ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη με 1 η και 2 η εργασία. Αρκετές πολύ καλές ή εξαιρετικές εργασίες. Αρκετές εργασίες που έδειχναν σημαντική προσπάθεια στη σωστή κατεύθυνση, αν και το βαθμολογικό αποτέλεσμα υπολείπεται. Κάπως περισσότερες εργασίες όπου οι απαντήσεις δεν έδειχναν επαρκή κατανόηση ή/και απαραίτητη ενασχόληση. Εν όψει εξετάσεων, σημαντικό να εστιάσετε: Σε διατύπωση ιδιοτήτων σε πρωτοβάθμια γλώσσα. Σε σημασιολογική προσέγγιση (ικανοποιησιμότητα σε δεδομένη ερμηνεία, λογική εγκυρότητα, διατύπωση δομών που (δεν) ικανοποιούν έναν τύπο). Με την παράδοση της 4 ης εργασίας, (πρέπει να) αρχίσουν επαναλήψεις προετοιμασία για τις εξετάσεις. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 2

Ερώτημα 1.α ιατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα: Κάθε στοιχείο σχετίζεται (δεξιά του) με τουλάχιστον δύο στοιχεία. Κάθε στοιχείο σχετίζεται (δεξιά του) με δύο το πολύ στοιχεία. Αν τρία στοιχεία σχετίζονται ανά δύο, τότε είναι ίσα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 3

Ερώτημα 1.β ιατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα: Κάθε άνθρωπος έχει μητέρα: υο αδέλφια έχουν την ίδια μητέρα. Η μητέρα του Νίκου δεν έχει άλλα παιδιά. Η Μαρία είναι θεία του Νίκου, από τη μητέρα του. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 4

Ερώτημα 2 Μοντέλο του φ στους φυσικούς; R(x, y) αληθεύει ανν x < y. Μοντέλο του φ στο σύμπαν όλων των πεπερασμένων υποσυνόλων των φυσικών; R(x, y) αληθεύει ανν x y. Κάθεμοντέλοτουφέχειάπειροσύμπαν. φ 1 φ 3 : κάθε στοιχείο α σχετίζεται με διαφορετικό στοιχείο α. Άπειρη ακολουθία συσχετίσεων α 1 R α 2 R α 3 R R α k R Θδο όλα τα στοιχεία σε αυτή την ακολουθία διαφορετικά, άρα το σύμπαν είναι άπειρο. Έστω α στοιχείο που επαναλαμβάνεται: α R R α. Λόγω φ 2, έχουμε ότι R(α, α). Άτοπο, λόγω φ 1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 5

Ερώτημα 3 Να δώσετε μοντέλο του τύπου Α = {α, β}, E A = {(α, β), (β, α)}, F A = { (α, α), (β, β) } Α = {α, β, γ}, E A = {(α, β), (β, α), (β, γ), (γ, β)}, F A = { (α, γ), (γ, α), (α, α), (β, β), (γ, γ) }. Να δείξετε ότι φ 3 και φ 5 : τυχαίο στοιχείο α έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικούς εχθρούς, έστω βκαιγ. φ 3 και φ 5 : στοιχείο β έχει τουλάχιστον ένα εχθρό διαφορετικό από τον α, έστω δ (μπορεί να είναι δ = γ). φ 1 : Ε(α, β) και Ε(β, γ), άρα F(α, γ), με α γ. Άρα φ 6 αληθεύει για όλα τα στοιχεία του σύμπαντος. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 6

Ερώτ. 4.β Να δείξετε ότι φ 2 και φ 3 : το σύμπαν έχει 3 και < 4 στοιχεία. Το σύμπαν έχει 3 (ακριβώς) στοιχεία, έστω α, β, γ. Έστω f(α) α, f(β) β, και f(γ) γ. Αν f(α) = β, τότε, λόγω φ 1, f(β) = α. εν μπορεί f(γ) = α, γιατί θα έπρεπε f(α) = γ, λόγω φ 1. εν μπορεί f(γ) = β, γιατί θα έπρεπε f(β) = γ, λόγω φ 1. Άτοπο! Άρα f(α) = α ή f(β) = β ή f(γ) = γ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 7

