ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Π.Μ.Σ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 3 ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΤΑΜΟΥ Θεσσαλονίκη 2012

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Π.Μ.Σ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 3 ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΟΜΟΤ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΤΑΜΟΥ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΣΤΑΜΑΤΑΚΗΣ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ - ΦΛΩΡΟΥ Θεσσαλονίκη 2012

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον αξιότιμο, επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Γ. Στάμου. Προσηλωμένος στην παρακολούθηση της διπλωματικής μου εργασίας που ανέλαβε, με καθοδηγούσε ακούραστα και διόρθωνε επιμελώς την οποιαδήποτε παράλειψή μου, έτσι ώστε η εργασία να εκπονηθεί με επιτυχία. Επίσης, εκφράζω την ευγνωμοσύνη μου στην αξιότιμη κ. Δ. Παπαδοπούλου-Φλώρου και τον αξιότιμο κ. Σ. Σταματάκη για τις πολύτιμες και εύστοχες παρατηρήσεις τους καθώς επίσης και για την ουσιαστική συμμετοχή τους στην ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι: Ο ΧΩΡΟΣ MINKOWSKI R - ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 1. Καμπύλες στον χώρο R 3 2. Επιφάνειες στον χώρο R 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ GAUSS 1. Είδη επιφανειών εκ περιστροφής 9 2. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου Ι 10 3. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙ 15 4. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙΙ 20 5. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου IV 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ: ΕΛΙΚΟΕΙΔΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 1. Ορισμός των ελικοειδών επιφανειών 28 2. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου Ι 28 3. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου ΙΙ 32 4. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου ΙΙΙ 33 5. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου IV 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟIOYN ΤΗ ΣΥΝΘΗΚΗ Δ x = Αx 1. Εισαγωγή 45 2. Ταξινόμηση επιφανειών εκ περιστροφής που ικανοποιούν τη συνθήκη Δ x = Αx 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ GAUSS ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ 1. Εισαγωγή 55 2. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου Ι,ΙΙ και ΙΙΙ 59 3. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου IV 63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI: Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ GAUSS ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 1. Εισαγωγή 68 2. Κυλινδρικές ευθειογενείς επιφάνειες 69 3. Μη κυλινδρικές ευθειογενείς επιφάνειες τύπου Ι, Ι ή ΙΙ 75 4. Ευθειογενείς επιφάνειες τύπου Ι ή ΙΙ 76 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 78

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχει επικρατήσει να θεωρούμε κατά βάση τους Ευκλείδειους χώρους ως τους χώρους που μας περιβάλλουν, ιδιαιτέρως τον τριδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R. Σύμφωνα όμως με την ειδική θεωρία σχετικότητας, που διατυπώθηκε πριν από έναν αιώνα περίπου, έχουμε οδηγηθεί στην πλήρη αναθεώρηση των εννοιών του χώρου και του χρόνου. Ο χρόνος θεωρείται ως επιπλέον διάσταση και ο κόσμος που μας περιβάλλει τελικά δεν είναι Ευκλείδειος, αν και το γεγονός αυτό αποτελεί ένα σύγχρονο άβατο. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας είχε εισαχθεί από τον A. Einstein, το 1905, ο οποίος βασίστηκε σε προηγούμενες εργασίες του H.A. Lorentz και του H. Poincare. Τέθηκε το εξής εύλογο ερώτημα: Μπορεί να θεμελιωθεί στον «χωροχρόνο» δομή ανάλογη του Ευκλείδειου χώρου, που να έχει εξίσου πολλαπλές ευεργετικές ιδιότητες; Το ότι το ερώτημα αυτό επιδέχεται καταφατική απάντηση, διαπιστώθηκε το 1908 από τον Ρωσσογερμανό μαθηματικό H. Minkowski (1864-1909). Ο ίδιος συνειδητοποίησε πως η ειδική θεωρία της σχετικότητας μπορεί να εκπροσωπείται καλύτερα αν ο χρόνος και ο χώρος δεν διαχωρίζονται, αλλά συνυπάρχουν στις τέσσερις διαστάσεις του «χωροχρόνου». Το πλέον απλό παράδειγμα του σχετικού χωροχρόνου είναι ο τετραδιάστατος χώρος Minkowski (ή χώρος Lorentz) R, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με τη μετρική ds = dx + dx + dx + dx. Ανάλογα ορίζεται και ο τριδιάστατος χώρος Minkowski R, εφοδιασμένος με τη μετρική ds = dx + dx + dx. Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία θα μελετήσουμε ορισμένες κλάσεις επιφανειών του χώρου R, οι οποίες ικανοποιούν κάποιες συνθήκες. Η Εργασία απαρτίζεται από έξι Κεφάλαια. Στο πρώτο Κεφάλαιο αναφέρονται βασικές έννοιες και ορισμοί του τριδιάστατου χώρου Minkowski. Κατηγοριοποιούνται τα στοιχεία-διανύσματά του σε τρία είδη (χωροειδή, χρονοειδή, ισότροπα), όπως επίσης και οι καμπύλες στον χώρο αυτό. Ακόμα, δίνονται οι εξισώσεις Frenet, από όπου θα οριστούν η καμπυλότητα και η στρέψη μιας καμπύλης, όπως συμβαίνει και στον Ευκλείδειο χώρο. Στη συνέχεια, αναπτύσσεται συνοπτικά η θεωρία των επιφανειών στον R, με κατηγοριοποίηση αυτών σε διαφορετικά είδη (χωροειδείς, χρονοειδείς, ισότροπες) με βάση την πρώτη θεμελιώδη μορφή, την οποία και ορίζουμε. Ακολουθούν οι ορισμοί δύο θεμελιωδών εννοιών της θεωρίας επιφανειών του χώρου R : της απεικόνισης Gauss και της απεικόνισης Weingarten, οι οποίες είναι ανάλογες γνωστών εννοιών της θεωρίας επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου R. Τέλος, ορίζεται η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας στον R, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα. Στο Κεφάλαιο ΙΙ μελετούμε τις επιφάνειες εκ περιστροφής του χώρου R, οι οποίες διακρίνονται σε τέσσερις τύπους (Ι IV). Κάθε τύπος περιλαμβάνει δύο κατηγορίες επιφανειών εκ περιστροφής ( ή ), ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας της πρώτης θεμελιώδους μορφής. Προσδιορίζονται όλες αυτές οι επιφάνειες, οι οποίες έχουν σταθερή καμπυλότητα Gauss. Στο Κεφάλαιο ΙΙΙ μελετάται η κλάση των ελικοειδών επιφανειών του χώρου R, οι οποίες αποτελούν γενίκευση των επιφανειών εκ περιστροφής, όπως και στον Ευκλείδειο χώρο R. Διακρίνουμε και εδώ τέσσερις τύπους τέτοιων επιφανειών. Αποδεικνύεται, ότι για κάθε τύπο υπάρχουν ελικοειδείς επιφάνειες, όταν δίνεται η καμπυλότητα Gauss ή η μέση καμπυλότητα αυτών. Στο Κεφάλαιο ΙV προσδιορίζονται όλες οι επιφάνειες εκ περιστροφής x = x (u, v) του χώρου R, οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη Δ x = Ax, όπου A είναι ένας 3x3 πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και Δ είναι ο τελεστής Laplace ως προς την δεύτερη θεμελιώδη μορφή. Στο επόμενο Κεφάλαιο προσδιορίζονται όλες οι επιφάνειες εκ περιστροφής του χώρου R, οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη Δξ = Αξ, Α Mat(3, R), όπου

