Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σεμινάριο Φυσικής Ενότητα 12

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σεμινάριο Φυσικής Ενότητα 12 Γεωργακίλας Αλέξανδρος Ζουμπούλης Ηλίας Μακροπούλου Μυρσίνη Πίσσης Πολύκαρπος

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

: και αναγνώρισ η προτύπων Υπεύθυνος καθηγητής: Θεόδωρος Αλεξόπουλος ΕΜΠ Τρίτη 13 Μαΐου, 2014 Σεμινάριο φυσ ικής

Outline 1 2 Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ 3 Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία institution-logo-filen

Ο νόμος του Moore

Ο κβαντικός υπολογισ τής είναι μια μηχανή η οποία εκτελεί τους υπολογισ μούς βάσ ει των νόμων της κβαντομηχανικής.

Ισ τορική αναδρομή 1981. Ο Richard Feynman προτείνει ένα βασ ικό μοντέλο κβαντικού υπολογισ τή. 1985. O David Deutsch περιγράφει το πρώτο καθολικό κβαντικό υπολογισ τή (κβαντικός υπολογισ τής Turing) 1996. Αλγόριθμος του Grover 1998. Ενας 2-qubit υπολογισ τής εκτελεί τον αλγορίθμο του Grover 2013. Η Google, η NASA και η USRA δημιουργούν το εργασ τήριο κβαντικής τεχνητής νοημοσ ύνης με έναν κβαντικό υπολογισ τή των 512-qubit, τον D-Wave two

bit vs qubit bit Τα bits μπορούν να πάρουν τιμές 1 ή 0 Ν bit θα πάρουν 1 τιμή από τις 2 N qubit Εχουν βασ ικές κατασ τάσ εις τις τιμές 0 και 1 Μπορούν να πάρουν τιμές: ψ = α 0 + β 1 N qubits θα πάρουν όλες τις τιμές από τις 2 N

Κβαντοδυφίο Το κβαντοδυφίο (qubit) είναι η σ τοιχειώδης μονάδα κβαντικής πληροφορίας, το κβαντικό ανάλογο του κλασ σ ικού bit. Το qubit, ως κβαντικό σ ύσ τημα με βασ ικές κατασ τάσ εις τις 0 και 1, έχει σ αν επιτρεπτές κατασ τάσ εις κάθε γραμμικό σ υνδυασ μό της μορφής: ψ = α 0 + β 1 όπου α 2 + β 2 = 1.

Στον χώρο Hilbert Τα qubit είναι τα μοναδιαία σ τοιχεία ενός δυσ διάσ τατου μιγαδικού διανυσ ματικού χώρου Hilbert [ ] [ ] 1 0 ψ = α 0 0 + α 1 1 = α 0 + α 0 1 1

Στην σ φαίρα Bloch Υπάρχει 1-1 αντισ τοιχία μεταξύ των qubits και των σ ημείων πάνω σ την επιφάνεια της σ φαίρας Bloch ψ = cos(θ/2) 0 + e iφ sin(θ/2) 1

Δύο κβαντοδυφία Για 2 qubits έχουμε: ψ = ψ 1 ψ 2 και οι δυνατές κατασ τάσ εις είναι οι 00 = 0 0, 10 = 1 0 01 = 0 1, 11 = 1 1 και θα αποτελούν μια πλήρη βάσ η σ τον τετραδιάσ τατο πλέον χώρο των δύο κβαντοδυφίων.

Δύο κβαντοδυφία Η γενική κατάσ τασ η της μνήμης (ή καταχωρητή/register) θα περιγράφεται από την επαλληλία: ψ = c 00 00 + c 01 01 + c 10 10 + c 11 11 και ισ χύει ότι α,β c αβ 2 = 1, όπου α, β {0, 1}

Ν κβαντοδυφία Για έναν κβαντικό υπολογισ τή με Ν θέσ εις μνήμης το τυχόν σ τοιχείο της υπολογισ τικής βάσ ης θα γράφεται ως: x = x 1,..., x N x 1 x 2... x N και η γενική κβαντική κατάσ τασ η της μνήμης γράφεται ως: ψ = x c x x x 1,...,x N c x1,...,x N x 1,..., x N με σ υνθήκη κανονικοποίησ ης την x c x 2 = 1

Κλίμακα Η διάσ τασ η της ψ κατάσ τασ ης θα ισ ούται με: D = 2 N για N = 200 έχουμε D = 2 200 10 100/2,3 10 87 Ο αριθμός ατόμων του σ ύμπαντος υπολογίζεται να είναι περίπου 10 80 Αδιανόητες δυνατότητες!

