Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Transcript

1 Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και 84 ) Οι διγραμμικές και τετραγωνικές μορφές βρίσκουν ιδιαίτερη εφαρμογή στη μελέτη καμπυλών και επιφανειών ου βαθμού, ιδιαίτερα στο πρόβλημα αναγνώρισης της γεωμετρικής μορφής μιας καμπύλης ή μιας επιφάνειας από την αλγεβρική εξίσωσή της με την απλοποίηση της τελευταίας (δηλαδή, την αναγωγή της σε «κανονική μορφή») μέσω του προσδιορισμού κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων Θα ξεκινήσουμε με τη γενική αλγεβρική εξίσωση καμπυλών ου βαθμού στον (στις οποίες, βεβαίως, ανήκουν και οι κωνικές τομές) ως προς ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστημα συντεταγμένων x, y: a x + a x y+ a y + a x+ a y+ a 0, a, a, (8) 4 ij i όπου οι συντελεστές a, a, a γενικά δεν είναι όλοι μηδέν Η εξίσωση αυτή εμπεριέχει την τετραγωνική μορφή μορφή πινάκων: a x + a xy + a y, επομένως γράφεται υπό X AX C X a 0 + +, (84) a όπου C a, X 4 x y, και Α ο συμμετρικός πίνακας της τετραγωνικής μορφής Γνωρίζουμε (βλ Πρόταση 87), ότι υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Β (δηλ, Β Τ Β - ) τέτοιος ώστε B AB (, ) diag λ λ, όπου λ, λ οι ιδιοτιμές του πίνακα Α Επομένως, με τoν ορθογώνιο μετασχηματισμό (αλλαγή μεταβλητών) X BY, Y y, η (7) γράφεται y λ y λy ky ky a , (8) k k C B όπου [ ]

2 Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε μόνο καμπύλες και επιφάνειες που διαθέτουν κέντρο συμμετρίας Πρόταση 8 Ένα σημείο είναι κέντρο συμμετρίας μιας καμπύλης (αντ, επιφάνειας) ου βαθμού αν και μόνο αν ο πίνακας-στήλη με στοιχεία τις συντεταγμένες του σημείου, έστω O, αυτού αποτελεί λύση του συστήματος ΑO + C 0, όπου οι πίνακες Α και C ορίστηκαν πιο πάνω Για μια απόδειξη της Πρότασης 8, βλ, πχ, [] Ως πόρισμα της πρότασης αυτής προκύπτει ότι η (84) έχει κέντρο συμμετρίας αν και μόνο αν rank(a) rank(a C) Έστω, λοιπόν, ότι μια καμπύλη ου βαθμού διαθέτει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο Τότε, αν στην (84) θέσουμε Χ Ζ + Ο (δηλαδή, παράλληλη μετατόπιση των αρχικών συντεταγμένων) έχουμε: ( ) Z + O A( Z + O) + C ( Z + O) + a 0 Z AZ + Z ( AO + C) + M 0, με M Z AZ + C O + a Επειδή, όμως, ΑΟ + C 0, προκύπτει τελικά ότι Z AZ + M 0 (86) Η αρχή του νέου συστήματος συντεταγμένων είναι μετατοπισμένη ως προς την αρχή του αρχικού συστήματος κατά το διάνυσμα O Αν, τώρα, μετασχηματίσουμε ορθογώνια την τετραγωνική μορφή Z AZ της σχέσης (86), δηλαδή αν Ζ ΕW, όπου Ε ορθογώνιος πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α, τότε η (86) γίνεται ( EW ) A( EW ) + M 0 W ( E AE) W + M 0 Αλλά, E AE diag( λ, λ) Επομένως, έχουμε W diag( λ, λ ) W + M 0 ή λw + λ w + M (87) 0 Για καμπύλες και επιφάνειες χωρίς κέντρο συμμετρίας, ο αναγνώστης παραπέμπεται στη βιβλιογραφία, πχ []

3 Η τελευταία είναι η κανονική εξίσωση μιας καμπύλης ου βαθμού που διαθέτει κέντρο συμμετρίας Παρατήρηση 8 Ο ορθογώνιος μετασχηματισμός Ζ ΕW έχει ως αποτέλεσμα ακόμη μια αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων, τέτοια ώστε η αρχή του νέου συστήματος να συμπίπτει με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων που προέκυψε από τον μετασχηματισμό Χ Ζ + Ο Τα διανύσματα βάσης του νέου συστήματος είναι οι στήλες του πίνακα Ε (τα οποία έχουν διαιρεθεί με το μέτρο τους, ώστε να αποτελούν μοναδιαία διανύσματα), ενώ ο συνολικός μετασχηματισμός μπορεί να γραφεί (ως αποτέλεσμα της σύνθεσης των δύο μετασχηματισμών) στη μορφή Χ ΕW + Ο Παραδείγματα 8 Να μελετηθεί η καμπύλη με εξίσωση x xy y x y Απάντηση Ο πίνακας της εμπεριεχόμενης στην εξίσωση τετραγωνικής μορφής είναι A Επομένως, η δοθείσα εξίσωση γράφεται στη μορφή (7) με x X y, 4, C a / Λύνουμε το σύστημα ΑO + C 0 και βρίσκουμε O /6 Οπότε, ο μετασχηματισμός Χ Ζ + Ο είναι x z /, y z + /6 Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας και κάνοντας τις πράξεις, γράφουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή (86): 9 Z AZ ή, ισοδύναμα, 9 z 4zz z Παρατηρούμε ότι, σε σύγκριση με την αρχική, δοθείσα εξίσωση, δεν εμφανίζονται πλέον πρωτοβάθμιοι όροι, ενώ η αρχή του νέου συστήματος συντεταγμένων zz έχει