ξ = ξ (u, v) είναι το καθετικό μοναδιαίο διάνυσμα αυτών και Δ ο τελεστής Laplace ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Στο τελευταίο Κεφάλαιο της Διπλωματικής Εργασίας μελετάται η κλάση των ευθειογενών επιφανειών του χώρου R. Διακρίνουμε δυο τύπους των επιφανειών αυτών: τις κυλινδρικές ευθειογενείς επιφάνειες και τις μη κυλινδρικές ευθειογενείς επιφάνειες. Θεωρούμε κατόπιν τη συνθήκη Δξ = Αξ του προηγούμενου Κεφαλαίου και προσδιορίζουμε τις ευθειογενείς επιφάνειες κάθε τύπου, οι οποίες ικανοποιούν την αναφερθείσα συνθήκη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Ο ΧΩΡΟΣ MINKOWSKI R 1 3 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Στο Κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε ορισμένες μόνο έννοιες που σχετίζονται με τον χώρο Minkowski R, τις καμπύλες και τις επιφάνειες αυτού. Τα στοιχεία που εκτίθενται, τα θεωρούμε αρκετά για την ανάπτυξη του θέματος. Ο αναγνώστης που επιθυμεί εκτενέστερη ενημέρωση για τον χώρο R μπορεί να ανατρέξει στη σχετική βιβλιογραφία (βλ. π.χ. [7], [8]). Θεωρούμε τον συνήθη τριδιάστατο διανυσματικό χώρο R, ο οποίος απαρτίζεται από τα διανύσματα {x, x, x }, x R. Αν τον χώρο αυτό τον εφοδιάσουμε με το εσωτερικό γινόμενο < X, Y > = x y + x y + x y, τότε ο χώρος καλείται χώρος Minkowski ή χώρος Lorentz και συμβολίζεται με το σύμβολο R. Στον χώρο R διακρίνουμε τρία είδη διανυσμάτων. Ένα διάνυσμα X R καλείται: χωροειδές, αν < X, Χ > > 0, χρονοειδές, αν < X, Χ > < 0, φωτοειδές ή ισότροπο, αν < X, Χ > = 0, X 0. Το σύνολο των φωτοειδών διανυσμάτων ορίζει τον φωτοκώνο {(x, x, x )/x = x + x, x 0}. 1. Καμπύλες στον χώρο R 1 3 Θεωρούμε μια απεικόνιση f: I M R, όπου I είναι ένα ανοιχτό διάστημα του R. Η απεικόνιση αυτή είναι δυνατόν να ορισθεί με τη χρήση μιας διανυσματικής σχέσης x = x (t), t I. Υποθέτουμε ότι ισχύει x (t) C, r 1 και x (t) 0, t I. Τότε λέμε ότι έχουμε μια ομαλή καμπύλη της κλάσης διαφορισιμότητας C. Στο εξής οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται θα θεωρούνται αρκούντως διαφορίσιμες. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Μια ομαλή καμπύλη x (t): Ι R, x (t) C, r 1, καλείται: χωροειδής, αν < x (t), x (t) > > 0, t I χρονοειδής, αν < x (t), x (t) > < 0, t I φωτοειδής ή ισότροπη, αν < x (t), x (t) > = 0, t I.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.1 Η υπερβολή x = x + 1, x = 0 είναι χωροειδής. Αυτό διαπιστώνεται εύκολα, αν χρησιμοποιηθεί η παραμετροποίηση x (t) = {cosh t, sinh t, 0}. Τότε θα έχουμε x (t) = {sinh t, cosh t, 0}, οπότε < x (t), x (t) > = 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.2 Η υπερβολή x = x 1, x = 0 είναι χρονοειδής. Πράγματι, αν γίνει χρήση της παραμετροποίησης x (t) = {sinh t, cosh t, 0}, προκύπτει < x (t), x (t) > = 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.3 Η ευθεία x (t) = {t, t, 0} είναι ισότροπη και κείται στο εσωτερικό του φωτοκώνου (εκτός του σημείου t = 0). Ισχύει το ακόλουθο ΛΗΜΜΑ 1.1 Μια ομαλή καμπύλη x = x (t), t I, η οποία είναι παντού χωροειδής ή χρονοειδής, μπορεί να παραμετροποιηθεί ως προς τη φυσική παράμετρο, δηλαδή να ισχύει < x (t), x (t) > = ±1, t I. Για μια καμπύλη, η οποία είναι παντού φωτοειδής, αυτό εν γένει δεν είναι δυνατόν. Όμως, μπορεί να παραμετροποιηθεί έτσι, ώστε να ισχύει x (t) = 0. Οι παραμετροποιήσεις αυτές δεν είναι μοναδικές, αλλά ορίζονται το πολύ μέχρι ενός μετασχηματισμού t at + b, όπου a, b =σταθ. Η παράμετρος καλείται τότε αφινική παράμετρος. Για να αποδείξουμε τις εξισώσεις των παραγώγων, τις ανάλογες των τύπων του Frenet του ευκλείδειου χώρου R, θα μας χρειαστεί η έννοια του διανυσματικού γινομένου δυο διανυσμάτων του χώρου R. Αυτό ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2 Αν A, B, C R, τότε για το διανυσματικό γινόμενο A B έχουμε: για όλα τα C R. < A B, C > = d e t(a, B, C ), (1.1) Μετά τον ορισμό του διανυσματικού γινομένου, μπορούμε να θεωρούμε συνοδεύοντα ορθομοναδιαία τρίακμα μιας καμπύλης κατά τον ακόλουθο τρόπο: Στο τυχόν σημείο μιας καμπύλης Γ θεωρούμε δυο διανύσματα e, e, για τα οποία ισχύει < e, e > = ±1, i = 1,2 και < e, e > = 0. (1.2) Ένα τρίτο διάνυσμα ορίζεται από τη σχέση e e e. (1.3) Τα τρία αυτά διανύσματα ορίζουν ένα συνοδεύον ορθομοναδιαίο τρίακμο της Γ. Αν είναι τότε έχουμε < e, e > = ε, < e, e > = η, όπου ε, η {1, 1}, (1.4) < e, e > = εη. (1.5) Επομένως, κάθε διάνυσμα x R μπορεί να εκφρασθεί κατά μοναδικό τρόπο ως εξής:

x = ε < x, e > e + η < x, e > e εη < x, e > e. (1.6) Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (εξισώσεις Frenet στον χώρο R ): ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1 Έστω x = x (t) μια χωροειδής ή χρονοειδής καμπύλη, η οποία έχει παραμετροποιηθεί ως προς την φυσική παράμετρο και για την οποία ισχύει < x (t), x (t) > 0. Τότε, θεωρώντας το συνοδεύον τρίακμο e = x x (t) (t), e = < x (t), x (t) >, e = e e, (1.7) ισχύουν οι ακόλουθες εξισώσεις Frenet: Οι συναρτήσεις e e e 0 κη 0 = κε 0 τεη 0 τη 0 e e e. (1.8) κ = < e, e > και τ = < e, e > (1.9) καλούνται καμπυλότητα και στρέψη της καμπύλης, αντίστοιχα. 2. Επιφάνειες στον χώρο R 1 3 Εκτός από τις καμπύλες, μπορεί κανείς να μελετήσει και τις επιφάνειες του χώρου R. Μια (ομαλή) επιφάνεια του χώρου R ορίζεται ως μια απεικόνιση f: U M R, όπως ακριβώς στον ευκλείδειο χώρο R, όπου U είναι ένας ανοιχτός τόπος του R. Διανυσματικά μπορεί να παρασταθεί ως εξής: x = x (u, v), (u, v) U. (2.1) Επειδή υπάρχουν διάφοροι τύποι διανυσμάτων στον χώρο R, υπάρχουν και διάφορα είδη επιπέδων, ειδικότερα δε διάφορα είδη εφαπτόμενων επιπέδων μιας επιφάνειας. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή Ι της επιφάνειας f ορίζεται, όπως και στην περίπτωση του ευκλείδειου χώρου R, ως εξής: I =< dx, dx > = < x x, u u > du du =: g du du, i, j = 1,2, (2.2) όπου θέσαμε u u, u v. Πολλές φορές για τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης g χρησιμοποιούνται τα σύμβολα E g, F g = g, G g.

Αν είναι x = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}, τότε έχουμε Ε = x + y + z, F = x x + y y + z z, G = x + y + z. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.1 Θα πρέπει να τονιστεί ότι η ανωτέρω μετρική δεν είναι απαραίτητα θετικά ορισμένη, ακόμη κι αν η τάξη της είναι μέγιστη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.2 Η τάξη της μετρικής δεν μπορεί να μηδενιστεί, αφού δεν μπορεί να υπάρξει επίπεδο του χώρου R που να αποτελείται μόνο από ισότροπα διανύσματα. Ο ακόλουθος ορισμός ταξινομεί τις επιφάνειες του χώρου R σε διάφορους τύπους: ΟΡΙΣΜΟΣ 2.1 Μια επιφάνεια f: U R καλείται χωροειδής, όταν η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι θετικά ορισμένη, χρονοειδής, όταν η πρώτη θεμελιώδης μορφή δεν είναι ορισμένη, ισότροπη, όταν η πρώτη θεμελιώδης μορφή έχει τάξη 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.1 Το δίχωνο υπερβολοειδές x = x + x + 1 είναι μια επιφάνεια που είναι παντού χωροειδής. Η επιφάνεια αυτή προκύπτει από περιστροφή της χωροειδούς υπερβολής του παραδείγματος 1.1 γύρω από τον x άξονα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.2 Το μονόχωνο υπερβολοειδές x = x + x 1 είναι μια επιφάνεια που είναι παντού χρονοειδής. Προκύπτει από περιστροφή της χρονοειδούς υπερβολής του παραδείγματος 1.2 γύρω από τον x άξονα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.3 Ο φωτοκώνος x = x + x είναι μια ισότροπη επιφάνεια, εκτός από την κορυφή του, η οποία είναι μη ομαλό σημείο του φωτοκώνου. Ισχύει το ακόλουθο ΛΗΜΜΑ 2.1 Μια επιφάνεια f: U R είναι χωροειδής χρονοειδές χρονοειδής αν και μόνο αν, σε κάθε σημείο Ρ, υπάρχει ένα χωροειδές ισότροπη ισότροπο διάνυσμα x 0, το οποίο είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο Τ f αυτής στο σημείο P. Για την απόδειξη του Λήμματος βλ.[7]. Από το παραπάνω Λήμμα προκύπτει το ακόλουθο

