Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων."

Transcript

1 Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Για καθεμία από τις ανισότητες Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. x + > 2, x x +, x x+2 > x+3 3x+, (x )(x 3) (x 2) 2 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο των x για τα οποία αυτή είναι αληθής. Λύση: (i) Η ανισότητα x + > 2 λέει ότι η απόσταση του x από το είναι μεγαλύτερη από 2. Άρα αληθεύει για τα στοιχεία του συνόλου (, 3) (, + ). (ii) Η ανισότητα x x + λέει ότι η απόσταση του x από το είναι μικρότερη ή ίση της απόστασης του x από το. Άρα αληθεύει για τα στοιχεία του συνόλου [0, + ). (iii) Θα χειριστούμε την ανισότητα x x+2 > x+3 3x+ αλγεβρικά. Δεν θα πολλαπλασιάσουμε με το γινόμενο των παρονομαστών για να αποφύγουμε τις περιπτώσεις με το πρόσημό του. x x+2 > x+3 3x+ x x+2 x+3 3x+ > 0 2(x2 2x 3) (x+2)(3x+) > 0 2(x 3)(x+) (x+2)(3x+) > 0 (x 3)(x + )(x + 2)(3x + ) > 0. Η πολυωνυμική παράσταση στην τελευταία ανισότητα μηδενίζεται στα 2,, 3, 3. Άρα η ανισότητα αληθεύει για τα στοιχεία του συνόλου (, 2) (, 3 ) (3, + ). (iv) Θα χειριστούμε και την ανισότητα (x )(x 3) 0 αλγεβρικά. Αυτή η ανισότητα είναι (x 2) 2 πιο απλή από την προηγούμενη. Κατ αρχάς πρέπει να είναι x 2 και άρα (x 2) 2 > 0. Άρα (x )(x 3) 0 (x )(x 3) 0 και x 2. (x 2) 2 Άρα η ανισότητα αληθεύει για τα στοιχεία του συνόλου [, 2) (2, 3]. 2. Λύστε τις εξισώσεις cos x = 2, sin x = 3 2, cot x =, tan x = 3. Λύση: (i) Η συνάρτηση = cos x είναι 2π-περιοδική. Στο διάστημα [0, 2π) η εξίσωση cos x = 2 έχει δύο λύσεις: x = 3π 4 και x = 2π 3π 4 = 5π 4. Άρα η εξίσωση έχει λύσεις τις x = 3π 4 + 2kπ για k Z και τις x = 5π 4 + 2kπ για k Z. (ii) Η συνάρτηση = sin x είναι 2π-περιοδική. Στο διάστημα [0, 2π) η εξίσωση sin x = 3 2 έχει δύο λύσεις: x = π 3 και x = π π 3 = 2π 3. Άρα η εξίσωση έχει λύσεις τις x = π 3 + 2kπ για k Z και τις x = 2π 3 + 2kπ για k Z. (iii) Η συνάρτηση = cot x είναι π-περιοδική. Στο διάστημα (0, π) η εξίσωση cot x = έχει μία λύση: x = 3π 4. Άρα η εξίσωση έχει λύσεις τις x = 3π 4 + kπ για k Z.