Γραφήματα: Εργασίες και Εξετάσεις Εργασίες προηγούμενων ετών: 2 η Εργ. 04-05: Ερωτήματα 3, 4, και 5. 4 η Εργ. 05-06: Ερωτήματα 1, 2, 3 (χρωματισμός), 4.2, 5.2 και 5.3, 6. 4 η Εργ. 06-07: Ερωτήματα 1, 2, 3.2, 6, και 8. 4 η Εργ. 07-08: Ερωτήματα 1, 2, 3.2, 3.3 μαζί με 7, 4, και 6. 4 η Εργ. 08-09: Ερωτήματα 2, 3.3, και 4. 4 η Εργ. 09-10 και 10-11: Όλα τα ερωτήματα. 4 η Εργ. 11-12: Ερωτήματα 3 και 4. Από 05-06 και μετά, ερ. 1 αφορά σε αναδρομικούς αλγόριθμους και επαγωγή, και ερ. 2 (ή 3) αφορά σε κατηγορηματική λογική και γραφήματα. Τελευταία χρόνια, ερ. 4 είναι μαθηματική επαγωγή σε γραφήματα. Θέματα εξετάσεων προηγουμένων ετών: Ιουλ. 12, ερ. 3 και 4, Ιουν. 12, ερ. 3, Ιουλ. 11, ερ. 2.β, 2.γ, και 3, Ιουν. 11, 2.δ, 3, 4.α, και 4.β, Ιουλ. 10, ερ. 2.2 και 4, Ιουν. 10, ερ. 3, Ιουλ. 09, ερ. 4, Ιουλ. 08, ερ. 3, Ιουλ. 07, ερ. 2 και 3, Ιουν. 06, ερ. 2, Ιουλ. 06, ερ. 4. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 8

Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, P(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Το γράφημα έχει ανακύκλωση. Ηκορυφήx είναι απομονωμένη. Το γράφημα έχει απομονωμένη κορυφή. Ηκορυφήx ανήκει σε (απλό) κύκλο μήκους 3. Κάθε κορυφή που δεν είναι απομονωμένη ανήκει σε κύκλο μήκους 3. Ηκορυφήx έχει έξω-βαθμό τουλ. 2. Ηκορυφήx έχει έξω-βαθμό (ίσο με) 2. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 9

Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, P(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Υπάρχει μοναδική κορυφή με έξω-βαθμό (ίσο με) 2. Οελάχιστοςέξω-βαθμός του γραφήματος είναι 2. Να σχεδιάσετε κατευθυνόμενο γράφημα με τουλ. 5 κορυφές που αποτελεί μοντέλο για την πρόταση: Υπάρχει κορυφή που δεν έχει ανακύκλωση και συνδέεται με όλες τις άλλες κορυφές, και όλες οι άλλες κορυφές δεν έχουν εξερχόμενες ακμές. x ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 10

Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα, διαδρομές, δρομολόγηση ανάθεση πόρων, layouts, ). Γράφημα G(V, E): V κορυφές Ε ακμές(ζεύγη σχετιζόμενων κορυφών) Τάξη V = n και μέγεθος E = m. Κατευθυνόμενα και μη-κατευθυνόμενα, απλά μη-κατευθ. Βάρη (μήκη) στις ακμές 1 3 5 2 4 6 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 11

Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 12

Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. Συμπληρωματικό γράφημα γραφήματος G. Ίδιο σύνολο κορυφών. Ακμές: όσες δεν υπάρχουν στο G. Συμπληρωματικό του : αρχικό γράφημα G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 13

ιμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. ιμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 14

ιμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. ιμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. Πλήρες διμερές γράφημα Κ n,m : ύο ανεξάρτητα σύνολα με n και m κορυφές. Όλες οι n m ακμές μεταξύ τους. Π.χ. Κ 3,3 έχει 9 ακμές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 15

Χρωματικός Αριθμός k-μερές γράφημα: κορυφές του διαμερίζονται σε k ανεξάρτητα σύνολα. Ενδιαφέρει ελάχιστο k για το οποίο γράφημα G είναι k-μερές. Αυτό ταυτίζεται με χρωματικό αριθμό χ(g) γραφήματος G. Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό κορυφών ώστε όλες οι ακμές να έχουν άκρα διαφορετικού χρώματος. Κορυφές ίδιου χρώματος: ανεξάρτητο σύνολο. Αν G περιέχει Κ m, χ(g) m ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 16

Χρωματικός Αριθμός Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό κορυφών ώστε όλες οι ακμές να έχουν άκρα διαφορετικού χρώματος. Κορυφές ίδιου χρώματος: ανεξάρτητο σύνολο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 17