Μαζικός κβαντικός παραλληρισ μός Η παράλληλη εκτέλεσ η του προγράμματος για όλες τις ενδεχόμενες κατασ τάσ εις των κβαντοδυφίων είναι γνωσ τή ως μαζικός κβαντικός παραλληρισ μός και αποτελεί τον θεμελιώδη μηχανισ μό λειτουργίας ενός κβαντικού υπολογισ τή και σ αυτό οφείλεται η τεράσ τια υπολογισ τική ικανότητα του.

Αποτελέσ ματα Για να πάρουμε απαντήσ εις, πρέπει να κάνουμε μετρήσ εις και τότε καταρέει η υπέρθεσ η. Λόγω σ υσ σ ώρευσ ης σ φαλμάτων, για να βεβαιωθούμε πρέπει να ξανατρέξουμε το πρόγραμμα όσ ες φορές χρειασ τεί. Ο κβαντικός υπολογισ τής δεν είναι μια ντετερμινισ τική μηχανή.

Μοντέλα κβαντικού υπολογισ τή Αδιαβατικού κβαντικού υπολογισ μού Μονόδρομου κβαντικού υπολογισ μού Τοπολογικού Κβαντικού υπολογισ τή Κβαντική μηχανή Turing

Το μοντέλο σ το οποίο ο υπολογισ μός γίνεται μέσ ω μιας αλληλουχίας κβαντικών πυλών, οι οποίες είναι ανασ τρέψιμες μετατροπές σ ε ένα κβαντικό ανάλογο του n-bit καταχωρητή, τον n-qubit καταχωρητή. Το πιο ώριμο μοντέλο.

Κβαντικές πύλες Τα κβαντοδυφία, ως κβαντικά αντικείμενα, τα χειριζόμασ τε με δύο διαδικασ ίες: 1 Της μοναδιαίας εξέλιξης μέσ ω της εξίσ ωσ ης Schrödinger που προκαλείται κυρίως με τη δράσ η κατάλληλων ηλ/μαγνητικών παλμών 2 Της μέτρησ ης που δεν είναι μοναδιαία αλλά διέπεται από την αρχή της κατάρρευσ ης της υπέρθεσ ης Οι μοναδιαίες πράξεις ονομάζονται κβαντικές πύλες ή απλώς πύλες.

Πύλες για ένα κβαντοδυφίο Δρουν σ ε κατασ τάσ εις της μορφής: ψ = α 0 + β 1 και αναπαρίσ τανται από μοναδιαίες μήτρες της ίδιας διάσ τασ ης, δηλαδή 2 2.

Πύλες για ένα κβαντοδυφίο, σ ε μια κατάσ τασ η H πύλη Hadamard δημιουργεί ισ οβαρείς επαλληλίες των βασ ικών κατασ τάσ εων 0 και 1 H 0 = 1 2 ( 0 + 1 ) + Η πύλη Χ είναι η πύλη NOT. H 1 = 1 2 ( 0 1 ) X 0 = 1 X 1 = 0 Γενικά X x = x institution-logo-filen

Πύλες για ένα κβαντοδυφίο, σ ε υπέρθεσ η Στην περίπτωσ η υπέρθεσ ης θα έχουμε: H (α 0 + β 1 ) = 1 2 ((α + β) 0 + (α β) 1 ) X (α 0 + β 1 ) = β 0 + α 1

Πύλες για 2 qubits SWAP = Η πύλη SWAP 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 CNOT = Η πύλη CNOT 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