ΠΟΡΙΣΜΑ 2.1 Μια χωροειδής επιφάνεια έχει ένα μοναδικό (το πολύ μέχρι προσήμου) μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα, το οποίο είναι χρονοειδές. Μια χρονοειδής επιφάνεια έχει ένα μοναδικό (το πολύ μέχρι προσήμου) μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα, το οποίο είναι χωροειδές. Μια ισότροπη επιφάνεια έχει έναν μοναδικό μονοδιάστατο καθετικό χώρο, ο οποίος περιέχεται σε έναν εφαπτόμενο χώρο. Στη συνέχεια θα ορίσουμε ορισμένες θεμελιώδεις έννοιες της θεωρίας επιφανειών του χώρου R, οι οποίες είναι ανάλογες γνωστών εννοιών της θεωρίας επιφανειών του ευκλείδειου χώρου R. Οι έννοιες αυτές είναι: Η απεικόνιση Gauss, η απεικόνιση Weingarten, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.2 Η απεικόνιση Gauss μιας επιφάνειας f: U R είναι η απεικόνιση ξ : U S (1) = {(x, x, x ) R / x + x + x = 1}, (2.3) αν η επιφάνεια είναι χρονοειδής (δηλαδή αν το καθετικό διάνυσμα είναι χωροειδές), και ξ : U S ( 1) = {(x, x, x ) R / x + x + x = 1}, (2.4) αν η επιφάνεια είναι χωροειδής (δηλαδή αν το καθετικό διάνυσμα είναι χρονοειδές). ΟΡΙΣΜΟΣ 2.3 Η απεικόνιση Weingarten ή τελεστής σχήματος της f σε ένα σημείο Ρ Μ είναι η γραμμική απεικόνιση L: Τ M Τ M, η οποία ορίζεται ως εξής: L = (dξ ) (dx ) (2.5) (ο ορισμός είναι εντελώς ανάλογος της αντίστοιχης έννοιας του ευκλείδειου χώρου R ). Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της επιφάνειας θα μπορούσε να ορισθεί όπως ακριβώς στην ευκλείδεια περίπτωση, δηλαδή II(X, Y) II < X, Y > = I(LX, Y) =: I(< LX, Y > ), όπου X, Y είναι δυο διανύσματα του εφαπτομενικού χώρου της επιφάνειας που αντιστοιχεί σε ένα σημείο αυτής. Όμως, επειδή υπάρχουν διάφοροι τύποι καθετικών διανυσμάτων της επιφάνειας, είναι σκόπιμο να ορίσουμε τη διανυσματική δεύτερη θεμελιώδη μορφή της επιφάνειας, δηλαδή να ορίσουμε τη II(X, Y) ως το καθετικό διάνυσμα της επιφάνειας, το οποίο ικανοποιεί τη σχέση < II(X, Y), ξ > = < LX, Y >. (2.6) Αν γίνει χρήση των τοπικών συντεταγμένων u u, u v, τότε έχουμε: ΙΙ x x, u u = h ξ = ε < x u u, ξ > ξ, (2.7) όπου ε =< ξ, ξ > είναι το πρόσημο του ξ.

ΟΡΙΣΜΟΣ 2.4 Καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας είναι η συνάρτηση K = < II(X, X), II(Y, Y) > < II(X, Y), II(Y, X) > I(X, X) I(Y, Y) I(X, Y) I(Y, X) = det (h ) ε, (2.8) det (g ) όπου {X, Y} είναι τυχαία βάση του εφαπτόμενου επιπέδου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.3 Θα μπορούσε, για παράδειγμα, να είναι X = x u, Y = x u. Αν ειδικότερα θεωρήσουμε μια ορθομοναδιαία βάση {e, e } με < e, e > = ε, i, j = 1,2, τότε έχουμε Κ = ε ε (< II(e, e ), II(e, e ) > < II(e, e ), II(e, e ) > ). (2.9) ΟΡΙΣΜΟΣ 2.5 Μέση καμπυλότητα μιας επιφάνειας καλείται το ίχνος της ΙΙ σε σχέση με την Ι. Το διάνυσμα της μέσης καμπυλότητας Η ορίζεται από τη σχέση Η = Η ξ = 1 2 ε II(e, e ) + ε II(e, e ). (2.10)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ GAUSS 1. Είδη επιφανειών εκ περιστροφής Μια επιφάνεια εκ περιστροφής στον ευκλείδειο χώρο R δημιουργείται περιστρέφοντας μια επίπεδη καμπύλη περί έναν τυχαίο άξονα, ο οποίος κείται στο επίπεδό της. Ωστόσο, στον χώρο Minkowski R υπάρχουν διαφορετικοί τύποι καμπυλών και διαφορετικοί τύποι αξόνων περιστροφής. Οπότε υπάρχουν και διαφορετικοί τύποι επιφανειών εκ περιστροφής. Έστω γ: I = (a, b) R Π μια καμπύλη σ ένα επίπεδο Π του R και έστω ε μια ευθεία του Π, η οποία δεν τέμνει την καμπύλη γ. Αν περιστρέψουμε την καμπύλη γ γύρω από τον άξονα ε, τότε προκύπτει μια επιφάνεια εκ περιστροφής Μ του χώρου R. Υποθέτουμε ότι η Μ είναι ομαλή. Η επιφάνεια Μ είναι αναλλοίωτη ως προς την ομάδα μετασχηματισμών του χώρου R, η οποία διατηρεί κάθε σημείο του άξονα περιστροφής ε. Αν ο άξονας περιστροφής ε είναι χωροειδής (αντ. χρονοειδής), τότε υπάρχει μετασχηματισμος Lorentz, ο οποίος απεικονίζει την ευθεία ε στον άξονα x ή στον άξονα x (αντ. ο οποίος απεικονίζει την ευθεία ε στον x -άξονα). Αν ο άξονας περιστροφής είναι φωτοειδής, τότε μπορεί να θεωρηθεί πως είναι η ευθεία που ορίζεται από το διάνυσμα {1,1,0} και την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Μια επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή μιας επίπεδης καμπύλης του χώρου R είναι: χωροειδής, αν η καμπύλη είναι χωροειδής, χρονοειδής, αν η καμπύλη είναι χρονοειδής, ισότροπη, αν η καμπύλη είναι ισότροπη. Έστω Μ τυχούσα επιφάνεια του χώρου με διανυσματική εξίσωση x = x (u, v). Υποθέτουμε ότι ισχύει F = 0. Ο τύπος που δίνει την καμπυλότητα Gauss (Theorema Egregium) είναι ο ακόλουθος (βλ. [8]): K = 1 EG ε u 1 G E u + ε v 1 E G v, όπου είναι ε = ±1, καθόσον E 0 και ε = ±1, καθόσον G 0, αντίστοιχα. Με χρήση του παραπάνω τύπου μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1 Μια επιφάνεια εκ περιστροφής Μ R έχει σταθερή καμπυλότητα Gauss K = c,αν και μόνο αν υπάρχει σταθερά c R, τέτοια ώστε να ισχύει G EG + 4ε c G = c, (1.1) όπου ε = 1 αν Ε > 0 και ε = 1 αν Ε < 0.

Απόδειξη: ( ) Έστω ότι K = c. Αρκεί να δειχθεί ότι Έχουμε Από το Theorema Egregium προκύπτει G EG + 4ε c G = 0. G EG + 4ε c G = 2 G G EG EG + 4ε c G. (α) Η σχέση αυτή δίνει οπότε η (α) γίνεται K = c = ε G 2 EG EG. 1 EG G EG = 2c, ε 2 G 2c ε + 4ε c G = 4 c ε G + 4ε c G = 0. ( ) Έστω ότι ισχύει η (1.1). Παραγωγίζουμε τα δυο μέλη της και έχουμε 2 G G EG EG + 4ε c G = 0 c = ε G 2 EG EG K = c, λόγω του Theorema Egregium. 3 Στα επόμενα ταξινομούνται επιφάνειες εκ περιστροφής στον χώρο R 1 με σταθερή καμπυλότητα Gauss. Διακρίνονται τέσσερις τύποι τέτοιων επιφανειών, ανάλογα με το είδος του άξονα περιστροφής. Κάθε ένας από τους τύπους αυτούς καλείται τύπου ή, ανάλογα με το πρόσημο του EG F. Οι επιφάνειες τύπου είναι τοπικά χωροειδείς επιφάνειες, ενώ οι επιφάνειες τύπου είναι τοπικά χρονοειδείς. 2. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου Ι Έστω Μ μια επιφάνεια, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι χωροειδής. Υποθέτουμε ότι ο άξονας αυτός είναι ο x. Έστω ότι η καμπύλη περιστροφής γ ανήκει στο x x -επίπεδο. Θα έχουμε τότε γ (u) = {0, f(u), g(u)}, u (a, b). (2.1) Υποθέτουμε χ.π.τ.γ. ότι η συνάρτηση f(u) είναι θετική. Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {0,0,1} εύκολα αποδεικνύεται πως δίνεται από τους πίνακες

cosh v sinh v 0 Α(v) = sinh v cosh v 0, v R. (2.2) 0 0 1 Έτσι, η επιφάνεια εκ περιστροφής Μ που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης γ γύρω από τον x -άξονα έχει διανυσματική εξίσωση: cosh v sinh v 0 0 x = x (u, v) = sinh v cosh v 0 f(u) = {f(u) sinh v, f(u) cosh v, g(u)}. (2.3) 0 0 1 g(u) Η επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (2.3) καλείται επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου Ι. Θεωρούμε τώρα μια επιφάνεια εκ περιστροφής Μ τύπου Ι και υποθέτουμε ότι Ισχύουν: f (u) + g (u) = 1. (2.4) E = f + g = 1, F = 0, G = f και EG F = f < 0. (2.5) Έτσι, για κάθε μετασχηματισμό θα ισχύει όπου δ = D(u, v) D(u, v ) 0. u = u(u, v ), v = v(u, v ) (2.6) EG F = δ (EG F ) < 0, Επομένως, κάθε επιφάνεια εκ περιστροφής Μ τύπου Ι είναι επιφάνεια τύπου Ι. Ακολουθεί διερεύνηση των επιφανειών εκ περιστροφής τύπου Ι με σταθερή καμπυλότητα Gauss K = c. Από την (2.5) έχουμε Ε = 1 > 0, άρα ε = 1, οπότε το Θεώρημα 1.1 δίνει G Από τις σχέσεις (2.5) και (2.7) προκύπτει Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Κ = 0 (c = 0). Η (2.8) γράφεται G + 4Κ G = c, c R. (2.7) f + Κf = c 4, c R. (2.8) f (u) = c 4 f (u) = ± c 2,