Βαθμός Κορυφής Βαθμός κορυφής deg(v): #ακμών που προσπίπτουν στη v. Κατευθυνόμενα: προς-τα-έσω και προς-τα-έξω βαθμός. Μη-κατευθυνόμενο G(V, E): Άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού. δ(g): ελάχιστος βαθμός κορυφής στο G. (G): μέγιστος βαθμός κορυφής στο G. Νδοσεκάθεαπλόγράφημα, δύο κορυφές έχουν ίδιο βαθμό. Έχουμε n κορυφές και n-1 πιθανές τιμές βαθμού για κάθε κορυφή. Πιθανές τιμές είτε {0, 1,, n-2} είτε {1, 2,, n-1}. 1 3 5 2 4 6

(Απλές) Ασκήσεις Νδο δεν υπάρχει απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με: 8 κορυφές: 1 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 4 βαθμού 4, και 1 βαθμού 5. Άθροισμα βαθμών περιττός (ή ισοδύναμα, περιττό πλήθος κορυφών με περιττό βαθμό). 6 κορυφές: 2 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 1 βαθμού 4, και 1 βαθμού 6. Σε κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές, (G) n 1. 5 κορυφές: 1 βαθμού 2 και 4 βαθμού 4. Αφού οι 4 κορυφές με βαθμό 4 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 4. 9 κορυφές: 1 βαθμού 1, 2 βαθμού 3, 2 βαθμού 4, 1 βαθμού 5, 1 βαθμού 6, και 2 βαθμού 8. Αφού οι 2 κορυφές με βαθμό 8 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 2. Με μαθηματική επαγωγή στον #κορυφών, νδο χ(g) (G)+1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 19

(Απλές) Ασκήσεις Έστω διμερές γράφημα G(X, Y, E) με n κορυφές. Νδο: ΚάθεακμήέχειτοέναάκροτηςστοΧκαιτοάλλοστοY. Κάποιο από τα X, Y έχει τουλ. n/2 κορυφές. Αν X < n/2 και Y < n/2, X + Y < n, άτοπο. (G) + δ(g) n. Υποθέτουμε ότι X Y. Τότε (G) Y. Έστω κορυφή u Υ. Τότε δ(g) deg(u) Χ. Κάθε γράφημα G με n κορυφές και χ(g) = k έχει ανεξάρτητο σύνολο με τουλ. n/k κορυφές και ΜέγιστοανεξάρτητοσύνολοΙέχειτουλ. n/k κορυφές. Στο συμπληρωματικό γράφημα, το υπογράφημα που ορίζεται από κορυφές του Ι είναι πλήρες και χρειάζεται τουλ. n/k χρώματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 20

Ερώτημα 4.α, 4 η Εργασία 10-11 Να δείξετε (με επαγωγή) ότι για κάθε n 1, ο υπερκύβος Q(n) διάστασης n είναι διμερές γράφημα. Βάση: Q(1) έχει δύο κορυφές, διμερές γράφημα. Επαγ. Υπόθεση: Για αυθαίρετο n 1, υποθέτουμε ότι Q(n) διμερές γράφημα. Επαγ. Βήμα: Θδο Q(n+1) είναι διμερές γράφημα. Θεωρούμε δύο αντίγραφα Q 0 (n) και Q 1 (n) του υπερκύβου διάστασης n. Επαγ. υπόθεση: Q 0 (n) και Q 1 (n) διμερή γραφήματα. Α 0 και B 0 διαμέριση κορυφών του Q 0 (n). A 1 (= B 0 ) και Β 1 (= Α 0 )«συμπληρωματική» διαμέριση κορυφών του Q 1 (n). Από αναδρ. ορισμό, Q(n+1) προκύπτει συνδέοντας αντίστοιχες κορυφές των Q 0 (n) και Q 1 (n). Άρα Α 0 Α 1 και Β 0 Β 1 ανεξάρτητα σύνολα, και Q(n+1) είναι διμερές γράφημα. 00 01 10 11 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 21

Υπο-Γραφήματα Υπογράφημα G (V, E ) του G(V, E) όταν V V και E E. Επικαλύπτον (spanning) όταν V = V, δηλ. έχει όλες τις κορυφές του αρχικού γραφήματος, επιλέγουμε τις ακμές που τις συνδέουν. Επαγόμενο (induced) όταν δηλ. έχει όλες τις ακμές του αρχικού μεταξύ των επιλεγμένων κορυφών. 1 3 5 1 3 5 2 4 6 2 4 6 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 22