Θεώρημα μη-κλωνοποιήσ εως Δεν υπάρχει ντετερμινισ τική κβαντική διαδικασ ία με την οποία μια άγνωσ τη καθαρή κβαντική κατάσ τασ η θα μπορεί να κλωνοποιηθεί επακριβώς. Δεν υπάρχει πύλη που να αντιγράφει qubits γιατί θα πρέπει να τα μετράει. Δεν υπάρχει error-correction με τον κλασ ικό τρόπο (αντιγραφής - πλειοψηφίας)

Κβαντικός αλγόριθμος του Grover Το κύκλωμα του κβαντικού αλγορίθμου του Grover με είσ οδο n+1 qubits Βρίσ κει ( ένα σ τοιχείο σ ε μια μη-κατανεμένη λίσ τα σ ε (κατα μέσ ο όρο) (π/4) ) N 0.5 βήματα έναντι των (κατά μέσ ο όρο) N/2 βημάτων που χρειάζεται ο κλασ σ ικός αλγόριθμος

Μοντέλο αδιαβατικού κβαντικού υπολογισ μού Bασ ίζεται σ το αδιαβατικό θεώρημα το οποίο σ χετίζεται με την κβαντική ανόπτησ η (quantum annealing). 1 Περιγράφουμε το πρόβλημα με μια πολύπλοκη Χαμιλτονιανή H p 2 Μια απλή Χαμιλτονιανή H i αρχικοποιείται σ τη θεμελιώδη κατάσ τασ η 3 Η απλή Χαμιλτονιανή εξελίσ εται αδιαβατικά σ την πολύπλοκη Σύμφωνα με το αδιαβατικό θεώρημα, το σ ύσ τημα παραμένει σ την βασ ική κατάσ τασ η ώσ τε σ το τέλος της κατάσ τασ ης, το σ ύσ τημα να περιγράφει την λύσ η του προβλήματος H(s) = Λ (s) H i + sh p όπου s = t T και το Λ (0) H i H p και Λ (1) H i = Hp institution-logo-filen

Μοντέλο αδιαβατικού κβαντικού υπολογισ μού

Τι είναι η μηχανική μάθησ η Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Arthur Samuel, 1959 Το πεδίο μελέτης που δίνει σ τους υπολογισ τές την δυνατότητα να μαθαίνουν χωρίς να έχουν χωρίς να έχουν προγραμματισ τεί με σ αφήνεια Το 1950, ο Alan Turing είπε ότι το ερώτημα δεν είναι αν μπορούν οι μηχανές να σ κεφτούνε αλλά αν οι μηχανές μπορούνε να κάνουνε ό,τι κάνουμε και εμείς σ αν σ κεπτόμενα όντα. Tom M. Mitchell, 1997 Ενα πρόγραμμα υπολογισ τή λέγεται ότι μαθαίνει από εμπειρία E σ ε σ χέσ η με μια σ ειρά από εργασ ίες T και μέτρησ η της απόδοσ ης P, αν η απόδοσ η του σ τις εργασ ίες Τ, όπως μετράται από την P, βελτιώνεται με την εμπειρία Ε institution-logo-filen

Αλγόριθμοι Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Επιτηρούμενη μάθησ η (Supervised learning) Μη-επιτηρούμενη μάθησ η (Unsupervised learning) Ημι-επιτηρούμενη μάθησ η (Semi-supervised learning) Μεταβιβασ τική σ υμπερασ ματολογία (Transductive inference) Ενισ χυτική μάθησ η (Reinforcement learning) Μάθησ η για μάθησ η (Learning to learn) Αναπτυξιακή μάθησ η (Developmental learning)

Διαδικασ ία μηχανικής μάθησ ης Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ

Μείωσ η διανυσ μάτων Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ

Αναγνώρισ η προτύπων Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Ο κλάδος της τεχνητής νοημοσ ύνης με σ τόχο την αναγνώρισ η προτύπων και τακτικότητας σ τα δεδομένα. Μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν για να αναγνωρίζουνε πρότυπα τα οποία έχουνε διδαχθεί ή για να ανακαλύπτουν άγνωσ τα πρότυπα

Τεχνητά νευρωνικά δίκτυα Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Εμπνευσ μένα από το νευρικό σ ύσ τημα του εγκεφάλου.

