xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα.

Transcript

1 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Να αποδειχθει οτι : Η συναρτηση f με f() ειναι γνησιως αυξουσα. Για ισχυουν : d αι d. Η f εχει πεδιο ορισμου το Α[, ) αι ειναι συνεχης σε αυτο. Αομη για αθε (, ) ειναι f () >, οποτε η f ειναι γνησιως αυξουσα στο Α. [,]: ( )d d d d () [,]: d d [()] d. ( )d d d. d d Δινεται η συναρτηση f με f() α β, (α, β ) η οποια μηδενιζεται στο αι παρουσιαζει τοπιο αροτατο στο o. Να βρεθουν τα α, β. Να βρεθει το ειδος του αροτατου αι η τιμη του. d d Το πεδιο ορισμου της f ειναι το Α {}, ειναι παραγωγισιμη σε αυτο με α f (). Επειδη η f εχει τοπιο αροτατο στο o, συμφωνα με το θεωρημα Fermat θα ειναι f () 4 α α8. 4 Επειδη η f μηδενιζεται στο θα ειναι f() αβ 6β β7. Για α8 αι β7 εχουμε: f() 6 3 7, f () 6 ( 8) 3 ( 8) οποτε f ()> > 3 8> > αι f ()< <. Αρα η f παρουσιαζει τοπιο ελαχιστο στη θεση o, το f()4875. Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/

2 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 3 Δινεται η συναρτηση f με f()ημ( π ) αι πεδιο ορισμου το διαστημα [ π 4, π 4 ]. Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της γραφιης παραστασης της f στο σημειο o π 8. Να υπολογιστει το εμβαδον του χωριου που περιλειεται απο την παραπανω εφαπτομενη, τη γραφιη παρασταση της f αι απο τους θετιους ημιαξονες Ο, Oy. Για αθε [ π 4, π 4 ] ειναι : f()ημ( π )ημ( π ())συν()συν() f ()ημ()() ημ(). Εχουμε f( π 8 )συν π 4 αι f ( π 8 )ημ π 4. Η ζητουμενη εξισωση της εφαπτομενης ειναι y f( π 8 )f ( π 8 )( π 8 ) y ( π π ) y 8 8. Εστω Α, Β τα σημεια τομης της C f αι Γ, Δ τα σημεια τομης της εφαπτομενης με τους θετιους ημιαξονες Ο, Oy. Ειναι f ()4συν()< για αθε (, π ), οποτε η f στρεφει τα οιλα ατω 4 στο [, π 4 ] αι συνεπως η εφαπτομενη βρισεται πανω απο την C f (με εξαιρεση το σημειο επαφης). y Δ Β Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/ Ο Α Γ Το ζητουμενο εμβαδο Ε ειναι ισο με το εμβαδο του τριγωνου ΟΓΔ μειον το εμβαδο του χωριου που περιλειεται απο την C f αι τους θετιους ημιαξονες Ο, Oy. Η f ειναι συνεχης στο [, π 4 ] οποτε Ε (ΟΓ)(ΟΔ) π 4 συν()d ( π 8 )( π O 8 )[ ημ()] π 4 ( π 8 ) τ.μ.

3 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 3 4 Eστω f, g συναρτησεις με πεδιο ορισμου ενα διαστημα Δ, για τις οποιες υποθετουμε οτι : i) ειναι δυο φορες παραγωγισιμες στο Δ, ii) f g, iii) Δ αι f()g(). Να δειχθει οτι : Για αθε Δ, f()g()c οπου c. Αν η f() εχει δυο ετεροσημες ριζες ρ, ρ, τοτε η g() εχει τουλαχιστον μια ριζα στο [ρ, ρ ]. 5 Για αθε Δ εχουμε: f ()g () f ()g ()c, c f ()(g()c) f()g()cc, c. Για εχουμε:f()g()cc c, λογω της (iii). Αρα για αθε Δ, f()g()c f()g()c Λογω του ( ειναι g()f()c. Η g ειναι συνεχης στο Δ αρα αι στο [ρ,ρ ] Δ αφου ειναι παραγωγισιμη στο Δ. Ειναι αομη f(ρ )f(ρ ), οποτε: g(ρ )g(ρ )(f(ρ )cρ )(f(ρ )cρ )(cρ )(cρ )c ρ ρ, αφου οι ριζες ρ, ρ ειναι ετεροσημες. Αν g(ρ )g(ρ )< τοτε συμφωνα με το θεωρημα του Bolzano η g() εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (ρ, ρ ). Αν g(ρ )g(ρ ) g(ρ ) ή g(ρ ), ετσι η g() εχει ριζα την ρ ή την ρ. Τελια λοιπον η g() εχει τουλαχιστον μια ριζα στο [ρ, ρ ]. Να εξετασετε αν η συναρτηση f με f() 3 5 6, ειναι παραγωγι 3, > σιμη στο σημειο o. Ειναι : f() f() f() f() (3) αι 3 4 ( 3 4) ( )( 3 ) Horner 3 5 ( 3 )( 3 ) ( )( 3 ) ( )( ) ( )( 3 ) ( )(3 ) ( ). 3 f() f() f() f() Αρα, επομενως η f ειναι παραγωγισιμη στο σημειο o με f (). Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/