2 (iv) Η συνάρτηση = tan x είναι π-περιοδική. Στο διάστημα ( π 2, π 2 ) η εξίσωση tan x = 3 έχει μία λύση: x = π 3. Άρα η εξίσωση έχει λύσεις τις x = π 3 + kπ για k Z. 3. Αποδείξτε ότι cos x = tan2 (x/2) +tan 2 (x/2) και sin x sin = 2 cos(x ) 2 cos(x + ). Λύση: tan 2 (x/2) +tan 2 (x/2) = cos2 (x/2) sin 2 (x/2) cos 2 (x/2)+sin 2 (x/2) = cos2 (x/2) sin 2 (x/2) = cos x. 2 cos(x ) 2 cos(x + ) = 2 (cos x cos + sin x sin cos x cos + sin x sin ) = sin x sin. 4. Βρείτε τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων = 2x x+4, = x2 + x 2, = log 0 x + 4, = e 2x + 2e x + 3. Λύση: (i) Το πεδίο ορισμού της = 2x x+4 είναι το (, 4) ( 4, + ). Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία η εξίσωση = 2x x+4 με άγνωστο το x έχει τουλάχιστον μία λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Θεωρούμε δοσμένο το και λύνουμε με άγνωστο το x 4 την εξίσωση: 2x x+4 = 2x = x + 4 (2 )x = + 4. Αν = 2, η εξίσωση δεν έχει λύση. Αν 2, η εξίσωση έχει την λύση x = +4 2 και ελέγχουμε εύκολα ότι αυτή η λύση είναι 4. Άρα το σύνολο τιμών είναι το (, 2) (2, + ). (ii) Το πεδίο ορισμού της = x2 + είναι το (, ) (, ) (, + ). x 2 Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία η εξίσωση = x2 + με άγνωστο το x έχει τουλάχιστον μία λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. x 2 Θεωρούμε δοσμένο το και λύνουμε με άγνωστο το x ± την εξίσωση: x 2 + x 2 = x2 + = x 2 ( )x 2 = +. Αν =, η εξίσωση δεν έχει λύση. Αν, η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα x 2 = +. 2

3 Αν + + < 0, η εξίσωση δεν έχει λύση. Αν 0, η εξίσωση έχει τις λύσεις x = ± + και ελέγχουμε εύκολα ότι αυτές οι λύσεις είναι ±. Άρα το σύνολο τιμών αποτελείται από τα για τα οποία ισχύει + 0 ή, ισοδύναμα, ( + )( ) > 0 και. Επομένως το σύνολο τιμών είναι το (, ] (, + ). (iii) Το πεδίο ορισμού της = log 0 x + 4 είναι το (0, + ). Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία η εξίσωση = log 0 x + 4 με άγνωστο το x έχει τουλάχιστον μία λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Θεωρούμε δοσμένο το και λύνουμε με άγνωστο το x > 0 την εξίσωση: log 0 x + 4 = log 0 x = 4 x = 0 4. Η λύση x = 0 4 είναι προφανώς > 0 για κάθε. Άρα το σύνολο τιμών είναι το (, + ). (iv) Το πεδίο ορισμού της = e 2x + 2e x + 3 είναι το (, + ). Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία η εξίσωση = e 2x + 2e x + 3 με άγνωστο το x έχει τουλάχιστον μία λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Θεωρούμε δοσμένο το και λύνουμε με άγνωστο το x την εξίσωση: e 2x + 2e x + 3 = e 2x + 2e x + = 2 (e x + ) 2 = 2. Αν < 2, η εξίσωση δεν έχει λύση. Αν 2, η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα e x + = ± 2 e x + = 2 e x = 2. Αν 2, η τελευταία εξίσωση δεν έχει λύση. Αν 2 >, η εξίσωση έχει την λύση x = log( 2 ). Άρα το σύνολο τιμών αποτελείται από τα για τα οποία ισχύει 2 > ή, ισοδύναμα, 2 >. Επομένως το σύνολο τιμών είναι το (3, + ). 5. Έστω αριθμοί a, b, c με a 0. Βάσει του γραφήματος της = x 2, περιγράψτε μέθοδο σχεδίασης του γραφήματος της = ax 2 + bx + c. Σε ποιά περίπτωση είναι η συνάρτηση άνω φραγμένη και σε ποιά περίπτωση είναι κάτω φραγμένη στο (, + ); Ποιό είναι το σύνολο τιμών της; Ειδικότερα, σχεδιάστε το γράφημα της = 4x και από αυτό να διακρίνετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, το σύνολο τιμών της, τα διαστήματα μονοτονίας της και τα αντίστοιχα σύνολα τιμών. Λύση: (i) Γράφουμε ax 2 + bx + c = a(x + b )2 + c b2. Ξεκινάμε από το γράφημα της = x 2. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το [0, + ), είναι κάτω φραγμένη και έχει ελάχιστη τιμή 0. Μεταφέρουμε οριζόντια το γράφημα της = x 2 κατά b και βρίσκουμε το γράφημα της = (x+ b )2. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, b ] και γνησίως αύξουσα στο [ b, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το [0, + ), είναι κάτω φραγμένη και έχει ελάχιστη τιμή 0. Πολλαπλασιάζουμε τις -συντεταγμένες των σημείων του γραφήματος της = (x + b )2 με a και βρίσκουμε το γράφημα της = a(x + b )2. Τώρα έχουμε δύο περιπτώσεις. Αν a > 0, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, b ] και γνησίως αύξουσα στο [ b, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το [0, + ), είναι κάτω φραγμένη και έχει ελάχιστη τιμή 0. 3