όπου 0 c 4, λόγω της (2.4). Συνεπώς Από την (2.4) έπεται f(u) = ± c 2 u + c, c R, c > 1, f > 0. g(u) = ±1 c 4 u + c, c R, 4 c 0. Η μορφή της επιφάνειας εξαρτάται από τη σταθερά c. Έτσι: Αν 4 > c > 0, τότε έχουμε οικογένεια υπερβολικών κώνων τύπου Ι, η οποία περιγράφεται από την εξίσωση x (u, v) = ± c 2 u + c sinh v, ± c 2 u + c cosh v, ±1 c 4 u + c, c, c R. Αν c = 4 ή c = 0, τότε έχουμε x = c, δηλαδή τα επίπεδα τα κάθετα στον άξονα περιστροφής ή οικογένεια υπερβολικών κυλίνδρων που δίνεται από την εξίσωση x (u, v) = {c sinh v, c cosh v, c ± u}, c, c R. Περίπτωση 2. Κ = 1 R 2. Η (2.8) γράφεται f (u) + 1 R f (u) = c 4, c R f(u) = Acos u R + c, c R με Α = R c 2 > 0., c Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θεωρούμε c = 0. Τότε έχουμε f(u) = Acos u R, Α = R c 2. Από την (2.4) έπεται g(u) = ± 1 A u R sin R du + c, c R με A R = c 4. (2.9) Χωρίς περιορισμό μπορούμε να θέσουμε c = 0. Η μορφή της επιφάνειας εξαρτάται πάλι από τη σταθερά c. Έτσι: Αν c = 4 (Α = R), τότε έχουμε f(u) = R cos u R, g(u) = ±R sin u R, οπότε μια διανυσματική παράσταση της επιφάνειας είναι x (u, v) = R cos u R sinh v, R cos u R cosh v, ±R sin u R, που είναι η υπερβολική σφαίρα x + x + x = R του R.

Αν 0 < c < 4 (Α < R), τότε έχουμε 1 A R sin u R > 0, u (a, b) και το ολοκλήρωμα (2.9) είναι ελλειπτικό. Η καμπύλη (2.1), από την οποία παράγεται η επιφάνεια, είναι γ (u) = 0, Α cos u R, ± 1 A u R sin R du και η αντίστοιχη επιφάνεια εκ περιστροφής είναι x (u, v) = Α cos u R sinh v, Α cos u R cosh v, ± 1 A u R sin R du Αν c > 4 (Α > R), τότε έχουμε Α R sin u R 1 sin u R 2. (2.10) c, c > 0 (2.11) Η αντίστοιχη επιφάνεια εκ περιστροφής στην περίπτωση αυτή δίνεται πάλι από την (2.10) υπό την συνθήκη (2.11). Περίπτωση 3. Κ = 1 R 2. Η (2.8) γράφεται f 1 R f = c 4, c R (2.12) f(u) = A sinh u R + B cosh u R, όπου A, B σταθερές, τέτοιες ώστε A B R = c 4. Η λύση αυτή γράφεται f(u) = k e / + k e /, όπου k = A + B 2, k = B A 2. (2.13) Από την (2.4) προκύπτει g(u) = ± 1 k e / R du + c, c R. (2.14) Χωρίς περιορισμό μπορούμε να θέσουμε c = 0. Το ολοκλήρωμα αυτό ορίζεται αν και μόνο αν

k e R 1 u R R ln 2 k. (2.15) Η μορφή της επιφάνειας εξαρτάται από τις σταθερές k, k. Έτσι διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν k = 0 (Α = Β c = 0), τότε έχουμε k = Α και η (2.13) γράφεται f(u) = k e / = Αe /, οπότε η αντίστοιχη επιφάνεια εκ περιστροφής είναι x (u, v) = Αe / sinh v, Αe / cosh v, ± 1 k e / du. (2.16) R ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.1 Στην ειδική περίπτωση όπου Κ = 1, δηλαδή (2.15) γίνεται R = 1, ο περιορισμός u ln 1 k. Υπό αυτή την προϋπόθεση και θέτοντας το ολοκλήρωμα (2.14) δίνει k R e/ = sinφ, 0 φ π 2 g(u) = ±R ln tan φ 2 + cosφ, οπότε η αντίστοιχη διανυσματική εξίσωση της επιφάνειας εκ περιστροφής είναι x(u, v) = Αe sinhv, Αe coshv, ±R ln tan φ 2 + cosφ. Αν k k > 0 (c < 0), τότε η (2.12) γράφεται f(u) = a cosh u R, a = 2k k > 0. Από την (2.4) προκύπτει g(u) = ± 1 α u R sinh R du + c = ± 1 + c u 4 sinh R du + c, c R, το οποίο είναι ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Χωρίς περιορισμό μπορούμε να θέσουμε c = 0. Η διανυσματική εξίσωση της επιφάνειας Μ είναι τότε

x (u, v) = a cosh u R sinh v, a cosh u R cosh v, ± 1 + c u 4 sinh R du. (2.17) Αν k k < 0 (c > 0), τότε η (2.12) γίνεται f(u) = b sinh u R, b = 2 k k > 0. Από την (2.4) προκύπτει g(u) = ± 1 b u R cosh R du + c = ± 1 c u 4 cosh R du + c, c R. Χωρίς περιορισμό μπορούμε να θέσουμε c = 0. Η διανυσματική εξίσωση της επιφάνειας Μ παίρνει τη μορφή x (u, v) = b sinh u R sinh v, b sinh u R cosh v, ± 1 c u 4 cosh R du. (2.18) Από τα παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1 Οι μόνες επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου Ι στον χώρο R με σταθερή καμπυλότητα Gauss είναι τύπου Ι, δηλαδή είναι τοπικά χρονοειδείς επιφάνειες. Συγκεκριμένα, οι επιφάνειες αυτές είναι οι υπερβολικοί κύλινδροι και κώνοι, οι υπερβολικές σφαίρες, τα επίπεδα τα κάθετα στον άξονα περιστροφής και οι επιφάνειες με διανυσματικές εξισώσεις (2.10), (2.16)-(2.18). 3. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙ Θεωρούμε μια επιφάνεια Μ R, της οποίας πάλι ο άξονας περιστροφής είναι χωροειδής (έστω ο x -άξονας του συστήματος συντεταγμένων), η καμπύλη όμως γ (u), από την οποία παράγεται η Μ, υποθέτουμε ότι κείται στο x x -επίπεδο. Έχουμε γ (u) = {f(u), 0, g(u)}, u (a, b) (3.1) και υποθέτουμε χ.π.τ.γ. ότι f(u) > 0, u (a, b). Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {0,0,1} εύκολα αποδεικνύεται πως δίνεται από τους πίνακες cosh v sinh v 0 Α(v) = sinh v cosh v 0, v R. (3.2) 0 0 1 Έτσι, η επιφάνεια Μ έχει την ακόλουθη διανυσματική εξίσωση:

cosh v sinh v 0 f(u) x = x (u, v) = sinh v cosh v 0 0 = {f(u) cosh v, f(u) sinh v, g(u)}. (3.3) 0 0 1 g(u) Η επιφάνεια αυτή καλείται επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου ΙI. Έχουμε: E = f + g, F = 0, G = f > 0 και EG F = f f + g, (3.4) με f(u) > 0, u I = (a, b). 3.1 Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙ Έστω ότι η επιφάνεια Μ είναι τύπου ΙΙ με σταθερή καμπυλότητα Gauss K = c. Από τη σχέση (1.1) και λόγω των (3.4) λαμβάνουμε g = (4 + c 4cf )f c 4cf. (3.5) Υποθέτουμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι f(u) = u, u (a, b) (0, + ), οπότε με > 0, λόγω της (3.5). g(u) = ± 4cu 4 c 4cu du + c c, c R, (3.6) Χωρίς περιορισμό θέτουμε c = 0. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Κ = c = 0. Τότε από την (1.1) έχουμε c 0. Στην περίπτωση που είναι c > 0 παίρνουμε υπερβολικούς κώνους τύπου ΙΙ, οι οποίοι δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = u cosh v, u sinh v, ±1 + 4 c (u u ), ενώ αν είναι c = 0, θα έχουμε υπερβολικούς κυλίνδρους, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = {c cosh v, c sinh v, u }, c R. Περίπτωση 2. Κ = c > 0. Τότε από την (1.1) έχουμε c > 0. Θέτουμε u = x > 0, A(x) = 4cx 4 c, B(x) = 4cx c.

