ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γιγαντιαίες Δίνες σε Συμπυκνώματα Bose-Einstein. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Άννας Ζαχαρία

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γιγαντιαίες Δίνες σε Συμπυκνώματα Bose-Einstein ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Άννας Ζαχαρία Επιβλέπων Καθηγητής Σταύρος Θεοδωράκης Η παρούσα Διπλωματική Εργασία υποβλήθηκε προς μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων απόκτησης του πτυχίου Φυσικής του τμήματος Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου 03-04

Ευχαριστίες Θα ήθελα καταρχήν να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν με οποιονδήποτε τρόπο στην επιτυχή εκπόνηση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Θα πρέπει να ευχαριστήσω θερμά τον Αναπληρωτή καθηγητή κ. Σταύρο Θεοδωράκη για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με ένα τόσο ενδιαφέρον αντικείμενο που ανταποκρίνεται απολύτως στα επιστημονικά μου ενδιαφέροντα καθώς και για την αμέριστη συμπαράστασή του καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης. Ήταν πάντα διαθέσιμος να μου προσφέρει τις γνώσεις και την εμπειρία του. Τον ευχαριστώ για την εξαιρετική συνεργασία που είχαμε, και ελπίζω πραγματικά να συνεχίσουμε να έχουμε στο μέλλον. Μέσα στον τελευταίο χρόνο ήταν πάντα διαθέσιμος να ασχοληθεί με κάθε απορία μου σχετική με ακαδημαϊκά ζητήματα, εντός και εκτός των πλαισίων της παρούσας εργασίας και με κάθε δισταγμό μου, όσο ασήμαντος και να ήταν, για τα επόμενα βήματα των σπουδών μου. Τον ευχαριστώ θερμά για τις ιδέες που μου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της εργασίας και για τις συμβουλές του για την, ολοκληρωμένη πλέον, διαδικασία αιτήσεων για τη συνέχιση των σπουδών μου στο Πανεπιστήμιο Κύπρου. Σε αυτό το σημείο θέλω να αναφέρω ανθρώπους, εκτός του στενού ακαδημαϊκού περιβάλλοντος, που υπήρξαν σημαντικοί πόλοι στη ζωή μου, προσδίδοντας την απαιτούμενη ισορροπία. Θέλω αρχικά να ευχαριστήσω τη σχολική μου παρέα, που ήταν, και ελπίζω να είναι δίπλα μου και στο μέλλον. Έπειτα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φίλους και τις φίλες των φοιτητικών μου χρόνων, που έκαναν τα χρόνια αυτά μία πραγματικά αξέχαστη εμπειρία. Τους φίλους μου που πίστεψαν σε μένα και με ενθάρρυναν σε κάθε στάδιο των σπουδών μου. Βέβαια, το μεγαλύτερο ευχαριστώ το οφείλω στους γονείς μου, των οποίων η πίστη στις δυνατότητες μου αποτέλεσε αρωγός σε όλους τους στόχους και τα όνειρά μου, και οι οποίοι με ανέθρεψαν σε ένα ειδυλλιακό περιβάλλον χωρίς καμία στέρηση.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Συμπύκνωμα Bose-Einstein. Θεωρία των Συμπυκνωμάτων Bose-Einstein.. Ιστορική αναδρομή.. Κατηγορίες Σωματιδίων. Μη περιστρεφόμενα Bose-Einstein Συμπυκνώματα.. Φυσική των Συμπυκνωμάτων Bose-Einstein σε αραιά παγιδευμένα αέρια.. Ιδανικό BEC σε μια αρμονική παγίδα..3 Εξίσωση Gross-Pitaevskii..4 Διαστατική προσέγγιση. Περιστρεφόμενο Συμπύκνωμα Bose-Einstein.Θεωρία των περιστρεφομένων Συμπυκνωμάτων Bose-Einstein. Εξίσωση Gross-Pitaevskii περιστρεφόμενου συμπυκνώματος 3. Δημιουργία Δινών 3. Θεωρία Δινών 3. Δημιουργία Δινών 3.. Διαστατική προσέγγιση Δημιουργία Γιγαντιαίας Δίνης 3.. Παράδειγμα Γιγαντιαίας Δίνης με γκαουσιανή κυματοσυνάρτηση 4.Αναλυτικά και Πειραματικά Δεδομένα για Δακτυλίους Δινών 5. Thomas-Fermi χωρίς ουρές και χωρίς δυναμικό βύσματος για μια γιγαντιαία δίνη 5. Thomas-Fermi προσέγγιση 5. Υπολογισμός της γιγαντιαίας δίνης με την Thomas-Fermi προσέγγιση χωρίς ουρές και χωρίς δυναμικό βύσματος 6. Υπολογισμός για το πλέγμα στην παρουσία γιγαντιαίας δίνης 7. Υπολογισμός για τη γιγαντιαία δίνη 8. Υπολογισμός για το πλέγμα χωρίς γιγαντιαία δίνη 9. Thomas-Fermi προσέγγιση γιγαντιαίας δίνης σε δυναμικό βύσματος χωρίς ουρές 9. Σταθεροποίηση δίνης με ένα οπτικό βύσμα 3

Κεφάλαιο Συμπύκνωμα Bose-Einstein 4

. Θεωρία των Συμπυκνωμάτων Bose-Einstein Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται μια απόπειρα να δοθούν οι εισαγωγικές και απαραίτητες έννοιες που πρέπει κανείς να γνωρίζει για να κατανοήσει την φυσική των συμπυκνωμάτων Bose-Einstein. Το συμπύκνωμα Bose-Einstein (ΒΕΣ, Bose-Einstein Condensate, BEC) είναι η κατάσταση της ύλης που δημιουργείται όταν μποζόνια περιοριστούν από ένα εξωτερικό δυναμικό και ψυχθούν σε θερμοκρασίες πολύ κοντά στο απόλυτο μηδέν (0 Κ). Σε τέτοιες συνθήκες υψηλής ψύξης, ένα σημαντικό ποσοστό των ατόμων (μποζονίων) βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση του εξωτερικού δυναμικού, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται κβαντικά φαινόμενα στο μακροσκοπικό αυτό επίπεδο. Τα συμπυκνώματα είναι ρευστά σε εξαιρετικά χαμηλές θερμοκρασίες που παρουσιάζουν ιδιότητες που δεν είναι ακόμα πλήρως κατανοητές. Τα φαινόμενα αυτά είναι κβαντικής φύσης και οφείλονται στο ότι τα ρευστά αυτά βρίσκονται στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας από την οποία δε μπορούν να μεταβούν σε κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας. Τέτοιο φαινόμενο είναι και το BEΣ. Σχήμα.: Γράφημα της πυκνότητας ατόμων ρουβιδίου. Σταδιακός σχηματισμός συμπυκνώματος Bose- Einstein (από τα αριστερά στα δεξιά). Διάγραμμα κατανομής ταχύτητας με τα χρώματα να δείχνουν την μεταβολή της πυκνότητας στο συμπύκνωμα. Τα τεχνητά χρώματα δείχνουν τον αριθμό ατόμων σε κάθε ταχύτητα, με το κόκκινο να υποδεικνύει λιγότερα άτομα ενώ το άσπρο και ανοιχτό μπλε περισσότερα άτομα και χαμηλότερες ταχύτητες. Αριστερή εικόνα: αμέσως πριν από την εμφάνιση του Bose-Einstein συμπυκνώματος. Κέντρο: αμέσως μετά από την εμφάνιση του συμπυκνώματος. Η αιχμή δεν είναι απείρως στενή λόγω της αρχής αβεβαιότητας Heisenberg: δεδομένου ότι τα άτομα είναι παγιδευμένα σε μια συγκεκριμένη περιοχή του διαστήματος, η διανομή ταχύτητάς τους κατέχει απαραιτήτως ένα ορισμένο ελάχιστο πλάτος. «Συμπύκνωμα Bose-Einstein», Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια, http://el.wikipedia.org/wiki/συμπύκνωμα_bose-einstein «Bose-Einstein συμπύκνωμα», Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια, http://wikipedia.qwika.com/enel/bose- Einstein_condensate 5

.. Ιστορική αναδρομή Όπως και σε πολλά άλλα πεδία της φυσικής, τα συμπυκνώματα Bose-Einstein σαν καινούριο φαινόμενο επινοήθηκαν για πρώτη φορά σε θεωρητικό πλαίσιο και στη συνέχεια το πείραμα και η παρατήρηση ήρθαν για να θεμελιώσουν την ισχύ της θεωρίας. Η πρόβλεψη για τη δημιουργία BEΣ έγινε πρώτη φορά από τον Ινδό φυσικό Satyendra Nath Bose το 94, εφαρμόζοντας στατιστικές μεθόδους στην Κβαντομηχανική θεωρία. Προέβλεψε ότι σωματίδια χωρίς μάζα ύστερα από ψύξη σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες (κοντά στους 0Κ) οφείλουν να καταλαμβάνουν (συμπυκνώνονται) την χαμηλότερη κβαντική κατάσταση. 3 Επειδή όμως ο Bose δεν μπορούσε να δημοσιεύσει την εργασία του αυτή, την έστειλε στον Einstein, ο οποίος τη μετέφρασε στα γερμανικά και τη δημοσίευσε. Στη συνέχεια ο Einstein γενίκευσε την ιδέα της στατιστικής Bose για σωμάτια, γεγονός που οδήγησε στη γνωστή στατιστική Bose-Einstein. Ο Einstein αντιλήφθηκε αμέσως αυτό το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της κατανομής, που επέτρεπε την κατάληψη της χαμηλότερης ενεργειακής κατάστασης από μεγάλο αριθμό ατόμων σε μία εξαιρετικά χαμηλή αλλά πεπερασμένη θερμοκρασία, αλλά ο ίδιος, ταυτόχρονα, παρατήρησε το εξής: From a certain temperature on, the molecules condense without attractive forces, that is, they accumulate at zero velocity. The theory is pretty but is there also some thruth to it?. Ο προβληματισμός αυτός του Einstein αφορούσε φανερά την αδυναμία της παρατήρησης και επαλήθευσης του φαινομένου, αφού οι θερμοκρασίες που απαιτούνταν ήταν τόσο χαμηλές που πρακτικά, για τα δεδομένα της εποχής, και όχι μόνο, ήταν απαγορευτικές για τα πειράματα. 4 Ο Albert Einstein κατέδειξε αυτό το αποτέλεσμα το οποίο φυσιολογικά ονομάστηκε Συμπύκνωμα Bose- Einstein και η οικογένεια σωματιδίων με ακέραιο σπιν που κυριαρχούνται από αυτή την αρχή και γενικότερα από την στατιστική Bose-Einstein, ονομάστηκαν μποζόνια. Παράλληλα με αυτά τα αποτελέσματα, κατά τη διάρκεια 935-938, ανακαλύψεις από τους P. Kapitsa, J. Allen και Don Misener πάνω στην υπερρευστότητα του 4 He και από τους αδελφούς London στην υπεραγωγιμότητα παρουσίασαν μια καινούρια συμπεριφορά της ύλης σε χαμηλές θερμοκρασίες και τα BECs φάνηκαν να παίζουν πρωτεύοντα ρόλο στην ερμηνεία αυτής της συμπεριφοράς. 5 Χρειάστηκαν 70 χρόνια για να πραγματοποιηθεί η συμπύκνωση BEΣ το 995 από τους Eric Cornell και Carl Wieman στο Εργαστήριο NIST του Πανεπιστημίου Boulder στο Κολοράντο, ψύχοντας άτομα Ρουβιδίου στους 70 nanokelvin. Τέσσερις μήνες αργότερα o Wolfgang Ketterle από το MIT παρήγαγε ανεξάρτητα ένα δεύτερο συμπύκνωμα ψύχοντας άτομα 3 Να. Οι δύο ομάδες χρησιμοποίησαν μεθόδους ψύξης με Laser και μαγνητικά πεδία (Laser cooling and Magnetic evaporative cooling) για να πετύχουν τόσο χαμηλές θερμοκρασίες. Ο Eric Cornell και Carl Wieman μοιράστηκαν το βραβείο Νόμπελ 00 μαζί με τον Βόλφγκανγκ Κέτερλε (Wolfgang Ketterle) του MIT για την ανακάλυψή τους. 6 3 «Δυναμική μη-τοπικών σολιτονίων», Μεταπτυχιακή εργασία, Παναγιώτης Α. Τσιλίφης, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών 4 «Εισαγωγή στη φυσική των συμπυκνωμάτων Bose-Einstein αραιών ατομικών αερίων», Δ.Ι.Φραντζεσκάκης 5 «Δυναμική μη-τοπικών σολιτονίων», Μεταπτυχιακή εργασία, Παναγιώτης Α. Τσιλίφης, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών 6 «Συμπύκνωμα Bose-Einstein», Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια, http://el.wikipedia.org/wiki/συμπύκνωμα_bose-einstein 6

