Συνάρτηση: διμελής σχέση R A B όπου για κάθε α Α, υπάρχει μοναδικό β Βτ.ω. (α, β) R. Α: πεδίο ορισμού. Β: πεδίο τιμών. R(α) = β: βεικόναα(ως προς R).

Σχετικά έγγραφα
Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Εισαγωγή στην ανάλυση

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ

Δ Ι Α Τ Ρ Ο Φ Η Κ Α Ι Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2005

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Θα ασχοληθώ με αυτό τον ορισμό χωρίζοντάς τον σε δύο κομμάτια χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι πρόκειται για δύο διαφορετικές διαδικασίες.

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις.

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/11/2012

ΘΕΜΑ 1 Ο Να επιλέξετε την φράση που συμπληρώνει ορθά κάθε μία από τις ακόλουθες προτάσεις:

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

( ( )) ( 3 1) 2( 3 1)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α. Να επιλέξετε την φράση που συμπληρώνει ορθά κάθε μία από τις ακόλουθες προτάσεις:

< και δεδομένου ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συμπεραίνουμε ότι

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1 + nx. 2 +nx n 1 + x n

e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές & Θεωρία με ερωτήσεις και αποδείξεις σε 55 σελίδες. Kglykos.

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συναρτήσεις. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β γράφουμε f Α Β και χ f (χ)

Διάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Τάσσος Δήμου. Μεθοδολογίες και λυμένες ασκήσεις. Λυμένα θέματα συναρτήσεων-μέρος Α. Εύρεση μονοτονίας σε απλές συναρτήσεις

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε2.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

ΑΝΑΛΥΣΗ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα.

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ)

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ


ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( )

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD RE52755

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Συνδυαστική Απαρίθμηση

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2018 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x 1 x 1 x 1

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Transcript:

Άδε αχρήσης Τ οπαρόνε πα δε υτ όυλ όυπό ε τ ασε άδε ε ςχ ρήσηςcr ea v ecommons. Γ αε πα δε υτ όυλ ό,όπωςε όν ε ς,που υπό ε τ ασεάδε αχ ρήσηςάλλ ουτ ύπου, αυτ ήπρέ πε ν ααν αφέ ρε τ αρητ ώς.

Συναρτήσες Συνάρτηση: δμελής σχέση R A B όπου γα άθε α Α, υπάρχε μοναδό β Βτ.ω. (α, β) R. Α: πεδίο ορσμού. Β: πεδίο τμών. R(α) = β: βεόναα(ως προς R). f συνάρτηση 1-1: α 1 α 2 f(α 1 ) f(α 2 ). εν υπάρχουν δύο στοχεία με ίδα εόνα. f συνάρτηση επί: γα άθε β Β, υπάρχε α Αμεf(α) = β. Κάθε στοχείο του Β είνα εόνα άποου στοχείου του Α. f αμφμονοσήμαντη: 1-1 α επί. f αντστοχία μεταξύ στοχείων Α α Β. Αντίστροφη f 1 είνα συνάρτηση ανν f αμφμονοσήμαντη. αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 2

Αρχή Περστερώνα Αν Α > Β, δεν υπάρχε 1-1 συνάρτηση από Α στο Β. Γα άθε συνάρτηση f, υπάρχουν α 1, α 2 Α τ.ω. f(α 1 ) = f(α 2 ). Αν n περστέρα σε m φωλές α n > m, φωλά με 2 περστέρα. Γα άθε συνάρτηση f από A στο Β, υπάρχουν α 1, α 2,..., α k Αμεf(α 1 ) = f(α 2 ) =... = f(α k ). Αν n περστέρα σε m φωλές, φωλά με περστέρα. Τετρμμένα παραδείγματα: Σε άθε σύνολο 13 ανθρώπων, υπάρχουν 2 γεννημένο ίδο μήνα. Στον όσμο ζουν 2 άνθρωπο γεννημένο το ίδο δευτερόλεπτο. Στην Ελλάδα ζουν 2 άνθρωπο γεννημένο το ίδο πεντάλεπτο. Σε άθε πάρτυ, υπάρχουν δύο αλεσμένο με τον ίδο αρθμό φίλων στο πάρτυ (υποθ: σχέση φίλος συμμετρή, όχ αναλαστή). αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 3

Παραδείγματα σύνολο 1000 δαφ. φυσών, υπάρχουν x y: 573 (x y). Ποσότητες που αντστοχούν σε «περστέρα» α «φωλές»; «Περστέρα»: 1000 φυσοί. «Φωλές»: 573 δαφορετές τμές γα n mod 573. Αν επλέξουμε n+1 δαφορετούς φυσούς υπάρχουν δύο που η δαφορά τους δαρείτα από το n. «Περστέρα»: n+1 επλεγμένο αρθμοί. «Φωλές»: n υπόλοπα δαίρεσης με n ({0, 1,, n-1}). ύο αρθμοί σε ίδα «φωλά»: δαφορά τους δαρείτα από n. αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 4