4 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 4 6 Εστω συναρτηση f με f()3 3 α β3, οπου α, β. Εαν η f εχει τοπια αροτατα στα αι 5, τοτε να βρεθουν οι αριθμοι α, β. 9 Η f ως πολυωνυμιη ειναι παραγωγισιμη στο αι ειναι f ()9 αβ. Επειδη η f εχει τοπια αροτατα στα αι 5, συμφωνα με το θεωρημα 9 του Fermat θα ειναι f () αι f ( 5 9 ). 7 8 Ειναι: f () 9 αβ αβ9 () f ( 5 5 ) α( 5 )β α9β5 () 9 Λυνοντας το συστημα των () αι () βρισουμε α αι β5. Εστω C η γραφιη παρασταση της συναρτησης f με f()α 3 β 9.Να προσδιορισετε τα α,β ετσι ωστε το σημειο Α(,) να ανηει στη C αι η εφαπτομενη της C στο Α να εχει συντελεστη διευθυνσης τον αριθμο 3. Ειναι: A C f() α 3 β 9 αβ4 () Αομη f ()3α β9,. Επειδη ο συντελεστης διευθυνσης ειναι 3 θα εχουμε f ()3 3α β93 3αβ3. () Απο το συστημα των (), () βρισουμε α αι β6. Να βρεθει το οριο της συναρτησης f στο με f()( ) Επειδη για αθε ειναι 63 5> (Δ<, 63>) αι για αθε > ειναι >, > ως αθροισματα θετιων αριθμων η f οριζεται στο (, ) επομενως : f() [( ) 63 5 ] 4 4 [(7 6 5) (7 3 3)] (3 ) (3 ) (3 ) ( 7 7 ) (3 ) Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/

5 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 5 9 Δινεται η συναρτηση f με f() Εστω C η γραφιη παρασταση της συναρτησης f. Να αποδειχτει οτι υπαρχουν τρια σημεια Α,Β,Γ C, τετοια ωστε οι εφαπτομενες της C στα Α,Β,Γ να ειναι παραλληλες προς τον αξονα. Για να δειξουμε οτι υπαρχουν τρια σημεια Α,Β,Γ C, τετοια ωστε οι εφαπτομενες της C στα Α,Β,Γ να ειναι παραλληλες προς τον αξονα, αρει να δειξουμε οτι η εξισωση f () εχει τρεις λυσεις στο. Πραγματι: f () ( 3 76) Horner 4()( 6), αι f () 4()( 6) ( ή 6) ή ή 3. Να πρoσδιορισετε τα α, β ωστε η συναρτηση f με 3αe, f() α 3β, < <, να ειναι συνεχης στο. βημ ασυν, Η f ειναι συνεχης στα διαστηματα (,), (,), (, ) ως αθροισμα συνεχων συναρτησεων. Για να ειναι συνεχης αι στα σημεια αι πρεπει f() f()f() αι f() f()f(). Εχουμε : f() (3αe )3αe ()3α, f() (α3()α()3βα3β, f() 3αe()3α. Αρα πρεπει 3αα3β α3β3 () f() (α33β, f() (βημασυν) β α α, f()α. Αρα πρεπει α3β α3β () Λύνοντας το συστημα των (), () βρισουμε α4 αι β 5 3. Δινεται η συναρτηση f με f() ,. Να βρειτε τα αροτατα της συναρτησης f. Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/ Εχουμε f ()6 6366( 6), f () 6 ή 3. f ()> 6( 6)> <3 ή > f ()<... (3,) Αρα f παρουσιαζει στη θεση 3 τοπιο μεγιστο το f(3)7 ενω στη θεση παρουσιαζει τοπιο ελαχιστο το f() 46. Τα αροτατα αυτα δεν ειναι ολια αφ ου f() αι f().

