Колики је домет у ваздуху α честице коју емитује изотоп 8 U? Колика би дебљина алуминијске ( 7 l) фолије била довољна да заустави те честице? =. MV. Густина l је 7 kg/. R z =.*(.).5=.8=.8 R R v v M M v / / v M.9 7 R R v.8. 8 M v 7.5 / 9. Алфа честица се емитује у лопти испуњеној ваздухом радијуса r= почетном енергијом od = MV. Колика је доза алфа честице ако у сфери предје пут од R =. и изађе из ње? Густина је. g/ / R.5 R=.99 R R R.99.. 9 / R. 98 MV.5 =- =-.98=. MV =.57 kg D=. - Gy

. Израчунати флукс честица који емитује извор чија је активност Ci на растојању од..7 Bq st.9 r s. Колика је активност извора који на растојању од даје флукс od 9 st/ /s? r r 9 5 Bq r. На ком растојању од извора ће флукс емитованих честица бити st/ /s, ако је активност извора 5 Bq? r r 5 r. 5. Маса узорка 5 Ca j.8 g. Време полураспада изотопа 5 Ca j,8 дана. Израчунати флукс емитованих честица на растојању од и укупну енергију у тој средини за време од. Енергија електрона је 5 kv. * Ma. 8 g 9.5 5.9, =.5 9. l 8. Bq 8.. r. * * 5kV 9. 7J s s

Закон слабљења фотонског снопа кроз материју - I I x линеарни коефицијент слабљења =.85 - за = kv tkivo =.5 - за = kv. Израчунати интензитет гама зрачења који пролази кроз ткиво дебљине, ако је интензитет упадног зрачења I 9 / s, енергије kv. ( =.85 - ) I I.8 x 9.85 9. Колика је дебљина средине кроз коју пролази гама зрачење, ако се интензитет смањи на пола? ( =. - ) I I x I l x l. 9 I. Колика је дебљина средине кроз коју пролази гама зрачење, ако се интензитет смањи на 8% од почетног итензитета? Коефицијент линеарне апсориције износи =. -. I I.8 I x I x x l..8.. Гама зрачење пролази кроз две спојене средине, чије су дебљине i. Израчунати интензитет гама зрачења ако су =.5 - i =. - a упадно зрачење је интензитета I / s. I I x x I I 8. x I I 7.78 9 9 5

5. Извор активности = 5 Bq емитује гама фотоне на заклон димензија xx. Израчунати флукс фотона који пролази кроз другу површ заклона =.5 -. 5 9 S x. 9. Колики треба да буде упадни интензитет зрачења да би излазни сноп имао интензитет I / s? Зрачење пролази кроз две средине =. - i =. -, чије су дебљине i. I I I I I x.9 x. I.9 x. 7. Линеарни коефицијент слабљења μ а материјала је два пута већи од линеарног коефицијента слабљења μ б материјала B. ko % γ зрачења пролази кроз дату дебљину материјала А, колики део ће проћи кроз исту дебљину материјала B? I I x. I I p I I p x B x x B B l. B l. B l. l p B p l. B.8 8% 8. У соби за радиотерапију техничар се померио са једног места у близини извора X зрачења на друго, на коме је интензитет зрачења пута мањи. На којем растојању од извора се налази ако му је првобитни положај био на удаљености,5 од извора? =.95 /. I I x I I.I I.5 x

-x. -.5 l..5 x l. x.5 7