Τότε το ολοκλήρωμα (3.6) είναι καλά ορισμένο αν και μόνο αν A(x)B(x) > 0 16c x + 8c( 2 c )x + 4c + c >, οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι 0, c 4c, c + 4, + 4c και οι αντίστοιχες επιφάνειες εκ περιστροφής δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = u cosh v, u sinh v, g(u) = ± 4cu 4 c 4cu du. (3.7) c Περίπτωση 3. Κ = c < 0. Διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: Αν c < 4 ή 4 < c < 0 ή c > 0, τότε έχουμε τις επιφάνειες που δίνονται από την εξίσωση (3.7) και το πεδίο ορισμού της g είναι 0, c + 4 4c c 4c,+ ή c,+ ή (0, + ], 4c αντίστοιχα. Αν c = 4, τότε έχουμε υπερβολικούς κώνους τύπου ΙΙ, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = u cosh v, u sinh v, g(u) = ± u + 1 c u + 1 c και το πεδίο ορισμού της g είναι 3.2 Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙ 1 c, +. Έστω ότι η επιφάνεια Μ είναι τύπου ΙΙ. Από τη σχέση (1.1) και λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (3.4) έχουμε οπότε g = (4 c 4cf )f c 4cf,

g(u) = ± 4cu 4 + c 4cu du + c + c, c R. (3.8) Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θεωρούμε f(u) = u, u (a, b) (0, + ). Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Κ = c = 0. Τότε έχουμε c 4. Στη περίπτωση αυτή παίρνουμε τα επίπεδα x = c, c R ή την οικογένεια υπερβολικών κώνων τύπου ΙΙ, που δίνεται από την εξίσωση x (u, v) = u cosh v, u sinh v, ± 1 4 c (u u ). Περίπτωση 2. Κ = c > 0. Τότε έχουμε c R. Θέτουμε u = x > 0, A(x) = 4cx 4 + c, B(x) = 4cx + c. Τότε το ολοκλήρωμα (3.8) είναι καλά ορισμένο αν και μόνο αν A(x)B(x) > 0 16c x + 8c( 2 + c )x 4c + c > 0. Διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: Αν c 0 ή 0 < c < 4 ή 4 < c, τότε έχουμε τις επιφάνειες x (u, v) = u cosh v, u sinh v, g(u) = ± 4cu 4 + c 4cu du, (3.9) + c όπου το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι c + 4, + ή (0, + ) ή 0, c 4c 4c 4 c 4c,+, αντίστοιχα. Αν c = 4, τότε έχουμε υπερβολικούς κώνους τύπου ΙΙ, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = u cosh v, u sinh v, g(u) = ± u + 1 c u + 1 (3.10) c και το πεδίο ορισμού της g είναι (0, + ). Περίπτωση 3. Κ = c < 0. Τότε έχουμε c > 0. Διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις:

Αν c 0, 0 < c < 4 ή 4 < c, τότε η εξίσωση της επιφάνειας δίνεται από την (3.9) και το πεδίο ορισμού της g είναι c 4c,+ ή 0, c + 4 c,+, 4c 4c αντίστοιχα. Αν c = 4, τότε έχουμε υπερβολικούς κώνους τύπου ΙΙ, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = u cosh v, u sinh v, g(u) = ± u + 1 c u + 1 c και το πεδίο ορισμού της g είναι 1 c, +. Από τα παραπάνω προκύπτει το εξής θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1 Οι μόνες επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙ ή ΙΙ στον χώρο R με σταθερή καμπυλότητα Gauss είναι υπερβολικοί κώνοι ή κύλινδροι ή επιφάνειες, οι οποίες δίνονται από τις εξισώσεις (3.7) και (3.9). 4. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙΙ Έστω Μ R μια επιφάνεια εκ περιστροφής, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι χρονοειδής. Αυτός ας είναι ο x -άξονας του συστήματος συντεταγμένων. Υποθέτουμε ότι η καμπύλη γ = γ (u), από την οποία παράγεται η Μ, κείται στο x x - επίπεδο. Έχουμε τότε: γ (u) = {g(u), f(u), 0}, u (a, b). (4.1) Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι f(u) > 0, u (a, b). Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {1,0,0} αποδεικνύεται ότι δίνεται από τους πίνακες 1 0 0 Α(v) = 0 cos v sin v, 0 v 2π. (4.2) 0 sin v cos v Έτσι, η επιφάνεια εκ περιστροφής Μ ορίζεται από τη διανυσματική εξίσωση 1 0 0 g(u) x = x (u, v) = 0 cos v sin v f(u) = {g(u), f(u) cos v, f(u) sin v}. (4.3) 0 sin v cos v 0

Η επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (4.3) καλείται επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου ΙIΙ. Οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής της επιφάνειας Μ είναι οι ακόλουθοι: E = f g, F = 0, G = f > 0 και EG F = f f g, (4.4) με f(u) > 0, u I = (a, b). 4.1 Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙΙ Έστω ότι η επιφάνεια Μ είναι του τύπου ΙΙΙ και ότι K = c = σταθ. Από την (1.1) και με χρήση των (4.4) προκύπτει g = ( 4 + c 4cf )f c 4cf. (4.5) Υποθέτουμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι f(u) = u, u (a, b) (0, + ). Θα έχουμε τότε g(u) = ± 4cu + 4 c 4cu du + c c, c R. (4.6) Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Κ = c = 0. Τότε από την (4.6) έχουμε c 4. Αν είναι c = 4, θα προκύψουν τα επίπεδα x = c, c R. Αν είναι c > 4, θα προκύψει η οικογένεια κώνων εκ περιστροφής, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = ±1 4 (u u c ), u cos v, u sin v. Περίπτωση 2. Κ = c > 0. Τότε έχουμε c > 0. Θέτουμε u = x > 0. Τότε το ολοκλήρωμα (4.6) είναι καλά ορισμένο αν και μόνο αν 16c x + 8c(2 c )x 4c + c > 0. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν 0 < c < 4 ή 4 < c, τότε έχουμε την επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση x (u, v) = g(u) = ± 4cu + 4 c 4cu du + c c, u cos v, u sin v, c R (4.7)

και το πεδίο ορισμού της g είναι c 4c,+ ή 0, c + 4 4c c,+, 4c αντίστοιχα. Αν c = 4, τότε έχουμε οικογένεια κώνων εκ περιστροφής, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = g(u) = ± u 1 c u 1, u cos v, u sin v c και το πεδίο ορισμού της g είναι 1 c, +. Περίπτωση 3. Κ = c < 0. Τότε έχουμε c R. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν c < 0 ή 0 < c < 4 ή c > 4, τότε έχουμε την επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση (4.7) και το πεδίο ορισμού της g είναι 0, c 4c c 4,+ ή c 4,+ ή (0, + ), 4c 4c αντίστοιχα. Αν c = 4, τότε έχουμε οικογένεια κώνων εκ περιστροφής, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = g(u) = ± u 1 c u 1, u cos v, u sin v c και το πεδίο ορισμού της g είναι (0, + ). 4.2 Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙΙ Έστω ότι η επιφάνεια Μ είναι τύπου ΙΙΙ. Από τη σχέση (1.1) και με χρήση των (4.4) προκύπτει g = ( 4 c 4cf )f c 4cf. Υποθέτουμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι f(u) = u, u (a, b) (0, + ). Τότε θα έχουμε

g(u) = ± 4cu + 4 + c 4cu du + c + c, c R. (4.8) Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Κ = c = 0. Τότε έχουμε c 0. Στην περίπτωση που είναι c > 0 παίρνουμε οικογένεια κώνων εκ περιστροφής, οι οποίοι δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = ± 1 + 4 c (u u ), u cos v, u sin v, ενώ στην περίπτωση που είναι c = 0, έχουμε τους κυλίνδρους εκ περιστροφής με εξίσωση x (u, v) = {u, c cos v, c sin v}, c R. Περίπτωση 2. Κ = c > 0. Τότε έχουμε c R. Θέτουμε u = x > 0. Τότε το ολοκλήρωμα (4.8) είναι καλά ορισμένο αν και μόνο αν Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: 16c x + 8c(2 + c )x + 4c + c > 0. Αν 4 < c < 0 ή 0 < c,τότε έχουμε τις επιφάνειες x (u, v) = g(u) = ± 4cu + 4 + c 4cu du, u cos v, u sin v, (4.9) + c όπου το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι αντίστοιχα. c, + ή (0, + ), 4c Αν c = 4, τότε έχουμε οικογένεια κώνων εκ περιστροφής, που δίνονται από την εξίσωση x (u, v) = g(u) = ± u 1 c u 1, u cos v, u sin v (4.10) c και το πεδίο ορισμού της g είναι 1,+. c

