Το ιστορικό σημείωμα είναι απόσπασμα του κειμένου που περιέχεται στο έργο «Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer s Sketchpad» (Πατσιομίτου, 2010)

Σχετικά έγγραφα
Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος- Υπολογισμοί στο Δένδρο του Πυθαγόρα. Σ.Πατσιομίτου 1

Επιστρώσεις επιπέδου (πλακοστρώσεις) σε στατικά ή δυναμικά μέσα. Σ.Πατσιομίτου 1

Σταυρούλα Πατσιομίτου Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

Σχεδίαση και μετασχηματισμοί Συνδεόμενων Οπτικών Αναπαραστάσεων-Εφαρμογή στη διδασκαλία σε τάξη

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Ιστορία των Μαθηματικών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μέρος Β Κεφάλαιο 1ο Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο Θεώρημα 1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επίλυση προβλήµατος µε απόδειξη µέσω των Συνδεόµενων Οπτικών Ενεργών Αναπαραστάσεων σε λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

1.Μετρώντας τις διαστάσεις του Θεάτρου

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Δημήτρης Ντρίζος Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Μέλος της Σ.Ε του Ευκλείδη Γ της Ε.Μ.Ε

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ιστορία των Μαθηματικών

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Να φύγει ο Ευκλείδης;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΑ ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Ιστορία των Μαθηματικών

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. 2. Να μπορούν να βρούν μία πλευρά ενοςορθογωνίου τριγώνου αν ξέρουν

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ. Άσε το Χάος να βάλει τάξη. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΟΜΙΛΟΥ. Fractals Πλακοστρώσεις(Penrose) Χάος. Α Β Γ Λυκείου ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016)

Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)

Two projects Η συμβολή της Αστρονομίας στην ανάπτυξη των επιστημών: A) Το Ηλιακό μας Σύστημα και B) 2 ος Νόμος του Kepler!

Λέξεις κλειδιά : Διδακτική παρέμβαση, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, δυναμική γεωμετρία.

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια Εισαγωγικό σημείωμα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Πυθαγόρειες Τριάδες: από την ανακάλυψη μιας κανονικότητας στη διατύπωση και την απόδειξη μιας πρότασης

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Να λύσετε τα προβλήματα 1 και 2 και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

Τι ονομάζουμε εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας; Αναφέρετε ονομαστικά τις μονάδες μέτρησης επιφανειών.

Η προέλευση του Sketchpad 1

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Καστοριάς Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ 3ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2η ΦΑΣΗ 5 Απριλίου 2014

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά

9.2.4 Σενάριο 7. Η έννοια του εμβαδού επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων με λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας και συλλογική διαπραγμάτευση

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Πυθαγόρειο θεώρημα. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΠΥΡΙΔΩΝ ΔΟΥΚΑΚΗΣ

Transcript:

Σ.Πατσιομίτου Ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος 1 Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει πάρει το όνομά του από τον Πυθαγόρα (569-475 π.χ.) που το απέδειξε. O Howard Eves (1983) αναφέρεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα όπως πιστεύει ότι το διατύπωσε και το απέδειξε ο Πυθαγόρας. Συγκεκριμένα αναφέρει τη διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος από τον Πυθαγόρα, ως εξής: «Έστω α, β, γ τα μήκη των πλευρών και της υποτείνουσας ενός δοθέντος ορθογώνιου τριγώνου. Θεωρούμε δύο τετράγωνα τα οποία έχουν πλευρά το καθένα ίση με α + β. Το πρώτο τετράγωνο υποδιαιρείται σε έξι κομμάτια συγκεκριμένα, δύο τετράγωνα και τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα ίσα με το δοθέν τρίγωνο. Το δεύτερο τετράγωνο υποδιαιρείται σε πέντε κομμάτια συγκεκριμένα, ένα τετράγωνο στην υποτείνουσα και τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα ίσα με το δοθέν τρίγωνο. Αφαιρώντας τα ίσα εμβαδά από τα δύο τετράγωνα (που έχουν ίσα εμβαδά επίσης), συμπεραίνουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών». (απόδοση της συγγραφέως) Σύμφωνα με την παράδοση, όταν ο Πυθαγόρας απέδειξε το θεώρημα, για να ευχαριστήσει τους θεούς, έκανε θυσία εκατό βοδιών. Για το λόγο αυτό το θεώρημα αναφέρεται και ως «θεώρημα της εκατόμβης». 1 Το ιστορικό σημείωμα είναι απόσπασμα του κειμένου που περιέχεται στο έργο «Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer s Sketchpad» (Πατσιομίτου, 2010) - 1 -