4 Αν a < 0, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, b ] και γνησίως φθίνουσα στο [ b, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το (, 0], είναι άνω φραγμένη και έχει μέγιστη τιμή 0. Μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά c b2 το τελευταίο γράφημα και βρίσκουμε το γράφημα της = ax 2 + bx + c. Οπότε πάλι έχουμε δύο αντίστοιχες περιπτώσεις. Αν a > 0, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, b ] και γνησίως αύξουσα στο [ b c b2, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το [, + ), είναι κάτω φραγμένη και έχει ελάχιστη τιμή c b2. Αν a < 0, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, b ] και γνησίως φθίνουσα στο [ b c b2, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το (, ], είναι άνω φραγμένη και έχει μέγιστη τιμή c b2. (ii) Στην περίπτωση της = 4x 2 + 4x + έχουμε = 4x 2 + 4x + = 4(x 2 )

5 Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, 2 ] και γνησίως φθίνουσα στο [ 2, + ). Το σύνολο τιμών της είναι το (, 2], είναι άνω φραγμένη και έχει μέγιστη τιμή Έστω αριθμοί a, b, c, d με c 0. Βάσει του γραφήματος της = x, περιγράψτε μέθοδο σχεδίασης του γραφήματος της = ax+b 2x+ cx+d. Ειδικότερα, σχεδιάστε το γράφημα της = x και από αυτό να διακρίνετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, το σύνολο τιμών της, τα διαστήματα μονοτονίας της και τα αντίστοιχα σύνολα τιμών. Λύση: (i) Γράφουμε ax+b cx+d = a ad (cx+d)+b c c cx+d = bc ad c 2 x+ d c + a c. Ξεκινάμε από το γράφημα της = x. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 0) με σύνολο τιμών το (, 0) και γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) με σύνολο τιμών το (0, + ). Μεταφέρουμε οριζόντια το γράφημα της = x κατά d c και βρίσκουμε το γράφημα της =. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, d c ) με σύνολο τιμών το (, 0) x+ d c και γνησίως φθίνουσα στο ( d c, + ) με σύνολο τιμών το (0, + ). Πολλαπλασιάζουμε τις -συντεταγμένες των σημείων του γραφήματος της = bc ad c 2 Αν bc ad c 2 και βρίσκουμε το γράφημα της = bc ad c 2 x+ d c = 0, η συνάρτηση είναι σταθερή 0 στο (, d c ) ( d c, + ). x+ d c. Τώρα έχουμε τρεις περιπτώσεις. Αν bc ad > 0, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, d c 2 c ) με σύνολο τιμών το (, 0) και γνησίως φθίνουσα στο ( d c, + ) με σύνολο τιμών το (0, + ). Αν bc ad < 0, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, d c 2 c ) με σύνολο τιμών το (0, + ) και γνησίως αύξουσα στο ( d c, + ) με σύνολο τιμών το (, 0). Μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά a c το τελευταίο γράφημα και βρίσκουμε το γράφημα της = ax+b cx+d. Οπότε πάλι έχουμε τρεις αντίστοιχες περιπτώσεις. Αν bc ad = 0, η συνάρτηση είναι σταθερή a c 2 c στο (, d c ) ( d c, + ). Αν bc ad > 0, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, d c 2 c ) με σύνολο τιμών το (, a c ) και γνησίως φθίνουσα στο ( d c, + ) με σύνολο τιμών το ( a c, + ). Αν bc ad < 0, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, d c 2 c ) με σύνολο τιμών το ( a c, + ) και γνησίως αύξουσα στο ( d c, + ) με σύνολο τιμών το (, a c ). με (ii) Στην περίπτωση της = 2x+ x έχουμε = 2x+ x = 3 x