Περίπτωση 3. Κ = c < 0. Τότε έχουμε c > 0. Στη περίπτωση αυτή η εξίσωση της επιφάνειας είναι x (u, v) = g(u) = ± 4cu + 4 + c 4cu du, u cos v, u sin v, + c και το πεδίο ορισμού της g είναι 0, c 4c c 4,+. 4c Από τα παραπάνω προκύπτει το εξής θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 4.1 Οι μόνες επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙΙΙ ή ΙΙΙ στον χώρο R με σταθερή καμπυλότητα Gauss είναι κώνοι και κύλινδροι εκ περιστροφής, τα επίπεδα τα κάθετα στον άξονα περιστροφής και οι επιφάνειες, οι οποίες επιφάνειες δίνονται από τις εξισώσεις (4.7) και (4.9). 5. Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙV Έστω Μ επιφάνεια εκ περιστροφής, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι φωτοειδής. Υποθέτουμε ότι ο άξονας αυτός προσανατολίζεται από το διάνυσμα {1,1,0}. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, έστω ότι η καμπύλη γ = γ (u) που παράγει την Μ ανήκει στο x x -επίπεδο. Έχουμε τότε: Υποθέτουμε ότι f(u) > 0 και f(u) g(u), u (a, b). γ (u) = {f(u), g(u), 0}, u (a, b). (5.1) Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {1,1,0} εύκολα αποδεικνύεται πως δίνεται από τους πίνακες 1 + v v v 2 2 Α(v) = v 1 v, v R. (5.2) v 2 2 v v 1 Έτσι, η επιφάνεια εκ περιστροφής Μ έχει διανυσματική εξίσωση = f(u) + v 2 1 + v v v 2 2 f(u) x = x (u, v) = v 1 v g(u) = v 2 2 0 v v 1 h(u), g(u) + v 2 h(u), h(u)v, όπου h(u) = f(u) g(u). (5.3)

Η επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (5.3) καλείται επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου ΙV. Οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής της επιφάνειας Μ είναι οι ακόλουθοι: E = f + g, F = 0, G = (f g) > 0 και EG F = (f g) f + g, (5.4) με f(u) > 0, u I = (a, b). 5.1 Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙV Έστω ότι η επιφάνεια Μ είναι τύπου ΙV και ότι για την καμπυλότητα Gauss αυτής ισχύει K = c = σταθ. Από την (1.1) και λόγω των (5.4) προκύπτει η διαφορική εξίσωση 1 c 4 + c(u g) g + c(u g) = c + 1, (5.5) 4 όπου έχουμε υποθέσει, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι f(u) = u, u (a, b) (0, + ). Θέτουμε δ = 1. Τότε η (5.5) λαμβάνει την ισοδύναμη μορφή (g + 1)[δ + c(u g) ] = 2. (5.6) Επίσης, θέτουμε h(u) = g(u) u, οπότε η (5.6) γράφεται από την οποία παίρνουμε (h + 2)(δ + ch ) = 2, δ + ch δ + ch 1 dh = 2u + c, c R. Αν υποθέσουμε ότι cc > 0, τότε παίρνουμε h(u) 1 2 c c h(u) + ln h(u) + 1 = 2u + c 2 c c g(u) u 1 2 c c g(u) + ln g(u) u + 1 = u + c. (5.7) 2 c c Αν υποθέσουμε ότι cc < 0,τότε παίρνουμε

g(u) + 2 2(g(u) u) arctan cc c = u + c, (5.8) c οπότε η επιφάνεια Μ τύπου ΙV περιγράφεται από την εξίσωση x = x (u, v) = u + v 2 v h(u), g(u) + h(u), h(u)v, όπου h(u) = u g(u) 2 και η συνάρτηση g(u) δίνεται από την εξίσωση (5.7) ή (5.8). Από τα παραπάνω προκύπτει το εξής θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 5.1 Οι μόνες επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙV στον χώρο R με σταθερή καμπυλότητα Gauss είναι οι επιφάνειες της εξίσωσης (5.3), όπου η συνάρτηση g(u) δίνεται από τη σχέση (5.7) ή (5.8). 5.2 Επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙV Έστω ότι η επιφάνεια Μ είναι τύπου ΙV. Από την (1.1) και με χρήση των (5.4) προκύπτει η διαφορική εξίσωση 1 + c 4 + c(u g) g + c(u g) = c + 1, (5.9) 4 όπου έχουμε υποθέσει, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι f(u) = u (a, b) (0, + ). Αυτή η διαφορική εξίσωση είναι όμοια με την εξίσωση (5.5), οπότε έχουμε: Αν cc < 0, τότε παίρνουμε g(u) u 1 2 c c g(u) + ln g(u) u + 1 2 c = u + c, c R. (5.10) c Αν cc > 0, τότε παίρνουμε g(u) + 2 2(g u) arctan cc c = u + c, (5.11) c οπότε η επιφάνεια εκ περιστροφής Μ τύπου ΙV περιγράφεται από την εξίσωση x = x (u, v) = u + v 2 h(u), g(u) + v 2 h(u), h(u)v, όπου h(u) = u g(u)

και η συνάρτηση g(u) δίνεται από την εξίσωση (5.10) ή (5.11). Από τα παραπάνω προκύπτει το εξής θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 5.2 Οι μόνες επιφάνειες εκ περιστροφής τύπου ΙV στον χώρο R με σταθερή καμπυλότητα Gauss είναι οι επιφάνειες με εξίσωση (5.3), όπου η συνάρτηση g(u) δίνεται από τη σχέση (5.10) ή (5.11).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ III ΕΛΙΚΟΕΙΔΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 1. Ορισμός των ελικοειδών επιφανειών Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την ύπαρξη ελικοειδών επιφανειών, οι οποίες είναι εμβαπτισμένες στον χώρο R, όταν δίνεται η καμπυλότητα Gauss ή η μέση καμπυλότητα ως λείες συναρτήσεις. Γνωρίζουμε ότι στον χώρο R υπάρχουν διάφοροι τύποι καμπυλών και διάφοροι τύποι ευθειών. Επομένως υπάρχουν και διάφοροι τύποι ελικοειδών επιφανειών. Έστω γ: I = (a, b) R Π μια καμπύλη που κείται σ ένα επίπεδο Π του χώρου R και έστω ε μια ευθεία του Π, η οποία δεν τέμνει την καμπύλη γ. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Μια ελικοειδής επιφάνεια Μ του χώρου R ορίζεται ως μια ομαλή επιφάνεια, που παράγεται από μια ελίκωση g : R R, t R της καμπύλης γ με άξονα ελίκωσης ε. Δηλαδή, μια ελικοειδής επιφάνεια Μ με άξονα ε στον R είναι αναλλοίωτη ως προς την μονοπαραμετρική υποομάδα των στερεών κινήσεων στον R. Αν ο άξονας ελίκωσης ε είναι χωροειδής (αντίστοιχα χρονοειδής), τότε υπάρχει μετασχηματισμός Lorentz, με τον οποίο ο άξονας ε μετασχηματίζεται στον x -άξονα ή στον x - άξονα (αντίστοιχα στον x -άξονα),όπου Οx x x είναι το σταθερό σύστημα συντεταγμένων. Επειδή η επιφάνεια Μ είναι ομαλή, μπορούμε να θεωρήσουμε την περίπτωση όπου το επίπεδο Π είναι χωροειδής ή χρονοειδής επιφάνεια. Έτσι, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε πως το επίπεδο Π είναι το x x - επίπεδο ή το x x -επίπεδο. Αν ο άξονας περιστροφής είναι φωτοειδής, τότε αυτός μπορεί να θεωρηθεί πως είναι η ευθεία που ορίζεται από το διάνυσμα {1,1,0} και διέρχεται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Στα επόμενα θα γίνει ταξινόμηση των ελικοειδών επιφανειών του χώρου R και θα διατυπωθούν ορισμένα θεωρήματα ύπαρξης. Το είδος της ελικοειδούς επιφάνειας εξαρτάται από το είδος του άξονα περιστροφής. Έτσι, θα προκύψουν τέσσερις τύποι ελικοειδών επιφανειών (I-IV). Κάθε ένας από τους τύπους αυτούς καλείται τύπου ή, ανάλογα αν το πρόσημο της συνάρτησης EG F είναι + ή -. Είδη ελικοειδών επιφανειών 2. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου Ι Έστω Μ μια ελικοειδής επιφάνεια, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι χωροειδής. Υποθέτουμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι ο άξονας αυτός είναι ο x. Υποθέτουμε ακόμη, ότι η καμπύλη ελίκωσης γ ανήκει στο x x -επίπεδο. Έτσι, η καμπύλη γ παραμετροποιείται ως εξής: γ (u) = {0, f(u), g(u)}, u (a, b) (2.1)