Ο Ευκλείδης αναφέρει και αποδεικνύει επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα στην Πρόταση 47 του 1ου Βιβλίου των Στοιχείων του. Η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος στα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι η παλαιότερη υπάρχουσα αξιωματική απόδειξη του θεωρήματος. Η προέλευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι ένα ζήτημα που απασχόλησε πολλούς ερευνητές ανά τον κόσμο. Στοιχεία του θεωρήματος επισημαίνονται στην αιγυπτιακή ιστορία με τη βοήθεια του Πάπυρου του Rhind (1788-1580 π.χ.). Στον Πάπυρο του Rhind υποστηρίζεται ότι το θεώρημα είναι αντίγραφο προηγούμενης εργασίας, που χρονολογείται ενδεχομένως το 2000 π.χ. Η ύπαρξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος σε βαβυλωνιακές πινακίδες ή σε ινδικά και κινεζικά κείμενα πολύ πριν τον Πυθαγόρα αποτελεί ζήτημα μη αμφισβητούμενο. Κάποιες αναφορές σε κείμενα Βαβυλωνίων ή Ινδών ή Κινέζων θα δοθούν στη συνέχεια, αλλά και τοποθεσίες ιστού στις οποίες ο αναγνώστης μπορεί να βρει λεπτομερειακές αναφορές σχετικά με την ιστορία και την προέλευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Οι Βαβυλώνιοι, για παράδειγμα, χρησιμοποιούσαν το Πυθαγόρειο θεώρημα από την εποχή του Χαμουραμπί (~1750 ή 1790 π.χ.). Η ύπαρξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος στοιχειοθετείται από διαγράμματα σε σφηνοειδή γραφή πάνω σε πήλινες πλάκες όπως για παράδειγμα η πλάκα Yale YBC 7289 (δες κεφ.1) ή η πλάκα Plimpton 322. Η πλάκα Plimpton 322, για πολλούς ερευνητές αποτελεί ένα κατάλογο Πυθαγόρειων τριάδων. Πυθαγόρειες τριάδες είναι οι τριάδες (χ, ψ, ζ) αριθμών που επαληθεύουν τη σχέση χ 2 + ψ 2 = ζ 2. Ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να κατασκευάσει τις Πυθαγόρειες τριάδες και ο Πλάτωνας, σύμφωνα με τον Πρόκλο, χρησιμοποίησε μια μέθοδο για τις Πυθαγόρειες τριάδες συνδυάζοντας άλγεβρα και γεωμετρία. Ο αρχαίος μαθηματικός Διόφαντος χρησιμοποίησε τους τύπους για τον προσδιορισμό τέτοιων Πυθαγόρειων τριάδων αριθμών, που είναι: χ = μ 2 ν 2, ψ = 2μ.ν και ζ = μ 2 + ν 2, όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και μ > ν. Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελούν οι αριθμοί 3, 4, 5. Οι Swetz & Kao (1977) ισχυρίζονται ότι η προέλευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι κινεζική. Συγκεκριμένα, αναφορές σχετικές με το θεώρημα υπάρχουν σε ένα κινεζικό μαθηματικό κείμενο το Chou pei Suan Ching. - 2 -