6 Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ) με σύνολο τιμών το (, 2) και γνησίως φθίνουσα στο (, + ) με σύνολο τιμών το (2, + ). 7. Θεωρήστε την = 3x+. Βρείτε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και τα διαστήματα μονοτονίας της και σχεδιάστε το γράφημά της. Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση, καθώς και το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και τα διαστήματα μονοτονίας της και σχεδιάστε το γράφημά της. Λύση: Το πεδίο ορισμού της = 3x+ είναι το (, 3 ) ( 3, + ). Είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 3 ) και γνησίως φθίνουσα στο ( 3, + ) και, παρά το ότι δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 3 ) ( 3, + ), είναι ένα-προς-ένα στο (, 3 ) ( 3, + ) και άρα είναι αντιστρέψιμη. Το γράφημα της = 3x+ μπορούμε να το σχεδιάσουμε κατά το πρότυπο της άσκησης 6: γράφουμε. 3x+ = 3 x+ 3 Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 3 ) με σύνολο τιμών το (, 0) και γνησίως φθίνουσα στο ( 3, + ) με σύνολο τιμών το (0, + ). Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το (, 0) (0, + ). Επομένως, η αντίστροφη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το (, 0) (0, + ) (το σύνολο τιμών της αρχικής συνάρτησης) και σύνολο τιμών το (, 3 ) ( 3, + ) (το πεδίο ορισμού της αρχικής συνάρτησης). Ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει όταν λύσουμε την εξίσωση = 3x+ με δοσμένο και άγνωστο x: + 3x+ = = 3x + 3x = + x = 3. Δηλαδή η αντίστροφη συνάρτηση είναι η x = + 3. Το γράφημά της το σχεδιάζουμε πάλι βάσει της άσκησης 6: γράφουμε + 3 = 3 3. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 0) με σύνολο τιμών το (, 3 ) και γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) με σύνολο τιμών το ( 3, + ). 8. Θεωρήστε την = x 2 + 2x. Βρείτε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και τα διαστήματα μονοτονίας της και σχεδιάστε το γράφημά της. Ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση; Χωρίζοντας το πεδίο ορισμού σε διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης, μοιράστε την σε γνησίως μονότονες συναρτήσεις, βρείτε τις αντίστροφες συναρτήσεις τους, τα πεδία ορισμού τους και τα 6

7 σύνολα τιμών τους και σχεδιάστε τα γραφήματά τους. Λύση: Το πεδίο ορισμού της = x 2 + 2x είναι το (, + ) και μπορούμε να σχεδιάσουμε το γράφημά της κατά το πρότυπο της άσκησης 5: γράφουμε x 2 + 2x = (x + ) 2 2. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] με σύνολο τιμών το [ 2, + ) και γνησίως αύξουσα στο [, + ) με σύνολο τιμών το [ 2, + ). Αν περιορίσουμε την = x 2 +2x = (x+) 2 2 στο (, ], τότε είναι αντιστρέψιμη (ως γνησίως φθίνουσα) με πεδίο ορισμού το (, ] και σύνολο τιμών το [ 2, + ). Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα με πεδίο ορισμού το [ 2, + ) και σύνολο τιμών το (, ]. Ο τύπος της προκύπτει αφού λύσουμε την = (x + ) 2 2 ως εξίσωση με δοσμένο 2 και άγνωστο x : (x + ) 2 2 = (x + ) 2 = + 2 x = ± + 2. Από τις δύο λύσεις εκείνη που ανήκει στο (, ] είναι η x = + 2. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι η x = + 2. Αν περιορίσουμε την = x 2 +2x = (x+) 2 2 στο [, + ), τότε είναι αντιστρέψιμη (ως γνησίως αύξουσα) με πεδίο ορισμού το [, + ) και σύνολο τιμών το [ 2, + ). Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο ορισμού το [ 2, + ) και σύνολο τιμών το [, + ). Ο τύπος της προκύπτει όπως πριν αφού λύσουμε την = (x + ) 2 2 ως εξίσωση με δοσμένο 2 και άγνωστο x. Από τις δύο λύσεις που βρήκαμε προηγουμένως εκείνη που ανήκει στο [, + ) είναι η x = Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι η x = Βάσει των γραφημάτων των =, =, σχεδιάστε τα γραφήματα των = 4, x 3 x 4 (x 2) 3 = Από τα γραφήματα να διακρίνετε τα πεδία ορισμού, τα σύνολα τιμών, τα (2x+) 4 διαστήματα μονοτονίας και τα αντίστοιχα σύνολα τιμών. Λύση: (i) Ξεκινάμε με το γράφημα της = και το μεταφέρουμε οριζόντια κατά 2. Κατόπιν πολλαπλασιάζουμε τις -συντεταγμένες των σημείων του νέου γραφήματος με x 3 (δηλαδή βρίσκουμε το συμμετρικό του ως προς τον x-άξονα) και τέλος μεταφέρουμε το τελευταίο γράφημα κατακόρυφα κατά 4. Έτσι προκύπτει το γράφημα της = 4. (x 2) 3 Από το γράφημα φαίνεται καθαρά ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, 2) με σύνολο τιμών το (4, + ) και γνησίως αύξουσα στο (2, + ) με σύνολο τιμών το (, 4). Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το (, 2) (2, + ) και το σύνολο τιμών της είναι το (, 4) (4, + ). 7