.. Κατηγορίες Σωματιδίων Τα σωματίδια είναι γνωστό πως έχουν είτε ακέραιο είτε κλασματικό σπιν. Σύμφωνα με το σπιν, διακρίνονται σε φερμιόνια και μποζόνια που αντιστοιχούν σε κλασματικό σπιν και σε ακέραιο αντίστοιχα. Τα Φερμιόνια είναι στοιχειώδη σωματίδια, με την χαρακτηριστική ιδιότητα να σχηματίζουν πλήρως αντισυμμετρικές σύνθετες κβαντικές καταστάσεις. Άλλο κοινό χαρακτηριστικό τους είναι το ημιακέραιο σπιν (/, 3/...). Ως επακόλουθο υπόκεινται στην απαγορευτική αρχή του Πάουλι και στην στατιστική Φέρμι-Ντιράκ. Ένα τυπικό παράδειγμα φερμιονίων είναι τα ηλεκτρόνια γύρω από τον πυρήνα του ατόμου, που καταλαμβάνουν τις διαθέσιμες θέσεις στις στοιβάδες. Η απαγορευτική αρχή του Πάουλι ευθύνεται για τη σταθερότητα των ατομικών ηλεκτρονικών στοιβάδων, απαραίτητη για την ύπαρξη της χημείας αλλά και γενικότερα για την σταθερότητα της ύλης. Παραδείγματα φερμιονίων είναι τα ηλεκτρόνια, πρωτόνια, νετρόνια, κουάρκ, νετρίνα καθώς και άλλα στοιχειώδη σωματίδια. 7 Ένα μποζόνιο είναι ένα σωμάτιο το οποίο ακολουθεί τη στατιστική Μποζέ-Αϊνστάιν (Bose-Einstein). Τα μποζόνια από το θεώρημα σπιν-στατιστικής είναι σωματίδια που έχουν ακέραιο σπιν. Στη φύση υπάρχουν στοιχειώδη σωμάτια που είναι μποζόνια, αλλά και σύνθετα των οποίων το ολικό σπιν είναι ακέραιο. Λόγω του ότι το σπιν των σωματιδίων αυτών είναι ακέραιο (και όχι ημιακέραιο όπως στα φερμιόνια), δεν περιορίζονται από την απαγορευτική αρχή του Πάουλι και μπορούν να βρίσκονται στην ίδια κατάσταση στην ίδια περιοχή του χώρου. Αυτό σε θεωρητικό επίπεδο σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση δύο ή παραπάνω σωματιδίων είναι συμμετρική σε εναλλαγές των σωματιδίων σε αντιδιαστολή με αυτήν των φερμιονίων που είναι αντισυμμετρική. Σε επίπεδο κβαντικής θεωρίας πεδίου κάθε θεμελιώδης αλληλεπίδραση έχει ένα σωματίδιο-φορέα με το οποίο πραγματοποιείται αυτή η αλληλεπίδραση. Τρεις από τις γνωστές μας αλληλεπιδράσεις, η ισχυρή, η ηλεκτρομαγνητική και η ασθενής συνδέονται με γνωστά μας στο καθιερωμένο πρότυπο στοιχειώδη σωμάτια με σπιν (ανυσματικά μποζόνια). Η ισχυρή με τα γκλουόνια, η ηλεκτρομαγνητική με τα φωτόνια και η ασθενής με τα Z και W ±. Η βαρύτητα εικάζεται ότι και αυτή αλληλεπιδρά με ένα τανυστικό μποζόνιο με σπιν το βαρυτόνιο. Στη φύση υπάρχουν και σύνθετα σωμάτια με ακέραιο σπιν, όπως τα μεσόνια, αλλά και ακόμη συνθετότερα όπως τα άτομα του ηλίου-4 ( ) (σπιν 0) το οποίο λόγω ακριβώς αυτής της ιδιότητας του αν ψυχθεί στους.7 K παρουσιάζει το φαινόμενο της υπερρευστότητας. Άλλα μποζόνια στη φύση είναι το βαθμωτό (σπιν 0) σωματίδιο Higgs το οποίο αποτελεί σωματίδιο του πεδίου που δίνει μάζα στα σωματίδια. Επίσης υπάρχουν ψευδοσωματίδια όπως τα φωνόνια που είναι το κβάντο αλληλεπίδρασης των ταλαντώσεων ενός στερεού σώματος και υποθετικά σωματίδια (δεν έχουν ακόμη ανακαλυφθεί) που προκύπτουν από την θεωρία της υπερσυμμετρίας. Σε ό,τι ακολουθεί θα ασχοληθούμε μόνο με μποζόνια καθώς αυτή η κατηγορία σωματιδίων και το ακέραιο σπιν είναι υπεύθυνα για την δημιουργία ενός συμπυκνώματος. 8 7 «Φερμιόνιο», Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια http://el.wikipedia.org/wiki/%ce%a6%ce%b5%cf%8%ce%bc%ce%b9%cf%8c%ce%bd%ce%b9%ce%bf 8 «Μποζόνιο», Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια http://el.wikipedia.org/wiki/%ce%9c%cf%80%ce%bf%ce%b6%cf%8c%ce%bd%ce%b9%ce%bf 7

. Μη περιστρεφόμενα Bose-Einstein Συμπυκνώματα Ο βασικός στόχος είναι να δώσουμε μια μαθηματική περιγραφή των συμπυκνωμάτων η οποία θα βοηθήσει τον αναγνώστη να έχει ένα στερεό υπόβαθρο το οποίο χρειάζεται για την κατανόηση της δυναμικής ανάλυσης και των εφαρμογών που θα ακολουθήσουν. Ένα περιστρεφόμενο συμπύκνωμα παρουσιάζει αρχικά συμπεριφορά ενός στροβίλου (με ένα μικρό αριθμό δινών). Καθώς ο ρυθμός περιστροφής Ω συνεχίζει να αυξάνεται και προσεγγίζει την συχνότητα ω, εξωτερικού αρμονικού δυναμικού, το ενεργό δυναμικό παγίδευσης εξασθενεί, και το συμπύκνωμα επεκτείνεται. Όσο αυξάνεται ο ρυθμός περιστροφής εμφανίζονται δίνες και για μεγαλύτερο Ω οι δίνες μεγαλώνουν... Φυσική των Συμπυκνωμάτων Bose-Einstein σε αραιά παγιδευμένα αέρια Για να δούμε τα βασικά στοιχεία της κατάστασης Bose-Einstein, ας εξετάσουμε μια ιδανική ομοιόμορφη τρισδιάστατη αερίου με σωματίδια N σε ένα κυβικό κουτί (όγκος V=L 3 ), με μέση πυκνότητα n=ν/v. Εάν το αέριο έχει θερμοκρασία T, η μέση ορμή ανά σωματίδιο είναι p T, όπου M είναι η ατομική μάζα και Κ Β είναι η σταθερά Boltzmann. Η de Broglie σχέση αποδίδει έπειτα το θερμικό Μήκος κύματος λ Τ h/p T. Το άλλο σχετικό μήκος είναι η απόσταση μεταξύ των σωματιδίων n -/3. Το όριο μικρού κύματος λ Τ «n -/3 ισχύει όταν h 0 ή όταν η θερμοκρασία Τ είναι μεγάλη. 9 Σε υψηλές σχετικά θερμοκρασίες, το λ Τ είναι πολύ μικρό, οπότε είναι αδύνατον να βρεθούν δύο σωματίδια μέσα σε αυτή την απόσταση. Έτσι, το κάθε σωματίδιο έχει τη δική του ταυτότητα, το όλο αέριο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα από «μπάλες μπιλιάρδου» και συνεπώς να περιγραφεί κλασσικά με τη στατιστική Boltzmann. Όταν όμως η θερμοκρασία ελαττωθεί ως το σημείο που λ Τ r, δηλαδή το μήκος κύματος De Broglie γίνεται συγκρίσιμο με τη μέση απόσταση r μεταξύ των σωματιδίων (σημειώνεται ότι r n -/3, όπου n είναι η πυκνότητα των σωματιδίων), τα διάφορα κυματοπακέτα αρχίζουν να επικαλύπτονται, με αποτέλεσμα η ταυτότητα του κάθε σωματιδίου να γίνεται δυσδιάκριτη. Για τα μποζόνια, η πιθανότητα κατάληψης της ίδιας κβαντικής κατάστασης από πολλά σωματίδια είναι πολύ μεγάλη. Έτσι, στην περίπτωση του αερίου μποζονίων το σύστημα υφίσταται μία αλλαγή φάσης που έχει ως αποτέλεσμα το σχηματισμό συμπυκνώματος Bose-Einstein, όπου ένας μακροσκοπικός αριθμός σωματιδίων καταλαμβάνει τη χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση. Τονίζεται ότι η συμπύκνωση Bose-Einstein είναι μία αλλαγή φάσης που οφείλεται αποκλειστικά στη κβαντική στατιστική, σε αντίθεση με άλλες αλλαγές φάσεις (όπως λ.χ. η τήξη, ή η κρυσταλλοποίηση) που οφείλονται στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων. Το κριτήριο 3 για τη συμπύκνωση ενός ομογενούς αερίου στις τρεις διαστάσεις είναι nλ Τ.6. Επίσης, αν Τ C είναι η κρίσιμη θερμοκρασία στην οποία λαμβάνει χώρα η αλλαγή φάσης, και αν η πυκνότητα των μονοσωματιδιακών ενεργειακών καταστάσεων είναι, τότε ο αριθμός των ατόμων Ν ο του συμπυκνώματος για θερμοκρασία Τ< Τ C είναι Ν ο = Ν [ - ( ) 3 ], όπου Ν είναι ο αριθμός των ατόμων του αερίου. Για τα ιδανικά μποζόνια, η κρίσιμη θερμοκρασία T c για την έναρξη του κβαντικού εκφυλισμού οδηγεί σε συμπύκνωση Bose-Einstein, ενώ για ιδανικά αέρια Fermi, η παρόμοια θερμοκρασία έναρξης είναι γνωστή ως η θερμοκρασία T F Fermi. Για υγρό ήλιο με n 0 cm -3, η κατάλληλη θερμοκρασία μετάβασης είναι 9 «Rotating trapped Bose-Einstein condensates», Reviews of modern physics, volume 8, 8 Jan 008, p.648, Alexander L. Fetter 8

τάξης K και για τα δύο ισότοπα ( 4 He είναι ένα μποζόνιο και 3 He είναι ένα φερμιόνιο). Ένα τυπικό μποζονικό αραιό αέριο αλκαλικού μετάλλου (όπως 7 Li, 3 Na, και 87 Rb) έχει ένα πολύ χαμηλότερο T c της τάξης 00-000 nκ, λόγω της μεγαλύτερης ατομικής μάζας και της μειωμένης πυκνότητας (n 0 3 cm -3 ). 0.. Ιδανικό BEC σε μια αρμονική παγίδα Το δυναμικό παγίδευσης του συμπυκνώματος προσεγγίζεται πολύ καλά από το ακόλουθο δυναμικό του τύπου του αρμονικού ταλαντωτή το οποίο αποδίδει ενέργειες ενός σωματιδίου που χαρακτηρίζονται από μία τριάδα των μη-αρνητικών ακεραίων n x, n y, n z V( ) = (ω χ χ + ω y y + ω z z ) Όπου ω χ, ω y, ω z είναι οι συχνότητες του μαγνητικού πεδίου στις διευθύνσεις χ,y,z αντίστοιχα. ε nx,ny,nz = ħ(n x ω x + n y ω y + n z ω z )+ε ο όπου ο δεύτερος όρος είναι η ενέργεια μηδενικού σημείου ε ο = ħ(ω x + ω y + ω z ) Η κυματοσυνάρτηση είναι γινόμενο των τριών μονοδιάστατων Γκαουσιανών με πλάτος d j= x, y ή z) (j= Εάν η πυκνότητα καταστάσεων προσεγγιστεί από ολοκληρώματα (που ισχύει για μεγάλα ε), η αντίστοιχη πυκνότητα των καταστάσεων είναι g(ε)= ε /(ħ 3 ω ο 3 ) Όπου ω ο 3 = ω x ω y ω z είναι ο γεωμετρικός μέσος των συχνοτήτων του δυναμικού παγίδευσης. Η δημιουργία του BEC σε μια αρμονική παγίδα γίνεται σε μ=ε ο και η θερμοκρασία μετάπτωσης είναι Κ Β Τ C 0.94ħω ο Ν /3 Τυπικές παγίδες έχουν d ο= ~ μερικά μm και Ν~0 6, επιβεβαιώνοντας την προηγούμενη τιμή T c 00-000nΚ (ανάλογα με την ατομική μάζα). Για μια αρμονική παγίδα σε d-διαστάσεις, η πυκνότητα των καταστάσεων g(ε) είναι ανάλογη του ε d-. Ένα δισδιάστατο αέριο Bose σε μια παγίδα μπορεί να σχηματίσει ένα BEC με μία πεπερασμένη θερμοκρασία μετάβασης T c, σε αντίθεση με ένα ομοιόμορφο δισδιάστατο αέριο σε ένα κουτί. Αυτή η συμπεριφορά είναι ιδιαίτερα σημαντική στο όριο των ταχέως περιστρεφόμενων συμπυκνωμάτων Bose-Einstein, όταν οι 0 «Εισαγωγή στη φυσική των συμπυκνωμάτων Bose-Einstein αραιών ατομικών αερίων», Δ.Ι.Φραντζεσκάκης 9