4 μετατοπιστεί παράλληλα και έχει, πλέον, συντεταγμένες ( /,/ 6) ως προς την αρχή του αρχικού συστήματος Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Ζ ΕW Για να προσδιορίσουμε τον πίνακα Ε, βρίσκουμε τις ιδιοτιμές λ, λ του πίνακα Α και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα,, τα οποία έχουμε κανονικοποιήσει (δηλαδή τα έχουμε διαιρέσει με το μέτρο τους) Άρα, ο ζητούμενος πίνακας είναι E, οπότε ο μετασχηματισμός Ζ ΕW δίνει τις εξισώσεις όπου, φυσικά, z w+ w z w + w z w Z, W z w Με τον τελευταίο μετασχηματισμό, ο οποίος οδηγεί σε στροφή (γιατί;) του συστήματος συντεταγμένων zz, η (87) μας δίνει την τελική μορφή της εξίσωσης της καμπύλης ως προς το στραμμένο σύστημα: 9 w w, απ όπου αναγνωρίζουμε ότι πρόκειται για υπερβολή Να μετασχηματιστεί σε κανονική μορφή η εξίσωση βρεθεί το είδος της καμπύλης που περιγράφει 6x + 4xx + 9x 0 και να Απάντηση Ο πίνακας Α της τετραγωνικής μορφής 6x + 4xx + 9x είναι ο 6 A 9 και η εξίσωση γράφεται υπό μορφή πινάκων ως [ x x ] 6 x 0 9 x Οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α προκύπτουν ως

5 λ 0, λ και b, b Κατασκευάζουμε τον ορθογώνιο πίνακα Β με στήλες τα κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα: Άρα, μέσω του μετασχηματισμού B x x x x η πιο πάνω εξίσωση πινάκων μετασχηματίζεται στην 0 0 x x x 0 0, x η οποία, μετά τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, γράφεται ως x x +, 4 που περιγράφει μια έλλειψη στο σύστημα συντεταγμένων xx Ο ορθογώνιος πίνακας Β Τ ορίζει μια στροφή των συντεταγμένων x B x από το καρτεσιανό σύστημα xx στο καρτεσιανό σύστημα xx (Υπόδειξη: μελετήστε το Παράδειγμα 8 ()) Δηλαδή, για να περιγράψουμε τη θέση του νέου συστήματος αξόνων xx ως προς το αρχικό σύστημα αξόνων xx, κάνουμε χρήση του πίνακα στροφών στο επίπεδο Επομένως, απ όπου προκύπτει ότι cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ cosϕ και sinϕ Βρίσκουμε, ϕ 6, 44 Επομένως, οι άξονες x, x της δοσμένης έλλειψης έχουν στραφεί κατά γωνία ϕ 6,44 ως προς τους άξονες x, x

6 Πρόβλημα Δείξτε ότι η εξίσωση x xx + x 6x 4x 9 μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή w w 0, η οποία περιγράφει μια παραβολή Έστω, τώρα, η γενική αλγεβρική εξίσωση επιφανειών ου βαθμού στον ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων xyz: ως προς a x + a xy + a xz + a y + a yz + a z + a x + a y + a z + a 0, (88) a, a, όπου οι συντελεστές a, i,,, j,, γενικά δεν είναι όλοι μηδέν ij i ij Η εξίσωση αυτή, που εμπεριέχει μια τετραγωνική μορφή του μορφή πινάκων:, γράφεται υπό X AX C X a , (89) a4 όπου C a, X a 6 x y, και Α ο συμμετρικός πίνακας της τετραγωνικής μορφής z Όπως και στην περίπτωση των καμπυλών ου βαθμού, γνωρίζουμε ότι υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Β (δηλ, Β Τ Β - ), τέτοιος ώστε Β Τ ΑΒ Δ diag(λ, λ, λ ), με λ, λ και λ τις ιδιοτιμές του πίνακα Α Επομένως, με την αλλαγή μεταβλητών X y BY, Y y, η (76) γράφεται y λ + λ + λ (80) y y y ky ky ky a7 0 k k k C B όπου [ ] Παράδειγμα 84 Να μελετηθεί η επιφάνεια του με εξίσωση x 6xy y yz z x y z Απάντηση Η δοθείσα εξίσωση γράφεται στη μορφή X AX + C X + 4 0, όπου

7 x 0 X y, A, C z 0 Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α από τη χαρακτηριστική εξίσωση: det(a λi ) 0 ( λ )( λ 7) λ 0 λ, λ 7, λ 0 και τα αντίστοιχα (κανονικοποιημένα) ιδιοδιανύσματα: b 0, b, b 0 4 Με αυτά τα ιδιοδιανύσματα κατασκευάζουμε τον εξής ορθογώνιο πίνακα: 0 4 B Επομένως, κάνοντας τις πράξεις διαπιστώνουμε ότι η (80) παίρνει, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, τη μορφή y + 7y 4y + 4 0, άρα 4 4 y y + y Με άλλα λόγια, σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων xyz με διανύσματα βάσης τα ιδιοδιανύσματα b, b, b αντίστοιχα, η αρχική επιφάνεια γράφεται 4 4 z x y 7 η οποία περιγράφει ένα ελλειπτικό παραβολοειδές + + 4,