8 (ii) Ξεκινάμε με το γράφημα της = και το μεταφέρουμε οριζόντια κατά. Πολλαπλασιάζουμε τις x-συντεταγμένες των σημείων του νέου γραφήματος με 2 x 4. Κατόπιν πολλαπλασιάζουμε τις -συντεταγμένες των σημείων του νέου γραφήματος με 3 και τέλος μεταφέρουμε το τελευταίο γράφημα κατακόρυφα κατά 2. Έτσι προκύπτει το γράφημα της = Από το γράφημα διακρίνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα (2x+) 4 στο (, 2 ) με σύνολο τιμών το (, 2) και γνησίως αύξουσα στο ( 2, + ) με σύνολο τιμών το (, 2). Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το (, 2 ) ( 2, + ) και το σύνολο τιμών της είναι το (, 2). 0. Βάσει των γραφημάτων των = x, = 5 x, σχεδιάστε τα γραφήματα των = x, = 5 3 x. Ποιά είναι τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών τους; Λύση: Μεταφέρουμε οριζόντια κατά το γράφημα της = x και προκύπτει το γράφημα της = x. Από το γράφημα βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) με σύνολο τιμών το [0, + ). (ii) Ξεκινάμε με το γράφημα της = 5 x και το μεταφέρουμε οριζόντια κατά 3. Πολλαπλασιάζουμε τις x-συντεταγμένες των σημείων του νέου γραφήματος με (δηλαδή βρίσκουμε το συμμετρικό του ως προς τον -άξονα). Κατόπιν μεταφέρουμε το τελευταίο γράφημα κατακόρυφα κατά. Έτσι προκύπτει το γράφημα της = 5 3 x. Από το γράφημα διακρίνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 3] με σύνολο τιμών το [, + ). 8

9 . Σχεδιάστε στο ίδιο σχήμα τα γραφήματα των = x 2/3, = x 2/3, = x 3/2, = x 3/2, = x 2, = x 2. Λύση: 2. Δείτε την άσκηση.4.4 και σχεδιάστε το γράφημα της = 3 cos x + sin x. Λύση: Η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντελεστών των cos x, sin x είναι (( 3) ) /2 = 2. Άρα γράφουμε: 3 cos x + sin x = 2 ( 3 2 cos x + 2 sin x) = 2 ( sin π 3 cos x + cos π 3 sin x) = 2 sin ( x + π 3 ). Άρα για να βρούμε το γράφημα της = 3 cos x + sin x ξεκινάμε με το γράφημα της = sin x, το μεταφέρουμε οριζόντια κατά π 3, και πολλαπλασιάζουμε τις -συντεταγμένες των σημείων του νέου γραφήματος με το 2: 3. Βρείτε τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών των = sin x, = +sin x. Λύση: (i) Το πεδίο ορισμού της = sin x είναι η ένωση των διαστημάτων [2kπ, (2k+)π] για k Z. Το σύνολο τιμών αποτελείται από τα για τα οποία η εξίσωση sin x = με άγνωστο το x έχει μία τουλάχιστον λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν < 0 ή αν >, η εξίσωση sin x = δεν έχει λύση. Αν 0, έχουμε sin x = sin x = 2. 9