φυγόκεντρες δυνάμεις ισοπεδώσουν το ατομικό σύστημα, παράγοντας ένα ουσιαστικά δισδιάστατο παγιδευμένο αέριο. Δηλαδή, σε δισδιάστατο αέριο χωρίς αρμονικό δυναμικό δεν υπάρχει συμπύκνωμα. Υπάρχει απωστική κβαντική πίεση και απωστική δύναμη μεταξύ των σωματιδίων, σε αντίθεση με το δισδιάστατο αέριο με αρμονικό δυναμικό όπου υπάρχει συμπύκνωμα...3 Εξίσωση Gross Pitaevskii Όπως προαναφέρθηκε σε θερμοκρασία Τ< Τ C το συμπύκνωμα Bose-Einstein είναι ένα σύστημα από Ν ο σωματίδια που καταλαμβάνουν όλα την ίδια κβαντική κατάσταση, Ν ο = Ν [ - ( ) 3 ] ενώ σε μηδενική θερμοκρασία Ν ο = Ν= dv Δηλαδή, όλα τα σωματίδια του αερίου έχουν συμπυκνωθεί. Το δυναμικό μεταξύ δυο σωματιδίων του συμπυκνώματος θυμίζει το δυναμικό μεταξύ δύο φορτίων. Δυναμικό μεταξύ δύο φορτίων: V( ) = = d 3 r d 3 r Αναλογία φορτίου με συμπύκνωμα: ρ( ) ΙΨ(,t)Ι και δ( - ) V( ) = ΙΨ(,t)Ι ΙΨ(,t)Ι d 3 r d 3 r = ΙΨ(,t)Ι 4 d 3 r Στο όριο ενός σχεδόν ιδανικού αερίου Bose σε Τ = 0 Κ, η χωρική μορφή του συμπυκνώματος κυμάτων δίδεται από την ελαχιστοποίηση της συνολικής ενέργειας Ε, υπό τον περιορισμό ότι ο συνολικός αριθμός των σωματιδίων Ν διατηρείται. Ισοδύναμα, κάποιος μπορεί απλά να ελαχιστοποιήσει την μεγαλοκανονική θερμοδυναμική Ε - μn, όπου μ είναι το χημικό δυναμικό. Η κβαντική θεωρία πεδίου παρέχει μια αυστηρή θεμελίωση για τα ίδια αποτελέσματα. Σε μια παγίδα με δυναμικό V= οποία εισάχθηκε το 96 έχει τη μορφή, ω r, η Gross-Pitaevskii ενέργεια η Ε= d 3 r + ω r d 3 r + 4 d 3 r Ο πρώτος όρος στο ολοκλήρωμα είναι η κινητική ενέργεια του συμπυκνώματος, ο δεύτερος είναι η ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή και ο τρίτος είναι η ενέργεια αλληλεπίδρασης των σωματιδίων. Οι δύο πρώτοι όροι είναι ακριβώς η ενέργεια ενός σώματος για ένα ιδανικό αέριο Bose σε μία (συνήθη) αρμονική παγίδα. Σε αντίθεση, ο τρίτος όρος περιγράφει την αλληλεπίδραση των σωματιδίων, όπου το δυναμικό 0

επαφής των σωματιδίων έχει προσεγγιστεί από ένα V( - ) g δ ( - ), με g = 4παħ /M, μια σταθερά ζεύξης όπου το α έχει διαστάσεις μήκους. Η σύγκριση της κινητικής ενέργειας και της δυναμικής ενέργειας της παγίδας για αρμονικό δυναμικό δίδει το γνωστό μήκος του ταλαντωτή d ο= ħ, το οποίο χαρακτηρίζει το μέσο μέγεθος του συμπυκνώματος με ω ο = (ω x ω y ω z ) /3. Ένα σύστημα, σε μηδενική θερμοκρασία, μπορεί να περιγραφεί από την κυματοσυνάρτηση του συμπυκνώματος, Ψ(,t), που ουσιαστικά είναι μία πολυσωματιδιακή κυματοσυνάρτηση. Αν τα άτομα στο BEC δεν αλληλεπιδρούσαν μεταξύ τους, είναι φανερό ότι η Ψ(,t) θα ικανοποιούσε μία χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger για ένα μόνο άτομο. Όμως, στην πραγματικότητα τα άτομα στο συμπύκνωμα αλληλεπιδρούν, αφού ανά δύο μπορούν να συγκρουσθούν μεταξύ τους, και μάλιστα, επειδή τα άτομα είναι εξαιρετικά ψυχρά, μόνο οι λεγόμενες μετωπικές συγκρούσεις με μηδενική στροφορμή είναι σημαντικές. Επιπλέον, επειδή το ατομικό αέριο είναι αραιό, η αλληλεπίδραση μπορεί να περιγραφεί μέσω ενός εντοπισμένου δυναμικού, του οποίου το μέγεθος δίνεται από το μήκος σκέδασης α. Έτσι, κάθε άτομο αντιλαμβάνεται ένα πρόσθετο δυναμικό που οφείλεται προσεγγιστικά στο μέσο πεδίο όλων των υπολοίπων ατόμων, το οποίο μπορεί να συμπεριληφθεί στην εξίσωση Schrödinger για να περιγράψει την αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων. Έτσι, σε αυτή την προσέγγιση μέσου πεδίου, η εξίσωση που περιγράφει το συμπύκνωμα σε μηδενική θερμοκρασία είναι μία μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger που είναι γνωστή ως εξίσωση Gross-Pitaevskii και έχει τη μορφή, Ĥ= (- ) + + g ĤΨ(,t)= iħ = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) Όπου m είναι η ατομική μάζα, V= είναι το δυναμικό παγίδευσης του συμπυκνώματος, που προσεγγίζεται πολύ καλά από το δυναμικό του τύπου του αρμονικού ταλαντωτή, ω είναι η συχνότητα του μαγνητικού πεδίου και ο συντελεστής g του μη γραμμικού όρου, που περιγράφει το δυναμικό εξαιτίας της διατομικής αλληλεπίδρασης, είναι ανάλογος του μήκους σκέδασης α και δίνεται ως g=. Είναι σημαντικό ότι τα άτομα στο συμπύκνωμα μπορούν είτε να απωθούνται είτε να έλκονται μεταξύ τους, οπότε, αντίστοιχα, το μήκος σκέδασης α μπορεί να παίρνει είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές. Για πραγματικά και χρονικά αμετάβλητα εξωτερικά δυναμικά, η εξίσωση Gross-Pitaevskii είναι ένα διατηρητικό δυναμικό σύστημα, αφού μπορεί να γραφεί σε κανονική μορφή ως, iħ όπου το δεξιό μέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι η συναρτησιακή παράγωγος της συνολικής ενέργειας Ε του συστήματος, που δίνεται ως Ε= d 3 r + ω r d 3 r + 4 d 3 r (..)

δ( - ) Ψ(,t) d 3 r + δ( - )d 3 r+ Ψ(,t) δ( - )d 3 r = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) Η θεμελιώδης κατάσταση του συστήματος, μπορεί να βρεθεί γράφοντας την κυματοσυνάρτηση του BEC ως Ψ(,t) = Φ( ), όπου μ είναι το χημικό δυναμικό (η ενέργεια που απαιτείται για να προστεθεί ένα ακόμα άτομο στο συμπύκνωμα) και η πραγματική συνάρτηση φ( ) είναι η κανονικοποιημένη στο συνολικό αριθμό σωματιδίων, δηλαδή, d 3 r = Ν ο = Ν ĤΨ(,t)= iħ = iħ = μψ(,t) ĤΨ(,t) = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) Έτσι, καταλήγουμε στην εξίσωση μφ( ) = - Φ( ) + Φ( ) + g Φ( ) 3 που έχει τη μορφή μίας μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger, με τη μη γραμμικότητα να οφείλεται στον όρο του μέσου πεδίου. Εδώ το χημικό δυναμικό μ μπορεί είτε να θεωρηθεί ως πολλαπλασιαστής Lagrange ή μια παράμετρος σε μηδενική θερμοκρασία στη μεγαλοκανονική θερμοδυναμική E - μn. Αν τα άτομα δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους g=0 τότε η πιο πάνω εξίσωση γίνεται «συμβατική» εξίσωση Schrödinger για ένα μόνο σωματίδιο με χαμιλτονιανή (- ) + και αρμονικό δυναμικό παγίδευσης. Στην περίπτωση αυτή, η θεμελιώδης κατάσταση του συστήματος δίνεται (πέραν μίας σταθεράς κανονικοποίησης) από την ακόλουθη Gaussian, Φ( )= ) 3/4 exp[- (ω x x + ω y y + ω z z )] Όπου ω ο = (ω x ω y ω z ) /3 είναι ο γεωμετρικός μέσος των συχνοτήτων του δυναμικού παγίδευσης. Αν Φ( ) είναι περίπου ανεξάρτητη του r, δηλαδή, σταθερή (Φ( ) Φ ) τότε: μφ Φ + g Φ 3 Φ -

..4 Διαστατική προσέγγιση Χρησιμοποιώντας την εξίσωση ενέργειας (..), βρίσκω την ενέργεια με διαστατική προσέγγιση. Η συνάρτηση Ψ(,t) είναι κανονικοποιημένη στο συνολικό αριθμό σωματιδίων Ν, δηλαδή, σε 3-διαστάσεις d 3 r = Ν σε -διαστάσεις d r = Ν σε -διάσταση dr = Ν Για την διαστατική προσέγγιση θα χρησιμοποιήσουμε: dr Ψ R Όπου, R το μήκος μεταβολής του συμπυκνώματος 3-διαστάσεις Ε + + Ε + + Όπου Ν= Ψ R 3 -διαστάσεις Ε + + Όπου Ν= Ψ R -διάσταση Ε + + Όπου Ν= Ψ R 3

Σχήμα.: Ro είναι η ακτίνα του συμπυκνώματος και υπάρχει μόνο αν ω 0. Άρα υπάρχει ελάχιστο μόνο αν υπάρχει μη μηδενικό ω. Αν >> Ν Ν >> R 8παΝ >> R Όπου α= μήκος σκέδασης τότε, Ε + Ελαχιστοποίησης της ενέργειας σε 3-διαστάσεις = 0 mω RN- = 0 R 5 R Η εξίσωσης Gross-Pitaevskii είναι εμφανώς μία εξίσωση εξέλιξης με διασπορά που περιγράφεται από τον όρο - Ψ(,t) και μη γραμμικότητα που περιγράφεται με τον όρο g ΙΨ(,t)Ι Ψ(,t). Η εξισορρόπηση των φαινομένων αυτών ορίζει μία σημαντική χωρική κλίμακα, το μήκος «αποκατάστασης» 4

ξ, που είναι η ελάχιστη απόσταση που απαιτείται για την «αποκατάσταση» της κυματοσυνάρτησης ψ(,t) του BEC. Ορίζουμε ως μήκος αποκατάστασης το μήκος ξ για το οποίο ισούται ο κινητικός όρος και ο όρος αλληλεπίδρασης στης εξίσωση Gross-Pitaevskii: Επομένως,. Αν η πυκνότητα του BEC αυξηθεί από την τιμή 0 ως την τιμή n σε μία απόσταση ξ, οι όροι της διασποράς και της μη γραμμικότητας γίνονται και αντίστοιχα. Εξισώνοντας τους, προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για το μήκος αποκατάστασης, ξ = (8πnα) -/. Άρα, = R = = τάξη της μονάδας Άρα, Όπου d είναι το εύρος του αρμονικού ταλαντωτή και ξ είναι το μήκος «αποκατάστασης». Η αδιάστατη παράμετρος Nα/d ο χαρακτηρίζει την σημασία της αλληλεπίδρασης σε ένα παγιδευμένο συμπύκνωμα. Όταν η παράμετρος Nα/d ο είναι μεγάλη το προκύπτον σύστημα είναι γνωστό ως το «όριο Thomas- Fermi». Στην περίπτωση αυτή, οι απωστικές αλληλεπιδράσεις κυριαρχούν και επεκτείνεται το συμπύκνωμα σε μία μέση ακτίνα R ο που υπερβαίνει κατά πολύ το μήκος d ο του μέσου ταλαντωτή. Αυτή η επέκταση μειώνει δραματικά την ακτινική κλίση της πυκνότητας και η σχετική κινητική ενέργεια γίνεται έτσι αμελητέα σε σχέση με την ενέργεια της παγίδας και την ενέργεια της αλληλεπίδρασης 0 3 >> όπου Ν~0 6, d ο είναι το εύρος του αρμονικού ταλαντωτή d ο= ħ ωο ~ μερικά μm και α είναι η τυπική απόσταση σκέδασης ~ μερικά nm Για να είναι η κινητική ενέργεια ίση με την αρμονική Ν R 4 R d 5