Είναι αμφισβητούμενη η ακριβής χρονολογία συγγραφής του κειμένου Chou pei αλλά σύμφωνα με τους Swetz & Kao προσδιορίζεται περί το 1100 π.χ. Στην εικόνα βλέπουμε ένα διάγραμμα από το κείμενο Chou pei το οποίο είναι γνωστό με το όνομα hsuanthu. Το θεώρημα είναι γνωστό στην Κίνα με το όνομα Gougu. Έχουν αναφερθεί πολλές και διαφορετικές αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος (π.χ 365 αποδείξεις του συγγράμματος του Εlisha Scott Loomis (1968)). Ο Iνδός μαθηματικός Bhaskara (~ 1150 μ.χ.) απέδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με διαφορετικό διαμερισμό της επιφάνειας του τετραγώνου της υποτείνουσας. Στην απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, παραθέτει το σχήμα, το οποίο συνοδεύεται από την λέξη «Ιδού!». Οργάνωση της διδασκαλίας Η διδασκαλία με χρήση του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β1, Β2, Β3 της Β τάξης του 1 ου Πρότυπου Πειραματικού Γυμνασίου Αθηνών στη βιβλιοθήκη του σχολείου και είχε διάρκεια μιας ώρας, καθώς και στο περιβάλλον της τάξης κατά τις ημερομηνίες που αναφέρονται στο βιβλίο ύλης του τμήματος. Η διδάσκουσα χρησιμοποίησε σε συνεργασία με τους μαθητές το αρχείο πολλαπλών σελίδων λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας«πυθαγόρειο» 2, καθώς και άλλα αρχεία πολλαπλών συνδεόμενων σελίδων που είχε η ίδια κατασκευάσει. Οι μαθητές και η διδάσκουσα χρησιμοποίησαν τον διαδραστικό πίνακα της αίθουσας και οι πρώτοι απάντησαν σε ερωτήματα που τέθηκαν προφορικά παράλληλα με την αλληλεπίδραση με τα αρχεία του λογισμικού. 2 Πυθαγόρειο θεώρημα και Geometer s Sketchpad Μέσα στον φάκελο «Δείγματα» που συνοδεύει το λογισμικό, θα βρείτε έναν άλλο φάκελο «Γεωμετρία», όπου υπάρχει το αρχείο «Πυθαγόρειο». Εκεί παρουσιάζονται 4 οπτικές αποδείξεις, με χρήση αλληλεπιδραστικών τεχνικών του λογισμικού (π.χ. «η απόδειξη του Bhaskara» με δυναμικό τρόπο). - 3 -

Μοντελοποίηση των μαθητών σε στατικά μέσα βασισμένοι στην έννοια (concept) των Συνδεόμενων Οπτικών Αναπαραστάσεων (Linking Visual Active Representations) Η μοντελοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος σε στατικό μέσο (χαρτόνι), των εργασιών των μαθητών της Β τάξης του 1 ου Προτύπου Πειραματικού Γυμνασίου, οι οποίες έχουν αναρτηθεί έχει προκύψει ως αποτέλεσμα: της κατανόησης των μαθητών που επήλθε λόγω της αλληλεπίδρασης με κατάλληλες δραστηριότητες που έχουν δημιουργηθεί από την διδάσκουσα με Συνδεόμενες Οπτικές Ενεργές Αναπαραστάσεις (LVAR) (π.χ, Patsiomitou, 2008, 2010) του λογισμικού Geometer Sketchpad v4 (Jackiw, 1991), ως αποτέλεσμα της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης στο περιβάλλον της τάξης. της επίπονης και αξιέπαινης εργασίας τους η οποία έπαιξε καθοριστικό ρόλο στη διαμόρφωσή τους. Το περιβάλλον του λογισμικού Geometer Sketchpad v4 (Jackiw, 1991) έχει την δυνατότητα πολλαπλών σελίδων που μπορούν να διαμορφωθούν και να συνδεθούν μέσω των αλληλεπιδραστικών τεχνικών και εργαλείων του λογισμικού. Ο συνδυασμός των αλληλεπιδραστικών τεχνικών του λογισμικού (για παράδειγμα κουμπιά σύνδεσης ή κουμπιά απόκρυψης / εμφάνισης ή εργαλεία μετασχηματισμού) με στόχο την παραγωγή των οπτικών μαθηματικών αναπαραστάσεων VMR (Visual Mathematical Representations) (Sedig & Sumner, 2006) μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην ανάπτυξη εικασιών, ανάλυσης του προβλήματος και σύνθεσης της λύσης. Βιβλιογραφία Patsiomitou, S., (2008a). The development of students geometrical thinking through transformational processes and interaction techniques in a dynamic geometry environment. Issues in Informing Science and Information Technology journal. Eds (Eli Cohen & Elizabeth Boyd) Vol.5 pp.353-393 Published by the Informing Science Institute Santa Rosa, California USA. Available on line http://iisit.org/issuesvol5.htm Patsiomitou, S., (2008c) Do geometrical constructions affect students algebraic expressions? In Yang, W., Majewski, M., Alwis T. and Klairiree, K. (Eds.) Enhancing Understanding and Constructing Knowledge in Mathematics with Technology. Proceedings of the 13 th Asian Conference in Technology in Mathematics. pp 193-202 Bangkok, Thailand: Suan Shunanda Rajabhat University. - 4 -