Τεχνητά νευρωνικά δίκτυα Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Η δύναμη τους οφείλεται σ το ότι: μπορούν να επεξεργασ τούν μεγάλο εύρος προτύπων δεν είναι αλγοριθμικοί μπορούν να γενικέυσ ουν

Hopfield network Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Αυτοσ υνειρμικό δύκτιο νευρώνων (auto-associative NN) Επαναλαμβανόμενο. Βασ ισ μένο σ την μνήμη που μπορεί να θυμηθεί. Αρνητικά: Λανθασ μένη μνήμη Δεν έχει κρίσ η Λάθος σ ταθερή σ υνθήκη

Hopfield network Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ

Τεχνητά κβαντικά νευρωνικά δίκτυα Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Κύρια χαρακτηρισ τικά: Δίκτυα Hopfield Συναρτήσ εις ενεργοποίησ ης Επαναλαμβανόμενη διαδικασ ία Παράλληλη - ασ ύγχρονη επεξεργασ ία Κβαντικά νευρωνικά δίκτυα Παρουσ ία φάσ ης Εκθετική αύξησ η του υπολογισ τικού χώρου Κβαντικός παραλληρισ μός

Κβαντική σ υνειρμική μνήμη Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Σχετίζεται περισ σ ότερο με την πραγματική μνήμη. m = M 0 Ολη η πληροφορία για τα αποθηκευμένα πρότυπα περιλαμβάνονται σ τον μοναδιακό τελεσ τή Μ.

Αναγνώρισ η προτύπων σ τον AQC Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ Περιγράφουμε το πρόβλημα με μια πολύπλοκη Χαμιλτονιανή H p : H p = H mem + ΓH input H mem είναι η πληροφορία για τα αποθηκευμένα πρότυπα H input είναι το πρότυπο προς αναγνώρισ η Γ > 0 είναι ένας σ υντελεσ τής βάρους

Εφαρμογές, αναγνώρισ η προσ ώπων Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ

Εφαρμογές, αναγνώρισ η υλικών Μηχανική μάθησ η Σε κυκλωματικό μοντέλο Στον αδιαβατικό Κ/Υ

Συμπεράσ ματα Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία Μείωσ η της πολυπλοκότητας Γρηγορότερα αποτελέσ ματα Γενικότητα για την οποία χρειάζομασ τε ειδικά μέσ α

Κβαντική πολυπλοκότητα Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία Τι μπορεί να λύσ ει ένας κβαντικός υπολογισ τής;

Ανάπτυξη δυνατοτήτων Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία Πρέπει να επεκταθούν οι δυνατότητες του κβαντικού υπολογισ τή ώσ τε να έχει νόημα η εφαρμωγή των προηγουμένων αλγορίθμων

Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία Hartmut Neven, Director of Engineering, Google Η κβαντική μηχανική μάθησ η θα μας δώσ ει τις πιο δημιουργικές λύσ εις προβλημάτων υπό το πρίσ μα των νόμων της φυσ ικής

Βιβλιογραφία Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία Σ. Τραχανάς, Κβαντομηχανική ΙΙ, 2008 Ε. Θήριος, Κβαντικοί αλγόριθμοι και εφαρμογές, ΜΔΕ ΦΤΕ, 2010 C.P. Williams, Explorations in Quantum Computing, 2011 R. Schützhold, Pattern recognition on a quantum computer, arxiv:quant-ph/0208063v3, 2002 C.A. Trugenberger, Quantum pattern recognition, arxiv:quant-ph/0210176v2, 2008 T.R. Ambarya, Neuro-quantum networks in tasks of pattern recognition, IEEE, 2005 A.A. Ezhov, Pattern Recognition with quantum neural networks, Advances in Pattern Recognition, 2001 R. Neigovzen, Quantum pattern recognition with liquid-state nuclear magnetic resonance, arxiv:0802.1592, 2009 institution-logo-filen

Τέλος Συμπεράσ ματα Βιβλιογραφία Σας ευχαρισ τώ!

Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.