Για να είναι η κινητική ενέργεια ίση με την απωστική Ν R R ξ ξ Η προσέγγιση Bogoliubov Ν= Νο + Ν, όπου Ν << Ν και Ν ο αριθμός των μη συμπυκνωμένων ατόμων απαιτεί nα 3 <<. Άρα, α << n -/3 Επομένως, n /3 ξ n /3 n /3 n -/3 >> n /3 ξ >> ξ >> n -/3 Άρα ξ >> απόσταση σωματιδίων n -/3 >> α και η ισχύει όταν η μέση ακτίνα του συμπυκνώματος Rο είναι μεγάλη σε σύγκριση με το μέσο μήκος του ταλαντωτή do. Έτσι, το μήκος ταλαντωτή dο είναι ο γεωμετρικός μέσος του ξ και Rο ξ << do << Rο Άρα, α << n -/3 << ξ << do << Rο «Rotating trapped Bose-Einstein condensates», Reviews of modern physics, volume 8, 8 Jan 008, p.649-653, Alexander L. Fetter 6

Κεφάλαιο Περιστρεφόμενο Συμπύκνωμα Bose-Einstein 7

. Θεωρία των περιστρεφομένων Συμπυκνωμάτων Bose-Einstein Μετά τη δημιουργία των δινών σε αραιά συμπυκνώματα Bose - Einstein ( BECs ), υπήρξε έντονο ενδιαφέρον για τη μελέτη διαμόρφωσης δίνης λόγω της εγγενούς σύνδεσης τους με την υπερρευστότητα. Ειδικά, η σταθερότητα των δινών στα BEC έχει αποτελέσει αντικείμενο εντατικής έρευνας. Όταν μια μεγάλη ποσότητα της στροφορμής μεταφέρεται σε ένα αραιό BEC, συνήθως δημιουργούνται πυρήνες δινών. Εάν ένα συμπύκνωμα σε μια αρμονική παγίδα υποβάλλεται σε γρήγορη περιστροφή, παρατηρούνται πλέγματα μονά κβαντισμένων δινών. Ωστόσο, το συμπύκνωμα μπορεί επίσης να αποκτήσει υψηλή στροφορμή μέσω πολυκβαντικών δινών, για τις οποίες η φάση της παραμέτρου του συμπυκνώματος είναι ακέραιο πολλαπλάσιο γ του π. Οι πολυκβαντικές δίνες έχουν δημιουργηθεί σε αραιό BEC χρησιμοποιώντας μια εστιασμένη δέσμη λέιζερ για να αφαιρεθούν τα άτομα από το κέντρο ενός περιστρεφόμενου συμπυκνώματος, μεταφέροντας στροφορμή μέσα στο συμπύκνωμα από μια Laguerre - Gaussian δέσμη λέιζερ και με μία μέθοδο κατασκευής τοπολογικής φάσης, η οποία χρησιμοποιεί τον βαθμό ελευθερίας του σπιν του συμπυκνώματος και την σύζευξη του με ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Αρκετές θεωρητικές μελέτες έχουν δείξει ότι οι καταστάσεις με μια πολυκβαντική δίνη είναι συνήθως δυναμικά ασταθείς σε αρμονικά παγιδευμένα BECs. Η δυναμική αστάθεια είναι ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της αγραμμικής δυναμικής και στην περίπτωση των πολυκβαντικών δινών, κάνει τις πολυκβαντικές δίνες να σπάσουν σε μονοκβαντικές δίνες, ακόμη και εν απουσία απωλειών. Από την άλλη, διάφορες μελέτες έχουν επίσης εξετάσει διάφορους τρόπους σταθεροποίησης των πολυκβαντικών δινών, π.χ., με περιστροφή του συμπυκνώματος στην παρουσία ενός βύσματος ή μη αρμονικού δυναμικού παγίδευσης. Στην αδιαβατική άντληση δινών και σε άλλες μεθόδους που βασίζονται στην τοπολογική αποτύπωση φάσης, το συμπύκνωμα παραμένει σε στιγμιαία ιδιοκατάσταση σε όλη τη διαδικασία και η τελική κατάσταση με μια πολυκβαντική δίνη είναι πολύ κοντά σε μια στάσιμη κατάσταση. Ως εκ τούτου, οι ιδιότητες της σταθερότητας των στάσιμων πολυκβαντικών δινών καθίστανται ουσιώδεις για το πώς καθορίζεται ο μεγάλος αριθμός περιέλιξης που μπορεί να επιτευχθεί με την αντλία. Το μέγιστο σθένος της δυναμικής αστάθειας των γ-κβαντικών δινών παρατηρήθηκε να αυξάνει πολύ αργά με το γ. Από την άλλη, το μέγεθος του πυρήνα του στροβίλου, που καθορίζει εν μέρει τη μέγιστη αδιαβατική ταχύτητα άντλησης, βρέθηκε να αυξάνει περίπου ως για μεγάλα γ. Οι γιγαντιαίες δίνες με εξαιρετικά μεγάλους αριθμούς περιέλιξης θα μπορούσαν να δημιουργηθούν με τη σταδιακή επιτάχυνση της λειτουργίας της αντλίας δίνης. Ωστόσο, είναι γνωστό ότι συνήθως ένας στρόβιλος με κβαντικό αριθμό περιέλιξης μεγαλύτερο από την μονάδα έχει υψηλότερη ενέργεια από τον αντίστοιχο αριθμό των χωρισμένων μονοκβαντικών δινών. Αυτό σημαίνει ότι οι πολυκβαντικές δίνες έχουν την τάση να σπάσουν σε μονοκβαντικές δίνες. Παρά το γεγονός ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι γενικώς αληθές μόνο σε ένα άπειρο ομογενές σύστημα, εξακολουθεί να ισχύει σε πεπερασμένου μεγέθους BEC για την πλειοψηφία των γεωμετριών της παγίδας και του αριθμού «Splitting dynamics of giant vortices in dilute Bose-Einstein condensates», PhysRevA.8.03367, 0 Nov 009,Pekko Kuopanportti Mikko Möttönen 8

των σωματιδίων. Η δυνατότητα δημιουργίας σταθερών δινών με μεγάλους αριθμούς περιέλιξης θα παρουσίαζε συνεπώς μεγάλο ενδιαφέρον. Η ενεργειακή αστάθεια καθιστά τη δημιουργία πολυκβαντικών δινών δύσκολη, αλλά όχι αδύνατη. Στην πραγματικότητα, ενεργειακά ασταθείς καταστάσεις μπορεί να είναι αρκετά μακρόβιες, δεδομένου ότι η χαλάρωση σε χαμηλότερες ενεργειακές καταστάσεις απαιτεί απώλειες που παρέχονται κυρίως υπό τη μορφή μη συμπυκνωμένων ατόμων. 3. Εξίσωση Gross-Pitaevskii περιστρεφόμενου συμπυκνώματος Θεωρούμε ένα αέριο Bose σε μηδενική θερμοκρασία. Η δομή των πυρήνων και το πεπρωμένο του πλέγματος δινών σε υψηλές ταχύτητες περιστροφής εξαρτάται θεμελιωδώς από την γεωμετρία του δοχείου που περιορίζει το υγρό. Σε μια αρμονική παγίδα, η ακτινική παγίδευση δυναμικού είναι ω r. Καθώς η συχνότητα περιστροφής Ω προσεγγίζει το ω, το σύστημα γίνεται σχεδόν δύο διαστάσεων, θα διαπιστώσουμε ότι σε μια παγίδα η περιοχή που καταλαμβάνεται από τους πυρήνες των δινών μεγαλώνει μέχρι να γεμίσει ένα περιοριστικό κλάσμα, ~ /, του χώρου του συστήματος, και ποτέ δεν αγγίζουν, ακόμα και για ταχύτητες περιστροφής αυθαίρετα κοντά στο ω. Περιγράφουμε την θεμελιώδη κατάσταση του συστήματος με ένα περιστρεφόμενο πλέγμα δίνης, Ψ, που προσδιορίζεται με την ελαχιστοποίηση της ενέργειας, Ε'= Ε όπου, είναι το διάνυσμα της στροφορμής του συστήματος και Ω η συχνότητα περιστροφής. 4 Στο υποκεφάλαιο..3 έχω αναφερθεί στην εξίσωση Gross-Pitaevskii όταν δεν είχαμε περιστροφή. Στο υποκεφάλαιο αυτό, θα δούμε πως προκύπτει ο καινούριος όρος της εξίσωσης Gross-Pitaevskii, ο οποίος οφείλεται στην περιστροφή του πλέγματος δίνης. Ορίζω τη σχετική ταχύτητα ως = ( x ) = + ( x ) L = V, όπου V είναι το δυναμικό και L είναι η λαγκραζιανή του συστήματος L = + + m( x ) V 3 «Stabilization and pumping of giant vortices in dilute Bose-Einstein Condensates», J.Low Temp.Phys.6, 3 Jun 00, p.56-563, Pekko Kuopanportii Mikko Möttönen 4 «Vortex states of rapidly rotating dilute Bose-Einstein Condensates», Phys.Rev.Lett. 90. 4040, April 003,, Uwe R.Fischer and Gordon Baym 9

Η χαμιλτονιανή του συστήματος δίνεται ως εξής Η = L Όπου, = m + Η = + [ + + m( x ) V ] H = - + V Και χρησιμοποιώντας την = ( x ) τότε, H = - + V = - + V H = m[ ] + V = H [ ] = H Επομένως, η ενέργεια Gross-Pitaevskii σε ένα περιστρεφόμενο συμπύκνωμα Bose-Einstein είναι: Ε = d 3 r + ω r d 3 r + 4 d 3 r - Φ * Φ d 3 r Ε = Φ * Φ d 3 r + Φ Φ * ω r d 3 r + d 3 r - Φ Φ d 3 r (..) * Ĥ Ψ(,t)= iħ = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) x [-i Ψ(,t)] Για πραγματικά και χρονικά αμετάβλητα εξωτερικά δυναμικά, η εξίσωση Gross-Pitaevskii με περιστροφή είναι ένα διατηρητικό δυναμικό σύστημα, αφού μπορεί να γραφεί σε κανονική μορφή ως, iħ όπου, το δεξιό μέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι η συναρτησιακή παράγωγος του συναρτησιακού της συνολικής ενέργειας του συστήματος, που δίνεται ως = d 3 r + ω r d 3 r + 4 d 3 r - Ψ * x [-i Ψ(,t)] d 3 r 0

= Ψ(,t) d 3 r + Ψ δ( - )d 3 r + Ψ(,t) δ( - )d 3 r. x [-i Ψ(,t)] d 3 r = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) x [-i Ψ(,t)] Η θεμελιώδης κατάσταση του συστήματος, μπορεί να βρεθεί γράφοντας την κυματοσυνάρτηση του BEC ως Ψ(,t) = Φ( ) Όπου μ είναι το χημικό δυναμικό (η ενέργεια που απαιτείται για να προστεθεί ένα ακόμα άτομο στο συμπύκνωμα) και η συνάρτηση Ψ(,t) είναι η κανονικοποιημένη στο συνολικό αριθμό σωματιδίων, δηλαδή, d 3 r = Ν ο = Ν Απόδειξη: d 3 r = d 3 r + d 3 r Όπου, Ĥ Ψ(,t)= iħ = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) x [-i Ψ(,t)] [Ĥ Ψ(,t)]* = -iħ = - Ψ(,t) * + Ψ(,t)* + g Ψ(,t)* x [i Ψ(,t)*] d 3 r = ĤΨ * ħ d3 r - ħ [ĤΨ] d 3 r = ħ ħ [- Ψ(,t) * + Ψ(,t)* + g [- Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t)* x [i Ψ(,t)*] ] d 3 r - Ψ(,t) x [-i Ψ(,t)] ] d 3 r = [- [ Ψ(,t) * ] Ψ(,t) + [ Ψ(,t)] Ψ(,t) * ] ]d 3 r + [ [ Ψ(,t)*] Ψ(,t) + Ψ(,t)* [ Ψ(,t)] ] d 3 r = - [( Ψ * ) Ψ] + ( Ψ * )( Ψ) + [( Ψ) Ψ*] - ( Ψ * )( Ψ) d 3 r + [ (Ψ* Ψ)] d 3 r Όπου, το πρώτο ολοκλήρωμα μηδενίζεται γιατί η συνάρτηση Ψ(,t) στο άπειρο είναι μηδέν αφού δεν έχουμε συμπύκνωμα.