6 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 6 Εστω η συναρτηση f με f()(α 3 )3 (α ) 7,. Να βρειτε το α ωστε η f να παρουσιαζει αμπη στο 3. Μετα για την τιμη αυτη του α, να σχηματισετε τον πιναα μεταβολων της f. Για αθε εχουμε: f ()3(α 3 ) (α )(3α) ( αι f ()(3α)(. Για να παρουσιαζει η f αμπη στο 3, πρεπει f ( 3 ) (3α) 3 ( α. Για α, f ()3, οποτε f ()> > 3 αι f ()< < 3. Αρα η ζητουμενη τιμη του α ειναι το. Στη συνεχεια για α εχουμε: f() , f () 3, f ()3. f () 3 ή 5. To προσημο της f () αι της f () φαινεται στον πιναα που αολουθει: 3/ 5 f () f () f() τ.μ. σ.. τ.ε. η f ειναι γ.αυξουσα στα (,), (5, ) αι γ.φθινουσα στο [,5] f παρουσιαζει τ.μεγιστο στο το f() 55 3 η f στρεφει τα οιλα ατω στο (, 3 ) αι ανω στο [ 3, ) η C f εχει σημειο αμπης το ( 3, f( 3 )) δηλαδη το ( 3 Επισης f() αι f()., τ.ελαχιστο στο 5 το f(5) 33 6, 4 4 ). Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/ 3 Να βρεθει το οριο της συναρτησης f()(3), στο. Επειδη πρεπει αι ισχυει 3 () >, το πεδιο ορισμου της f ειναι το A {}. Εχει νοημα λοιπον η αναζητηση του οριου της f στο. Εχουμε f()( 3) e ln( 3),.

7 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) ln( 3) Θα βρουμε αρχια το οριο της συναρτησης g() στο. Ειναι ln( 3) lny (θεσαμε y 3, οποτε αν τοτε αι y ) αι ln( 3) Αρα εχουμ ε y. f() 3 ( 3)' ()' ln( 3) e e. 3 Δινεται η συναρτηση f με f() 3 6 9,. Να βρεθουν τα διαστηματα μονοτονιας της f αι το ειδος μονοτονιας σε αθενα απο αυτα, αθως αι τα τοπια μεγιστα αι ελαχιστα. Επισης να βρεθουν τα διαστηματα στα οποια η γραφιη παρασταση της f στρέφει: ( τα οιλα ανω, ( τα οιλα ατω. Αομα να βρεθουν τα ενδεχομενα σημεια αμπης. Ειναι f ()3 93( 43), αι f () 43 ή 3. f ()66(), αι f (). To προσημο της f () αι της f () φαινεται στον πιναα που αολουθει: 3 f () f () f() τ.μ. σ.. τ.ε. η f ειναι γ.αυξουσα στα (,), (3, ) αι γ.φθινουσα στο [,3] f παρουσιαζει τ.μεγιστο στο το f)5, τ.ελαχιστο στο 3 το f(3) η f στρεφει τα οιλα ατω στο (,) αι ανω στο [, ) η C f εχει σημειο αμπης το (, f()) δηλαδη το (,3). Δινεται η συναρτηση f με f() (3)4,.Έστω, ειναι τα σημεια στα οποια η f παρουσιαζει τοπια αροτατα αι 3 το σημειο στο οποιο παρουσιάζει αμπή. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου (,f( )), (,f( )), ( 3,f( 3 )) ειναι συνευθειαα. Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/ Ειναι f() αι f ()3 6, f ()66,. Εχουμε f () 3 6 3() ή. Στις θεσεις, η f () αλλαζει προσημο αφου ειναι τριωνυμο β βαθμου με διαφορετιες ριζες. Αρα στις θεσεις αι η f παρουσιαζει τοπια αροτατα. Αομη f () 66. Στη θεση 3 η f παρουσιαζει αμπη αφου η f () αλλαζει εει προσημο.

8 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 8 Εχουμε f()4, f(), f(). Η εξισωση της ευθειας που διερχεται απο τα σημεια (,f( )), (,f( )), δηλαδη τα (,4), (,) ειναι y4 4 () y4 () Η () επαληθευεται απο τις συντεταγμενες του σημειου ( 3, f( 3 )), δηλαδη του (,) αφου. 4, αληθες. Αρα τα σημεια (,f( )), (,f( )), ( 3,f( 3 )) ειναι συνευθειαα. 6 Εστω η πραγματιη συναρτηση ψ της πραγματιης μεταβλητης με ψ() 4. Να βρειτε το πεδιο ορισμου της ψ. Να εξετασετε την ψ ως προς τη μονοτονια. γ) Να βρειτε το συνολο τιμων της ψ. Πρεπει, οποτε το πεδιο ορισμου της ψ ειναι το Α {}. Για αθε εχουμε ψ ()() ( 4 ) 4 4. ψ () 4 ή. Το προσημο της ψ φαινεται στον παραατω πιναα : ψ () ψ() Η ψ ειναι γνησιως αυξουσα στα διαστηματα (,], [, ) αι γνησιως φθινουσα στα (,), (,). γ) Η ψ ειναι συνεχης στο Α αι λογω της μονοτονιας της, τα επιμερους συνολα τιμων ειναι : ψ((,])( ψ(),ψ()](,4] ψ((,))( ψ(), ψ())(,4) ψ((,))( ψ(), ψ())(4, ) ψ([, ))[ψ(), ψ())[4, ). Αρα το συνολο τιμων της ψ ειναι το (,4] (,4) (4, ) [4, )(,4] [4, ). Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/