10 Επειδή 0 2, η εξίσωση αυτή έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα [0, π] και άρα υπάρχει ακριβώς μία λύση σε κάθε διάστημα [2kπ, (2k + )π] για k Z. Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το [0, ]. (ii) Το πεδίο ορισμού της = +sin x είναι η ένωση των διαστημάτων ( π 2 +2kπ, 3π 2 +2kπ) για k Z. Το σύνολο τιμών αποτελείται από τα για τα οποία η εξίσωση +sin x = με άγνωστο το x έχει μία τουλάχιστον λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν = 0, η = δεν έχει λύση. Αν 0, έχουμε εξίσωση +sin x +sin x = + sin x = sin x =. Προφανώς η εξίσωση αυτή έχει λύση αν και μόνο αν [, ]. Είναι εύκολο να δούμε ότι για κάθε 0. Άρα η εξίσωση έχει λύση αν και μόνο αν (, ]. Τώρα, είναι εύκολο να δούμε ότι Άρα όταν < 2 τότε < 2. / [, ] και άρα η εξίσωση sin x = όταν 2 τότε (, ] και άρα η εξίσωση sin x = σε καθένα από τα διαστήματα ( π 2 + 2kπ, 3π 2 + 2kπ) για k Z. Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης = +sin x είναι το [ 2, + ). δεν έχει λύση. Και έχει τουλάχιστον μία λύση 4. Συμβουλευόμενοι τις ασκήσεις και 3.9.7, σχεδιάστε τα γραφήματα των = x sin x, = x sin x. Λύση: (i) Ισχύει x x sin x x για x 0. Άρα το γράφημα της = x sin x βρίσκεται ανάμεσα στα γραφήματα των = x και = x. Στις λύσεις της εξίσωσης sin x =, δηλαδή στα x = π 2 + k2π με k = 0,, 2,..., το γράφημα της = x sin x ακουμπά το γράφημα της = x ενώ στις λύσεις της εξίσωσης sin x =, δηλαδή στα x = 3π 2 + k2π με k = 0,, 2,..., το γράφημα της = x sin x ακουμπά το γράφημα της = x. Σε κάθε άλλο x > 0 το γράφημα της = x sin x βρίσκεται γνησίως ανάμεσα στα γραφήματα των = x και = x. Στις λύσεις της εξίσωσης sin x = 0, δηλαδή στα x = kπ με k = 0,, 2,..., το γράφημα της = x sin x τέμνει τον x-άξονα. Προσέχοντας πώς όλα αυτά τα σημεία (οι λύσεις των τριών εξισώσεων sin x =, sin x = και sin x = 0) διαδέχονται το ένα το άλλο, σχεδιάζουμε το γράφημα της = x sin x ως εξής: 0