d 3 r = [ (Ψ* Ψ)] d 3 r = [( ) ] d 3 r ( x )] d 3 r = 0 Εξήγηση: Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Gauss: Το ολοκλήρωμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου πάνω σε έναν τυχόντα όγκο V ισούται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα του πεδίου πάνω στην κλειστή επιφάνεια S που περικλείει αυτόν τον όγκο: 5 τότε, [( ) ] d 3 r = Το επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι μηδέν γιατί όταν το r τείνει στο άπειρο η συνάρτηση Ψ(,t) είναι μηδέν αφού δεν έχουμε συμπύκνωμα. Επίσης το χωρικό ολοκλήρωμα ( )] d 3 r είναι μηδέν γιατί: i ( i = i ( ijk Ω j X k ) = ijk Ω j δ ik = iji Ω j = 0 Επομένως, d 3 r = 0 Άρα το d 3 r είναι σταθερό ως προς το χρόνο, οπότε Ν= d 3 r Μοντελοποιούμε λοιπόν, το συμπύκνωμα με τη συνήθη εξίσωση Gross-Pitaevskii Ĥ Ψ(,t)= iħ = iħ = μψ(,t) Ĥ Ψ(,t) = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g Ψ(,t) x [-i Ψ(,t)] Έτσι, καταλήγουμε στην ακριβή εξίσωση μφ( ) = - Φ( ) + Φ( ) + g Φ( ) x [-i Φ( )] (..) που έχει τη μορφή μίας αγραμμικής εξίσωσης Schrödinger, με την αγραμμικότητα να οφείλεται στον όρο του μέσου πεδίου. 5 «Λυμένες ασκήσεις ηλεκτρομαγνητισμού», Ανάρτηση από ΓΙΩΡΓΟΣ ΓΚΑΛΙΟΣ, http://ggalios.blogspot.com/00/0/blogpost.html

Εδώ το χημικό δυναμικό μ μπορεί να θεωρηθεί ως πολλαπλασιαστής Lagrange. Ορίζω την χωρική κυματοσυνάρτηση ως Φ(r,φ)= q(r,φ)e iγφ στην ακριβή μας εξίσωση. Φ= q e iγφ + q e iγφ iγ φ = q e iγφ + q e iγφ iγ Φ= q e iγφ + q e iγφ iγ + q e iγφ iγ iγ + q e iγφ iγ Ο τελευταίος όρος είναι μηδέν γιατί: = = - = Επειδή και είναι κάθετα μεταξύ τους. = - -. = - - = 0 Φ=[ q + q iγ - ] e iγφ x = Ω x r = Ωr x [-i Φ] = x [i (q e iγφ )] = x i [ q e iγφ + q e iγφ iγ ] = i Ωr q e iγφ - q e iγφ γ Ω Τώρα, χρησιμοποιώ τα πιο πάνω στη ακριβή εξίσωση (..) και προκύπτει μq= - [ q + q iγ - ]+ q + g q 3 + i Ωr q - qγ Ω (..3) Εξισώνουμε τα φανταστικά μέρη - q iγ + i Ωr q = 0 (- iγ + i Ω r ) q = 0 q = 0 Άρα, το q είναι ανεξάρτητο του φ, q(r) και τότε η εξίσωση (..3) γίνεται μq= - [ q - ]+ q + g q 3 - qγ Ω (..4) 3

όπου q = (r ) + = ( ) + + μq= - [ ( ) + - ]+ q + g q 3 - qγ Ω - [ ( ) + - ]+ q + g q 3 = (μ + γ Ω)q (..5) 4

Κεφάλαιο 3 Δημιουργία Δινών 5

3. Θεωρία Δινών Η δημιουργία και η παρατήρηση των κβαντισμένων δινών σε αραιά συμπυκνώματα Bose-Einstein ( BECs ) των ατόμων αλκαλίων μετάλλων το 999 ήταν μια σημαντική απόδειξη της υπερρευστότητας αυτών των συστημάτων. Έκτοτε η μελέτη των δινών στα BECs έχει προχωρήσει τόσο θεωρητικά όσο και πειραματικά. Μονά κβαντισμένες δίνες στο μη περιστρεφόμενο, αρμονικά παγιδευμένο BEC είναι τοπικά ενεργειακά ασταθείς εντός της προσέγγισης Bogoliubov. Αν οι απώλειες στο σύστημα δεν είναι αμελητέες, αυτή η τοπική αστάθεια συνεπάγεται ότι οι δίνες ξεφεύγουν από το συμπύκνωμα. Επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη μονοκβαντικής δίνης σε αραιό BEC φαίνεται να είναι η σφαιρική σταθερότητα τους, δηλαδή, να έχει χαμηλότερη ελεύθερη ενέργεια σε σύγκριση με την κατάσταση απουσίας δινών. Κατά συνέπεια, η εξωτερική περιστροφή του συστήματος θα δημιουργήσει δίνες. 6 Όταν αφαιρούμε άτομα από το περιστρεφόμενο συμπύκνωμα με ένα αυστηρά εστιασμένο, συντονισμένο λέιζερ, η πυκνότητα μπορεί να μειωθεί τοπικά, ενώ η γρήγορη κυκλοφορία μιας υπερροής σχήματος δακτυλίου γύρω από την περιοχή της μειωμένης πυκνότητας διατηρείται. Έτσι δημιουργείται μια γιγαντιαία δίνη που περιλαμβάνει 7-60 ανωμαλίες φάσης. Ο γιγαντιαίος πυρήνας είναι μετασταθής, και θα ξαναγεμίσει με διακριτές μονές δίνες μετά από πολλούς κύκλους περιστροφής. Η εκπληκτικά μεγάλη διάρκεια ζωής του πυρήνα μπορεί να αποδοθεί στην επίδραση ισχυρών δυνάμεων Coriolis στο συμπύκνωμα. Το φαινόμενο του σχηματισμού κβαντισμένης δίνης είναι ένα οικουμενικό στοιχείο που απαντάται σε πολλά κβαντικά μηχανικά συστήματα. Ο στροβιλισμός είναι στενά συνδεδεμένος με την υπερρευστότητα. Ο σχηματισμός γιγαντιαίας δίνης προκύπτει ως ένα δυναμικό αποτέλεσμα. Ωστόσο, η διάρκεια ζωής των γιγαντιαίων δινών μπορεί να παραταθεί για πολλά δευτερόλεπτα, κι αυτό αποδίδεται στη σταθεροποίηση των χαρακτηριστικών της πυκνότητας σε ένα ταχέως περιστρεφόμενο συμπύκνωμα λόγω των ισχυρών δυνάμεων Coriolis. Η επιρροή της Coriolis δύναμης μπορεί επίσης να προκαλέσει ταλαντώσεις του γιγαντιαίου μεγέθους πυρήνα δίνης στα πρώτα στάδια της εξέλιξης του. Η απομάκρυνση των ατόμων από το κέντρο του συμπυκνώματος παράγει μια διαβάθμιση πίεσης που οφείλεται στο μέσο ενεργειακό πεδίο που προσπαθεί να οδηγεί τα άτομα από τις εξωτερικές περιοχές στο κέντρο, έτσι ώστε να κλείσει την τρύπα. Λόγω δυνάμεων Coriolis, ωστόσο, τα άτομα που κινούνται ακτινικά προς το κέντρο εκτρέπονται και αποχτούν γρήγορη αζιμουθιακή κίνηση γύρω από τον πυρήνα, δημιουργώντας έτσι τη γιγαντιαία δίνη. 7 3. Δημιουργία Δινών Στο κεφάλαιο αυτό, θα παρουσιάσουμε την δημιουργία δινών σε ταχέως περιστρεφόμενα συμπυκνώματα Bose-Einstein εντός του φορμαλισμού Gross-Pitaevskii. 6 «Stability of multiquantum vortices in dilute Bose-Einstein condensates», physical review A, volume 65, 03364, 4 Sep 00,T.P.Simula, S.M.M.Virtanen, and M.M.Salomaa 7 «Observation of long-lived vortex aggregates in rapidly rotating Bose-Einstein condensates», physical review letters, volume 90, number 7, 70405, May 003, P.Engels, I.Coddington, P.C.Haljan, V.Schweikhard, and E.A.Cornell 6

Α τρόπος: Στο κεφάλαιο είχαμε αναφερθεί στην ενέργεια Gross-Pitaevskii σε ένα περιστρεφόμενο συμπύκνωμα Bose-Einstein Ε = Φ * Φ d 3 r + Φ Φ * ω r d 3 r + d 3 r - Φ Φ d 3 r (3..) * Ορίζω, = q( )e is στην εξίσωση (3..), όπου S( ) και q( )διανυσματικές χωρικές συναρτήσεις. Ε = q)e -is qi e -is ] [ e is + qi e is ]d 3 r + e -is q) e is + S) e is ] d 3 r ω r d 3 r + q 4 d 3 r - Ε = q) + q ]d 3 r + Για το ολοκλήρωμα ω r d 3 r + q 4 d 3 r - x [- q ) + q ]d 3 r I= - x. [-i q ) ] d 3 r =. ( q )- q ( ]d 3 r Και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Gauss: Το ολοκλήρωμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου πάνω σε έναν τυχόντα όγκο V ισούται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα του πεδίου πάνω στην κλειστή επιφάνεια S που περικλείει αυτόν τον όγκο: 8 τότε, I = q ) ds - q ( ] d 3 r Το επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι μηδέν γιατί όταν το r τείνει στο άπειρο η συνάρτηση q( ) είναι μηδέν αφού δεν έχουμε συμπύκνωμα. Επίσης το χωρικό ολοκλήρωμα είναι μηδέν γιατί: i ( i = i ( ijk Ω j X k ) = ijk Ω j δ ik = iji Ω j = 0 Επομένως, Ι = 0 8 «Λυμένες ασκήσεις ηλεκτρομαγνητισμού», Ανάρτηση από ΓΙΩΡΓΟΣ ΓΚΑΛΙΟΣ, http://ggalios.blogspot.com/00/0/blogpost.html 7

Ε = q) + q ]d 3 r + Αναπτύσσω το ολοκλήρωμα ω r d 3 r + q 4 d 3 r - q ] d 3 r q ]d 3 r - q ] d 3 r = - ( + ( ) - ( ) ]d 3 r = - ( ] - ( ) ] d 3 r Επομένως, η ενέργεια δίδεται ως εξής: Ε = q) + ω r q + q 4 - ( ) ] d 3 r + - ( ] ] d 3 r (3..) Για να ελαχιστοποιήσουμε την ενέργεια Ε τότε - ( = 0 S = ( S = ( = Απόδειξη: [ ( ] i = ijk j ( k = ijk j klm Ω l X m = ijk klm Ω l δ jm = imk klm Ω l = (δ il δ mm - δ im δ ml ) Ω l = (3 δ il - δ il ) Ω l = δ il Ω l = Έστω, S = So + Sανώμαλο S = So + Sανώμαλο = ( S = So + Sανώμαλο = Όπου, So = 0 Sανώμαλο = Ορίζω, Sανώμαλο = γ φ, όπου γ είναι η στροφικότητα ds = γ = πr 8

Και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Stokes: Το επιφανειακό ολοκλήρωμα του στροβιλισμού ενός διανυσματικού πεδίου πάνω σε μια τυχούσα επιφάνεια S ισούται με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του πεδίου πάνω στην κλειστή γραμμή C στην οποία καταλήγει η επιφάνεια: 9 Τότε, γ = γ = πγν = πr όπου Ν ο αριθμός των δινών στον συγκεκριμένο χώρο Επομένως, ο αριθμός των δινών είναι γν = ΩR = Η πυκνότητα των δινών είναι n= N/ πr γn = = Αν έχω μία δίνη (Γιγαντιαία δίνη) τότε, n= / πr = = και η ακτίνα της δίνης είναι R = Αν έχω μία μονοκβαντική δίνη τότε, n - =πr = και η ακτίνα της δίνης είναι R = 9 «Λυμένες ασκήσεις ηλεκτρομαγνητισμού», Ανάρτηση από ΓΙΩΡΓΟΣ ΓΚΑΛΙΟΣ, http://ggalios.blogspot.com/00/0/blogpost.html 9

