Σ.Πατσιομίτου Ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος 1 Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει πάρει το όνομά του από τον Πυθαγόρα (569-475 π.χ.) που το απέδειξε. O Howard Eves (1983) αναφέρεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα όπως πιστεύει ότι το διατύπωσε και το απέδειξε ο Πυθαγόρας. Συγκεκριμένα αναφέρει τη διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος από τον Πυθαγόρα, ως εξής: «Έστω α, β, γ τα μήκη των πλευρών και της υποτείνουσας ενός δοθέντος ορθογώνιου τριγώνου. Θεωρούμε δύο τετράγωνα τα οποία έχουν πλευρά το καθένα ίση με α + β. Το πρώτο τετράγωνο υποδιαιρείται σε έξι κομμάτια συγκεκριμένα, δύο τετράγωνα και τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα ίσα με το δοθέν τρίγωνο. Το δεύτερο τετράγωνο υποδιαιρείται σε πέντε κομμάτια συγκεκριμένα, ένα τετράγωνο στην υποτείνουσα και τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα ίσα με το δοθέν τρίγωνο. Αφαιρώντας τα ίσα εμβαδά από τα δύο τετράγωνα (που έχουν ίσα εμβαδά επίσης), συμπεραίνουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών». (απόδοση της συγγραφέως) Σύμφωνα με την παράδοση, όταν ο Πυθαγόρας απέδειξε το θεώρημα, για να ευχαριστήσει τους θεούς, έκανε θυσία εκατό βοδιών. Για το λόγο αυτό το θεώρημα αναφέρεται και ως «θεώρημα της εκατόμβης». 1 Το ιστορικό σημείωμα είναι απόσπασμα του κειμένου που περιέχεται στο έργο «Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer s Sketchpad» (Πατσιομίτου, 2010) - 1 -
Ο Ευκλείδης αναφέρει και αποδεικνύει επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα στην Πρόταση 47 του 1ου Βιβλίου των Στοιχείων του. Η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος στα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι η παλαιότερη υπάρχουσα αξιωματική απόδειξη του θεωρήματος. Η προέλευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι ένα ζήτημα που απασχόλησε πολλούς ερευνητές ανά τον κόσμο. Στοιχεία του θεωρήματος επισημαίνονται στην αιγυπτιακή ιστορία με τη βοήθεια του Πάπυρου του Rhind (1788-1580 π.χ.). Στον Πάπυρο του Rhind υποστηρίζεται ότι το θεώρημα είναι αντίγραφο προηγούμενης εργασίας, που χρονολογείται ενδεχομένως το 2000 π.χ. Η ύπαρξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος σε βαβυλωνιακές πινακίδες ή σε ινδικά και κινεζικά κείμενα πολύ πριν τον Πυθαγόρα αποτελεί ζήτημα μη αμφισβητούμενο. Κάποιες αναφορές σε κείμενα Βαβυλωνίων ή Ινδών ή Κινέζων θα δοθούν στη συνέχεια, αλλά και τοποθεσίες ιστού στις οποίες ο αναγνώστης μπορεί να βρει λεπτομερειακές αναφορές σχετικά με την ιστορία και την προέλευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Οι Βαβυλώνιοι, για παράδειγμα, χρησιμοποιούσαν το Πυθαγόρειο θεώρημα από την εποχή του Χαμουραμπί (~1750 ή 1790 π.χ.). Η ύπαρξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος στοιχειοθετείται από διαγράμματα σε σφηνοειδή γραφή πάνω σε πήλινες πλάκες όπως για παράδειγμα η πλάκα Yale YBC 7289 (δες κεφ.1) ή η πλάκα Plimpton 322. Η πλάκα Plimpton 322, για πολλούς ερευνητές αποτελεί ένα κατάλογο Πυθαγόρειων τριάδων. Πυθαγόρειες τριάδες είναι οι τριάδες (χ, ψ, ζ) αριθμών που επαληθεύουν τη σχέση χ 2 + ψ 2 = ζ 2. Ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να κατασκευάσει τις Πυθαγόρειες τριάδες και ο Πλάτωνας, σύμφωνα με τον Πρόκλο, χρησιμοποίησε μια μέθοδο για τις Πυθαγόρειες τριάδες συνδυάζοντας άλγεβρα και γεωμετρία. Ο αρχαίος μαθηματικός Διόφαντος χρησιμοποίησε τους τύπους για τον προσδιορισμό τέτοιων Πυθαγόρειων τριάδων αριθμών, που είναι: χ = μ 2 ν 2, ψ = 2μ.ν και ζ = μ 2 + ν 2, όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και μ > ν. Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελούν οι αριθμοί 3, 4, 5. Οι Swetz & Kao (1977) ισχυρίζονται ότι η προέλευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι κινεζική. Συγκεκριμένα, αναφορές σχετικές με το θεώρημα υπάρχουν σε ένα κινεζικό μαθηματικό κείμενο το Chou pei Suan Ching. - 2 -