9 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 9 7, για τις διαφορες τι λ Να βρειτε το οριο της συναρτησης f() λ 3 μες του λ (, ). Διαρινουμ ε τις περιπτωσεις: 8 αν λ (,) τοτε < λ < αι ( λ ), οποτε λ ( ) f() 4 λ ( ) αν λ τοτε f() 6, οποτε f() αν λ> τοτε < < αι ( λ λ ), οποτε ( ) f() λ 3 3. ( ) λ Η συναρτηση f, ορισμενη αι συνεχης στο λειστο διαστημα [α,β], ειναι παραγωγισιμη στο ανοιχτο διαστημα (α, αι f(f(. Να αποδειχτει: για τη συναρτηση F() f() c, οπου c [α,β], οτι υπαρχει c o (α, τετοιο ωστε F ( c o ). αν c [α,β], οτι υπαρχει c o (α, τετοιο ωστε η εφαπτομενη στο σημειο (c o,f(c o )) της γραμμης με εξισωση yf() διερχεται απο το σημειο (c,). Επειδη c [α,β] η F οριζεται στο [α,β]. Η F ειναι συνεχης στο [α,β] ως πηλιο συνεχων συναρτησεων αι παραγωγισιμη στο (α, ως πηλιο παραγωγισιμων f'()( c) f()( c)' f'()( c) f() συναρτησεων με F (). ( c) ( c) Αομη F( f( α c, F( f( β c. Συμφωνα με το θεωρημα του Rolle για την F υπαρχει c o (α, τετοιο ωστε F (c o ). Η εξισωση της εφαπτομενης της γραμμης με εξισωση yf() στο σημειο (c o,f(c o )) ειναι yf(c o )f (c o )(c o ), οπου c o ειναι αυτο του ( ερωτηματος. f'(c )(c c) f(c ) o o o Ειναι F (c o ), οποτε f (c o )(c o c)f(c o ) () (c c) o Η εφαπτομ ενη της γραμμης με εξισω ση yf() διερχεται απ το σημ ειο (c,) : f(c o )f (c o )(cc o ) f (c o )(c o c)f(c o ), αληθης λογω της (). Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/

10 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) 9 Να αποδειχθει οτι για αθε > ισχυει η σχεση : ln. Εστω η συναρτηση f ορισμενη στο διαστημα [, ) με ln, < f(),. Να αποδειχθει οτι :, i) η f ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της, ii) ειναι φθινουσα στο διαστημα (, ) αι iii) f (). Θεωρουμε τη συναρτηση g()ln, >.Ειναι g ()(ln) () (), >. g () αι g ()> <<, g ()< >. Στη θεση ο η g παρουσιαζει ολιο μεγιστο το g()ln. Ετσι για αθε > θα ειναι g() g() ln οποτε ln. i)η f ειναι συνεχης στο (,) (, ) ως πηλιο συνεχων συναρτησεων. ln f() ln (ln)' ( )' αρα η f ειναι συνεχης στο. Αομη ln ln (ln)' f() ( )' ()f(), (ln)lnf(), αρα η f ειναι συνεχης στο. Τελια η f ειναι συνεχης στο [, ). ii) Για αθε (,) εχουμε (ln)'( ) ln( )' f () ( ) (ln )( ) ln ( ) ln. ( ) Συμφωνα με το ( ερωτημα για αθε > : ln ln με το να ισχυει μoνο για. Aρα για aθε (,): ln<, επομενως f ()<, δηλαδη η f ειναι γνησιως φθινουσα, αρα αι φθινουσα στο (,). iii) Θα χρησιμοποιησουμε τον ορισμο της π αραγωγου. Εχουμε : f() f() ln ( ) ln () (ln)' (( ))' ln ( ) (ln )' (( ) )'. Αρα f (). ln ( )( )' Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/

11 Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Να βρεθει το οριο της συναρτησης f στο με f() ( ). Η f οριζεται στο (, ), αρα εχει νοημα η αναζητηση του οριου της στο. Για >, έχουμε Αρα ln e αι ln e. Αομη ( ln) ( ) ( ) Ετσι οδηγουμαστε σε απροσδιοριστη μορφη ( ). Οποτε: f() e ln ln, > αι εχουμε [ ( ( (ln)' ()' )] ). e ln [( )] ln( ). e, αφου ( ). Κανε την επισεψ η σου στο : rmaths58.blogs pot.com/