Σχήμα 3.: Κατά την περιστροφή του συμπυκνώματος Bose-Einstein δημιουργούνται δίνες Β τρόπος: Ĥ Ψ(,t)= iħ = - Ψ(,t) + Ψ(,t) + g ΙΨ(,t)Ι Ψ(,t) x [-i Ψ(,t)] - μ Ψ(,t) + V( )Ψ(,t) (3..3) [Ĥ Ψ(,t)]* = -iħ = - Ψ(,t) * + Ψ(,t)* + g ΙΨ(,t)Ι Ψ(,t)* x [i Ψ(,t)*] - μ Ψ(,t)* + V( )Ψ(,t)* (3..4) Όπου, V( ) είναι ένα δυναμικό Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (3..3) με Ψ(,t)* και την εξίσωση (3..4) με Ψ(,t) iħψ(,t)* = - Ψ(,t)* Ψ(,t)+ ΙΨ(,t)Ι + gιψ(,t)ι 4 + x Ψ(,t)* Ψ(,t) - μ ΙΨ(,t)Ι + V( ) ΙΨ(,t)Ι (3..5) -iħψ(,t) =- Ψ(,t) Ψ(,t)* + ΙΨ(,t)Ι + gιψ(,t)ι 4 - x Ψ(,t) Ψ(,t)* - μ ΙΨ(,t)Ι + V( ) ΙΨ(,t)Ι (3..6) Αφαιρούμε τις εξισώσεις (3..5) και (3..6) iħψ(,t)* + iħψ(,t) = - [ Ψ(,t)* Ψ(,t) - Ψ(,t) Ψ(,t)*] + x. [Ψ(,t)* Ψ(,t) + Ψ(,t) Ψ(,t)*] iħ = - [ Ψ(,t)* Ψ(,t) - Ψ(,t) Ψ(,t)*] + x [Ψ(,t)*Ψ(,t)] iħ = - [ Ψ(,t)* Ψ(,t) - Ψ(,t) Ψ(,t)*] + x Ψ(,t)*Ψ(,t)] - Ψ(,t)*Ψ(,t) x ] Ο τελευταίος όρος είναι μηδέν γιατί 30

i ( i = i ( ijk Ω j X k ) = ijk Ω j δ ik = iji Ω j = 0 iħ = - [ Ψ(,t)* Ψ(,t) - Ψ(,t) Ψ(,t)*] + x Ψ(,t)*Ψ(,t)] Η θεμελιώδης κατάσταση του συστήματος, μπορεί να βρεθεί γράφοντας την κυματοσυνάρτηση του BEC ως Ψ(,t) = Φ( ). Άρα η εξίσωση γίνεται iħ = - [ Φ(,t)* Φ(,t) - Φ(,t) Φ(,t)*] + x Φ(,t)*Φ(,t)] Ορίζω, = q( )e is και q( ) ρ όπου, ρ η πυκνότητα καταστάσεων iħ = - [ qe -is ( e is + qi e is ) - qe is ( e -is qi e -is ] + x q ] iħ = - [q i ] + x q ] + = 0 = q - x q όπου είναι το ρεύμα το οποίο είναι περιοδικό Άρα, = q - q =0 Ορίζω, S = γ φ Και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Stokes: Το επιφανειακό ολοκλήρωμα του στροβιλισμού ενός διανυσματικού πεδίου πάνω σε μια τυχούσα επιφάνεια S ισούται με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του πεδίου πάνω στην κλειστή γραμμή C στην οποία καταλήγει η επιφάνεια: 0 Τότε, = = q γ - q = 0 0 «Λυμένες ασκήσεις ηλεκτρομαγνητισμού», Ανάρτηση από ΓΙΩΡΓΟΣ ΓΚΑΛΙΟΣ, http://ggalios.blogspot.com/00/0/blogpost.html 3

Όπου, φ= και [ ( ] i = ijk j ( k = ijk j klm Ω l X m = ijk klm Ω l δ jm = imk klm Ω l = (δ il δ mm - δ im δ ml ) Ω l = (d δ il - δ il ) Ω l = (d-)δ il Ω l = (d-) Ω i q Ν - q (d-)ωπr =0 όπου, Ν είναι ο αριθμός των δινών Ν = (d-)ωπr Η πυκνότητα των δινών είναι n= N/ πr n = (d-)ω Σε 3 διαστάσεις: γn = = Αν έχω μία δίνη (γιγαντιαία δίνη) τότε, n= / πr = = και η ακτίνα της δίνης είναι R = 3.. Διαστατική προσέγγιση Δημιουργία γιγαντιαίας δίνης Α τρόπος: Από την εξίσωση (3..), σε -διαστάσεις, αφού η κινητική ενέργεια λόγω φάσης είναι κατά μέσον όρο κοντά στο μηδέν, Ε q) + ω r q + q 4 - ( ) ] d r Ε q) + ω r q + q 4 - Ω r + ( ) ] d r Το οποίο προκύπτει από: ( ) = ( ) ( ) = ( ) i ( ) i =( ijk Ω j r k ) ( ilm Ω l r m ) = Ω j r k Ω l r m jki ilm = Ω j r k Ω l r m (δ jl δ km - δ jm δ kl ) = Ω l r m Ω m r l Ω l r m = Ω r (. ) 3

Όπου, ( ) = 0 λόγω του ότι Ω και r κάθετα μεταξύ τους Όταν, ω r q = Ω r, δηλαδή, όταν ω= Ω τότε το συμπύκνωμα διαλύεται, αφού παύει να υπάρχει η αρμονική παγίδα. Έστω Ω= ω- εω, όπου, ε μια πολύ μικρή σταθερά Ε q) + ω r q + q 4 - ω (-ε+ε ) r ] d r Παίρνουμε όρους μέχρι πρώτης τάξης του ε Ε q) + q 4 + ω ε r ] d r Διαστατική προσέγγιση: Η συνάρτηση q( ) είναι κανονικοποιημένη στο συνολικό αριθμό σωματιδίων Ν, δηλαδή, σε -διαστάσεις d r = Ν Για την διαστατική προσέγγιση θα χρησιμοποιήσουμε:, όπου R είναι η ακτίνα του συμπυκνώματος Ν=q πr, όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός συμπυκνωμάτων d r = qπr [ + q4 + ω ε R ] πr = π+ q 4 + ω ε = π+ q + ω ε Παραγωγίζω ως προς π+ - ω ε = 0 q 4 = και επειδή το Ν είναι πολύ μεγάλο τότε ο όρος << 33

q 4 = πr = εμβαδόν συμπυκνώματος = = Η ακτίνα του συμπυκνώματος είναι R όπου ε είναι μία σταθερά πολύ μικρή, άρα η ακτίνα του συμπυκνώματος είναι πάρα πολύ μεγάλη έτσι ώστε να έχουμε μόνο μια δίνη Γιγαντιαία δίνη (Giant Vortex) Αν έχουμε όμως μια γιγαντιαία δίνη τότε έχουμε μία δίνη με στροφικότητα γφ και όχι πολλές δίνες γ με στροφικότητα φ η κάθε μία. Β τρόπος: Η εξίσωση κίνησης (..4) ελαχιστοποιεί την Ε = q) + ]d r + ω r d r + q 4 d r- γω)q d r δε = - [ q - ]+ q + g q 3 (μ+γ Ω)q Διαστατική προσέγγιση: Η συνάρτηση q(r) είναι κανονικοποιημένη στο συνολικό αριθμό σωματιδίων Ν, δηλαδή, σε -διαστάσεις d r = Ν Για την διαστατική προσέγγιση θα χρησιμοποιήσουμε:, όπου R είναι η ακτίνα του συμπυκνώματος N=q πr, όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός σωματιδίων d r qπr Ε [ + + q ω R + q 4 γω)q ]πr Ε + + Ν ω R + γω)ν Όπου, γ= ΩR Ε Ν + μν + Ν ω R - Ν Ω R 34

= 0 - Ν - + Ν ω - Ν Ω = 0 = Ν π και επειδή το Ν είναι μεγάλο τότε = δηλαδή, όταν το ω Ω τότε το R άρα η ακτίνα του συμπυκνώματος είναι πάρα πολύ μεγάλη έτσι ώστε να έχουμε μόνο μια δίνη Γιγαντιαία δίνη (Giant Vortex) 3.. Παραδείγματα Γιγαντιαίας Δίνης με γκαουσιανή κυματοσυνάρτηση Έστω ότι r μικρό, ορίζω q(r)=kr α στην εξίσωση (..5) - [k(α α)r α- + kαr α- γ kr α- ] + + gk 3 r 3α = (μ + γ Ω) kr α Επειδή, r πολύ μικρό παίρνω όρους μέχρι α- τάξης, δηλαδή, r α- - [kα r α- γ kr α- ] = 0 kα = kγ Άρα, η q(r) r γ, πολύ κοντά στο μηδέν επειδή το r είναι πολύ μικρό. Έστω r τείνει στο άπειρο, τότε το q τείνει στο μηδέν επειδή στο r συμπύκνωμα. Έτσι, ο όρος gq 3 διαγράφεται. η Φ είναι μηδέν αφού δεν έχω Τότε η εξίσωση (..4) γίνεται, - [ ( ) + - ]+ q = (μ + γ Ω)q Ορίζω, q(r) =v(r) = -λrv =( - λrv) = ( - λr - λv) - λr( - λrv) = ( - 4λr + 4λ vr - λv) - [ - 4λr + 4λ vr - λv + - λv - ]+ v = (μ + γ Ω)v 35

Λόγω του ότι το r είναι πολύ μεγάλο παίρνω μέχρι όρους πρώτης τάξης του r. Εξισώνω τους όρους δεύτερης τάξης του r 4λ vr = v λ= Άρα, q(r) =v(r) Τώρα, δοκιμάζω v(r)= r σ - [- 4λσr σ +σ(σ-) r σ- - λr σ + σr σ- -λr σ γ r σ- ] = (μ + γ Ω) r σ Εξισώνω τους όρους τάξης σ- του r - (σ r σ- γ r σ- )= 0 σ γ Εξισώνω τους όρους τάξης σ του r 4σ + 4 = μ + γ Ω ω(σ+)= μ + γ Ω Χρησιμοποιώντας λοιπόν αριθμητική μέθοδο (Mathematica) θα μελετήσουμε την ενέργεια για την χωρική κυματοσυνάρτηση Φ(r,φ)= q(r,φ)e iγφ με q(r) =zx γ, όπου z και g σταθερές. Για να επιλύσουμε την αγραμμική εξίσωση (..5), - [ ( ) + ] + + q + g q 3 - qγ Ω μq = 0 την μετατρέπουμε σε αδιάστατη μορφή χρησιμοποιώντας τους πιο κάτω μετασχηματισμούς b = r = x q(r) = α(x) 36

Τότε, η εξίσωση παίρνει τη πιο κάτω μορφή: -ω [ ( ) + ] + α + α + α 3 α Ω + b = 0 (3..7) Όπου, ( ) = ( ) ( )= ( ) ( ) = = ( ) ( )= ( ) Διαιρώ με ω την εξίσωση (3..7) και η εξίσωση γίνεται: - ( ) - + α + α + α 3 α + b = 0 (3..8) Όπου, Ω = (-e) ω και e σταθερά με τιμές από 0 μέχρι. Αν e= τότε Ω=0 άρα δεν έχω περιστροφή ενώ αν e=0 τότε Ω=ω και το συμπύκνωμα διαλύεται. - - ( ) + α + α 3 α (-e) + α bα = 0 (3..9) Η εξίσωση κίνησης (..4) ελαχιστοποιεί την Ε = q) + ]d r + ω r d r + q 4 d 3 r- γω)q d r δε = - [ q - ]+ q + g q 3 (μ+γ Ω)q και την μετατρέπουμε σε αδιάστατη μορφή χρησιμοποιώντας τους πιο πάνω μετασχηματισμούς Ε = q) + ]d r + ω r d r + q 4 d 3 r- γω)q d r Όπου, ( ) = ( ) ( )= ( ) ( ) Ε = ) + α + ω x α + ( ) α 4 (b + γω) α ] πx dx Ε = ) + α + α x + α 4 (b + ) α ] πx dx Ε = ) + + + (b + )α ] xdx 37

Όπου Ω = (-e)ω Παίρνουμε λοιπόν την αδιάστατη ενέργεια Ε ) + + + - bα - γ(-e)α ] xdx (3..0) Όπως έχουμε αναφέρει η συνάρτηση Ψ(,t) είναι η κανονικοποιημένη στο συνολικό αριθμό σωματιδίων, δηλαδή, σε -διαστάσεις Ν= d r = d r Όπου, Ψ(,t) = Φ( ) και Φ( ) = q(r)e iγφ Μετατρέποντας σε αδιάστατη μορφή και χρησιμοποιώντας τους πιο πάνω μετασχηματισμούς, ο αριθμός των σωματιδίων γίνεται: Ν = πrdr = x dx x dx (3..) Πιο κάτω, ακολουθούν οι υπολογισμοί που έχουν γίνει στο πρόγραμμα Mathematica (Παράρτημα Α) eqn x_ : b a x e k a x k a x x 4 x a x a x 3 a x x a x όπου, είναι η εξίσωση (3..9) energy x_ : x b a x e k a x k a x x 4 x a x a x 4 a x (3..) όπου, το ολοκλήρωμα της πιο πάνω εξίσωσης είναι η εξίσωση (3..0) Η χωρική κυματοσυνάρτηση έχει γκαουσιανή συμπεριφορά και ορίζεται ως a x_ : g x x k z όπου, z και g είναι σταθερές Θέτουμε b=0 αφού θα χρησιμοποιήσουμε τον περιορισμό n0= Ο αριθμός των σωματιδίων ολοκληρωμάτων και ισούται με: από την εξίσωση (3..) προκύπτει μετά από μια σειρά Nombre : k g k z Gamma k 38

