Γραμμικός Προγραμματισμός

Transcript

1 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος;

2 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος;

3 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος;

4 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος;

5 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος;

6 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος;

7 Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή ζήτηση του κέικ πολυτελείας είναι 300. Το εργοστάσιο παράγει 400 κέικ καθημερινά. Πόσα απλά κέικ και πόσα πολυτελείας μεγιστοποιούν το κέρδος; σημείο μέγιστου κέρδους

8 Τυπική μορφή αποτιμητική συνάρτηση περιορισμοί περιορισμοί μη αρνητικότητας

9 Τυπική μορφή αποτιμητική συνάρτηση περιορισμοί περιορισμοί μη αρνητικότητας

10 εφικτό γραμμικό πρόγραμμα : μπορούν να ικανοποιηθούν όλοι οι περιορισμοί

11 εφικτή λύση εφικτό γραμμικό πρόγραμμα : μπορούν να ικανοποιηθούν όλοι οι περιορισμοί ανέφικτη λύση

12 μη εφικτό γραμμικό πρόγραμμα

13 εφικτό και φραγμένο γραμμικό πρόγραμμα

14 εφικτό αλλά μη φραγμένο γραμμικό πρόγραμμα

15 Μετατροπή σε τυπική μορφή

16 Μετατροπή σε τυπική μορφή

17 Μετατροπή σε τυπική μορφή

18 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή

19 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή

20 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή

21 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή τιμή αποτιμητικής συνάρτησης βασικές μεταβλητές

22 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή δείκτες βασικών μεταβλητών δείκτες μη βασικών μεταβλητών

23 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή

24 Μετατροπή σε αποκλιτική μορφή

25 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα

26 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα αρχική λύση

27 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα αρχική λύση

28 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα

29 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα

30 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα

31 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα

32 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα

33 Πολυτοπικός Αλγόριθμος - Παράδειγμα βέλτιστη λύση

34 Ο πολυτοπικός αλγόριθμος έχει εκθετικό χρόνο εκτέλεσης στη χειρότερη περίπτωση. Χρησιμοποιείται όμως σε πολλές εφαρμογές καθώς η απόδοση του είναι πολύ καλή στην πράξη (η χειρότερη περίπτωση εμφανίζεται πολύ σπάνια). Υπάρχουν αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου: Ελλειψοειδής αλγόριθμος (όχι καλός στην πράξη) Αλγόριθμοι εσωτερικού σημείου (αρκετά καλοί στην πράξη) Επομένως Γραμμικός Προγραμματισμός

35 Δυϊκότητα Γραμμικού Προγραμματισμού Πρωτεύον Πρόγραμμα (Π) Δευτερεύον Πρόγραμμα (Δ)

36 Δυϊκότητα Γραμμικού Προγραμματισμού Πρωτεύον Πρόγραμμα (Π) Δευτερεύον Πρόγραμμα (Δ) Π.χ.

37 Δυϊκότητα Γραμμικού Προγραμματισμού Πρωτεύον Πρόγραμμα (Π) Δευτερεύον Πρόγραμμα (Δ) Ασθενής Δυϊκότητα Έστω μια οποιαδήποτε εφικτή λύση του (Π) και μια οποιαδήποτε εφικτή λύση του (Δ). Τότε

38 Δυϊκότητα Γραμμικού Προγραμματισμού Πρωτεύον Πρόγραμμα (Π) Δευτερεύον Πρόγραμμα (Δ) Ασθενής Δυϊκότητα Έστω μια οποιαδήποτε εφικτή λύση του (Π) και μια οποιαδήποτε εφικτή λύση του (Δ). Τότε Απόδειξη

39 Δυϊκότητα Γραμμικού Προγραμματισμού Πρωτεύον Πρόγραμμα (Π) Δευτερεύον Πρόγραμμα (Δ) Ισχυρή Δυϊκότητα Έστω μια βέλτιστη λύση του (Π) και μια βέλτιστη λύση του (Δ). Τότε

40 Ακέραιος Προγραμματισμός αποτιμητική συνάρτηση περιορισμοί περιορισμοί μη αρνητικότητας ακέραιες τιμές Το πρόβλημα του Ακέραιου Προγραμματισμού είναι -πλήρες

41 Ακέραιος Προγραμματισμός Σταθμισμένο κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Βάρη κόμβων : Βάρος καλύμματος : Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με ελάχιστο βάρος

42 Ακέραιος Προγραμματισμός Σταθμισμένο κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Βάρη κόμβων : Βάρος καλύμματος : Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με ελάχιστο βάρος Ακέραιο Πρόγραμμα μεταβλητή για κάθε