ιαδρομές, Μονοπάτια, και Κύκλοι ιαδρομή Μονοκονδυλιά Μονοπάτι - Κύκλος ιαδρομή: ακολουθία «διαδοχικών» ακμών. «ιαδοχικές» ακμές: κατάληξη πρώτης = αρχή της δεύτερης. Π.χ. {2, 1}, {1, 3}, {3, 4}, {4, 1}, {1, 5}, {5, 3}, {3, 6}. Μονοκονδυλιά: διαδρομή χωρίς επανάληψη ακμών. (Απλό) μονοπάτι: διαδρομή χωρίς επανάληψη κορυφών (και ακμών). Υπάρχει διαδρομή u v ανν υπάρχει μονοπάτι u v. Απόσταση d(u, v) (χωρίς και με βάρη): μήκος συντομότερου u v μονοπατιού. Κλειστή διαδρομή όταν άκρα της ταυτίζονται. Κλειστή μονοκονδυλιά ή κύκλωμα. (Απλός) κύκλος: μονοπάτι που άκρα του ταυτίζονται («κλειστό» μονοπάτι). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 23

Συνεκτικότητα (Μη-κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) συνεκτικό αν για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v V, υπάρχει u v μονοπάτι. Μη-συνεκτικό γράφημα αποτελείται από συνεκτικές συνιστώσες: μεγιστοτικά συνεκτικά υπογραφήματα. Γέφυρα (ακμή τομής): ακμή που αν αφαιρεθεί, αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. Ακμή γέφυρα ανν δεν ανήκει σε κύκλο. Σημείο άρθρωσης (σημείο κοπής): κορυφή που αν αφαιρεθεί, αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. 1 3 5 1 3 5 2 4 6 2 4 6 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 24

Συνεκτικότητα (Κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) ισχυρά συνεκτικό αν u, v V, υπάρχουν u v και v u μονοπάτια. Για κάθε ζευγάρι κορυφών ισχυρά συνεκτικού γραφήματος, υπάρχει κύκλος που τις περιλαμβάνει. Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα δεν είναι ισχυρά συνεκτικό, διαμερίζεται σε ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες: Μεγιστοτικά ισχυρά συνεκτικά υπογραφήματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 25

Ασκήσεις G μη συνεκτικό γράφημα. Στο συμπληρωματικό του G, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται μονοπάτι μήκους 2. Αν u και v σε διαφορετική συνεκτική συνιστώσα του G, συνδέονται με ακμή στο συμπληρωματικό. Αν u και v σε ίδια συνεκτική συνιστώσα, έστω κορυφή w σε άλλη συνιστώσα. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, w}, {w, v}. G γράφημα με κορυφές x, y μεταξύ των οποίων το συντομότερο μονοπάτι έχει μήκος τουλ. 4. ΣτοσυμπληρωματικότουG, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται με μονοπάτι μήκους 2. Έστω u, v συνδέονται με ακμή στο G και κάποια, έστω η u, συνδέεται με ακμή με κάποια από τις x, y, έστω με την x (διαφορετικά;). Τότε ακμές {u, y} και {v, y} δεν υπάρχουν στο G. ιαφορετικά x y μονοπάτι μήκους 3 στο G. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, y}, {y, v}. x u v y ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 26

Ασκήσεις Κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές και δ(g) (n 1)/2 είναι συνεκτικό (καιέχειδιάμετρο 2). Έστω u, v κορυφές που δεν συνδέονται με ακμή. Θδο u, v έχουν κοινό γείτονα (άρα συνδέονται με μονοπάτι μήκους 2). Έστω ότι u, v δεν έχουν καμία γειτονική κορυφή κοινή: u έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, και v έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, όλοι διαφορετικοί. Άρα έχουμε συνολικά: 2 κορυφές (οι u και v) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του u) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του v) = = n+1 κορυφές, άτοπο! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 27

Ερώτημα 4.γ, 4 η Εργ. 11-12 Τουρνουά: κατευθυνόμενο γράφημα όπου για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v, υπάρχει είτε η ακμή (u, v) είτε η ακμή (v, u). Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει κορυφή προσπελάσιμη από όλες τις άλλες με μονοπάτι μήκους 2. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Ισχύει για κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές. Επαγ. βήμα: Θδο ισχύει για τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Λόγω επαγ. υπόθεσης, κορυφή w στο G προσπελάσιμη από όλες τις άλλες με μονοπάτι μήκους 2. Αν u συνδέεται είτε απευθείας με w είτε με κάποια κορυφή x ηοποία συνδέεται απευθείας με w, τότε w ηζητούμενηκορυφή στο G. ιαφορετικά, w συνδέεται απευθείας με u, και για κάθε κορυφή x που συνδέεται απευθείας με την w, η x συνδέεται απευθείας με την u. Άρα u ηζητούμενηκορυφή στο G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 28