11 Αν προσέξετε την μορφή του γραφήματος κοντά στο 0 θα παρατηρήσετε ότι εφάπτεται στον x-άξονα. Αυτό δικαιολογείται με γνώσεις τις οποίες θα αποκτήσουμε αργότερα: η παράγωγος της = x sin x στο 0 είναι ίση με 0. (ii) Κατ αρχάς θεωρούμε την = x sin x στο (0, + ). Λόγω της ανισότητας x x sin x x για x > 0, το γράφημα της = x sin x βρίσκεται ανάμεσα στις ευθείες = x και = x. Στις λύσεις της εξίσωσης sin x =, δηλαδή στα x = (π/2)+k2π με k = 0,, 2,..., το γράφημα της = x sin x ακουμπά την ευθεία = x και στις λύσεις της εξίσωσης sin x =, δηλαδή στα x = (3π/2)+k2π με k = 0,, 2,..., το γράφημα της = x sin x ακουμπά την ευθεία = x. Σε κάθε άλλο x > 0 το γράφημα της = x sin x βρίσκεται γνησίως ανάμεσα στις ευθείες = x και = x. Στις λύσεις της εξίσωσης sin x = 0, δηλαδή στα x = kπ με k =, 2,..., το γράφημα της = x sin x τέμνει τον x-άξονα. Όλα αυτά τα σημεία (οι λύσεις των τριών εξισώσεων sin x =, sin x = και sin x = 0) διαδέχονται το ένα το άλλο και αποτελούν τρεις ακολουθίες οι οποίες συγκλίνουν στο 0. Αυτές οι παρατηρήσεις μας βοηθούν να σχεδιάσουμε το γράφημα της = x sin x το οποίο αντιστοιχεί στο (0, + ). Κατόπιν, χρησιμοποιώντας το ότι η = x sin x είναι άρτια, σχεδιάζουμε και το γράφημά της το οποίο αντιστοιχεί στο (, 0): είναι το συμμετρικό του προηγούμενου ως προς τον -άξονα. Ένα ακόμη βοηθητικό στοιχείο είναι η ανισότητα sin x < x για x > 0 (λόγω της sin t < t για t > 0). Από αυτήν παίρνουμε ότι x sin x < για x > 0, οπότε το γράφημα της = x sin x βρίσκεται κάτω από την οριζόντια ευθεία =. Μάλιστα, θα δούμε αργότερα ότι lim x + x sin x =, οπότε η ευθεία = είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο + του γραφήματος της = x sin x. Παρόμοιες παρατηρήσεις έχουμε και για το συμμετρικό κομμάτι του γραφήματος (δηλαδή για x < 0).

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε τα arccos και arcsin των 0, ±, ±, ±, ±. Λύση: Στο διάστημα [ π, π ] είναι (κατά αύξουσα διάταξη των γωνιών και

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 2018-19. Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έχουν οι παρακάτω συναρτήσεις μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο διάστημα (0, 1); Στο διάστημα (, + ); Στο διάστημα [0,

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9. Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Παρατηρήστε ότι ο πρώτος κανόνας αλλαγής μεταβλητής εφαρμόζεται μόνο στα εφτά πρώτα όρια ενώ ο δεύτερος κανόνας εφαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 ( . Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 8-9. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. (i) Βρείτε μία παράγουσα της + στο (, + ). Ποιές είναι όλες οι παράγουσες της + στο (, + ); (ii) Βρείτε μία παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ένατου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ένατου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 018-19. Λύσεις ένατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω a < b. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ώστε (i) a < ξ < b και e b e a = (b a)e ξ. (ii) a < ξ < b και cos b cos a = (e

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ:

ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ: ΠΡΟΛΟΓΟΣ: Συνεχίζοντας το ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών αναρτώ την 3 η μου άσκηση η οποία καλύπτει την ύλη μέχρι και τα όρια. Δεν βασίζεται αυτήν την φορά σε άσκηση του σχολικού άλλα σε καθαρά δικιά

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει ότι και ( ) και ( ). Ο αριθμός Τ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ 111, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης

ΗΥ 111, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης ΗΥ, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο - Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 5 ο Φροντιστήριο (6//). Βρείτε και χαρακτηρίστε τα κρίσιμα σημεία των συνάρτησεων a. (, ) = sin. b. (, ) = +. Υποθέστε ότι είστε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète (540-603) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Θεωρία, στη σελίδα 260 του σχολικού βιβλίου (Θ. Fermat). Α2. Θεωρία, στη σελίδα 169 του σχολικού βιβλίου.

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Θεωρία, στη σελίδα 260 του σχολικού βιβλίου (Θ. Fermat). Α2. Θεωρία, στη σελίδα 169 του σχολικού βιβλίου. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Πέμπτη, 9/6/6 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. x, τότε ισχύει f(4) f(2). x τότε ισχύει. αν 1.

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. x, τότε ισχύει f(4) f(2). x τότε ισχύει. αν 1. ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] x είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. για x. άρα g(x) 0 και αφού είναι συνεχής

[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] x είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. για x. άρα g(x) 0 και αφού είναι συνεχής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) [Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. Λυμένα Παραδείγματα. Παράδειγμα 1

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. Λυμένα Παραδείγματα. Παράδειγμα 1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f : R R, με τύπο f(x) = x 7x + 0. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τ' ακρότατα. Βήμα Βρίσκουμε την παράγωγο : Βήμα Λύνουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 99 Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α4 α) Σ β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα