ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ» ΤΟΥ SINGH 2.6 Η πυκνότητα καταστάσεων δίδεται από τον τύπο: Ν(Ε) = [ 2 * (m*) 3/2 * (E-E ο ) 1/2 ] / π 2 ħ 3 όπου Ε ο = Ε C ή Ε V ανάλογα αν πρόκειται για τη ΖΑ ή ΖΣ. 1. Για το GaAs έχουμε : Ζ.Α. m * = m e * = 0.067m 0 Ζ.Σ (m * ) 3/2 = (m * HH) 3/2 + (m * LH) 3/2 = (0.5m 0 ) 3/2 + (0.08m 0 ) 3/2 2. Για το Si έχουμε : Ζ.Α. m * = (m 1 *m 2 *m 3 ) 1/3 με m 1 = 0.98m 0, και m 2 = m 3 = 0.19m 0 Επίσης πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την Ν(Ε) με 6 γιατί έχουμε 6 ισοδύναμα ελάχιστα στην ζώνη αγωγιμότητας. Ζ.Σ. (m * ) 3/2 = (m * HH) 3/2 + (m * LH) 3/2 = (0.49m 0 ) 3/2 + (0.16m 0 ) 3/2 3. Για το Ge έχουμε : Ζ.Α. m * = (m 1 *m 2 *m 3 ) 1/3 με m 1 = 1.64m 0, και m 2 = m 3 = 0.082m 0 Ζ.Σ. (m * ) 3/2 = (m * HH) 3/2 + (m * LH) 3/2 = (0.29m 0 ) 3/2 + (0.044m 0 ) 3/2 2.7 Έστω ότι το κυματοδιάνυσμα ενός ηλεκτρονίου ζώνης αγωγιμότητας στo GaAs είναι k = (0.1, 0.1, 0.0) Ǻ -1. Το άκρο της ζώνης αγωγιμότητας είναι στο σημείο (0,0,0) Έτσι το Δk είναι (0.1, 0.1, 0) Ǻ -1 Άρα η ενέργεια είναι
Ε-Ε c = (ħ 2 /2m e ) [Δk x 2 + Δk y 2 + Δk z 2 ] με m e = 0.067m 0 2.8 Έχουμε ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται στην ζώνη αγωγιμότητας στο Si στην (100) κοιλάδα και έχει διάνυσμα k =2π/α (1.0, 0.1, 0.1). Το άκρο της ζώνης αγωγιμότητας στο Si είναι το k 0 = 2π/α (0.85, 0, 0) Έτσι το Δk = k - k 0 = 2π/α (0.15, 0.1, 0.1) Οπότε η διαφορά ενέργειας θα είναι : Ε-Ε c = ħ 2 * Δk x 2 /2m l + ħ 2 * Δk y 2 /2m t + ħ 2 * Δk z 2 /2m t με m 1 = 0.98m 0 και m t = 0.19m 0. 2.34 Στο άκρο της ζώνης αγωγιμότητας ισχύει: n = N c * exp(e F E C ) / k B T Η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων στο άκρο της ζώνης αγωγιμότητας είναι: N c = 2(m e * k B T / 2π * ħ 2 ) 3/2 Για GaAs: m e * = 0,067m o ħ = 0,67 mev*ps k B = 8,617*10-5 evk -1 Για Si : m e * = 6 2/3 (m l * m t * 2 ) 1/3 m * = 6 2/3 (0.98m o 0.19 2 m o 2 ) 1/3 Στο άκρο της ζώνης σθένους ισχύει: ρ = N V * exp(e V E F ) / k B T Η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων στο άκρο της ζώνης σθένους είναι: N V = 2(m h * * k B T / 2π * ħ 2 ) 3/2 με m h * 3/2 = (m * HΗ 3/2 + m * LΗ 3/2 ) Έτσι το N V = 2(k B T / 2π * ħ 2 ) 3/2 * (m * HΗ 3/2 + m * LΗ 3/2 ) Για GaAs: m * HΗ = 0,5m o m * LΗ = 0,08m o Για Si: m * HΗ = 0,49m o m * LΗ = 0,16m o 2.35 Η εξάρτηση του ενεργειακού χάσματος από τη θερμοκρασία δίνεται από τον τύπο Εg(T) = Εg(0) α Τ 2 / Τ+β Η ενδογενής συγκέντρωση των φορέων δίνεται από τον τύπο: n i (T) = 2*(k B T / 2π * ħ 2 ) 3/2 * (m * e * m * h ) 3/4 * exp(-e g (T) / k B T)
Για να κάνουμε υπολογισμούς του n i (T) υπολογίζουμε τα m e * και m h * όπως και στην άσκηση 2.34, χρησιμοποιώντας τις ενεργές μάζες του Si, Ge, και GaAs από τον πίνακα σ.147, καθώς και την σχετική θεωρία. Επίσης παίρνουμε τα δεδομένα για τα α, β από την εκφώνηση της άσκησης. 3.1 E C Αρχικά υπολογίζουμε την ενεργό πυκνότητα καταστάσεων για τα ηλεκτρόνια (στις 3 διαστάσεις) : Ν c = 2(m * k B T/2πħ 2 ) 3/2 (1) Ισχύει επίσης : m * = 6 2/3 (m l * m t * 2 ) 1/3 m * = 6 2/3 (0.98m o 0.19 2 m o 2 ) 1/3 m * = 1.084m o (2) c = 3*10 8 m/s (3) m o c 2 =0.511MeV (4) ħ = 0.67meV*ps (5) (2),(3),(4),(5) (1)=======> N c = 2[1.084m o c 2 10 6 ev* 0.8625*10-4 (ev/k)*300 K / 2π c 2 0.67 2 *10-30 ev 2 sec 2 ] 3/2 N c = 2.683 *10 19 cm -3. Για να βρούμε την πυκνότητα φορέων στη ΖΑ, εξετάζουμε πρώτα το λόγο: n F = (E F -E C )/k B T n F = -0.2 ev/0.0258ev n F = -7.75. Για το συγκεκριμένο n F και η προσέγγιση Boltzmann και η Joyce-Dixon δίνουν τιμές πολύ κοντά σε αυτή που προκύπτει από τη λύση του ολοκληρώματος Fermi-Dirac (που είναι η πλήρης λύση). Σημειωτέον ότι η προσέγγιση Boltzmann είναι πολύ καλή για n F < -3.5, ενώ η Joyce- Dixon για n F < 2. Χρησιμοποιούμε λοιπόν την προσέγγιση Βoltzmann (λιγότερη διαδικασία για τη λύση). n = N c exp[(e F -E C )/k B T] n = 1.163*10 15 cm -3.
3.2 Δείγμα GaAs, T = 300K, η στάθμη Fermi συμπίπτει με το άκρο της ζώνης σθένους δηλαδή Ε F =E υ. -α) Προσέγγιση Boltzmann : E F = E U -k B T ln(p/n U ) exp[(e U - E F )/k B T ] = p/n u p = N u exp[(e U - E F )/k B T ] p = N u exp0 p = N u. -β) Προσέγγιση Joyce-Dixon : E F = E U -k B T [ln(p/n U ) +(1/ 8)(p/N u )] ln(p/n U ) = -(1/ 8)(p/N u ) Θέτουμε (p/n U ) = x άρα : lnx = -0.35x x = e -0.35x x 0.76 (p/n U ) = 0.76 p = 0.76N u. (Με το ολοκλήρωμα Fermi-Dirac : p = (2/ π)ν υ F 1/2 (y F =0) p = (2/ π)ν υ *0.65 p 0.74N u ). Υπολογισμός του Ν υ : Ν υ = 2(m h * k B T/2πħ 2 ) 3/2 (1) (m h * ) 3/2 = (m HH *) 3/2 +( m LH *) 3/2 (m h * ) 3/2 = (0.5m o ) 3/2 +(0.08m o ) 3/2 (m h * ) 3/2 = m o 3/2 0.58 3/2 (m h * ) 3/2 = 0.44m o 3/2 (2) m o c 2 = 0.511MeV c = 3*10 8 m/sec ħ = 0.67meV*psec Eπομένως : Ν υ = 2[0.44*0.511*10 6 ev*25.8*10-3 (ev/k)k/2π 9*10 16 0.67 2 *10-30 ev 2 sec 2 ] 3/2 Ν υ = 4.57*10 19 cm -3. Άρα στην προσέγγιση Boltzmann στο α) ερώτημα : p = 4.57*10 19 cm -3. Kαι για το β) ερώτημα : p = 3.4732*10 19 cm -3. Ολοκλήρωμα Fermi-Dirac: p = 3.382*10 19 cm -3. Πυκνότητα ηλεκτρονίων (σύμφωνα με τους νόμο δράσης μαζών) : np = n i 2 Aπό δεδομένα n i 2 = 3.24*10 12 cm -6 σε θερμοκρασία Τ=300Κ για το GaAs. Παραπάνω βρήκαμε από το ολοκλήρωμα Fermi-Dirac ότι : p=3.473*10 19 cm -3. Επομένως n = n i 2 /p n = 0.93*10-7 cm -3. 3.3 δείγμα Si σε T=300K με πυκνότητα ηλεκτρονίων : n=10 16 cm -3. Xρησιμοποιούμε την προσέγγιση Boltzmann : E F =E C +k B T[ln(n/N C )] E C -E F = - k B T[ln(n/N C )] (1) Ν c = 2(m * k B T/2πħ 2 ) 3/2 (2) Ισχύει επίσης : m * = 6 2/3 (m l * m t * 2 ) 1/3 m * = 6 2/3 (0.98m o 0.19 2 m o 2 ) 1/3 m * = 1.084m o (3) c = 3*10 8 m/s (4) m o c 2 =0.511MeV (5) ħ = 0.67meV*ps (6) (3),(4),(5),(6) (2)=======> N c = 2[1.084m o c 2 10 6 ev* 0.8625*10-4 (ev/k)*300 K / 2π c 2 0.67 2 *10-30 ev 2 sec 2 ] 3/2
(7) N c = 2.683 *10 19 cm -3.(7) (1)=== E C -E F = -25.8meV*ln(3.7*10-4 ) E C -E F = -25.8meV(-7.9) E C -E F = 203.82meV Έχουμε από δεδομένα βιβλίου : n i 2 = 2.25*10 20 cm -6 σε Τ = 300Κ για το Si. Iσχύει λοιπόν : n i 2 = np p = 2.25*10 20 cm -6 /10 16 cm -3 p = 2.25*10 4 cm -3. 3.4 δείγμα GaAs τύπου-n εμπλουτισμένο σε n d = 5*10 17 cm -3 =n, T=300K και από δεδομένα βιβλίου: Ν c = 4.45*10 17 cm -3 Χρησιμοποιούμε την προσέγγιση Joyce-Dixon : E F = E c +k B T [ln(n/n c ) +(1/ 8)(n/N c )] E F = E c +k B T [ln(5/4.45)+ (1/ 8)( 5/4.45)] E F - E c = 25.8*10-3 ev (0.117+0.397) E F - E c = 13.26*10-3 ev. (Γιατί στην άσκηση αυτή δεν χρησιμοποιήσαμε την Boltzmann; Η απάντηση είναι ότι αν την χρησιμοποιούσαμε θα βρίσκαμε ότι n F = (E F - E c )/k B T = 0.117. Όμως για να είναι καλή προσέγγιση η Boltzmann θα πρέπει n F < -3.5, που δεν ισχύει στη συγκεκριμένη περίπτωση. Επίσης εμπειρικά γνωρίζουμε ότι για πυκνότητες φορέων μεγαλύτερες από 10 17 cm -3 η προσέγγιση Boltzmann γίνεται επισφαλής. Επομένως καλύτερη προσέγγιση είναι η Joyce-Dixon που χρησιμοποιήσαμε αρχικά).