Available on line http://atcm.mathandtech.org/ep2008/pages/regular.html Πατσιομίτου, Σ. (2008) Επίλυση προβλήματος με απόδειξη μέσω των Συνδεόμενων Οπτικών Ενεργών Αναπαραστάσεων σε λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας. Πρακτικά 6 ου Πανελληνίου Συνεδρίου με Διεθνή Συμμετοχή «Οι τεχνολογίες της πληροφορίας και των επικοινωνιών στην εκπαίδευση» ΕΤΠΕ, Κύπρος 25-28 Σεπτεμβρίου 2008, Πανεπιστήμιο Κύπρου, σελ. 81-88 Πατσιομίτου, Σ. (2010) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geomter s Sketchpad. Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Αναφορικά με τις εργασίες των μαθητών Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν εργασίες μαθητών των τριών τμημάτων της Β τάξης που αναπαριστούν οπτικές αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ως δασκάλα των Μαθηματικών τους αυτή τη φετινή χρονιά αφουγκράστηκα όλες τις ανησυχίες και τις προσδοκίες τους για το μάθημα των μαθηματικών. Τίποτα δεν είναι ανέφικτο, χρειάζεται πείσμα και προσωπικές θυσίες! Θα ήθελα να συγχαρώ από καρδιάς όλους τους μαθητές της Β τάξης που συμμετείχαν στην υλοποίηση των εργασιών που τους τέθηκαν μια από αυτές η αναπαράσταση του Π.Θ-- με τις μοντελοποιήσεις τους. Αυτό που θα ήθελα να επισημάνω είναι ότι το αποτέλεσμα είναι αμιγώς συλλογικό, εργαστήκαμε όλοι (τα παιδιά και εγώ) με προσωπική θυσία χρόνου για τη επίτευξη του! Ελπίζω ακόμα ότι αυτή η διενέργεια της προβολής των εργασιών τους να δώσει το κίνητρο και σ άλλους μαθητές και να έχει την δέουσα απήχηση. - 5 -

TMHMA B1 Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β1: Ιάσονα Αριανούτσου, Αλέξανδρου Βεντούρου, Μαρίας- Δανάης Δάβου και Σοφίας Καφρίτσα Γεωργαντά (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 6 -

Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β1: Άλεξ Βάιντα, Μαρίας Γιαννακοπούλου, Τριαντάφυλλου Ζαχαρόπουλου, Εύης Καλαφατά, Μιχάλη Καλαφατά και Ιάσονα Καρνούσκου (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 7 -

TMHMA B2 Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β2: Ελεάνας Κωνσταντίνου, Μαργαρίτας Λίτσα, Μαρίας-Νεφέλης Ντούση, Ευαγγελίας Ξυνού, Κατερίνας Πατήρη, Έλενας Πετροπούλου (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 8 -

TMHMA B3 Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β3: Μαντώς Σάμου-Κοκολάκη, Θεοδώρας Παπασπυροπούλου, Σοφίας Σιδηροπούλου, Μαριλένας Σταματίου, Αγγελικής Στραβοκεφάλου, Αντώνη Τζανετάκη, Αφροδίτης Τουτουντζή, Αντιγόνης Τσαταλπασίδου, Κίρκης Χασιώτη (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 9 -

Μοντελοποίηση του Πυθαγορείου θεωρήματος από την μαθήτρια του Β1 Σοφία Καφρίτσα Γεωργαντά - 10 -

- 11 -