Κύκλος Euler Κλειστή μονοκονδυλιά που διέρχεται: από κάθε ακμή 1 φορά, και από κάθε κορυφή τουλάχιστον 1 φορά. Συνεκτικό (μη-κατευθ.) γράφημα έχει κύκλο Euler ανν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. C g c d A e D a B b f ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 29

Κύκλος Euler Υπάρχει γράφημα G που όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό και έχει γέφυρα; Όχι, τέτοιο γράφημα G έχει κύκλο Euler, άρα όλες οι ακμές του ανήκουν σε κύκλο. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Euler προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Euler; Όχι κατ ανάγκη. Μπορεί προσθήκη κορυφών να κάνει τον βαθμό κάποιων κορυφών περιττό. (Γιατί) σε κάθε συνεκτικό μη κατευθυνόμενο γράφημα, υπάρχει κλειστή διαδρομή που διέρχεται από κάθε ακμή (ακριβώς) 2 φορές; «ιπλασιασμός» ακμών οδηγεί σε γράφημα με κύκλο Euler (συνεκτικό και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 30

Κύκλος Euler Ποιος είναι ο μέγιστος #ακμών που μπορεί να έχει απλό γράφημα με n κορυφές και κύκλο Euler; Αν n περιττός, n-1 άρτιος: K n έχει κύκλο Euler και n(n-1)/2 ακμές. Αν n άρτιος, αφαιρούμε n/2 ακμές (χωρίς κοινά άκρα) από K n. Προκύπτει γράφημα με κύκλο Euler και n(n-2)/2 ακμές. (Απλό) γράφημα με > n(n-2)/2 ακμές, έχει κορυφή (περιττού) βαθμού n-1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 31

Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. ιέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. εν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 32

Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. ιέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. εν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). Αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλου Hamilton σε γραφήμα G: G δεν έχει γέφυρα ή σημείο άρθρωσης. Όλες οι κορυφές του G ανήκουν σε κύκλο. Αν G διμερές, τότε G έχει άρτιο #κορυφών. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 33

Κύκλος Hamilton ΓιαναδείξουμεότιγράφημαG έχει κύκλο Hamilton, είτε βρίσκουμε κύκλο Hamilton (αν G έχει συγκεκριμένη δομή) είτε δείχνουμε ότι G ικανοποιεί κάποια ικανή συνθήκη. ΓιαναδείξουμεότιγράφημαG δεν έχει κύκλο Hamilton, δείχνουμε ότι G παραβιάζει κάποια αναγκαία συνθήκη. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Hamilton προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Hamilton; Βεβαίως. Υπάρχει κύκλος Hamilton που δεν χρησιμοποιεί νέες ακμές. Αν G έχει γέφυρα, δεν έχει κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 34

Κύκλος Hamilton ιμερές γράφημα G με περιττό #κορυφών δεν έχει κύκλο Hamilton. Αν G είχε κύκλο Hamilton, αυτός θα ήταν ένας κύκλος περιττού μήκους. Ως διμερές γράφημα, το G δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Νδο κάθε απλό γράφημα με 21 κορυφές και 208 ακμές έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler. Πρόκειται για Κ 21 από το οποίο έχουν αφαιρεθεί 2 ακμές. Ικανοποιεί Θ. Dirac. Άρα έχει κύκλο Hamilton. Όπως και αν αφαιρεθούν ακμές, προκύπτουν τουλ. 2 κορυφές με βαθμό 19. Άρα δεν έχει κύκλο Euler. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 35

Ερώτημα 4.α, 4 η Εργ. 11-12 Σε ένα τουρνουά με n+1 κορυφές, έστω u κορυφή και v 1,, v n μια αρίθμηση των υπόλοιπων n κορυφών. Ισχύει τουλ. ένα από τα: 1. Η u συνδέεται με την v 1. 2. H v n συνδέεται με την u. 3. Υπάρχει δείκτης k, 1 k n 1, ώστε η v k συνδέεται με την u και η u συνδέεται με την v k+1. Έστω ότι δεν ισχύουν τα (1) και (2). Θδο ισχύει το (3). Έστω v k+1 ηπρώτηκορυφή τ.ω. η u συνδέεται με την v k+1. Ισχύει ότι k+1 n, γιατί η u συνδέεται με την v n (δεν ισχύει το (2)). Ισχύει ότι 2 k+1, γιατί η v 1 συνδέεται με την u (δεν ισχύει το (1)). Ισχύει ότι v k συνδέεται με την u, γιατί v k+1 η πρώτη που δεν συνδέεται με u. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 36