Για τον υπολογισμό της σταθεράς z, χρησιμοποιούμαι τον περιορισμό n0=nombre και προκύπτει z : k g k n0 Gamma k Η ενέργεια δίνεται από το ολοκλήρωμα της εξίσωσης (3..) και είναι ίση με energy : e 4 g k n0 4 g k n0 Gamma k Gamma k 6 g n0 Gamma k 8 g Gamma k 4 k g n0 Gamma k Gamma k Ελαχιστοποιούμε την ενέργεια (energy) για να υπολογίσουμε τη σταθερά g g : k Gamma k Gamma k 5 k k Gamma k Gamma k 5 k k Gamma k 4 k Gamma k Gamma k 8 n0 Gamma k Και από το ακόλουθο γράφημα παρατηρούμε ότι η σταθερά g είναι θετική 0.5 0. 0.5 0. 0.05 Σχήμα 3.: Γραφική παράσταση του g συναρτήσει του k για n0=00 Τώρα, η ενέργεια συναρτήσει του k γίνεται: Energeia[k_]:= 5 50 75 00 5 50 75 k 5 n0 k k 5 Gamma k Gamma k Gamma k k k Gamma k Gamma k 3 k Gamma k Gamma k 3 n0 Gamma k Gamma k k e k Gamma k 3 39

4 k k Gamma k Gamma k 4 k k Gamma k k Gamma k Gamma k n0 Gamma k Gamma k 3 4 k k Gamma k Gamma k 4 k k Gamma k k Gamma k Gamma k n0 Gamma k Από τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις θα δούμε ότι για μικρά n0 και e= (δηλαδή όταν δεν έχω περιστροφή) το ελάχιστο θα είναι στο k=0 (Σχήμα 3.3). Όμως καθώς ανεβαίνει το n0 και e= θα παρουσιαστεί ελάχιστο για k γύρω στο ½ (Σχήμα 3.4). Αυτό γίνεται γιατί σε μεγάλα n0 η αληθινή κυματοσυνάρτηση δεν μοιάζει καθόλου με γκαουσιανή. Η γκαουσιανή δίδει καλά αποτελέσματα μόνο για μικρά n0. Για μεγάλα n0 χρειάζεται συνάρτηση Thomas Fermi..5.5 0.5 9.5 0. 0.4 0.6 0.8 Σχήμα 3.3 : Γραφική παράσταση της Energeia[k] συναρτήσει του k για n0=5 και e=. Έχουμε ελάχιστη ενέργεια στο k=0 400 300 00 00 000 0. 0.4 0.6 0.8 Σχήμα 3.4 : Γραφική παράσταση της Energeia[k] συναρτήσει του k για n0=000 και e=. Έχουμε ελάχιστη ενέργεια E=845.4 στο k= 0.339507 40

Στην συνέχεια, στις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις θα δούμε τι γίνεται όταν έχω περιστροφή. Για παράδειγμα, όταν το e=0.05 και μικρό n0, πάλι θα δούμε παρόμοια συμπεριφορά. Όμως όταν το e γίνει 0.05 το ελάχιστο k θα είναι πολύ μεγάλο (γιγαντιαία δίνη) σε σχέση με το ελάχιστο k όταν δεν έχω περιστροφή που ήταν ίσο με μηδέν (Σχήμα 3.5). 35 3.5 30 7.5 5.5 0 0 30 40 50 Σχήμα 3.5 : Γραφική παράσταση της Energeia[k] συναρτήσει του k για n0=0 και e=0.05. Έχουμε ελάχιστη ενέργεια E= 8.365 στο k= 4.90943 Όμως όταν έχω περιστροφή π.χ για e=0.05 και αρκετά μεγάλο n0 τότε υπάρχουν δύο ελάχιστα και το απόλυτο ελάχιστο είναι στο μεγάλο k. Αυτό συμβαίνει γιατί το σύστημα αμφιταλαντεύεται μεταξύ του να έχει ένα πλέγμα πολλών δινών, όλων με k=, ή μία δίνη με μεγάλο k (Σχήμα 3.6 και Σχήμα 3.7). 350 3000 750 500 50 000 750 3 4 5 6 Σχήμα 3.6 : Γραφική παράσταση της Energeia[k] συναρτήσει του k για n0=000 και e=0.05. Έχουμε ελάχιστη ενέργεια E= 409.4 στο k= 0.6773 4

30000 8000 6000 4000 000 00 00 300 400 500 600 Σχήμα 3.7 : Γραφική παράσταση της Energeia[k] συναρτήσει του k για n0=000 και e=0.05. Έχουμε ελάχιστη ενέργεια E= 904.5 στο k= 07.744 Άρα αυτός ο υπολογισμός παρέχει ενδείξεις ότι σε μεγάλα n0 μπορεί να εμφανισθεί γιγαντιαία δίνη. 4

Κεφάλαιο 4 Αριθμητικά και Πειραματικά Δεδομένα για Δακτυλίους Δινών 43

Θεωρούμε ένα γρήγορα περιστρεφόμενο συμπυκνωμένο Bose αέριο σε μια αρμονική παγίδα. Το συμπύκνωμα αποκτά τότε δακτυλιοειδή γεωμετρία με την υπέρθεση ενός πλέγματος δίνης. Με την αύξηση του ρυθμού περιστροφής το πλέγμα εξελίσσεται σε ένα δαχτυλίδι δινών. Ενδιαφέρον έχει η μετάβαση από την κατάσταση αυτή στη γιγαντιαία δίνη, κατάσταση στην οποία η κυκλοφορία γίνεται μόνο από μια κεντρική δίνη. Με την ανάλυση της Gross-Pitaevskii ενέργειας, έχουμε τη δυνατότητα να καταγράψουμε την αλλαγή φάσης μεταξύ των δύο αυτών καταστάσεων, ως συνάρτηση του ρυθμού περιστροφής και των διάφορων παραμέτρων για παγιδευμένα αέρια. Ο συνδυασμός αρμονικού, φυγοκεντρικού και τεταρτοβάθμιου δυναμικού δημιουργούν ένα μεξικάνικο δυναμικό καπέλο και η μέση πυκνότητα αποκτά ένα τοπικό ελάχιστο επί του άξονα συμμετρίας της παγίδας. Εντός μιας ανάλυσης Thomas-Fermi, η κεντρική πυκνότητα πηγαίνει στο μηδέν σε κάποια γωνιακή ταχύτητα, πέρα από την οποία το συμπύκνωμα παίρνει μια δομή δακτυλιοειδή. Οι υπολογισμοί περιγράφουν μια δομή στην οποία ένας δακτύλιος των δινών περιβάλλει μια κεντρική οπή που περιέχει μία πολλαπλώς κβαντισμένη δίνη. Με την αύξηση του ρυθμού περιστροφής, μια νέα κατάσταση ευνοείται στην οποία όλη η κυκλοφορία γίνεται από ένα κεντρικό στρόβιλο. Αυτή η κατάσταση με πολυκβαντική κεντρική δίνη αναφέρεται ως γιγαντιαία δίνη. Για χαμηλές αλληλεπιδράσεις η ακτίνα του δακτυλίου συρρικνώνεται σε μέγεθος μέχρις ότου ο δακτύλιος απορροφάται από την κεντρική οπή. Η κατάσταση σε υψηλότερες αλληλεπιδράσεις φαίνεται να είναι διαφορετική, με τη δακτυλιοειδή διάταξη να είναι μετασταθής κατάσταση. Καθορίζουμε το μεταίχμιο μεταξύ των δύο αυτών καταστάσεων με την ελαχιστοποίηση της Gross- Pitaevskii ενέργειας της δακτυλιοειδούς σειράς, συγκρίνοντας με την αντίστοιχη ενέργεια της γιγαντιαίας κατάστασης δίνης. Αρχικά οι δίνες διατάσσονται σε ένα κανονικό πλέγμα, αλλά καθώς δημιουργείται κεντρική οπή το πλέγμα εξελίσσεται σε ομόκεντρους δακτυλίους δινών γύρω από την κεντρική οπή. Τελικά, ένας απλός δακτύλιος σχηματίζεται και η μετάβαση από την κατάσταση αυτή στην γιγαντιαία κατάσταση δίνης είναι η μετάβαση που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η γεωμετρία και οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την δακτυλιοειδή διάταξη απεικονίζονται στο Σχήμα 4.. Σχήμα 4.: Δακτυλιοειδής διάταξη Ο Alexander Fetter μελέτησε ένα δισδιάστατο ταχέως περιστρεφόμενο συμπύκνωμα Bose-Einstein σε μια αναρμονική παγίδα με τεταρτοβάθμιο δυναμικό παγίδας, αναλυτικά με την προσέγγιση Thomas-Fermi και «Transition to the Giant Vortex State in an Harmonic Plus Quartic Trap», PhysRevA.73.0364, Aug 005, H.Fu and E.Zaremba 44

αριθμητικά με την πλήρη χρονανεξάρτητη Gross-Pitaevskii εξίσωση. Το τεταρτοβάθμιο δυναμικό επιτρέπει στην ταχύτητα περιστροφής Ω να υπερβεί την ακτινική αρμονική συχνότητα ω. Στο σύστημα Ω ω, το συμπύκνωμα περιέχει μια πυκνή διάταξη στροβιλισμού. Σε μια κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα ω, μια κεντρική οπή εμφανίζεται στο συμπύκνωμα. Αριθμητικές μελέτες επιβεβαιώνουν την προβλεπόμενη τιμή του Ω, ακόμη και για τις παραμέτρους της αλληλεπίδρασης που δεν είναι στο όριο Thomas-Fermi. Η συμπεριφορά του έχει επίσης διερευνηθεί σε μεγάλες γωνιακές ταχύτητες, όπου το σύστημα αναμένεται να υποβληθεί σε μια μετάβαση σε μια γιγαντιαία δίνη. Η ανάπτυξη των πειραματικών τεχνικών για τη δημιουργία μιας μονής δίνης σε αραιό παγιδευμένο συμπύκνωμα Bose-Einstein (BEC), οδήγησε κατόπιν σε μεγαλύτερες σειρές που περιέχουν έως και αρκετές εκατοντάδες δίνες. Συνήθως αυτά τα συμπυκνώματα περιστρέφονται γρήγορα, με γωνιακές ταχύτητες που πλησιάζουν την ακτινική συχνότητα παγίδας του ταλαντωτή. Η προκύπτουσα φυγόκεντρη επίδραση εξασθενεί σημαντικά τον ακτινικό περιορισμό, έτσι ώστε το συμπύκνωμα να διαστέλλεται ακτινικά και αξονικά να συρρικνώνεται. Ο Fetter μελέτησε αριθμητικά συμπυκνώματα που περιστρέφονται ταχύτατα, χρησιμοποιώντας την πλήρη εξίσωση Gross-Pitaevskii. Η αδιάστατη δισδιάστατη χρόνο-εξαρτώμενη Gross-Pitaevskii εξίσωση είναι Όπου r = x + y, ψ είναι κανονικοποιημένη και λ είναι μια αδιάστατη σταθερά που χαρακτηρίζει την ανάμιξη του τεταρτοβάθμιου δυναμικού. Η Εξίσωση αυτή μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά με κάποια αρχική κυματοσυνάρτηση σε φανταστικό χρόνο, όπου κάποιος κάνει απλά την αντικατάσταση t -it. Στη συνέχεια, πάνω από ένα κατάλληλο χρονικό διάστημα, το σύστημα χαλαρώνει στην θεμελιώδη κατάσταση με τη δεδομένη γωνιακή ταχύτητα. Για αρκετά μεγάλες γωνιακές ταχύτητες, αυτή η θεμελιώδης κατάσταση θα περιέχει μία ή περισσότερες δίνες, που τελικά διατάσσονται σε ένα τριγωνικό πλέγμα. Για να αρθούν τυχόν υπολειμματικές συμμετρίες στο σύστημα, προστίθεται τυχαίος θόρυβος στην αρχική κυματοσυνάρτηση. Σε φανταστικό χρόνο, οι δίνες εμφανίζονται στην άκρη του συμπυκνώματος πριν από τη διείσδυση και χαλαρώνουν μέσα στο πλέγμα, παρόμοια με τον πραγματικό χρόνο. 45