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {0,0,1} δίνεται από τους πίνακες cosh v sinh v 0 Α(v) = sinh v cosh v 0, v R. (2.2) 0 0 1 Έτσι, η ελικοειδής επιφάνεια Μ παραμετροποιείται ως εξής: cosh v sinh v 0 0 0 x = x (u, v) = sinh v cosh v 0 f(u) + 0 0 0 1 g(u) cv = {f(u) sinh v, f(u) cosh v, g(u) + cv}, (2.3) f(u) > 0, c R. Η ελικοειδής επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (2.3) καλείται τύπου Ι. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.1 Για c = 0 η ελικοειδής επιφάνεια τύπου Ι είναι επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου Ι του προηγούμενου Κεφαλαίου. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θέτουμε f(u) = u, οπότε μια ελικοειδής επιφάνεια τύπου Ι παραμετροποιείται ως εξής: x = x (u, v) = {u sinh v, u cosh v, g(u) + cv}, c R. (2.4) Αποδεικνύουμε τώρα το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1 Έστω ότι a(u) = {0, u, g(u)}, u Ι = (a, b) R είναι μια καμπύλη ελίκωσης της ελικοειδούς επιφάνειας Μ R, που δίνεται από την (2.4). Τότε η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα στο σημείο 0, u, g(u) είναι συναρτήσεις μόνο της μεταβλητής u, δηλαδή K = K(u), H = H(u). Επίσης, δοθέντων σταθερών c R, c, c R και μιας λείας συνάρτησης K = K(u) (αντίστοιχα H = H(u)), u Ι ορίζουμε ένα σύνολο καμπυλών a(u) a(k(u), c; c, c ), (αντίστοιχα a(u) a(η(u), c; c, c )). Τότε υπάρχουν ελικοειδείς επιφάνειες τύπου Ι (ή Ι ) του χώρου R, με γεννήτορες καμπύλες a(u) και καμπυλότητα Gauss K = K(u), u Ι (αντίστοιχα μέση καμπυλότητα H = H(u), u Ι = ( c, c) I). Απόδειξη: Θεωρούμε την επιφάνεια που δίνεται από την (2.4). Η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή αυτής δίνονται από τις σχέσεις I = 1 + g du + 2cg dudv + (c u )dv (2.5) II = 1 w ( ug du + cdudv + u g dv ), (2.6) όπου w = c u 1 + g. Έτσι, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας Μ δίνονται από τις σχέσεις

u g g + c K(u) = c u 1 + g c u 1 + g (2.7) και H(u) = u g 1 + g ug (c u ) 2c g 2c u 1 + g c u 1 + g (2.8) αντίστοιχα, οι οποίες είναι συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής u,αφού και η g: R R είναι επίσης συνάρτηση του u. Θεωρούμε την περίπτωση όπου EG F = c u 1 + g > 0. Αν είναι EG F = c u 1 + g < 0,δουλεύουμε εντελώς όμοια. Τότε οι (2.7) και (2.8) παίρνουν τη μορφή u g g + c K(u) = c u 1 + g (2.7a) και H(u) = u g 1 + g ug (c u ) 2c g 2[c u 1 + g ]. (2.8b) Θα λύσουμε την (2.7a),υποθέτοντας ότι η K = K(u) είναι γνωστή συνάρτηση. Τότε η (2.7a) γράφεται όπου Η γενική λύση της (2.9) είναι h (u) = 2uK(u), (2.9) h(u) = u g c c u 1 + g. (2.10) h(u) = c + 2 uk(u)du, c R. (2.11) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (2.10) και (2.11) παίρνουμε g (u) = c A u (A 1) u, u 0, A όπου A = 1 + c + 2 uk(u)du < 0, u 0. Επομένως g(u) = c ± (c u )A + u u A du, c R, (2.12) όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Θεωρούμε τώρα σταθερά c R και έστω ότι η K = K(u) είναι η δοθείσα λεία συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα Ι R {0}. Έτσι, για κάθε u I

μπορούμε να βρούμε ένα ανοικτό υποδιάστημα U u του Ι και ένα ανοικτό διάστημα Ι του R, που να περιέχει τη σταθερά c = (2 uk(u)du)(u ), έτσι ώστε η συνάρτηση F: U I R με F(u, c ) = A + k, k > 1 να είναι αρνητική για κάθε (u, c ) U I. Στην πραγματικότητα, έχουμε ότι F(u, c ) = 1 k < 0. Τότε, λόγω της συνέχειας της F, αυτή είναι αρνητική σ ένα υποσύνολο του R της μορφής U I. Έτσι, για κάθε (u, c ) U I, c R, c R και για δοθείσα συνάρτηση K = K(u) μπορούμε να ορίσουμε τη διπαραμετρική οικογένεια καμπυλών a(u) a(k(u), c; c, c ) = 0, u, c ± (c u )A + u u A du. (2.13) Εφαρμόζοντας τώρα ελικοειδή κίνηση με άνοιγμα c σε αυτές τις καμπύλες, παίρνουμε μια διπαραμετρική οικογένεια ελικοειδών επιφανειών τύπου Ι (αντίστοιχα τύπου Ι για την περίπτωση EG F < 0) στον R με καμπυλότητα Gauss K(u), u I και άνοιγμα c. Αυτές οι επιφάνειες δίνονται από την εξίσωση x = x (u, v) = u sinh v, u cosh v, cv + c ± (c u )A + u u A du. (2.14) Με όμοιο τρόπο θα λύσουμε την (2.8b), υποθέτοντας ότι η Η = Η(u) είναι γνωστή συνάρτηση. Τότε η (2.8b) γράφεται όπου φ (u) + 2 u 2H(u) φ(u) =, u 0, (2.15) u φ(u) = g (u). (2.16) c u 1 + g (u) Η γενική λύση της (2.15) είναι φ(u) = 1 u 2 uh(u)du + c, c R. (2.17) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (2.16) και (2.17) παίρνουμε όπου g (u) = (c u )B u (u + B ), u I = ( c, c), (2.18) Επομένως έχουμε Β(u) = 2 uh(u)du + c. (2.19) g(u) = c ± B c u u u + B du, c R, (2.20)

όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Έτσι με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τη διπαραμετρική οικογένεια καμπυλών a(u) a(η(u), c; c, c ) = 0, u, c ± B c u du. (2.21) u u + B Εφαρμόζοντας τώρα ελικοειδή κίνηση με άνοιγμα c σε αυτές τις καμπύλες, παίρνουμε μια διπαραμετρική οικογένεια ελικοειδών επιφανειών τύπου Ι (αντίστοιχα τύπου Ι για την περίπτωση EG F < 0) στον R με μέση καμπυλότητα Η(u), u Ι. Αυτές οι επιφάνειες δίνονται από την εξίσωση x = x (u, v) = u sinh v, u cosh v, cv + c ± B c u du. (2.22) u u + B ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.2 Οι ελικοειδείς επιφάνειες που δίνονται από τις σχέσεις (2.14) και (2.22) είναι χωροειδείς επιφάνειες τύπου Ι. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.3 Αν υποθέσουμε ότι F = 0, τότε g(u) = c και η εξίσωση (2.4) μετατρέπεται στην εξίσωση της κοινής ελικοειδούς στον R. Η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα αυτών των κοινών ελικοειδών τύπου Ι ή τύπου Ι είναι ή c K(u) = (c u < 0, Η(u) = 0 ) K(u) = c (c u > 0, Η(u) = 0, ) αντίστοιχα. Έτσι, οι κοινές ελικοειδείς επιφάνειες τύπου Ι ή τύπου Ι είναι ελαχιστικές επιφάνειες του χώρου R με αρνητική ή θετική καμπυλότητα Gauss. 3. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου ΙΙ Έστω Μ μια ελικοειδής επιφάνεια, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι χωροειδής. Υποθέτουμε τώρα, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι ο άξονας αυτός είναι ο x και ότι η καμπύλη ελίκωσης γ ανήκει στο x x -επίπεδο. Έτσι, η καμπύλη γ παραμετροποιείται ως εξής: γ (u) = {f(u), 0, g(u)}, (3.1) όπου f = f(u) είναι θετική συνάρτηση της κλάσης C και g = g(u) μια συνάρτηση της κλάσης C, ορισμένη στο Ι = (a, b). Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {0,0,1} εύκολα αποδεικνύεται πως δίνεται από τους πίνακες cosh v sinh v 0 Α(v) = sinh v cosh v 0, v R. (3.2) 0 0 1 Έτσι, η ελικοειδής επιφάνεια Μ περιγράφεται διανυσματικά ως εξής:

cosh v sinh v 0 f(u) 0 x = x (u, v) = sinh v cosh v 0 0 + 0 0 0 1 g(u) cv = {f(u) cosh v, f(u) sinh v, g(u) + cv} (3.3) f(u) > 0, c R. Η ελικοειδής επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (3.3) καλείται τύπου ΙI. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 3.1 Για c = 0 η ελικοειδής επιφάνεια τύπου ΙΙ είναι η επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου ΙΙ του προηγούμενου Κεφαλαίου. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, μπορούμε να θέσουμε f(u) = u, οπότε η (3.3) λαμβάνει τη μορφή x = x (u, v) = {u cosh v, u sinh v, g(u) + cv}. Η μελέτη του αντίστοιχου προβλήματος της προηγούμενης παραγράφου είναι εντελώς όμοια, γι αυτό και παραλείπεται. 4. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου ΙΙΙ Έστω Μ μια ελικοειδής επιφάνεια, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι χρονοειδής. Υποθέτουμε ότι ο άξονας αυτός είναι ο x και ότι η καμπύλη ελίκωσης γ ανήκει στο x x -επίπεδο. Έτσι, η καμπύλη γ παραμετροποιείται ως εξής: γ (u) = {g(u), f(u), 0}, (4.1) όπου f = f(u) είναι θετική συνάρτηση της κλάσης C και g = g(u) μια συνάρτηση της κλάσης C, ορισμένες στο Ι = (a, b). Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {1,0,0} εύκολα αποδεικνύεται πως δίνεται από τους πίνακες 1 0 0 Α(v) = 0 cos v sin v, 0 v 2π. (4.2) 0 sin v cos v Έτσι, η ελικοειδής επιφάνεια Μ περιγράφεται διανυσματικά ως εξής: 1 0 0 g(u) cv x = x (u, v) = 0 cos v sin v f(u) + 0 = {g(u) + cv, f(u) cos v, f(u) sin v} 0 sin v cos v 0 0 (4.3) f(u) > 0, c R, ή αν θέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, f(u) = u, x = x (u, v) = {g(u) + cv, u cos v, u sin v}. (4.4) Η ελικοειδής επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (4.3) καλείται τύπου ΙIΙ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 4.1 Για c = 0 η ελικοειδής επιφάνεια τύπου ΙΙΙ είναι η επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου ΙΙΙ του προηγούμενου Κεφαλαίου.