Ερώτημα 4.β, 4 η Εργ. 11-12 Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Επαγωγή με χρήση του (4.α) στο επαγωγικό βήμα. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μον. Hamilton. Επαγ. βήμα: Θδο αυθαίρετο τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Θεωρούμε αρίθμηση v 1,, v n των n κορυφών του G σύμφωνα με μονοπάτι Hamilton στο G (υπάρχει λόγω επαγ. υπόθεσης). u ενσωματώνεται στο μονοπάτι Hamilton v 1,, v n από (4.α). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 37

Ερώτημα 4, 4 η Εργασία 08-09 Απλό γράφημα G με n 4 κορυφές και m C(n-1, 2)+2 ακμές. Νδο G έχει κορυφή βαθμού n-2. Αν όλες κορυφές βαθμού n-3, #ακμών n(n-3)/2 < C(n-1, 2) + 2. 1) Έστω u κορυφή βαθμού = n-2. Νδο αν G u έχει κύκλο Hamilton, τότε και G έχει κύκλο Hamilton. G u γράφημα που προκύπτει από G με αφαίρεση u και ακμών που προσπίπτουν σε u. G u έχει n-1 κορυφές και κύκλο Hamilton (v 1, v 2,, v n-1, v 1 ). u συνδέεται με όλες τις κορυφές του G u εκτός από μία. Άρα u συνδέεται με κορυφές v k, v k+1 διαδοχικές σε κύκλο Hamilton. (v 1, v 2,, v k, u, v k+1,, v n-1, ν 1 ) αποτελεί κύκλο Hamilton για G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 38

Ερώτημα 4, 4 η Εργασία 08-09 2) Έστω u κορυφή βαθμού = n-1. Νδο αν G u έχει μονοπάτι Hamilton, τότε G έχει κύκλο Hamilton. G u έχει n-1 κορυφές και μονοπάτι Hamilton (v 1, v 2,, v n-1 ). u συνδέεται με όλες τις κορυφές του G u. (v 1, v 2,, v n-1, u, ν 1 ) αποτελεί κύκλο Hamilton για G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 39

Ερώτημα 4, 4 η Εργασία 08-09 Νδο (με μαθ. επαγωγή) κάθε απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και m C(n-1, 2)+2 ακμές έχει κύκλο Hamilton. Βάση: απλό γραφ. με 3 κορυφές και 3 ακμές (Κ 3 ) έχει κύκλο Ham. Επαγ. υπόθεση: κάθε απλό γράφημα με n-1 3 κορυφές και C(n-2, 2)+2 ακμές έχει κύκλο Hamilton. Επαγ. βήμα: G με n 4 κορυφές και C(n-1, 2)+2 ακμές. G έχει κορυφή u βαθμού n-2. Θεωρούμε το G u. Αν deg(u) = n-2, G u έχει n-1 κορυφές και #ακμών: Λόγω επαγ. υπόθεσης, G u έχει κύκλο Hamilton. Λόγω (1), G έχει κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 40

Ερώτημα 4, 4 η Εργασία 08-09 Νδο (με μαθ. επαγωγή) κάθε απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και m C(n-1, 2)+2 ακμές έχει κύκλο Hamilton. Επαγ. βήμα: G με n 4 κορυφές και C(n-1, 2)+2 ακμές. G έχει κορυφή u βαθμού n-2. Θεωρούμε το G u. Αν deg(u) = n-1, G u έχει n-1 κορυφές και #ακμών: Αν προσθέσουμε μια ακμή e στο G u, το G u +e θα έχει (λόγω επαγ. υπόθεσης) κύκλο Hamilton. Άρα G u (χωρίς την επιπλέον ακμή) έχει μονοπάτι Hamilton. Λόγω (2), G έχει κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 41

Ερώτημα 4, 4 η Εργασία 08-09 Νδο για κάθε n 3, υπάρχει απλό γράφημα με n κορυφές και C(n-1, 2)+1 ακμές που δεν έχει κύκλο Hamilton. Θεωρούμε το K n 1 και μια επιπλέον κορυφή u που συνδέεται με ακμή με κάποια κορυφή του K n 1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 (2012-2013) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 42