Είναι αμφισβητούμενη η ακριβής χρονολογία συγγραφής του κειμένου Chou pei αλλά σύμφωνα με τους Swetz & Kao προσδιορίζεται περί το 1100 π.χ. Στην εικόνα βλέπουμε ένα διάγραμμα από το κείμενο Chou pei το οποίο είναι γνωστό με το όνομα hsuanthu. Το θεώρημα είναι γνωστό στην Κίνα με το όνομα Gougu. Έχουν αναφερθεί πολλές και διαφορετικές αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος (π.χ 365 αποδείξεις του συγγράμματος του Εlisha Scott Loomis (1968)). Ο Iνδός μαθηματικός Bhaskara (~ 1150 μ.χ.) απέδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με διαφορετικό διαμερισμό της επιφάνειας του τετραγώνου της υποτείνουσας. Στην απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, παραθέτει το σχήμα, το οποίο συνοδεύεται από την λέξη «Ιδού!». Οργάνωση της διδασκαλίας Η διδασκαλία με χρήση του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β1, Β2, Β3 της Β τάξης του 1 ου Πρότυπου Πειραματικού Γυμνασίου Αθηνών στη βιβλιοθήκη του σχολείου και είχε διάρκεια μιας ώρας, καθώς και στο περιβάλλον της τάξης κατά τις ημερομηνίες που αναφέρονται στο βιβλίο ύλης του τμήματος. Η διδάσκουσα χρησιμοποίησε σε συνεργασία με τους μαθητές το αρχείο πολλαπλών σελίδων λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας«πυθαγόρειο» 2, καθώς και άλλα αρχεία πολλαπλών συνδεόμενων σελίδων που είχε η ίδια κατασκευάσει. Οι μαθητές και η διδάσκουσα χρησιμοποίησαν τον διαδραστικό πίνακα της αίθουσας και οι πρώτοι απάντησαν σε ερωτήματα που τέθηκαν προφορικά παράλληλα με την αλληλεπίδραση με τα αρχεία του λογισμικού. 2 Πυθαγόρειο θεώρημα και Geometer s Sketchpad Μέσα στον φάκελο «Δείγματα» που συνοδεύει το λογισμικό, θα βρείτε έναν άλλο φάκελο «Γεωμετρία», όπου υπάρχει το αρχείο «Πυθαγόρειο». Εκεί παρουσιάζονται 4 οπτικές αποδείξεις, με χρήση αλληλεπιδραστικών τεχνικών του λογισμικού (π.χ. «η απόδειξη του Bhaskara» με δυναμικό τρόπο). - 3 -
Μοντελοποίηση των μαθητών σε στατικά μέσα βασισμένοι στην έννοια (concept) των Συνδεόμενων Οπτικών Αναπαραστάσεων (Linking Visual Active Representations) Η μοντελοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος σε στατικό μέσο (χαρτόνι), των εργασιών των μαθητών της Β τάξης του 1 ου Προτύπου Πειραματικού Γυμνασίου, οι οποίες έχουν αναρτηθεί έχει προκύψει ως αποτέλεσμα: της κατανόησης των μαθητών που επήλθε λόγω της αλληλεπίδρασης με κατάλληλες δραστηριότητες που έχουν δημιουργηθεί από την διδάσκουσα με Συνδεόμενες Οπτικές Ενεργές Αναπαραστάσεις (LVAR) (π.χ, Patsiomitou, 2008, 2010) του λογισμικού Geometer Sketchpad v4 (Jackiw, 1991), ως αποτέλεσμα της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης στο περιβάλλον της τάξης. της επίπονης και αξιέπαινης εργασίας τους η οποία έπαιξε καθοριστικό ρόλο στη διαμόρφωσή τους. Το περιβάλλον του λογισμικού Geometer Sketchpad v4 (Jackiw, 1991) έχει την δυνατότητα πολλαπλών σελίδων που μπορούν να διαμορφωθούν και να συνδεθούν μέσω των αλληλεπιδραστικών τεχνικών και εργαλείων του λογισμικού. Ο συνδυασμός των αλληλεπιδραστικών τεχνικών του λογισμικού (για παράδειγμα κουμπιά σύνδεσης ή κουμπιά απόκρυψης / εμφάνισης ή εργαλεία μετασχηματισμού) με στόχο την παραγωγή των οπτικών μαθηματικών αναπαραστάσεων VMR (Visual Mathematical Representations) (Sedig & Sumner, 