Παραδείγματα Γα άθε σύνολο 10 (δαφορετών) φυσών < 100, υπάρχουν δύο δαφορετά υποσύνολα με ίδο άθροσμα. «Περστέρα»: 2 10 1 = 1023 δαφορετά μη ενά υποσύνολα. «Φωλές»: Πθανές τμές γα αθροίσματα υποσυνόλων ( 946). Αν θεωρήσουμε 26 δαφορετά υποσύνολα του {1,..., 9} με 3 στοχεία το πολύ, δύο από αυτά έχουν το ίδο άθροσμα. «Περστέρα»: 26 δαφορετά υποσύνολα. «Φωλές»: Πθανές τμές γα αθροίσματα υποσυνόλων ( 25). αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 5

Παραδείγματα Αν 7 δαφορετοί αρθμοί επλεγούν από το {1, 2,..., 11}, 2 από αυτούς αθροίζοντα στο 12. «Περστέρα»: 7 επλεγμένο αρθμοί. «Φωλές»: 6 «ζευγάρα» αρθμών που αθροίζοντα στο 12. {1, 11}, {2, 10}, {3, 9}, {4, 8}, {5, 7}, {6}. {6} «δέχετα» έναν αρθμό το πολύ (μόνο το 6). Επλέγουμε α τους δύο αρθμούς άποου άλλου ζευγαρού. Αν n+1 δαφορετοί αρθμοί επλεγούν από το {1,..., 2n 1}, 2 από αυτούς αθροίζοντα στο 2n. «Περστέρα»: n+1 επλεγμένο αρθμοί. «Φωλές»: n «ζευγάρα» αρθμών που αθροίζοντα στο 2n. {n} «δέχετα» έναν αρθμό το πολύ (μόνο το n). αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 6

Παραδείγματα Αν επλέξουμε n+1 δαφορετούς φυσούς από {1, 2,..., 2n}, υπάρχουν δύο που είνα σχετά πρώτο. Αρεί νδο υπάρχουν δύο αρθμοί α, β: β = α+1. «Περστέρα»: n+1 επλεγμένο αρθμοί. «Φωλές»: n ζεύγη «δαδοχών» αρθμών στο {1, 2,..., 2n}. {1, 2}, {3, 4},..., {2n 1, 2n}. Αν επλέξουμε n+1 φυσούς από {1, 2,..., 2n}, υπάρχουν δύο που οέναςδαρείτονάλλο. «Περστέρα»: n+1 επλεγμένο αρθμοί. «Φωλές»: n περττοί αρθμοί στο {1, 2,..., 2n}. Αρθμός x στη «φωλά» mανν m μεγαλύτερος περττός δαρέτης του x (x = 2 k m, γα άποο k 0). Αρθμοί x α y στην ίδα «φωλά»: x = 2 k m α y = 2 s m, άρα είτε x y είτε y x. αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 7

Παραδείγματα Σε άθε αολουθία n 2 +1 δαφορετών αρθμών, είτε αύξουσα υπαολουθία μήους n+1 είτε φθίνουσα υπαολ. μήους n+1. Υπαολουθία προύπτε με δαγραφή άποων αρθμών. Αντστοχούμε αρθμό α k στο (x k, y k ). x k (y k ): μήους μεγαλύτερης αύξουσας (φθίνουσας) υπαολουθίας που αρχίζε στη θέση k. Αν όλα x k n α όλα y k n, #ζευγών n 2. Αρχή περστερώνα: υπάρχουν δύο αρθμοί α k α α s (k < s) που αντστοχούντα στο ίδο ζεύγος (x, y). Άτοπο: αν α k < α s, τότε x k > x s, ενώ αν α k > α s, τότε y k > y s. αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 8

Αρθμοί Ramsey Σε άθε σύνολο 6 ανθρώπων, είτε 3 φίλο είτε 3 άγνωστο. Γα άθε χρωματσμό αμών στο Κ 6 με μπλε α όνο, υπάρχε μονοχρωματό K 3. Υπάρχε άνθρωπος α που έχε είτε 3 φίλους είτε 3 αγνώστους. Χβτγ. υποθέτουμε ότ αέχε3 φίλους: β, γ, δ. Αν στους β, γ, δδύοφίλο(π.χ. β. γ): έχουμε 3 φίλους (α, β, γ). Αν στους β, γ, δ όλο άγνωστο: έχουμε 3 άγνωστους (α, β, γ). R(m, s) = ελάχστο n τ.ω γαάθε χρωματσμό αμών του K n με μπλε α όνο, υπάρχε είτε μπλε K m είτε όνο K s. R(m, s) = R(s, m) α R(m, s) R(m 1, s) + R(m, s 1). Αντίστοχα γα περσσότερα από 2 χρώματα. χρωματσμό αμών ενός μεγάλου πλήρους γραφήματος, υπάρχε μονοχρωματό πλήρες υπογράφημα επθυμητού μεγέθους. αρτά Μαθηματά (Άνοξη 2015) Αρχή του Περστερώνα 9