b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

Transcript

1 Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног решења, c) вредност угиба у тачки 1 ако се користе прва два члана реда усвојеног решења различита од нуле. E = 30 Gpa ν = 0. dpl = 0.10 m Z 0 = 50 kn/m a = 4 m b = 6 m Решење слика 1 а) Одређивање израза за угиб b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: III-1

2 Када је одређен израз за угиб могу да се одреде изрази за пресечне силе: M w w = K + ν, y M y w w = K + ν, y Утицаји у средини плоче, тачка 1,: c) Израз за угиб дате плоче, ако се користe прва два члана решења различита од нуле, је: Угиб у средини плоче, тачка 1,: III-

3 Пример. За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити изразе за угиб и пресечне силе. Решење слика Задаци за домаћи За квадратне плоче, приказане на слици, одредити изразе за угиб и пресечне силе. слика 3 III-3

4 Трака Трака је правоугаони плочаст носач код кога је један распон много већи од другог b a. слика 4 Трака у општем случају може да буде оптерећена произвољним површинским оптерећењем Z, y. Иако гранични услови на контурама y= 0 и y= b не утичу на деформацију плоче ( ) (утичу само на уску зону око ослонаца) због оптерећења које је функција и y координате и угиб ће бити функција и и y координате. Специјалан случај оптерећења траке, када је површинско оптерећење функција само Z = Z, приказан је на следећој слици. координате ( ) слика 5 У том случају ће и функција угиба зависити само од координате, w w( ) проучава савијање елементарне траке јединичне ширине b= 1 исечене из плоче. =, па може да се Диференцијална једначина савијања траке се добија из једначине (.1) када се узме у обзир да су сви изводи по y једнаки нули: Изрази за пресечне силе за траку су: (3.1) слика 6 III-4

5 За траку слободно ослоњену дуж контура = 0 и = a, слика 6, решење диференцијалне једначине (3.1) се претпоставља у облику једноструког тригонометријског реда: Решење (3.) задовољава граничне услове за = 0 и = a : (3.) W n се одређује из услова да претпостављено решење за w мора да задовољи и диференцијалну једначину савијања траке (3.1): Да би диференцијална једначина савијања траке (3.1) могла да се реши оптерећење Z( ) се апроксимира једноструким синусним тригонометријским редом: (3.3) Заменом претходног израза у (3.3) добија се: Из услова да једначина (3.4) мора да буде задовољена за сваки члан реда и за свако следи: (3.4) Коначан израз за угиб траке је: Z a nπ w( ) sin 4 n = 4 4 (3.5) n= 1 Kn π a Морис Левијево решење Користи се код правоугаоних плоча које су на две паралелне ивице слободно ослоњене, а на друге две ивице могу да буду произвољни услови ослањања. слика 7 Решење диференцијалне једначине савијања (.1) је усвојено у облику збира: w = w 1 + w0, где је: w1 - хомогено решење, w0 - партикуларно решење диференцијалне једначине. III-5

6 Хомогено решење је претпостављено у облику једноструког тригонометријског реда где је nπ сваки члан реда производ непознате функције од y, Yn( y ), и усвојене функције од, sin,: a Решење (3.6) задовољава граничне услове на контурама = 0 и = a : = 0 = a - оса је управна на слободно ослоњене ивице, a - растојање слободно остављених ивица. Поред тога, w 1 мора да задовољи и хомогену диференцијалну једначину w1 = 0: (3.6) Једнакост (3.7) мора да важи за сваки члан реда и за свако, па се добија следећа обична диференцијална једначина: 4 IV nπ II nπ n n n Y ( y) Y ( y) + Y ( y) = 0 - ДЈ-на са константним коефицијентима a a r 4 4 nπ nπ r r + = 0 - карактеристична једначина a a nπ a = 0 ; Y ( y) = A e + B e + C ye + D ye nπ r 1, = r 3, 4 =± - корени карактеристичне једначине a n π y n y n y n y π π π a a a a n n n n n e e Ако се искористи веза између експоненцијалних и хиперболичких функција sh= и e + e nπ y nπ y nπ y nπ y ch= добија се: Yn ( y) = An + Bn ch + Cn+ Dn sh, односно a a a a хомогено решење w 1 је једнако: nπ y nπ y nπ y nπ y nπ w1 = An + Bn ch + Cn+ Dn sh sin n= 1 a a a a a За партикуларно решење се узима решење траке за случај константног површинског оптерећење у правцу y - осе, једначина (3.4),: (3.7) Овако претпостављено партикуларно решење за угиб задовољава граничне услове на две паралелне слободно ослоњене ивице: = 0 = a Укупно решење за угиб је: w(, y) = + A + B ch + C + D sh sin n= 1 Kn π a a a a a 4 Zna nπ y nπ y nπ y nπ y nπ 4 4 n n n n Из граничних услова за y= 0 и y= b одређују се непознате константе A n, B n, C n и D n. III-6