Σχήμα 4.: Χαρακτηριστικά πυκνότητας ενός περιστρεφόμενου συμπυκνώματος για g=80 και λ=0.5 για a) Ω=, b) Ω=., c) Ω=.5, d) Ω=.5 e) Ω=3 f) Ω=3.5 Σχήμα 4.3: Χαρακτηριστικά πυκνότητας ενός περιστρεφόμενου συμπυκνώματος για g=000 και λ=0.5 για a) Ω=, b) Ω=3, c) Ω=3.5, d) Ω=4 e) Ω=4.5 f) Ω=5 Το Σχήμα 4. δείχνει την πυκνότητα του συμπυκνώματος καθώς αυξάνει η γωνιακή ταχύτητα, για g=80 και λ=0.5. Για πολύ μικρή δύναμη αλληλεπίδρασης, η προσέγγιση Thomas-Fermi δεν θα πρέπει να είναι ιδιαίτερα καλή (για παράδειγμα, η μη μηδενική πυκνότητα εκτείνεται πέρα από τις συνηθισμένες ακτίνες TF). Σε μικρές γωνιακές ταχύτητες (Σχήμα 4. (a)), παρατηρεί κανείς ένα πλέγμα δίνης παρόμοιο με αυτό που παρατηρείται σε αρμονικές παγίδες, με μία μεμονωμένη κβαντισμένη δίνη στο κέντρο που περιβάλλεται από άλλες έξι σε ένα δαχτυλίδι. Στο Σχήμα 4. (b) με μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα, μια άλλη δίνη εμφανίζεται κοντά στην κεντρική, έως ότου, για Ω>.5 ενώνονται για να σχηματίσουν μια διπλή κβαντισμένη δίνη που περιβάλλεται από έναν δακτύλιο με μεμονωμένες κβαντισμένες δίνες (Σχήμα 4. (c)). Αυτή η κατάσταση αντιστοιχεί περίπου στην περίπτωση ενός πλέγματος δίνης με την οπή η οποία αναμένεται στο όριο μεγάλης αλληλεπίδρασης. Στη συνέχεια, καθώς το Ω αυξάνει ακόμη περαιτέρω, το μέγεθος της οπής και η κυκλοφορία γύρω από αυτή αυξάνονται (Σχήμα 4. (d)). Τελικά, οι δίνες στον εξωτερικό δακτύλιο υποχωρούν μέσα στην τρύπα. Το Σχήμα 4. (e) 46

δείχνει την προκύπτουσα πυκνότητα, όπου όλες οι δίνες κείνται στο εσωτερικό της τρύπας. Ωστόσο, δεν είναι όλη η κυκλοφορία που περιέχεται σε μια κεντρική πολλαπλώς κβαντισμένη δίνη, δεδομένου ότι οι άλλες δίνες διανέμονται γύρω από το κέντρο. Έτσι, αυτή η κατάσταση δεν μπορεί να χαρακτηριστεί πραγματικά μια γιγαντιαία δίνη. Στη συνέχεια, καθώς αυξάνει περαιτέρω η γωνιακή ταχύτητα, η κυκλοφορία απορροφάται εξ ολοκλήρου στην γιγαντιαία δίνη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4. (f). Σε αυτό το μικρό g, η προηγούμενη συζήτηση υπογραμμίζει ότι οι μεταβάσεις μεταξύ των τριών φάσεων (δίνη πλέγμα, πλέγμα με τρύπα, και γιγαντιαία δίνη) είναι κάπως σταδιακή. Για ισχυρότερη αλληλεπίδραση (g = 000) διαπιστώνει κανείς μια δίνη στο πλέγμα για Ω= όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.3 (a). Ωστόσο, για μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα μία πυκνότητα εμφανίζεται στο κέντρο του συμπυκνώματος, με μια σχετική αύξηση στο μέγεθος του πυρήνα των κεντρικών δινών (Σχήμα 4.3 (b)) για περίπου Ω 3.3. Το Σχήμα 4.3 (c) δείχνει μία τυπική διαμόρφωση με μία κεντρική οπή που περιβάλλεται από δύο σειρές δινών. Για περαιτέρω αύξηση του Ω η εσωτερική σειρά απορροφάται από την τρύπα έως ότου, να παραμείνει μία μόνο σειρά δινών. (Σχήμα 4.3 (f)). Για μεγαλύτερα Ω, διαπιστώνουμε ότι η εσωτερική και η εξωτερική ακτίνα του συμπυκνώματος αυξάνονται σε μέγεθος, αλλά η βασική δομή (μια τρύπα με ένα μόνο δακτύλιο των δινών) παραμένει η ίδια. Δεν βλέπουμε να υπάρχει μετάβαση στην κατάσταση γιγαντιαίας δίνης μέχρι και Ω=7, στην οποία δυστυχώς οι αριθμητικές μελέτες γίνονται πολύ δύσκολες. Παρ' όλα αυτά, αυτή η τιμή καθορίζει το κατώτερο όριο για την g για τη μετάβαση στη γιγαντιαία δίνη. Οι S. Stock, B. Battelier, V. Bretin, Z. Hadzibabic, και J. Dalibard Laboratoire Kastler Brossel μελέτησαν πειραματικά το Bose-Einstein συμπύκνωμα για γρήγορη περιστροφή. Παρουσιάσαν πρόσφατα αποτελέσματα σχετικά με την περιστροφή του ατομικού συμπυκνώματος Bose-Einstein με τεταρτοβάθμιο δυναμικό. Η μέθοδος που χρησιμοποίησαν συνίσταται στη χρήση μιας μηχανικής ανάδευσης του συμπυκνώματος. Για να γίνει αυτό, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το δυναμικό που δημιουργείται από ένα λέιζερ, ή από ένα μαγνητικό πεδίο. Η προσέγγιση ανάδευσης φαίνεται να είναι ευέλικτη και επιτρέπει την πυρήνωση του μεγάλου αριθμού των δινών. Χρησιμοποίησαν ρουβιδίου (87Rb) συμπυκνώματα Bose-Einstein τα οποία παράγονται σε κυλινδρική συμμετρική παγίδα Ioffe-Pritchard, με συχνότητα ω στο επίπεδο xy και ω z κατά μήκος του άξονα z. Έτσι, το δυναμικό μαγνητικής παγίδευσης έχει ως εξής: Τυπικά, ω ~ 0 ω z στο πείραμα, έτσι ώστε το σχήμα ισορροπίας του συμπυκνώματος να είναι ένα επίμηκες πούρο. Για ω z /π ~ 0 Hz και Ν ~ 3 x 0 5 άτομα ρουβιδίου στην παγίδα, το μήκος του πούρου είναι 00 μm και η διάμετρος του είναι 0 μm. «Rapid rotation of a Bose-Einstein condensate in a harmonic plus quartic trap», PhysRevA.7.03605, 4 Jule 004, Alexander L.Fetter, B.Jackson and S.Stringari 47

Ανακατεύουμε το συμπύκνωμα με μια δέσμη λέιζερ κατά μήκος του άξονα z. Η δοκός έχει διατομή ανισoτροπική και οι άξονες συμμετρίας εναλλάσσονται συχνά. Το χρονεξαρτημένο δυναμικό που δημιουργείται από τη δέσμη λέιζερ μπορεί να γραφτεί ως Η παράμετρος είναι μια αδιάστατη μέτρηση της σχετικής ισχύος της ανάδευσης και των μαγνητικών δυναμικών. Στην πράξη, έχει επιλεγεί ~ -0%. Εφαρμόζουμε το δυναμικό ανάδευσης επί του συμπυκνώματος για ένα κλάσμα του δευτερολέπτου, ώστε να μεταφέρει στροφορμή στο αέριο. Το συμπύκνωμα στη συνέχεια ισορροπεί στο κυλινδρικά συμμετρικό δυναμικό για περίπου δευτερόλεπτο. Το παγιδευμένο μαγνητικό πεδίο τότε απενεργοποιείται και το αέριο υποβάλλεται σε βαλλιστική επέκταση για μία περίοδο ~ 0 ms. Τέλος, μπορούμε να εκτελέσουμε απεικόνιση απορρόφησης κατά μήκος του άξονα περιστροφής z. Οι δίνες που έχουν πυρήνες σε αυτή τη διαδικασία εμφανίζονται στο Σχ.4.4. Σχήμα 4.4: Κβαντισμένες δίνες. Εικόνες απορρόφησης για Rb συμπύκνωμα Bose-Einstein. Η συχνότητα περιστροφής αυξάνεται από αριστερά προς τα δεξιά. Ένα αυθαίρετα μικρό ανισότροπο δυναμικό, που περιστρέφεται με συχνότητα, προστίθεται στο κύριο δυναμικό ισοτροπικής παγίδευσης. Στην παρουσία αυτού του δυναμικού ανάδευσης, το πλαίσιο περιστρέφεται και είναι η μόνη κατάσταση του συστήματος που είναι στάσιμη. Η Χαμιλτονιανή H σε αυτό το περιστρεφόμενο πλαίσιο συνάγεται από την χαμιλτονιανή στο πλαίσιο του εργαστηρίου ως Η-Ω Τα πειραματικά αποτελέσματα ελήφθησαν με Ν = 3 0 5 άτομα ρουβιδίου. Αυτό αντιστοιχεί σε μια κρίσιμη θερμοκρασία του T c =60nK για Ω=ω. Τα πειράματά εκτελέστηκαν με παρουσία εξάτμισης ραδιοσυχνοτήτων, η οποία απομακρύνει όλα τα άτομα σε μια απόσταση r μεγαλύτερο από x ev = 9 μm από το κέντρο. 3 3 «Bose-Einstein condensates in fast rotation», S Stock et al 005 Laser Phys. Lett. 75, S. Stock, B. Battelier, V. Bretin, Z. Hadzibabic, and J. Dalibard Laboratoire Kastler Brossel, 4 rue Lhomond, 75005 Paris, France 48

Ο σχηματισμός της γιγαντιαίας δίνης έρχεται περίπου σε μια σειρά από πολλά διαφορετικά στάδια, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.5. Για την επέκταση αυτής της αλληλουχίας της εικόνας, ένα ταχέως περιστρεφόμενο BEC σχηματίζεται πρώτα από εξατμιστική τεχνική με σπιν πάνω. Τότε το λέιζερ εφαρμόζεται με μια σταθερή ισχύ 8 fw για ένα μεταβλητό χρονικό διάστημα, από 0 ms μέχρι 45 ms. Αφαιρέσαμε τα μη συμπυκνωμένα άτομα που έχουν την τάση να επιβραδύνουν την περιστροφή του συμπυκνώματος. Στο Σχήμα 4.5 (α) δείχνει το αποτέλεσμα μόνον για τις εξατμιστικές καταστάσεις με σπιν πάνω. Αυτό το συγκεκριμένο συμπύκνωμα περιέχει 80 δίνες και έχει μία ακτίνα Thomas-Fermi 63.5μm όταν συγκρατείται στην παγίδα. Όταν το λέιζερ αφαίρεσης ατόμων εφαρμόζεται για 4 s όπως στο σχήμα 4.5 (β), ο αριθμός των δινών αυξάνεται σε 50 και η ακτίνα Thomas-Fermi έως 7μm. Ο ρυθμός περιστροφής, αυξήθηκε από Ω= 0.94ω μέχρι Ω= 0.97ω. Μετά από χρόνους αφαίρεσης ατόμων από 5 έως 0 s, το πλέγμα διαταράσσεται Σχήμα 4.5 (c, d) και η γιγαντιαία δίνη αρχίζει να αναπτύσσεται στο κέντρο Σχήμα 4.5 (ε, στ). Μια μεγεθυμένη όψη της περιοχής του πυρήνα σε αυτό το πρώιμο στάδιο του σχηματισμού γιγαντιαίας δίνης φαίνεται στο Σχήμα 4.5 (i), που δείχνει πολύ καλά τις μεμονωμένες δίνες στο κέντρο. Μεγαλύτεροι χρόνοι απομάκρυνσης φαίνονται στα Σχήματα 4.5 (g) και (h) όπου παρατηρείται μια σαφής ελλειπτική παραμόρφωση. Σχήμα 4.5: Τα διαφορετικά στάδια της διαδικασίας σχηματισμού της γιγαντιαίας δίνης. (α) Αφετηρία (β) - (h) Λέιζερ έλαμψε πάνω στο BEC για το (β) 4 s, (γ) 5 s, (δ) 0 s, (ε) s, (στ) 3 s, (ζ) 40 s, (h ) 70 s. Οι εικόνες που λαμβάνονται μετά την επέκταση 5,7 φορές του BEC. Η ισχύς του λέιζερ είναι 8 fw. (i) σε μεγέθυνση περιοχή πυρήνα του (στ). 4 4 «Vortices in a Highly Rotating Bose Condensed Gas» by I. R. Coddington, B.A., Reed College, 998, A thesis submitted to the Faculty of the Graduate School of the University of Colorado in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy Department of Physics 004 49