2006) μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην ανάπτυξη εικασιών, ανάλυσης του προβλήματος και σύνθεσης της λύσης. Βιβλιογραφία Patsiomitou, S., (2008a). The development of students geometrical thinking through transformational processes and interaction techniques in a dynamic geometry environment. Issues in Informing Science and Information Technology journal. Eds (Eli Cohen & Elizabeth Boyd) Vol.5 pp.353-393 Published by the Informing Science Institute Santa Rosa, California USA. Available on line http://iisit.org/issuesvol5.htm Patsiomitou, S., (2008c) Do geometrical constructions affect students algebraic expressions? In Yang, W., Majewski, M., Alwis T. and Klairiree, K. (Eds.) Enhancing Understanding and Constructing Knowledge in Mathematics with Technology. Proceedings of the 13 th Asian Conference in Technology in Mathematics. pp 193-202 Bangkok, Thailand: Suan Shunanda Rajabhat University. - 4 -
Available on line http://atcm.mathandtech.org/ep2008/pages/regular.html Πατσιομίτου, Σ. (2008) Επίλυση προβλήματος με απόδειξη μέσω των Συνδεόμενων Οπτικών Ενεργών Αναπαραστάσεων σε λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας. Πρακτικά 6 ου Πανελληνίου Συνεδρίου με Διεθνή Συμμετοχή «Οι τεχνολογίες της πληροφορίας και των επικοινωνιών στην εκπαίδευση» ΕΤΠΕ, Κύπρος 25-28 Σεπτεμβρίου 2008, Πανεπιστήμιο Κύπρου, σελ. 81-88 Πατσιομίτου, Σ. (2010) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geomter s Sketchpad. Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Αναφορικά με τις εργασίες των μαθητών Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν εργασίες μαθητών των τριών τμημάτων της Β τάξης που αναπαριστούν οπτικές αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ως δασκάλα των Μαθηματικών τους αυτή τη φετινή χρονιά αφουγκράστηκα όλες τις ανησυχίες και τις προσδοκίες τους για το μάθημα των μαθηματικών. Τίποτα δεν είναι ανέφικτο, χρειάζεται πείσμα και προσωπικές θυσίες! Θα ήθελα να συγχαρώ από καρδιάς όλους τους μαθητές της Β τάξης που συμμετείχαν στην υλοποίηση των εργασιών που τους τέθηκαν μια από αυτές η αναπαράσταση του Π.Θ-- με τις μοντελοποιήσεις τους. Αυτό που θα ήθελα να επισημάνω είναι ότι το αποτέλεσμα είναι αμιγώς συλλογικό, εργαστήκαμε όλοι (τα παιδιά και εγώ) με προσωπική θυσία χρόνου για τη επίτευξη του! Ελπίζω ακόμα ότι αυτή η διενέργεια της προβολής των εργασιών τους να δώσει το κίνητρο και σ άλλους μαθητές και να έχει την δέουσα απήχηση. - 5 -
TMHMA B1 Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β1: Ιάσονα Αριανούτσου, Αλέξανδρου Βεντούρου, Μαρίας- Δανάης Δάβου και Σοφίας Καφρίτσα Γεωργαντά (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 6 -
Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β1: Άλεξ Βάιντα, Μαρίας Γιαννακοπούλου, Τριαντάφυλλου Ζαχαρόπουλου, Εύης Καλαφατά, Μιχάλη Καλαφατά και Ιάσονα Καρνούσκου (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 7 -
TMHMA B2 Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β2: Ελεάνας Κωνσταντίνου, Μαργαρίτας Λίτσα, Μαρίας-Νεφέλης Ντούση, Ευαγγελίας Ξυνού, Κατερίνας Πατήρη, Έλενας Πετροπούλου (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 8 -
TMHMA B3 Εργασίες των μαθητών/τριών του τμήματος Β3: Μαντώς Σάμου-Κοκολάκη, Θεοδώρας Παπασπυροπούλου, Σοφίας Σιδηροπούλου, Μαριλένας Σταματίου, Αγγελικής Στραβοκεφάλου, Αντώνη Τζανετάκη, Αφροδίτης Τουτουντζή, Αντιγόνης Τσαταλπασίδου, Κίρκης Χασιώτη (τα ονόματα αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά) - 9 -
Μοντελοποίηση του Πυθαγορείου θεωρήματος από την μαθήτρια του Β1 Σοφία Καφρίτσα Γεωργαντά - 10 -
- 11 -