Αποδεικνύουμε το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 4.1 Έστω ότι a(u) = {g(u), u, 0}, u Ι = (a, b) R είναι μια καμπύλη ελίκωσης της ελικοειδούς επιφάνειας Μ R, που δίνεται από την (4.4). Τότε η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα στο σημείο (g(u), u, 0) είναι συναρτήσεις μόνο της μεταβλητής u, δηλαδή K = K(u), H = H(u). Επίσης, δοθέντων σταθερών c R, c, c R και μιας λείας συνάρτησης K = K(u) (αντίστοιχα H = H(u)), u Ι ορίζουμε ένα σύνολο καμπυλών a(u) a(k(u), c; c, c ), (αντίστοιχα a(u) a(η(u), c; c, c )). Τότε υπάρχουν ελικοειδείς επιφάνειες τύπου ΙΙΙ (ή ΙΙΙ ) του χώρου R, με γεννήτορες καμπύλες a(u) και καμπυλότητα Gauss K = K(u), u Ι (αντίστοιχα μέση καμπυλότητα H = H(u), u Ι = ( c, c) I). Απόδειξη: Θεωρούμε την ελικοειδή επιφάνεια Μ με διανυσματική εξίσωση (4.4).Η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή αυτής δίνονται από τις σχέσεις και I = 1 g du 2cg dudv + (u c )dv (4.5) II = 1 w (ug du 2cdudv + u g dv ) (4.6) αντίστοιχα, όπου w = u 1 g c. Έτσι, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας Μ δίνονται από τις σχέσεις u g g c K(u) = u 1 g c u 1 g c (4.7) και H(u) = u g 1 g ug (c u ) 2c g 2u 1 g c u 1 g c (4.8) αντίστοιχα, οι οποίες είναι συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής u, αφού και η g: R R είναι επίσης συνάρτηση του u. Θεωρούμε πρώτα την περίπτωση όπου EG F > 0 (για EG F < 0 δουλεύουμε ε- ντελώς όμοια). Τότε οι σχέσεις (4.7) και (4.8) παίρνουν αντίστοιχα τη μορφή K(u) = u g g + c c u 1 g, (4.7a) και H(u) = u g 1 g + ug (c u ) + 2c g 2[ c + u 1 g ]. (4.8b) Θα λύσουμε την (4.7a), θεωρώντας ότι η συνάρτηση K = K(u) είναι γνωστή. Τότε η (4.7a) γράφεται

h (u) = 2uK(u), (4.9) όπου Η γενική λύση της (4.9) είναι h(u) = u g + c c u 1 g. (4.10) h(u) = c 2 uk(u)du, c R. (4.11) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (4.10) και (4.11) παίρνουμε g (u) = c A + u (A + 1) u, u 0, A όπου A = 1 c + 2 uk(u)du > 0, u 0. Επομένως g(u) = c ± (u c )A + u u A du, c R, (4.12) όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Θεωρούμε τώρα σταθερά c R και έστω ότι η δοθείσα λεία συνάρτηση K = K(u) είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα Ι R {0}. Έτσι, για κάθε u I μπορούμε να βρούμε ένα ανοικτό υποδιάστημα U u του Ι και ένα ανοικτό διάστημα Ι του R, που να περιέχει τη σταθερά c = (2 uk(u)du)(u ), έτσι ώστε η συνάρτηση F: U I R με F(u, c ) = A + k, k > 1 να είναι θετική για κάθε (u, c ) U I. Στην πραγματικότητα, έχουμε ότι F(u, c ) = 1 + k > 0. Τότε, λόγω της συνέχειας της F, αυτή είναι θετική σ ένα υποσύνολο του R της μορφής U I. Έτσι, για κάθε (u, c ) U I, c R, c R και για δοθείσα συνάρτηση K = K(u) μπορούμε να ορίσουμε τη διπαραμετρική οικογένεια καμπυλών a(u) a(k(u), c; c, c ) = c ± (u c )A + u u A du, u, 0. (4.13) Εφαρμόζοντας τώρα ελικοειδή κίνηση ανοίγματος c σε αυτές τις καμπύλες, παίρνουμε μια διπαραμετρική οικογένεια ελικοειδών επιφανειών τύπου ΙII (αντίστοιχα τύπου ΙII για την περίπτωση EG F < 0) στον R με καμπυλότητα Gauss K(u), u I και άνοιγ-μα c. Αυτές οι επιφάνειες δίνονται από την εξίσωση x = x (u, v) = cv + c ± (u c )A + u u A du, u cos v, u sin v. (4.14) Θα λύσουμε τώρα την (4.8b),υποθέτοντας ότι η Η = Η(u) είναι γνωστή συνάρτηση. Τότε η (4.8b) γράφεται φ (u) + 2 u 2H(u) φ(u) =, u 0, (4.15) u

όπου φ(u) = g (u). (4.16) c + u 1 g (u) Η γενική λύση της (4.15) είναι φ(u) = 1 u 2 uh(u)du + c, c R. (4.17) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (4.16) και (4.17) παίρνουμε όπου g (u) = (c u )B u (u B ), u I = ( c, c), (4.18) Επομένως έχουμε Β(u) = 2 uh(u)du + c. (4.19) g(u) = c ± B c u u u B du, c R, (4.20) όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Έτσι, με τον ίδιο τρόπο, ορίζουμε τη διπαραμετρική οικογένεια καμπυλών a(u) a(η(u), c; c, c ) = c ± B c u du, u, 0. (4.21) u u B Εφαρμόζοντας τώρα ελικοειδή κίνηση ανοίγματος c σε αυτές τις καμπύλες, παίρνουμε μια διπαραμετρική οικογένεια ελικοειδών επιφανειών τύπου ΙII (αντίστοιχα τύπου IIΙ για την περίπτωση EG F < 0) στον R με μέση καμπυλότητα Η(u), u Ι. Αυτές οι επιφάνειες δίνονται από την εξίσωση x = x (u, v) = cv + c ± B c u du, u cos v, u sin v. (4.22) u u B ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 4.2 Οι ελικοειδείς επιφάνειες που δίνονται από τις σχέσεις (4.14) και (4.22) είναι χρονοειδείς επιφάνειες τύπου ΙΙΙ. 5. Ελικοειδείς επιφάνειες τύπου ΙV Έστω Μ μια ελικοειδής επιφάνεια, της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι φωτοειδής. Υποθέτουμε ότι ο άξονας αυτός είναι η ευθεία του επιπέδου x x που ορίζεται από το διάνυσμα {1,1,0} και το σημείο 0 και ότι η καμπύλη ελίκωσης γ ανήκει στο x x - επίπεδο. Έτσι, η καμπύλη γ παραμετροποιείται ως εξής:

γ (u) = {f(u), g(u), 0}, (5.1) όπου f θετική συνάρτηση και g μια συνάρτηση ορισμένες στο Ι και f(u) g(u), u I. Η υποομάδα της ομάδας Lorentz που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα {1,1,0} εύκολα αποδεικνύεται πως δίνεται από τους πίνακες 1 + v v v 2 2 Α(v) = v 1 v, v R. (5.2) v 2 2 v v 1 Έτσι, η ελικοειδής επιφάνεια Μ έχει διανυσματική εξίσωση: 1 + v v v 2 2 f(u) cv x = x (u, v) = v 1 v g(u) + cv = v 2 2 0 0 v v 1 = f(u) + v v h(u) + cv, g(u) + h(u) + cv, h(u)v, όπου h(u) 2 2 = f(u) g(u). (5.3) Η ελικοειδής επιφάνεια που περιγράφεται από τη σχέση (5.3) καλείται τύπου ΙV. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 5.1 Για c = 0 η ελικοειδής επιφάνεια τύπου ΙV είναι η επιφάνεια εκ περιστροφής τύπου ΙV του προηγούμενου Κεφαλαίου. Αν στην (5.3) θέσουμε f(u) = u,αυτή γράφεται x = x (u, v) = 1 + v 2 u v 2 g(u) + cv, v 2 v u + 1 g(u) + cv, (u g(u))v. (5.4) 2 Αποδεικνύουμε τώρα το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 5.1 Έστω ότι a(u) = {u, g(u), 0}, u Ι = (a, b) R είναι μια καμπύλη ελίκωσης της ελικοειδούς επιφάνειας Μ R, που δίνεται από την (5.4). Τότε η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα στο σημείο (u, g(u), 0) είναι συναρτήσεις μόνο της μεταβλητής u, δηλαδή K = K(u), H = H(u). Επίσης, δοθέντων σταθερών c R, c, c R και μιας λείας συνάρτησης K = K(u), αντίστοιχα H = H(u)), u Ι, ορίζουμε ένα σύνολο καμπυλών a(u) a(k(u), c; c, c ) (αντίστοιχα a(u) a(η(u), c; c, c ).Τότε η διαφορική εξίσωση των ελικοειδών επιφανειών τύπου ΙV (ή ΙV ) του χώρου R με γεννήτορες καμπύλες a(u) είναι: g (g u) c (g 1) K(u) = (g 1) [(g u) (g + 1) c (g 1)] ή αντίστοιχα