Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης υπό πεπερασμένο αριθμό γραμμικών περιορισμών (ισότητες ή ανισότητες). Περιορισμοί: (m n)-πίνακας A, m-διάνυσμα b. Αντικειμενική: n-διάνυσμα c. Άγνωστοι: n-διάνυσμα x. Τυπική μορφή (standard form): Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Πρόβλημα ίαιτας Βιτ.Α Βιτ.Β Βιτ. C Θερμ. Πίτσα 9 6 Φρούτα 7 8 5 5 Αυγά 9 84 5 Σουβλάκι 5 9 5 Απαιτήσεις 4 Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Bipartite Matching e e e e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 4
Ορολογία Αν x ικανοποιεί Ax b και x είναι αποδεκτή (feasible) λύση. Εφικτή περιοχή: Γραμμικό Πρόγραμμα (ΓΠ, LP) είναι επιλύσιμο αν έχει αποδεκτή λύση και μη-επιλύσιμο διαφορετικά. Βέλτιστη λύση x * : αποδεκτή λύση με ελάχιστη αντικειμενική τιμή, ΓΠ μη-φραγμένο (κάτω) αν εφικτή λύση. Επιλύσιμο και φραγμένο (κάτω) : πεπερασμένο. ΈναΓΠμπορείναείναιμη-επιλύσιμο, μη-φραγμένο, ήπεπερασμένο. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 5
Ισοδύναμες Μορφές Τυπική μορφή : Κανονική μορφή : Μεγιστοπ. Ελαχιστοπ.: Ισότητα Ζευγάρι ανισότητες Ανισότητα Ισότητα και slack μεταβλητή : Αρνητική μεταβλητή : Όχι πρόσημο : Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 6
Παράδειγμα x x x x x x x + x = Εφικτή περιοχή : πολύεδρο P. Φραγμένο : πολύτοπο P. Κορυφή : ακραίο σημείο (όχι κυρτός συνδυασμός άλλων) (, 6) x +x (, 4) x + x = x + x = (4, ) x + x = x + x x + x x + x x + x Φραγμένο πολύεδρο (πεπερασμένο): Υπάρχει κορυφή που αντιστοιχεί σε βέλτιστη λύση! xx Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 7
Κορυφές Αν είναι επιλύσιμο και φραγμένο, υπάρχει κορυφή βέλτιστη λύση. Αν τουλάχιστον μία κορυφή. m n πίνακας Α (περιορισμοί):, το P έχει #(ανεξάρτ.) εξισώσεων m < #μεταβλητών n. βαθμό m (m γραμμικά ανεξάρτητες στήλες). Εφικτή λύση είναι κορυφή ανν στήλες γραμμικά ανεξάρτητες. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 8
Βασικές Εφικτές Λύσεις Βασική (εφικτή) λύση (basic (feasible) solution): Βάση : m γραμμικά ανεξάρτ. στήλες του Α. Βάση ορίζει τιμές για βασικές μεταβλητές. Μη-βασικές μεταβλητές στο. Βασικές λύσεις: Βασικές εφικτές λύσεις κορυφές Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 9
Βασικές Εφικτές Λύσεις x κορυφή ΒΕΛ του ανν υπάρχει (βάση): (μη-βασικές μεταβλητές). είναι αντιστρέψιμος. (βασικές μεταβλητές). Κάθε ΒΕΛ αποτελεί κορυφή του Ρ. Υπάρχουν κορυφές που αντιστοιχούν σε πολλές διαφορετικές ΒΕΛ. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Βασικές Εφικτές Λύσεις Αν, το P έχει τουλάχιστον μία Βασική Εφικτή Λύση (ΒΕΛ). Για κάθε ΒΕΛ x, υπάρχει c x : x βέλτιστη λύση του Υπάρχουν «υποψήφιες» βέλτιστες λύσεις (κορυφές - ΒΕΛ) του Αλγόριθμος : ημιούργησε όλες τις βασικές λύσεις. Επέστρεψε τη βασική εφικτή λύση με μικρότερη αντικειμενική τιμή. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Αλγόριθμος Simplex [Dantzig, 947], καλύτερη πρακτική επιλογή. Ξεκίνησε από κορυφή x (βάση Β). Υπάρχει γειτονική κορυφή x με μικρότερο κόστος: Ναι : μετακινήσου στη x και συνέχισε. Όχι : βέλτιστη λύση. Πως ελέγχουμε αν ΓΠ επιλύσιμο και βρίσκουμε αρχική κορυφή ; Πως καταλαβαίνουμε αν ΓΠ μη-φραγμένο ; Pivoting : γειτονική κορυφή με μικρότερο κόστος. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Εναλλαγή Στηλών Αφού x N =, και Ανηγμένο κόστος : Μη-βασική μετ. με αρνητικό ανηγμένο κόστος : μείωση κόστους αν αυξηθεί (γίνει βασική). Αύξηση καθορίζεται από (μεταβλητές είναι μη-αρνητικές). Μη-αρνητικό ανηγμένο κόστος : βέλτιστη λύση. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 4 Παράδειγμα x x x 6 4 5 x x x 6 4-4 -6-4 -
Παράδειγμα -4 x - x -4 x -6 x 4 6 x x x - -4-6 - x x 6 Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 5
Παράδειγμα - x x -4 x -6 x - 6 x x x - -8 6-5 - x - - x 4 - Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 6
Παράδειγμα - x x -8 x 6-5 x - - - 4 - x x x -4 8 4 - - x x - - Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 7
Παράδειγμα -4 x x x 8 4 - x - - - x x x -4 -/ / / / x / -/ x -/ - / Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 8
Παράδειγμα -4 x x x -/ / x / / / -/ -/ - / x x x - 4 -/ -/ / x / / -/ -/ -/ / x Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός 9
Παράδειγμα Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Παράδειγμα x x x -4 - / - / - -/ - - - / Μη-φραγμένο : Το x μεγαλώνει απεριόριστα (μικραίνοντας κόστος) και λύση εφικτή. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Χρόνος Εκτέλεσης Simplex Μετακίνηση σε κορυφές με μικρότερο κόστος : τερματισμός με βέλτιστη λύση (αν υπάρχει). Παραμονή σε ίδια κορυφή (ή ίδιοκόστος) : αέναη ανακύκλωση! Κανόνες εναλλαγής στηλών (π.χ. [Bland 77]) εγγυώνται τερματισμό. Πολύ γρήγορος στην πράξη αλλά εκθετικός (#κορυφών) στη χειρότερη περίπτωση. Ανοικτό αν υπάρχει κανόνας εναλλαγής στηλών που οδηγεί σε πολυωνυμικό χρόνο. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός
Αλγόριθμοι Πολυωνυμικού Χρόνου Ελλειψοειδές [Khachian 79] : υαδική αναζήτηση: Σταδιακός περιορισμός ενός ελλειψοειδούς που εγγυημένα περιέχει λύση. Πρακτικά μη-εφαρμόσιμος (αργός, αριθμητική αστάθεια). Μέθοδοι Εσωτερικού Σημείου [Karmakar 84] : Κίνηση στο εσωτερικό του πολυέδρου (κατάλληλους μετασχηματισμούς). Πρακτικά εφαρμόσιμος, αλλά Simplex! Ταχύτερος αλγόριθμος [Υe 9]. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (Άνοιξη 7) Γραμμικός Προγραμματισμός