p /[10 Pa] 102,8 104,9 106,2 107,9 108,7 109,4 r / 1,1 1,3 1,5 2,0 2,5 3,4

Transcript

1 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ II РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство Просвете Републике Србије ЗАДАЦИ ГИМНАЗИЈА ВЕЉКО ПЕТРОВИЋ СОМБОР,.... Хомогена кугла полупречника R котрља се по хоризонталној равни која прелази у стрму раван нагибног угла α (види слику). Израчунајте које бројне вредности брзине може имати кугла да би прешла на стрму раван без скока. Клизања нема. Убрзање силе земљине теже је g 9,/s. Момент инерције кугле у односу на осу која пролази кроз њен центар је I R / 5. (5 п). Високи вертикални цилиндрични суд глатких зидова садржи две коморе са гасом, које су подељене са два идентична масивна клипа сваки масе M kg (видети слику). У вишој комори налази се кисеоник, а у нижој хелијум. У почетном тренутку запремине обе коморе су исте, температура гасова је иста, растојање између клипова је H, и хелијум почнемо да загревамо. а) Колику количину топлоте треба довести хелијуму да би се његова запремина повећала два пута? б) Колико ће бити растојање h између клипова после дужег временског интервала, када се температуре оба гаса поново изједначе? Топлотне капацитете зидова суда и клипова занемарите. Утицај околног ваздуха на кретање клипа, као и размена топлоте са околином су занемарљиви. Топлотна проводљивост клипа је довољно мала да се за време загревања хелијума кисеоник уопште не загреје. Сматрати да је p << Mg / S ( p - атмосферски притисак) а убрзање силе земљине теже g /s. (5 п). На хоризонталном дну широке посуде напуњене невискозном течношћу направљен је округао отвор полупречника R, а над њим је учвршћен округао цилиндар полупречника R (види слику). Процеп између цилиндра и дна посуде је веома мали, а густина течности је,9 g/c. Висина течности у посуди је h. На основу резултата експеримента који је користио идентичну поставку са слике, мерена је зависност статичког притиска p течности у процепу у функцији растојања r од осе отвора и цилиндра, и добијена је следећа табела: p /[ P],,9,,9, 9, [ c] r /,,,5,,5, а) Извести општи израз за зависност статичког притиска p течности у процепу у функцији растојања r од осе отвора и цилиндра. б) Користећи се датом табелом и резултатом под а), знајући да је апсолутна грешка p P и релативна грешка δ r %, нацртајте одговарајући график који даје везу између p и r, и помоћу њега израчунајте висину h течности у посуди и вредност притиска p. Убрзање силе земљине теже је g 9,/s. Грешке за R,, и g су занемарљиве. (5 п) R

2 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ. На слици је приказана (упрошћено) елементарна ћелија баријумтитаната (приближно коцка ивице ). Одредите јачину, - правац и смер спољашњег хомогеног електричног поља E које - држи у равнотежи T јон померен за, из центра коцке. Претпоставите да је ћелија изоловани систем и да делују само кулоновске силе. Вредност елементарног наелектрисања је 9 9, C. Узети да је / ( πε ) 9 /F. (5 п) 5. Посматрајмо топлотно изоловани цилиндар у коме се, испод лаког, глатког и чврстог клипа, налазила смеша једнаких количина воде ) и леда ) : kg. Притисак на ( H ( H клип повећамо од почетне вредности p 5 P до,5 p P. а) Израчунајте масу леда ( << ) који се истопио током овог повећања притиска као и укупан рад који је извршила спољашња сила деловањем на клип да би истопила ту количину леда ако претпоставите да су лед и вода нестишљиви. Познато је да је за снижење температуре топљења леда у смеши за један степен потребно извршити притисак на клип од почетне вредности p 5 P до p P. б) Израчунајте колико износи укупан рад спољашње силе знајући да су и лед и вода стишљиви. Познато је да је за истовремено релативно смањење запремине воде у смеши за % и леда за,5 % потребно извршити притисак на клип од почетне вредности p 5 P до p ' P. Сматрајте да су све промене притиска довољно споре да обезбеде линеарну зависност од температуре и запремине ( p ~ T и p ~ V ). Специфични топлотни капацитет воде је c, J/(g K) а леда c,j/(g K). Специфична топлота фазног прелаза топљења леда H износи 5 λ, J/kg а густина леда износи,9 H, где је * * * * * * * * * * ПОМОЋ Неке основне тригонометријске једнакости и формуле: H kg/. ( п) sn sn / sn 5 / sn / sn 9 cos cos / cos 5 / cos / cos 9 sn α cos α sn ( α/) ( cosα) / sn α / ctg α cos ( α/) ( cosα) / cosα / tg α sn α snαcosα tg α tgα /( tg α) cos α cos α sn α ( α± β) sn α cosβ cos αsn β cos( α± β) cosα cosβ sn αsn β sn ± Задатке припремила: Маја Рабасовић, Институт за физику, Београд Рецензент: др Драган Д. Маркушев, Институт за физику, Београд Председник Комисије за такмичење ДФС: Проф. др Мићо Митровић,Физички факултет, Београд

3 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ II РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство Просвете Републике Србије РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ГИМНАЗИЈА ВЕЉКО ПЕТРОВИЋ СОМБОР,... Р. Пошто се кугла креће без клизања, приликом преласка са хоризонталне на стрму раван центар масе кугле почиње да ротира око тачке додира О те две равни. Пошто је кугла још и хомогена током преласка са једне на другу раван њен центар масе се креће по замишљеној кружници исто као што би се кретала и одговарајућа материјална тачка. Брзина центра масе кугле биће v а угао који она заклапа са вертикалом је β (види слику). За кружно кретање центра масе кугле при овом преласку важи једначина v g cosβ- R или v R grcosβ-, ( п) (*) где је сила реакције подлоге. На основу закона одржања енергије за положаје непосредно пре преласка на стрму раван и непосредно по преласку на стрму раван можемо да пишемо да је: v v I I gr( cosβ) R R. ( п) где је I момент инерције кугле који ротира око тачке О. Он се добија помоћу Штајнерове теореме: I I R R / 5 ( п), јер је I R / 5. Заменивши I у једначину која се добија на основу закона одржања енергије, и једноставним сређивањем добија се: Изједначавањем (*) и (**) добија се да је Јасно је да је β α ( п), па за v v gr( cosβ). ( п) (**) gr R v ( cosβ -). ( п) β α имамо да је gr R ( cosα -), ( п) v где је одговарајућа сила реакције. Приметимо да је ( п). Услов да нема скока је > ( п), па ће брзине кугле при којима неће бити скока на стрму раван имати вредности 9, gr ( ) s v < vx cosα - * * *,5 s. ( п)

4 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ Р. Из услова задатка дато је да су клипови масивни, па можемо сматрати да је маса гасова занемарљива у поређењу са њиховом масом. Приликом загревања хелијума процес ширења се одвија при његовом константном притиску од p p Mg / S p << Mg / S, где је S површина попречног пресека ( ) клипа. Почетна температура гасова је иста T, а притисак хелијума је двоструко већи, па је количина хелијума дупло већа од количине кисеоника, тј ν H ν ( п). а) Количина топлоте коју је неопходно довести хелијуму да би му се запремина повећала V V SH износи: два пута ( ) Mg Q ν C p H MgH S ( T T ) ν R( T T ) p( V V ) ( V V ) 5 5 J H.(5 п) б) I начин: После изједначавања температуре запремине се поново изједначавају. Да би нашли тражено растојање h између клипова искористимо закон одржања енергије. Пошто је систем топлотно изолован, његова укупна енергија на крају загревања хелијума и по коначном изједначавању температура мора бити непромењена. После загревања хелијума укупна потенцијална енергија клипова ће бити: а њихова укупна енергија је: Mg H Mg H 5MgH, ( п) 5 5 5MgH ν RT νhrt 5MgH ν RT ν R T 5 5 MgH MgH MgH, 5MgH. ( п) После изједначавања температура укупна енергија клипова износи 5 Mgh Mgh ν RT νhrt, 5Mgh. ( п) Изједначивши последња два израза добијамо да је: h H,. ( п)

5 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ II начин: На основу услова задатка количина топлоте коју отпусти хелијум Q H мора бити једнака количини топлоте коју прими кисеоник Q. Означимо са T температуру оба гаса по успостављању равнотеже. Сада можемо да пишемо: ν H 5 R Q H Q, ( T T ) R( T T) ν, ( T T ) ν ( T ) 5 T ν, ( T T ) ( T ) T, па уз T T добијамо да је T T, T T T T. T За кисеоник по успостављању равнотеже важи релација p Sh ν RT, одакле је MgSh ν RT MgH, S h H, * * * 5

6 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ Р. а) Опште решење овог задатка може се добити на следећи начин. Вода протиче кроз мали процеп и утиче у отвор. Означимо са d дебљину процепа. Користећи се једначином континуитета можемо да пишемо да је или ( πr d) v ( πrd) v ( πr d) v, ( п) R, ( п) v rv Rv где су v,v и v брзине течности у тачкама, и респективно (види слику). На основу Бернулијеве (Brnoull) једначине одмах испред и иза тачке можемо да пишемо да је p gh p v. ( п) где је густина течности означена са. Користећи исту теорему у тачкама и добијамо да је p v p v и v, ( п) p v p јер је притисак у отвору p. Из последње три једнакости добијамо да је v p p v, ( п) v v gh ( п), и што, искористивши једнакости једначине континуитета, даје општи израз за зависност статичког притиска p течности у процепу у функцији растојања r од осе отвора и цилиндра: R p p gh. ( п) r б) Из коначног израза за p добијеног под а) јасно је да се може нацртати линеаризовани график p f( x) користећи се изразом p bx, ( п) R где је p (одсечак на p оси), x а b gh коефицијент правца праве графика. r p f x се црта на основу табеле ( п) График ( ) ( p p) /[ P] ±,±,,9±,,±,,9±,,±, 9,±, ( r r) /[ c] ( x x) ±,±,,±,,5±,5,±,,5±,,±, ±,±,5,±,,5±,,5±,,±,,9±,5 r где су грешке за p и r дате у поставци задатка ( p P и δ r %, ). Грешка за r

7 x је рачуната по формули. РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ R R r R r x r R r. ( п) r r График зависности p f (x) 9 B p / [ P] x -(R /r) Када нацртамо поменути график, узмемо две тачке са праве и то тако да прву тачку узимамо између прве две (,5 п) (,5,,5 x P), а другу између последње две експерименталне тачке (,5 п) B(,9, 9, x P). На основу њих добијамо коефицијент правца праве (,,5) (,9,5) p pb p 9 5, b P P,9 P. ( п) x x x,5 Грешка коефицијента правца износи Сада је B ( п) p pb x x B,,,5, b b,9 P, P. ( п) pb p xb x 5,,5 ( 9± ) P b ( п) Сада се, на основу b gh може израчунати висина h као

8 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ b 9 P h,. ( п) g g,9 9, c s Грешка за овако израчунату висину износи b h h,,, ( п) b 9 па је на крају h (,±,) ( п) Са графика се може добити одсечак на p оси тј. p, P ( п) чија грешка износи p, P (или вредност једног подеока на графику) ( п). То значи да је (,±,) P p. ( п) * * * Р. Услов равнотеже за - T померен за, из центра је: T F F T,(j) T,B j j F ( п), E (j) Нађимо сада укупну силу која потиче од јона. Гледајући слику можемо да пишемо да је укупна сила која потиче од два јона дуж z осе:

9 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ F' F ( п), F ( F F) F F cosα cosα ( п), πε што уз cosα даје: ( п), F' F / πε и усмерена је ка центру коцке. Овим смо нашли силу F ' која потиче од јона дуж z осе. Ако сада z осу заменимо са x осом добићемо исту слику и идентичан резултат, тј. F која потиче од осе је јона дуж x осе једнака је F '. Укупна сила F '' која потиче од јона дуж F '' ( п), π ε и усмерена је од центра коцке, па је укупна сила F која потиче од - totlt, јона дуж осе F totlt F F F - ' '' ( п)., T, / (j) j π ε и усмерена је од центра коцке. Остаје још да се нађе укупна сила F која потиче од јона који делују на T. Посматрајмо утицај B јона из / totlt,b B равни. Сила од () и () је: 9

10 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ F F / () π ε cosα π ε ' '' ( п), где је cosα. Укупна сила од преостала два B јона () и () из исте равни је иста као и претходна тако да је сада F F /,B -/)T ( π ε ''', ( п) и усмерена је од центра коцке. Укупна сила која потиче од B јона из / равни се добија на основу претходног израза заменом ( ) и усмерена је ка центру коцке. Сада можемо да напишемо да је: F F / / j,b T,B totlt π ε (j), ( п) и усмерена је од центра коцке. Дакле, услов равнотеже је j,b T j, T (j) (j) F F E

11 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ / π ε / / π ε, ( п) што даје, коначно, уз -,, -, C, 9 и ( ) /F 9 πε / 9 : / π ε E V, ~ / /. ( п) Поље је усмерено ка центру коцке и има правац дуж -осе. Приметимо да је E за. ( п) * * * Р5. а) Размотримо прво случај када су лед и вода нестишљиви, тј. не мењају запремину под дејством спољашњих сила. Специфична топлота фазног прелаза једнака је, у нашем случају, λ Q/ ( п), где је Q количина топлоте која је потребно довести систему за топљење леда. Закон одржања енергије за овај процес каже да се рад који изврши спољашња сила на клип троши на топљење леда у суду (издвајање одређене количине топлоте Q ) и промену температуре леда и воде (промену унутрашње енергије смеше U, уз H,), тј.: U Q, ( п) одакле је ( ) ( ) T c c T c c U Q H H H, па је ( ) λ H T c c. ( п)

12 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ Видимо, из последње једначине, да су нам непознате вредности рада и промене температуре смеше T. Оно што прво можемо да урадимо то је да нађемо промену температуре смеше као последицу повећања спољашњег притиска, имајући у виду податак из поставке задатка о снижењу температуре топљења леда за K и да је p ~ T : T ( K) ( p p) ( p p ) T ( K) (,5,) (,,) P P, K. ( п) Покушајмо да проценимо вредност рада који изврши спољашња сила. Ако са означимо запремину смеше пре топљења леда, а са V B запремину смеше после топљења леда, промена запремине смеше V услед топљења масе леда износи V V V V B H H H H H. ( п),9 H H H 9 9 H Ако искористимо << можемо да пишемо да је V 9 H <<, H (,5). На - основу тога процењени рад износи p V <<,5 P,5 J (,5 п). Промена унутрашње енергије система U током загревања маса леда и масе воде H за T степени J је U ( ch c) T (,,) kg,k, J (,5 п), па је очигледно << U g K ( п) Због свих ових горенаведених односа можемо написати да је U / λ, па је маса леда који се истопио током повећања притиска U, kg. ( п) λ Сада промена запремине смеше услед топљења масе леда износи, V,. (,5) 9 H 9 kg kg Из поставке задатка знамо да је p ~ V, па налазимо рад спољашње силе ' по формули ' p V,5 P,,5 J. ( п)

13 . РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ б) Размотримо сада случај када су и лед и вода стишљиви, тј. када мењају запремину под дејством спољашњих сила. Из услова задатка имамо да је за истовремено смањење запремине воде у смеши за % и леда за,5 % потребан притисак од p ' P. Релативна промена запремине смеше услед дејства спољашње силе (уз врло малу промену температуре) износи одакле следи да је V p, ( п) V ' p' V p V ' p' ( V ' V ' ) H p' V H p' V, ( п) па је, уз V и V /,, H / H V p, P,5 P. ( п) Сада, за промену притиска од p до p, можемо да пишемо да је V ( p p ),5 P V ( p p ),5, ( п) P што заменом бројних вредности даје промену запремине смеше услед дејства спољашње силе од V P (,5,) P,5,. ( п) Рад који изврши спољашња сила да би променила запремину воде и леда износи па је укупан рад стишљивим, једнак '' p V,5 P,5 J, ( п) totl који изврши спољашња сила, у случају када сматрамо воду и лед ' '',5 J,5 J,95 J. ( п) totl * * *